복잡한 파생 상품. 대수 미분.
거듭제곱 지수 함수의 파생

우리는 차별화 기술을 지속적으로 개선하고 있습니다. 이 강의에서는 우리가 다룬 내용을 통합하고, 더 복잡한 도함수를 살펴보고, 특히 로그 도함수를 사용하여 도함수를 찾는 새로운 기술과 요령에 대해 알아봅니다.

준비 수준이 낮은 독자들은 해당 기사를 참고하세요. 파생 상품을 찾는 방법은 무엇입니까? 솔루션의 예, 거의 처음부터 기술을 향상시킬 수 있습니다. 다음으로 페이지를 주의 깊게 연구해야 합니다. 복잡한 함수의 파생, 이해하고 해결 모두내가 준 예. 이 레슨은 논리적으로 세 번째 레슨이며, 이 레슨을 익히면 상당히 복잡한 기능을 자신 있게 구별할 수 있습니다. “또 어디 있지?”라는 입장을 취하는 것은 바람직하지 않습니다. 그것으로 충분합니다!”, 왜냐하면 모든 예제와 솔루션은 실제 테스트에서 가져온 것이며 실제로 자주 접하게 되기 때문입니다.

반복부터 시작해 보겠습니다. 수업에서 복잡한 함수의 파생우리는 자세한 설명과 함께 여러 가지 예를 살펴보았습니다. 미적분학 및 기타 수학적 분석 분야를 연구하는 과정에서 미분을 매우 자주 수행해야 하며, 예를 아주 자세히 설명하는 것이 항상 편리한 것은 아닙니다(항상 필요한 것도 아닙니다). 그러므로 우리는 구두로 파생 상품을 찾는 연습을 할 것입니다. 이에 대한 가장 적합한 "후보"는 가장 단순한 복잡한 함수의 파생물입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

복잡한 기능의 차별화 규칙에 따라 :

미래에 다른 마탄 주제를 공부할 때, 학생이 자동 조종 장치에서 그러한 파생어를 찾는 방법을 알고 있다고 가정하는 경우에는 그러한 상세한 기록이 대부분 필요하지 않습니다. 새벽 3시에 전화가 울리고 유쾌한 목소리가 "두 X의 탄젠트의 미분은 무엇입니까? "라고 묻는다고 상상해 봅시다. 그 다음에는 거의 즉각적이고 정중한 응답이 이어져야 합니다. .

첫 번째 예는 즉시 독립적인 솔루션을 위한 것입니다.

실시예 1

예를 들어, 한 번의 작업으로 다음 파생어를 구두로 찾아보세요. 작업을 완료하려면 다음을 사용해야 합니다. 기본 함수의 도함수 표(아직 기억하지 못했다면). 어려운 점이 있으면 강의를 다시 읽는 것이 좋습니다 복잡한 함수의 파생.

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수업이 끝나면 답변

복잡한 파생 상품

예비 포병 준비 후에는 3-4-5 기능 중첩이 있는 예가 덜 무섭습니다. 다음 두 가지 예는 일부 사람들에게는 복잡해 보일 수 있지만, 이를 이해하면(누군가는 어려움을 겪을 것입니다) 미분학의 다른 거의 모든 것이 어린이의 농담처럼 보일 것입니다.

실시예 2

함수의 도함수 찾기

이미 언급한 바와 같이, 복잡한 함수의 미분을 찾을 때, 우선 다음이 필요합니다. 오른쪽귀하의 투자를 이해하십시오. 의심스러운 경우 유용한 기술을 상기시켜 드립니다. 예를 들어 "x"의 실험적 값을 사용하여 (정신적으로 또는 초안에서) 이 값을 "끔찍한 표현"으로 대체해 봅니다.

1) 먼저 표현식을 계산해야 합니다. 즉, 합계가 가장 깊은 임베딩임을 의미합니다.

2) 그런 다음 로그를 계산해야 합니다.

4) 그런 다음 코사인을 큐브로 만듭니다.

5) 다섯 번째 단계에서 차이점은 다음과 같습니다.

6) 그리고 마지막으로 가장 바깥쪽 함수는 제곱근입니다.

복소 함수를 미분하는 공식 가장 바깥쪽 함수부터 가장 안쪽 함수까지 역순으로 적용됩니다. 우리는 다음을 결정합니다:

오류는 없는 것 같은데..

(1) 제곱근의 미분을 구합니다.

(2) 우리는 규칙을 사용하여 차이의 미분을 구합니다.

(3) 삼중의 도함수는 0이다. 두 번째 항에서는 차수(큐브)의 미분을 취합니다.

(4) 코사인의 미분을 구합니다.

(5) 로그의 미분을 구합니다.

(6) 그리고 마지막으로 가장 깊은 임베딩의 미분을 취합니다.

너무 어려워 보일 수도 있지만 이것이 가장 잔인한 예는 아닙니다. 예를 들어 Kuznetsov의 컬렉션을 살펴보면 분석된 파생 상품의 모든 아름다움과 단순함에 감사하게 될 것입니다. 나는 학생들이 복잡한 함수의 도함수를 찾는 방법을 이해하고 있는지 또는 이해하지 못하는지 확인하기 위해 시험에서 비슷한 것을 제공하는 것을 좋아한다는 것을 알았습니다.

다음 예는 여러분이 직접 해결해 볼 수 있는 예입니다.

실시예 3

함수의 도함수 찾기

힌트: 먼저 선형성 규칙과 제품 차별화 규칙을 적용합니다.

강의가 끝나면 전체 솔루션과 답변이 제공됩니다.

이제 더 작고 멋진 것으로 옮겨갈 시간입니다.
두 가지가 아닌 세 가지 기능의 곱을 보여주는 예가 흔합니다. 세 가지 요인의 곱의 파생물을 찾는 방법은 무엇입니까?

실시예 4

함수의 도함수 찾기

먼저 세 가지 기능의 곱을 두 가지 기능의 곱으로 바꾸는 것이 가능한지 살펴보겠습니다. 예를 들어, 곱에 두 개의 다항식이 있는 경우 대괄호를 열 수 있습니다. 그러나 고려중인 예에서는 차수, 지수 및 로그 등 모든 함수가 다릅니다.

그러한 경우에는 필요합니다. 순차적으로제품차별화 법칙을 적용하다 두 배

요령은 "y"로 두 함수의 곱을 나타내고 "ve"로 로그를 나타내는 것입니다. 왜 이것이 가능합니까? 가능합니까? – 이것은 두 요소의 곱이 아니며 규칙이 작동하지 않습니까?! 복잡한 것은 없습니다.

이제 규칙을 두 번째로 적용해야 합니다. 브래킷으로:

뒤틀려 괄호 안에 무언가를 넣을 수도 있지만, 이 경우 답을 정확히 이 형식으로 남겨 두는 것이 더 낫습니다. 확인하기가 더 쉬울 것입니다.

고려된 예는 두 번째 방법으로 해결할 수 있습니다.

두 솔루션 모두 완전히 동일합니다.

실시예 5

함수의 도함수 찾기

이는 독립적인 솔루션의 예입니다. 샘플에서는 첫 번째 방법을 사용하여 해결됩니다.

분수를 사용하여 유사한 예를 살펴보겠습니다.

실시예 6

함수의 도함수 찾기

여기로 갈 수 있는 방법은 여러 가지가 있습니다:

또는 다음과 같습니다:

그러나 먼저 몫의 미분 규칙을 사용하면 해법이 더 간결하게 작성될 것입니다. , 전체 분자에 대해 다음을 수행합니다.

원칙적으로 예제는 해결되었으며, 그대로 놔두면 오류가 발생하지 않습니다. 하지만 시간이 있다면 항상 초안을 확인하여 답변을 단순화할 수 있는지 확인하는 것이 좋습니다. 분자의 표현을 공통분모로 줄여보자. 3층 분수를 없애자:

추가 단순화의 단점은 파생어를 찾을 때가 아니라 평범한 학교 변환 중에 실수를 할 위험이 있다는 것입니다. 반면에 교사는 종종 과제를 거부하고 파생어를 "마음에 가져오도록" 요청합니다.

스스로 해결할 수 있는 간단한 예:

실시예 7

함수의 도함수 찾기

우리는 도함수를 찾는 방법을 계속해서 익혔으며 이제 미분을 위해 "끔찍한" 로그가 제안되는 전형적인 사례를 고려할 것입니다.

실시예 8

함수의 도함수 찾기

여기에서 복잡한 함수를 구별하는 규칙을 사용하여 먼 길을 갈 수 있습니다.

그러나 첫 번째 단계는 즉시 당신을 낙담하게 만듭니다. 분수 거듭 제곱에서 불쾌한 파생물을 가져온 다음 분수에서도 가져와야합니다.

그렇기 때문에 ~ 전에"정교한" 로그의 미분을 구하는 방법은 먼저 잘 알려진 학교 속성을 사용하여 단순화됩니다.

! 연습용 노트가 있다면 이 수식을 거기에 직접 복사하세요. 공책이 없다면 공과의 나머지 예가 이 공식을 중심으로 진행되므로 종이에 복사하세요.

솔루션 자체는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

함수를 변환해 보겠습니다.

파생상품 찾기:

함수 자체를 사전 변환하면 솔루션이 크게 단순화되었습니다. 따라서 미분을 위해 유사한 로그가 제안되면 항상 "분해"하는 것이 좋습니다.

이제 스스로 해결할 수 있는 몇 가지 간단한 예가 있습니다.

실시예 9

함수의 도함수 찾기

실시예 10

함수의 도함수 찾기

모든 변환과 답변은 수업이 끝나면 끝납니다.

대수 미분

로그의 파생물이 그렇게 감미로운 음악이라면 질문이 생깁니다. 어떤 경우에는 로그를 인위적으로 구성하는 것이 가능합니까? 할 수 있다! 그리고 심지어 필요합니다.

실시예 11

함수의 도함수 찾기

우리는 최근 비슷한 예를 살펴보았습니다. 무엇을 해야 할까요? 몫의 차별화 규칙을 적용한 다음 제품의 차별화 규칙을 순차적으로 적용할 수 있습니다. 이 방법의 단점은 전혀 다루고 싶지 않은 거대한 3층 건물이 완성된다는 것입니다.

그러나 이론과 실제에는 로그 미분과 같은 놀라운 것이 있습니다. 로그는 양쪽에 "걸어" 인위적으로 구성할 수 있습니다.

메모 : 왜냐하면 함수는 음수 값을 가질 수 있으며 일반적으로 모듈을 사용해야 합니다. , 이는 분화의 결과로 사라질 것입니다. 그러나 기본적으로 고려되는 현재 디자인도 허용됩니다. 복잡한의미. 그러나 매우 엄격하다면 두 경우 모두 다음과 같이 예약해야 합니다..

이제 가능한 한 우변의 로그를 "분해"해야 합니다(눈 앞에 있는 공식?). 이 프로세스를 매우 자세히 설명하겠습니다.

차별화부터 시작해보자.
우리는 소수로 두 부분을 모두 마무리합니다.

오른쪽의 파생어는 매우 간단합니다. 이에 대해서는 언급하지 않겠습니다. 왜냐하면 이 텍스트를 읽고 있다면 자신 있게 처리할 수 있을 것이기 때문입니다.

왼쪽은 어떻습니까?

왼쪽에는 우리가 있습니다. 복잡한 기능. 나는 다음과 같은 질문을 예견합니다: "왜, 로그 아래에 문자 "Y"가 하나 있습니까?

사실은 이 "한 글자 게임"이 - 그 자체가 함수인가요?(매우 명확하지 않은 경우 암시적으로 지정된 함수 파생 ​​문서를 참조하세요.) 따라서 로그는 외부 함수이고 "y"는 내부 함수입니다. 그리고 복잡한 함수를 구별하기 위해 규칙을 사용합니다. :

왼쪽에는 마치 마술처럼 파생 상품이 있습니다. 다음으로, 비례의 법칙에 따라 "y"를 왼쪽 분모에서 오른쪽 상단으로 옮깁니다.

이제 차별화 과정에서 어떤 종류의 "플레이어" 기능에 대해 이야기했는지 기억해 볼까요? 조건을 살펴 보겠습니다.

최종 답변:

실시예 12

함수의 도함수 찾기

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 이 유형의 예에 대한 샘플 디자인은 강의 마지막 부분에 있습니다.

로그 도함수를 사용하면 예제 4-7 중 하나를 해결할 수 있었고 또 다른 점은 함수가 더 간단하고 아마도 로그 도함수를 사용하는 것이 그다지 타당하지 않다는 것입니다.

거듭제곱 지수 함수의 파생

우리는 아직 이 기능을 고려하지 않았습니다. 거듭제곱 지수 함수는 다음과 같은 함수입니다. 차수와 밑수는 모두 "x"에 따라 달라집니다.. 어떤 교과서나 강의에서도 나올 수 있는 전형적인 예는 다음과 같습니다.

거듭제곱 지수 함수의 미분을 찾는 방법은 무엇입니까?

방금 논의한 기술인 로그 미분을 사용할 필요가 있습니다. 우리는 양쪽에 로그를 걸어 놓습니다:

일반적으로 오른쪽의 로그 아래에서 차수를 가져옵니다.

결과적으로 오른쪽에는 표준 공식에 따라 차별화되는 두 가지 함수의 곱이 있습니다. .

이를 위해 파생 항목을 찾고 두 부분을 스트로크로 묶습니다.

추가 조치는 간단합니다.

마지막으로:

변환이 완전히 명확하지 않은 경우 예제 11의 설명을 주의 깊게 다시 읽어 보십시오.

실제 작업에서 거듭제곱 지수 함수는 논의된 강의 예제보다 항상 더 복잡합니다.

실시예 13

함수의 도함수 찾기

우리는 로그 미분을 사용합니다.

오른쪽에는 "x"와 "로그 x의 로그"(다른 로그가 로그 아래에 중첩되어 있음)라는 두 요소의 상수와 곱이 있습니다. 우리가 기억하는 것처럼 미분할 때 상수를 미분 기호에서 즉시 이동하여 방해가 되지 않도록 하는 것이 좋습니다. 물론 우리는 익숙한 규칙을 적용합니다. :

자연 로그의 도함수와 밑수 a에 대한 로그에 대한 공식의 증명 및 유도. ln 2x, ln 3x 및 ln nx의 미분 계산 예. 수학적 귀납법을 사용하여 n차 로그의 미분에 대한 공식 증명.

콘텐츠

또한보십시오: 로그 - 속성, 공식, 그래프
자연 로그 - 속성, 공식, 그래프

자연 로그와 로그의 도함수에 대한 공식 유도

x의 자연 로그의 도함수는 1을 x로 나눈 값과 같습니다.
(1) (ln x)' =.

밑수 a에 대한 로그의 도함수는 1을 변수 x로 나눈 값에 a의 자연 로그를 곱한 것과 같습니다.
(2) (로그 x)' =.

증거

1과 같지 않은 양수가 있다고 가정합니다. 밑수에 대한 로그인 변수 x에 의존하는 함수를 생각해 보세요.
.
이 함수는 에 정의되어 있습니다. 변수 x에 대한 도함수를 찾아보겠습니다. 정의에 따르면 미분은 다음과 같은 한계입니다.
(3) .

이 표현을 알려진 수학적 속성과 규칙으로 변환해 보겠습니다. 이를 위해서는 다음 사실을 알아야 합니다.
ㅏ)로그의 속성. 다음 공식이 필요합니다.
(4) ;
(5) ;
(6) ;
비)로그의 연속성과 연속 함수의 극한 속성:
(7) .
여기에 한계가 있는 함수가 있는데 이 한계는 양수입니다.
안에)두 번째 주목할만한 한계의 의미는 다음과 같습니다.
(8) .

이러한 사실을 우리의 한계에 적용해 봅시다. 먼저 대수적 표현을 변환합니다.
.
이를 위해 속성 (4)와 (5)를 적용합니다.

.

속성 (7)과 두 번째 놀라운 극한 (8)을 사용해 보겠습니다.
.

마지막으로 속성 (6)을 적용합니다.
.
밑수에 대한 로그 이자형~라고 불리는 자연로그. 다음과 같이 지정됩니다.
.
그 다음에 ;
.

따라서 우리는 로그의 미분에 대한 식 (2)를 얻었습니다.

자연로그의 미분

다시 한번 우리는 a를 밑으로 하는 로그의 도함수에 대한 공식을 작성합니다:
.
이 공식은 자연 로그에 대한 가장 간단한 형태를 가지며, 이에 대한 , . 그 다음에
(1) .

이러한 단순성으로 인해 자연 로그는 수학적 분석 및 미분 계산과 관련된 다른 수학 분야에서 매우 널리 사용됩니다. 다른 밑수를 갖는 로그 함수는 속성 (6)을 사용하여 자연 로그로 표현될 수 있습니다.
.

밑수에 대한 로그의 도함수는 미분 기호에서 상수를 빼면 공식 (1)에서 찾을 수 있습니다.
.

로그의 도함수를 증명하는 다른 방법

여기서 우리는 지수의 미분 공식을 알고 있다고 가정합니다.
(9) .
그런 다음 로그가 지수의 역함수라는 점을 고려하여 자연 로그의 도함수에 대한 공식을 유도할 수 있습니다.

자연로그의 미분 공식을 증명해 보겠습니다. 역함수의 미분에 대한 공식 적용:
.
우리의 경우에는 .
.
자연 로그에 대한 역함수는 지수입니다.
.
그 미분은 식 (9)에 의해 결정됩니다. 변수는 임의의 문자로 지정될 수 있습니다. 공식 (9)에서 변수 x를 y로 바꾸십시오.
.
그때부터
.
그 다음에

공식이 입증되었습니다. 이제 우리는 다음을 사용하여 자연 로그의 미분 공식을 증명합니다.복잡한 기능을 구별하는 규칙
.
. 과 의 기능은 서로 반대이므로,
(10) .
변수 x에 대해 이 방정식을 미분해 보겠습니다.
.
x의 도함수는 1과 같습니다.
.
복잡한 기능의 차별화 규칙을 적용합니다.
.
여기 . (10)을 다음과 같이 바꾸자:
.

여기에서

예 파생 상품 찾기 2배, ln 3x 그리고.

lnx 원래 기능은 비슷한 형태를 가지고 있습니다. 그러므로 우리는 함수의 미분을 찾을 것입니다 y = 로그 nx . 그런 다음 n = 2와 n = 3을 대체합니다. 따라서 우리는 도함수에 대한 공식을 얻습니다. ln 2x 2배, .

그리고
원래 기능은 비슷한 형태를 가지고 있습니다. 그러므로 우리는 함수의 미분을 찾을 것입니다 .
그래서 우리는 함수의 미분을 찾고 있습니다.
1) 이 함수를 두 가지 함수로 구성된 복잡한 함수로 상상해 보겠습니다.
2) 변수에 따른 기능: ;
변수에 따른 기능: .
.

변수 x에 대한 함수의 미분을 찾아보겠습니다.
.
변수에 대한 함수의 미분을 찾아보겠습니다.
.
복잡한 함수의 미분 공식을 적용합니다.
.
여기에서 설정했습니다.

그래서 우리는 다음을 발견했습니다:
(11) .
도함수는 n에 의존하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 이 결과는 곱의 로그 공식을 사용하여 원래 함수를 변환하면 매우 자연스럽습니다.
.
- 이것은 상수입니다. 그 미분은 0입니다. 그러면 합의 미분 법칙에 따라 다음이 성립됩니다.
.

; ; .

모듈러스 x의 로그 파생

또 다른 매우 중요한 함수인 모듈러스 x의 자연 로그의 미분을 찾아보겠습니다.
(12) .

사례를 고려해 봅시다. 그러면 함수는 다음과 같습니다.
.
그 파생물은 공식 (1)에 의해 결정됩니다.
.

이제 사례를 고려해 보겠습니다. 그러면 함수는 다음과 같습니다.
,
어디 .
그러나 우리는 위의 예에서 이 함수의 파생물도 찾았습니다. n에 의존하지 않으며 다음과 같습니다.
.
그때부터
.

이 두 가지 경우를 하나의 공식으로 결합합니다.
.

따라서 밑수 a에 대한 로그에 대해 다음을 얻습니다.
.

자연로그의 고차 도함수

기능을 고려하십시오
.
우리는 1차 도함수를 찾았습니다.
(13) .

2차 미분을 찾아봅시다:
.
3차 도함수를 찾아봅시다:
.
4차 도함수를 찾아봅시다:
.

n차 도함수의 형식은 다음과 같습니다.
(14) .
이를 수학적 귀납법으로 증명해 보겠습니다.

증거

n = 1 값을 공식 (14)에 대입해 보겠습니다.
.
이므로, n = 일 때 1 , 식 (14)가 유효합니다.

n = k에 대해 식 (14)가 만족된다고 가정해보자. 이것이 공식이 n = k에 대해 유효하다는 것을 의미한다는 것을 증명해 보겠습니다. + 1 .

실제로, n = k에 대해 우리는 다음을 얻습니다:
.
변수 x에 대해 미분합니다.

.
그래서 우리는 다음을 얻었습니다:
.
이 공식은 n = k +에 대한 공식(14)과 일치합니다. 1 . 따라서, 식 (14)가 n = k에 유효하다는 가정으로부터, 식 (14)가 n = k +에 대해 유효하다는 결론이 나옵니다. 1 .

따라서 n차 도함수에 대한 공식(14)은 모든 n에 대해 유효합니다.

a를 기반으로 하는 고차 로그의 도함수

a를 밑으로 하는 로그의 n차 도함수를 찾으려면 이를 자연 로그로 표현해야 합니다.
.
공식 (14)을 적용하면 n차 도함수를 찾을 수 있습니다.
.

또한보십시오:

도함수를 구하는 작업을 미분이라고 합니다.

미분을 인수 증분에 대한 증분 비율의 한계로 정의하여 가장 단순한 (매우 단순하지 않은) 함수의 미분을 찾는 문제를 해결 한 결과 미분 표와 정확하게 정의 된 미분 규칙이 나타났습니다. . 파생 상품을 찾는 분야에서 처음으로 작업한 사람은 Isaac Newton(1643-1727)과 Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716)입니다.

따라서 우리 시대에는 함수의 도함수를 찾으려면 위에서 언급한 함수 증가 대 인수 증가 비율의 한계를 계산할 필요가 없으며 다음 표만 사용하면 됩니다. 파생 상품과 차별화의 규칙. 다음 알고리즘은 도함수를 찾는 데 적합합니다.

파생상품을 찾으려면, 프라임 기호 아래에 표현식이 필요합니다 간단한 기능을 구성 요소로 분해어떤 행동을 할지 결정하고 (곱, 합계, 몫)이러한 기능은 관련되어 있습니다. 다음으로, 도함수 표에서 기본 함수의 도함수를 찾고 미분 규칙에서 곱, 합계 및 몫의 도함수에 대한 공식을 찾습니다. 도함수 테이블과 미분 규칙은 처음 두 예제 다음에 제공됩니다.

예시 1.함수의 도함수 찾기

해결책. 미분의 규칙으로부터 우리는 함수 합의 도함수가 함수 도함수의 합이라는 것을 알 수 있습니다.

도함수 표에서 우리는 "x"의 도함수는 1과 같고 사인의 도함수는 코사인과 같다는 것을 알 수 있습니다. 이 값을 파생 상품의 합으로 대체하고 문제 조건에 필요한 파생 상품을 찾습니다.

예시 2.함수의 도함수 찾기

해결책. 두 번째 항이 상수 인자를 갖는 합의 도함수로 미분하면 도함수의 부호에서 벗어날 수 있습니다.

무언가가 어디서 왔는지에 대한 의문이 여전히 제기되는 경우 일반적으로 미분 표와 가장 간단한 미분 규칙을 숙지한 후에 문제가 해결됩니다. 우리는 지금 그들에게 나아가고 있습니다.

단순 함수의 미분 표

1. 상수(숫자)의 파생물. 함수 표현식에 있는 임의의 숫자(1, 2, 5, 200...)입니다. 항상 0과 같습니다. 매우 자주 요구되기 때문에 기억하는 것이 매우 중요합니다.
2. 독립변수의 파생물. 대부분 "X"입니다. 항상 1과 같습니다. 오래 기억하는 것도 중요해요
3. 학위 파생 상품. 문제를 풀 때는 비제곱근을 거듭제곱으로 변환해야 합니다.
4. 변수의 거듭제곱 -1 미분
5. 제곱근의 미분
6. 사인의 미분
7. 코사인의 미분
8. 탄젠트의 미분
9. 코탄젠트의 미분
10. 아크사인의 미분
11. 아크코사인의 미분
12. 아크탄젠트의 미분
13. 아크코탄젠트의 미분
14. 자연로그의 미분
15. 로그 함수의 파생
16. 지수의 미분
17. 지수 함수의 파생

차별화 규칙

1. 합이나 차이의 파생
2. 제품의 파생물
2a. 상수 인자를 곱한 표현식의 파생
3. 몫의 미분
4. 복잡한 함수의 파생

규칙 1.기능의 경우

어떤 점에서 함수가 미분 가능하면 같은 점에서 함수가 미분 가능합니다.

그리고

저것들. 함수의 대수적 합의 미분은 이러한 함수의 미분의 대수적 합과 같습니다.

결과. 두 개의 미분 가능한 함수가 상수항만큼 다른 경우, 그 도함수는 동일합니다., 즉.

규칙 2.기능의 경우

어느 시점에서 미분 가능하면 그 제품도 같은 시점에서 미분 가능합니다.

그리고

저것들. 두 함수의 곱의 도함수는 각 함수의 곱과 다른 함수의 도함수의 합과 같습니다.

결과 1. 상수 인자는 도함수의 부호에서 빼낼 수 있습니다.:

결과 2. 여러 미분 가능한 함수의 곱의 도함수는 각 요소와 다른 모든 요소의 도함수 곱의 합과 같습니다.

예를 들어 세 개의 승수의 경우:

규칙 3.기능의 경우

어느 시점에서는 구별 가능 그리고 , 그러면 이 시점에서 그들의 몫도 미분 가능합니다.u/v 및

저것들. 두 함수의 몫의 도함수는 분수와 같으며, 그 분자는 분모의 곱과 분자의 도함수, 분자와 분모의 도함수의 차이이고 분모는 다음의 제곱입니다. 이전 분자.

다른 페이지의 내용을 찾을 수 있는 곳

실제 문제에서 곱의 도함수와 몫을 찾을 때 항상 여러 미분 규칙을 동시에 적용해야 하므로 이 기사에는 이러한 도함수에 대한 더 많은 예가 있습니다."제품의 파생물과 기능의 몫".

논평.상수(즉, 숫자)를 합계의 항과 상수 요소로 혼동해서는 안 됩니다! 항의 경우 미분은 0과 같고 상수 요소의 경우 미분의 부호에서 제거됩니다. 이는 도함수를 공부하는 초기 단계에서 흔히 발생하는 실수이지만, 일반 학생이 1부, 2부 예제를 여러 개 풀면서 더 이상 이런 실수를 저지르지 않습니다.

그리고 곱이나 몫을 구별할 때 용어가 있는 경우 유"V, 어느 유- 예를 들어 2 또는 5와 같은 숫자, 즉 상수인 경우 이 숫자의 미분은 0과 같으므로 전체 항은 0과 같습니다(이 경우는 예 10에서 논의됨).

또 다른 일반적인 실수는 복잡한 함수의 도함수를 간단한 함수의 도함수로 기계적으로 해결하는 것입니다. 그렇기 때문에 복잡한 함수의 파생물별도의 기사가 제공됩니다. 하지만 먼저 간단한 함수의 파생어를 찾는 방법을 배웁니다.

그 과정에서 표현을 바꾸지 않고는 할 수 없습니다. 이렇게 하려면 새 창에서 설명서를 열어야 할 수도 있습니다. 힘과 뿌리가 있는 행동 ln 3x 분수 연산 .

거듭제곱과 근이 있는 분수의 도함수에 대한 해를 찾고 있다면, 즉 함수가 다음과 같을 때입니다. , 그런 다음 "제곱과 근이 있는 분수의 합 도함수" 수업을 따르세요.

다음과 같은 작업이 있는 경우 , 그런 다음 "단순 삼각 함수의 파생" 수업을 듣게 됩니다.

단계별 예 - 파생 상품을 찾는 방법

예시 3.함수의 도함수 찾기

해결책. 우리는 함수 표현식의 일부를 정의합니다. 전체 표현식은 곱을 나타내고 그 요소는 합계이며 두 번째 용어 중 하나는 상수 요소를 포함합니다. 우리는 곱 차별화 규칙을 적용합니다. 두 함수의 곱의 도함수는 각 함수의 곱과 다른 함수의 곱의 합과 같습니다.

다음으로, 합의 미분 규칙을 적용합니다. 함수의 대수적 합의 도함수는 이러한 함수의 도함수의 대수적 합과 같습니다. 우리의 경우 각 합계에서 두 번째 항에는 빼기 기호가 있습니다. 각 합계에서 우리는 미분 값이 1인 독립 변수와 미분 값이 0인 상수(숫자)를 모두 볼 수 있습니다. 따라서 "X"는 1이 되고, -5는 0이 됩니다. 두 번째 표현식에서는 "x"에 2를 곱하므로 "x"의 도함수와 동일한 단위를 2에 곱합니다. 우리는 다음과 같은 파생 값을 얻습니다.

우리는 발견된 도함수를 곱의 합으로 대체하고 문제 조건에 필요한 전체 함수의 도함수를 얻습니다.

그리고 미분문제의 해법은 에서 확인하실 수 있습니다.

예시 4.함수의 도함수 찾기

해결책. 우리는 몫의 도함수를 찾아야 합니다. 우리는 몫을 구별하는 공식을 적용합니다. 두 함수의 몫의 도함수는 분수와 같고, 그 분자는 분모의 곱과 분자의 도함수와 분자의 도함수 사이의 차이입니다. 분모는 이전 분자의 제곱이 됩니다. 우리는 다음을 얻습니다:

우리는 이미 예제 2에서 분자에 있는 인수의 도함수를 찾았습니다. 또한 현재 예제에서 분자의 두 번째 인수인 곱이 빼기 기호와 함께 사용된다는 점을 잊지 마십시오.

예를 들어, 근과 거듭제곱이 연속적으로 쌓여 있는 함수의 도함수를 찾아야 하는 문제에 대한 해결책을 찾고 있다면 다음과 같습니다. , 그럼 수업에 오신 것을 환영합니다 "제곱과 근이 있는 분수의 합의 미분" .

사인, 코사인, 탄젠트 및 기타 삼각 함수의 미분, 즉 함수가 다음과 같은 경우에 대해 더 자세히 알아야 하는 경우 , 그럼 당신을 위한 교훈 "간단한 삼각 함수의 파생" .

실시예 5.함수의 도함수 찾기

해결책. 이 함수에서 우리는 요소 중 하나가 독립 변수의 제곱근인 제품을 볼 수 있으며, 그 파생 상품은 파생 상품 표에서 우리에게 익숙합니다. 곱을 구별하는 규칙과 제곱근 도함수의 표 값을 사용하여 다음을 얻습니다.

미분 문제에 대한 해결책은 다음에서 확인할 수 있습니다. 온라인 파생상품 계산기 .

실시예 6.함수의 도함수 찾기

해결책. 이 함수에서 우리는 배당금이 독립 변수의 제곱근인 몫을 볼 수 있습니다. 예제 4에서 반복하고 적용한 몫의 미분 규칙과 제곱근 도함수의 표 값을 사용하여 다음을 얻습니다.

분자에서 분수를 제거하려면 분자와 분모에 를 곱하세요.

기억하기 매우 쉽습니다.

글쎄, 멀리 가지 말고 즉시 역함수를 고려해 봅시다. 지수 함수의 역함수는 무엇입니까? 로그:

우리의 경우 기본은 숫자입니다.

이러한 로그(즉, 밑이 있는 로그)를 "자연"이라고 하며 이에 대해 특별한 표기법을 사용합니다. 대신 씁니다.

그것은 무엇과 같습니까? 물론, .

자연로그의 미분도 매우 간단합니다.

예:

1. 함수의 미분을 찾아보세요.
2. 함수의 미분은 무엇입니까?

답변: 지수 및 자연 로그는 미분 관점에서 볼 때 독특하게 단순한 함수입니다. 다른 밑수를 사용하는 지수 함수와 로그 함수는 서로 다른 도함수를 갖게 되며, 이를 미분 규칙을 살펴본 후 나중에 분석하겠습니다.

차별화 규칙

무슨 규칙이요? 또 새로운 용어가 또?!...

분화파생상품을 찾는 과정입니다.

그게 다야. 이 과정을 한 단어로 뭐라고 부를 수 있을까요? 미분 아님... 수학자들은 미분을 함수의 동일한 증분이라고 부릅니다. 이 용어는 라틴어 Differentia(차이)에서 유래되었습니다. 여기.

이러한 모든 규칙을 도출할 때 and와 같은 두 가지 기능을 사용합니다. 또한 증분에 대한 수식이 필요합니다.

총 5가지 규칙이 있습니다.

상수는 도함수 기호에서 제외됩니다.

만약 - 어떤 상수(상수)라면.

분명히 이 규칙은 차이점에도 적용됩니다.

그것을 증명해 봅시다. 그대로 두거나 더 간단하게 하세요.

예.

함수의 도함수를 찾습니다:

1. 어느 시점에서;
2. 어느 시점에서;
3. 어느 시점에서;
4. 그 시점에.

솔루션:

1. (도함수는 선형 함수이기 때문에 모든 점에서 동일합니다. 기억하시나요?)

제품의 파생물

여기에서는 모든 것이 비슷합니다. 새로운 함수를 도입하고 그 증가분을 찾아보겠습니다.

유도체:

예:

1. 함수의 파생물을 찾아보세요.
2. 한 점에서 함수의 도함수를 구합니다.

솔루션:

지수 함수의 파생

이제 당신의 지식은 지수뿐만 아니라 모든 지수 함수의 도함수를 찾는 방법을 배우기에 충분합니다. (아직 잊어버렸나요?)

그렇다면 어떤 숫자는 어디에 있습니까?

우리는 이미 함수의 도함수를 알고 있으므로 함수를 새로운 기반으로 줄여보겠습니다.

이를 위해 간단한 규칙을 사용합니다: . 그 다음에:

글쎄, 그것은 효과가 있었다. 이제 도함수를 구해 보세요. 이 함수가 복잡하다는 사실을 잊지 마세요.

일어난?

여기에서 직접 확인해 보세요.

공식은 지수의 미분과 매우 유사한 것으로 밝혀졌습니다. 그대로 유지되었으며 변수가 아닌 숫자일 뿐인 요소만 나타났습니다.

예:
함수의 도함수를 찾습니다:

답변:

이것은 계산기 없이는 계산할 수 없는 숫자일 뿐입니다. 즉, 더 간단한 형식으로 적을 수 없습니다. 그러므로 답변에는 이런 형태로 남겨둡니다.

여기에 두 함수의 몫이 있으므로 해당 미분 규칙을 적용합니다.

이 예에서는 다음 두 함수의 곱입니다.

로그 함수의 파생

여기에서도 비슷합니다. 여러분은 이미 자연 로그의 미분을 알고 있습니다.

따라서 밑이 다른 임의의 로그를 찾으려면 다음과 같이 하십시오.

우리는 이 로그를 밑수로 줄여야 합니다. 로그의 밑을 어떻게 바꾸나요? 다음 공식을 기억하시기 바랍니다.

이제 대신 다음과 같이 작성하겠습니다.

분모는 단순히 상수(변수가 없는 상수)입니다. 파생 상품은 매우 간단하게 얻습니다.

지수 함수와 로그 함수의 미분은 통합 상태 시험에서는 거의 발견되지 않지만 이를 아는 것이 불필요한 것은 아닙니다.

복잡한 함수의 파생물입니다.

"복잡한 기능"이란 무엇입니까? 아니요, 이것은 로그도 아니고 아크탄젠트도 아닙니다. 이러한 함수는 이해하기 어려울 수 있습니다(로그가 어렵다고 생각되면 "로그" 주제를 읽으면 괜찮을 것입니다). 그러나 수학적 관점에서 "복소수"라는 단어는 "어렵다"를 의미하지 않습니다.

작은 컨베이어 벨트를 상상해 보십시오. 두 사람이 앉아서 어떤 물건을 가지고 어떤 행동을 하고 있습니다. 예를 들어, 첫 번째는 초콜릿 바를 포장지로 감싸고, 두 번째는 리본으로 묶습니다. 그 결과는 리본으로 포장되고 묶인 초콜릿 바인 복합 개체입니다. 초콜릿 바를 먹으려면 반대 단계를 역순으로 수행해야 합니다.

유사한 수학적 파이프라인을 만들어 보겠습니다. 먼저 숫자의 코사인을 찾은 다음 결과 숫자를 제곱합니다. 그래서 우리에게 숫자(초콜릿)가 주어지고, 나는 그것의 코사인(포장지)을 찾은 다음, 내가 얻은 것을 제곱합니다(리본으로 묶습니다). 무슨 일이에요? 기능. 이것은 복잡한 함수의 예입니다. 값을 찾기 위해 변수를 사용하여 직접 첫 번째 작업을 수행한 다음 첫 번째 결과로 두 번째 작업을 수행합니다.

다시 말해서, 복잡한 함수는 인수가 다른 함수인 함수입니다.: .

우리의 예에서는 .

동일한 단계를 역순으로 쉽게 수행할 수 있습니다. 먼저 제곱한 다음 결과 숫자의 코사인을 찾습니다. 결과가 거의 항상 다를 것이라고 추측하기 쉽습니다. 복잡한 기능의 중요한 특징: 작업 순서가 변경되면 기능도 변경됩니다.

두 번째 예: (같은 것). .

우리가 마지막으로 수행하는 작업이 호출됩니다. "외부" 기능, 그리고 먼저 수행된 작업 - 각각 "내부" 기능(비공식적인 이름입니다. 자료를 간단한 언어로 설명하기 위해서만 사용합니다.)

어떤 기능이 외부 기능이고 어떤 기능이 내부 기능인지 스스로 결정해 보세요.

답변:내부 함수와 외부 함수를 분리하는 것은 변수를 변경하는 것과 매우 유사합니다. 예를 들어 함수에서

1. 우리는 어떤 행동을 먼저 수행할 것인가? 먼저 사인을 계산한 다음 이를 세제곱해 봅시다. 이는 내부 기능이지만 외부 기능임을 의미합니다.
   그리고 원래 기능은 구성입니다.
2. 내부: ; 외부: .
   시험: .
3. 내부: ; 외부: .
   시험: .
4. 내부: ; 외부: .
   시험: .
5. 내부: ; 외부: .
   시험: .

변수를 변경하고 함수를 얻습니다.

자, 이제 초콜릿 바를 추출하고 파생 상품을 찾아보겠습니다. 절차는 항상 반대입니다. 먼저 외부 함수의 도함수를 찾은 다음 결과에 내부 함수의 도함수를 곱합니다. 원래 예와 관련하여 다음과 같습니다.

다른 예시:

이제 공식 규칙을 공식화해 보겠습니다.

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

간단해 보이죠?

예를 들어 확인해 보겠습니다.

솔루션:

1) 내부: ;

외부: ;

2) 내부: ;

(지금쯤 잘라내려고 하지 마세요! 코사인 아래에서는 아무 것도 나오지 않습니다. 기억하시나요?)

3) 내부: ;

외부: ;

이것이 3단계 복합 함수라는 것이 즉시 분명해집니다. 결국 이것은 그 자체로 이미 복잡한 함수이고 여기서 루트도 추출합니다. 즉, 세 번째 작업을 수행합니다(초콜릿을 포장지에 넣습니다). 서류 가방에 리본이 달려 있습니다). 하지만 두려워할 이유가 없습니다. 우리는 이 기능을 평소와 같은 순서로 끝부터 "풀기"할 것입니다.

즉, 먼저 루트를 구별한 다음 코사인을 구별하고 괄호 안의 표현식만 구별합니다. 그런 다음 우리는 그것을 모두 곱합니다.

이러한 경우에는 작업에 번호를 매기는 것이 편리합니다. 즉, 우리가 아는 것을 상상해 봅시다. 이 표현식의 값을 계산하기 위해 어떤 순서로 작업을 수행합니까? 예를 살펴보겠습니다:

작업이 나중에 수행될수록 해당 기능은 더 "외부"가 됩니다. 일련의 작업은 이전과 동일합니다.

여기서 중첩은 일반적으로 4레벨입니다. 행동 순서를 결정합시다.

1. 과격한 표현. .

2. 루트. .

3. 사인. .

4. 광장. .

5. 종합해보면:

유도체. 주요 사항에 대해 간략하게

함수의 파생- 인수의 극소 증가에 대한 인수 증가에 대한 함수 증가의 비율:

기본 파생상품:

차별화 규칙:

상수는 도함수 기호에서 제외됩니다.

합계의 미분:

제품의 파생 상품:

몫의 파생물:

복잡한 함수의 파생:

복소 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

1. 우리는 "내부" 함수를 정의하고 그 파생물을 찾습니다.
2. 우리는 "외부" 함수를 정의하고 그 파생물을 찾습니다.
3. 첫 번째 점과 두 번째 점의 결과를 곱합니다.

시험까지 아직 시간이 많이 남은 것 같나요? 이게 한달인가요? 둘? 년도? 연습에 따르면 학생은 미리 시험 준비를 시작하면 시험에 가장 잘 대처할 수 있습니다. 통합 상태 시험에는 학생과 미래의 지원자가 최고 점수를 받는 데 방해가 되는 어려운 과제가 많이 있습니다. 이러한 장애물을 극복하는 방법을 배워야 하며, 게다가 그렇게 하는 것도 어렵지 않습니다. 티켓에서 다양한 작업을 수행하는 원리를 이해해야 합니다. 그러면 새로운 것에는 문제가 없을 것입니다.

로그는 언뜻 보면 엄청나게 복잡해 보이지만, 자세히 분석하면 상황이 훨씬 단순해집니다. 가장 높은 점수로 통합 상태 시험에 합격하려면 문제의 개념을 이해해야 하며, 이것이 바로 이 기사에서 제안하는 것입니다.

먼저 이러한 정의를 분리해 보겠습니다. 로그(로그)란 무엇입니까? 이는 지정된 숫자를 얻기 위해 베이스를 올려야 하는 힘을 나타내는 지표입니다. 명확하지 않다면 기본적인 예를 살펴보겠습니다.

이 경우 맨 아래의 밑변을 2승으로 올려야 숫자 4가 나옵니다.

이제 두 번째 개념을 살펴보겠습니다. 어떤 형태로든 함수의 미분은 주어진 지점에서 함수의 변화를 특성화하는 개념입니다. 그러나 이것은 학교 커리큘럼이므로 이러한 개념에 개별적으로 문제가 있는 경우 해당 주제를 반복해 볼 가치가 있습니다.

로그의 미분

이 주제에 대한 통합 상태 시험 과제에서는 몇 가지 작업을 예로 들 수 있습니다. 우선, 가장 간단한 로그 파생물입니다. 다음 함수의 미분을 구하는 것이 필요합니다.

다음 파생 상품을 찾아야 합니다.

특별한 공식이 있습니다.

이 경우 x=u, log3x=v입니다. 우리는 함수의 값을 공식으로 대체합니다.

x의 미분은 1과 같습니다. 로그는 조금 더 어렵습니다. 그러나 단순히 값을 대체하면 원리를 이해할 수 있습니다. lg x의 도함수는 십진 로그의 도함수이고, ln x의 도함수는 (e를 기반으로 하는) 자연 로그의 도함수라는 점을 기억하세요.

이제 결과 값을 공식에 ​​연결하기만 하면 됩니다. 직접 시도해 보세요. 그러면 답을 확인해 보겠습니다.

어떤 사람들에게는 여기서 문제가 될 수 있습니까? 자연로그의 개념을 도입했습니다. 그것에 대해 이야기하고 동시에 문제를 해결하는 방법을 알아 봅시다. 특히 작동 원리를 이해하면 복잡한 것이 보이지 않습니다. 수학에서 자주 사용되므로 익숙해져야 합니다(고등 교육 기관에서는 더욱 그렇습니다).

자연로그의 미분

핵심은 밑수 e(약 2.7인 무리수)에 대한 로그의 미분입니다. 실제로 ln은 매우 간단하기 때문에 일반 수학에서 자주 사용됩니다. 실제로 문제를 해결하는 것도 문제가되지 않습니다. 밑수 e에 대한 자연 로그의 미분은 1을 x로 나눈 것과 같다는 것을 기억할 가치가 있습니다. 다음 예에 대한 해결책이 가장 잘 드러날 것입니다.

두 개의 간단한 함수로 구성된 복잡한 함수로 상상해 봅시다.

변환하면 충분합니다

우리는 x에 대한 u의 도함수를 찾고 있습니다.

두 번째를 계속하자

u=nx를 대입하여 복소함수의 미분을 푸는 방법을 사용합니다.

결국 무슨 일이 일어 났니?

이제 이 예에서 n이 무엇을 의미하는지 기억해 볼까요? 이는 자연 로그에서 x 앞에 나타날 수 있는 숫자입니다. 대답은 그녀에게 달려 있지 않다는 것을 이해하는 것이 중요합니다. 원하는 대로 대체해도 답은 여전히 ​​1/x입니다.

보시다시피 여기에는 복잡한 것이 없습니다. 이 주제에 대한 문제를 빠르고 효과적으로 해결하려면 원리를 이해하면 됩니다. 이제 이론을 알았으니 실천에 옮기기만 하면 됩니다. 문제해결의 원리를 오랫동안 기억하기 위해 문제해결 연습을 해보세요. 학교를 졸업한 후에는 이 지식이 필요하지 않을 수도 있지만 시험에서는 그 어느 때보다 관련성이 높아질 것입니다. 행운을 빕니다!