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삼각형 각도의 코사인은 무엇입니까? 사인, 코사인, 탄젠트, 예각의 코탄젠트. 삼각함수

과학으로서의 삼각법은 고대 동양에서 유래되었습니다. 최초의 삼각법 비율은 천문학자들이 정확한 달력과 별의 방향을 만들기 위해 파생되었습니다. 이러한 계산은 구면 삼각법과 관련이 있으며 학교 과정에서는 평면 삼각형의 변과 각도의 비율을 연구합니다.

삼각법은 삼각 함수의 속성과 삼각형의 변과 각도 사이의 관계를 다루는 수학의 한 분야입니다.

서기 1000년 문화와 과학의 전성기 동안 지식은 고대 동양에서 그리스로 퍼졌습니다. 그러나 삼각법의 주요 발견은 아랍 칼리프 시대 사람들의 장점입니다. 특히, 투르크멘 과학자 al-Marazwi는 탄젠트 및 코탄젠트와 같은 함수를 도입하고 사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값에 대한 최초의 표를 작성했습니다. 사인과 코사인의 개념은 인도 과학자들에 의해 도입되었습니다. 삼각법은 유클리드(Euclid), 아르키메데스(Archimedes), 에라토스테네스(Eratosthenes)와 같은 고대의 위대한 인물들의 작품에서 많은 주목을 받았습니다.

삼각법의 기본 수량

숫자 인수의 기본 삼각 함수는 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트입니다. 그들 각각은 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 등 자체 그래프를 가지고 있습니다.

이 수량의 값을 계산하는 공식은 피타고라스 정리를 기반으로 합니다. 이등변 직각 삼각형의 예를 사용하여 증거가 제공되기 때문에 "피타고라스 바지는 모든 방향에서 동일합니다"라는 공식으로 학생들에게 더 잘 알려져 있습니다.

사인, 코사인 및 기타 관계는 직각삼각형의 예각과 변 사이의 관계를 설정합니다. 각도 A에 대한 이러한 양을 계산하는 공식을 제시하고 삼각 함수 간의 관계를 추적해 보겠습니다.

보시다시피 tg와 ctg는 역함수입니다. 변 a를 사인 A와 빗변 c의 곱으로, 변 b를 cos A * c로 상상하면 탄젠트와 코탄젠트에 대해 다음 공식을 얻을 수 있습니다.

삼각원

언급된 수량 간의 관계를 그래픽으로 표현하면 다음과 같습니다.

이 경우 원은 0°에서 360°까지 각도 α의 가능한 모든 값을 나타냅니다. 그림에서 볼 수 있듯이 각 함수는 각도에 따라 음수 또는 양수 값을 취합니다. 예를 들어, α가 원의 1/4과 2/4에 속하는 경우, 즉 0°에서 180° 범위에 있는 경우 sin α에는 "+" 기호가 표시됩니다. 180°에서 360°까지의 α(III 및 IV 분기)의 경우 sin α는 음수 값만 될 수 있습니다.

특정 각도에 대한 삼각표를 작성하고 수량의 의미를 알아보세요.

30°, 45°, 60°, 90°, 180° 등과 같은 α 값을 특수 사례라고 합니다. 이에 대한 삼각 함수 값이 계산되어 특수 테이블 형태로 표시됩니다.

이 각도는 무작위로 선택되지 않았습니다. 표의 π 지정은 라디안을 나타냅니다. Rad는 원호의 길이가 반지름에 해당하는 각도입니다. 이 값은 보편적인 의존성을 확립하기 위해 도입되었습니다. 라디안으로 계산할 때 반경의 실제 길이(cm)는 중요하지 않습니다.

삼각 함수 표의 각도는 라디안 값에 해당합니다.

따라서 2π가 완전한 원, 즉 360°라고 추측하는 것은 어렵지 않습니다.

삼각 함수의 속성: 사인과 코사인

사인과 코사인, 탄젠트와 코탄젠트의 기본 속성을 고려하고 비교하려면 해당 기능을 그리는 것이 필요합니다. 이는 2차원 좌표계에 위치한 곡선 형태로 수행될 수 있습니다.

사인과 코사인의 속성 비교표를 고려하십시오.

사인파코사인
y = 사인xy = cos x
ODZ [-1; 1]ODZ [-1; 1]
sin x = 0, x = πk인 경우, 여기서 k ϵ Zcos x = 0, x = π/2 + πk인 경우, 여기서 k ϵ Z
sin x = 1, x = π/2 + 2πk인 경우, 여기서 k ϵ Zcos x = 1, x = 2πk에서, 여기서 k ϵ Z
sin x = - 1, x = 3π/2 + 2πk에서, 여기서 k ϵ Zcos x = - 1, x = π + 2πk의 경우, 여기서 k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, 즉 함수가 홀수입니다.cos (-x) = cos x, 즉 함수는 짝수입니다.
함수는 주기적이며 가장 작은 주기는 2π입니다.
sin x › 0, x는 1분기와 2분기 또는 0° ~ 180°(2πk, π + 2πk)에 속합니다.cos x › 0, x는 I 및 IV 분기에 속하거나 270° ~ 90°(- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x 〈 0, x는 3/4 및 4/4 또는 180° ~ 360°(π + 2πk, 2π + 2πk)에 속합니다.cos x 〈 0, x는 2분기와 3분기 또는 90° ~ 270°에 속함(π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
구간 증가 [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]간격 [-π + 2πk, 2πk]에 따라 증가
간격 [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]에 따라 감소간격으로 감소
도함수(sin x)' = cos x미분 (cos x)' = - 죄 x

함수가 짝수인지 아닌지를 결정하는 것은 매우 간단합니다. 삼각량의 표시가 있는 삼각법 원을 상상하고 OX 축을 기준으로 그래프를 정신적으로 "접는" 것만으로도 충분합니다. 부호가 일치하면 함수는 짝수이고, 그렇지 않으면 홀수입니다.

라디안의 도입과 사인파 및 코사인파의 기본 속성 목록을 통해 다음 패턴을 제시할 수 있습니다.

공식이 맞는지 확인하는 것은 매우 쉽습니다. 예를 들어 x = π/2의 경우 사인은 1이고 x = 0의 코사인은 1입니다. 확인은 표를 참조하거나 주어진 값에 대한 함수 곡선을 추적하여 수행할 수 있습니다.

탄젠트소이드와 코탄젠트소이드의 특성

탄젠트 및 코탄젠트 함수의 그래프는 사인 및 코사인 함수와 크게 다릅니다. tg와 ctg 값은 서로 상반됩니다.

  1. Y = 황갈색 x.
  2. 탄젠트는 x = π/2 + πk에서 y 값으로 향하는 경향이 있지만 절대 도달하지 않습니다.
  3. 접선의 가장 작은 양의 주기는 π입니다.
  4. Tg (- x) = - tg x, 즉 함수는 홀수입니다.
  5. Tg x = 0, x = πk인 경우.
  6. 기능이 증가하고 있습니다.
  7. Tg x › 0, x ϵ(πk, π/2 + πk)의 경우.
  8. x ϵ의 경우 Tg x 0(— π/2 + πk, πk).
  9. 미분(tg x)' = 1/cos 2 ⁡x.

아래 텍스트에서 코탄젠토이드의 그래픽 표현을 고려하십시오.

코탄젠토이드의 주요 특성:

  1. Y = 유아용 침대 x.
  2. 사인 및 코사인 함수와 달리 접선에서 Y는 모든 실수 집합의 값을 취할 수 있습니다.
  3. 코탄젠토이드는 x = πk에서 y 값을 얻으려는 경향이 있지만 결코 그 값에 도달하지 않습니다.
  4. 코탄젠토이드의 가장 작은 양의 주기는 π입니다.
  5. Ctg (- x) = - ctg x, 즉 함수가 홀수입니다.
  6. Ctg x = 0, x = π/2 + πk인 경우.
  7. 기능이 감소하고 있습니다.
  8. Ctg x › 0, x ϵ(πk, π/2 + πk)의 경우.
  9. x ϵ(π/2 + πk, πk)의 경우 Ctg x 〈 0입니다.
  10. 미분(ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x 정확함

지침

코사인을 구해야 한다면 각도임의의 삼각형에서는 코사인 정리를 사용해야 합니다.
각도가 예각인 경우: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
각도: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), 여기서 a, b는 모서리에 인접한 변의 길이이고, c는 모서리 반대쪽 변의 길이입니다.

유용한 조언

코사인의 수학적 표기법은 cos입니다.
코사인 값은 1보다 크고 -1보다 작을 수 없습니다.

출처:

  • 각도의 코사인을 계산하는 방법
  • 단위원의 삼각함수

코사인각도의 기본 삼각 함수입니다. 코사인을 결정하는 기능은 벡터 대수학에서 다양한 축에 대한 벡터 투영을 결정할 때 유용합니다.

지침

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

변 a, b, c가 각각 3, 4, 5mm인 삼각형이 있습니다.

찾다 코사인더 큰 변 사이의 각도.

변 a의 반대편 각도를 ?로 표시하면 위에서 도출된 공식에 따라 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 =32/40=0.8

답: 0.8.

삼각형이 직각이면 다음을 구하세요. 코사인각도에 대해서는 임의의 두 변의 길이를 아는 것만으로도 충분합니다( 코사인직각은 0).

변이 a, b, c인 직각삼각형이 있다고 가정합니다. 여기서 c는 빗변입니다.

모든 옵션을 고려해 보겠습니다.

cos를 찾으세요?(삼각형의) 변 a와 b의 길이를 알고 있는 경우

추가로 피타고라스 정리를 사용해 보겠습니다.

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

결과 공식이 올바른지 확인하기 위해 예제 1의 공식을 대체합니다.

몇 가지 기본 계산을 수행하면 다음을 얻습니다.

유사하게 발견됨 코사인직사각형으로 삼각형다른 경우에는:

알려진 a와 c(빗변과 반대쪽), cos를 찾으세요?

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

예제에서 a=3 및 c=5 값을 대체하면 다음을 얻습니다.

b와 c(빗변과 인접 다리)로 알려져 있습니다.

왜냐면 찾아?

유사한 변환을 수행한 후(예제 2 및 3 참조), 이 경우 다음을 얻습니다. 코사인 V 삼각형매우 간단한 공식을 사용하여 계산됩니다.

파생된 공식의 단순성은 간단하게 설명할 수 있습니다. 실제로 모서리에 인접합니까? 다리는 빗변의 투영이며, 그 길이는 빗변의 길이에 cos?를 곱한 것과 같습니다.

첫 번째 예에서 b=4 및 c=5 값을 대체하면 다음을 얻습니다.

이는 우리의 모든 공식이 정확하다는 것을 의미합니다.

팁 5: 직각삼각형에서 예각을 찾는 방법

곧장 탄소삼각형은 아마도 역사적 관점에서 볼 때 가장 유명한 기하학적 도형 중 하나일 것입니다. 피타고라스의 “바지”는 “유레카!”와만 경쟁할 수 있습니다. 아르키메데스.

필요할 것이예요

  • - 삼각형 그리기;
  • - 자;
  • - 각도기

지침

삼각형의 내각의 합은 180도입니다. 직사각형에서는 삼각형한 각도(직선)는 항상 90도이고 나머지는 예각입니다. 각각 90도 미만. 직사각형의 각도를 확인하려면 삼각형직선인 경우 눈금자를 사용하여 삼각형의 변을 측정하고 가장 큰 것을 결정합니다. 빗변(AB)이며 직각(C)의 반대편에 위치합니다. 나머지 두 변은 직각과 다리(AC, BC)를 이룬다.

어느 각도가 예각인지 결정한 후에는 각도기를 사용하여 수학 공식을 사용하여 각도를 계산할 수 있습니다.

각도기를 사용하여 각도를 결정하려면 각도기 중앙에 있는 눈금자의 특수 표시에 상단(문자 A로 표시)을 정렬합니다. 다리 AC는 상단 가장자리와 일치해야 합니다. 빗변 AB가 통과하는 지점을 각도기의 반원 부분에 표시합니다. 이 지점의 값은 각도(도)에 해당합니다. 각도기에 표시된 2개의 값이 있는 경우 예각의 경우 더 작은 값을 선택하고 둔각의 경우 더 큰 값을 선택해야 합니다.

Bradis 참고서에서 결과 값을 찾고 결과 수치가 어느 각도에 해당하는지 확인합니다. 우리 할머니들은 이 방법을 사용했습니다.

우리는 삼각법 공식을 계산하는 기능을 사용하는 것으로 충분합니다. 예를 들어 내장된 Windows 계산기가 있습니다. "계산기" 애플리케이션을 실행하고 "보기" 메뉴 항목에서 "엔지니어링"을 선택합니다. 원하는 각도의 사인을 계산합니다(예: sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0.5).

계산기 디스플레이에서 INV 버튼을 클릭하여 계산기를 역함수 모드로 전환한 다음 아크사인 함수 버튼(디스플레이에 sin 마이너스 첫 번째 거듭제곱으로 표시됨)을 클릭합니다. 계산 창에 asind (0.5) = 30이라는 메시지가 나타납니다. 원하는 각도의 값은 30도입니다.

출처:

  • Bradis 테이블(사인, 코사인)

수학에서 코사인 정리는 각도의 세 번째 변과 두 변을 찾아야 할 때 가장 자주 사용됩니다. 그러나 때로는 문제의 조건이 반대 방향으로 설정되는 경우도 있습니다. 즉, 주어진 세 변의 각도를 찾아야 합니다.

지침

두 변의 길이와 한 각의 값을 알고 있는 삼각형이 있다고 상상해 보십시오. 이 삼각형의 모든 각도는 서로 동일하지 않으며 변의 크기도 다릅니다. 각도 γ는 이 그림인 AB로 지정된 삼각형의 변 반대편에 있습니다. 이 각도와 나머지 변 AC 및 BC를 통해 코사인 정리를 사용하여 알 수 없는 삼각형의 변을 찾을 수 있으며, 이로부터 아래 공식이 도출됩니다.
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, 여기서 a=BC, b=AB, c=AC
코사인 정리는 일반화된 피타고라스 정리라고도 합니다.

이제 그림의 세 변이 모두 주어졌으나 각도 γ는 알 수 없다고 상상해 보십시오. a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ 형식을 알고 원하는 값이 각도 γ가 되도록 이 표현식을 변환합니다: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
그런 다음 위의 방정식을 약간 다른 형식(b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ)으로 바꾸세요.
그러면 이 표현식은 cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc로 변환되어야 합니다.
남은 것은 공식에 숫자를 대입하고 계산을 수행하는 것뿐입니다.

γ로 표시된 코사인을 찾으려면 아크 코사인이라고 하는 삼각법의 역으로 ​​표현해야 합니다. 숫자 m의 아크 코사인은 각도 γ의 코사인이 m과 같은 각도 γ의 값입니다. 함수 y=arccos m은 감소하고 있습니다. 예를 들어, 각도 γ의 코사인이 1/2과 같다고 상상해 보세요. 그러면 각도 γ는 아크 코사인을 통해 다음과 같이 정의될 수 있습니다.
γ = 아크코사인, m = 아크코사인 1/2 = 60°, 여기서 m = 1/2입니다.
비슷한 방법으로, 알려지지 않은 다른 두 변과 함께 삼각형의 나머지 각도를 찾을 수 있습니다.

사인과 코사인은 "직접"이라고 불리는 두 가지 삼각 함수입니다. 그것들은 다른 것보다 더 자주 계산되어야 하며 오늘날 이 문제를 해결하기 위해 우리 각자는 상당한 옵션을 선택할 수 있습니다. 다음은 가장 간단한 방법 중 일부입니다.

지침

다른 계산 방법을 사용할 수 없는 경우 각도기, 연필, 종이를 사용하십시오. 코사인의 정의 중 하나는 직각 삼각형의 예각으로 제공됩니다. 이는 이 각도 반대쪽 다리 길이와 길이 사이의 비율과 같습니다. 한 각도가 직각(90°)이고 다른 각도가 계산하려는 각도인 삼각형을 그립니다. 변의 길이는 중요하지 않습니다. 측정하기 더 편리한 방식으로 그립니다. 원하는 다리와 빗변의 길이를 측정하고 편리한 방법으로 첫 번째를 두 번째로 나눕니다.

인터넷 접속이 가능한 경우 Nigma 검색 엔진에 내장된 계산기를 사용하여 삼각 함수의 가치를 활용해 보세요. 예를 들어, 20° 각도의 코사인을 계산해야 하는 경우 http://nigma.ru 서비스의 메인 페이지를 로드한 후 검색어 필드에 "cosine 20"을 입력하고 "Find! "버튼. "도"를 생략하고 "코사인"이라는 단어를 cos로 바꿀 수 있습니다. 어떤 경우에도 검색 엔진은 소수점 이하 15자리(0.939692620785908)까지 정확한 결과를 표시합니다.

인터넷에 접속할 수 없는 경우 Windows 운영 체제와 함께 설치된 표준 프로그램을 엽니다. 예를 들어, win과 r 키를 동시에 누른 다음 calc 명령을 입력하고 확인 버튼을 클릭하면 됩니다. 삼각 함수를 계산하려면 OS 버전에 따라 "엔지니어링" 또는 "과학"이라는 인터페이스가 있습니다. 계산기 메뉴의 "보기" 섹션에서 원하는 항목을 선택하세요. 그런 다음 각도 값을 입력하고 프로그램 인터페이스에서 cos 버튼을 클릭하십시오.

주제에 관한 비디오

팁 8: 직각 삼각형의 각도를 결정하는 방법

직사각형은 모서리와 측면 사이의 특정 관계가 특징입니다. 그 중 일부 값을 알면 다른 값도 계산할 수 있습니다. 이를 위해 기하학의 공리와 정리를 기반으로 공식이 사용됩니다.

직각삼각형 풀이 문제를 고찰할 때 사인과 코사인의 정의를 암기하는 기술을 제시하겠다고 약속했습니다. 이를 사용하면 어느 쪽이 빗변에 속하는지(인접 또는 반대) 항상 빠르게 기억할 수 있습니다. 오랫동안 미루지 않기로 했는데요, 필요한 자료는 아래 있으니 꼭 읽어주세요😉

사실 저는 10~11학년 학생들이 이러한 정의를 기억하는 데 어려움을 겪는 것을 반복해서 관찰했습니다. 그들은 다리가 빗변을 의미한다는 것을 아주 잘 기억합니다.- 그들은 잊어버리고 혼란스러운. 시험에서 알 수 있듯이 실수의 대가는 상실점입니다.

제가 직접 제시하는 정보는 수학과 관련이 없습니다. 이는 상상력이 풍부한 사고와 언어적, 논리적 의사소통 방법과 관련이 있습니다. 그게 바로 내가 기억하는 방식이야, 영원히정의 데이터. 잊어버린 경우 제시된 기술을 사용하여 언제든지 쉽게 기억할 수 있습니다.

직각 삼각형에서 사인과 코사인의 정의를 상기시켜 드리겠습니다.

코사인직각 삼각형의 예각은 빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다.

공동직각 삼각형의 예각은 빗변에 대한 대변의 비율입니다.

그렇다면 코사인이라는 단어와 어떤 연관성이 있습니까?

아마 다들 자기만의 것이 있을 거예요 😉링크를 기억하세요:

따라서 그 표현은 즉시 당신의 기억 속에 나타날 것입니다.

«… 빗변에 대한 ADJACENT 다리의 비율».

코사인을 결정하는 문제가 해결되었습니다.

직각삼각형에서 사인의 정의를 기억하고 코사인의 정의를 기억해야 한다면 직각삼각형의 예각의 사인이 빗변에 대한 대변의 비율이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 결국 다리는 두 개뿐입니다. 인접한 다리가 코사인으로 "점유"되면 반대쪽 다리만 사인으로 남습니다.

탄젠트와 코탄젠트는 어떻습니까? 혼란은 똑같습니다. 학생들은 이것이 다리의 관계라는 것을 알고 있지만, 문제는 어느 쪽이 어느 쪽을 가리키는지, 즉 인접한 쪽의 반대쪽인지 아니면 그 반대인지 기억하는 것입니다.

정의:

접선직각 삼각형의 예각은 반대쪽과 인접한 쪽의 비율입니다.

코탄젠트직각 삼각형의 예각은 인접한 변과 대변의 비율입니다.

기억하는 방법? 두 가지 방법이 있습니다. 하나는 언어-논리적 연결을 사용하고 다른 하나는 수학적 연결을 사용합니다.

수학적 방법

그러한 정의가 있습니다 - 예각의 탄젠트는 각도의 사인과 코사인의 비율입니다.

*공식을 외우면 직각삼각형의 예각의 탄젠트가 대변과 인접변의 비율이라는 것을 항상 알 수 있습니다.

비슷하게.예각의 코탄젠트는 각도의 코사인과 사인의 비율입니다.

그래서! 이러한 공식을 기억하면 다음 사항을 항상 확인할 수 있습니다.

- 직각 삼각형의 예각의 탄젠트는 반대쪽과 인접한 쪽의 비율입니다.

- 직각삼각형의 예각의 코탄젠트는 인접한 변과 반대쪽의 비율입니다.

단어-논리적 방법

탄젠트에 대해서. 링크를 기억하세요:

즉, 접선의 정의를 기억해야 할 경우 이러한 논리적 연결을 이용하면 접선이 무엇인지 쉽게 기억할 수 있습니다.

"...인접한 변에 대한 반대쪽의 비율"

코탄젠트에 대해 이야기하면 탄젠트의 정의를 기억하면 코탄젠트의 정의를 쉽게 말할 수 있습니다.

“...인접한 면과 반대쪽의 비율”

웹사이트에는 탄젠트와 코탄젠트를 기억하는 흥미로운 방법이 있습니다. " 수학적 탠덤 " , 바라보다.

보편적인 방법

그냥 외워두시면 됩니다.그러나 실습에서 알 수 있듯이 언어-논리적 연결 덕분에 사람은 수학적 정보뿐만 아니라 오랫동안 정보를 기억합니다.

자료가 귀하에게 도움이 되었기를 바랍니다.

감사합니다, Alexander Krutitskikh

추신: 소셜 네트워크 사이트에 대해 알려주시면 감사하겠습니다.


이번 글에서는 기부 방법을 알려드리겠습니다. 삼각법에서 각도와 숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 정의. 여기에서는 표기법에 대해 이야기하고 항목의 예를 제공하며 그래픽 일러스트레이션을 제공합니다. 결론적으로 삼각법과 기하학에서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의 사이에 유사점을 그려 보겠습니다.

페이지 탐색.

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의

학교 수학 과정에서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 개념이 어떻게 형성되는지 살펴 보겠습니다. 기하학 수업에서는 직각 삼각형의 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의가 제공됩니다. 그리고 나중에 회전 각도와 숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대해 이야기하는 삼각법이 연구됩니다. 이러한 모든 정의를 제시하고 예를 제시하고 필요한 설명을 제공하겠습니다.

직각삼각형의 예각

기하학 과정에서 우리는 직각 삼각형의 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의를 알고 있습니다. 이는 직각 삼각형의 변의 비율로 제공됩니다. 그들의 공식을 제시해 보겠습니다.

정의.

직각 삼각형의 예각 사인빗변에 대한 대변의 비율입니다.

정의.

직각삼각형의 예각의 코사인빗변에 대한 인접한 다리의 비율입니다.

정의.

직각삼각형의 예각의 접선– 인접면에 대한 반대면의 비율입니다.

정의.

직각삼각형의 예각의 코탄젠트- 인접면과 반대면의 비율입니다.

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대한 지정(각각 sin, cos, tg 및 ctg)도 도입되었습니다.

예를 들어 ABC가 직각 C를 갖는 직각삼각형이라면 예각 A의 사인은 대변 BC와 빗변 AB의 비율, 즉 sin∠A=BC/AB와 같습니다.

이러한 정의를 사용하면 알려진 사인, 코사인, 탄젠트 값뿐만 아니라 알려진 직각 삼각형의 변 길이로부터 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 값을 계산할 수 있습니다. 코탄젠트와 변 중 하나의 길이를 구하여 다른 변의 길이를 구합니다. 예를 들어, 직각 삼각형에서 변 AC가 3이고 빗변 AB가 7이라는 것을 안다면 정의에 따라 예각 A의 코사인 값을 계산할 수 있습니다. cos∠A=AC/ AB=3/7.

회전 각도

삼각법에서는 각도를 더 광범위하게 보기 시작합니다. 회전 각도의 개념을 도입합니다. 예각과 달리 회전 각도의 크기는 0~90도로 제한되지 않습니다. 각도(및 라디안) 단위의 회전 각도는 -무한대에서 +무한대까지의 실수로 표현될 수 있습니다.

이 관점에서 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 예각이 아니라 임의 크기의 각도, 즉 회전 각도로 제공됩니다. 이는 점 A 1의 x 및 y 좌표를 통해 제공되며, 소위 시작점 A(1, 0)는 점 O를 중심으로 각도 α만큼 회전한 후 이동합니다. 이는 직교 직교 좌표계의 시작입니다. 그리고 단위원의 중심.

정의.

회전 각도의 사인α는 점 A1의 세로좌표, 즉 sinα=y이다.

정의.

회전 각도의 코사인α는 점 A1의 가로좌표, 즉 cosα=x라고 불린다.

정의.

회전 각도의 접선α는 점 A1의 세로 좌표와 가로 좌표의 비율, 즉 tanα=y/x입니다.

정의.

회전 각도의 코탄젠트α는 점 A1의 가로좌표와 세로좌표의 비율, 즉 ctgα=x/y입니다.

사인과 코사인은 모든 각도 α에 대해 정의됩니다. 왜냐하면 시작점을 각도 α만큼 회전하여 얻은 점의 가로좌표와 세로좌표를 항상 결정할 수 있기 때문입니다. 그러나 탄젠트와 코탄젠트는 어떤 각도에도 정의되지 않습니다. 접선은 시작점이 가로좌표가 0(0, 1) 또는 (0, −1)인 점으로 가는 각도 α에 대해 정의되지 않으며 이는 각도 90°+180° k, k∈Z(π)에서 발생합니다. /2+π·k rad). 실제로 이러한 회전 각도에서 tgα=y/x라는 표현은 0으로 나누기를 포함하므로 의미가 없습니다. 코탄젠트의 경우 시작점이 세로 좌표가 0인 (1, 0) 또는 (−1, 0) 점으로 가는 각도 α에 대해서는 정의되지 않으며 이는 각도 180° k, k ∈Z에 대해 발생합니다. (π·k rad).

따라서 모든 회전 각도에 대해 사인과 코사인이 정의되고, 90°+180°k, k∈Z(π/2+πk rad)를 제외한 모든 각도에 대해 탄젠트가 정의되고, 180°·k를 제외한 모든 각도에 대해 코탄젠트가 정의됩니다. , k∈Z(π·k rad).

정의에는 이미 우리에게 알려진 sin, cos, tg 및 ctg 지정이 포함되며 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 지정하는 데에도 사용됩니다(때로는 탄젠트 및 코탄젠트에 해당하는 지정 tan 및 cot를 찾을 수 있음) . 따라서 30도 회전 각도의 사인은 sin30°로 쓸 수 있으며 항목 tg(−24°17′) 및 ctgα는 회전 각도 −24 도 17분의 탄젠트 및 회전 각도 α의 코탄젠트에 해당합니다. . 각도의 라디안 단위를 쓸 때 "rad"라는 명칭이 종종 생략된다는 점을 기억하십시오. 예를 들어, 3pi rad의 회전각의 코사인은 일반적으로 cos3·π로 표시됩니다.

이 점의 결론적으로 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대해 말할 때 "회전 각도"라는 문구 또는 "회전"이라는 단어가 생략되는 경우가 많다는 점에 주목할 가치가 있습니다. 즉, "회전 각도 알파의 사인"이라는 문구 대신 "알파 각도의 사인" 또는 더 짧은 "사인 알파"라는 문구가 일반적으로 사용됩니다. 코사인, 탄젠트, 코탄젠트에도 동일하게 적용됩니다.

또한 직각 삼각형의 예각의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 0도에서 90도 범위의 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트에 대해 주어진 정의와 일치한다고 말할 것입니다. 우리는 이것을 정당화할 것입니다.

숫자

정의.

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 숫자 t는 각각 t 라디안 단위의 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트와 동일한 숫자입니다.

예를 들어, 정의에 따라 숫자 8·π의 코사인은 8·π rad 각도의 코사인과 동일한 숫자입니다. 그리고 8·π rad 각도의 코사인은 1과 같으므로 숫자 8·π의 코사인은 1과 같습니다.

숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 결정하는 또 다른 접근 방식이 있습니다. 각 실수 t는 직각 좌표계의 원점을 중심으로 하는 단위원 위의 한 점과 연관되어 있으며 이 점의 좌표를 통해 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트가 결정된다는 사실로 구성됩니다. 이를 좀 더 자세히 살펴보겠습니다.

실수와 원 위의 점 사이에 대응 관계가 어떻게 설정되는지 보여드리겠습니다.

  • 숫자 0에는 시작점 A(1, 0)이 할당됩니다.
  • 양수 t는 단위원의 한 점과 연관되어 있으며, 시작점에서 반시계 방향으로 원을 따라 이동하고 길이 t의 경로를 걸으면 도달하게 됩니다.
  • 음수 t는 단위원의 한 점과 연관되어 있으며, 시작점에서 시계 방향으로 원을 따라 이동하고 길이 |t|의 경로를 따라 이동하면 도달하게 됩니다. .

이제 숫자 t의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의로 넘어갑니다. 숫자 t가 원 A 1 (x, y) 위의 한 점에 해당한다고 가정합니다(예를 들어 숫자 &pi/2;는 점 A 1 (0, 1) 에 해당함).

정의.

숫자의 사인 t는 숫자 t에 해당하는 단위원 위 점의 세로 좌표, 즉 sint=y입니다.

정의.

숫자의 코사인 t는 숫자 t에 해당하는 단위원 점의 가로좌표, 즉 비용=x라고 합니다.

정의.

숫자의 탄젠트 t는 숫자 t에 해당하는 단위원 위의 점의 가로 좌표에 대한 세로 좌표의 비율, 즉 tgt=y/x입니다. 또 다른 등가 공식에서 숫자 t의 탄젠트는 이 숫자의 사인 대 코사인의 비율, 즉 tgt=sint/cost입니다.

정의.

숫자의 코탄젠트 t는 숫자 t에 해당하는 단위원 위의 점의 세로 좌표에 대한 가로 좌표의 비율, 즉 ctgt=x/y입니다. 또 다른 공식은 다음과 같습니다: 숫자 t의 탄젠트는 숫자 t의 코사인과 숫자 t의 사인의 비율입니다: ctgt=cost/sint.

여기서 우리는 방금 제공된 정의가 이 단락의 시작 부분에 제공된 정의와 일치한다는 점에 주목합니다. 실제로 단위원 위의 숫자 t에 해당하는 점은 시작점을 t라디안 각도만큼 회전시켜 얻은 점과 일치합니다.

이 점을 명확히 하는 것은 여전히 ​​가치가 있습니다. 항목 sin3이 있다고 가정해 보겠습니다. 숫자 3의 사인에 대해 이야기하고 있는지 아니면 3라디안 회전 각도의 사인에 대해 이야기하고 있는지 어떻게 이해할 수 있습니까? 이는 일반적으로 문맥을 보면 분명하지만, 그렇지 않으면 근본적으로 중요하지 않을 가능성이 높습니다.

각도 및 숫자 인수의 삼각 함수

이전 단락에 제공된 정의에 따르면 각 회전 각도 α는 cosα 값뿐만 아니라 매우 구체적인 값 sinα에 해당합니다. 또한 90°+180°k, k∈Z(π/2+πk rad) 이외의 회전각은 모두 tgα 값에 해당하고, 180°k 이외의 값은 k∈Z(πk rad) – 값에 해당합니다. ctgα의 . 따라서 sinα, cosα, tanα 및 ctgα는 각도 α의 함수입니다. 즉, 이들은 각도 인수의 함수입니다.

수치 인수의 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 함수에 대해서도 비슷하게 말할 수 있습니다. 실제로 각 실수 t는 비용뿐만 아니라 매우 구체적인 값 sint에 해당합니다. 또한, π/2+π·k, k∈Z 이외의 모든 숫자는 tgt 값에 해당하고, 숫자 π·k, k∈Z - ctgt 값에 해당합니다.

사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 함수를 호출합니다. 기본 삼각 함수.

우리가 각도 인수 또는 수치 인수의 삼각 함수를 다루고 있는지는 일반적으로 문맥에서 명확합니다. 그렇지 않으면 독립 변수를 각도 측정값(각 인수)과 숫자 인수로 생각할 수 있습니다.

그러나 학교에서는 주로 수치 함수, 즉 인수와 해당 함수 값이 숫자인 함수를 공부합니다. 따라서 함수에 대해 구체적으로 이야기하는 경우 삼각 함수를 수치 인수의 함수로 간주하는 것이 좋습니다.

기하학과 삼각법의 정의 사이의 관계

0도에서 90도 범위의 회전 각도 α를 고려하면 삼각법의 맥락에서 회전 각도의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의와 완전히 일치합니다. 기하학 과정에서 제공되는 직각 삼각형의 예각. 이것을 정당화해보자.

직사각형 직교 좌표계 Oxy에서 단위원을 묘사해 보겠습니다. 시작점 A(1, 0) 을 표시해 보겠습니다. 0도에서 90도 사이의 각도 α만큼 회전하면 점 A 1(x, y)을 얻습니다. A 1 지점에서 Ox 축으로 수직 A 1 H를 떨어뜨려 보겠습니다.

직각 삼각형에서 각도 A 1 OH는 회전 각도 α와 같고, 이 각도에 인접한 다리 OH의 길이는 점 A 1의 가로좌표, 즉 |OH와 같다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. |=x, 각도 반대쪽 다리 A 1 H의 길이는 점 A 1의 세로 좌표, 즉 |A 1 H|=y와 같고 빗변 OA 1의 길이는 1과 같습니다. 단위원의 반지름이기 때문입니다. 그런 다음 기하학의 정의에 따라 직각 삼각형 A 1 OH의 예각 α의 사인은 빗변에 대한 반대쪽 다리의 비율, 즉 sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. 그리고 삼각법의 정의에 따르면 회전 각도 α의 사인은 점 A 1의 세로 좌표와 같습니다. 즉, sinα=y입니다. 이는 직각 삼각형의 예각의 사인을 결정하는 것이 α가 0에서 90도일 때 회전 각도 α의 사인을 결정하는 것과 동일하다는 것을 보여줍니다.

유사하게, 예각 α의 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 회전 각도 α의 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의와 일치한다는 것을 알 수 있습니다.

서지.

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삼각법은 삼각 함수와 기하학에서의 사용을 연구하는 수학 과학의 한 분야입니다. 삼각법의 발전은 고대 그리스에서 시작되었습니다. 중세 시대에는 중동과 인도의 과학자들이 이 과학의 발전에 중요한 공헌을 했습니다.

이 글은 삼각법의 기본 개념과 정의에 대해 다루고 있습니다. 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 등 기본 삼각 함수의 정의에 대해 설명합니다. 그 의미는 기하학의 맥락에서 설명되고 예시됩니다.

Yandex.RTB R-A-339285-1

처음에 각도를 인수로 하는 삼각 함수의 정의는 직각삼각형의 변의 비율로 표현되었습니다.

삼각 함수의 정의

각도의 사인(sin α)은 빗변에 대한 이 각도 반대쪽 다리의 비율입니다.

각도의 코사인(cos α) - 인접한 다리와 빗변의 비율입니다.

각도 탄젠트(t g α) - 반대쪽과 인접한 쪽의 비율입니다.

각도 코탄젠트(c t g α) - 인접면과 반대면의 비율입니다.

이러한 정의는 직각 삼각형의 예각에 대해 제공됩니다!

예를 들어 보겠습니다.

직각 C를 가진 삼각형 ABC에서 각도 A의 사인은 다리 BC와 빗변 AB의 비율과 같습니다.

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의를 사용하면 알려진 삼각형 변의 길이에서 이러한 함수의 값을 계산할 수 있습니다.

기억하는 것이 중요합니다!

사인과 코사인의 값 범위는 -1부터 1까지이다. 즉, 사인과 코사인은 -1부터 1까지의 값을 갖는다. 탄젠트와 코탄젠트의 값 범위는 수직선 전체이고, 즉, 이러한 함수는 어떤 값이든 취할 수 있습니다.

위에 주어진 정의는 예각에 적용됩니다. 삼각법에서는 예각과 달리 그 값이 0도 또는 라디안으로 제한되지 않는 회전 각도의 개념이 도입됩니다. .

이러한 맥락에서 사인, 코사인, 탄젠트 및 임의 크기 각도의 코탄젠트를 정의할 수 있습니다. 데카르트 좌표계의 원점을 중심으로 하는 단위원을 상상해 봅시다.

좌표가 (1, 0)인 초기 점 A는 단위원의 중심을 중심으로 특정 각도 α만큼 회전하여 점 A 1로 이동합니다. 정의는 점 A 1 (x, y)의 좌표로 제공됩니다.

회전 각도의 사인(sin)

회전 각도 α의 사인은 점 A 1(x, y)의 세로 좌표입니다. 죄 α = y

회전 각도의 코사인(cos)

회전 각도 α의 코사인은 점 A 1(x, y)의 가로좌표입니다. 왜냐하면 α = x

회전 각도의 탄젠트(tg)

회전 각도 α의 접선은 점 A 1 (x, y)의 세로 좌표와 가로 좌표의 비율입니다. t g α = y x

회전 각도의 코탄젠트(ctg)

회전 각도 α의 코탄젠트는 점 A 1 (x, y)의 가로 좌표와 세로 좌표의 비율입니다. ctgα = xy

사인과 코사인은 모든 회전 각도에 대해 정의됩니다. 회전 후 점의 가로 좌표와 세로 좌표는 어떤 각도에서도 결정될 수 있기 때문에 이는 논리적입니다. 탄젠트와 코탄젠트의 경우 상황이 다릅니다. 회전 후 점이 0(0, 1) 및 (0, - 1)의 가로좌표를 갖는 점으로 갈 때 접선은 정의되지 않습니다. 이러한 경우 접선 t g α = y x에 대한 표현식은 0으로 나누기를 포함하므로 의미가 없습니다. 상황은 코탄젠트와 유사합니다. 차이점은 점의 세로 좌표가 0이 되는 경우에는 코탄젠트가 정의되지 않는다는 점입니다.

기억하는 것이 중요합니다!

사인과 코사인은 모든 각도 α에 대해 정의됩니다.

접선은 α = 90° + 180° k, k ∈ Z(α = π 2 + π k, k ∈ Z)를 제외한 모든 각도에 대해 정의됩니다.

코탄젠트는 α = 180° k, k ∈ Z(α = π k, k ∈ Z)를 제외한 모든 각도에 대해 정의됩니다.

실제 사례를 풀 때 "회전 각도 α의 사인"이라고 말하지 마십시오. "회전 각도"라는 단어는 단순히 생략되었으며, 이는 논의 중인 내용이 문맥에서 이미 명확하다는 것을 의미합니다.

숫자

회전 각도가 아닌 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의는 어떻습니까?

사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트 숫자

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트 숫자 티는 각각 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트와 같은 숫자입니다. 티라디안.

예를 들어, 숫자 10 π의 사인은 회전 각도 10 π rad의 사인과 같습니다.

숫자의 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트를 결정하는 또 다른 접근 방식이 있습니다. 좀 더 자세히 살펴보겠습니다.

임의의 실수 티단위원 위의 한 점은 직사각형 직교 좌표계의 원점 중심과 연관되어 있습니다. 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 이 점의 좌표를 통해 결정됩니다.

원의 시작점은 좌표가 (1, 0)인 점 A입니다.

정수 티

음수 티는 시계 반대 방향으로 원을 중심으로 이동하여 경로 t를 통과하면 시작점이 갈 지점에 해당합니다.

이제 숫자와 원 위의 점 사이의 연결이 설정되었으므로 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 정의로 넘어갑니다.

t의 사인(sin)

숫자의 사인 티- 숫자에 해당하는 단위원 위의 한 점의 세로좌표 티. 죄 t = y

t의 코사인(cos)

숫자의 코사인 티- 숫자에 해당하는 단위원 점의 가로좌표 티. 비용 t = x

t의 탄젠트(tg)

숫자의 탄젠트 티- 숫자에 해당하는 단위원 위의 한 점의 가로좌표와 세로좌표의 비율 티. t g t = y x = 죄 t 비용

최신 정의는 이 단락의 시작 부분에 제공된 정의와 일치하며 모순되지 않습니다. 숫자에 해당하는 원 위의 점 티, 각도만큼 회전하여 시작점이 가는 지점과 일치 티라디안.

각도 및 숫자 인수의 삼각 함수

각도 α의 각 값은 이 각도의 특정 사인 및 코사인 값에 해당합니다. α = 90 ° + 180 ° k 이외의 모든 각도 α와 마찬가지로 k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)는 특정 탄젠트 값에 해당합니다. 위에서 설명한 대로 코탄젠트는 α = 180° k, k ∈ Z(α = π k, k ∈ Z)를 제외한 모든 α에 대해 정의됩니다.

sin α, cos α, t g α, c t g α는 각도 알파의 함수이거나 각도 인수의 함수라고 말할 수 있습니다.

마찬가지로 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트를 수치 인수의 함수로 이야기할 수 있습니다. 모든 실수 티숫자의 사인 또는 코사인의 특정 값에 해당합니다. 티. π 2 + π · k, k ∈ Z 이외의 모든 숫자는 탄젠트 값에 해당합니다. 마찬가지로 코탄젠트는 π · k, k ∈ Z를 제외한 모든 숫자에 대해 정의됩니다.

삼각법의 기본 기능

사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트는 기본 삼각 함수입니다.

일반적으로 우리가 다루고 있는 삼각 함수의 인수(각 인수 또는 숫자 인수)가 무엇인지는 문맥을 통해 분명합니다.

처음에 주어진 정의와 0도에서 90도 범위에 있는 알파 각도로 돌아가 보겠습니다. 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 삼각법 정의는 직각 삼각형의 종횡비로 제공되는 기하학적 정의와 완전히 일치합니다. 보여드리겠습니다.

직사각형 직교 좌표계의 중심이 있는 단위원을 생각해 보겠습니다. 시작점 A(1,0)를 최대 90도 각도로 회전하고 결과 점 A1(x,y)에서 가로축에 수직인 선을 그립니다. 결과 직각 삼각형에서 각도 A 1 O H는 회전 각도 α와 같고 다리 O H의 길이는 점 A 1 (x, y)의 가로좌표와 같습니다. 각도 반대편 다리의 길이는 점 A 1 (x, y)의 세로 좌표와 같고, 빗변의 길이는 단위원의 반지름이므로 1과 같습니다.

기하학의 정의에 따르면 각도 α의 사인은 빗변에 대한 반대쪽의 비율과 같습니다.

죄 α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

이는 종횡비를 통해 직각 삼각형의 예각의 사인을 결정하는 것이 회전 각도 α의 사인을 결정하는 것과 동일하며 알파는 0에서 90도 범위에 있음을 의미합니다.

마찬가지로, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트에 대한 정의의 일치성을 표시할 수 있습니다.

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