Triqonometriya bir elm olaraq Qədim Şərqdə yaranmışdır. İlk triqonometrik nisbətlər ulduzlar tərəfindən dəqiq təqvim və oriyentasiya yaratmaq üçün astronomlar tərəfindən əldə edilmişdir. Bu hesablamalar sferik triqonometriya ilə əlaqədardır, məktəb kursunda isə müstəvi üçbucağın tərəflərinin və bucaqlarının nisbətini öyrənirlər.

Triqonometriya triqonometrik funksiyaların xassələri və üçbucaqların tərəfləri və bucaqları arasındakı əlaqə ilə məşğul olan riyaziyyatın bir sahəsidir.

Eramızın 1-ci minilliyində mədəniyyət və elmin çiçəkləndiyi dövrdə bilik Qədim Şərqdən Yunanıstana yayıldı. Lakin triqonometriyanın əsas kəşfləri Ərəb xilafətinin kişilərinin xidmətləridir. Xüsusilə, türkmən alimi əl-Mərəzvi tangens və kotangens kimi funksiyaları təqdim etmiş, sinuslar, tangenslər və kotangenslər üçün ilk qiymət cədvəllərini tərtib etmişdir. Sinus və kosinus anlayışları hind alimləri tərəfindən təqdim edilmişdir. Evklid, Arximed və Eratosfen kimi antik dövrün dahi şəxsiyyətlərinin əsərlərində triqonometriyaya böyük diqqət yetirilmişdir.

Triqonometriyanın əsas kəmiyyətləri

Rəqəmsal arqumentin əsas triqonometrik funksiyaları sinus, kosinus, tangens və kotangensdir. Onların hər birinin öz qrafiki var: sinus, kosinus, tangens və kotangens.

Bu kəmiyyətlərin dəyərlərini hesablamaq üçün düsturlar Pifaqor teoreminə əsaslanır. Məktəblilərə daha yaxşı məlumdur: "Pifaqor şalvarları bütün istiqamətlərdə bərabərdir", çünki sübut ikitərəfli düzbucaqlı üçbucağın nümunəsi ilə verilir.

Sinus, kosinus və digər əlaqələr istənilən düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqları və tərəfləri arasında əlaqə yaradır. Gəlin A bucağı üçün bu kəmiyyətləri hesablamaq üçün düsturları təqdim edək və triqonometrik funksiyalar arasındakı əlaqələri izləyək:

Gördüyünüz kimi tg və ctg tərs funksiyalardır. Əgər a ayağını sin A və hipotenuzanın c məhsulu, b ayağını isə cos A * c kimi təsəvvür etsək, tangens və kotangens üçün aşağıdakı düsturları alırıq:

Triqonometrik dairə

Qrafik olaraq qeyd olunan kəmiyyətlər arasındakı əlaqə aşağıdakı kimi göstərilə bilər:

Dairə, bu halda, α bucağının bütün mümkün dəyərlərini təmsil edir - 0 ° ilə 360 ° arasında. Şəkildən göründüyü kimi, hər bir funksiya bucaqdan asılı olaraq mənfi və ya müsbət qiymət alır. Məsələn, α dairənin 1-ci və 2-ci rübünə aiddirsə, yəni 0°-dən 180°-ə qədər diapazonda olarsa, sin α “+” işarəsinə malik olacaqdır. 180°-dən 360°-yə qədər (III və IV rüblər) α üçün sin α yalnız mənfi qiymət ola bilər.

Gəlin konkret açılar üçün triqonometrik cədvəllər qurmağa və kəmiyyətlərin mənasını öyrənməyə çalışaq.

30°, 45°, 60°, 90°, 180° və s.-ə bərabər olan α qiymətləri xüsusi hallar adlanır. Onlar üçün triqonometrik funksiyaların dəyərləri hesablanır və xüsusi cədvəllər şəklində təqdim olunur.

Bu açılar təsadüfi seçilməyib. Cədvəllərdə π təyinatı radyanlar üçündür. Rad dairənin qövsünün uzunluğunun onun radiusuna uyğun olduğu bucaqdır. Bu dəyər universal bir asılılıq yaratmaq üçün tətbiq edilmişdir, radyanla hesablama zamanı radiusun sm-də faktiki uzunluğunun əhəmiyyəti yoxdur;

Triqonometrik funksiyalar üçün cədvəllərdəki bucaqlar radian qiymətlərinə uyğundur:

Beləliklə, 2π-nin tam çevrə və ya 360° olduğunu təxmin etmək çətin deyil.

Triqonometrik funksiyaların xassələri: sinus və kosinus

Sinus və kosinusun, tangens və kotangensin əsas xassələrini nəzərdən keçirmək və müqayisə etmək üçün onların funksiyalarını çəkmək lazımdır. Bu, iki ölçülü koordinat sistemində yerləşən əyri şəklində edilə bilər.

Sinus və kosinus üçün xassələrin müqayisəli cədvəlini nəzərdən keçirin:

Sinus dalğası	Kosinus
y = sinx	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, x = πk üçün, burada k ϵ Z	cos x = 0, x = π/2 + πk üçün, burada k ϵ Z
sin x = 1, x = π/2 + 2πk üçün, burada k ϵ Z	cos x = 1, at x = 2πk, burada k ϵ Z
sin x = - 1, at x = 3π/2 + 2πk, burada k ϵ Z	cos x = - 1, x = π + 2πk üçün, burada k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, yəni funksiya təkdir	cos (-x) = cos x, yəni funksiya cütdür
	funksiya dövri, ən kiçik dövr 2π-dir
sin x › 0, x 1-ci və 2-ci rüblərə aiddir və ya 0°-dən 180°-yə qədər (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, x I və IV rüblərə aiddir və ya 270°-dən 90°-ə qədər (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, x üçüncü və dördüncü rüblərə aiddir və ya 180°-dən 360°-yə qədər (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, x 2-ci və 3-cü rüblərə aiddir və ya 90°-dən 270°-yə qədər (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
intervalında artır [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	[-π + 2πk, 2πk] intervalında artır
fasilələrlə azalır [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	fasilələrlə azalır
törəmə (sin x)’ = cos x	törəmə (cos x)’ = - sin x

Bir funksiyanın cüt olub olmadığını müəyyən etmək çox sadədir. Triqonometrik kəmiyyətlərin əlamətləri olan triqonometrik dairəni təsəvvür etmək və OX oxuna nisbətən qrafiki zehni olaraq “qatlamaq” kifayətdir. İşarələr üst-üstə düşürsə, funksiya cüt, əks halda təkdir.

Radianların tətbiqi və sinus və kosinus dalğalarının əsas xüsusiyyətlərinin siyahısı bizə aşağıdakı nümunəni təqdim etməyə imkan verir:

Düsturun düzgünlüyünü yoxlamaq çox asandır. Məsələn, x = π/2 üçün sinus, x = 0-ın kosinusu kimi 1-dir. Yoxlama cədvəllərə müraciət etməklə və ya verilmiş qiymətlər üçün funksiya əyrilərini izləməklə edilə bilər.

Tangensoidlərin və kotangentsoidlərin xassələri

Tangens və kotangens funksiyalarının qrafikləri sinus və kosinus funksiyalarından əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir. tg və ctg dəyərləri bir-birinin əksidir.

1. Y = qara x.
2. Tangens x = π/2 + πk-də y dəyərlərinə meyl edir, lakin heç vaxt onlara çatmır.
3. Tangentoidin ən kiçik müsbət dövrü π-dir.
4. Tg (- x) = - tg x, yəni funksiya təkdir.
5. Tg x = 0, x = πk üçün.
6. Funksiya artır.
7. Tg x › 0, x ϵ üçün (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, x ϵ üçün (— π/2 + πk, πk).
9. Törəmə (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

Aşağıdakı mətndə kotangentoidin qrafik təsvirini nəzərdən keçirin.

Kotangentoidlərin əsas xüsusiyyətləri:

1. Y = çarpayı x.
2. Sinus və kosinus funksiyalarından fərqli olaraq, tangentoiddə Y bütün həqiqi ədədlər çoxluğunun dəyərlərini qəbul edə bilər.
3. Kotangentoid x = πk-də y dəyərlərinə meyl edir, lakin heç vaxt onlara çatmır.
4. Kotangentoidin ən kiçik müsbət dövrü π-dir.
5. Ctg (- x) = - ctg x, yəni funksiya təkdir.
6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk üçün.
7. Funksiya azalır.
8. Ctg x › 0, x ϵ üçün (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, x ϵ üçün (π/2 + πk, πk).
10. Törəmə (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Düzgün

Təlimatlar

Əgər kosinusu tapmaq lazımdırsa bucaq ixtiyari üçbucaqda kosinus teoremindən istifadə etməlisiniz:
bucaq iti olarsa: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
əgər bucaq: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), burada a, b küncə bitişik tərəflərin uzunluqları, c küncə qarşı tərəfin uzunluğudur.

Faydalı məsləhət

Kosinusun riyazi qeydi cosdur.
Kosinus dəyəri 1-dən çox və -1-dən kiçik ola bilməz.

Mənbələr:

• bucağın kosinusunu necə hesablamaq olar
• Vahid çevrəsində triqonometrik funksiyalar

Kosinus bucağın əsas triqonometrik funksiyasıdır. Kosinusu təyin etmək bacarığı vektor cəbrində vektorların müxtəlif oxlara proyeksiyalarını təyin edərkən faydalıdır.

Təlimatlar

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

A, b, c tərəfləri müvafiq olaraq 3, 4, 5 mm-ə bərabər olan üçbucaq var.

Tap kosinus daha böyük tərəflər arasındakı bucaq.

Gəlin a tərəfinə qarşı olan bucağı ? ilə işarə edək, onda yuxarıda alınan düstura görə belə oluruq:

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0,8

Cavab: 0.8.

Üçbucaq düz bucaqlıdırsa, tapmaq üçün kosinus və bucaq üçün hər hansı iki tərəfin uzunluğunu bilmək kifayətdir ( kosinus düz bucaq 0-dır).

Tərəfləri a, b, c olan düzbucaqlı üçbucaq olsun, burada c hipotenuzdur.

Bütün variantları nəzərdən keçirək:

(üçbucağın) a və b tərəflərinin uzunluqları məlumdursa, cos? tapın

Əlavə olaraq Pifaqor teoremindən istifadə edək:

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Yaranan düsturun düzgün olmasını təmin etmək üçün biz onu 1-ci misaldan əvəz edirik, yəni.

Bəzi əsas hesablamaları etdikdən sonra əldə edirik:

Eynilə tapıldı kosinus düzbucaqlı şəklində üçbucaq digər hallarda:

Məlum a və c (hipotenuza və əks tərəf), cos tapın?

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

Nümunədən a=3 və c=5 dəyərlərini əvəz edərək, əldə edirik:

Məlum b və c (hipotenuz və bitişik ayaq).

cos tap?

Oxşar çevrilmələr etdikdən sonra (2 və 3-cü misallarda göstərilmişdir), bu halda bunu əldə edirik kosinus V üçbucaqçox sadə düsturla hesablanır:

Alınan düsturun sadəliyi sadəcə izah edilə bilər: əslində, küncə bitişik? ayaq hipotenuzanın proyeksiyasıdır, onun uzunluğu hipotenuzanın uzunluğunun cos? ilə vurulmasına bərabərdir.

Birinci misaldan b=4 və c=5 dəyərlərini əvəz edərək, əldə edirik:

Bu o deməkdir ki, bizim bütün düsturlarımız düzgündür.

İpucu 5: Düzbucaqlı üçbucaqda iti bucağı necə tapmaq olar

Birbaşa karbonluüçbucaq, ehtimal ki, tarixi baxımdan ən məşhur həndəsi fiqurlardan biridir. Pifaqor “şalvarları” ancaq “Evrika!” ilə rəqabət apara bilər. Arximed.

Sizə lazım olacaq

• - üçbucağın çəkilməsi;
• - hökmdar;
• - iletki

Təlimatlar

Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180 dərəcədir. Düzbucaqlı şəklində üçbucaq bir açı (düz) həmişə 90 dərəcə olacaq, qalanları isə kəskindir, yəni. hər biri 90 dərəcədən azdır. Düzbucaqlıda hansı bucağın olduğunu müəyyən etmək üçbucaq düzdürsə, üçbucağın tərəflərini ölçmək və ən böyüyünü təyin etmək üçün bir hökmdardan istifadə edin. O, hipotenuzdur (AB) və düz bucağın (C) qarşısında yerləşir. Qalan iki tərəf bir düz bucaq və ayaqları (AC, BC) təşkil edir.

Hansı bucağın iti olduğunu müəyyən etdikdən sonra riyazi düsturlardan istifadə edərək bucağı hesablamaq üçün ya nəqledicidən istifadə edə bilərsiniz.

Bir iletki istifadə edərək bucağı təyin etmək üçün onun yuxarı hissəsini (gəlin onu A hərfi ilə qeyd edək) AC ayağının yuxarı kənarı ilə üst-üstə düşməlidir; Protektorun yarımdairəvi hissəsində AB hipotenuzunun keçdiyi nöqtəni qeyd edin. Bu nöqtədəki dəyər dərəcə ilə bucağa uyğundur. Protraktorda göstərilən 2 dəyər varsa, kəskin bucaq üçün daha kiçik olanı, küt bucaq üçün - daha böyük olanı seçməlisiniz.

Bradis arayış kitablarında alınan dəyəri tapın və nəticədə çıxan ədədi dəyərin hansı bucağa uyğun olduğunu müəyyənləşdirin. Nənələrimiz bu üsuldan istifadə edirdilər.

Bizdə triqonometrik düsturların hesablanması funksiyası ilə götürmək kifayətdir. Məsələn, daxili Windows kalkulyatoru. "Kalkulyator" tətbiqini işə salın, "Görünüş" menyusunda "Mühəndislik" i seçin. İstədiyiniz bucağın sinusunu hesablayın, məsələn, sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Kalkulyatorun displeyindəki INV düyməsini sıxmaqla kalkulyatoru tərs funksiya rejiminə keçirin, sonra arcsine funksiyası düyməsini sıxın (ekranda sin minus birinci güc kimi göstərilir). Hesablama pəncərəsində aşağıdakı mesaj görünəcək: asind (0.5) = 30. Yəni. istədiyiniz bucağın dəyəri 30 dərəcədir.

Mənbələr:

• Bradis masaları (sinuslar, kosinuslar)

Riyaziyyatda kosinus teoremi ən çox bucağın üçüncü tərəfini və iki tərəfini tapmaq lazım olduqda istifadə olunur. Bununla belə, bəzən problemin şərti əksinə qoyulur: verilmiş üç tərəfi olan bir bucaq tapmaq lazımdır.

Təlimatlar

Təsəvvür edin ki, sizə iki tərəfin uzunluqları və bir bucağın qiyməti məlum olan üçbucaq verilir. Bu üçbucağın bütün bucaqları bir-birinə bərabər deyil, tərəfləri də ölçülərinə görə müxtəlifdir. γ bucağı bu rəqəm olan AB ilə təyin olunmuş üçbucağın tərəfi ilə üzbəüz yerləşir. Bu bucaq vasitəsilə, eləcə də AC və BC qalan tərəfləri vasitəsilə siz kosinus teoremindən istifadə edərək üçbucağın naməlum tərəfini tapa bilərsiniz, ondan aşağıda təqdim olunan düsturdan çıxış edə bilərsiniz:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, burada a=BC, b=AB, c=AC
Kosinus teoremi başqa cür ümumiləşdirilmiş Pifaqor teoremi adlanır.

İndi təsəvvür edin ki, fiqurun hər üç tərəfi verilmişdir, lakin onun γ bucağı məlum deyil. a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ formasının olduğunu bilərək, bu ifadəni elə çevirin ki, istənilən qiymət γ bucağına çevrilsin: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Sonra yuxarıdakı tənliyi bir qədər fərqli formaya qoyun: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Bu ifadə daha sonra aşağıdakı ifadəyə çevrilməlidir: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Yalnız rəqəmləri formulda əvəz etmək və hesablamaları aparmaq qalır.

γ ilə işarələnmiş kosinusu tapmaq üçün onu qövs kosinusu adlanan triqonometriyanın tərsi ilə ifadə etmək lazımdır. m ədədinin qövs kosinusu γ bucağının kosinusu m-ə bərabər olduğu γ bucağının qiymətidir. y=arccos m funksiyası azalır. Məsələn, təsəvvür edin ki, γ bucağının kosinusu yarıya bərabərdir. Sonra γ bucağı qövs kosinusu vasitəsilə aşağıdakı kimi müəyyən edilə bilər:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, burada m = 1/2.
Eyni şəkildə, üçbucağın qalan bucaqlarını onun digər iki naməlum tərəfi ilə tapa bilərsiniz.

Sinus və kosinus "birbaşa" adlanan iki triqonometrik funksiyadır. Onlar başqalarından daha tez-tez hesablanmalı olanlardır və bu gün bu problemi həll etmək üçün hər birimizin kifayət qədər seçim imkanımız var. Aşağıda ən sadə üsullardan bəziləri verilmişdir.

Təlimatlar

Başqa hesablama vasitəsi olmadıqda iletir, karandaş və kağız parçasından istifadə edin. Kosinusun təriflərindən biri düz üçbucaqda iti bucaqlar baxımından verilmişdir - bu, bu bucağın qarşısındakı ayağın uzunluğu ilə uzunluq arasındakı nisbətə bərabərdir. Bucaqlardan biri düz (90°), digəri isə hesablamaq istədiyiniz bucaq olan üçbucaq çəkin. Tərəflərin uzunluğunun əhəmiyyəti yoxdur - onları ölçmək üçün daha əlverişli olan şəkildə çəkin. İstədiyiniz ayağın və hipotenuzun uzunluğunu ölçün və hər hansı bir rahat şəkildə birincini ikinciyə bölün.

İnternetə çıxışınız varsa, Nigma axtarış sistemində quraşdırılmış kalkulyatordan istifadə edərək triqonometrik funksiyaların dəyərindən yararlanın. Məsələn, 20° bucağın kosinusunu hesablamaq lazımdırsa, o zaman http://nigma.ru xidmətinin əsas səhifəsini yüklədikdən sonra axtarış sorğusu sahəsinə “kosinus 20” daxil edin və “Tap! ” düyməsi. Siz "dərəcələri" buraxa və "kosinus" sözünü cos ilə əvəz edə bilərsiniz - istənilən halda, axtarış sistemi nəticəni 15 onluq yerə qədər dəqiq göstərəcək (0.939692620785908).

İnternetə çıxışınız yoxdursa, Windows əməliyyat sistemi ilə quraşdırılmış standart proqramı açın. Bunu, məsələn, win və r düymələrini eyni vaxtda basaraq, sonra calc əmrini daxil edərək və OK düyməsini sıxmaqla edə bilərsiniz. Triqonometrik funksiyaları hesablamaq üçün burada "mühəndislik" və ya "elmi" (OS versiyasından asılı olaraq) adlı bir interfeys var - kalkulyator menyusunun "Görünüş" bölməsində istədiyiniz elementi seçin. Bundan sonra, bucaq dəyərini daxil edin və proqram interfeysində cos düyməsini basın.

Mövzu ilə bağlı video

İpucu 8: Düzbucaqlı üçbucaqda bucaqları necə təyin etmək olar

Düzbucaqlı künclər və tərəflər arasında müəyyən əlaqələr ilə xarakterizə olunur. Bəzilərinin dəyərlərini bilməklə, digərlərini hesablaya bilərsiniz. Bu məqsədlə öz növbəsində həndəsənin aksioma və teoremlərinə əsaslanan düsturlardan istifadə olunur.

Düzbucaqlı üçbucağın həlli ilə bağlı məsələlər nəzərdən keçirildikdə, sinus və kosinusun təriflərini yadda saxlamaq üçün bir texnika təqdim edəcəyimi vəd etdim. Bundan istifadə edərək, hipotenuzaya hansı tərəfin aid olduğunu həmişə tez xatırlayacaqsınız (bitişik və ya əks). Uzun müddət təxirə salmamaq qərarına gəldim, lazım olan material aşağıdadır, oxuyun 😉

Fakt budur ki, 10-11-ci sinif şagirdlərinin bu tərifləri xatırlamaqda necə çətinlik çəkdiklərini dəfələrlə müşahidə etmişəm. Ayağın hipotenuza aid olduğunu çox yaxşı xatırlayırlar, amma hansıdır- unudurlar və qarışıq. İmtahanda bildiyiniz kimi səhvin qiyməti itirilmiş xaldır.

Birbaşa təqdim edəcəyim məlumatların riyaziyyatla heç bir əlaqəsi yoxdur. Bu, təxəyyülün təfəkkürü və şifahi-məntiqi ünsiyyət üsulları ilə əlaqələndirilir. Mən bunu birdəfəlik xatırlayıramtərif məlumatları. Onları unutsanız, təqdim olunan üsullardan istifadə edərək həmişə asanlıqla xatırlaya bilərsiniz.

Düzbucaqlı üçbucaqda sinus və kosinusun təriflərini xatırlatmağa icazə verin:

Kosinus Düzbucaqlı üçbucaqdakı iti bucaq bitişik ayağın hipotenuzaya nisbətidir:

Sinus Düzbucaqlı üçbucaqdakı kəskin bucaq qarşı tərəfin hipotenuzaya nisbətidir:

Beləliklə, kosinus sözü ilə hansı assosiasiyalarınız var?

Yəqin ki, hər kəsin öz var 😉Linki yadda saxla:

Beləliklə, ifadə dərhal yaddaşınızda görünəcək -

«… BONŞU ayağın hipotenuzaya nisbəti».

Kosinusun təyini ilə bağlı problem həll edildi.

Düzgün üçbucaqda sinusun tərifini xatırlamaq lazımdırsa, kosinusun tərifini xatırlayaraq, düzgün üçbucaqdakı kəskin bucağın sinüsünün əks tərəfin hipotenuza nisbəti olduğunu asanlıqla müəyyən edə bilərsiniz. Axı, yalnız iki ayaq var, əgər bitişik ayaq kosinus tərəfindən "zəbt edilib", onda yalnız əks ayaq sinus ilə qalır;

Tangens və kotangens haqqında nə demək olar? Qarışıqlıq eynidir. Şagirdlər bunun ayaqların əlaqəsi olduğunu bilirlər, lakin problem hansı birinin hansıya aid olduğunu xatırlamaqdır - ya bitişikin əksinə, ya da əksinə.

Təriflər:

Tangens Düzbucaqlı üçbucaqdakı iti bucaq qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbətidir:

Kotangent Düzbucaqlı üçbucaqdakı iti bucaq qonşu tərəfin əks tərəfə nisbətidir:

Necə xatırlamaq olar? İki yol var. Biri həm də şifahi-məntiqi əlaqədən, digəri isə riyazi əlaqədən istifadə edir.

RİYASİ METOD

Belə bir tərif var - kəskin bucağın tangensi bucağın sinusunun onun kosinusuna nisbətidir:

*Düsulu əzbərlədikdən sonra siz həmişə düzgün üçbucaqdakı iti bucağın tangensinin qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbəti olduğunu müəyyən edə bilərsiniz.

Eynilə.Kəskin bucağın kotangensi bucağın kosinusunun sinusuna nisbətidir:

Belə ki! Bu düsturları xatırlayaraq, həmişə müəyyən edə bilərsiniz:

- düzbucaqlı üçbucaqdakı kəskin bucağın tangensi qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbətidir

— düzbucaqlı üçbucaqda iti bucağın kotangensi bitişik tərəfin qarşı tərəfə nisbətidir.

SÖZ-MƏNTİQ METOD

Tangens haqqında. Linki yadda saxla:

Yəni bu məntiqi əlaqədən istifadə edərək tangensin tərifini xatırlamaq lazımdırsa, onun nə olduğunu asanlıqla xatırlaya bilərsiniz

“...qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbəti”

Kotangens haqqında danışırıqsa, onda tangensin tərifini xatırlayaraq, kotangensin tərifini asanlıqla səsləndirə bilərsiniz -

“... bitişik tərəfin qarşı tərəfə nisbəti”

Veb saytında tangens və kotangensi yadda saxlamaq üçün maraqlı bir hiylə var " Riyazi tandem " , bax.

UNIVERSAL METOD

Siz sadəcə yadda saxlaya bilərsiniz.Ancaq təcrübədən göründüyü kimi, şifahi-məntiqi əlaqələr sayəsində insan yalnız riyazi deyil, məlumatları uzun müddət xatırlayır.

Ümid edirəm material sizin üçün faydalı oldu.

Hörmətlə, Aleksandr Krutitskix

P.S: Sosial şəbəkələrdə sayt haqqında məlumat versəniz minnətdar olaram.

Bu yazıda necə veriləcəyini göstərəcəyik triqonometriyada bucaq və ədədin sinus, kosinus, tangens və kotangens tərifləri. Burada qeydlər haqqında danışacağıq, girişlərə nümunələr verəcəyik və qrafik təsvirlər verəcəyik. Sonda triqonometriyada və həndəsədə sinus, kosinus, tangens və kotangens tərifləri arasında paralel aparaq.

Səhifə naviqasiyası.

Sinus, kosinus, tangens və kotangensin tərifi

Məktəb riyaziyyatı kursunda sinus, kosinus, tangens və kotangens ideyasının necə formalaşdığını görək. Həndəsə dərslərində düz üçbucaqda iti bucağın sinus, kosinus, tangens və kotangens tərifləri verilir. Daha sonra isə fırlanma bucağının sinus, kosinus, tangens və kotangensdən bəhs edən triqonometriya öyrənilir. Bütün bu tərifləri təqdim edək, misallar çəkək və lazımi şərhləri verək.

Düzbucaqlı üçbucaqda iti bucaq

Həndəsə kursundan biz düzbucaqlı üçbucaqda iti bucağın sinus, kosinus, tangens və kotangens təriflərini bilirik. Düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin nisbəti kimi verilir. Onların formulalarını verək.

Tərif.

Düzbucaqlı üçbucaqda iti bucağın sinusu qarşı tərəfin hipotenuzaya nisbətidir.

Tərif.

Düzbucaqlı üçbucaqda iti bucağın kosinusu bitişik ayağın hipotenuzaya nisbətidir.

Tərif.

Düzbucaqlı üçbucaqda iti bucağın tangensi– bu, qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbətidir.

Tərif.

Düzbucaqlı üçbucaqda iti bucağın kotangensi- bu, bitişik tərəfin qarşı tərəfə nisbətidir.

Sinus, kosinus, tangens və kotangens üçün təyinatlar da orada təqdim olunur - müvafiq olaraq sin, cos, tg və ctg.

Məsələn, əgər ABC düzbucaqlı C olan düzbucaqlıdırsa, onda iti A bucağının sinusu BC qarşı tərəfinin AB hipotenuzasına nisbətinə bərabərdir, yəni sin∠A=BC/AB.

Bu təriflər düzgün üçbucağın tərəflərinin məlum uzunluqlarından, həmçinin sinus, kosinus, tangensin məlum qiymətlərindən kəskin bucağın sinus, kosinus, tangens və kotangens dəyərlərini hesablamağa imkan verir. kotangens və tərəflərdən birinin uzunluğu digər tərəflərin uzunluqlarını tapmaq üçün. Məsələn, düzbucaqlı üçbucaqda AC ayağının 3-ə, AB hipotenuzunun isə 7-yə bərabər olduğunu bilsək, onda A iti bucağının kosinusunun qiymətini təriflə hesablaya bilərik: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Fırlanma bucağı

Triqonometriyada bucağa daha geniş baxmağa başlayırlar - fırlanma bucağı anlayışını təqdim edirlər. Fırlanma bucağının böyüklüyü, kəskin bucaqdan fərqli olaraq, 0 ilə 90 dərəcə ilə məhdudlaşmır (və radyanla) fırlanma bucağı −∞-dən +∞-ə qədər istənilən real ədədlə ifadə edilə bilər.

Bu baxımdan, sinus, kosinus, tangens və kotangensin tərifləri kəskin bucaqdan deyil, ixtiyari ölçülü bir bucaqdan - fırlanma bucağından verilir. Onlar A 1 nöqtəsinin x və y koordinatları vasitəsilə verilir, A(1, 0) adlanan başlanğıc nöqtəsi O nöqtəsi ətrafında α bucağı ilə fırlandıqdan sonra gedir - düzbucaqlı Dekart koordinat sisteminin başlanğıcı və vahid dairənin mərkəzi.

Tərif.

Fırlanma bucağının sinüsüα A 1 nöqtəsinin ordinatıdır, yəni sinα=y.

Tərif.

Fırlanma bucağının kosinusuα A 1 nöqtəsinin absisi adlanır, yəni cosα=x.

Tərif.

Fırlanma bucağının tangensiα A 1 nöqtəsinin ordinatının onun absissinə nisbətidir, yəni tanα=y/x.

Tərif.

Fırlanma bucağının kotangensiα - A 1 nöqtəsinin absissinin onun ordinatına nisbəti, yəni ctgα=x/y.

Sinus və kosinus istənilən α bucağı üçün müəyyən edilir, çünki başlanğıc nöqtəsini α bucağı ilə fırlatmaqla əldə edilən nöqtənin absisini və ordinatını həmişə müəyyən edə bilərik. Lakin tangens və kotangens heç bir bucaq üçün müəyyən edilmir. Başlanğıc nöqtəsinin sıfır absis (0, 1) və ya (0, −1) olan nöqtəyə getdiyi α bucaqları üçün tangens müəyyən edilmir və bu, 90°+180° k, k∈Z (π) bucaqlarında baş verir. /2+π·k rad). Həqiqətən də, bu cür fırlanma bucaqlarında tgα=y/x ifadəsinin mənası yoxdur, çünki o, sıfıra bölməni ehtiva edir. Kotangensə gəldikdə, başlanğıc nöqtəsinin sıfır ordinatı (1, 0) və ya (−1, 0) olan nöqtəyə getdiyi α bucaqları üçün müəyyən edilmir və bu, 180° k, k ∈Z bucaqları üçün baş verir. (π·k rad).

Beləliklə, sinus və kosinus istənilən fırlanma bucaqları üçün, tangens 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) istisna olmaqla, bütün bucaqlar üçün, kotangent isə 180° ·k istisna olmaqla, bütün bucaqlar üçün müəyyən edilir. , k∈Z (π·k rad).

Təriflərə bizə artıq məlum olan sin, cos, tg və ctg təyinatları daxildir, onlar həmçinin fırlanma bucağının sinusunu, kosinusunu, tangensini və kotangensini təyin etmək üçün istifadə olunur (bəzən tangens və kotangensə uyğun tan və kotangens təyinatlarını tapa bilərsiniz) . Beləliklə, 30 dərəcə fırlanma bucağının sinusu sin30° kimi yazıla bilər, tg(−24°17′) və ctgα qeydləri fırlanma bucağının tangensinə −24 dərəcə 17 dəqiqə və fırlanma bucağının kotangensi α uyğun gəlir. . Xatırladaq ki, bucağın radian ölçüsünü yazarkən "rad" təyinatı çox vaxt buraxılır. Məsələn, üç pi rad fırlanma bucağının kosinusu adətən cos3·π ilə işarələnir.

Bu mətləbin yekununda qeyd etmək yerinə düşər ki, fırlanma bucağının sinus, kosinus, tangens və kotangensdən danışarkən çox vaxt “fırlanma bucağı” ifadəsi və ya “fırlanma” sözü buraxılır. Yəni, adətən “fırlanma bucağının sinusu alfa” ifadəsi əvəzinə “alfa bucağının sinusu” və ya daha qısa “sine alfa” ifadəsi istifadə olunur. Eyni şey kosinus, tangens və kotangensə də aiddir.

Onu da deyəcəyik ki, düzbucaqlı üçbucaqda iti bucağın sinus, kosinus, tangens və kotangens tərifləri 0-dan 90 dərəcəyə qədər dəyişən fırlanma bucağının sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi üçün verilən təriflərə uyğundur. Biz bunu əsaslandıracağıq.

Nömrələri

Tərif.

Ədədin sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi t fırlanma bucağının müvafiq olaraq t radyanla sinusuna, kosinusuna, tangensinə və kotangensinə bərabər olan ədəddir.

Məsələn, tərifinə görə 8·π ədədinin kosinusu 8·π rad bucağının kosinusuna bərabər ədəddir. Və 8·π rad bucağının kosinusu birə bərabərdir, ona görə də 8·π ədədinin kosinusu 1-ə bərabərdir.

Ədədin sinusunu, kosinusunu, tangensini və kotangensini təyin etmək üçün başqa bir yanaşma var. O, ondan ibarətdir ki, hər bir həqiqi t ədədi vahid dairənin mərkəzi ilə düzbucaqlı koordinat sisteminin başlanğıcında olan nöqtə ilə əlaqələndirilir və bu nöqtənin koordinatları vasitəsilə sinus, kosinus, tangens və kotangens təyin olunur. Buna daha ətraflı baxaq.

Həqiqi ədədlərlə çevrədəki nöqtələr arasında uyğunluğun necə qurulduğunu göstərək:

• 0 rəqəminə A(1, 0) başlanğıc nöqtəsi verilir;
• müsbət ədəd t vahid dairənin nöqtəsi ilə əlaqələndirilir, əgər biz dairə boyunca başlanğıc nöqtədən saat əqrəbinin əksinə hərəkət etsək və t uzunluğunda bir yol getsək, əldə edəcəyik;
• mənfi t ədədi vahid dairənin nöqtəsi ilə əlaqələndirilir, əgər biz dairə boyunca başlanğıc nöqtədən saat əqrəbi istiqamətində hərəkət etsək və |t| uzunluğunda bir yol getsək, əldə edəcəyik. .

İndi t ədədinin sinus, kosinus, tangens və kotangens təriflərinə keçirik. Fərz edək ki, t ədədi A 1 (x, y) çevrəsindəki nöqtəyə uyğun gəlir (məsələn, &pi/2; rəqəmi A 1 (0, 1) nöqtəsinə uyğun gəlir).

Tərif.

Nömrənin sinusu t vahid dairədə t ədədinə uyğun gələn nöqtənin ordinatıdır, yəni sint=y.

Tərif.

Ədədin kosinusu t vahid çevrənin t ədədinə uyğun gələn nöqtəsinin absisi adlanır, yəni xərc=x.

Tərif.

Ədədin tangensi t t ədədinə uyğun gələn vahid çevrənin üzərindəki ordinatın absisə nisbətidir, yəni tgt=y/x. Başqa bir ekvivalent tənzimləmədə t ədədinin tangensi bu ədədin sinusunun kosinusa nisbətidir, yəni tgt=sint/cost.

Tərif.

Ədədin kotangensi t absislərin vahid çevrənin t ədədinə uyğun gələn nöqtənin ordinatına nisbətidir, yəni ctgt=x/y. Başqa bir düstur belədir: t ədədinin tangensi t ədədinin kosinusunun t ədədinin sinusuna nisbətidir: ctgt=cost/sint.

Burada qeyd edirik ki, indicə verilmiş təriflər bu paraqrafın əvvəlində verilmiş tərifə uyğundur. Həqiqətən də vahid dairənin üzərində t ədədinə uyğun gələn nöqtə başlanğıc nöqtəni t radian bucağı ilə fırlatmaqla əldə edilən nöqtə ilə üst-üstə düşür.

Bu məqama hələ də aydınlıq gətirməyə dəyər. Tutaq ki, bizdə sin3 girişi var. Söhbət 3 rəqəminin sinusundan gedir, yoxsa 3 radyan fırlanma bucağının sinusundan getdiyini necə başa düşə bilərik? Bu, adətən kontekstdən aydın olur, əks halda çox güman ki, fundamental əhəmiyyət kəsb etmir.

Bucaq və ədədi arqumentin triqonometrik funksiyaları

Əvvəlki bənddə verilən təriflərə görə, hər bir fırlanma bucağı α çox xüsusi qiymətə sinα, həmçinin cosα dəyərinə uyğun gəlir. Bundan əlavə, 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) xaricində bütün fırlanma bucaqları tgα qiymətlərinə, 180°k-dən başqa qiymətlər isə k∈Z (πk rad ) – dəyərlərə uyğundur. ctgα. Buna görə də sinα, cosα, tanα və ctgα α bucağının funksiyalarıdır. Başqa sözlə, bunlar bucaq arqumentinin funksiyalarıdır.

Ədədi arqumentin sinus, kosinus, tangens və kotangens funksiyaları haqqında da eyni şəkildə danışa bilərik. Həqiqətən də, hər bir real ədəd t çox xüsusi dəyər sint, eləcə də dəyəri uyğundur. Bundan əlavə, π/2+π·k, k∈Z-dən başqa bütün rəqəmlər tgt dəyərlərinə, π·k, k∈Z isə ctgt dəyərlərinə uyğun gəlir.

Sinus, kosinus, tangens və kotangens funksiyaları adlanır əsas triqonometrik funksiyalar.

Adətən kontekstdən aydın olur ki, biz bucaq arqumentinin triqonometrik funksiyaları ilə məşğul oluruq, yoxsa ədədi arqument. Əks halda, biz müstəqil dəyişəni həm bucaq ölçüsü (bucaq arqumenti), həm də ədədi arqument kimi düşünə bilərik.

Bununla belə, məktəbdə biz əsasən ədədi funksiyaları, yəni arqumentləri, eləcə də onlara uyğun funksiya qiymətləri ədəd olan funksiyaları öyrənirik. Buna görə də, əgər biz konkret olaraq funksiyalardan danışırıqsa, onda triqonometrik funksiyaları ədədi arqumentlərin funksiyaları kimi nəzərdən keçirmək məqsədəuyğundur.

Həndəsə və triqonometriyadan təriflər arasında əlaqə

Fırlanma bucağını α-nın 0-dan 90 dərəcəyə qədər olduğunu nəzərə alsaq, onda triqonometriya kontekstində fırlanma bucağının sinus, kosinus, tangens və kotangens tərifləri sinus, kosinus, tangens və kotangens tərifləri ilə tam uyğundur. həndəsə kursunda verilən düzbucaqlı üçbucaqdakı iti bucaq. Gəlin buna haqq qazandıraq.

Vahid çevrəni Oxy düzbucaqlı Dekart koordinat sistemində təsvir edək. A(1, 0) başlanğıc nöqtəsini qeyd edək. Onu 0 ilə 90 dərəcə arasında dəyişən α bucağı ilə fırladırıq, A 1 (x, y) nöqtəsini alırıq. A 1 nöqtəsindən Ox oxuna A 1 H perpendikulyarını salaq.

Düzgün üçbucaqda A 1 OH bucağının α fırlanma bucağına, bu bucağa bitişik olan OH ayağının uzunluğunun A 1 nöqtəsinin absissinə bərabər olduğunu, yəni |OH olduğunu görmək asandır. |=x, bucağa qarşı olan A 1 H ayağının uzunluğu A 1 nöqtəsinin ordinatına, yəni |A 1 H|=y, OA 1 hipotenuzunun uzunluğu isə birinə bərabərdir, vahid dairənin radiusu olduğundan. Onda həndəsənin tərifinə görə, A 1 OH düzbucaqlı üçbucağında iti bucağın α sinusu əks ayağın hipotenuzaya nisbətinə bərabərdir, yəni sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Və triqonometriyadan verilən tərifə görə, fırlanma bucağının α sinusu A 1 nöqtəsinin ordinatına bərabərdir, yəni sinα=y. Bu onu göstərir ki, düzbucaqlı üçbucaqda iti bucağın sinusunu təyin etmək α 0-dan 90 dərəcəyə qədər olduqda fırlanma bucağının α sinusunu təyin etməyə bərabərdir.

Eynilə, α iti bucağının kosinus, tangens və kotangens təriflərinin α fırlanma bucağının kosinus, tangensi və kotangens təriflərinə uyğun olduğunu göstərmək olar.

Biblioqrafiya.

1. Həndəsə. 7-9 sinif: dərs kitabı ümumi təhsil üçün qurumlar / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev və b.]. - 20-ci nəşr. M.: Təhsil, 2010. - 384 s.: xəstə. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Həndəsə: Dərslik. 7-9 siniflər üçün. ümumi təhsil qurumlar / A. V. Poqorelov. - 2-ci nəşr - M.: Təhsil, 2001. - 224 s.: ill. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Cəbr və elementar funksiyalar: Orta məktəbin 9-cu sinif şagirdləri üçün dərslik / E. S. Koçetkov, E. S. Koçetkova; Fizika-riyaziyyat elmləri doktoru O. N. Qolovin tərəfindən redaktə edilmişdir - 4-cü nəşr. M.: Təhsil, 1969.
4. Cəbr: Dərs kitabı 9-cu sinif üçün. orta məktəb/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovski - M.: Təhsil, 1990. - 272 s.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
5. Cəbr və təhlilin başlanğıcı: Proc. 10-11 siniflər üçün. ümumi təhsil qurumlar / A. N. Kolmoqorov, A. M. Abramov, Yu. Dudnitsyn və başqaları; Ed. A. N. Kolmoqorov - 14-cü nəşr - M.: Təhsil, 2004. - 384 s.: ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkoviç A.G. Cəbr və analizin başlanğıcı. 10-cu sinif. 2 hissədə 1-ci hissə: ümumi təhsil müəssisələri üçün dərslik (profil səviyyəsi) / A. G. Mordkoviç, P. V. Semenov. - 4-cü nəşr, əlavə edin. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Cəbr və riyazi analizin başlanğıcı. 10-cu sinif: dərslik. ümumi təhsil üçün qurumlar: əsas və profil. səviyyələri /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. İ. Şabunin]; tərəfindən redaktə edilmiş A. B. Jizhchenko. - 3-cü nəşr. - İ.: Təhsil, 2010.- 368 s.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Başmakov M.I. Cəbr və təhlilin başlanğıcları: Dərslik. 10-11 siniflər üçün. orta məktəb - 3-cü nəşr. - M.: Təhsil, 1993. - 351 s.: xəstə. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Qusev V. A., Mordkoviç A. G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə daxil olanlar üçün dərslik): Proc. müavinət.- M.; Daha yüksək məktəb, 1984.-351 s., xəstə.

Triqonometriya triqonometrik funksiyaları və onların həndəsədə istifadəsini öyrənən riyaziyyat elminin bir sahəsidir. Triqonometriyanın inkişafı qədim Yunanıstanda başlamışdır. Orta əsrlərdə Yaxın Şərq və Hindistan alimləri bu elmin inkişafına mühüm töhfələr vermişlər.

Bu məqalə triqonometriyanın əsas anlayışlarına və təriflərinə həsr edilmişdir. Burada əsas triqonometrik funksiyaların tərifləri müzakirə olunur: sinus, kosinus, tangens və kotangens. Onların mənası həndəsə kontekstində izah edilir və təsvir edilir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Əvvəlcə arqumenti bucaq olan triqonometrik funksiyaların tərifləri düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin nisbəti ilə ifadə edilirdi.

Triqonometrik funksiyaların tərifləri

Bucağın sinüsü (sin α) bu bucağın qarşısındakı ayağın hipotenuzaya nisbətidir.

Bucağın kosinusu (cos α) - bitişik ayağın hipotenuzaya nisbəti.

Bucaq tangensi (t g α) - qarşı tərəfin bitişik tərəfə nisbəti.

Bucaq kotangenti (c t g α) - bitişik tərəfin qarşı tərəfə nisbəti.

Bu təriflər düzbucaqlı üçbucağın iti bucağı üçün verilmişdir!

Bir illüstrasiya verək.

Düzbucaqlı C olan ABC üçbucağında A bucağının sinusu BC ayağının AB hipotenuzasına nisbətinə bərabərdir.

Sinus, kosinus, tangens və kotangensin tərifləri bu funksiyaların qiymətlərini üçbucağın tərəflərinin məlum uzunluqlarından hesablamağa imkan verir.

Xatırlamaq vacibdir!

Sinus və kosinus dəyərlərinin diapazonu -1-dən 1-ə qədərdir. Başqa sözlə, sinus və kosinus -1-dən 1-ə qədər dəyərlər alır. Tangens və kotangensin dəyər diapazonu bütün say xəttidir, yəni bu funksiyalar istənilən qiymətləri qəbul edə bilər.

Yuxarıda verilmiş təriflər kəskin bucaqlara aiddir. Triqonometriyada fırlanma bucağı anlayışı təqdim olunur, onun dəyəri kəskin bucaqdan fərqli olaraq 0 ilə 90 dərəcə ilə məhdudlaşmır, dərəcə və ya radyanla fırlanma bucağı - ∞-dən + ∞-ə qədər istənilən real ədədlə ifadə edilir. .

Bu kontekstdə ixtiyari böyüklükdə bir bucağın sinusunu, kosinusunu, tangensini və kotangensini təyin edə bilərik. Mərkəzi Dekart koordinat sisteminin başlanğıcında olan vahid çevrəni təsəvvür edək.

Koordinatları (1, 0) olan ilkin A nöqtəsi vahid dairənin mərkəzi ətrafında müəyyən α bucağı ilə fırlanır və A 1 nöqtəsinə keçir. Tərif A 1 (x, y) nöqtəsinin koordinatları baxımından verilir.

Fırlanma bucağının sinüsü (günahı).

α fırlanma bucağının sinusu A 1 (x, y) nöqtəsinin ordinatıdır. sin α = y

Fırlanma bucağının kosinusu (cos).

α fırlanma bucağının kosinusu A 1 (x, y) nöqtəsinin absisidir. cos α = x

Fırlanma bucağının tangensi (tg).

α fırlanma bucağının tangensi A 1 (x, y) nöqtəsinin ordinatının onun absissinə nisbətidir. t g α = y x

Fırlanma bucağının kotangenti (ctg).

α fırlanma bucağının kotangensi A 1 (x, y) nöqtəsinin absissinin onun ordinatına nisbətidir. c t g α = x y

Sinus və kosinus istənilən fırlanma bucağı üçün müəyyən edilir. Bu məntiqlidir, çünki fırlanmadan sonra nöqtənin absisi və ordinatını istənilən bucaqda təyin etmək olar. Tangens və kotangens ilə vəziyyət fərqlidir. Fırlanmadan sonra bir nöqtə sıfır absis (0, 1) və (0, - 1) olan bir nöqtəyə getdikdə, tangens qeyri-müəyyəndir. Belə hallarda t g α = y x tangensi ifadəsinin sadəcə mənası yoxdur, çünki o, sıfıra bölməni ehtiva edir. Vəziyyət kotangentlə də oxşardır. Fərq ondadır ki, nöqtənin ordinatının sıfıra getdiyi hallarda kotangens müəyyən edilmir.

Xatırlamaq vacibdir!

Sinus və kosinus istənilən α bucaqları üçün müəyyən edilir.

Tangens α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) istisna olmaqla bütün bucaqlar üçün müəyyən edilir.

Kotangent α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) istisna olmaqla, bütün bucaqlar üçün müəyyən edilir.

Praktik nümunələri həll edərkən “fırlanma bucağının sinüsü α” deməyin. “Fırlanma bucağı” sözləri sadəcə olaraq çıxarılıb, o deməkdir ki, kontekstdən nəyin müzakirə olunduğu artıq aydındır.

Nömrələri

Ədədin fırlanma bucağının deyil, sinus, kosinus, tangens və kotangensin tərifi haqqında nə demək olar?

Ədədin sinusu, kosinusu, tangensi, kotangensi

Ədədin sinusu, kosinusu, tangensi və kotangensi t müvafiq olaraq sinus, kosinus, tangens və kotangensə bərabər olan ədəddir t radian.

Məsələn, 10 π ədədinin sinusu 10 π rad fırlanma bucağının sinusuna bərabərdir.

Ədədin sinusunu, kosinusunu, tangensini və kotangensini təyin etmək üçün başqa bir yanaşma var. Gəlin buna daha yaxından nəzər salaq.

İstənilən real rəqəm t Vahid çevrədəki nöqtə düzbucaqlı Dekart koordinat sisteminin başlanğıcındakı mərkəzlə əlaqələndirilir. Bu nöqtənin koordinatları vasitəsilə sinus, kosinus, tangens və kotangens təyin olunur.

Dairənin başlanğıc nöqtəsi koordinatları (1, 0) olan A nöqtəsidir.

Müsbət nömrə t

Mənfi nömrə t dairənin ətrafında saat əqrəbinin əksinə hərəkət edərsə və t yolunu keçərsə, başlanğıc nöqtəsinin gedəcəyi nöqtəyə uyğun gəlir.

İndi ədədlə çevrə üzərindəki nöqtə arasında əlaqə qurulduğundan, sinus, kosinus, tangens və kotangensin tərifinə keçirik.

t-nin sinüsü (günahı).

Bir ədədin sinusu t- ədədə uyğun vahid çevrə üzərindəki nöqtənin ordinatı t. sin t = y

t-nin kosinusu (cos).

Ədədin kosinusu t- ədədə uyğun vahid dairənin nöqtəsinin absisi t. cos t = x

Tangensi (tg) t

Ədədin tangensi t- ədədə uyğun gələn vahid çevrədəki nöqtənin ordinatasının absissinə nisbəti t. t g t = y x = sin t cos t

Ən son təriflər bu paraqrafın əvvəlində verilmiş tərifə uyğundur və ona zidd deyil. Nömrəyə uyğun olan dairəni göstərin t, bucaqla çevrildikdən sonra başlanğıc nöqtəsinin getdiyi nöqtə ilə üst-üstə düşür t radian.

Bucaq və ədədi arqumentin triqonometrik funksiyaları

α bucağının hər bir qiyməti bu bucağın sinusunun və kosinusunun müəyyən dəyərinə uyğundur. α = 90 ° + 180 ° k-dən başqa bütün α bucaqları kimi, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) müəyyən bir tangens dəyərinə uyğundur. Kotangent, yuxarıda qeyd edildiyi kimi, α ​​= 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) istisna olmaqla, bütün α üçün müəyyən edilir.

Deyə bilərik ki, sin α, cos α, t g α, c t g α alfa bucağının funksiyaları və ya bucaq arqumentinin funksiyalarıdır.

Eynilə, biz ədədi arqumentin funksiyaları kimi sinus, kosinus, tangens və kotangens haqqında danışa bilərik. Hər real rəqəm tədədin sinusunun və ya kosinusunun müəyyən dəyərinə uyğundur t. π 2 + π · k, k ∈ Z-dən başqa bütün ədədlər tangens dəyərinə uyğundur. Kotangens, eynilə, π · k, k ∈ Z istisna olmaqla, bütün ədədlər üçün müəyyən edilir.

Triqonometriyanın əsas funksiyaları

Sinus, kosinus, tangens və kotangens əsas triqonometrik funksiyalardır.

Adətən kontekstdən triqonometrik funksiyanın hansı arqumenti ilə (bucaq arqumenti və ya ədədi arqument) bəhs etdiyimiz aydın olur.

Ən əvvəldə verilən təriflərə və 0-dan 90 dərəcəyə qədər olan alfa bucağına qayıdaq. Sinus, kosinus, tangens və kotangensin triqonometrik tərifləri düzbucaqlı üçbucağın aspekt nisbətləri ilə verilən həndəsi təriflərə tamamilə uyğundur. Gəlin onu göstərək.

Düzbucaqlı Dekart koordinat sistemində mərkəzi olan vahid çevrə götürək. A (1, 0) başlanğıc nöqtəsini 90 dərəcəyə qədər bucaqla fırladıq və nəticədə A 1 (x, y) nöqtəsindən absis oxuna perpendikulyar çəkək. Yaranan düzbucaqlı üçbucaqda A 1 O H bucağı fırlanma bucağına α, ayağının O H uzunluğu A 1 (x, y) nöqtəsinin absissinə bərabərdir. Bucaq qarşısındakı ayağın uzunluğu A 1 (x, y) nöqtəsinin ordinatına, hipotenuzanın uzunluğu isə vahid çevrənin radiusu olduğuna görə birə bərabərdir.

Həndəsədən verilən tərifə uyğun olaraq, α bucağının sinusu qarşı tərəfin hipotenuzaya nisbətinə bərabərdir.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Bu o deməkdir ki, düzbucaqlı üçbucaqda kəskin bucağın sinusunun aspekt nisbəti vasitəsilə təyin edilməsi alfa 0-dan 90 dərəcəyə qədər olan diapazonda fırlanma bucağının α sinusunu təyin etməyə bərabərdir.

Eynilə, təriflərin uyğunluğu kosinus, tangens və kotangens üçün göstərilə bilər.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın