매개변수를 사용한 이차 방정식 및 부등식. 교과서 "매개변수를 사용한 방정식 및 부등식" 매개변수를 사용하여 삼각 부등식을 해결하는 방법
시사:
모스크바 지역 교육부
국립 교육 기관 NPO 직업 학교 제37호
프로젝트:
매개변수를 사용한 2차 방정식과 부등식"
수행 -
마추크 갈리나 니콜라예브나,
국립 교육 기관 NPO 수학 교사
직업 학교 No. 37 MO.
G. 노긴스크, 2011
1. 소개
4. 초기 조건에서 2차 방정식을 푸는 방법론.
6. 일반 형식의 매개변수를 사용하여 2차 부등식을 해결하는 방법론.
7. 초기 조건에서 2차 부등식을 해결하는 방법론.
8. 결론.
9.문학.
- 소개.
직업 학교에서 수학을 가르치는 주요 임무는 학생들이 일상 생활과 업무에 필요한 수학적 지식과 기술 시스템을 강력하고 의식적으로 숙달하고 관련 학문을 공부하고 교육을 계속하는 것은 물론 충분히 높은 수학적 문화가 필요합니다.
프로파일링된 수학 교육은 금속 가공, 전기 설치 작업, 목공 직업과 관련된 응용 문제 해결을 통해 수행됩니다. 현대 사회의 삶을 위해서는 특정 정신적 능력으로 나타나는 수학적 의사소통 스타일을 개발하는 것이 중요합니다. 매개변수 문제에는 진단 및 예측 가치가 있습니다. 도움을 받으면 초등 수학의 주요 부분에 대한 지식, 논리적 사고 수준 및 초기 연구 기술을 테스트할 수 있습니다.
매개 변수를 사용하여 과제를 가르치려면 학생들에게 큰 정신적, 의지적 노력, 주의력 개발, 활동, 창의적 독창성, 집단적 인지 작업과 같은 자질 함양이 필요합니다. 매개 변수 문제는 최종 주 인증을 준비하기 위해 2년차 일반 반복 과정에서 학습을 지향하고, 3년차에는 통합 국가 시험 형태로 최종 시험을 치르고 싶은 의사를 표현한 학생들을 준비하기 위한 추가 수업을 진행합니다. .
수학 교육 현대화의 주요 방향은 통합 국가 시험 도입을 통한 최종 인증 메커니즘 개발입니다. 최근에는 수학 과제에 매개변수 문제가 도입되었습니다. 이러한 작업은 대학 입학 시험에 필요합니다. 이러한 문제의 출현은 지원자의 초등 수학 공식 숙달도, 방정식 및 부등식 해결 방법, 논리적 추론 사슬 구축 능력, 지원자의 논리적 사고 수준을 테스트하기 때문에 매우 중요합니다. . 지난 몇 년 동안의 이전 통합 상태 시험 결과를 분석한 결과, 졸업생은 이러한 과제를 해결하는 데 큰 어려움을 겪고 있으며 많은 사람들이 시작조차 하지 않는 것으로 나타났습니다. 대부분은 이러한 작업에 전혀 대처할 수 없거나 번거로운 계산을 제공합니다. 그 이유는 학교 교과서에 이 주제에 대한 과제 시스템이 부족하기 때문입니다. 이와 관련하여 전문 오리엔테이션과 관련된 매개 변수 및 적용 성격의 문제 해결에 대한 시험 준비를 위해 대학원 그룹에서 특별 주제를 수행할 필요가 있었습니다.
이 주제에 대한 연구는 대수학의 복잡성이 증가하는 문제를 해결하는 방법과 분석의 시작을 배우고자 하는 3학년 학생들을 대상으로 합니다. 이러한 문제를 해결하면 심각한 어려움이 발생합니다. 이는 매개변수가 있는 각 방정식 또는 부등식이 일반 방정식 및 부등식의 전체 클래스를 나타내며 각각에 대해 해를 구해야 한다는 사실 때문입니다.
매개변수를 사용하여 문제를 해결하는 과정에서 인간 사고의 기술과 방법에는 자연스럽게 귀납과 추론, 일반화와 구체화, 분석, 분류와 체계화, 유추가 포함됩니다. 전문학교의 커리큘럼은 충분한 수학 훈련을 받고, 학습 과목에 관심을 가지며, 대학 진학을 목표로 하는 학생을 대상으로 수업 시간표에 포함된 수학 상담을 제공하는 것이 바람직합니다. 올림피아드, 수학 대회, 다양한 유형의 시험, 특히 통합 상태 시험을 준비하기 위한 매개 변수 문제를 해결하기 위해 지정된 시간을 사용합니다. 이러한 문제의 해결은 특히 응용 및 실제 목적과 관련이 있으며 다양한 연구를 수행하는 데 도움이 될 것입니다.
2. 목표, 주요 업무, 방법, 기술, 지식 요구 사항.
프로젝트 목표:
- 이차 방정식 및 부등식 연구로 귀결되는 매개 변수 문제를 해결하는 능력과 기술의 형성.
- 주제에 대한 관심 형성, 수학적 능력 개발, 통합 상태 시험 준비.
- 방정식과 부등식을 해결하는 기술과 방법에 대한 수학적 이해를 넓힙니다.
- 논리적 사고와 연구 능력의 개발.
- 창의적, 연구 및 교육 활동에 참여합니다.
- 독립적이고 창의적인 작업을 위한 조건을 제공합니다.
- 학생들의 정신적, 의지적 노력을 육성하고 주의력, 활동, 창의적 주도권 및 집단 인지 작업 기술을 개발합니다.
프로젝트의 주요 목표:
- 학생들에게 수학에 대한 관심과 수학 발전을 위한 개인의 기회를 실현할 수 있는 기회를 제공합니다.
- 사실에 입각한 지식과 기술 습득을 촉진합니다.
- 응용 연구 분야에서 매개변수 문제의 실질적인 중요성을 보여줍니다.
- 표준 및 비표준 방정식과 부등식을 해결하는 방법을 가르칩니다.
- 수학에 대한 지식을 심화하고 해당 주제에 대한 지속 가능한 관심을 형성합니다.
- 학생들의 수학적 능력을 확인하고 개발합니다.
- 대학 입학 준비를 제공합니다.
- 높은 수준의 수학 문화를 요구하는 전문적인 활동을 준비합니다.
- 지적 능력과 의사소통 능력의 개발을 촉진하는 연구 및 프로젝트 활동을 조직합니다.
수업 중 사용되는 방법:
- 강의 – 학생들과의 대화를 통해 이론적 자료를 전달합니다.
- 세미나 - 이론 토론에 관한 자료를 통합합니다.
- 워크샵 – 수학적 문제를 해결하기 위한 것입니다.
- 토론 – 솔루션에 대한 논거를 제공합니다.
- 다양한 형태의 그룹 활동과 개인 활동.
- 다음을 통해 구성된 연구 활동: 교훈적인 자료 작업, 메시지 준비, 초록 방어 및 창의적인 작품.
- 강의 – 컴퓨터와 프로젝터를 사용하여 프레젠테이션을 진행합니다.
사용된 기술:
- 강의-세미나 훈련 시스템.
- 정보 및 통신 기술.
- 사고 능력 개발을 목표로 하는 교육 연구 방법입니다.
- 문제를 제기하고 문제에 대한 다양한 옵션을 논의함으로써 연구 동기를 부여하는 문제 기반 학습입니다.
- 학생들의 인지적 흥미를 발달시키는데 도움을 주는 활동 방법 기술.
학생들의 지식 요구 사항.
매개변수를 사용하여 이차방정식과 부등식을 푸는 다양한 방법을 연구한 결과, 학생들은 다음과 같은 기술을 습득해야 합니다.
- 2차 방정식과 2차 부등식에서 매개변수의 개념을 확실히 파악합니다.
- 매개변수를 사용하여 이차방정식을 풀 수 있습니다.
- 매개변수를 사용하여 2차 부등식을 풀 수 있습니다.
- 이차 함수의 근을 구합니다.
- 2차 함수의 그래프를 작성합니다.
- 이차삼항식을 탐색해 보세요.
- 신원 변환의 합리적인 방법을 적용하십시오.
- 가장 일반적으로 사용되는 휴리스틱 기술을 사용합니다.
- 습득한 지식을 개인용 컴퓨터에서 작업할 때 적용할 수 있습니다.
통제 형태.
- 수업 - 자기 평가 및 동지 평가.
- 교육 프로젝트 발표.
- 테스트.
- 등급 – 표.
- 전년도 통합 주립 시험 컬렉션의 숙제 문제입니다.
- 시험지.
3. 일반 형식의 매개변수를 사용하여 2차 방정식을 풀기 위한 방법론.
매개변수 문제를 두려워하지 마세요. 우선, 매개변수를 사용하여 방정식과 부등식을 풀 때 방정식과 부등식을 풀 때 수행되는 작업을 수행해야 합니다. 가능하면 주어진 방정식이나 부등식을 더 간단한 형식으로 줄입니다. 유리식을 인수분해하고, 줄인 다음, 괄호 등을 제외합니다. .d. 크게 두 부류로 나눌 수 있는 문제가 있습니다.
첫 번째 클래스에는 매개변수의 가능한 모든 값에 대한 방정식이나 부등식을 해결하는 데 필요한 예가 포함되어 있습니다.
두 번째 클래스에는 가능한 모든 솔루션을 찾는 것이 아니라 일부 추가 조건을 충족하는 솔루션만 찾는 데 필요한 예가 포함되어 있습니다. 그러한 문제의 종류는 무궁무진합니다.
학생들이 이러한 문제를 해결하는 가장 이해하기 쉬운 방법은 먼저 모든 솔루션을 찾은 다음 추가 조건을 만족하는 솔루션을 선택하는 것입니다.
매개변수 문제를 풀 때 일반적인 평면(x, y)에서 그래프를 구성하는 것이 편리할 때도 있고, 때로는 평면(x, a)에서 그래프를 구성하는 것이 더 나은 경우도 있습니다. 여기서 x는 독립 변수이고 "a"입니다. 매개변수입니다. 이는 직선, 포물선, 원 등 친숙한 기본 그래프를 구성해야 하는 문제에서 주로 가능합니다. 또한 그래프 스케치는 솔루션의 "진행 상황"을 명확하게 확인하는 데 도움이 되는 경우도 있습니다.
방정식 f (x,a) = 0과 부등식 f (x,a) > 0을 풀 때 먼저 계수가 가장 높은 매개 변수 값에 대해 솔루션이 고려된다는 점을 기억해야합니다. 제곱 삼항식 f(x,a)의 x제곱을 구하여 차수를 줄입니다. 2차 방정식 A(a) x 2 + B(a) x + C(a) = 0 A(a) = 0에서 B(a) ≠ 0이면 선형으로 바뀌며, 2차 방정식과 1차 방정식을 푸는 방법이 다릅니다.
이차 방정식 작업을 위한 기본 공식을 기억해 보겠습니다.
아 형태의 방정식 2 + in + c = 0, 여기서 x R은 미지수이고, a, b, c는 매개변수에만 의존하는 식으로, a ≠ 0을 2차방정식이라 하고, D = b 2 – 4ac는 2차 삼항식의 판별식이라고 합니다.
만약 D
D > 0이면 방정식은 두 개의 서로 다른 근을 갖습니다.
x 1 = , x 2 = , 그리고 ax 2 + in + c = a (x – x 1) (x – x 2).
이러한 근은 Vieta의 공식에 의한 방정식의 계수를 통해 관련됩니다.
D = 0이면 방정식에는 두 개의 일치하는 근 x가 있습니다. 1 = x 2 = , 그리고 ax 2 + in + c = a (x – x 1) 2 . 이 경우 방정식에는 하나의 해가 있다고 합니다.
언제, 즉 = 2k, 이차 방정식의 근은 공식 x에 의해 결정됩니다. 1,2 = ,
축소된 2차 방정식 x를 풀려면 2 + px + q = 0
사용된 공식은 x입니다. 1,2 = - , Vieta의 공식도 마찬가지입니다.
예. 방정식 풀기:
예시 1. + =
해결책:
a ≠ - 1, x ≠ 2의 경우 x를 얻습니다. 2 + 2ax – 3b + 4 = 0 및 뿌리
x 1 = - a - , x 2 = -a + , 기존 위치
A 2 + 2a – 4 0, 즉 ~에
이제 x와 같은 것이 있는지 확인해 봅시다. 1개 또는 2개 는 2와 같습니다. x = 2를 2차 방정식에 대입하면 a = - 8을 얻습니다.
이 경우 두 번째 근은 다음과 같습니다.(비에타의 정리에 따르면) a = - 8은 14와 같습니다.
답: a = - 8의 경우 유일한 해는 x = 14입니다.
만약 a (- ; - 8) (- 8; - 4) (1; + ) – 두 개의 근 x 1과 x 2;
만약 = - 유일한 해법 x =각기;
a (-4; 1)이면 x 입니다.
때때로 분수 항이 있는 방정식은 이차 방정식으로 축소됩니다. 다음 방정식을 고려하십시오.
예시 2. - =
해결 방법: a = 0인 경우 의미가 없습니다. 값 x는 다음 조건을 충족해야 합니다. x -1, x -2. 방정식의 모든 항에 (x + 1) (x +2)를 곱합니다. 0,
우리는 x 2 – 2(a – 1)x + a 2를 얻습니다. – 2a – 3 = 0, 이와 동일합니다. 그 뿌리:
x 1 = a + 1, x 2 = - 3. 이 근에서 외부 근을 선택해 보겠습니다. 즉, – 1 및 – 2와 동일한 것:
× 1 = a + 1 = - 1, a = - 2, 그러나 a = - 2 x 2 = - 5;
× 1 = a + 1 = - 2, a = - 3, 그러나 a = - 3 x 2 = - 6;
X 2 = a - 3 = - 1, a = 2, 그러나 a = 2 x 1 = 3;
X 2 = a - 3 = - 2, a = 1, 그러나 a = 1 x 1 = 2.
답: a ≠ 0의 경우 a ≠ 2, a ≠ - 3, a ≠ 1 x 1 = a + 1, x 2 = a – 3;
a = - 2 x = - 5일 때; a = - 3 x = - 6일 때.
4. 초기 조건에서 2차 방정식을 푸는 방법론.
파라메트릭 2차 방정식의 조건은 다양합니다. 예를 들어, 근이 양수, 음수, 다른 부호를 가짐, 특정 숫자보다 크거나 작은 등의 매개변수 값을 찾아야 합니다. 이 문제를 해결하려면 이차방정식 ax의 근의 속성을 사용해야 합니다. 2 + in + c = 0.
D > 0, a > 0이면 방정식은 두 개의 서로 다른 실제 근을 가지며, c > 0에 대한 부호는 동일하고 계수 b의 부호와 반대이며, c에 대한 부호는 반대입니다.
D = 0, a > 0이면 방정식은 실수 및 등근을 가지며 그 부호는 계수 b의 부호와 반대입니다.
D 0이면 방정식에는 실제 근이 없습니다.
마찬가지로, 우리는 다음의 이차 방정식의 근의 속성을 확립할 수 있습니다.
- 이차 방정식에서 계수 a와 c를 바꾸면 근이 주어진 근의 역인 방정식을 얻습니다.
- 이차 방정식에서 계수 b의 부호를 변경하면 근이 주어진 근과 반대되는 방정식을 얻습니다.
- 2차 방정식에서 계수 a와 c의 부호가 서로 다른 경우 이는 실수 근을 가집니다.
- a > 0이고 D = 0이면 이차 방정식의 왼쪽은 완전 정사각형이고, 그 반대의 경우 방정식의 왼쪽이 완전 정사각형이면 a > 0이고 D = 0입니다.
- 방정식의 모든 계수가 유리수이고 판별식이 완전 제곱을 나타내는 경우 방정식의 근은 유리수입니다.
- 0을 기준으로 근의 위치를 고려하면 Vieta의 정리를 적용합니다.
수직선에서 이차 함수의 영점 위치와 조건에 따라 이차 삼항식의 근을 선택합니다.
f (x) = ax 2 + in + c, a 0, 루트 x 1 ˂ x 2, ˂ 라고 합니다.
수직선상의 뿌리 위치입니다. | 필요조건과 충분조건. |
|
1개, 2개 | 그리고 f ( ) > 0, D 0, x 0 |
|
x 1, x 2 > | 그리고 f ( ) > 0, D 0, x 0 > |
|
x 1 2 | 그리고 f( ) |
|
1,x2 . | 그리고 f( ) > 0, D 0, 그리고 f( ) > 0 0 . |
|
1 2 | 그리고 f( ) > 0, 그리고 f( ) |
|
x 1 2 | 그리고 f( ) ) > 0 |
|
x 1 2 | 그리고 f( ) ) |
예시 3. 방정식의 어떤 값을 결정
x 2 – 2 (a – 1) x + 2a + 1 = 0
- 뿌리가 없습니다:
필요충분조건 D
D = (a – 1) 2 – 2a – 1 = a 2 – 4a
- 뿌리가 있습니다:
D 0, D = (a – 1) 2 – 2a – 1 0, a
- 루트는 하나입니다:
- 두 가지 뿌리가 있습니다.
D > 0, 즉
- 긍정적인 뿌리를 가지고 있습니다:
2(a – 1) > 0 a 4
질문이 "두 개의 긍정적인 뿌리를 가지고 있습니다"라면 시스템은 다음을 대체해야 합니다. D > 0;
- 음수 뿌리가 있습니다:
2(a – 1)
- 다른 기호의 뿌리를 가지고 있습니다. 하나는 긍정적이고 다른 하나는 부정적입니다.
;
상태 사용할 필요는 없습니다. x이면 충분합니다. 1x2
- 근 중 하나가 0과 같습니다.
필요충분조건은 방정식의 자유항이 0과 같다는 것입니다. 즉, 2a + 1 = 0, a = -1/2.
두 번째 근의 부호는 원래 방정식에 a = -1/2를 대입하거나 더 간단하게는 비에타의 정리 x에 의해 결정됩니다. 1 + x 2 = 2 (a – 1), a = -1/2를 대입한 후 x를 얻습니다. 2 = - 3, 즉 a = -1/2 두 근의 경우: x 1 = 0, x 2 = - 3.
실시예 4 . 매개 변수 a의 어떤 값에서 방정식이 수행됩니까?
(a – 2) x 2 – 4ax +3 -2a = 0은 부등식 x를 만족하는 고유한 해를 가집니다.
해결책.
판별자 2 – (a – 2)(3 – 2a)
4a 2 – 3a + 6 + 2a 2 – 4a = 6a 2 – 7a + 6
49 – 144 = - 95 이후 첫 번째 계수는 6입니다.그런 다음 모든 x R에 대해 6a 2 – 7a + 6입니다.
그러면 x 1.2 = .
문제의 조건에 따라 x2, 그러면 우리는 부등식을 얻습니다
우리는:
모든 R에 대해 참입니다.
6a 2 – 7a + 6 6a 2 – 7a – 10 2
A 1.2 = 1/12(7 17), 1 = 2, 2 = - 5/6입니다.
따라서 -5/6
답변: -
5. 동일 변수로서의 매개변수.
모든 분석 작업에서매개변수는 고정되었지만 알 수 없는 숫자로 처리되었습니다. 한편, 형식적인 관점에서 보면 매개변수는 변수이며 예시에 있는 다른 매개변수와 "동일"합니다. 예를 들어, 양식 매개변수 f(x; a)의 이 보기를 사용하면 함수는 (이전과 같이) 하나가 아니라 두 개의 변수로 정의됩니다. 이러한 해석은 자연스럽게 매개변수와 관련된 또 다른 유형의 문제(또는 이러한 유형을 정의하는 해결 방법)를 형성합니다. 이러한 유형의 분석 솔루션을 보여드리겠습니다.
실시예 5. xy 평면에서 y = x 모임의 어떤 곡선도 통과하지 않는 모든 점을 나타냅니다. 2 – 4рх + 2р 2 – 3, 여기서 p는 매개변수입니다.
해결책: 만약 (x 0;y 0 )은 주어진 패밀리의 곡선 중 어느 것도 통과하지 않는 점입니다. 그러면 이 점의 좌표는 원래 방정식을 만족하지 않습니다. 결과적으로, 문제는 조건에 주어진 방정식에 해가 없을 정도로 x와 y 사이의 관계를 찾는 것으로 귀결되었습니다. 변수 x와 y가 아닌 매개변수 p에 초점을 맞추면 원하는 종속성을 쉽게 얻을 수 있습니다. 이 경우 생산적인 아이디어가 떠오릅니다. 이 방정식을 p에 대한 이차 방정식으로 간주하십시오. 우리는
2р 2 – 4рх+ x 2 – y – 3 = 0. 판별식= 8x2 + 8y + 24는 음수여야 합니다. 여기에서 우리는 y ˂ - x를 얻습니다. 2 - 3, 따라서 필요한 세트는 포물선 "아래"에 있는 좌표 평면의 모든 점입니다. y = - x 2 – 3.
답: 예 2 – 3
6. 매개변수를 사용하여 2차 부등식을 해결하는 방법론
일반적으로.
형식의 2차(엄격 및 비엄격) 부등식
허용되는 값은 a, b, c가 유효한 매개변수 값입니다. 분석적으로나 그래픽적으로 2차 부등식을 푸는 것이 편리합니다. 이차 함수의 그래프는 포물선이므로, a > 0에 대해 포물선의 가지는 위쪽으로 향합니다.
포물선 f(x) = ax의 다양한 위치 2 + in + s, a a > 0에 대한 0은 그림 1에 표시됩니다.
가) 나) 다)
a) f(x) > 0이고 D R이면;
b) f(x) > 0이고 D = 0이면 x ;
c) f(x) > 0이고 D > 0이면 x (- ; x 1 ) (x 2 ; + ).
포물선의 위치는 다음과 유사하게 간주됩니다.
예를 들어, 세 가지 경우 중 하나는 다음과 같습니다.
a 0 및 f (x) > 0 x (x 1; x 2);
a 0 및 f (x) (- ; x 1 ) (x 2 ; + ).
예를 들어 부등식을 해결하는 것을 고려해보세요.
예시 6. 불평등 x 해결 2 + 2x + a > 0.
D를 삼항식 x의 판별자로 둡니다. 2 + 2x + a > 0. D = 0, a = 1의 경우 부등식은 다음과 같은 형식을 취합니다.
(x + 1) 2 > 0
x = - 1을 제외하고 x의 모든 실수 값에 대해 true입니다.
D > 0일 때, 즉 x에, 삼항식 x 2 + 2x + a에는 두 개의 근이 있습니다: - 1 –그리고
1 + 불평등에 대한 해결책은 간격입니다.
(- ; - 1 – ) (- 1 + ; + )
이 불평등은 그래픽으로 쉽게 해결할 수 있습니다. 이를 위해 이를 다음과 같은 형식으로 표현해 보겠습니다.
X 2 + 2x > - a
함수 y = x의 그래프를 작성합니다. 2 + 2배
이 그래프와 선 y = - a의 교차점의 가로좌표는 방정식 x의 근입니다. 2 + 2x = -
답변:
-a > - 1인 경우, 즉 에, x (- ; x 1 ) (x 2 ;+ );
at – a = - 1, 즉 a = 1인 경우 x는 -1을 제외한 실수입니다.
~에 – a 즉, a > 1인 경우 x는 실수입니다.
실시예 7 . 불평등 cx 해결 2 – 2 (s – 1)x + (s + 2)
c = 0이면 다음 형식을 취합니다. 2x + 2해는 x가 될 것이다
f(x) = cx라는 표기법을 소개하겠습니다. 2 – 2 (s – 1)x + (s + 2)여기서 c ≠ 0입니다.
이 경우 부등식 f(x)
D를 f(x)의 판별자로 둡니다. 0.25D = 1~4초.
D > 0이면, 즉 만약에> 0.25이면 f(x)의 부호는 x의 실수 값에 대한 c의 부호와 일치합니다. 즉 에프엑스(f(x))모든 x R에 대해 > 0, 이는 c에 대해 의미 > 0.25 부등식 f(x)
D = 0이면, 즉 c = 0.25, f(x) = (0.25 x + 1.5) 2, 즉 f (x) 0
엑스 R. 따라서 c = 0.25의 경우 부등식 f(x)
사례 D 를 고려해보자 0). x의 두 실수 값에 대해 f(x) = 0:
x 1 = (c – 1 – ) 및 x 2 = (c – 1 + ).
여기서는 두 가지 경우가 발생할 수 있습니다.
부등식 f(x) 풀기
f(x)는 c의 부호와 일치합니다. 이 질문에 답하려면 다음 사항에 유의하세요. , 즉. 초 - 1 - ˂ 초 - 1 + , 그러나 s(s – 1 – ) 이후 (s - 1 + ) 따라서 불평등에 대한 해결책은 다음과 같습니다.
(- ; (s – 1 – )) ( (s – 1 + ); + ).
이제 부등식을 풀려면 f (x) 부호가 c 부호와 반대되는 c 값을 나타내는 것으로 충분합니다. 0 1부터 2, x (x 1; x 2).
답: c = 0 x R일 때;
와 함께 (- ; x 2 ) (x 1 ; + );
0에 (x 1; x 2);
c 0.25의 경우 솔루션이 없습니다.
모수를 등호 변수로 보는 관점은 2차 부등식을 해결하기 위한 그래픽 방법에 반영됩니다. 실제로 매개변수는 변수와 '권한이 동일'하므로 자신의 좌표축에 '할당'할 수 있는 것은 당연하다. 따라서 좌표평면(x;a)이 발생합니다. 축을 표시하기 위해 문자 x 및 y의 전통적인 선택을 포기하는 것과 같은 사소한 세부 사항은 매개 변수 문제를 해결하는 가장 효과적인 방법 중 하나를 결정합니다.
문제에 하나의 매개변수 a와 하나의 변수 x가 관련되어 있을 때 편리합니다. 솔루션 프로세스 자체는 개략적으로 다음과 같습니다. 먼저 그래픽 이미지를 구성한 다음 결과 그래프를 매개변수 축에 수직인 직선과 교차시켜 필요한 정보를 "제거"합니다.
축을 지정하기 위해 문자 x와 y를 전통적인 방식으로 선택하는 것을 거부하면 매개 변수 문제를 해결하는 가장 효과적인 방법 중 하나인 "도메인 방법"이 결정됩니다.
- 초기 조건에서 2차 부등식을 해결하는 방법론.
매개변수를 사용하여 2차 부등식에 대한 분석적 솔루션을 고려해 보겠습니다. 그 결과는 수직선에서 고려됩니다.
실시예 8.
x의 모든 값을 찾으십시오. 각 값에 대해 불평등이 있습니다.
(2x)a 2 +(x 2 -2x+3)a-3x≥0
간격 [-3;0]에 속하는 모든 값에 대해 만족됩니다.
해결책. 이 부등식의 좌변을 다음과 같이 변환해 보겠습니다.
(2-x)a 2 + (x 2 -2x+3)a-3x=ax 2 - a 2 x - 2ax + 2a 2 + 3a - 3x =
도끼 (x - a)-2a(x - a)- 3(x-a) = (x - a)(ax- 2a - 3).
이 부등식은 다음과 같은 형식을 취합니다: (x - a) (ax - 2a - 3) ≥ 0.
a = 0이면 - Zx ≥ 0 x ≤ 0이 됩니다.
a ≠ 0이면 -3 a
왜냐하면 ㅏ 0이면 이 불평등에 대한 해는 불평등에 해당하는 방정식의 근 사이에 위치한 수치 축의 간격이 됩니다.
숫자의 상대적인 위치를 알아봅시다와 , 조건을 고려하여 - 3 ≤ a
3 ≤a
A = -1.
고려된 모든 사례에서 매개변수 값에 따라 이러한 불평등에 대한 해결책을 제시해 보겠습니다.
우리는 x = -1만이 매개변수 a의 모든 값에 대한 이러한 부등식에 대한 해법임을 알 수 있습니다. .
답: -1
- 결론.
내가 "2차 방정식과 매개변수를 사용한 부등식을 해결하기 위한 방법론적 권장 사항 개발"이라는 주제에 대한 프로젝트를 선택한 이유는 무엇입니까? 삼각법, 지수, 대수 방정식, 부등식, 시스템을 풀 때 우리는 종종 선형, 가장 자주 2차 방정식 및 부등식을 고려하게 됩니다. 매개변수로 복잡한 문제를 해결할 때 대부분의 작업은 동등한 변환을 사용하여 다음 유형의 솔루션 선택으로 축소됩니다. a (x – a) (x – c) > 0 (
매개변수를 사용하여 2차 방정식과 부등식을 해결하기 위한 이론적 기초를 검토했습니다. 우리는 필요한 공식과 변환을 기억하고, 판별식 값, 선행 계수의 부호, 포물선의 근과 꼭지점 위치에 따라 이차 함수 그래프의 다양한 배열을 살펴보았습니다. 우리는 결과를 해결하고 선택하는 방식을 파악하고 표를 작성했습니다.
이 프로젝트는 2차 방정식과 부등식을 해결하기 위한 분석 및 그래픽 방법을 보여줍니다. 직업 학교의 학생들은 자료를 더 잘 이해하기 위해 자료에 대한 시각적 인식이 필요합니다. 변수 x가 어떻게 변경되고 매개변수가 동일한 값으로 허용되는지 보여줍니다.
이 주제에 대한 명확한 이해를 위해 매개변수와 관련된 8가지 문제에 대한 솔루션(각 섹션마다 1~2가지)이 고려됩니다. 예제 1에서는 매개변수의 다양한 값에 대해 해의 개수가 고려되고, 예제 3에서는 2차 방정식의 해가 다양한 초기 조건에서 분석됩니다. 이차 부등식을 해결하기 위해 그래픽 일러스트레이션이 만들어졌습니다. 예제 5에서는 매개변수를 동일한 값으로 대체하는 방법을 사용합니다. 이 프로젝트에는 통합 상태 시험 합격을 위한 집중 준비를 위해 섹션 C에 포함된 작업 중 예제 8을 고려하는 내용이 포함되어 있습니다.
매개 변수 문제 해결에 대한 학생들의 고품질 교육을 위해서는 멀티미디어 기술, 즉 강의 프레젠테이션, 전자 교과서 및 서적, 미디어 라이브러리의 자체 개발을 완전히 사용하는 것이 좋습니다. 수학 + 컴퓨터 과학의 바이너리 수업은 매우 효과적입니다. 인터넷은 교사와 학생에게 없어서는 안 될 조력자입니다. 프레젠테이션에는 기존 교육 리소스에서 가져온 개체가 필요합니다. 작업하기에 가장 편리하고 수용 가능한 방법은 "학교에서 Microsoft Office 사용" 센터입니다.
이 주제에 대한 방법론적 권장 사항의 개발은 학교에 출근하는 젊은 교사의 작업을 촉진하고, 교사의 포트폴리오에 추가하고, 특수 과목의 모델 역할을 하며, 샘플 솔루션은 학생들이 복잡한 작업에 대처하는 데 도움이 될 것입니다.
- 문학.
1. Gornshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. 매개변수에 문제가 있습니다. "Ilexa", "Gymnasium", 모스크바 - Kharkov, 2002.
2. 발라얀 E.N. 통합 국가 시험 및 올림피아드 준비를 위한 수학 문제 모음입니다. 9-11학년. "피닉스", 로스토프나도누, 2010.
3. Yastrebinetsky G.A. 매개변수에 문제가 있습니다. M., "계몽", 1986.
4. 콜레스니코바 S.I. 수학. 통합 상태 시험의 복잡한 문제를 해결합니다. M. "IRIS - 언론", 2005.
5. Rodionov E.M., Sinyakova S.L. 수학. 대학 지원자를 위한 안내입니다. 교육 센터 "Orientir" MSTU의 이름을 따서 명명되었습니다. N.E. 바우만, M., 2004.
6. 스카나비 M.I. 대학 진학자를 위한 수학 문제집: 2권. 1권, M., 2009.
국가예산교육기관
사마라지역 중등교양교육
학교 이름은 2번입니다. V. 마키나 철도 미술. 클라블리노
클라블린스키 지방자치구
사마라 지역
« 방정식
그리고
불평등
매개변수 포함"
지도 시간
클라블리노
지도 시간
"매개변수를 사용한 방정식과 부등식" 10~11학년 학생을 위한
이 매뉴얼은 외부 시험(2008년 12월 19일자 사마라 지역 교육과학부의 과학 및 방법론 전문가 협의회에서 권장한)을 통과한 "매개변수를 사용한 방정식 및 부등식" 선택 과목 프로그램의 부록입니다 사마라 지역의 교육 기관에서 사용)
저자
로마다노바 이리나 블라디미로브나
Klyavlinskaya 중등 교육 기관의 수학 교사
학교 이름은 2번입니다. V. Maskina, Klyavlinsky 지구, 사마라 지역
세르바에바 이리나 알렉세예브나
소개................................................................................3-4
매개변수를 사용한 일차방정식과 부등식..................................4-7
매개변수를 사용한 이차방정식과 부등식 ..............7-9
매개변수가 있는 분수-유리 방정식...........10-11
불합리방정식과 매개변수를 이용한 부등식……11-13
매개변수를 사용한 삼각 방정식 및 부등식14-15
지수 방정식과 매개변수를 사용한 부등식………16-17
매개변수를 사용한 대수방정식과 부등식......16-18
통합 주 시험 목표 ............................................................................................18-20
독립적인 업무를 위한 업무..........................................21-28
소개.
매개변수를 사용한 방정식과 부등식.
방정식이나 부등식에서 일부 계수에 특정 숫자 값이 제공되지 않고 문자로 지정된 경우 이를 호출합니다. 매개변수,그리고 방정식이나 부등식 그 자체 파라메트릭.
매개변수를 사용하여 방정식이나 부등식을 풀려면 다음을 수행해야 합니다.
선택하다 특별한 의미- 이것은 방정식이나 부등식의 해가 변하는 또는 통과할 때 매개변수의 값입니다.
정의하다 유효한 값– 방정식이나 부등식이 의미가 있는 매개변수의 값입니다.
매개변수를 사용하여 방정식이나 부등식을 푸는 것은 다음을 의미합니다.
1) 어떤 매개변수 값에 솔루션이 존재하는지 결정합니다.
2) 허용되는 각 매개변수 값 시스템에 대해 해당 솔루션 세트를 찾습니다.
분석적 또는 그래픽적 방법을 사용하여 매개변수로 방정식을 풀 수 있습니다.
분석방법 여러 가지 경우를 고려하여 방정식을 연구하는 작업이 포함되며 그 중 하나도 놓칠 수 없습니다.
분석 방법을 사용하여 각 유형의 매개변수로 방정식 및 부등식을 해결하려면 상황에 대한 자세한 분석과 일관된 연구가 필요하며 그 동안 필요성이 발생합니다. "신중한 취급"매개변수로.
그래픽 방식 매개변수의 변화가 방정식의 해에 어떻게 영향을 미치는지 결정할 수 있는 방정식의 그래프를 구성하는 작업이 포함됩니다. 그래프를 사용하면 문제 해결에 필요한 충분 조건을 분석적으로 공식화할 수 있습니다. 그래픽 솔루션 방법은 매개변수에 따라 방정식의 근 수를 설정해야 할 때 특히 효과적이며 이를 명확하게 볼 수 있다는 확실한 이점이 있습니다.
§ 1. 선형 방정식 및 부등식.
일차 방정식 ㅏ 엑스 = 비 , 일반적인 형태로 작성된 것은 매개변수가 있는 방정식으로 간주될 수 있습니다. 엑스 - 알려지지 않은 , ㅏ , 비 - 옵션. 이 방정식의 경우 매개변수의 특수 또는 제어 값은 미지수의 계수가 0이 되는 값입니다.
매개변수를 사용하여 선형 방정식을 풀 때 매개변수가 특정 값과 같거나 다른 경우를 고려합니다.
특수 매개변수 값 ㅏ 값은 ㅏ = 0.
비 = 0 특수 매개변수 값입니다. 비 .
~에 비 ¹ 0 방정식에는 해가 없습니다.
~에 비 = 0 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. 0x = 0. 이 방정식의 해는 임의의 실수입니다.
형태의 불평등 아 > 비 그리고 도끼 < 비 (a ≠ 0)선형 불평등이라고 합니다. 불평등에 대한 해결책 세트 아 >비- 간격
(; +
),
만약에 ㅏ
> 0
, 그리고 (-;)
, 만약에 ㅏ< 0
. 불평등에 대해서도 마찬가지로
오<
비
솔루션 세트 - 간격(-;),
만약에 ㅏ
> 0,
그리고 (; +),
만약에 ㅏ< 0.
예시 1. 방정식을 풀어보세요 도끼 = 5
해결책: 이것은 선형 방정식입니다.
만약에 a = 0, 다음 방정식 0 × 엑스 = 5해결책이 없습니다.
만약에 ㅏ¹ 0, x =- 방정식의 해.
답변: 에 ㅏ¹ 0,x=
a = 0이면 해결책이 없습니다.
예시 2. 방정식을 풀어보세요 도끼 – 6 = 2a – 3x.
해결책:이는 선형 방정식이며, 도끼 – 6 = 2a – 3x (1)
도끼 + 3x = 2a +6
방정식을 다음과 같이 다시 작성합니다. (a+3)x = 2(a+3), 두 가지 경우를 고려하십시오.
a= -3그리고 ㅏ¹ -3.
만약에 a= -3, 임의의 실수 엑스는 방정식 (1)의 근본입니다. 만약에 ㅏ¹ -3 , 방정식 (1)에는 단일 근이 있습니다. x = 2.
답변:~에 a = -3, x 
아르 자형
;
~에 ㅏ
¹
-3, x = 2.
예시 3. 어떤 매개변수 값에서 ㅏ방정식의 근 중에서
2ah – 4kh – 에 2 + 4a – 4 = 0뿌리가 더 많네요 1 ?
해결책: 방정식을 풀어보자 2ah – 4kh – 에 2 + 4a – 4 = 0- 일차 방정식
2(a - 2) x = a 2 – 4a +4
2(a – 2) x = (a – 2) 2
~에 a = 2방정식 풀기 0x = 0 1보다 큰 숫자를 포함하여 임의의 숫자입니다.
~에 ㅏ¹
2 x = 
.
조건별 x > 1, 그건 >1 및 >4.
답변:~에 ㅏ (2) U(4; ).
실시예 4 . 각 매개변수 값에 대해 ㅏ방정식의 근의 개수를 구하세요 아=8.
해결책. 도끼 = 8- 일차 방정식.
와이 = ㅏ– 수평선 계열;
와이 = - 그래프는 쌍곡선입니다. 이러한 함수의 그래프를 작성해 보겠습니다.
답: 만일 a =0이면 방정식에 해가 없습니다. 만약에 a ≠ 0이면 방정식에는 하나의 해가 있습니다.
실시예 5 . 그래프를 사용하여 방정식에 몇 개의 근이 있는지 알아보세요.
|x| = 아 – 1.
y =| 엑스 | ,
와이 = 아 – 1- 그래프는 한 점을 지나는 직선이다. (0;-1).
이 함수의 그래프를 만들어 봅시다.
답: 언제 |a|>1- 하나의 루트
~에 | 에 |≤1 – 방정식에는 근이 없습니다.
예 6 . 불평등 해결 도끼 + 4 > 2x + a 2
해결책
:
도끼 + 4 > 2x + a
2
(a – 2) x >ㅏ
2
– 4. 세 가지 경우를 생각해 봅시다.
답변. 엑스 > 에이 + 2~에 a > 2; 엑스<а + 2, ~에 ㅏ< 2; ~에 a=2해결책이 없습니다.
§ 2. 이차방정식과 부등식
이차 방정식다음 형식의 방정식입니다. 오 ² + 비 x + c = 0 , 어디 a≠ 0,
ㅏ, 비 , 와 함께 - 옵션.
매개변수를 사용하여 2차 방정식을 풀려면 다음 공식을 사용하여 표준 솔루션 방법을 사용할 수 있습니다.
1
)
이차 방정식의 판별식:
디
=
비
² - 4
교류
,
(
²-
교류)
2)
이차 방정식의 근에 대한 공식:엑스
1
=
, X
2
=
,
(엑스
1,2 =
)
이차 부등식은 다음과 같이 불립니다.
ㅏ 엑스 2 + 비 x + c > 0,ㅏ 엑스 2 + 비 x + c< 0, (1), (2)
ㅏ 엑스 2 + 비 x + c ≥ 0,ㅏ 엑스 2 + 비 x + c ≤ 0,(3), (4)
불평등에 대한 해 집합(3)은 불평등에 대한 해 집합(1)과 방정식을 결합하여 얻습니다. , ㅏ 엑스 2 + 비 x + c = 0.불평등에 대한 해결책 세트(4)도 비슷하게 찾을 수 있습니다.
이차 삼항식의 판별식인 경우
ㅏ
엑스
2
+
비
x + c
는 0보다 작습니다. 그러면 a > 0인 경우 삼항식은 모든 x에 대해 양수입니다. 아르 자형.
이차 삼항식에 근이 있는 경우(x 1
< х
2
), a > 0이면 세트에서 양수입니다.(-;
x 2 )
(엑스 2;
+)
간격에 음수
(x 1; x 2 ). 만약< 0, то трехчлен положителен на интервале (х
1 ; x 2 ) 및 모든 x에 대해 음수 (-;
x 1 )(엑스 2;
+).
예시 1. 방정식을 풀어보세요 도끼² - 2 (a – 1)x – 4 = 0.
이것은 이차방정식이다
해결책: 특별한 의미 a = 0.
~에 a = 0우리는 선형 방정식을 얻습니다 2x – 4 = 0. 뿌리가 하나뿐이네 x = 2.
~에 a ≠ 0.판별식을 구해보자.
디 = (a-1)² + 4a = (a+1)²
만약에 a = -1,저것 디 = 0 - 한 뿌리.
대입하여 근을 구해보자 a = -1.
-x² + 4x – 4= 0,그건 x² -4x + 4 = 0,우리는 그것을 발견 x=2.
만약에 a ≠ - 1, 저것 디
>0
. 루트 공식을 사용하면 다음을 얻습니다.x= 
;
엑스 1 =2, x 2 = -.
답변:~에 a=0 및 a= -1방정식에는 하나의 근이 있습니다 x = 2;~에 a ≠ 0 및
ㅏ ≠ - 1개의 방정식에는 두 개의 근이 있습니다.엑스 1 =2, x 2 =-.
예시 2. 이 방정식의 근의 수를 구하십시오. x²-2x-8-a=0매개변수 값에 따라 ㅏ.
해결책. 이 방정식을 다음 형식으로 다시 작성해 보겠습니다. x²-2x-8=a
와이 = x²-2x-8- 그래프는 포물선입니다.
와이 =a- 수평선 계열.
함수 그래프를 만들어 봅시다.
답: 언제 ㅏ<-9 , 방정식에는 해가 없습니다. a=-9인 경우 방정식에는 하나의 해가 있습니다. ~에 a>-9, 방정식에는 두 가지 해가 있습니다.
예시 3. 무엇에 ㅏ불평등 (a – 3) x 2 – 2축 + 3a – 6 >0 x의 모든 값에 대해 유지됩니까?
해결책.이차 삼항식은 다음과 같은 경우 x의 모든 값에 대해 양수입니다.
a-3 > 0 및 디<0, т.е. при а, удовлетворяющих системе неравенств
,
어디서부터 그런 말을 듣게 됩니까?ㅏ
> 6
.
답변.ㅏ > 6
§ 삼. 매개변수가 있는 분수 유리 방정식
선형으로 축소 가능
분수 방정식을 푸는 과정은 일반적인 방식에 따라 수행됩니다. 분수는 방정식의 양쪽에 왼쪽과 오른쪽의 공통 분모를 곱하여 정수로 대체됩니다. 그 후, 외부 근, 즉 분모를 0으로 바꾸는 숫자를 제외하고 전체 방정식이 풀립니다.
매개변수가 있는 방정식의 경우 이 문제는 더 복잡합니다. 여기서, 외래근을 '제거'하기 위해서는 공통분모를 0으로 만드는 매개변수의 값을 구하는 것, 즉 매개변수에 해당하는 방정식을 풀어야 한다.
예시 1.
방정식을 풀어보세요 
= 0
해결책: D.Z: x +2 ≠ 0, x ≠ -2
x – a = 0, x = a.
답변:~에 a ≠ - 2, x=a
~에 a = -2뿌리가 없습니다.
실시예 2
.
방정식을 풀어보세요 
- 
= 
(1)
이것은 분수 유리 방정식이다.
해결책:의미 a = 0특별하다. ~에 a = 0방정식은 의미가 없으므로 근이 없습니다. 만약에 a ≠ 0,변환 후 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. x² + 2 (1-a) x + a² - 2a – 3 = 0 (2)- 이차 방정식.
판별식을 구해보자 
= (1 – a)² - (a² - 2a – 3)= 4,
방정식의 근을 찾아라엑스
1
= a + 1, x
2
=a-3.
방정식 (1)에서 방정식 (2)로 이동할 때 방정식 (1)의 정의 영역이 확장되어 외부 근이 나타날 수 있습니다. 그러므로 검증이 필요합니다.
시험.찾은 값에서 제외하자 엑스그 중
x 1 +1=0, x 1 +2=0, x 2 +1=0, x 2 +2=0.
만약에 엑스 1 +1=0, 그건 (a+1) + 1= 0, 저것 a= -2.따라서,
~에 a= -2 , 엑스 1 -
만약에 엑스 1 +2=0, 그건 (a+1)+2=0,저것 a = - 3. 따라서 언제 a = - 3, x 1 - 방정식의 외래근. (1).
만약에 엑스 2 +1=0, 그건 (a – 3) + 1= 0, 저것 a = 2. 따라서 언제 a = 2x 2 - 방정식 (1)의 외부 루트.
만약에 엑스 2 +2=0, 그건 ( a – 3) + 2 = 0,저것 a=1. 따라서 언제 a = 1,
엑스 2 - 방정식 (1)의 외부 루트.
이에 따르면, 언제 a = - 3우리는 얻는다 x = - 3 - 3 = -6;
~에 a = - 2 x = -2 – 3= - 5;
~에 a = 1 x =1 + 1= 2;
~에 a = 2 x = 2+1 = 3.
답을 적어주시면 됩니다.
답변: 1) 만일 a= -3,저것 x= -6; 2) 만일 a= -2, 저것 x= -5; 3) 만일 a= 0, 그러면 뿌리가 없습니다. 4) 만일 a= 1, 저것 x=2; 5) 만일 a=2, 저것 x=3; 6) 만일 a ≠ -3, a ≠ -2, a ≠ 0, a≠ 1, a ≠ 2, 그다음 x 1 = a + 1, x 2 =a-3.
§4. 불합리 방정식과 부등식
변수가 루트 기호 아래에 포함되는 방정식과 부등식을 호출합니다. 비합리적이다.
비합리 방정식을 푸는 것은 방정식의 양쪽을 지수화하거나 변수를 대체하여 비합리 방정식에서 유리 방정식으로 이동하는 것으로 귀결됩니다. 방정식의 양쪽을 균등하게 거듭제곱하면 외부 근이 나타날 수 있습니다. 따라서 이 방법을 사용할 때에는 매개변수 값의 변화를 고려하여 원래 방정식에 대입하여 찾은 모든 근을 확인해야 합니다.
형태의 방정식 
=g(x)는 시스템과 동일합니다. 
부등식 f (x) ≥ 0은 방정식 f (x) = g 2 (x)에서 나옵니다.
비합리적 부등식을 풀 때 다음과 같은 등가 변환을 사용합니다.
≤ 지(엑스) 
≥g(x) 
예시 1.
방정식을 풀어보세요 
= x + 1 (3)
이것은 비합리적인 방정식이다
해결책:
산술근의 정의에 따르면 방정식 (3)은 다음 시스템과 동일합니다. 
.
~에 a = 2시스템의 첫 번째 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다. 0x=5즉, 솔루션이 없습니다.
~에 a≠ 2 x= 
.
어떤 값이 있는지 알아보자ㅏ
발견된 가치엑스
불평등을 만족시킨다x ≥ -1: ≥ - 1, 
≥ 0,
어디 a ≤또는 a > 2.
답변:~에 a≤, a > 2 x= ,
~에 < а ≤ 2
방정식에는 해가 없습니다.
예시 2.
방정식을 풀어보세요 
=a
(부록 4)
해결책. 와이
=
와이 =a– 수평선 계열.
함수 그래프를 만들어 봅시다.
답변: 에 ㅏ<0 – 해결책이 없습니다.
~에 ㅏ≥ 0 - 하나의 솔루션.
실시예 3
. 불평등을 해결하자(a+1) 
<1.
해결책. O.D.Z. x ≤ 2. 만약에 a+1 ≤0이면 모든 허용 가능한 값에 대해 부등식이 적용됩니다. 엑스. 만약에 a+1>0, 저것
(a+1) <1.<
어디 엑스 (2- 
2
답변.
엑스 (- ;2에 (-;-1,
엑스 (2- 2
~에 ㅏ
(-1;+).
§ 5. 삼각 방정식 및 부등식.
가장 간단한 삼각 방정식을 푸는 공식은 다음과 같습니다.
죄크스 = a x= (-1) N 아크사인 a+πn, n 지, 
≤1, (1)
왜냐하면 x = a x = ±arccos a + 2 πn, n 지, ≤1.
(2)
만약에
>1이면 방정식 (1)과 (2)에는 해가 없습니다.
황갈색 x = a x= 아크탄젠트 a + πn, n 지, 에이 아르 자형
CTG x = 에이 x = arcctg a + πn, n 지, 에이 아르 자형
각 표준 불평등에 대해 솔루션 세트를 나타냅니다.
1.
죄 x > a 아크신 a + 2πn
지,
~에 ㅏ
<-1,
엑스 아르 자형
;
~에 ㅏ
≥ 1,
해결책이 없습니다.
2. . 죄 x< a π - 아크사인 a + 2 πnZ,
a≤-1의 경우 해결책이 없습니다. > 1의 경우,엑스 아르 자형
3.
코사인
엑스
>
ㅏ
-
아르코스
ㅏ
+ 2
πn
<
엑스
<
아르코스
ㅏ
+ 2
πn
,
N
지
,
~에 ㅏ<-1,
엑스 아르 자형
; ~에 ㅏ
≥ 1
, 해결책이 없습니다.
4. 왜냐하면 x 아크코스 a+ 2πnZ,
~에 a ≤-1
, 해결책이 없습니다. ~에ㅏ
> 1,
엑스
아르 자형
5. tan x > a, 아크탄 a + πnZ
6.tg x< a, -π/2 + πn Z
예시 1. 찾다 ㅏ, 이 방정식에 대한 해법은 다음과 같습니다.
Cos 2 x + 2(a-2)cosx + a 2 – 4a – 5 =0.
해결책.방정식을 다음과 같은 형식으로 작성해 봅시다.
와 함께운영 체제 2 엑스 + (2 ㅏ -4) 코스엑스 +(ㅏ – 5)(a+1) =0,그것을 이차방정식으로 풀면, 우리는 다음을 얻습니다: 코스엑스 = 5-ㅏ그리고 코스엑스 = -가-1.
방정식 코스엑스
= 5-
ㅏ
솔루션이 제공됨 -1≤ 5-ㅏ
≤1
4≤
ㅏ≤ 6, 그리고 Eq. 코스엑스
= -
a-1
단 -1≤ -1-ㅏ
≤ 1
-2 ≤
ㅏ
≤0.
답변.
ㅏ
-2; 0 4; 6
예시 2.
무엇에 비그런 불평등이 있어요. 
+
비> 0은 모든 x ≠에 대해 유지됩니다.πn
,
N
지
.
해결책.넣어보자 ㅏ= 0. 부등식은 b >0에 대해 유지됩니다. 이제 문제의 조건을 만족하는 b ≤0이 없음을 보여드리겠습니다. 실제로, x =를 두는 것으로 충분합니다. π /2, 만약에 ㅏ <0, и х = - π /2 ~에 ㅏ ≥0.
답변.b>0
§ 6. 지수 방정식 및 부등식
1. 방정식 시간(엑스)
에프 ( 엑스 )
=
시간(엑스)
g ( 엑스) 에 시간(엑스) > 0은 두 시스템의 모음과 같습니다. 
그리고 
2. 특별한 경우 (h(x)= ㅏ ) 방정식 ㅏ에프(엑스) = ㅏ g(x)에서 ㅏ> 0은 두 시스템의 모음과 같습니다.
그리고 
3. 방정식 ㅏ에프(엑스) = 비 , 어디 ㅏ > 0, ㅏ ≠1, 비>0, 방정식과 동일
f(x)= 로그 a b . 사고 ㅏ=1은 별도로 고려됩니다.
가장 단순한 지수 부등식에 대한 해법은 거듭제곱 속성을 기반으로 합니다. 형태의 불평등에프(ㅏ
엑스 ) > 0 변수 변경 사용티=
ㅏ
엑스 불평등 시스템을 해결하는 것으로 축소 
그런 다음 해당 단순 지수 부등식의 해를 구합니다.
엄격하지 않은 부등식을 풀 때는 해당 방정식의 근을 엄격한 부등식의 해 집합에 추가해야 합니다. 표현식을 포함하는 모든 예에서 방정식을 풀 때와 마찬가지로 ㅏ f(x)라고 가정합니다. ㅏ> 0. 케이스 ㅏ= 1은 별도로 고려됩니다.
실시예 1
.
무엇에 ㅏ방정식 8 x = 
긍정적인 뿌리만 있나요?
해결책.
밑이 1보다 큰 지수 함수의 특성에 따라 x>0이 됩니다. 8
엑스 >1 >1
>0, 어디서부터?ㅏ
(1,5;4).
답변.
ㅏ
(1,5;4).
예시 2. 불평등 해결 ㅏ 2 ∙2 엑스 > ㅏ
해결책. 세 가지 경우를 고려해 보겠습니다.
1.
ㅏ< 0
. 부등식의 왼쪽은 양수이고 오른쪽은 음수이므로 부등식은 모든 x에 대해 유지됩니다. 아르 자형.
2. ㅏ=0. 해결책이 없습니다.
3.
ㅏ
> 0
.
ㅏ
2
∙2
엑스
>a
2
엑스
>
x > -로그 2
ㅏ
답변.
엑스 아르 자형~에 ㅏ
> 0; 에 대한 해결책은 없습니다
ㅏ
=0; 엑스 (-
통나무 2
ㅏ; +) 에a> 0
.
§ 7. 대수 방정식 및 부등식
문제를 해결하는 데 사용되는 몇 가지 등가성을 제시해 보겠습니다. 로그 방정식과 부등식.
1. 방정식 log f (x) g (x) = log f (x) h (x)는 시스템과 동일합니다.
특히 만약에 ㅏ >0, ㅏ≠1, 그러면
통나무 ㅏ
g(x)= 로그 ㅏ
시간(x) 
2.
방정식 통나무 ㅏ
g(x)=b g(x)=ㅏ
비 (
ㅏ
>0,
≠
1, g(x) >0).
3. 불평등 통나무 에프 ( 엑스 )
g (엑스) ≤
통나무 에프 ( 엑스 )
시간(엑스)는 두 시스템의 조합과 동일합니다. 
그리고 
만약, b는 숫자이고, a >0, a ≠1이면
통나무 ㅏ
f(x) ≤ b 
통나무 ㅏ
에프(엑스)>비 
예시 1.
방정식을 풀어보세요 
해결책. ODZ를 찾아봅시다: x > 0, x ≠ ㅏ 4 , ㅏ > 0, ㅏ≠ 1. 방정식 변환
통나무 
x - 2 = 4 - 통나무 ㅏ
엑스 통나무 엑스 + 통나무 ㅏ
엑스– 6 = 0, 여기서 통나무 ㅏ
엑스 = - 3
x = ㅏ-3 및 통나무 ㅏ
엑스 = 2
x = ㅏ 2. 조건 x = ㅏ
4
ㅏ
– 3
=
ㅏ 4 또는 ㅏ
2
=
ㅏ
4
ODZ에서는 수행되지 않습니다.
답변: x = ㅏ-3, x = ㅏ 2시에 ㅏ
(0; 1) 
(1; ).
실시예 2 . 최고의 가치를 찾아보세요 ㅏ, 이에 대한 방정식은
2
통나무 
-
+
ㅏ
= 0에는 솔루션이 있습니다.
해결책.
교체해드리겠습니다 =
티그리고 우리는 2차 방정식 2를 얻습니다.티 2
–
티 +
ㅏ
= 0. 풀면 우리는 찾는다디 = 1-8
ㅏ
. 고려해 봅시다 디≥0, 1-8
ㅏ
≥0 
ㅏ
≤.
~에 ㅏ = 이차 방정식에는 근이 있습니다티= >0.
답변. ㅏ =
실시예 3 . 불평등 해결통나무(엑스 2 – 2 엑스 + ㅏ ) > - 3
해결책.
불평등의 시스템을 해결하자 
제곱 삼항식의 근 x 1,2
= 1 ± 
그들의 3,4
= 1 ± 
.
중요 매개변수 값: ㅏ= 1 및 ㅏ= 9.
X 1 과 X 2 를 첫 번째와 두 번째 부등식에 대한 해의 집합으로 두고,
× 1 
엑스 2
= X는 원래 부등식의 해입니다.
0에<
ㅏ
<1 Х
1
= (-
;1 - )(1 + ; +), 에ㅏ> 1×1 = (-;+).
0에<
ㅏ
< 9 Х
2
= (1 -; 1 +), 에ㅏ≥9 X 2 – 솔루션이 없습니다.
세 가지 경우를 고려해 보겠습니다.
1. 0<
ㅏ
≤1 X = (1 - ;1 - )(1 + ;1 +).
2. 1 <
ㅏ
< 9 Х = (1 -;1 +).
3. ㅏ≥ 9 X – 해결책이 없습니다.
통합 상태 시험 목표
높은 수준의 C1, C2
예시 1. 모든 값 찾기 아르 자형, 이에 대한 방정식은
아르 자형 ∙ CTG 2x+2sinx+ 피= 3에는 루트가 하나 이상 있습니다.
해결책.방정식을 변형해보자
아르 자형 ∙ (
- 1) + 2sinx + 피= 3, sinx =t, 티 
,티 
0.
-
피+2t+ 피
= 3,
+ 2t = 3, 3 -2t = , 3t 2 – 2t 3 = 피
.
허락하다 에프(와이) = 3
티 2
– 2
티 3
. 함수값의 집합을 찾아보자에프(엑스) 에 
. ~에 /
= 6
티 – 6
티 2
, 6
티 - 6
티 2
= 0,
티 1
=0,
티 2
= 1.
에프(-1) = 5,
에프(1) = 1.
~에 티 ,
이자형(에프) =
,
~에 티 ,
이자형(에프) =
, 즉, 언제 티 ,
이자형(에프) =
.
방정식 3티 2
– 2
티 3
=
피
(따라서 주어진) 적어도 하나의 필요하고 충분한 근을 가지고 있었습니다피
이자형(에프), 그건 피
.
답변.
.
예시 2.
어떤 매개변수 값에서ㅏ방정식 통나무 
(4
엑스 2
– 4
ㅏ
+
ㅏ
2
+7) = 2에는 정확히 하나의 근이 있습니까?
해결책.방정식을 다음과 같은 것으로 변환해 보겠습니다.
4x 2 – 4 ㅏ + ㅏ 2 +7 = (x 2 + 2) 2.
특정 숫자 x가 결과 방정식의 근이면 숫자 – x도 이 방정식의 근입니다. 조건에 따라 이는 실현 가능하지 않으므로 유일한 근은 숫자 0입니다.
우리는 찾을 것이다 ㅏ.
4∙ 0 2 - 4ㅏ + ㅏ 2 +7 = (0 2 + 2) 2 ,
ㅏ 2 - 4ㅏ +7 = 4, ㅏ 2 - 4ㅏ +3 = 0, ㅏ 1 = 1, ㅏ 2 = 3.
시험.
1)
ㅏ
1
= 1. 그러면 방정식은 다음과 같습니다.통나무 (4
엑스 2
+4) =2. 해결하자
4x 2 + 4 = (x 2 + 2) 2, 4x 2 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4, x 4 = 0, x = 0이 유일한 근입니다.
2)
ㅏ
2
= 3. 방정식은 다음과 같습니다.통나무 (4
엑스 2
+4) =2 x = 0이 유일한 근입니다.
답변. 1; 3
높은 수준의 C4, C5
예시 3. 모든 값 찾기 아르 자형,방정식은
x 2 – ( 아르 자형+ 3)x + 1= 0은 정수 근을 가지며 이 근은 부등식의 해입니다: x 3 – 7 아르 자형 x 2 + 2x 2 – 14 아르 자형 x - 3x +21 아르 자형 ≤ 0.
해결책.
x하자 1,
엑스 2
– 방정식 x의 정수근 2
– (아르 자형
+ 3)x + 1= 0. 그런 다음 Vieta 공식에 따르면 등식 x 1
+ 엑스 2
=
아르 자형
+ 3, 엑스 1
∙ x 2
= 1. 두 정수 x의 곱 1
, X 2
두 가지 경우에만 1과 같을 수 있습니다. x 1
= x 2
= 1 또는 x 1
= x 2
= - 1. 만약 x라면 1
= x 2
= 1, 그러면아르 자형
+ 3 = 1+1 = 2아르 자형
= - 1; 만약 x라면 1
= x 2
= - 1, 그러면아르 자형
+ 3 = - 1 – 1 = - 2 아르 자형
= - 5. 방정식 x의 근이 맞는지 확인해 봅시다 2
– (아르 자형
+ 3)x + 1= 0 설명된 경우에는 이 불평등에 대한 솔루션입니다. 행사를 위해아르 자형
= - 1, x 1
= x 2
= 1개 있습니다
1 3 – 7 ∙ (- 1) ∙ 1 2 +2∙ 1 2 – 14 ∙ (- 1) ∙ 1 – 3 ∙ 1 + 21 ∙ (- 1) = 0 ≤ 0 – 참; 행사를 위해 아르 자형= - 5, x 1 = x 2 = - 1 (- 1) 3 – 7 ∙ (- 5) ∙ (-1) 2 + 2 ∙ (-1) 2 – 14 ∙ (-5) × (- 1 ) – 3 ∙ (- 1) + 21 ∙ (-5) = - 136 ≤ 0 – 정확합니다. 따라서 문제의 조건만 만족하면 아르 자형= - 1 및 아르 자형 = - 5.
답변.아르 자형 1 = - 1 및 아르 자형 2 = - 5.
예시 4. 매개변수의 양수 값을 모두 찾습니다. ㅏ, 숫자 1은 함수 정의 영역에 속합니다.
~에
= (ㅏ 
-
ㅏ 
).
코스 작업
출연자: Bugrov S K.
많은 물리적 프로세스와 기하학적 패턴에 대한 연구는 종종 매개변수 문제 해결로 이어집니다. 일부 대학에서는 시험지에 방정식, 부등식 및 해당 시스템을 포함하는데, 이는 종종 매우 복잡하고 솔루션에 대한 비표준 접근 방식이 필요합니다. 학교에서는 학교 수학 과정에서 가장 어려운 부분 중 하나가 소수의 선택 수업에서만 고려됩니다.
이 작업을 준비하면서 나는 이 주제에 대한 더 깊은 연구의 목표를 설정하여 신속하게 답변으로 이어지는 가장 합리적인 솔루션을 식별했습니다. 제 생각에는 그래픽 방법은 매개변수를 사용하여 방정식과 부등식을 해결하는 편리하고 빠른 방법입니다.
내 에세이는 자주 접하는 방정식, 부등식 및 그 시스템에 대해 논의하며, 작업 과정에서 얻은 지식이 학교 시험에 합격하고 대학에 입학할 때 도움이 되기를 바랍니다.
§ 1. 기본 정의
방정식을 고려하십시오
¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)
여기서 a, b, c, …, k, x는 가변 수량입니다.
모든 변수 값 시스템
a = a0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,
이 방정식의 왼쪽과 오른쪽이 모두 실수 값을 취하는 것을 변수 a, b, c, ..., k, x의 허용 값 시스템이라고합니다. A를 허용 가능한 모든 a 값의 집합, B를 허용 가능한 모든 b 값의 집합, X를 허용 가능한 모든 x 값의 집합, 즉 аОА, bОB, …, xОX. 각 세트 A, B, C, …, K에 대해 각각 하나의 값 a, b, c, …, k를 선택하고 고정하고 이를 방정식 (1)에 대체하면 x에 대한 방정식을 얻습니다. 즉. 미지수가 하나인 방정식.
방정식을 풀 때 상수로 간주되는 변수 a, b, c, ..., k를 매개변수라고 하며 방정식 자체를 매개변수가 포함된 방정식이라고 합니다.
매개변수는 라틴 알파벳의 첫 번째 문자인 a, b, c, d, ..., k, l, m, n으로 지정되고 미지수는 문자 x, y, z로 지정됩니다.
매개변수를 사용하여 방정식을 푼다는 것은 매개변수의 값과 솔루션이 무엇인지 나타내는 것을 의미합니다.
다음과 같은 경우 동일한 매개변수를 포함하는 두 방정식을 동치라고 합니다.
a) 동일한 매개변수 값에 대해 의미가 있습니다.
b) 첫 번째 방정식의 모든 해는 두 번째 방정식의 해이고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.
§ 2. 솔루션 알고리즘.
방정식의 정의 영역을 찾습니다.
a를 x의 함수로 표현합니다.
xOa 좌표계에서 우리는 이 방정식의 정의 영역에 포함된 x 값에 대해 a=¦(x) 함수의 그래프를 구성합니다.
선 a=c가 함수 a=¦(x)의 그래프와 교차하는 경우 cÎ(-\;+\)가 그래프 a=¦(x)와 교차하는 지점을 찾습니다. , 그런 다음 교차점의 가로좌표를 결정합니다. 이렇게 하려면 x에 대해 방정식 a=¦(x)를 푸는 것으로 충분합니다.
우리는 답을 적습니다.
I. 방정식 풀기
(1)x=0은 방정식의 근이 아니므로 방정식은 다음과 같이 해석될 수 있습니다.
또는함수의 그래프는 두 개의 "접착된" 쌍곡선입니다. 원래 방정식의 해 개수는 구성된 선과 직선 y=a의 교차점 개수에 따라 결정됩니다.
О (-¥;-1]П(1;+¥)П인 경우
이면 직선 y=a는 식 (1)의 그래프와 한 지점에서 교차합니다. x에 대한 방정식을 풀 때 이 점의 가로좌표를 찾을 것입니다.따라서 이 간격에서 방정식 (1)은 다음과 같은 해를 갖습니다.
. , 직선 y=a는 두 지점에서 방정식 (1)의 그래프와 교차합니다. 이 점의 가로좌표는 방정식에서 찾을 수 있습니다. , 우리는 과 . 이면 선 y=a는 방정식 (1)의 그래프와 교차하지 않으므로 해가 없습니다.О (-¥;-1]П(1;+¥)П인 경우
, 저것 ; , 저것 , ; , 그러면 해결책이 없습니다.II. 방정식에 대한 매개변수 a의 모든 값을 찾습니다.
세 가지 다른 뿌리가 있습니다.방정식을 다음과 같이 다시 작성합니다.
한 쌍의 함수를 조사한 결과 매개 변수 a의 원하는 값과 그 값만이 함수 그래프와 정확히 3개의 교차점이 있는 함수 그래프의 위치에 해당한다는 것을 알 수 있습니다. .xOy 좌표계에서 우리는 함수의 그래프를 구성할 것입니다
). 이를 위해 우리는 이를 형식으로 표현할 수 있으며 발생하는 네 가지 경우를 고려한 후 이 함수를 형식으로 작성합니다.함수 그래프부터
- 이것은 Ox 축에 대한 경사각이 이고 좌표 (0, a)가 있는 점에서 Oy 축과 교차하는 직선입니다. 표시된 세 개의 교차점은 다음 경우에만 얻을 수 있다고 결론을 내립니다. 이 선은 함수의 그래프에 닿습니다. 따라서 우리는 파생 상품을 찾습니다.III. 방정식 시스템이 각각에 대해 매개 변수 a의 모든 값을 찾습니다.
솔루션을 가지고 있습니다.
우리가 얻는 시스템의 첫 번째 방정식으로부터
따라서 이 방정식은 가로축을 따라 정점이 있는 포물선의 오른쪽 가지인 "미끄러짐"인 "반포물선" 계열을 정의합니다.두 번째 방정식의 좌변에서 완전한 정사각형을 선택하고 인수분해해 봅시다.
비행기의 많은 점
두 번째 방정식을 만족시키는 것은 두 개의 직선이고"반포물선" 계열의 곡선이 결과 직선 중 하나와 적어도 하나의 공통점을 갖는 매개변수 값이 무엇인지 알아 보겠습니다.
불평등
(a, b, c, …,, x)>(a, b, c, …, x), (1)
여기서 a, b, c, ...,- 매개변수이고, x는 실수 변수이며, 하나의 알려지지 않은 매개변수를 포함하는 부등식이라고 합니다.
매개변수 값의 모든 시스템 a = a 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , 일부 기능의 경우
(a, b, c, …,, x) 및
(a, b, c, …,, x
허용되는 매개변수 값 시스템이라고 불리는 실수 영역에서 의미가 있습니다.
다음과 같은 경우 x의 유효한 값이라고 합니다.
(a, b, c, …,, x) 및
(a, b, c, …,, x
허용되는 매개변수 값 시스템에 대해 유효한 값을 취합니다.
허용되는 모든 x 값의 집합을 불평등 정의 영역(1)이라고 합니다.
실수 x 0은 불평등의 부분 해(1)라고 합니다.
(a, b, c, …,, x 0 )>(a, b, c, …, x 0 )
허용되는 매개변수 값의 모든 시스템에 대해 true입니다.
불평등에 대한 모든 특정 해(1)의 집합을 이 불평등의 일반 해라고 합니다.
불평등 (1)을 해결한다는 것은 일반적인 솔루션이 존재하는 매개 변수 값과 그것이 무엇인지 나타내는 것을 의미합니다.
두 가지 불평등
(a, b, c, …,, x)>(a, b, c, …, x) 및 (1)
(a, b, c, …,, x)>(a, b, c, …, x) (2)
허용되는 매개변수 값의 동일한 시스템 세트에 대해 동일한 일반 솔루션이 있는 경우 등가라고 합니다.
솔루션 알고리즘.
우리는 이러한 불평등의 정의 영역을 찾습니다.
불평등을 방정식으로 줄입니다.
a를 x의 함수로 표현합니다.
xOa 좌표계에서 우리는 이 불평등의 정의 영역에 포함된 x 값에 대해 함수 a = (x)의 그래프를 구성합니다.
우리는 이 부등식을 만족하는 점 집합을 찾습니다.
매개변수가 결과에 미치는 영향을 살펴보겠습니다.
그래프의 교차점의 가로좌표를 찾아 보겠습니다.
직선 a=const를 설정하고 이를 -에서 +로 이동해 보겠습니다.
우리는 답을 적습니다.
이는 xOa 좌표계를 사용하여 매개변수의 부등식을 해결하는 알고리즘 중 하나일 뿐입니다. 표준 xOy 좌표계를 사용하는 다른 솔루션 방법도 가능합니다.
3. 예시
I. 매개변수 a의 허용 가능한 모든 값에 대해 부등식을 해결합니다.
부등식 시스템에 의해 정의된 매개변수 a의 정의 영역에서
이 불평등은 불평등 체계와 동일하다
그렇다면 원래 부등식의 해가 구간을 채웁니다.
답변:, .
II. 매개변수 a의 어떤 값에서 시스템이 솔루션을 갖습니까?
부등식의 좌변에서 삼항식의 근을 찾아봅시다 -
등식(*)으로 정의된 직선은 좌표 평면 aOx를 4개의 영역으로 나누고 각 영역에는 정사각형 삼항식이 있습니다.
일정한 부호를 유지합니다. 방정식 (2)는 원점을 중심으로 하는 반경 2의 원을 정의합니다. 그러면 원래 시스템에 대한 솔루션은 음영 처리된 교차점이 됩니다.
원이 있는 영역, 여기서 값과 값은 시스템에서 발견됩니다.
값은 시스템에서 발견됩니다.
이러한 시스템을 해결하면 다음을 얻습니다.
III. 매개변수 a의 값에 따라 부등식을 해결합니다.
우리는 허용 가능한 값의 범위를 찾습니다.
xOy 좌표계에서 함수의 그래프를 구성해 보겠습니다.
불평등에 해결책이 없을 때.
해 x가 관계를 만족하는 경우, 여기서
매개변수를 사용하여 부등식을 해결합니다.
ax > b, ax 형식의 부등식< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются 선형 부등식.
매개변수를 사용하여 선형 부등식을 해결하는 원리는 매개변수를 사용하여 선형 방정식을 해결하는 원리와 매우 유사합니다.
예시 1.
부등식 5x – a > ax + 3을 풉니다.
해결책.
먼저 원래 부등식을 변환해 보겠습니다.
5x – ax > a + 3, x를 괄호 안의 부등식 왼쪽에 놓겠습니다.
(5 – a)x > a + 3. 이제 매개변수 a에 대해 가능한 경우를 고려하십시오.
a > 5이면 x< (а + 3) / (5 – а).
a = 5이면 해가 없습니다.
만약< 5, то x >(a + 3) / (5 – a).
이 솔루션은 불평등에 대한 답이 될 것입니다.
예시 2.
a ≠ 1에 대해 부등식 x(a – 2) / (a – 1) – 2a/3 ≤ 2x – a를 풉니다.
해결책.
원래 부등식을 변환해 보겠습니다.
x(a – 2) / (a – 1) – 2x ≤ 2a/3 – a;
Ах/(а – 1) ≤ -а/3. 부등식의 양변에 (-1)을 곱하면 다음을 얻습니다.
도끼/(a – 1) ≥ a/3. 매개변수 a에 대해 가능한 경우를 살펴보겠습니다.
1건. a/(a – 1) > 0 또는 € (-무한대; 0)ᴗ(1; +무한대)라고 가정합니다. 그런 다음 x ≥ (a – 1)/3입니다.
사례 2. a/(a – 1) = 0이라고 가정합니다. 즉, a = 0. 그러면 x는 임의의 실수입니다.
사례 3. a/(a – 1)이라고 하자< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.
답: x € [(a – 1)/3; € (-무한대; 0)ᴗ(1; +무한대)에 대해 +);
x € [-무한대; (a – 1)/3] €(0; 1);
a = 0인 경우 x € R.
예시 3.
부등식 풀기 |1 + x| ≤ x에 상대적인 ax.
해결책.
부등식 도끼의 오른쪽은 음수가 아니어야 한다는 조건, 즉 다음과 같습니다. ax ≥ 0. 부등식 |1 + x|에서 모듈을 드러내는 규칙에 따라 ≤ 도끼 우리는 이중 불평등을 가지고 있습니다
도끼 ≤ 1 + x ≤ 도끼. 결과를 시스템 형태로 다시 작성해 보겠습니다.
(ax ≥ 1 + x;
(-ax ≤ 1 + x.
다음과 같이 변환해 보겠습니다.
((a – 1)x ≥ 1;
((a + 1)x ≥ -1.
우리는 간격과 지점에서 결과 시스템을 연구합니다. (그림 1):
a ≤ -1 x € (-무한대; 1/(a – 1)]의 경우.
-1에서< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].
a = 0 x = -1일 때.
0에< а ≤ 1 решений нет.
불평등을 해결하기 위한 그래픽 방법
그래프를 그리면 매개변수가 포함된 방정식을 푸는 것이 매우 간단해집니다. 매개변수를 사용하여 부등식을 해결할 때 그래픽 방법을 사용하는 것이 훨씬 더 명확하고 편리합니다.
f(x) ≥ g(x) 형식의 불평등을 그래픽으로 해결한다는 것은 함수 f(x)의 그래프가 함수 g(x)의 그래프 위에 있는 변수 x의 값을 찾는 것을 의미합니다. 이를 위해서는 항상 그래프의 교차점(존재하는 경우)을 찾아야 합니다.
예시 1.
부등식 풀기 |x + 5|< bx.
해결책.
함수 y = |x + 5|의 그래프를 작성합니다. 그리고 y = bx (그림 2). 불평등에 대한 해결책은 함수 y = |x + 5|의 그래프에 대한 변수 x의 값입니다. 함수 y = bx의 그래프 아래에 있을 것입니다. 
그림은 다음을 보여줍니다:
1) b > 1인 경우 선이 교차합니다. 이 함수 그래프의 교차점의 가로좌표는 방정식 x + 5 = bx에 대한 해입니다. 여기서 x = 5/(b – 1)입니다. 그래프 y = bx는 구간 (5/(b – 1); +무한대)에서 x 위의 위치에 있으며, 이는 이 세트가 부등식에 대한 해임을 의미합니다.
2) 마찬가지로 우리는 -1에서 이를 발견합니다.< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).
3) b ≤ -1 x €(-무한대; 5/(b – 1))의 경우.
4) 0 ≤ b ≤ 1의 경우 그래프가 교차하지 않습니다. 이는 부등식에 해가 없음을 의미합니다.
답: x € (-무한대; 5/(b – 1)) for b ≤ -1;
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) at -1< b < 0;
0 ≤ b ≤ 1에 대한 해는 없습니다. b > 1인 경우 x € (5/(b – 1); +무한대).
예시 2.
부등식 a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4)를 풉니다.
해결책.
1) 매개변수 a에 대한 "제어" 값을 찾아보겠습니다. a 1 = 0, 2 = -1입니다.
2) 실수의 각 하위 집합에 대해 이 부등식을 풀어보겠습니다. (-무한대; -1); (-1); (-10); (0); (0; +무한대).
가) 가< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;
b) a = -1이면 이 부등식은 0 x > 0의 형태를 취합니다 – 해가 없습니다.
다) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;
d) a = 0이면 이 부등식은 0 x > 4 형식을 갖습니다. 해가 없습니다.
e) a > 0, 이 불평등으로부터 x > (a + 4)/a가 됩니다.
예시 3.
부등식 풀기 |2 - |x||< a – x.
해결책.
함수 y = |2 – |x||의 그래프를 작성합니다. (그림 3)직선 y = -x + a의 위치에 대한 가능한 모든 경우를 고려합니다. 
답: 불평등에는 a ≤ -2에 대한 해가 없습니다.
€(-2; 2]의 경우 x €(-무한대; (a – 2)/2);
a > 2인 경우 x € (-무한대; (a + 2)/2).
매개변수를 사용하여 다양한 문제, 방정식 및 부등식을 풀 때 상당수의 휴리스틱 기법이 발견되며, 이는 수학의 다른 분야에 성공적으로 적용될 수 있습니다.
매개변수 문제는 논리적 사고와 수학적 문화 형성에 중요한 역할을 합니다. 그렇기 때문에 매개변수 문제를 해결하는 방법을 익히면 다른 문제에도 성공적으로 대처할 수 있습니다.
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