Müalicə

Bir funksiyanın ən böyük dəyəri nədir. Bir intervalda funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini necə tapmaq olar

Təcrübədə, funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini hesablamaq üçün törəmədən istifadə etmək olduqca yaygındır. Xərcləri minimuma endirmək, mənfəəti artırmaq, istehsala optimal yükü hesablamaq və s. Bu cür problemləri düzgün həll etmək üçün bir funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərlərinin nə olduğunu yaxşı başa düşməlisiniz.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Tipik olaraq, biz bu dəyərləri müəyyən bir x intervalında təyin edirik, bu da öz növbəsində funksiyanın bütün sahəsinə və ya onun bir hissəsinə uyğun ola bilər. Seqment kimi ola bilər [a; b ] , və açıq interval (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), sonsuz interval (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) və ya sonsuz interval - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Bu materialda bir dəyişən y=f(x) y = f (x) ilə açıq şəkildə müəyyən edilmiş funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərinin necə hesablanacağını sizə xəbər verəcəyik.

Əsas təriflər

Həmişə olduğu kimi, əsas təriflərin formalaşdırılması ilə başlayaq.

Tərif 1

y = f (x) funksiyasının müəyyən x intervalında ən böyük qiyməti m a x y = f (x 0) x ∈ X qiymətidir ki, istənilən x x ∈ X, x ≠ x 0 dəyəri üçün f (x) bərabərsizliyini edir. ≤ f (x) etibarlı 0) .

Tərif 2

y = f (x) funksiyasının müəyyən x intervalında ən kiçik qiyməti m i n x ∈ X y = f (x 0) qiymətidir ki, istənilən x ∈ X, x ≠ x 0 qiyməti üçün f(X f) bərabərsizliyini yaradır. (x) ≥ f (x 0) .

Bu təriflər olduqca açıqdır. Daha sadə olsa da, bunu deyə bilərik: funksiyanın ən böyük dəyəri onun absis x 0-da məlum intervalda ən böyük qiymətidir, ən kiçiki isə x 0-da eyni intervalda qəbul edilən ən kiçik qiymətdir.

Tərif 3

Stasionar nöqtələr funksiyanın arqumentinin törəməsinin 0-a çevrildiyi qiymətlərdir.

Stasionar nöqtələrin nə olduğunu niyə bilməliyik? Bu suala cavab vermək üçün Fermat teoremini xatırlamaq lazımdır. Buradan belə nəticə çıxır ki, stasionar nöqtə diferensiallanan funksiyanın ekstremumunun yerləşdiyi nöqtədir (yəni onun yerli minimumu və ya maksimumu). Nəticə etibarilə, funksiya müəyyən bir intervalda ən kiçik və ya ən böyük dəyəri stasionar nöqtələrdən birində alacaq.

Funksiya həm də funksiyanın özünün təyin olunduğu və ilk törəməsinin olmadığı nöqtələrdə ən böyük və ya ən kiçik qiyməti ala bilər.

Bu mövzunu öyrənərkən ortaya çıxan ilk sual: bütün hallarda verilmiş intervalda funksiyanın ən böyük və ya ən kiçik qiymətini müəyyən edə bilərikmi? Xeyr, verilmiş intervalın sərhədləri tərif sahəsinin sərhədləri ilə üst-üstə düşdükdə və ya sonsuz intervalla məşğul olarkən bunu edə bilmərik. Bu da olur ki, verilmiş seqmentdə və ya sonsuzluqda funksiya sonsuz kiçik və ya sonsuz böyük qiymətlər alacaq. Bu hallarda ən böyük və/və ya ən kiçik dəyəri müəyyən etmək mümkün deyil.

Bu nöqtələr qrafiklərdə təsvir edildikdən sonra daha aydın olacaq:

Birinci rəqəm bizə seqmentdə yerləşən stasionar nöqtələrdə ən böyük və ən kiçik qiymətləri (m a x y və m i n y) qəbul edən funksiyanı göstərir [ - 6 ; 6].

İkinci qrafikdə göstərilən işi ətraflı nəzərdən keçirək. Seqmentin qiymətini [ 1 ; 6 ] və biz tapırıq ki, funksiyanın maksimum qiyməti intervalın sağ sərhəddində absis olan nöqtədə, minimum isə stasionar nöqtədə əldə ediləcək.

Üçüncü şəkildə nöqtələrin absisləri seqmentin sərhəd nöqtələrini təmsil edir [ - 3 ; 2]. Onlar verilmiş funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətinə uyğundur.

İndi dördüncü şəkilə baxaq. Onda funksiya açıq intervalda (- 6; 6) stasionar nöqtələrdə m a x y (ən böyük qiymət) və m i n y (ən kiçik qiymət) qəbul edir.

[1] intervalını götürsək; 6), onda funksiyanın ən kiçik qiymətinin stasionar nöqtədə əldə ediləcəyini söyləyə bilərik. Ən böyük dəyər bizə məlum olmayacaq. Funksiya maksimum dəyərini x-də 6-ya bərabər götürə bilərdi, əgər x = 6 intervala aid idisə. Bu, 5-ci qrafikdə göstərilən vəziyyətdir.

Qrafik 6-da bu funksiya intervalın sağ sərhəddində (- 3; 2 ] ən kiçik qiymətini alır və biz ən böyük qiymət haqqında dəqiq nəticələr çıxara bilmirik.

Şəkil 7-də görürük ki, funksiya 1-ə bərabər absissə malik stasionar nöqtədə m a x y olacaqdır. Funksiya c intervalının sərhəddində minimum dəyərinə çatacaq sağ tərəf. Mənfi sonsuzluqda funksiya dəyərləri asimptotik olaraq y = 3-ə yaxınlaşacaq.

x ∈ 2 intervalını götürsək; + ∞ , onda görərik ki, verilmiş funksiya onun üzərində nə ən kiçik, nə də ən böyük qiyməti almayacaq. Əgər x 2-yə meyl edirsə, onda funksiyanın dəyərləri mənfi sonsuzluğa meyl edəcək, çünki x = 2 düz xətti şaquli asimptotdur. Əgər absis artı sonsuzluğa meyllidirsə, onda funksiya dəyərləri asimptotik olaraq y = 3-ə yaxınlaşacaq. Şəkil 8-də göstərilən vəziyyət tam olaraq budur.

Bu paraqrafda biz müəyyən seqmentdə funksiyanın ən böyük və ya ən kiçik qiymətini tapmaq üçün yerinə yetirilməli olan hərəkətlərin ardıcıllığını təqdim edəcəyik.

Əvvəlcə funksiyanın tərif sahəsini tapaq. Şərtdə göstərilən seqmentin ona daxil olub-olmadığını yoxlayaq.
İndi bu seqmentdə birinci törəmənin olmadığı nöqtələri hesablayaq. Çox vaxt onlar arqumenti modul işarəsi altında yazılmış funksiyalarda və ya eksponenti fraksiya rasional ədəd olan güc funksiyalarında tapıla bilər.
Sonra, verilmiş seqmentdə hansı stasionar nöqtələrin düşəcəyini öyrənəcəyik. Bunun üçün funksiyanın törəməsini hesablamaq, sonra onu 0-a bərabərləşdirmək və nəticədə yaranan tənliyi həll etmək, sonra isə müvafiq kökləri seçmək lazımdır. Bir stasionar nöqtə əldə etməsək və ya onlar verilmiş seqmentə düşmürsə, növbəti mərhələyə keçirik.
Verilmiş stasionar nöqtələrdə (əgər varsa) və ya birinci törəmənin olmadığı nöqtələrdə (əgər varsa) funksiyanın hansı dəyərləri alacağını müəyyənləşdiririk və ya x = a və dəyərləri hesablayırıq. x = b.
5. Bir sıra funksiya qiymətlərimiz var ki, indi onlardan ən böyüyü və ən kiçiyi seçməliyik. Bunlar tapmalı olduğumuz funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərləri olacaq.

Problemləri həll edərkən bu alqoritmi necə düzgün tətbiq edəcəyimizi görək.

Misal 1

Vəziyyət: y = x 3 + 4 x 2 funksiyası verilmişdir. Seqmentlər üzrə onun ən böyük və ən kiçik qiymətlərini təyin edin [ 1 ; 4 ] və [ - 4 ; - 1].

Həll:

Verilmiş funksiyanın tərif sahəsini tapmaqdan başlayaq. Bu halda, 0-dan başqa bütün həqiqi ədədlərin çoxluğu olacaq. Başqa sözlə, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Şərtdə göstərilən hər iki seqment tərif sahəsinin daxilində olacaq.

İndi funksiyanın törəməsini kəsr diferensiasiyası qaydasına əsasən hesablayırıq:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Öyrəndik ki, funksiyanın törəməsi seqmentlərin bütün nöqtələrində mövcud olacaq [ 1 ; 4 ] və [ - 4 ; - 1].

İndi funksiyanın stasionar nöqtələrini təyin etməliyik. Bunu x 3 - 8 x 3 = 0 tənliyindən istifadə edərək edək. Onun yalnız bir həqiqi kökü var, o da 2. O, funksiyanın stasionar nöqtəsi olacaq və birinci seqmentə düşəcək [1; 4].

Birinci seqmentin sonunda və bu nöqtədə funksiyanın dəyərlərini hesablayaq, yəni. x = 1, x = 2 və x = 4 üçün:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Tapdıq ki, m a x y x ∈ funksiyasının ən böyük qiyməti [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 x = 1-də əldə ediləcək və ən kiçik m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – x = 2-də.

İkinci seqment tək stasionar nöqtəni ehtiva etmir, buna görə də funksiya dəyərlərini yalnız verilmiş seqmentin sonunda hesablamalıyıq:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Bu o deməkdir ki, m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Cavab: Seqment üçün [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , seqment üçün [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Şəkilə baxın:

Bu metodu öyrənməzdən əvvəl sizə birtərəfli həddi və sonsuzluqdakı həddi necə düzgün hesablamağı nəzərdən keçirməyi, həmçinin onları tapmaq üçün əsas üsulları öyrənməyi məsləhət görürük. Açıq və ya sonsuz intervalda funksiyanın ən böyük və/və ya ən kiçik qiymətini tapmaq üçün aşağıdakı addımları ardıcıllıqla yerinə yetirin.

Əvvəlcə verilmiş intervalın bu funksiyanın təyini sahəsinin alt çoxluğu olub olmadığını yoxlamaq lazımdır.
Tələb olunan intervalda olan və birinci törəmənin mövcud olmadığı bütün nöqtələri müəyyən edək. Onlar adətən arqumentin modul işarəsinə daxil olduğu funksiyalar və fraksiya rasional eksponenti olan güc funksiyaları üçün baş verir. Bu nöqtələr yoxdursa, növbəti mərhələyə keçə bilərsiniz.
İndi hansı stasionar nöqtələrin verilmiş intervala düşəcəyini müəyyən edək. Əvvəlcə törəməni 0-a bərabərləşdiririk, tənliyi həll edirik və uyğun kökləri seçirik. Tək stasionar nöqtəmiz yoxdursa və ya müəyyən edilmiş intervala düşmürsə, dərhal sonrakı hərəkətlərə davam edirik. Onlar intervalın növü ilə müəyyən edilir.

Əgər interval [ a ; b) , onda funksiyanın x = a nöqtəsindəki qiymətini və lim x → b birtərəfli limitini hesablamalıyıq - 0 f (x) .
Əgər interval (a; b ] formasına malikdirsə, onda funksiyanın x = b nöqtəsindəki qiymətini və lim x → a + 0 f (x) birtərəfli limitini hesablamalıyıq.
Əgər interval (a; b) formasına malikdirsə, onda lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) birtərəfli hədlərini hesablamalıyıq.
Əgər interval [ a ; + ∞), onda biz x = a nöqtəsindəki dəyəri və üstəgəl sonsuzluqdakı limiti hesablamalıyıq lim x → + ∞ f (x) .
Əgər interval (- ∞ ; b ] ) kimi görünürsə, x = b nöqtəsindəki qiyməti və mənfi sonsuzluqdakı limiti lim x → - ∞ f (x) hesablayırıq.
Əgər - ∞ ; b , onda birtərəfli həddi lim x → b - 0 f (x) və mənfi sonsuzluqdakı həddi lim x → - ∞ f (x) hesab edirik.
Əgər - ∞; + ∞ , onda mənfi və üstəgəl sonsuzluğun hədlərini nəzərə alırıq lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

Sonda, əldə edilmiş funksiya dəyərləri və hədləri əsasında bir nəticə çıxarmaq lazımdır. Burada bir çox variant var. Beləliklə, əgər birtərəfli hədd mənfi sonsuzluğa və ya üstəgəl sonsuzluğa bərabərdirsə, o zaman dərhal aydın olur ki, funksiyanın ən kiçik və ən böyük dəyərləri haqqında heç nə demək olmaz. Aşağıda bir tipik nümunəyə baxacağıq. Ətraflı təsvirlər nəyin nə olduğunu anlamağa kömək edəcək. Lazım gələrsə, materialın birinci hissəsində Şəkil 4 - 8-ə qayıda bilərsiniz.

Misal 2

Şərt: verilmiş funksiya y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Onun ən böyük və ən kiçik qiymətini intervallarda hesablayın - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .

Həll

Hər şeydən əvvəl funksiyanın tərif sahəsini tapırıq. Kəsrin məxrəcində 0-a çevrilməməli olan kvadrat üçbucaq var:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Şərtdə göstərilən bütün intervalların aid olduğu funksiyanın təyini oblastını əldə etdik.

İndi funksiyanı fərqləndirək və əldə edək:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Nəticə etibarilə, funksiyanın törəmələri onun bütün tərif sahəsi boyunca mövcuddur.

Gəlin stasionar nöqtələrin tapılmasına keçək. x = - 1 2 olduqda funksiyanın törəməsi 0 olur. Bu (- 3 ; 1 ] və (- 3 ; 2) intervallarında yerləşən stasionar nöqtədir.

(- ∞ ; - 4 ] intervalı üçün x = - 4-də funksiyanın qiymətini, həmçinin mənfi sonsuzluqdakı limiti hesablayaq:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

3 e 1 6 - 4 > - 1 olduğundan, bu o deməkdir ki, m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Bu, bizə ən kiçik qiymətini unikal şəkildə təyin etməyə imkan vermir. Biz yalnız bu nəticəyə gələ bilərik ki, - 1-dən aşağıda məhdudiyyət var, çünki funksiya bu dəyərə mənfi sonsuzluqda asimptotik şəkildə yaxınlaşır.

İkinci intervalın özəlliyi ondadır ki, orada nə bir stasionar nöqtə, nə də bir dənə də sərt sərhəd var. Nəticə etibarilə biz funksiyanın nə böyük, nə də ən kiçik qiymətini hesablaya bilməyəcəyik. Mənfi sonsuzluq həddini təyin etdikdən və arqument sol tərəfdə - 3-ə meyl etdiyi üçün biz yalnız dəyərlər intervalını alırıq:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Bu o deməkdir ki, funksiya dəyərləri intervalda yerləşəcək - 1; +∞

Üçüncü intervalda funksiyanın ən böyük qiymətini tapmaq üçün x = 1 olarsa, onun x = - 1 2 stasionar nöqtəsində qiymətini təyin edirik. Arqumentin sağ tərəfdə - 3-ə meyl etdiyi hal üçün birtərəfli limiti də bilməliyik:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Məlum oldu ki, funksiya stasionar m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 nöqtəsində ən böyük qiyməti alacaq. Ən kiçik qiymətə gəlincə, onu müəyyən edə bilmirik. Bildiyimiz hər şey , -4-ə qədər aşağı həddin olmasıdır.

Aralıq üçün (- 3 ; 2) əvvəlki hesablamanın nəticələrini götürün və sol tərəfdə 2-yə meyl edərkən birtərəfli limitin nəyə bərabər olduğunu bir daha hesablayın:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Bu o deməkdir ki, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 və ən kiçik dəyəri müəyyən edilə bilməz və funksiyanın dəyərləri aşağıdan - 4 rəqəmi ilə məhdudlaşır. .

Əvvəlki iki hesablamada əldə etdiklərimizə əsasən deyə bilərik ki, interval üzrə [ 1 ; 2) funksiya x = 1-də ən böyük qiyməti alacaq, lakin ən kiçikini tapmaq mümkün deyil.

(2 ; + ∞) intervalında funksiya nə ən böyük, nə də ən kiçik qiymətə çatmayacaq, yəni. - 1 intervalından dəyərlər alacaq; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3) ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

x = 4-də funksiyanın qiymətinin nəyə bərabər olacağını hesabladıqdan sonra məlum olur ki, m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 və əlavə sonsuzluqda verilmiş funksiya asimptotik olaraq y = - 1 düz xəttinə yaxınlaşacaq.

Gəlin hər bir hesablamada əldə etdiyimizi verilmiş funksiyanın qrafiki ilə müqayisə edək. Şəkildə asimptotlar nöqtəli xətlərlə göstərilmişdir.

Bir funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərlərini tapmaq haqqında sizə demək istədiyimiz hər şey budur. Verdiyimiz hərəkətlərin ardıcıllığı sizə lazımi hesablamaları mümkün qədər tez və sadə şəkildə aparmağa kömək edəcəkdir. Ancaq unutmayın ki, əvvəlcə funksiyanın hansı intervallarda azalacağını və hansının artacağını öyrənmək çox vaxt faydalıdır, bundan sonra əlavə nəticələr çıxara bilərsiniz. Beləliklə, funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərlərini daha dəqiq müəyyən edə və əldə edilən nəticələri əsaslandıra bilərsiniz.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Problem bəyanatı 2:

Müəyyən intervalda müəyyən edilmiş və davamlı olan funksiya verilmişdir. Bu intervalda funksiyanın ən böyük (ən kiçik) qiymətini tapmaq lazımdır.

Nəzəri əsas.
Teorem (İkinci Weierstrass teoremi):

Əgər funksiya qapalı intervalda müəyyən edilmiş və davamlıdırsa, o zaman bu intervalda maksimum və minimum qiymətlərinə çatır.

Funksiya həm intervalın daxili nöqtələrində, həm də onun sərhədlərində ən böyük və ən kiçik qiymətlərinə çata bilər. Bütün mümkün variantları təsvir edək.

İzahat:
1) Funksiya ən böyük dəyərinə intervalın sol sərhəddində nöqtəsində, minimum dəyəri isə intervalın sağ sərhədində nöqtədə çatır.
2) Funksiya ən böyük dəyərinə nöqtədə (bu, maksimum nöqtədir), minimum qiymətinə isə nöqtədəki intervalın sağ sərhəddində çatır.
3) Funksiya intervalın sol sərhəddində nöqtəsində maksimum dəyərinə, nöqtəsində isə minimum dəyərinə çatır (bu minimum nöqtədir).
4) Funksiya intervalda sabitdir, yəni. intervalın istənilən nöqtəsində minimum və maksimum dəyərlərinə çatır və minimum və maksimum dəyərlər bir-birinə bərabərdir.
5) Funksiya nöqtəsində ən böyük dəyərinə, nöqtəsində isə minimum dəyərinə çatır (bu intervalda funksiyanın həm maksimum, həm də minimuma malik olmasına baxmayaraq).
6) Funksiya bir nöqtədə ən böyük dəyərinə (bu maksimum nöqtədir), bir nöqtədə isə minimum dəyərinə (bu minimum nöqtədir) çatır.
Şərh:

“Maksimum” və “maksimum dəyər” fərqli şeylərdir. Bu, maksimumun tərifindən və “maksimum dəyər” ifadəsinin intuitiv başa düşülməsindən irəli gəlir.

2-ci məsələnin həlli alqoritmi.

4) Alınan dəyərlərdən ən böyüyü (ən kiçik) seçin və cavabı yazın.

Misal 4:

Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini təyin edin seqmentdə.
Həll:
1) funksiyanın törəməsini tapın.

2) Tənliyi həll etməklə stasionar nöqtələri (və ekstremumdan şübhələnən nöqtələri) tapın. İki tərəfli sonlu törəmənin olmadığı nöqtələrə diqqət yetirin.

3) stasionar nöqtələrdə və intervalın hüdudlarında funksiyanın qiymətlərini hesablayın.

4) Alınan dəyərlərdən ən böyüyü (ən kiçik) seçin və cavabı yazın.

Bu seqmentdəki funksiya koordinatları olan nöqtədə ən böyük dəyərinə çatır.

Bu seqmentdəki funksiya koordinatları olan nöqtədə minimum dəyərinə çatır.

Tədqiq olunan funksiyanın qrafikinə baxaraq hesablamaların düzgünlüyünü yoxlaya bilərsiniz.

Şərh: Funksiya ən böyük dəyərinə maksimum nöqtədə, minimumuna isə seqmentin sərhəddində çatır.

Xüsusi bir hal.

Tutaq ki, bir seqmentdə hansısa funksiyanın maksimum və minimum qiymətlərini tapmaq lazımdır. Alqoritmin birinci bəndini tamamladıqdan sonra, yəni. törəməni hesablayarkən aydın olur ki, məsələn, nəzərdən keçirilən bütün interval boyunca yalnız mənfi dəyərlər alır. Unutmayın ki, törəmə mənfi olarsa, funksiya azalır. Biz tapdıq ki, funksiya bütün seqment üzrə azalır. Bu vəziyyət məqalənin əvvəlində 1 nömrəli qrafikdə göstərilmişdir.

Funksiya seqmentdə azalır, yəni. onun ekstremal nöqtələri yoxdur. Şəkildən görə bilərsiniz ki, funksiya seqmentin sağ sərhəddində ən kiçik, solda isə ən böyük dəyəri alacaq. seqment üzrə törəmə hər yerdə müsbət olarsa, onda funksiya artır. Ən kiçik dəyər seqmentin sol sərhədində, ən böyüyü sağdadır.

Bu xidmətlə siz edə bilərsiniz funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini tapın həlli Word-də formatlanmış bir f(x) dəyişəni. Əgər f(x,y) funksiyası verilmişdirsə, deməli, iki dəyişənin funksiyasının ekstremumunu tapmaq lazımdır. Siz həmçinin artan və azalan funksiyaların intervallarını tapa bilərsiniz.

Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini tapın

seqmentdə [ ;]

Nəzəriyyə daxil edin

Funksiyaların daxil edilməsi qaydaları:

Bir dəyişənli funksiyanın ekstremumu üçün zəruri şərt

f" 0 (x *) = 0 tənliyi bir dəyişənin funksiyasının ekstremumu üçün zəruri şərtdir, yəni x * nöqtəsində funksiyanın birinci törəməsi yox olmalıdır. O, funksiyanın olmadığı x c stasionar nöqtələrini müəyyən edir. artırmaq və ya azaltmaq.

Bir dəyişənli funksiyanın ekstremumu üçün kafi şərt

D çoxluğuna aid olan x-ə görə f 0 (x) iki dəfə diferensiallana bilsin. Əgər x * nöqtəsində şərt yerinə yetirilirsə:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Onda x * nöqtəsi funksiyanın yerli (qlobal) minimum nöqtəsidir.

Əgər x * nöqtəsində şərt yerinə yetirilirsə:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Onda x * nöqtəsi lokal (qlobal) maksimumdur.

Nümunə №1. Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapın: seqmentdə.
Həll.

Kritik nöqtə bir x 1 = 2 (f’(x)=0) təşkil edir. Bu nöqtə seqmentə aiddir. (x=0 nöqtəsi kritik deyil, çünki 0∉).
Seqmentin uclarında və kritik nöqtədə funksiyanın dəyərlərini hesablayırıq.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Cavab: f min = 5 / 2 at x=2; f max =9 x=1-də

Nümunə № 2. Daha yüksək dərəcəli törəmələrdən istifadə edərək y=x-2sin(x) funksiyasının ekstremumunu tapın.
Həll.
Funksiyanın törəməsini tapın: y’=1-2cos(x) . Kritik nöqtələri tapaq: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. y’’=2sin(x) tapırıq, hesablayırıq, bu o deməkdir ki, x= π / 3 +2πk, k∈Z funksiyanın minimum nöqtələridir; , yəni x=- π / 3 +2πk, k∈Z funksiyanın maksimum nöqtələridir.

Nümunə № 3. x=0 nöqtəsinin yaxınlığında ekstremum funksiyasını tədqiq edin.
Həll. Burada funksiyanın ekstremumunu tapmaq lazımdır. Ekstremum x=0 olarsa, onun növünü tapın (minimum və ya maksimum). Tapılan nöqtələr arasında x = 0 yoxdursa, f(x=0) funksiyasının qiymətini hesablayın.
Qeyd etmək lazımdır ki, verilmiş nöqtənin hər tərəfindəki törəmə işarəsini dəyişmədikdə, mümkün vəziyyətlər hətta diferensiallanan funksiyalar üçün də tükənmir: belə ola bilər ki, x 0 nöqtəsinin bir tərəfindəki ixtiyari kiçik qonşuluq üçün və ya hər iki tərəfdə törəmə dəyişikliklər işarəsi. Bu nöqtələrdə funksiyaları ekstremumda öyrənmək üçün başqa üsullardan istifadə etmək lazımdır.

$z=f(x,y)$ funksiyası bəzi məhdud qapalı $D$ domenində təyin olunsun və davamlı olsun. Bu bölgədə verilmiş funksiyanın birinci dərəcəli sonlu qismən törəmələri olsun (bəlkə də sonlu sayda nöqtələr istisna olmaqla). Verilmiş qapalı bölgədə iki dəyişənin funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapmaq üçün sadə alqoritmin üç addımı tələb olunur.

$D$ qapalı domenində $z=f(x,y)$ funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətlərinin tapılması alqoritmi.

$D$ domeninə aid olan $z=f(x,y)$ funksiyasının kritik nöqtələrini tapın. Kritik nöqtələrdə funksiya dəyərlərini hesablayın.
Mümkün maksimum və minimum qiymətlərin nöqtələrini taparaq $D$ regionunun sərhəddində $z=f(x,y)$ funksiyasının davranışını araşdırın. Alınan nöqtələrdə funksiya dəyərlərini hesablayın.
Əvvəlki iki paraqrafda əldə edilən funksiya dəyərlərindən ən böyüyü və ən kiçikini seçin.

Kritik nöqtələr hansılardır? göstərmək\gizlətmək

Altında kritik nöqtələr hər iki birinci dərəcəli qismən törəmənin sıfıra bərabər olduğu nöqtələri nəzərdə tutur (məsələn, $\frac(\partial z)(\qismən x)=0$ və $\frac(\qismən z)(\qismən y)=0 $) və ya ən azı bir qismən törəmə mövcud deyil.

Çox vaxt birinci dərəcəli qismən törəmələrin sıfıra bərabər olduğu nöqtələr deyilir stasionar nöqtələr. Beləliklə, stasionar nöqtələr kritik nöqtələrin alt çoxluğudur.

Nümunə №1

$x=3$, $y=0$ və $y=x xətləri ilə sərhədlənmiş qapalı bölgədə $z=x^2+2xy-y^2-4x$ funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapın. +1$.

Yuxarıdakıları izləyəcəyik, lakin əvvəlcə $D$ hərfi ilə işarələyəcəyimiz verilmiş ərazinin rəsmini həll edəcəyik. Bizə bu sahəni məhdudlaşdıran üç düz xəttin tənlikləri verilmişdir. $x=3$ düz xətti ordinat oxuna (Oy oxu) paralel olan $(3;0)$ nöqtəsindən keçir. $y=0$ düz xətti absis oxunun (Ox oxu) tənliyidir. Yaxşı, $y=x+1$ xəttini qurmaq üçün bu xətti çəkəcəyimiz iki nöqtə tapacağıq. Əlbəttə ki, $x$ əvəzinə bir neçə ixtiyari dəyəri əvəz edə bilərsiniz. Məsələn, $x=10$ əvəz edərək, alırıq: $y=x+1=10+1=11$. $y=x+1$ xəttində yerləşən $(10;11)$ nöqtəsini tapdıq. Bununla belə, $y=x+1$ düz xəttinin $x=3$ və $y=0$ xətləri ilə kəsişdiyi nöqtələri tapmaq daha yaxşıdır. Niyə bu daha yaxşıdır? Çünki bir daşla bir neçə quş öldürəcəyik: $y=x+1$ düz xəttini qurmaq üçün iki nöqtə alacağıq və eyni zamanda bu düz xəttin verilmiş ərazini məhdudlaşdıran digər xətləri hansı nöqtələrdə kəsdiyini öyrənəcəyik. $y=x+1$ xətti $x=3$ xəttini $(3;4)$ nöqtəsində, $y=0$ xətti isə $(-1;0)$ nöqtəsində kəsişir. Həllin gedişatını köməkçi izahatlarla qarışdırmamaq üçün bu iki məqamı əldə etmək məsələsini qeyddə qoyacağam.

$(3;4)$ və $(-1;0)$ balları necə əldə edildi? göstərmək\gizlətmək

$y=x+1$ və $x=3$ xətlərinin kəsişmə nöqtəsindən başlayaq. İstədiyiniz nöqtənin koordinatları həm birinci, həm də ikinci düz xətlərə aiddir, buna görə də naməlum koordinatları tapmaq üçün tənliklər sistemini həll etməlisiniz:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(tuzalanmış) \sağ. $$

Belə bir sistemin həlli mənasızdır: $x=3$-ı birinci tənliyə əvəz etsək, əldə edəcəyik: $y=3+1=4$. $(3;4)$ nöqtəsi $y=x+1$ və $x=3$ xətlərinin istənilən kəsişmə nöqtəsidir.

İndi $y=x+1$ və $y=0$ xətlərinin kəsişmə nöqtəsini tapaq. Yenidən tənliklər sistemini tərtib edib həll edək:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(tuzalanmış) \sağ. $$

$y=0$-ı birinci tənliyə əvəz etsək, alırıq: $0=x+1$, $x=-1$. $(-1;0)$ nöqtəsi $y=x+1$ və $y=0$ (x oxu) xətlərinin istənilən kəsişmə nöqtəsidir.

Bu kimi görünəcək bir rəsm qurmaq üçün hər şey hazırdır:

Qeydin sualı açıq görünür, çünki şəkildən hər şeyi görmək olar. Bununla belə, bir rəsm sübut kimi xidmət edə bilməyəcəyini xatırlamaq lazımdır. Rəsm yalnız illüstrativ məqsədlər üçündür.

Sahəmiz onu bağlayan xətlərin tənliklərindən istifadə etməklə müəyyən edilmişdir. Aydındır ki, bu xətlər üçbucağı müəyyənləşdirir, elə deyilmi? Yoxsa tamamilə aydın deyil? Və ya bəlkə bizə eyni xətlərlə məhdudlaşan fərqli bir sahə verilir:

Təbii ki, şərtdə deyilir ki, ərazi bağlıdır, ona görə də göstərilən şəkil düzgün deyil. Amma bu cür qeyri-müəyyənliklərin qarşısını almaq üçün bölgələri bərabərsizliklərlə müəyyən etmək daha yaxşıdır. Bizi təyyarənin $y=x+1$ düz xəttinin altında yerləşən hissəsi maraqlandırırmı? Yaxşı, belə ki, $y ≤ x+1$. Ərazimiz $y=0$ xəttindən yuxarıda yerləşməlidirmi? Əla, bu $y ≥ 0$ deməkdir. Yeri gəlmişkən, son iki bərabərsizlik asanlıqla birinə birləşdirilə bilər: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \sağ. $$

Bu bərabərsizliklər $D$ bölgəsini müəyyənləşdirir və heç bir qeyri-müəyyənliyə yol vermədən onu birmənalı şəkildə müəyyən edir. Bəs bu qeydin əvvəlində verilən sualda bizə necə kömək edir? Bu da kömək edəcək :) $M_1(1;1)$ nöqtəsinin $D$ sahəsinə aid olub-olmadığını yoxlamaq lazımdır. Bu bölgəni təyin edən bərabərsizliklər sisteminə $x=1$ və $y=1$ əvəz edək. Hər iki bərabərsizlik təmin edilirsə, o zaman nöqtə regionun daxilindədir. Əgər bərabərsizliklərdən heç olmasa biri təmin edilmirsə, o zaman nöqtə bölgəyə aid deyil. Belə ki:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right $$.

Hər iki bərabərsizlik etibarlıdır. $M_1(1;1)$ nöqtəsi $D$ bölgəsinə aiddir.

İndi bölgənin sərhədində funksiyanın davranışını öyrənmək növbəsidir, yəni. gəlin gedək . $y=0$ düz xətti ilə başlayaq.

Düz xətt $y=0$ (x oxu) $-1 ≤ x ≤ 3$ şərti ilə $D$ bölgəsini məhdudlaşdırır. Verilmiş $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ funksiyasına $y=0$ əvəz edək. Əvəzetmə nəticəsində alınan bir $x$ dəyişəninin funksiyasını $f_1(x)$ kimi işarə edirik:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

İndi $f_1(x)$ funksiyası üçün $-1 ≤ x ≤ 3$ intervalında ən böyük və ən kiçik dəyərləri tapmalıyıq. Bu funksiyanın törəməsini tapıb onu sıfıra bərabərləşdirək:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

$x=2$ dəyəri $-1 ≤ x ≤ 3$ seqmentinə aiddir, ona görə də biz xallar siyahısına $M_2(2;0)$ əlavə edəcəyik. Bundan əlavə, $-1 ≤ x ≤ 3$ seqmentinin sonunda $z$ funksiyasının qiymətlərini hesablayaq, yəni. $M_3(-1;0)$ və $M_4(3;0)$ nöqtələrində. Yeri gəlmişkən, əgər $M_2$ nöqtəsi nəzərdən keçirilən seqmentə aid olmasaydı, təbii ki, oradakı $z$ funksiyasının qiymətini hesablamağa ehtiyac qalmazdı.

Beləliklə, $M_2$, $M_3$, $M_4$ nöqtələrində $z$ funksiyasının qiymətlərini hesablayaq. Siz əlbəttə ki, bu nöqtələrin koordinatlarını orijinal $z=x^2+2xy-y^2-4x$ ifadəsi ilə əvəz edə bilərsiniz. Məsələn, $M_2$ nöqtəsi üçün alırıq:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Bununla belə, hesablamalar bir qədər sadələşdirilə bilər. Bunu etmək üçün $M_3M_4$ seqmentində $z(x,y)=f_1(x)$ olduğunu xatırlamağa dəyər. Bunu ətraflı yazacam:

\begin(düzülmüş) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(düzülmüş)

Əlbəttə ki, adətən belə ətraflı qeydlərə ehtiyac yoxdur və gələcəkdə bütün hesablamaları qısaca yazacağıq:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

İndi $x=3$ düz xəttinə keçək. Bu düz xətt $0 ≤ y ≤ 4$ şərti ilə $D$ bölgəsini məhdudlaşdırır. Verilmiş $z$ funksiyasında $x=3$ əvəz edək. Bu əvəzetmə nəticəsində $f_2(y)$ funksiyasını alırıq:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

$f_2(y)$ funksiyası üçün $0 ≤ y ≤ 4$ intervalında ən böyük və ən kiçik dəyərləri tapmalıyıq. Bu funksiyanın törəməsini tapıb onu sıfıra bərabərləşdirək:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

$y=3$ dəyəri $0 ≤ y ≤ 4$ seqmentinə aiddir, ona görə də əvvəllər tapılan nöqtələrə $M_5(3;3)$ əlavə edəcəyik. Bundan əlavə, $0 ≤ y ≤ 4$ seqmentinin sonundakı nöqtələrdə $z$ funksiyasının qiymətini hesablamaq lazımdır, yəni. $M_4(3;0)$ və $M_6(3;4)$ nöqtələrində. $M_4(3;0)$ nöqtəsində biz artıq $z$ dəyərini hesablamışıq. $M_5$ və $M_6$ nöqtələrində $z$ funksiyasının qiymətini hesablayaq. Nəzərinizə çatdırım ki, $M_4M_6$ seqmentində bizdə $z(x,y)=f_2(y)$ var, buna görə də:

\begin(düzülmüş) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(düzülmüş)

Və nəhayət, $D$ bölgəsinin son sərhəddini nəzərdən keçirək, yəni. düz xətt $y=x+1$. Bu düz xətt $-1 ≤ x ≤ 3$ şərti ilə $D$ bölgəsini məhdudlaşdırır. $y=x+1$ funksiyasını $z$ funksiyasına əvəz etsək, əldə edəcəyik:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Yenə biz $x$ dəyişəninin funksiyasına sahibik. Və yenə də $-1 ≤ x ≤ 3$ intervalında bu funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapmalıyıq. $f_(3)(x)$ funksiyasının törəməsini tapıb onu sıfıra bərabərləşdirək:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

$x=1$ dəyəri $-1 ≤ x ≤ 3$ intervalına aiddir. Əgər $x=1$, onda $y=x+1=2$. Nöqtələr siyahısına $M_7(1;2)$ əlavə edək və bu nöqtədə $z$ funksiyasının qiymətinin nə olduğunu öyrənək. $-1 ≤ x ≤ 3$ seqmentinin sonundakı nöqtələr, yəni. $M_3(-1;0)$ və $M_6(3;4)$ balları əvvəllər nəzərə alınmışdı, biz artıq onlarda funksiyanın qiymətini tapdıq.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Həllin ikinci mərhələsi tamamlandı. Yeddi dəyər aldıq:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

-a müraciət edək. Üçüncü abzasda alınan nömrələrdən ən böyük və ən kiçik dəyərləri seçərək, əldə edəcəyik:

$$z_(dəq)=-4; \; z_(maks)=6.$$

Problem həll olundu, cavabı yazmaq qalır.

Cavab verin: $z_(dəq)=-4; \; z_(maks)=6$.

Nümunə № 2

$x^2+y^2 ≤ 25$ bölgəsində $z=x^2+y^2-12x+16y$ funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapın.

Əvvəlcə rəsm çəkək. $x^2+y^2=25$ tənliyi (bu, verilmiş sahənin sərhəd xəttidir) mərkəzi başlanğıcda (yəni $(0;0)$ nöqtəsində) və radiusu olan dairəni təyin edir. 5. $x^2 +y^2 ≤ $25 bərabərsizliyi qeyd olunan dairənin daxilində və üzərində olan bütün nöqtələri ödəyir.

uyğun olaraq hərəkət edəcəyik. Gəlin qismən törəmələri tapaq və kritik nöqtələri öyrənək.

$$ \frac(\qismən z)(\qismən x)=2x-12; \frac(\qismən z)(\qismən y)=2y+16. $$

Tapılmış qismən törəmələrin olmadığı nöqtələr yoxdur. Hansı nöqtələrdə hər iki qismən törəmənin eyni vaxtda sıfıra bərabər olduğunu öyrənək, yəni. stasionar nöqtələri tapaq.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \sağ. \;\; \left \( \begin(tuzalanmış) & x =6;\\ & y=-8 \end(düzləşdirilmiş) \sağ $$.

Biz $(6;-8)$ stasionar nöqtə əldə etdik. Lakin tapılan nöqtə $D$ bölgəsinə aid deyil. Bunu hətta rəsmə müraciət etmədən göstərmək asandır. Bizim $D$ regionumuzu təyin edən $x^2+y^2 ≤ 25$ bərabərsizliyinin olub-olmadığını yoxlayaq. Əgər $x=6$, $y=-8$, onda $x^2+y^2=36+64=100$, yəni. $x^2+y^2 ≤ 25$ bərabərsizliyi yerinə yetirilmir. Nəticə: $(6;-8)$ nöqtəsi $D$ sahəsinə aid deyil.

Deməli, $D$ regionunun daxilində heç bir kritik nöqtə yoxdur. Gəlin davam edək... Verilmiş bölgənin sərhədində funksiyanın davranışını öyrənməliyik, yəni. $x^2+y^2=25$ dairəsi üzərində. Biz, əlbəttə, $y$-ı $x$ ifadəsi ilə ifadə edə bilərik və sonra yaranan ifadəni $z$ funksiyamıza əvəz edə bilərik. Dairənin tənliyindən alırıq: $y=\sqrt(25-x^2)$ və ya $y=-\sqrt(25-x^2)$. Məsələn, verilmiş funksiyaya $y=\sqrt(25-x^2)$ əvəz etsək, əldə edəcəyik:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x) ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Sonrakı həll əvvəlki misal 1-də regionun sərhədində funksiyanın davranışının öyrənilməsi ilə tamamilə eyni olacaq. Lakin bu vəziyyətdə Laqranj metodunu tətbiq etmək mənə daha məqsədəuyğun görünür. Bu metodun yalnız birinci hissəsi ilə maraqlanacağıq. Laqranj metodunun birinci hissəsini tətbiq etdikdən sonra biz $z$ funksiyasını minimum və maksimum qiymətlər üçün araşdıracağımız nöqtələri əldə edəcəyik.

Laqranj funksiyasını tərtib edirik:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2) -25). $$

Laqranj funksiyasının qismən törəmələrini tapırıq və müvafiq tənliklər sistemini tərtib edirik:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \sol \( \başla (düzləşdirilmiş) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end(aligned)\right.$ $

Bu sistemi həll etmək üçün dərhal qeyd edək ki, $\lambda\neq -1$. Niyə $\lambda\neq -1$? Gəlin birinci tənliyə $\lambda=-1$ əvəz etməyə çalışaq:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Nəticədə $0=6$ ziddiyyəti $\lambda=-1$ dəyərinin qəbuledilməz olduğunu göstərir. Çıxış: $\lambda\neq -1$. $x$ və $y$-ı $\lambda$ ilə ifadə edək:

\begin(hizalanmış) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(düzülmüş)

İnanıram ki, burada $\lambda\neq -1$ şərtini niyə xüsusi şərt qoyduğumuz aydın olur. Bu, $1+\lambda$ ifadəsini maneəsiz məxrəcə uyğunlaşdırmaq üçün edilib. Yəni, məxrəcin $1+\lambda\neq 0$ olduğuna əmin olmaq üçün.

Gəlin, $x$ və $y$ üçün alınan ifadələri sistemin üçüncü tənliyinə əvəz edək, yəni. $x^2+y^2=25$ ilə:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \sağ)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \sağ)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Nəticə bərabərliyindən belə çıxır ki, $1+\lambda=2$ və ya $1+\lambda=-2$. Beləliklə, $\lambda$ parametrinin iki dəyəri var, yəni: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Müvafiq olaraq, iki cüt dəyər alırıq $x$ və $y$:

\begin(hizalanmış) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(düzülmüş)

Beləliklə, mümkün şərti ekstremumun iki nöqtəsini əldə etdik, yəni. $M_1(3;-4)$ və $M_2(-3;4)$. $M_1$ və $M_2$ nöqtələrində $z$ funksiyasının qiymətlərini tapaq:

\begin(düzülmüş) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(düzülmüş)

Birinci və ikinci addımlarda əldə etdiyimiz dəyərlərdən ən böyük və ən kiçik dəyərləri seçməliyik. Amma bu halda seçim kiçikdir :) Bizdə:

$$ z_(dəq)=-75; \; z_(maks)=125. $$

Cavab verin: $z_(dəq)=-75; \; z_(maksimum)=125$.

Funksiyanın ekstremumu nədir və ekstremum üçün zəruri şərt nədir?

Funksiyanın ekstremumu funksiyanın maksimum və minimumudur.

Funksiyanın maksimum və minimumu (ekstremumu) üçün zəruri şərt aşağıdakılardır: əgər f(x) funksiyasının x = a nöqtəsində ekstremumu varsa, bu zaman törəmə ya sıfırdır, ya sonsuzdur, ya da mövcud deyil.

Bu şərt zəruridir, lakin kifayət deyil. X = a nöqtəsindəki törəmə sıfıra gedə bilər, sonsuzluğa gedə bilər və ya funksiya bu nöqtədə ekstremum olmadan mövcud ola bilməz.

Funksiyanın ekstremumu (maksimum və ya minimum) üçün kafi şərt nədir?

Birinci şərt:

Əgər x = a nöqtəsinə kifayət qədər yaxınlıqda f?(x) törəməsi a-nın solunda müsbət və a-nın sağında mənfidirsə, x = a nöqtəsində f(x) funksiyası var. maksimum

Əgər x = a nöqtəsinə kifayət qədər yaxınlıqda f?(x) törəməsi a-nın solunda mənfi və a-nın sağında müsbətdirsə, x = a nöqtəsində f(x) funksiyası var. minimum bir şərtlə ki, burada f(x) funksiyası davamlı olsun.

Bunun əvəzinə funksiyanın ekstremumu üçün ikinci kifayət şərtdən istifadə edə bilərsiniz:

x = a nöqtəsində birinci törəmə f?(x) yox olsun; ikinci törəmə f??(a) mənfi olarsa, f(x) funksiyası x = a nöqtəsində maksimuma, müsbətdirsə, minimuma malikdir.

Funksiyanın kritik nöqtəsi nədir və onu necə tapmaq olar?

Bu, funksiyanın ekstremum (yəni maksimum və ya minimum) olduğu funksiya arqumentinin dəyəridir. Onu tapmaq üçün sizə lazımdır törəməni tapın f?(x) funksiyası və onu sıfıra bərabərləşdirmək, tənliyi həll edin f?(x) = 0. Bu tənliyin kökləri, eləcə də bu funksiyanın törəməsinin mövcud olmadığı nöqtələr kritik nöqtələrdir, yəni ekstremumun ola biləcəyi arqumentin qiymətləridir. Onlara baxaraq asanlıqla müəyyən edilə bilər törəmə qrafiki: bizi funksiyanın qrafikinin absis oxunu (Ox oxu) kəsdiyi arqumentin qiymətləri və qrafikin kəsilməyə məruz qaldığı dəyərlər maraqlandırır.

Məsələn, tapaq parabolanın ekstremumu.

y(x) = 3x2 + 2x - 50 funksiyası.

Funksiyanın törəməsi: y?(x) = 6x + 2

Tənliyi həll edin: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Bu halda kritik nöqtə x0=-1/3-dir. Məhz bu arqument dəyəri funksiyaya malikdir ekstremum. Ona tapmaq, ifadədə tapılan ədədi “x” əvəzinə funksiya üçün əvəz edin:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Bir funksiyanın maksimum və minimumunu necə təyin etmək olar, yəni. onun ən böyük və ən kiçik dəyərləri?

X0 kritik nöqtəsindən keçərkən törəmənin işarəsi “artı”dan “mənfi”yə dəyişirsə, x0 olur. maksimum nöqtə; törəmənin işarəsi mənfidən artıya dəyişirsə, x0 olur minimum nöqtə; işarəsi dəyişməzsə, x0 nöqtəsində nə maksimum, nə də minimum var.

Nəzərə alınan nümunə üçün:

Kritik nöqtənin solunda olan arqumentin ixtiyari qiymətini alırıq: x = -1

x = -1-də törəmənin dəyəri y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 olacaq (yəni işarəsi “mənfi”dir).

İndi kritik nöqtənin sağındakı arqumentin ixtiyari qiymətini alırıq: x = 1

X = 1-də törəmənin dəyəri y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 olacaqdır (yəni işarəsi “artı”dır).

Gördüyünüz kimi, törəmə kritik nöqtədən keçərkən işarəni mənfidən artıya dəyişdi. Bu o deməkdir ki, x0 kritik dəyərində minimum nöqtəmiz var.

Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiyməti interval üzrə(bir seqmentdə) eyni prosedurdan istifadə edərək tapılır, yalnız nəzərə alınmaqla, bəlkə də bütün kritik nöqtələr göstərilən intervalda yer almayacaq. İntervaldan kənarda olan kritik məqamlar nəzərə alınmalıdır. Əgər intervalın daxilində yalnız bir kritik nöqtə varsa, onun ya maksimumu, ya da minimumu olacaq. Bu halda, funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini təyin etmək üçün intervalın sonundakı funksiyanın qiymətlərini də nəzərə alırıq.

Məsələn, funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapaq

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

fasilələrlə:

Deməli, funksiyanın törəməsi belədir

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

3cos(x) - 0,5 = 0 tənliyini həll edirik

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

[-9] intervalında kritik nöqtələri tapırıq; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (aralığa daxil deyil)

x = -arccos(0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (aralığa daxil deyil)

Arqumentin kritik dəyərlərində funksiya dəyərlərini tapırıq:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Görünür ki, intervalda [-9; 9] funksiyası x = -4.88-də ən böyük qiymətə malikdir:

x = -4,88, y = 5,398,

və ən kiçik - x = 4.88-də:

x = 4,88, y = -5,398.

[-6] intervalında; -3] bizim yalnız bir kritik nöqtəmiz var: x = -4.88. Funksiyanın x = -4.88-dəki qiyməti y = 5.398-ə bərabərdir.

Funksiyanın intervalın sonundakı qiymətini tapın:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

[-6] intervalında; -3] funksiyasının ən böyük dəyərinə sahibik

x = -4,88-də y = 5,398

ən kiçik dəyər -

x = -3-də y = 1,077

Funksiya qrafikinin əyilmə nöqtələrini tapmaq və qabarıq və qabarıq tərəflərini necə təyin etmək olar?

y = f(x) xəttinin bütün əyilmə nöqtələrini tapmaq üçün ikinci törəməni tapmaq, onu sıfıra bərabərləşdirmək (tənliyi həll etmək) və ikinci törəmənin sıfır olduğu x-in bütün dəyərlərini yoxlamaq lazımdır, sonsuz və ya mövcud deyil. Əgər bu qiymətlərdən birini keçərkən ikinci törəmə işarəni dəyişirsə, onda funksiyanın qrafikində bu nöqtədə əyilmə olur. Dəyişməzsə, deməli əyilmə yoxdur.

f tənliyinin kökləri? (x) = 0, eləcə də funksiyanın mümkün kəsilmə nöqtələri və ikinci törəmə funksiyanın təyinetmə sahəsini bir sıra intervallara bölün. Onların hər bir intervalında qabarıqlıq ikinci törəmənin işarəsi ilə müəyyən edilir. Tədqiq olunan intervalın bir nöqtəsində ikinci törəmə müsbət olarsa, y = f(x) xətti yuxarıya, mənfi olarsa, aşağıya doğru konkav olur.

İki dəyişənli funksiyanın ekstremumunu necə tapmaq olar?

Spesifikasiya sahəsində diferensiallana bilən f(x,y) funksiyasının ekstremumunu tapmaq üçün sizə lazımdır:

1) kritik nöqtələri tapın və bunun üçün - tənliklər sistemini həll edin

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) hər bir kritik nöqtə üçün P0(a;b) fərqin işarəsinin dəyişməz qalıb-qalmayacağını araşdırın.

bütün nöqtələr üçün (x;y) kifayət qədər P0-a yaxındır. Fərq müsbət olaraq qalırsa, P0 nöqtəsində minimuma, mənfi olduqda maksimuma sahibik. Fərq öz işarəsini saxlamırsa, P0 nöqtəsində ekstremum yoxdur.

Bir funksiyanın ekstremumları daha çox arqument üçün eyni şəkildə müəyyən edilir.

Hansı qazlı sərinləşdirici içkilər səthləri təmizləyir?
Coca-Cola qazlı sərinləşdirici içkinin əti həll edə biləcəyinə dair bir fikir var. Ancaq təəssüf ki, bunun birbaşa sübutu yoxdur. Əksinə, iki gün ərzində “Coca-Cola” içkisində qalan ətin istehlak xüsusiyyətlərini dəyişdiyini və heç yerdə itmədiyini təsdiqləyən təsdiqedici faktlar var.

Standart mənzillərin planlarına, evlərin təsvirinə və fotoşəkillərinə aşağıdakı saytlarda baxmaq olar: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko.net/art

Nevrozu necə müalicə etmək olar
Nevroz (novolat. nevroz, qədim yunan νε?ρον - sinir; sinonimləri - psixonevroz, nevrotik pozğunluq) - klinikada: davam etməyə meylli olan funksional psixogen geri dönən pozğunluqlar qrupunun ümumi adı.

Afelion nədir
Aposentr orbitdə başqa bir cismin ətrafında elliptik orbitdə fırlanan cismin sonuncudan maksimum məsafəyə çatdığı nöqtədir. Eyni zamanda, Keplerin ikinci qanununa görə, orbital hərəkət sürəti minimal olur. Aposentr periapsisə diametrik olaraq əks nöqtədə yerləşir. Xüsusi hallarda xüsusi terminlərdən istifadə etmək adətdir:

mamon nədir
Mamon (m.r.), mammon (f.r.) - yunancadan alınmış söz. mammonalar və sərvət, yer sərvətləri, xeyir-dualar mənasını verir. Bəzi qədim bütpərəst xalqlar arasında sərvət və mənfəət tanrısı idi. Müjdəçilər Matta və Luka tərəfindən Müqəddəs Yazılarda xatırladılır: “Heç kim iki ağaya qulluq edə bilməz: ya birinə, digərinə nifrət edər”.

2049-cu ildə pravoslav Pasxa nə vaxtdır?
2015-ci ildə pravoslav Pasxa aprelin 12-də, katolik Pasxa isə aprelin 5-də olacaq. Kilsə təqvimləri pravoslav Pasxa tarixlərini Julian təqviminə (köhnə üslub) uyğun olaraq verir, katolik Pasxa isə müasir Qriqorian təqviminə (yeni üslub) görə hesablanır, ona görə də tarixləri müqayisə etmək müəyyən zehni səy tələb edir.

Bir rubl nədir
Rubl Rusiya, Belarusiya (Belarus rublu), Dnestryanı (Dnestryanı rubl) müasir valyutalarının adıdır. Rusiya rublu Cənubi Osetiya və Abxaziyada da istifadə olunur. Keçmişdə - Rusiya respublikalarının və knyazlıqlarının pul vahidi, Moskva Böyük Hersoqluğu, Rusiya Çarlığı, Litva Böyük Hersoqluğu, Rusiya İmperiyası və müxtəlif s.

Ariel Şaron nə qədər komada idi?
Ariel Arik Şaron (Şeynerman) - İsrail hərbi, siyasi və dövlət xadimi, 2001-2006-cı illərdə İsrailin baş naziri. Doğum tarixi: 26 fevral 1928-ci il Doğum yeri: Kfar Sava yaxınlığındakı Kfar Malal qəsəbəsi, İsrail Ölüm tarixi: 11 yanvar 2014-cü il Ölüm yeri: Ramat Qan, Quş Dan, İz

Neandertallar kimlər idi
Neandertal, Neandertal insanı (lat. Homo neanderthalensis və ya Homo sapiens neanderthalensis) 300-24 min il əvvəl yaşamış insanların fosil növüdür. Adın mənşəyi Neandertal kəlləsinin ilk dəfə 1856-cı ildə tapıldığı güman edilir.

Geoffrey Rush neçə yaşındadır
Geoffrey Rush Avstraliya kino və səhnə aktyorudur. Oskar (1997), BAFTA (1996, 1999), Qızıl Qlobus (1997, 2005) mükafatları laureatı. Onun iştirakı ilə çəkilmiş ən məşhur filmlər “Parıltı”dır.

Funksiya qrafikinin qabarıqlıq və qabarıqlıq intervallarını necə təyin etmək olar
Funksiyanın ekstremumu nədir və ekstremum üçün zəruri şərt nədir? Funksiyanın ekstremumu funksiyanın maksimum və minimumudur. Funksiyanın maksimum və minimumu (ekstremumu) üçün zəruri şərt aşağıdakılardır: əgər f(x) funksiyasının x = a nöqtəsində ekstremumu varsa, bu zaman törəmə ya sıfırdır, ya sonsuzdur, ya da mövcud deyil. Bu şərt zəruridir, lakin kifayət deyil. t-də törəmə