Reklama na portalu

Jaka jest standardowa postać wielomianu. Jak rozwiązywać wielomiany. Standardowa postać wielomianu

Po przestudiowaniu jednomianów przechodzimy do wielomianów. W tym artykule dowiesz się o wszystkich niezbędnych informacjach wymaganych do wykonania na nich działań. Zdefiniujemy wielomian wraz z towarzyszącymi definicjami terminu wielomianowego, to znaczy swobodnego i podobnego, rozważymy wielomian w postaci standardowej, wprowadzimy stopień i nauczymy się go znajdować oraz pracować z jego współczynnikami.

Wielomian i jego pojęcia - definicje i przykłady

Definicja wielomianu została podana w 7 zajęcia po przestudiowaniu jednomianów. Przyjrzyjmy się jego pełnej definicji.

Definicja 1

Wielomian Obliczana jest suma jednomianów, a sam jednomian jest szczególnym przypadkiem wielomianu.

Z definicji wynika, że ​​przykłady wielomianów mogą być różne: 5 , 0 , − 1 , X, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z i tak dalej. Z definicji mamy to 1+x, za 2 + b 2 i wyrażenie x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x są wielomianami.

Przyjrzyjmy się kolejnym definicjom.

Definicja 2

Członkowie wielomianu nazywane są jego jednomianami składowymi.

Rozważmy przykład, w którym mamy wielomian 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, składający się z 4 wyrazów: 3 x 4, − 2 x y, 3 i - y 3. Taki jednomian można uznać za wielomian, który składa się z jednego wyrazu.

Definicja 3

Wielomiany zawierające 2, 3 trójmiany mają odpowiednią nazwę - dwumianowy I trójmian.

Wynika z tego wyrażenie formy x+y– jest dwumianem, a wyrażenie 2 x 3 q − q x x x + 7 b jest trójmianem.

Zgodnie z programem szkolnym pracowaliśmy z dwumianem liniowym w postaci a · x + b, gdzie a i b to pewne liczby, a x to zmienna. Rozważmy przykłady dwumianów liniowych postaci: x + 1, x · 7, 2 − 4 z przykładami trójmianów kwadratowych x 2 + 3 · x − 5 i 2 5 · x 2 - 3 x + 11.

Aby przekształcić i rozwiązać, należy znaleźć i przynieść podobne terminy. Na przykład wielomian w postaci 1 + 5 x - 3 + y + 2 x ma podobne wyrazy 1 i - 3, 5 x i 2 x. Dzielą się one na specjalną grupę zwaną podobnymi członkami wielomianu.

Definicja 4

Podobne wyrazy wielomianu są podobnymi terminami występującymi w wielomianie.

W powyższym przykładzie mamy, że 1 i - 3, 5 x i 2 x są podobnymi wyrazami wielomianu lub podobnymi wyrazami. Aby uprościć wyrażenie, znajdź i skróć podobne terminy.

Wielomian postaci standardowej

Wszystkie jednomiany i wielomiany mają swoje własne nazwy.

Definicja 5

Wielomian postaci standardowej jest wielomianem, w którym każdy zawarty w nim wyraz ma jednomian w postaci standardowej i nie zawiera wyrazów podobnych.

Z definicji jasno wynika, że ​​wielomiany postaci standardowej można redukować, na przykład 3 x 2 − x y + 1 i __formula__, a wpis ma standardową formę. Wyrażenia 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z i 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z nie są wielomianami postaci standardowej, ponieważ pierwszy z nich ma podobne wyrazy w forma 3 · x 2 i − x 2, a drugi zawiera jednomian postaci x · y 3 · x · z 2, który różni się od wielomianu standardowego.

Jeśli wymagają tego okoliczności, czasami wielomian sprowadza się do postaci standardowej. Pojęcie terminu wolnego wielomianu jest również uważane za wielomian w postaci standardowej.

Definicja 6

Swobodny wyraz wielomianu jest wielomianem w postaci standardowej, który nie ma części dosłownej.

Innymi słowy, gdy wielomian w postaci standardowej ma liczbę, nazywa się go członkiem swobodnym. Wtedy liczba 5 jest wyrazem wolnym wielomianu x 2 z + 5, a wielomian 7 a + 4 a b + b 3 nie ma terminu wolnego.

Stopień wielomianu - jak go znaleźć?

Definicja stopnia samego wielomianu opiera się na definicji wielomianu w postaci standardowej oraz na stopniach jednomianów będących jego składnikami.

Definicja 7

Stopień wielomianu postaci standardowej nazywany jest największym ze stopni zawartych w jego zapisie.

Spójrzmy na przykład. Stopień wielomianu 5 x 3 − 4 jest równy 3, gdyż jednomiany wchodzące w jego skład mają odpowiednio stopnie 3 i 0, a większy z nich ma odpowiednio stopień 3. Definicja stopnia z wielomianu 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x równa się największej z liczb, czyli 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 i 1, co oznacza 5 .

Należy dowiedzieć się, w jaki sposób ustalany jest sam stopień.

Definicja 8

Stopień wielomianu dowolnej liczby jest stopniem odpowiedniego wielomianu w postaci standardowej.

Kiedy wielomian nie jest zapisany w postaci standardowej, ale trzeba znaleźć jego stopień, należy go zredukować do postaci standardowej, a następnie znaleźć wymagany stopień.

Przykład 1

Znajdź stopień wielomianu 3 za 12 - 2 za b do do za do b + y 2 z 2 - 2 za 12 - za 12.

Rozwiązanie

Najpierw przedstawmy wielomian w postaci standardowej. Otrzymujemy wyrażenie w postaci:

3 za 12 - 2 za b do do za do b + y 2 z 2 - 2 za 12 - za 12 = = (3 za 12 - 2 za 12 - za 12) - 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = - 2 · za 2 · b 2 · do 2 + y 2 · z 2

Otrzymując wielomian o postaci standardowej, zauważamy, że wyraźnie wyróżniają się dwa z nich - 2 · a 2 · b 2 · c 2 i y 2 · z 2 . Aby znaleźć stopnie, liczymy i stwierdzamy, że 2 + 2 + 2 = 6 i 2 + 2 = 4. Jak widać, największy z nich to 6. Z definicji wynika, że ​​6 to stopień wielomianu − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 , a zatem wartość pierwotna.

Odpowiedź: 6 .

Współczynniki wyrazów wielomianowych

Definicja 9

Kiedy wszystkie wyrazy wielomianu są jednomianami postaci standardowej, wówczas w tym przypadku mają nazwę współczynniki wyrazów wielomianowych. Inaczej mówiąc, można je nazwać współczynnikami wielomianu.

Rozważając przykład, widać, że wielomian postaci 2 x - 0, 5 x y + 3 x + 7 zawiera 4 wielomiany: 2 x, - 0, 5 x y, 3 x i 7 z odpowiadającymi im współczynnikami 2, - 0, 5, 3 i 7. Oznacza to, że 2, − 0, 5, 3 i 7 uważa się za współczynniki wyrazów danego wielomianu w postaci 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Podczas konwersji należy zwrócić uwagę na współczynniki przed zmiennymi.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Wielomian jest sumą jednomianów. Jeśli wszystkie wyrazy wielomianu zostaną zapisane w postaci standardowej (patrz akapit 51), a podobne wyrazy zostaną zredukowane, otrzymasz wielomian w postaci standardowej.

Dowolne wyrażenie całkowite można zamienić na wielomian o postaci standardowej - temu służy przekształcenie (uproszczenie) wyrażeń całkowitych.

Spójrzmy na przykłady, w których całe wyrażenie należy sprowadzić do standardowej postaci wielomianu.

Rozwiązanie. Najpierw sprowadźmy warunki wielomianu do postaci standardowej. Otrzymujemy Po wprowadzeniu podobnych wyrazów otrzymujemy wielomian postaci standardowej

Rozwiązanie. Jeżeli przed nawiasem znajduje się znak plus, wówczas nawiasy można pominąć, zachowując znaki wszystkich terminów zawartych w nawiasach. Stosując tę ​​regułę do otwierania nawiasów, otrzymujemy:

Rozwiązanie. Jeżeli nawiasy poprzedzone są znakiem minus, to nawiasy można pominąć, zmieniając znaki wszystkich terminów zawartych w nawiasach. Używając tej reguły do ​​ukrywania nawiasów, otrzymujemy:

Rozwiązanie. Iloczyn jednomianu i wielomianu, zgodnie z prawem rozdzielności, jest równy sumie iloczynów tego jednomianu i każdego elementu wielomianu. Dostajemy

Rozwiązanie. Mamy

Rozwiązanie. Mamy

Pozostaje podać podobne terminy (są podkreślone). Otrzymujemy:

53. Skrócone wzory na mnożenie.

W niektórych przypadkach doprowadzenie całego wyrażenia do standardowej postaci wielomianu odbywa się przy użyciu tożsamości:

Tożsamości te nazywane są skróconymi wzorami na mnożenie,

Przyjrzyjmy się przykładom, w których trzeba przekonwertować dane wyrażenie na standardową formę myogochleas.

Przykład 1. .

Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru (1) otrzymujemy:

Przykład 2. .

Rozwiązanie.

Przykład 3...

Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru (3) otrzymujemy:

Przykład 4.

Rozwiązanie. Korzystając ze wzoru (4) otrzymujemy:

54. Rozkładanie wielomianów na czynniki.

Czasami można przekształcić wielomian w iloczyn kilku czynników - wielomianów lub podmianów. Taka transformacja tożsamości nazywa się faktoryzacją wielomianu. W tym przypadku mówi się, że wielomian jest podzielny przez każdy z tych czynników.

Przyjrzyjmy się kilku sposobom rozkładu wielomianów na czynniki,

1) Wyjmując wspólny czynnik z nawiasów. Transformacja ta jest bezpośrednią konsekwencją prawa rozdzielności (dla jasności wystarczy przepisać to prawo „od prawej do lewej”):

Przykład 1: Rozłóż wielomian na czynniki

Rozwiązanie. .

Zwykle, usuwając wspólny czynnik z nawiasów, każda zmienna zawarta we wszystkich wyrazach wielomianu jest usuwana z najniższym wykładnikiem, jaki ma w tym wielomianu. Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu są liczbami całkowitymi, wówczas za współczynnik wspólnego czynnika przyjmuje się największy bezwzględny wspólny dzielnik wszystkich współczynników wielomianu.

2) Stosowanie skróconych wzorów na mnożenie. Wzory (1) - (7) z paragrafu 53, czytane od prawej do lewej, w wielu przypadkach okazują się przydatne przy rozkładaniu na czynniki wielomianów.

Przykład 2: Współczynnik .

Rozwiązanie. Mamy. Stosując wzór (1) (różnica kwadratów) otrzymujemy . Poprzez zastosowanie

Teraz ze wzorów (4) i (5) (suma kostek, różnica kostek) otrzymujemy:

Przykład 3...

Rozwiązanie. Najpierw usuńmy wspólny czynnik z nawiasu. Aby to zrobić, znajdziemy największy wspólny dzielnik współczynników 4, 16, 16 i najmniejsze wykładniki, z którymi zmienne aib są zawarte w jednomianach składowych tego wielomianu. Otrzymujemy:

3) Sposób grupowania. Opiera się ona na fakcie, że przemienne i łączne prawa dodawania pozwalają na różne sposoby grupowania członków wielomianu. Czasem udaje się tak pogrupować, że po usunięciu wspólnych czynników z nawiasów w każdej grupie ten sam wielomian pozostanie w nawiasach, co z kolei jako wspólny czynnik można wyjąć z nawiasów. Spójrzmy na przykłady rozkładu wielomianu na czynniki.

Przykład 4. .

Rozwiązanie. Zróbmy grupowanie w następujący sposób:

W pierwszej grupie wyjmijmy wspólny czynnik z nawiasów do drugiej - wspólny czynnik 5. Otrzymujemy Teraz wyjmujemy wielomian jako wspólny czynnik z nawiasów: W ten sposób otrzymujemy:

Przykład 5.

Rozwiązanie. .

Przykład 6.

Rozwiązanie. Tutaj żadne grupowanie nie doprowadzi do pojawienia się tego samego wielomianu we wszystkich grupach. W takich przypadkach czasami przydatne jest przedstawienie elementu wielomianu jako sumy, a następnie ponowne wypróbowanie metody grupowania. W naszym przykładzie wskazane jest przedstawienie tego jako sumy

Przykład 7.

Rozwiązanie. Dodajemy i odejmujemy jednomian. Otrzymujemy

55. Wielomiany w jednej zmiennej.

Wielomian, w którym a, b są liczbami zmiennymi, nazywany jest wielomianem pierwszego stopnia; wielomian, w którym a, b, c są liczbami zmiennymi, nazywany wielomianem drugiego stopnia lub trójmianem kwadratowym; wielomian, w którym a, b, c, d są liczbami, zmienną nazywamy wielomianem trzeciego stopnia.

Ogólnie rzecz biorąc, jeśli o jest zmienną, to jest to wielomian

zwany stopniem lsmogochnolenolu (w stosunku do x); , m-składniki wielomianu, współczynniki, składnik wiodący wielomianu, a jest współczynnikiem składnika wiodącego, wolny składnik wielomianu. Zazwyczaj wielomian zapisuje się w malejących potęgach zmiennej, tj. Potęgi zmiennej stopniowo maleją, w szczególności termin wiodący jest na pierwszym miejscu, a termin wolny na ostatnim. Stopień wielomianu to stopień najwyższego wyrazu.

Na przykład wielomian piątego stopnia, w którym człon wiodący, 1, jest wyrazem wolnym wielomianu.

Pierwiastkiem wielomianu jest wartość, przy której wielomian zanika. Na przykład liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu, ponieważ

Studiując temat wielomianów warto osobno wspomnieć, że wielomiany występują zarówno w postaci standardowej, jak i niestandardowej. W takim przypadku wielomian o niestandardowej formie można sprowadzić do postaci standardowej. Właściwie to pytanie zostanie omówione w tym artykule. Wzmocnijmy wyjaśnienia przykładami ze szczegółowym opisem krok po kroku.

Znaczenie sprowadzania wielomianu do postaci standardowej

Zagłębmy się nieco w samą koncepcję, akcję - „doprowadzenie wielomianu do standardowej formy”.

Wielomiany, jak każde inne wyrażenie, można przekształcać w identyczny sposób. W rezultacie w tym przypadku otrzymujemy wyrażenia identyczne z wyrażeniem pierwotnym.

Definicja 1

Sprowadź wielomian do postaci standardowej– oznacza zastąpienie pierwotnego wielomianu równym wielomianem o postaci standardowej, otrzymanym z pierwotnego wielomianu za pomocą identycznych przekształceń.

Metoda redukcji wielomianu do postaci standardowej

Spekulujmy na temat, jakie dokładnie przekształcenia tożsamości doprowadzą wielomian do postaci standardowej.

Definicja 2

Zgodnie z definicją każdy wielomian postaci standardowej składa się z jednomianów postaci standardowej i nie zawiera terminów podobnych. Wielomian o niestandardowej formie może zawierać jednomiany o niestandardowej formie i podobne terminy. Z powyższego naturalnie wynika reguła dotycząca sprowadzania wielomianu do postaci standardowej:

  • po pierwsze, jednomiany tworzące dany wielomian sprowadza się do postaci standardowej;
  • następnie przeprowadzana jest redukcja podobnych członków.

Przykłady i rozwiązania

Przeanalizujmy szczegółowo przykłady, w których redukujemy wielomian do postaci standardowej. Będziemy kierować się zasadą wyprowadzoną powyżej.

Należy zauważyć, że czasami wyrazy wielomianu w stanie początkowym mają już standardową postać i pozostaje jedynie wprowadzić podobne terminy. Zdarza się, że po pierwszym etapie działań nie ma takich terminów, wówczas pomijamy krok drugi. W ogólnych przypadkach konieczne jest wykonanie obu czynności z powyższej reguły.

Przykład 1

Dane są wielomiany:

5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1 ,

0, 8 + 2 za 3 0, 6 - b za b 4 b 5,

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Konieczne jest doprowadzenie ich do standardowej formy.

Rozwiązanie

Rozważmy najpierw wielomian 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 : jego członkowie mają postać standardową, nie ma podobnych terminów, co oznacza, że ​​​​wielomian jest określony w postaci standardowej i nie są wymagane żadne dodatkowe działania.

Przyjrzyjmy się teraz wielomianowi 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5. Zawiera niestandardowe jednomiany: 2 · a 3 · 0, 6 oraz − b · a · b 4 · b 5, tj. musimy doprowadzić wielomian do postaci standardowej, w tym przypadku pierwszym krokiem jest przekształcenie jednomianów do postaci standardowej:

2 · za 3 · 0, 6 = 1, 2 · za 3;

− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 , w ten sposób otrzymujemy następujący wielomian:

0, 8 + 2 · za 3 · 0, 6 - b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · za 3 - a · b 10.

W powstałym wielomianie wszystkie terminy są standardowe, nie ma terminów podobnych, co oznacza, że ​​​​nasze działania zmierzające do doprowadzenia wielomianu do postaci standardowej są zakończone.

Rozważmy trzeci podany wielomian: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8

Doprowadźmy jego członków do standardowej postaci i uzyskajmy:

2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Widzimy, że wielomian zawiera człony podobne, przyprowadźmy człony podobne:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1

Zatem dany wielomian 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 przyjmuje postać standardową - x y + 1 .

Odpowiedź:

5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1- wielomian jest ustawiony standardowo;

0, 8 + 2 za 3 0, 6 - b za b 4 b 5 = 0, 8 + 1, 2 za 3 - za b 10;

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .

W wielu zagadnieniach czynność sprowadzenia wielomianu do postaci standardowej ma charakter pośredni w poszukiwaniu odpowiedzi na zadane pytanie. Rozważmy ten przykład.

Przykład 2

Dany jest wielomian 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0. 5 · z 2 + z 3 . Należy sprowadzić go do postaci standardowej, wskazać jego stopień i uporządkować wyrazy danego wielomianu w malejących stopniach zmiennej.

Rozwiązanie

Sprowadźmy wyrazy danego wielomianu do postaci standardowej:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .

Następnym krokiem jest przedstawienie podobnych terminów:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2

Otrzymaliśmy wielomian w postaci standardowej, który pozwala wyznaczyć stopień wielomianu (równy najwyższemu stopniowi jego jednomianów składowych). Oczywiście wymagany stopień to 5.

Pozostaje tylko ułożyć wyrazy w malejące potęgi zmiennych. W tym celu po prostu przestawiamy terminy w otrzymanym wielomianu w postaci standardowej, biorąc pod uwagę wymaganie. W ten sposób otrzymujemy:

z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11 .

Odpowiedź:

11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0, 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2, natomiast stopień wielomian - 5; w wyniku uporządkowania wyrazów wielomianu w malejące potęgi zmiennych wielomian przyjmie postać: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Słowa kluczowe podsumowania: Wielomian, postać standardowa wielomianu, człony wielomianu, wielomiany, wielomian zerowy, stopień wielomianu, redukcja wyrazów podobnych, współczynnik wiodący, wyraz wolny wielomianu.

Wyrażenie 5a 2 b – 3ab – 4a 3 + 7 reprezentuje sumę jednomianów 5a 2 b, –5ab, –4a 3 i 7 . Takie wyrażenia nazywane są wielomiany.

✅ Definicja. Wielomian jest sumą jednomianów.

Nazywa się jednomiany tworzące wielomian członkowie wielomianu . Na przykład warunki wielomianu x 3 y – 4x 2 + 9 to jednomiany x 3 y, – 4x2 i 9.

Nazywa się wielomian składający się z dwóch wyrazów dwumianowy , a wielomian składający się z trzech wyrazów to trójmian . Jednomian jest uważany za wielomian składający się z jednego wyrazu. Czasami nazywane są wielomianami wielomiany i dwumiany - dwumiany (od greckich słów „poly” - „wiele”, „nomos” - „członek, część” i łacińskiego „bi” - „dwa, dwa razy”).

Znając wartości zmiennych wchodzących w skład wielomianu, możesz obliczyć wartość wielomianu.

Przykład 1. Znajdźmy wartość wielomianu –0,3x 2 lata – x ​​3 + 7 lat Na x = –0,2, y = –1 .
Mamy:
–0,3x 2 y – x 3 +7y = –0,3 (–0,2) 2 (–1) – (–0,2) 3 + 7 (–1) = 0,012 + 0,008 – 7 = –6 ,98.

Standardowa postać wielomianu

W wielomianie 13x 2 lata + 4 + 8xy – 6x 2 lata – 9 terminy pierwszy i czwarty mają tę samą część literową. Wyrazy wielomianu, które mają tę samą część literową, nazywane są wyrazami podobnymi. Terminy, które nie zawierają części literowej, są również uważane za terminy podobne.

Sumę wyrazów podobnych wielomianu można zastąpić jednomianem. Taka identyczna transformacja nazywa się redukcją podobnych terminów lub przynosząc podobne warunki. Redukcja takich terminów opiera się na przemienności i kombinacyjności dodawania oraz rozdzielności mnożenia.

Przykład 2. Przedstawmy podobne wyrazy wielomianu 13x 2 lata + 4 + 8xy – 6x 2 lata – 9.
Mamy:
13x 2 y + 4 + 8xy – 6x 2 y – 9 = (13x 2 y – 6x 2 y) + 8xy + (4 – 9) = (13 – 6)x 2 y + 8xy – 5 = 7x 2 y + 8xy - 5.

W wielomianie 7x 2 y + 8xy – 5 każdy termin jest jednomianem postaci standardowej i wśród nich nie ma podobnych terminów. Takie wielomiany nazywane są wielomiany postaci standardowej.

Rozważmy wielomian postaci standardowej Dla 3 – 5a 3 b 2 + 7 . Jego członkami są jednomiany trzeciego, piątego i zerowego stopnia. Największa z tych potęg nazywana jest stopniem wielomianu. Zatem ten wielomian jest wielomianem stopnia piątego.

Stopień wielomianu postać standardowa to największa z potęg zawartych w niej jednomianów. Stopień dowolnego wielomianu to stopień identycznie równego wielomianu w postaci standardowej.

Przykład 3. Określmy stopień wielomianu za 6 + 2a 2 b – za 6 + 1 .
W tym celu sprowadzamy wielomian do postaci standardowej: za 6 + 2a 2 b – za 6 + 1 = 2a 2 b + 1 .
Stopień powstałego wielomianu wynosi trzy. Oznacza to, że stopień danego wielomianu jest równy trzy.

Jeżeli wielomian jest liczbą różną od zera, to stopień takiego wielomianu wynosi 0. Liczbę zero nazywa się zerowy wielomian . Jego stopień jest uważany za niepewny.

Wśród wielomianów wyróżnia się wielomiany z jedną zmienną. Wielomian n-tego stopnia z jedną zmienną w postaci standardowej zapisuje się następująco: za 0 x n + za 1 x n-1 + za 2 x n-2 + ... + za n-2 x 2 + za n-1 x + za n, Gdzie X- zmienny, za 0, za 1 za 2, …, za n-1, za n- liczby dowolne, rz ∈ N lub n = 0. Współczynnik przy x rz zwany starszy współczynnik (w naszym przypadku jest to 0). Termin, który nie zawiera zmiennej x, nazywa się Wolny Członek wielomian (w naszym przypadku jest to n). Na przykład wiodący współczynnik wielomianu x 4 + 2x 3 – x 2 + 3x równa się 1, a wyraz fikcyjny wynosi zero.

Należy zauważyć, że wartość wielomianu ze zmienną x przy x = 0 jest równa wolnemu członowi tego wielomianu, a przy x = 1 - sumie jego współczynników.

To jest podsumowanie matematyki na ten temat. Wybierz, co chcesz dalej zrobić:

  • Przejdź do następnego podsumowania:

Powiedzieliśmy, że istnieją wielomiany standardowe i niestandardowe. Tam zauważyliśmy, że każdy może doprowadzić wielomian do postaci standardowej. W tym artykule najpierw dowiemy się, jakie znaczenie ma to wyrażenie. Następnie podajemy kroki konwersji dowolnego wielomianu do postaci standardowej. Na koniec spójrzmy na rozwiązania typowych przykładów. Opiszemy rozwiązania bardzo szczegółowo, aby zrozumieć wszystkie niuanse pojawiające się podczas redukcji wielomianów do postaci standardowej.

Nawigacja strony.

Co to znaczy sprowadzić wielomian do postaci standardowej?

Najpierw musisz jasno zrozumieć, co oznacza redukcja wielomianu do postaci standardowej. Rozwiążmy to.

Wielomiany, jak każde inne wyrażenie, można poddać identycznym przekształceniom. W wyniku przeprowadzenia takich przekształceń otrzymuje się wyrażenia identyczne z wyrażeniem pierwotnym. Zatem wykonanie pewnych przekształceń wielomianami o postaci niestandardowej pozwala przejść do wielomianów, które są im identycznie równe, ale zapisane w postaci standardowej. To przejście nazywa się redukcją wielomianu do postaci standardowej.

Więc, sprowadź wielomian do postaci standardowej- oznacza to zastąpienie pierwotnego wielomianu identycznym równym wielomianem postaci standardowej, otrzymanym z pierwotnego wielomianu poprzez przeprowadzenie identycznych przekształceń.

Jak sprowadzić wielomian do postaci standardowej?

Zastanówmy się, jakie przekształcenia pomogą nam sprowadzić wielomian do postaci standardowej. Zaczniemy od definicji wielomianu postaci standardowej.

Z definicji każdy wyraz wielomianu postaci standardowej jest jednomianem postaci standardowej, a wielomian postaci standardowej nie zawiera podobnych terminów. Z kolei wielomiany zapisane w postaci innej niż standardowa mogą składać się z jednomianów w postaci niestandardowej i mogą zawierać wyrazy podobne. Jest to logicznie zgodne z następującą zasadą, która wyjaśnia jak sprowadzić wielomian do postaci standardowej:

  • najpierw musisz doprowadzić jednomiany tworzące pierwotny wielomian do postaci standardowej,
  • następnie wykonaj redukcję podobnych wyrazów.

W rezultacie uzyskany zostanie wielomian o standardowej formie, ponieważ wszystkie jego terminy zostaną zapisane w standardowej formie i nie będą zawierały podobnych terminów.

Przykłady, rozwiązania

Spójrzmy na przykłady redukcji wielomianów do postaci standardowej. Rozwiązując będziemy postępować według kroków podyktowanych zasadą z poprzedniego akapitu.

Zauważamy tutaj, że czasami wszystkie warunki wielomianu są natychmiast zapisywane w standardowej formie, w tym przypadku wystarczy podać podobne terminy. Czasem po sprowadzeniu wyrazów wielomianu do postaci standardowej nie ma już wyrazów podobnych, dlatego w tym przypadku pomija się etap doprowadzenia wyrazów podobnych. Ogólnie rzecz biorąc, musisz zrobić jedno i drugie.

Przykład.

Przedstaw wielomiany w postaci standardowej: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 za 3 0,6−b za b 4 b 5 I .

Rozwiązanie.

Wszystkie wyrazy wielomianu 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 są zapisane w postaci standardowej, nie ma on wyrazów podobnych, dlatego wielomian ten jest już przedstawiony w postaci standardowej.

Przejdźmy do następnego wielomianu 0,8+2 za 3 0,6−b za b 4 b 5. Jego forma nie jest standardowa, o czym świadczą określenia 2·a 3 ·0,6 i −b·a·b 4 ·b 5 formy niestandardowej. Przedstawmy to w standardowej formie.

Na pierwszym etapie doprowadzenia pierwotnego wielomianu do postaci standardowej należy przedstawić wszystkie jego wyrazy w postaci standardowej. Dlatego redukujemy jednomian 2·a 3 ·0.6 do postaci standardowej, mamy 2.a 3 ·0.6=1.2·a 3 , po czym bierzemy jednomian −b·a·b 4 ·b 5 , mamy −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. Zatem, . W powstałym wielomianie wszystkie terminy są zapisane w standardowej formie; ponadto oczywiste jest, że nie ma w nim podobnych terminów. W konsekwencji kończy to redukcję pierwotnego wielomianu do postaci standardowej.

Pozostaje przedstawić ostatni z podanych wielomianów w postaci standardowej. Po doprowadzeniu wszystkich jego członków do standardowej postaci, zostanie on zapisany jako . Ma podobnych członków, więc musisz obsadzić podobnych członków:

Zatem pierwotny wielomian przyjął postać standardową −x·y+1.

Odpowiedź:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – już w formie standardowej, 0,8+2 za 3 0,6−b za b 4 b 5 =0,8+1,2 za 3 −a b 10, .

Często doprowadzenie wielomianu do postaci standardowej jest jedynie pośrednim krokiem w odpowiedzi na postawione pytanie. Na przykład znalezienie stopnia wielomianu wymaga jego wstępnego przedstawienia w postaci standardowej.

Przykład.

Podaj wielomian do postaci standardowej, wskaż jej stopień i uporządkuj terminy w malejących stopniach zmiennej.

Rozwiązanie.

Najpierw sprowadzamy wszystkie warunki wielomianu do postaci standardowej: .

Teraz przedstawiamy podobne terminy:

Doprowadziliśmy więc pierwotny wielomian do postaci standardowej, co pozwala nam określić stopień wielomianu, który jest równy najwyższemu stopniowi zawartych w nim jednomianów. Oczywiście jest równa 5.

Pozostaje jeszcze uporządkować wyrazy wielomianu w malejących potęgach zmiennych. Aby to zrobić, wystarczy zmienić układ terminów w wynikowym wielomianu w postaci standardowej, biorąc pod uwagę wymagania. Najwyższy stopień ma wyraz z 5; stopnie wyrazów , -0,5·z 2 i 11 są równe odpowiednio 3, 2 i 0. Zatem wielomian z wyrazami ułożonymi w malejących potęgach zmiennej będzie miał postać .

Odpowiedź:

Stopień wielomianu wynosi 5 i po uporządkowaniu jego wyrazów w malejących stopniach zmiennej przyjmuje postać .

Bibliografia.

  • Algebra: podręcznik dla 7 klasy ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 17. - M.: Edukacja, 2008. - 240 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019315-3.
  • Mordkovich A.G. Algebra. 7. klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich. - wyd. XVII, dod. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: il. ISBN 978-5-346-02432-3.
  • Algebra i początek analizy matematycznej. Klasa 10: podręcznik. dla edukacji ogólnej instytucje: podstawowe i profilowe. poziomy / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; edytowany przez A. B. Żyżczenko. - wyd. 3. - M.: Edukacja, 2010. - 368 s. : chory. - ISBN 978-5-09-022771-1.
  • Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.