Złożone pochodne. Pochodna logarytmiczna.
Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej

Wciąż doskonalimy naszą technikę różnicowania. Na tej lekcji skonsolidujemy przerobiony materiał, przyjrzymy się bardziej złożonym pochodnym, a także zapoznamy się z nowymi technikami i trikami znajdowania pochodnej, w szczególności pochodnej logarytmicznej.

Czytelnicy o niskim poziomie przygotowania powinni zapoznać się z artykułem Jak znaleźć pochodną? Przykłady rozwiązań, które pozwolą Ci podnieść swoje umiejętności niemal od zera. Następnie musisz dokładnie przestudiować stronę Pochodna funkcji zespolonej, zrozumieć i rozwiązać Wszystko przykłady, które podałem. Ta lekcja jest logicznie trzecią, a po jej opanowaniu z pewnością rozróżnisz dość złożone funkcje. Niepożądane jest przyjmowanie stanowiska „Gdzie jeszcze? To wystarczy!”, gdyż wszystkie przykłady i rozwiązania pochodzą z rzeczywistych testów i często spotykane są w praktyce.

Zacznijmy od powtórzeń. Na lekcji Pochodna funkcji zespolonej Przyjrzeliśmy się wielu przykładom ze szczegółowymi komentarzami. W trakcie studiowania rachunku różniczkowego i innych gałęzi analizy matematycznej będziesz musiał bardzo często dokonywać różnicowania i nie zawsze jest wygodne (i nie zawsze konieczne) opisywanie przykładów z dużą szczegółowością. Dlatego będziemy ćwiczyć ustne znajdowanie pochodnych. Najbardziej odpowiednimi „kandydatami” do tego są pochodne najprostszych ze złożonych funkcji, na przykład:

Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonych :

Studiując w przyszłości inne tematy związane z matanem, najczęściej nie jest wymagane tak szczegółowe zapisywanie; zakłada się, że student wie, jak znaleźć takie pochodne na autopilocie. Wyobraźmy sobie, że o trzeciej w nocy zadzwonił telefon i przyjemny głos zapytał: „Jaka jest pochodna tangensa dwóch X?” Po tym powinna nastąpić niemal natychmiastowa i uprzejma odpowiedź: .

Pierwszy przykład będzie od razu przeznaczony do samodzielnego rozwiązania.

Przykład 1

Znajdź ustnie następujące pochodne w jednej akcji, na przykład: . Aby wykonać zadanie, wystarczy użyć tablica pochodnych funkcji elementarnych(jeśli jeszcze tego nie pamiętasz). W razie trudności sugeruję ponowne przeczytanie lekcji Pochodna funkcji zespolonej.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odpowiedzi na końcu lekcji

Złożone pochodne

Po wstępnym przygotowaniu artyleryjskim przykłady z 3-4-5 zagnieżdżeniami funkcji będą mniej przerażające. Poniższe dwa przykłady mogą niektórym wydawać się skomplikowane, ale jeśli je zrozumiesz (ktoś ucierpi), to prawie wszystko inne w rachunku różniczkowym będzie wydawać się dziecięcym żartem.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Jak już wspomniano, przy znajdowaniu pochodnej funkcji złożonej przede wszystkim jest to konieczne Prawidłowy ZROZUM swoje inwestycje. W przypadku wątpliwości przypominam przydatną technikę: bierzemy na przykład eksperymentalną wartość „x” i próbujemy (w myślach lub w wersji roboczej) zastąpić tę wartość „strasznym wyrażeniem”.

1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, co oznacza, że ​​suma jest najgłębszym osadzeniem.

2) Następnie musisz obliczyć logarytm:

4) Następnie sześcian cosinus:

5) W piątym kroku różnica jest następująca:

6) I wreszcie najbardziej zewnętrzną funkcją jest pierwiastek kwadratowy:

Wzór na różniczkowanie funkcji zespolonej są stosowane w odwrotnej kolejności, od funkcji najbardziej zewnętrznej do najbardziej wewnętrznej. My decydujemy:

Wygląda na to, że nie ma błędów...

(1) Weź pochodną pierwiastka kwadratowego.

(2) Pochodną różnicy obliczamy korzystając z reguły

(3) Pochodna trójki wynosi zero. W drugim wyrazie bierzemy pochodną stopnia (sześcianu).

(4) Weź pochodną cosinusa.

(5) Weź pochodną logarytmu.

(6) Na koniec bierzemy pochodną najgłębszego osadzania.

Może się to wydawać zbyt trudne, ale nie jest to najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuzniecowa, a docenisz całe piękno i prostotę analizowanego pochodnego. Zauważyłem, że lubią dawać podobne zadanie na egzaminie, żeby sprawdzić, czy student rozumie, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, czy nie rozumie.

Poniższy przykład jest przeznaczony do samodzielnego rozwiązania.

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Wskazówka: Najpierw zastosujemy reguły liniowości i zasadę różnicowania produktu

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Czas przejść na coś mniejszego i ładniejszego.
Nierzadko zdarza się, że przykład pokazuje iloczyn nie dwóch, ale trzech funkcji. Jak znaleźć pochodną iloczynu trzech czynników?

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

Najpierw zastanówmy się, czy można zamienić iloczyn trzech funkcji w iloczyn dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli w iloczynie dwa wielomiany, moglibyśmy otworzyć nawiasy. Ale w rozważanym przykładzie wszystkie funkcje są inne: stopień, wykładnik i logarytm.

W takich przypadkach jest to konieczne sekwencyjnie zastosować regułę różnicowania produktów dwa razy

Sztuka polega na tym, że przez „y” oznaczamy iloczyn dwóch funkcji: , a przez „ve” oznaczamy logarytm: . Dlaczego można to zrobić? Czy to możliwe – to nie jest iloczyn dwóch czynników i reguła nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:

Teraz pozostaje zastosować regułę po raz drugi do nawiasu:

Możesz też się przekręcić i wstawić coś z nawiasów, ale w tym przypadku lepiej zostawić odpowiedź dokładnie w tej formie - łatwiej będzie to sprawdzić.

Rozważany przykład można rozwiązać w drugi sposób:

Obydwa rozwiązania są całkowicie równoważne.

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład rozwiązania niezależnego; w przykładzie jest ono rozwiązywane pierwszą metodą.

Spójrzmy na podobne przykłady z ułamkami zwykłymi.

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Można tu przejść na kilka sposobów:

Lub tak:

Ale rozwiązanie zostanie zapisane bardziej zwięźle, jeśli najpierw zastosujemy zasadę różniczkowania ilorazu , biorąc za cały licznik:

W zasadzie przykład został rozwiązany i jeśli pozostawimy go tak jak jest, nie będzie to błąd. Ale jeśli masz czas, zawsze warto sprawdzić wersję roboczą, aby sprawdzić, czy odpowiedź można uprościć? Sprowadźmy wyrażenie licznika do wspólnego mianownika i pozbądźmy się ułamka trzypiętrowego:

Wadą dodatkowych uproszczeń jest ryzyko popełnienia błędu nie przy znajdywaniu pochodnej, ale przy banalnych przekształceniach szkolnych. Z drugiej strony nauczyciele często odrzucają zadanie i proszą o „przypomnienie” pochodnej.

Prostszy przykład do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

Nadal doskonalimy metody znajdowania pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, gdy do różniczkowania zaproponowany zostanie „straszny” logarytm

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz przejść długą drogę, używając reguły różniczkowania funkcji złożonej:

Ale już pierwszy krok natychmiast pogrąża cię w przygnębieniu - musisz wziąć nieprzyjemną pochodną z potęgi ułamkowej, a potem także z ułamka.

Dlatego zanim jak wziąć pochodną „wyrafinowanego” logarytmu, najpierw upraszcza się ją, korzystając ze znanych właściwości szkolnych:

! Jeśli masz pod ręką zeszyt ćwiczeń, przepisz bezpośrednio tam te formuły. Jeśli nie masz zeszytu, przepisz je na kartkę papieru, ponieważ pozostałe przykłady lekcji będą dotyczyć tych formuł.

Samo rozwiązanie można zapisać mniej więcej tak:

Przekształćmy funkcję:

Znajdowanie pochodnej:

Wstępna konwersja samej funkcji znacznie uprościła rozwiązanie. Zatem, gdy do różniczkowania proponuje się podobny logarytm, zawsze wskazane jest „rozbicie go”.

A teraz kilka prostych przykładów do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Wszystkie przekształcenia i odpowiedzi znajdują się na końcu lekcji.

Pochodna logarytmiczna

Jeśli pochodną logarytmów jest taka słodka muzyka, pojawia się pytanie: czy w niektórych przypadkach można sztucznie uporządkować logarytm? Móc! A nawet konieczne.

Przykład 11

Znajdź pochodną funkcji

Niedawno przyglądaliśmy się podobnym przykładom. Co robić? Można kolejno zastosować regułę różniczkowania ilorazu, a następnie regułę różniczkowania iloczynu. Wadą tej metody jest to, że otrzymujesz ogromną trzypiętrową frakcję, z którą w ogóle nie chcesz się zajmować.

Ale w teorii i praktyce istnieje coś tak cudownego jak pochodna logarytmiczna. Logarytmy można organizować sztucznie, „zawieszając” je po obu stronach:

Notatka : ponieważ funkcja może przyjmować wartości ujemne, wówczas ogólnie rzecz biorąc należy użyć modułów: , które zanikną w wyniku różnicowania. Jednak obecny projekt jest również akceptowalny, jeśli domyślnie jest brany pod uwagę złożony znaczenia. Ale jeśli z całą surowością, to w obu przypadkach należy poczynić zastrzeżenie.

Teraz musisz jak najbardziej „rozłożyć” logarytm prawej strony (wzory na twoich oczach?). Opiszę ten proces bardzo szczegółowo:

Zacznijmy od różnicowania.
Obie części kończymy pod liczbą pierwszą:

Pochodna prawej strony jest dość prosta, nie będę jej komentował, bo jeśli czytasz ten tekst, powinieneś sobie z tym poradzić pewnie.

A co z lewą stroną?

Po lewej stronie mamy złożona funkcja. Przewiduję pytanie: „Dlaczego pod logarytmem jest jedna litera „Y”?”

Faktem jest, że ta „gra w jedną literę” - SAM JEST FUNKCJĄ(jeśli nie jest to zbyt jasne, zobacz artykuł Pochodna funkcji określonej implicytnie). Dlatego logarytm jest funkcją zewnętrzną, a „y” jest funkcją wewnętrzną. I używamy reguły różniczkowania funkcji zespolonej :

Po lewej stronie, jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki, mamy pochodną. Następnie zgodnie z zasadą proporcji przenosimy „y” z mianownika lewej strony na górę prawej strony:

A teraz przypomnijmy sobie, o jakiej funkcji „gracza” mówiliśmy podczas różniczkowania? Spójrzmy na warunek:

Ostatnia odpowiedź:

Przykład 12

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Przykładowy projekt przykładu tego typu znajduje się na końcu lekcji.

Za pomocą pochodnej logarytmicznej udało się rozwiązać dowolny z przykładów nr 4-7, inną rzeczą jest to, że funkcje tam są prostsze i być może użycie pochodnej logarytmicznej nie jest zbyt uzasadnione.

Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej

Nie rozważaliśmy jeszcze tej funkcji. Funkcja potęgowo-wykładnicza to funkcja, dla której zarówno stopień, jak i podstawa zależą od „x”. Klasyczny przykład, który zostanie ci podany w dowolnym podręczniku lub wykładzie:

Jak znaleźć pochodną funkcji potęgowo-wykładniczej?

Należy zastosować omówioną właśnie technikę – pochodną logarytmiczną. Zawieszamy logarytmy po obu stronach:

Z reguły po prawej stronie stopień jest pobierany spod logarytmu:

W efekcie po prawej stronie mamy iloczyn dwóch funkcji, które będziemy różniczkować według wzoru standardowego .

Znajdujemy pochodną; w tym celu obcinamy obie części kreskami:

Dalsze działania są proste:

Wreszcie:

Jeśli jakakolwiek konwersja nie jest całkowicie jasna, prosimy o ponowne dokładne przeczytanie wyjaśnień do Przykładu nr 11.

W zadaniach praktycznych funkcja potęgowo-wykładnicza będzie zawsze bardziej złożona niż omawiany na przykładzie wykładu.

Przykład 13

Znajdź pochodną funkcji

Używamy pochodnej logarytmicznej.

Po prawej stronie mamy stałą i iloczyn dwóch czynników - „x” i „logarytm logarytmu x” (kolejny logarytm jest zagnieżdżony pod logarytmem). Różniczkując, jak pamiętamy, lepiej od razu usunąć stałą ze znaku pochodnej, aby nie przeszkadzała; i oczywiście stosujemy znaną zasadę :

Dowód i wyprowadzenie wzorów na pochodną logarytmu naturalnego i logarytmu o podstawie a. Przykłady obliczania pochodnych ln 2x, ln 3x i ln nx. Dowód wzoru na pochodną logarytmu n-tego rzędu metodą indukcji matematycznej.

Treść

Zobacz też: Logarytm - właściwości, wzory, wykres
Logarytm naturalny - właściwości, wzory, wykres

Wyprowadzenie wzorów na pochodne logarytmu naturalnego i logarytmu o podstawie a

Pochodna logarytmu naturalnego x jest równa jedności podzielonej przez x:
(1) (lnx)′ =.

Pochodna logarytmu o podstawie a jest równa jedności podzielonej przez zmienną x pomnożoną przez logarytm naturalny a:
(2) (zaloguj x)′ =.

Dowód

Niech będzie jakaś liczba dodatnia różna od jedności. Rozważmy funkcję zależną od zmiennej x, która jest logarytmem o podstawie:
.
Funkcja ta jest zdefiniowana w . Znajdźmy jego pochodną względem zmiennej x. Z definicji pochodną jest następująca granica:
(3) .

Przekształćmy to wyrażenie, aby zredukować je do znanych właściwości i reguł matematycznych. Aby to zrobić, musimy znać następujące fakty:
A) Własności logarytmu. Będziemy potrzebować następujących formuł:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Ciągłość logarytmu i własność granic funkcji ciągłej:
(7) .
Oto funkcja, która ma granicę i ta granica jest dodatnia.
W) Znaczenie drugiego niezwykłego limitu:
(8) .

Zastosujmy te fakty do naszego limitu. Najpierw przekształcamy wyrażenie algebraiczne
.
W tym celu stosujemy właściwości (4) i (5).

.

Skorzystajmy z własności (7) i drugiej niezwykłej granicy (8):
.

I na koniec stosujemy własność (6):
.
Logarytm do podstawy mi zwany naturalny logarytm. Wyznacza się go w następujący sposób:
.
Następnie ;
.

W ten sposób otrzymaliśmy wzór (2) na pochodną logarytmu.

Pochodna logarytmu naturalnego

Jeszcze raz zapisujemy wzór na pochodną logarytmu opartego na a:
.
Wzór ten ma najprostszą postać logarytmu naturalnego, dla którego , . Następnie
(1) .

Ze względu na tę prostotę logarytm naturalny jest bardzo szeroko stosowany w analizie matematycznej oraz w innych gałęziach matematyki związanych z rachunkiem różniczkowym. Funkcje logarytmiczne o innych podstawach można wyrazić w postaci logarytmu naturalnego za pomocą własności (6):
.

Pochodną logarytmu po podstawie można znaleźć ze wzoru (1), jeśli odejmiemy stałą od znaku różniczkowania:
.

Inne sposoby udowadniania pochodnej logarytmu

Zakładamy tutaj, że znamy wzór na pochodną wykładniczą:
(9) .
Następnie możemy wyprowadzić wzór na pochodną logarytmu naturalnego, zakładając, że logarytm jest odwrotną funkcją wykładniczą.

Udowodnijmy wzór na pochodną logarytmu naturalnego, stosując wzór na pochodną funkcji odwrotnej:
.
W naszym przypadku . Funkcja odwrotna do logarytmu naturalnego jest funkcją wykładniczą:
.
Jego pochodną wyznacza się wzorem (9). Zmienne mogą być oznaczone dowolną literą. We wzorze (9) zamień zmienną x na y:
.
Od tego czasu
.
Następnie
.
Formuła jest sprawdzona.

Teraz udowodnimy wzór na pochodną logarytmu naturalnego za pomocą zasady różniczkowania funkcji złożonych. Ponieważ funkcje i są względem siebie odwrotne, zatem
.
Zróżniczkujmy to równanie ze względu na zmienną x:
(10) .
Pochodna x jest równa jeden:
.
Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych:
.
Tutaj . Podstawmy w (10):
.
Stąd
.

Przykład

Znajdź pochodne w 2x, W 3x I lnnx.

Oryginalne funkcje mają podobną postać. Zatem znajdziemy pochodną funkcji y = log nx. Następnie podstawiamy n = 2 i n = 3. I w ten sposób otrzymujemy wzory na pochodne w 2x I W 3x .

Zatem szukamy pochodnej funkcji
y = log nx .
Wyobraźmy sobie tę funkcję jako funkcję złożoną składającą się z dwóch funkcji:
1) Funkcje zależne od zmiennej: ;
2) Funkcje zależne od zmiennej: .
Wtedy oryginalna funkcja składa się z funkcji i :
.

Znajdźmy pochodną funkcji po zmiennej x:
.
Znajdźmy pochodną funkcji po zmiennej:
.
Stosujemy wzór na pochodną funkcji zespolonej.
.
Tutaj to ustaliliśmy.

Znaleźliśmy więc:
(11) .
Widzimy, że pochodna nie zależy od n. Wynik ten jest całkiem naturalny, jeśli przekształcimy pierwotną funkcję za pomocą wzoru na logarytm iloczynu:
.
- to jest stała. Jej pochodna wynosi zero. Wtedy zgodnie z zasadą różniczkowania sumy mamy:
.

; ; .

Pochodna logarytmu modułu x

Znajdźmy pochodną innej bardzo ważnej funkcji - logarytmu naturalnego modułu x:
(12) .

Rozważmy sprawę. Wtedy funkcja wygląda następująco:
.
Jego pochodną określa się wzorem (1):
.

Rozważmy teraz sprawę. Wtedy funkcja wygląda następująco:
,
Gdzie .
Ale w powyższym przykładzie znaleźliśmy także pochodną tej funkcji. To nie zależy od n i jest równe
.
Następnie
.

Łączymy te dwa przypadki w jeden wzór:
.

Odpowiednio, aby logarytm miał podstawę a, mamy:
.

Pochodne wyższych rzędów logarytmu naturalnego

Rozważ funkcję
.
Znaleziono jego pochodną pierwszego rzędu:
(13) .

Znajdźmy pochodną drugiego rzędu:
.
Znajdźmy pochodną trzeciego rzędu:
.
Znajdźmy pochodną czwartego rzędu:
.

Można zauważyć, że pochodna n-tego rzędu ma postać:
(14) .
Udowodnijmy to za pomocą indukcji matematycznej.

Dowód

Podstawiamy wartość n = 1 do wzoru (14):
.
Od , to kiedy n = 1 , obowiązuje wzór (14).

Załóżmy, że wzór (14) jest spełniony dla n = k. Udowodnijmy, że oznacza to, że wzór jest ważny dla n = k + 1 .

Rzeczywiście, dla n = k mamy:
.
Różniczkuj ze względu na zmienną x:

.
Więc mamy:
.
Wzór ten pokrywa się ze wzorem (14) dla n = k + 1 . Zatem z założenia, że ​​wzór (14) obowiązuje dla n = k, wynika, że ​​wzór (14) obowiązuje dla n = k + 1 .

Zatem wzór (14) na pochodną n-tego rzędu obowiązuje dla dowolnego n.

Pochodne wyższych rzędów logarytmu o podstawie a

Aby znaleźć pochodną logarytmu o podstawie n-tego rzędu, należy wyrazić ją w postaci logarytmu naturalnego:
.
Stosując wzór (14) znajdujemy n-tą pochodną:
.

Zobacz też:

Operację znajdowania pochodnej nazywamy różniczkowaniem.

W wyniku rozwiązania problemów znalezienia pochodnych najprostszych (i niezbyt prostych) funkcji poprzez zdefiniowanie pochodnej jako granicy stosunku przyrostu do przyrostu argumentu, pojawiła się tabela pochodnych i precyzyjnie określone zasady różniczkowania . Pierwszymi, którzy zajęli się znajdowaniem pochodnych byli Izaak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Dlatego w naszych czasach, aby znaleźć pochodną dowolnej funkcji, nie trzeba obliczać wspomnianej powyżej granicy stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, a wystarczy skorzystać z tabeli pochodne i zasady różniczkowania. Poniższy algorytm jest odpowiedni do znajdowania pochodnej.

Aby znaleźć pochodną, potrzebujesz wyrażenia pod znakiem pierwszym rozkładanie prostych funkcji na komponenty i określ, jakie działania (iloczyn, suma, iloraz) te funkcje są ze sobą powiązane. Następnie pochodne funkcji elementarnych znajdujemy w tabeli pochodnych, a wzory na pochodne iloczynu, sumy i ilorazu - w zasadach różniczkowania. Tablicę pochodnych i zasady różniczkowania podano po pierwszych dwóch przykładach.

Przykład 1. Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Z zasad różniczkowania dowiadujemy się, że pochodna sumy funkcji jest sumą pochodnych funkcji, tj.

Z tabeli pochodnych dowiadujemy się, że pochodna „x” jest równa jeden, a pochodna sinusa jest równa cosinus. Podstawiamy te wartości do sumy pochodnych i znajdujemy pochodną wymaganą przez warunek zadania:

Przykład 2. Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Różniczkujemy jako pochodną sumy, w której drugi wyraz ma stały czynnik; można go wyprowadzić ze znaku pochodnej:

Jeśli nadal pojawiają się pytania o to, skąd coś się bierze, zwykle wyjaśnia się je po zapoznaniu się z tabelą pochodnych i najprostszymi regułami różniczkowania. Właśnie do nich przechodzimy.

Tabela pochodnych funkcji prostych

1. Pochodna stałej (liczby). Dowolna liczba (1, 2, 5, 200...) występująca w wyrażeniu funkcji. Zawsze równe zeru. Warto o tym pamiętać, ponieważ jest to wymagane bardzo często
2. Pochodna zmiennej niezależnej. Najczęściej „X”. Zawsze równy jeden. To także warto zapamiętać na długo
3. Pochodna stopnia. Rozwiązując problemy, musisz przekształcić pierwiastki inne niż kwadratowe w potęgi.
4. Pochodna zmiennej do potęgi -1
5. Pochodna pierwiastka kwadratowego
6. Pochodna sinusa
7. Pochodna cosinusa
8. Pochodna tangensa
9. Pochodna kotangensu
10. Pochodna arcsine
11. Pochodna arcus cosinus
12. Pochodna arcustangens
13. Pochodna cotangensu łukowego
14. Pochodna logarytmu naturalnego
15. Pochodna funkcji logarytmicznej
16. Pochodna wykładnika
17. Pochodna funkcji wykładniczej

Zasady różnicowania

1. Pochodna sumy lub różnicy
2. Pochodna produktu
2a. Pochodna wyrażenia pomnożona przez stały współczynnik
3. Pochodna ilorazu
4. Pochodna funkcji zespolonej

Zasada nr 1.Jeśli funkcje

są różniczkowalne w pewnym punkcie, to funkcje są różniczkowalne w tym samym punkcie

I

te. pochodna sumy algebraicznej funkcji jest równa sumie algebraicznej pochodnych tych funkcji.

Konsekwencja. Jeżeli dwie funkcje różniczkowalne różnią się składnikiem stałym, to ich pochodne są równe, tj.

Zasada 2.Jeśli funkcje

są różniczkowalne w pewnym punkcie, to ich iloczyn jest różniczkowalny w tym samym punkcie

I

te. Pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów każdej z tych funkcji i pochodnej drugiej.

Wniosek 1. Ze znaku pochodnej można odjąć stały współczynnik:

Konsekwencja 2. Pochodna iloczynu kilku funkcji różniczkowalnych jest równa sumie iloczynów pochodnej każdego czynnika i wszystkich pozostałych.

Na przykład dla trzech mnożników:

Zasada 3.Jeśli funkcje

w pewnym momencie różniczkowalne I , to w tym momencie ich iloraz jest również różniczkowalnyu/v i

te. pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ułamkowi, którego licznikiem jest różnica między iloczynami mianownika a pochodną licznika i licznika oraz pochodną mianownika, a mianownikiem jest kwadrat poprzedni licznik.

Gdzie szukać rzeczy na innych stronach

Znajdując pochodną iloczynu i ilorazu w rzeczywistych problemach, zawsze konieczne jest zastosowanie kilku zasad różniczkowania na raz, dlatego w artykule jest więcej przykładów na te pochodne„Pochodna iloczynu i iloraz funkcji”.

Komentarz. Nie należy mylić stałej (czyli liczby) z wyrazem sumy i stałym czynnikiem! W przypadku terminu jego pochodna jest równa zeru, a w przypadku czynnika stałego jest ona odejmowana od znaku pochodnych. Jest to typowy błąd, który pojawia się na początkowym etapie studiowania instrumentów pochodnych, jednak w miarę jak przeciętny student rozwiązuje kilka jedno- i dwuczęściowych przykładów, już tego błędu nie popełnia.

A jeśli różnicując iloczyn lub iloraz, masz termin ty"w, w którym ty- liczba, na przykład 2 lub 5, czyli stała, wtedy pochodna tej liczby będzie równa zeru i dlatego cały wyraz będzie równy zero (przypadek ten omówiono w przykładzie 10).

Innym częstym błędem jest mechaniczne rozwiązywanie pochodnej funkcji złożonej jako pochodnej funkcji prostej. Dlatego pochodna funkcji zespolonej poświęcony jest osobny artykuł. Ale najpierw nauczymy się znajdować pochodne prostych funkcji.

Po drodze nie można obejść się bez przekształcania wyrażeń. W tym celu może być konieczne otwarcie instrukcji w nowym oknie. Działania z mocami i korzeniami I Operacje na ułamkach .

Jeśli szukasz rozwiązań pochodnych ułamków o potęgach i pierwiastkach, czyli wtedy, gdy funkcja wygląda , a następnie postępuj zgodnie z lekcją „Pochodna sum ułamków z potęgami i pierwiastkami”.

Jeśli masz takie zadanie jak , następnie odbędziesz lekcję „Pochodne prostych funkcji trygonometrycznych”.

Przykłady krok po kroku - jak znaleźć pochodną

Przykład 3. Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Definiujemy części wyrażenia funkcyjnego: całe wyrażenie reprezentuje iloczyn, a jego czynniki są sumami, w których drugi z wyrazów zawiera stały czynnik. Stosujemy zasadę różniczkowania iloczynu: pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów każdej z tych funkcji przez pochodną drugiej:

Następnie stosujemy zasadę różniczkowania sumy: pochodna sumy algebraicznej funkcji jest równa sumie algebraicznej pochodnych tych funkcji. W naszym przypadku w każdej sumie drugi wyraz ma znak minus. W każdej sumie widzimy zarówno zmienną niezależną, której pochodna jest równa jeden, jak i stałą (liczbę), której pochodna jest równa zero. Zatem „X” zamienia się w jeden, a minus 5 zamienia się w zero. W drugim wyrażeniu „x” jest mnożone przez 2, więc mnożymy dwa przez tę samą jednostkę, co pochodna „x”. Otrzymujemy następujące wartości pochodnych:

Podstawiamy znalezione pochodne do sumy iloczynów i otrzymujemy pochodną całej funkcji wymaganej przez warunek zadania:

I możesz sprawdzić rozwiązanie problemu pochodnej na.

Przykład 4. Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. Musimy znaleźć pochodną ilorazu. Stosujemy wzór na różniczkowanie ilorazu: pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ułamkowi, którego licznikiem jest różnica między iloczynami mianownika a pochodną licznika i licznika oraz pochodną mianownik, a mianownikiem jest kwadrat poprzedniego licznika. Otrzymujemy:

Pochodną czynników w liczniku znaleźliśmy już w przykładzie 2. Nie zapominajmy też, że iloczyn, który w obecnym przykładzie jest drugim czynnikiem w liczniku, jest liczony ze znakiem minus:

Jeśli szukasz rozwiązań problemów, w których trzeba znaleźć pochodną funkcji, gdzie istnieje ciągły stos pierwiastków i potęg, jak np. , to witaj na zajęciach „Pochodna sum ułamków z potęgami i pierwiastkami” .

Jeśli chcesz dowiedzieć się więcej o pochodnych sinusów, cosinusów, tangensów i innych funkcji trygonometrycznych, czyli gdy funkcja wygląda , to lekcja dla ciebie „Pochodne prostych funkcji trygonometrycznych” .

Przykład 5. Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. W funkcji tej widzimy iloczyn, którego jednym z czynników jest pierwiastek kwadratowy zmiennej niezależnej, której pochodną zapoznaliśmy się z tabelą pochodnych. Korzystając z reguły różniczkowania iloczynu i wartości tabelarycznej pochodnej pierwiastka kwadratowego, otrzymujemy:

Rozwiązanie problemu pochodnego możesz sprawdzić na stronie kalkulator instrumentów pochodnych online .

Przykład 6. Znajdź pochodną funkcji

Rozwiązanie. W tej funkcji widzimy iloraz, którego dywidenda jest pierwiastkiem kwadratowym zmiennej niezależnej. Stosując zasadę różniczkowania ilorazów, którą powtórzyliśmy i zastosowaliśmy w przykładzie 4, oraz tabelaryczną wartość pochodnej pierwiastka kwadratowego, otrzymujemy:

Aby pozbyć się ułamka w liczniku, pomnóż licznik i mianownik przez.

Bardzo łatwe do zapamiętania.

Cóż, nie odchodźmy daleko, od razu rozważmy funkcję odwrotną. Która funkcja jest odwrotnością funkcji wykładniczej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywa się „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.

Czemu to jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

1. Znajdź pochodną funkcji.
2. Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Logarytm wykładniczy i logarytm naturalny są wyjątkowo prostymi funkcjami z punktu widzenia pochodnej. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne na dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, ​​którą przeanalizujemy później, po zapoznaniu się z zasadami różniczkowania.

Zasady różnicowania

Zasady czego? Znowu nowy termin, znowu?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

To wszystko. Jak inaczej można nazwać ten proces jednym słowem? Nie pochodna... Matematycy nazywają różniczkę tym samym przyrostem funkcji w. Termin ten pochodzi od łacińskiego słowa Differentia – różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Będziemy również potrzebować wzorów na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej.

Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.

Oczywiście ta zasada działa również w przypadku różnicy: .

Udowodnijmy to. Niech tak będzie, albo prościej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

1. w pewnym momencie;
2. w pewnym momencie;
3. w pewnym momencie;
4. w tym punkcie.

Rozwiązania:

1. (pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ jest to funkcja liniowa, pamiętasz?);

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest podobne: wprowadźmy nową funkcję i znajdźmy jej inkrementację:

Pochodna:

Przykłady:

1. Znajdź pochodne funkcji i;
2. Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz twoja wiedza jest wystarczająca, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładniki (zapomniałeś już, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy sprowadzić naszą funkcję do nowej podstawy:

W tym celu zastosujemy prostą regułę: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapominaj, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: jak był, pozostaje taki sam, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

To po prostu liczba, której nie da się obliczyć bez kalkulatora, czyli nie da się jej zapisać w prostszej formie. Dlatego zostawiamy to w tej formie w odpowiedzi.

Zauważ, że tutaj jest iloraz dwóch funkcji, dlatego stosujemy odpowiednią regułę różniczkowania:

W tym przykładzie iloczyn dwóch funkcji:

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny logarytm o innej podstawie, na przykład:

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast tego napiszemy:

Mianownik jest po prostu stałą (liczbą stałą, bez zmiennej). Pochodną otrzymuje się bardzo prosto:

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych prawie nigdy nie znajdują się w Unified State Examination, ale ich znajomość nie będzie zbędna.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co to jest „funkcja złożona”? Nie, to nie jest logarytm ani arcustangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarity” i wszystko będzie dobrze), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik taśmowy: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Przykładowo, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi zawiązuje ją wstążką. W rezultacie powstał obiekt złożony: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, należy wykonać kroki w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynikową liczbę do kwadratu. Dostajemy więc liczbę (czekoladę), znajduję jej cosinus (opakowanie), a następnie podnoszę do kwadratu to, co otrzymam (przewiązuję wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co wynika z pierwszej.

Innymi słowy, funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

Dla naszego przykładu .

Możemy łatwo wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw podnieś kwadrat, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby: . Łatwo się domyślić, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna cecha funkcji złożonych: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.

Drugi przykład: (to samo). .

Akcja, którą wykonamy jako ostatnia, zostanie wywołana funkcja „zewnętrzna”. i czynność wykonaną jako pierwsza – odpowiednio funkcję „wewnętrzną”.(są to nazwy nieformalne, używam ich jedynie w celu wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Oddzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

1. Jaką czynność wykonamy jako pierwszą? Najpierw obliczmy sinus, a dopiero potem sześcian. Oznacza to, że jest to funkcja wewnętrzna, ale zewnętrzna.
   A oryginalną funkcją jest ich skład: .
2. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
3. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
4. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .
5. Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
   Badanie: .

Zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

Cóż, teraz wyodrębnimy naszą tabliczkę czekolady i poszukamy pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W odniesieniu do pierwotnego przykładu wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wydaje się to proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

Rozwiązania:

1) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

2) Wewnętrzne: ;

(Tylko nie próbuj już tego ciąć! Spod cosinusa nic nie wychodzi, pamiętasz?)

3) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

Od razu widać, że jest to funkcja złożona na trzech poziomach: w końcu jest to już sama w sobie funkcja złożona i wydobywamy z niej również korzeń, to znaczy wykonujemy trzecią akcję (włóż czekoladę do opakowania i ze wstążką w teczce). Ale nie ma powodu się bać: nadal „rozpakowujemy” tę funkcję w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.

Oznacza to, że najpierw różnicujemy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasach. A potem to wszystko mnożymy.

W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować działania. To znaczy wyobraźmy sobie to, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy czynności, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:

Im później akcja zostanie wykonana, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Sekwencja działań jest taka sama jak poprzednio:

Tutaj zagnieżdżenie jest zazwyczaj 4-poziomowe. Ustalmy kolejność działań.

1. Radykalne wyrażenie. .

2. Korzeń. .

3. Sinus. .

4. Kwadrat. .

5. Łączenie wszystkiego w jedną całość:

POCHODNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Pochodna produktu:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji złożonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

1. Definiujemy funkcję „wewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
2. Definiujemy funkcję „zewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
3. Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.

Czy czujesz, że do egzaminu zostało jeszcze dużo czasu? Czy to jest miesiąc? Dwa? Rok? Praktyka pokazuje, że uczeń najlepiej radzi sobie z egzaminem, jeśli wcześniej zacznie się do niego przygotowywać. Na ujednoliconym egzaminie państwowym znajduje się wiele trudnych zadań, które stoją na drodze uczniów i przyszłych kandydatów do uzyskania najwyższych wyników. Trzeba nauczyć się pokonywać te przeszkody, a poza tym nie jest to trudne. Musisz zrozumieć zasadę pracy z różnymi zadaniami z biletów. Wtedy nie będzie problemów z nowymi.

Logarytmy na pierwszy rzut oka wydają się niezwykle złożone, ale po szczegółowej analizie sytuacja staje się znacznie prostsza. Jeśli chcesz zdać ujednolicony egzamin państwowy z najwyższym wynikiem, powinieneś zrozumieć omawianą koncepcję, co proponujemy zrobić w tym artykule.

Najpierw oddzielmy te definicje. Co to jest logarytm (log)? Jest to wskaźnik potęgi, do której należy podnieść bazę, aby uzyskać określoną liczbę. Jeśli nie jest to jasne, spójrzmy na elementarny przykład.

W takim przypadku podstawę na dole należy podnieść do drugiej potęgi, aby uzyskać liczbę 4.

Przyjrzyjmy się teraz drugiej koncepcji. Pochodna funkcji w dowolnej postaci to pojęcie charakteryzujące zmianę funkcji w danym punkcie. Jest to jednak program nauczania w szkole i jeśli macie problemy z tymi pojęciami indywidualnie, warto powtórzyć temat.

Pochodna logarytmu

W zadaniach egzaminu Unified State Exam na ten temat możesz podać kilka zadań jako przykład. Na początek najprostsza pochodna logarytmiczna. Należy znaleźć pochodną poniższej funkcji.

Musimy znaleźć następną pochodną

Istnieje specjalna formuła.

W tym przypadku x=u, log3x=v. Podstawiamy wartości z naszej funkcji do wzoru.

Pochodna x będzie równa jeden. Logarytm jest nieco trudniejszy. Ale zrozumiesz tę zasadę, jeśli po prostu zastąpisz wartości. Przypomnijmy, że pochodna lg x jest pochodną logarytmu dziesiętnego, a pochodna ln x jest pochodną logarytmu naturalnego (na podstawie e).

Teraz wystarczy podłączyć uzyskane wartości do wzoru. Spróbuj sam, wtedy sprawdzimy odpowiedź.

W czym może być dla niektórych problem? Wprowadziliśmy pojęcie logarytmu naturalnego. Porozmawiajmy o tym, a jednocześnie zastanówmy się, jak rozwiązać z tym problemy. Nie zobaczysz niczego skomplikowanego, zwłaszcza gdy zrozumiesz zasadę jego działania. Należy się do tego przyzwyczaić, ponieważ jest często używany w matematyce (tym bardziej w szkołach wyższych).

Pochodna logarytmu naturalnego

W swej istocie jest to pochodna logarytmu o podstawie e (która jest liczbą niewymierną wynoszącą w przybliżeniu 2,7). W rzeczywistości ln jest bardzo proste, dlatego jest często używane w matematyce. Właściwie rozwiązanie problemu z nim również nie będzie problemem. Warto pamiętać, że pochodna logarytmu naturalnego o podstawie e będzie równa jedności podzielonej przez x. Rozwiązanie poniższego przykładu będzie najbardziej odkrywcze.

Wyobraźmy sobie to jako złożoną funkcję składającą się z dwóch prostych.

Wystarczy dokonać konwersji

Szukamy pochodnej u po x

Kontynuujmy drugi

Stosujemy metodę rozwiązywania pochodnej funkcji zespolonej poprzez podstawienie u=nx.

Co zdarzyło się na końcu?

Przypomnijmy sobie teraz, co n oznaczało w tym przykładzie? Jest to dowolna liczba, która może wystąpić przed x w logarytmie naturalnym. Ważne jest, abyś zrozumiał, że odpowiedź nie zależy od niej. Zastąp, co chcesz, odpowiedź nadal będzie 1/x.

Jak widać, nie ma tu nic skomplikowanego; wystarczy zrozumieć zasadę, aby szybko i skutecznie rozwiązywać problemy na ten temat. Znasz już teorię, wystarczy zastosować ją w praktyce. Ćwicz rozwiązywanie problemów, aby na długo zapamiętać zasadę ich rozwiązania. Być może po ukończeniu szkoły nie będziesz potrzebować tej wiedzy, ale na egzaminie będzie ona bardziej aktualna niż kiedykolwiek. Powodzenia!