Leczenie

Jaka jest największa wartość funkcji. Jak znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale

W praktyce dość często stosuje się pochodną do obliczenia największej i najmniejszej wartości funkcji. Czynność tę wykonujemy, gdy już wiemy, jak zminimalizować koszty, zwiększyć zyski, obliczyć optymalne obciążenie produkcji itp., czyli w przypadkach, gdy potrzebujemy określić optymalną wartość parametru. Aby poprawnie rozwiązać takie problemy, musisz dobrze rozumieć, jakie są największe i najmniejsze wartości funkcji.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Zazwyczaj wartości te definiujemy w pewnym przedziale x, który z kolei może odpowiadać całej dziedzinie funkcji lub jej części. Może to być jak segment [a; b ] i przedział otwarty (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), przedział nieskończony (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) lub przedział nieskończony - ∞ ; za , (- ∞ ; za ] , [ za ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

W tym materiale podpowiemy jak obliczyć największą i najmniejszą wartość jawnie określonej funkcji z jedną zmienną y=f(x) y = f (x).

Podstawowe definicje

Zacznijmy, jak zawsze, od sformułowania podstawowych definicji.

Definicja 1

Największą wartością funkcji y = f (x) na pewnym przedziale x jest wartość m a x y = f (x 0) x ∈ X, co dla dowolnej wartości x x ∈ X, x ≠ x 0 tworzy nierówność f (x) ≤ f (x) ważne 0) .

Definicja 2

Najmniejszą wartością funkcji y = f (x) na pewnym przedziale x jest wartość m i n x ∈ X y = f (x 0) , co dla dowolnej wartości x ∈ X, x ≠ x 0 daje nierówność f(X f (x) ≥ fa (x 0) .

Definicje te są dość oczywiste. Jeszcze prościej, możemy powiedzieć tak: największą wartością funkcji jest jej największa wartość w znanym przedziale przy odciętej x 0, a najmniejsza to najmniejsza akceptowana wartość w tym samym przedziale przy x 0.

Definicja 3

Punkty stacjonarne to takie wartości argumentu funkcji, przy których jej pochodna przyjmuje wartość 0.

Dlaczego musimy wiedzieć, jakie są punkty stacjonarne? Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy pamiętać o twierdzeniu Fermata. Wynika z tego, że punktem stacjonarnym jest punkt, w którym znajduje się ekstremum funkcji różniczkowalnej (czyli jej lokalne minimum lub maksimum). W rezultacie funkcja przyjmie najmniejszą lub największą wartość w określonym przedziale dokładnie w jednym z punktów stacjonarnych.

Funkcja może także przyjmować największą lub najmniejszą wartość w tych punktach, w których sama funkcja jest zdefiniowana, a jej pierwsza pochodna nie istnieje.

Pierwsze pytanie, które pojawia się podczas studiowania tego tematu: czy we wszystkich przypadkach możemy wyznaczyć największą lub najmniejszą wartość funkcji w danym przedziale? Nie, nie możemy tego zrobić, gdy granice danego przedziału pokrywają się z granicami obszaru definicyjnego lub jeśli mamy do czynienia z przedziałem nieskończonym. Zdarza się również, że funkcja w danym segmencie lub w nieskończoności będzie przyjmować nieskończenie małe lub nieskończenie duże wartości. W takich przypadkach nie jest możliwe określenie największej i/lub najmniejszej wartości.

Punkty te staną się wyraźniejsze po przedstawieniu ich na wykresach:

Pierwszy rysunek pokazuje nam funkcję, która przyjmuje największe i najmniejsze wartości (m a x y i m i n y) w stacjonarnych punktach znajdujących się na odcinku [ - 6 ; 6].

Rozpatrzmy szczegółowo przypadek wskazany na drugim wykresie. Zmieńmy wartość segmentu na [ 1 ; 6 ] i stwierdzamy, że wartość maksymalna funkcji zostanie osiągnięta w punkcie, w którym odcięta znajduje się na prawej granicy przedziału, a minimalna – w punkcie stacjonarnym.

Na trzecim rysunku odcięte punkty reprezentują punkty graniczne odcinka [ - 3 ; 2]. Odpowiadają one największej i najmniejszej wartości danej funkcji.

Spójrzmy teraz na czwarty obrazek. W nim funkcja przyjmuje m a x y (największą wartość) i m i n y (najmniejszą wartość) w stacjonarnych punktach na przedziale otwartym (- 6; 6).

Jeśli weźmiemy przedział [ 1 ; 6), to można powiedzieć, że najmniejsza wartość funkcji na niej zostanie osiągnięta w punkcie stacjonarnym. Największa wartość będzie nam nieznana. Funkcja może przyjąć maksymalną wartość przy x równym 6, jeśli x = 6 należy do przedziału. Dokładnie tak jest w przypadku pokazanym na wykresie 5.

Na wykresie 6 funkcja ta uzyskuje najmniejszą wartość na prawej granicy przedziału (- 3; 2 ] i nie możemy wyciągać jednoznacznych wniosków co do największej wartości.

Na rysunku 7 widzimy, że funkcja będzie miała m a x y w stacjonarnym punkcie mającym odciętą równą 1. Funkcja osiągnie wartość minimalną na granicy przedziału c prawa strona. Przy minus nieskończoności wartości funkcji będą asymptotycznie zbliżać się do y = 3.

Jeśli weźmiemy przedział x ∈ 2 ; + ∞ , to zobaczymy, że dana funkcja nie przyjmie na sobie ani najmniejszej, ani największej wartości. Jeśli x dąży do 2, wówczas wartości funkcji będą dążyć do minus nieskończoności, ponieważ linia prosta x = 2 jest asymptotą pionową. Jeśli odcięta dąży do plus nieskończoności, wówczas wartości funkcji będą asymptotycznie zbliżać się do y = 3. Dokładnie tak jest w przypadku pokazanym na rysunku 8.

W tym akapicie przedstawimy sekwencję czynności, które należy wykonać, aby znaleźć największą lub najmniejszą wartość funkcji na danym odcinku.

Najpierw znajdźmy dziedzinę definicji funkcji. Sprawdźmy, czy segment określony w warunku jest w nim zawarty.
Obliczmy teraz punkty zawarte w tym odcinku, w których nie istnieje pierwsza pochodna. Najczęściej można je znaleźć w funkcjach, których argument zapisany jest pod znakiem modułu, lub w funkcjach potęgowych, których wykładnikiem jest liczba ułamkowo wymierna.
Następnie dowiemy się, które punkty stacjonarne będą należeć do danego odcinka. Aby to zrobić, należy obliczyć pochodną funkcji, następnie przyrównać ją do 0 i rozwiązać powstałe równanie, a następnie wybrać odpowiednie pierwiastki. Jeśli nie otrzymamy ani jednego punktu stacjonarnego lub nie mieszczą się one w danym segmencie, to przechodzimy do kolejnego kroku.
Ustalamy, jakie wartości funkcja będzie przyjmować w danych punktach stacjonarnych (jeśli takie istnieją) lub w tych punktach, w których nie istnieje pierwsza pochodna (jeśli istnieją), lub obliczamy wartości dla x = a i x = b.
5. Mamy pewną liczbę wartości funkcji, spośród których musimy teraz wybrać największą i najmniejszą. Będą to największe i najmniejsze wartości funkcji, które musimy znaleźć.

Zobaczmy, jak poprawnie zastosować ten algorytm przy rozwiązywaniu problemów.

Przykład 1

Stan : schorzenie: podana jest funkcja y = x 3 + 4 x 2. Określ jego największą i najmniejszą wartość na segmentach [ 1 ; 4] i [-4; - 1 ] .

Rozwiązanie:

Zacznijmy od znalezienia dziedziny definicji danej funkcji. W tym przypadku będzie to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem 0. Inaczej mówiąc, D (y): x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Oba segmenty określone w warunku będą znajdować się w obszarze definicji.

Teraz obliczamy pochodną funkcji zgodnie z zasadą różniczkowania ułamków:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Dowiedzieliśmy się, że pochodna funkcji będzie istniała we wszystkich punktach odcinków [ 1 ; 4] i [-4; - 1 ] .

Teraz musimy wyznaczyć punkty stacjonarne funkcji. Zróbmy to za pomocą równania x 3 - 8 x 3 = 0. Ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty, czyli 2. Będzie to punkt stacjonarny funkcji i będzie wpadał w pierwszy segment [1; 4] .

Obliczmy wartości funkcji na końcach pierwszego odcinka i w tym punkcie, tj. dla x = 1, x = 2 i x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Ustaliliśmy, że największą wartością funkcji jest m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 zostanie osiągnięte przy x = 1, a najmniejsze m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – przy x = 2.

Drugi odcinek nie zawiera ani jednego punktu stacjonarnego, dlatego wartości funkcji musimy obliczyć tylko na końcach danego odcinka:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Oznacza to, że m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ja n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Odpowiedź: Dla segmentu [ 1 ; 4 ] - m za x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m ja n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , dla odcinka [ - 4 ; - 1 ] - m za x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ja n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Widzieć zdjęcie:

Przed zapoznaniem się z tą metodą radzimy zapoznać się z prawidłowym obliczaniem granicy jednostronnej i granicy w nieskończoności, a także poznać podstawowe metody ich znajdowania. Aby znaleźć największą i/lub najmniejszą wartość funkcji w przedziale otwartym lub nieskończonym, wykonaj kolejno następujące kroki.

Najpierw należy sprawdzić, czy dany przedział będzie podzbiorem dziedziny danej funkcji.
Wyznaczmy wszystkie punkty, które mieszczą się w wymaganym przedziale i w których pierwsza pochodna nie istnieje. Zwykle występują one dla funkcji, których argument jest zawarty w znaku modułu, oraz dla funkcji potęgowych z wykładnikiem ułamkowo wymiernym. Jeśli brakuje tych punktów, możesz przejść do następnego kroku.
Ustalmy teraz, które punkty stacjonarne będą mieścić się w zadanym przedziale. Najpierw przyrównujemy pochodną do 0, rozwiązujemy równanie i wybieramy odpowiednie pierwiastki. Jeśli nie mamy ani jednego punktu stacjonarnego lub nie mieszczą się one w określonym przedziale, to od razu przystępujemy do dalszych działań. Są one określone przez rodzaj interwału.

Jeśli przedział ma postać [ a ; b) , to musimy obliczyć wartość funkcji w punkcie x = a i jednostronną granicę lim x → b - 0 f (x) .
Jeżeli przedział ma postać (a; b ], to należy obliczyć wartość funkcji w punkcie x = b oraz jednostronną granicę lim x → a + 0 f (x).
Jeśli przedział ma postać (a; b), to musimy obliczyć jednostronne granice lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
Jeśli przedział ma postać [ a ; + ∞), to musimy obliczyć wartość w punkcie x = a i granicę w plus nieskończoności lim x → + ∞ f (x) .
Jeśli przedział wygląda tak (- ∞ ; b ] , obliczamy wartość w punkcie x = b i granicę w minus nieskończoności lim x → - ∞ f (x) .
Jeśli - ∞ ; b , wówczas rozważamy jednostronną granicę lim x → b - 0 f (x) i granicę w minus nieskończoności lim x → - ∞ f (x)
Jeśli - ∞; + ∞ , wówczas rozważamy granice minus i plus nieskończoności lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

Na koniec należy wyciągnąć wniosek na podstawie uzyskanych wartości funkcji i granic. Dostępnych jest tutaj wiele opcji. Jeśli więc jednostronna granica jest równa minus nieskończoność lub plus nieskończoność, od razu staje się jasne, że o najmniejszych i największych wartościach funkcji nie można powiedzieć nic. Poniżej przyjrzymy się jednemu typowemu przykładowi. Szczegółowe opisy pomogą Ci zrozumieć, co jest co. W razie potrzeby możesz powrócić do rysunków 4 – 8 w pierwszej części materiału.

Przykład 2

Warunek: dana funkcja y = 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 . Oblicz jego największą i najmniejszą wartość w przedziałach - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞, [ 4 ; + ∞) .

Rozwiązanie

Najpierw znajdujemy dziedzinę definicji funkcji. W mianowniku ułamka znajduje się trójmian kwadratowy, który nie powinien wynosić 0:

x 2 + x - 6 = 0 re = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ re (y): x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Otrzymaliśmy dziedzinę definicji funkcji, do której należą wszystkie przedziały określone w warunku.

Teraz różniczkujemy funkcję i otrzymujemy:

y" = 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 mi 1 x 2 + x - 6 " = 3 mi 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · mi 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

W konsekwencji pochodne funkcji istnieją w całym jej obszarze definicji.

Przejdźmy do znajdowania punktów stacjonarnych. Pochodna funkcji przyjmuje wartość 0 przy x = - 1 2 . Jest to punkt stacjonarny leżący w przedziałach (- 3 ; 1 ] i (- 3 ; 2).

Obliczmy wartość funkcji przy x = - 4 dla przedziału (- ∞ ; - 4 ], a także granicę przy minus nieskończoności:

y (- 4) = 3 mi 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 mi 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 mi 1 x 2 + x - 6 = 3 mi 0 - 4 = - 1

Ponieważ 3 e 1 6 - 4 > - 1 oznacza to, że m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Nie pozwala nam to jednoznacznie określić najmniejszej wartości Możemy jedynie stwierdzić, że istnieje ograniczenie poniżej -1, ponieważ właśnie do tej wartości funkcja zbliża się asymptotycznie przy minus nieskończoności.

Osobliwością drugiego przedziału jest to, że nie ma w nim ani jednego punktu stacjonarnego ani jednej ścisłej granicy. W rezultacie nie będziemy w stanie obliczyć ani największej, ani najmniejszej wartości funkcji. Po zdefiniowaniu granicy w minus nieskończoności i z argumentem zmierzającym do - 3 po lewej stronie, otrzymujemy jedynie przedział wartości:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 mi 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 mi 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 mi 1 (+ 0) - 4 = 3 mi + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 mi 0 - 4 = - 1

Oznacza to, że wartości funkcji będą znajdować się w przedziale - 1; +∞

Aby znaleźć największą wartość funkcji w trzecim przedziale, wyznaczamy jej wartość w punkcie stacjonarnym x = - 1 2 jeśli x = 1. Będziemy także musieli znać jednostronną granicę dla przypadku, gdy argument zmierza do - 3 po prawej stronie:

y - 1 2 = 3 mi 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 mi 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 mi 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 mi 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 mi 1 (- 0) - 4 = 3 mi - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Okazało się, że funkcja przyjmie największą wartość w punkcie stacjonarnym m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Co do najmniejszej wartości, to nie jesteśmy w stanie jej określić. Wszystko wiemy , oznacza obecność dolnej granicy do -4.

Dla przedziału (- 3 ; 2) weź wyniki poprzednich obliczeń i jeszcze raz oblicz, ile wynosi jednostronna granica przy dążeniu do 2 po lewej stronie:

y - 1 2 = 3 mi 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 mi - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 mi 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 mi 1 - 0 - 4 = 3 mi - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Oznacza to, że m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, a najmniejszej wartości nie można wyznaczyć, a wartości funkcji ograniczone są od dołu liczbą - 4 .

Bazując na tym, co otrzymaliśmy w dwóch poprzednich obliczeniach, możemy powiedzieć, że na przedziale [ 1 ; 2) funkcja przyjmie największą wartość przy x = 1, ale najmniejszej nie da się znaleźć.

Na przedziale (2 ; + ∞) funkcja nie osiągnie ani największej, ani najmniejszej wartości, tj. będzie przyjmować wartości z przedziału - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 mi 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 mi 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 mi 1 (+ 0) - 4 = 3 mi + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 mi 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 mi 0 - 4 = - 1

Po obliczeniu, jaka będzie wartość funkcji przy x = 4, dowiadujemy się, że m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , a dana funkcja w plus nieskończoności będzie asymptotycznie zbliżać się do prostej y = - 1 .

Porównajmy to, co otrzymaliśmy w każdym obliczeniu, z wykresem danej funkcji. Na rysunku asymptoty zaznaczono liniami przerywanymi.

To wszystko, co chcieliśmy powiedzieć o znajdowaniu największych i najmniejszych wartości funkcji. Podane przez nas sekwencje działań pomogą Ci dokonać niezbędnych obliczeń tak szybko i prosto, jak to możliwe. Pamiętaj jednak, że często warto najpierw dowiedzieć się, w jakich odstępach funkcja będzie się zmniejszać, a w jakich będzie rosnąć, po czym będziesz mógł wyciągnąć dalsze wnioski. W ten sposób można dokładniej określić największe i najmniejsze wartości funkcji oraz uzasadnić uzyskane wyniki.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Stwierdzenie problemu 2:

Dana funkcja jest zdefiniowana i ciągła w pewnym przedziale. Musisz znaleźć największą (najmniejszą) wartość funkcji w tym przedziale.

Podstawy teoretyczne.
Twierdzenie (Drugie twierdzenie Weierstrassa):

Jeżeli funkcja jest zdefiniowana i ciągła w przedziale zamkniętym, to w tym przedziale osiąga swoje wartości maksymalne i minimalne.

Funkcja może osiągać największe i najmniejsze wartości albo w wewnętrznych punktach przedziału, albo na jego granicach. Zilustrujmy wszystkie możliwe opcje.

Wyjaśnienie:
1) Funkcja osiąga największą wartość na lewej granicy przedziału w punkcie , a minimalną wartość na prawej granicy przedziału w punkcie .
2) Funkcja osiąga największą wartość w punkcie (jest to punkt maksymalny), a wartość minimalną na prawej granicy przedziału w tym punkcie.
3) Funkcja osiąga wartość maksymalną na lewej granicy przedziału w punkcie , a wartość minimalną w punkcie (jest to punkt minimalny).
4) Funkcja jest stała na przedziale, tj. osiąga wartości minimalne i maksymalne w dowolnym punkcie przedziału, a wartości minimalne i maksymalne są sobie równe.
5) Funkcja osiąga największą wartość w punkcie , a minimalną w punkcie (mimo że funkcja ma w tym przedziale zarówno maksimum, jak i minimum).
6) Funkcja osiąga w punkcie największą wartość (jest to punkt maksymalny), a w punkcie minimalną (jest to punkt minimalny).
Komentarz:

„Maksymalna” i „maksymalna wartość” to różne rzeczy. Wynika to z definicji maksimum i intuicyjnego rozumienia pojęcia „wartość maksymalna”.

Algorytm rozwiązania zadania 2.

4) Wybierz największą (najmniejszą) z uzyskanych wartości i zapisz odpowiedź.

Przykład 4:

Określ największą i najmniejszą wartość funkcji na segmencie.
Rozwiązanie:
1) Znajdź pochodną funkcji.

2) Znajdź punkty stacjonarne (i punkty podejrzane o ekstremum), rozwiązując równanie. Zwróć uwagę na punkty, w których nie ma dwustronnej skończonej pochodnej.

3) Oblicz wartości funkcji w punktach stacjonarnych i na granicach przedziału.

4) Wybierz największą (najmniejszą) z uzyskanych wartości i zapisz odpowiedź.

Funkcja na tym odcinku osiąga największą wartość w punkcie o współrzędnych .

Funkcja na tym odcinku osiąga wartość minimalną w punkcie o współrzędnych .

Poprawność obliczeń możesz sprawdzić, patrząc na wykres badanej funkcji.

Komentarz: Funkcja osiąga największą wartość w punkcie maksymalnym, a minimalną na granicy odcinka.

Specjalny przypadek.

Załóżmy, że musisz znaleźć maksymalną i minimalną wartość jakiejś funkcji w segmencie. Po wykonaniu pierwszego punktu algorytmu, tj. obliczając pochodną, staje się jasne, że na przykład przyjmuje tylko wartości ujemne w całym rozpatrywanym przedziale. Pamiętaj, że jeśli pochodna jest ujemna, to funkcja maleje. Stwierdziliśmy, że funkcja maleje na całym odcinku. Sytuację tę przedstawia wykres nr 1 na początku artykułu.

Funkcja maleje na odcinku, tj. nie ma ekstremów. Z rysunku widać, że funkcja będzie przyjmować najmniejszą wartość po prawej stronie odcinka, a największą po lewej stronie. jeśli pochodna odcinka jest wszędzie dodatnia, to funkcja rośnie. Najmniejsza wartość znajduje się na lewej krawędzi segmentu, największa po prawej stronie.

Dzięki tej usłudze możesz znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji jedna zmienna f(x) z rozwiązaniem sformatowanym w programie Word. Jeżeli podana jest funkcja f(x,y), to należy znaleźć ekstremum funkcji dwóch zmiennych. Można także znaleźć przedziały funkcji rosnących i malejących.

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji

w segmencie [ ;]

Uwzględnij teorię

Zasady wprowadzania funkcji:

Warunek konieczny na ekstremum funkcji jednej zmiennej

Równanie f" 0 (x *) = 0 jest warunkiem koniecznym ekstremum funkcji jednej zmiennej, czyli w punkcie x * musi zniknąć pierwsza pochodna funkcji. Wskazuje punkty stacjonarne x c, w których funkcja nie zwiększenie lub zmniejszenie .

Warunek wystarczający na ekstremum funkcji jednej zmiennej

Niech f 0 (x) będzie dwukrotnie różniczkowalne względem x należącego do zbioru D. Jeżeli w punkcie x* spełniony jest warunek:

F” 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Wtedy punkt x* jest lokalnym (globalnym) minimalnym punktem funkcji.

Jeżeli w punkcie x* spełniony jest warunek:

F” 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Wtedy punkt x* jest maksimum lokalnym (globalnym).

Przykład nr 1. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji: na segmencie.
Rozwiązanie.

Punkt krytyczny to jeden x 1 = 2 (f’(x)=0). Ten punkt należy do odcinka. (Punkt x=0 nie jest krytyczny, ponieważ 0∉).
Obliczamy wartości funkcji na końcach odcinka i w punkcie krytycznym.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Odpowiedź: f min = 5 / 2 przy x=2; fmax =9 przy x=1

Przykład nr 2. Korzystając z pochodnych wyższego rzędu, znajdź ekstremum funkcji y=x-2sin(x) .
Rozwiązanie.
Znajdź pochodną funkcji: y’=1-2cos(x) . Znajdźmy punkty krytyczne: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Znajdujemy y’’=2sin(x), obliczamy , co oznacza, że x= π / 3 +2πk, k∈Z są minimalnymi punktami funkcji; , co oznacza, że x=- π / 3 +2πk, k∈Z są maksymalnymi punktami funkcji.

Przykład nr 3. Zbadaj funkcję ekstremum w pobliżu punktu x=0.
Rozwiązanie. Tutaj konieczne jest znalezienie ekstremów funkcji. Jeżeli ekstremum x=0, to znajdź jego typ (minimum lub maksimum). Jeżeli wśród znalezionych punktów nie ma x = 0, to oblicz wartość funkcji f(x=0).
Należy zauważyć, że gdy pochodna po każdej stronie danego punktu nie zmienia swojego znaku, to możliwe sytuacje nie wyczerpują się nawet dla funkcji różniczkowalnych: może się zdarzyć, że dla dowolnie małego otoczenia po jednej stronie punktu x 0 lub po obu stronach pochodna zmienia znak. W tych punktach konieczne jest zastosowanie innych metod badania funkcji w ekstremum.

Niech funkcja $z=f(x,y)$ będzie zdefiniowana i ciągła w jakiejś ograniczonej domenie zamkniętej $D$. Niech dana funkcja w tym obszarze ma skończone pochodne cząstkowe pierwszego rzędu (być może z wyjątkiem skończonej liczby punktów). Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji dwóch zmiennych w danym obszarze zamkniętym, potrzebne są trzy kroki prostego algorytmu.

Algorytm znajdowania największych i najmniejszych wartości funkcji $z=f(x,y)$ w domenie zamkniętej $D$.

Znajdź punkty krytyczne funkcji $z=f(x,y)$ należącej do domeny $D$. Oblicz wartości funkcji w punktach krytycznych.
Zbadaj zachowanie funkcji $z=f(x,y)$ na granicy obszaru $D$, znajdując punkty możliwych wartości maksymalnych i minimalnych. Oblicz wartości funkcji w uzyskanych punktach.
Z wartości funkcji uzyskanych w poprzednich dwóch akapitach wybierz największą i najmniejszą.

Co to są punkty krytyczne? Pokaż ukryj

Pod punkt krytyczny implikują punkty, w których obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe zeru (tj. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ i $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) lub co najmniej jedna pochodna cząstkowa nie istnieje.

Często nazywa się punkty, w których pochodne cząstkowe pierwszego rzędu są równe zeru punkty stacjonarne. Zatem punkty stacjonarne są podzbiorem punktów krytycznych.

Przykład nr 1

Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji $z=x^2+2xy-y^2-4x$ w zamkniętym obszarze ograniczonym liniami $x=3$, $y=0$ i $y=x +1$.

Będziemy postępować zgodnie z powyższym, ale najpierw zajmiemy się narysowaniem danego obszaru, który będziemy oznaczać literą $D$. Dane są równania trzech linii prostych ograniczających ten obszar. Prosta $x=3$ przechodzi przez punkt $(3;0)$ równoległy do osi rzędnych (oś Oy). Linia prosta $y=0$ jest równaniem osi odciętej (oś wołu). Cóż, aby skonstruować prostą $y=x+1$, znajdziemy dwa punkty, przez które przeciągniemy tę prostą. Możesz oczywiście zastąpić kilka dowolnych wartości zamiast $x$. Na przykład, podstawiając $x=10$, otrzymamy: $y=x+1=10+1=11$. Znaleziono punkt $(10;11)$ leżący na prostej $y=x+1$. Lepiej jednak znaleźć te punkty, w których prosta $y=x+1$ przecina proste $x=3$ i $y=0$. Dlaczego to jest lepsze? Bo upieczemy parę ptaków na jednym ogniu: zdobędziemy dwa punkty za skonstruowanie prostej $y=x+1$ i jednocześnie dowiemy się, w jakich punktach ta prosta przecina się z innymi liniami ograniczającymi dany obszar. Prosta $y=x+1$ przecina prostą $x=3$ w punkcie $(3;4)$, a prosta $y=0$ przecina się w punkcie $(-1;0)$. Aby nie zaśmiecać postępu rozwiązania objaśnieniami pomocniczymi, kwestię uzyskania tych dwóch punktów postawię w notatce.

Jak zdobyto punkty $(3;4)$ i $(-1;0)$? Pokaż ukryj

Zacznijmy od punktu przecięcia prostych $y=x+1$ i $x=3$. Współrzędne żądanego punktu należą zarówno do pierwszej, jak i drugiej prostej, dlatego aby znaleźć nieznane współrzędne, należy rozwiązać układ równań:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Rozwiązanie takiego układu jest banalne: podstawiając $x=3$ do pierwszego równania otrzymamy: $y=3+1=4$. Punkt $(3;4)$ jest pożądanym punktem przecięcia prostych $y=x+1$ i $x=3$.

Znajdźmy teraz punkt przecięcia prostych $y=x+1$ i $y=0$. Jeszcze raz ułóżmy i rozwiążmy układ równań:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Podstawiając $y=0$ do pierwszego równania, otrzymujemy: $0=x+1$, $x=-1$. Punkt $(-1;0)$ jest pożądanym punktem przecięcia prostych $y=x+1$ i $y=0$ (oś x).

Wszystko jest gotowe do zbudowania rysunku, który będzie wyglądał tak:

Kwestia notatki wydaje się oczywista, bo wszystko widać na zdjęciu. Warto jednak pamiętać, że rysunek nie może służyć jako dowód. Rysunek ma wyłącznie charakter poglądowy.

Nasz obszar został zdefiniowany za pomocą równań linii prostych, które go ograniczały. Oczywiście te linie definiują trójkąt, prawda? A może nie jest to do końca oczywiste? A może mamy do czynienia z innym obszarem ograniczonym tymi samymi liniami:

Oczywiście warunek mówi, że teren jest zamknięty, więc pokazane zdjęcie jest nieprawidłowe. Aby jednak uniknąć takich dwuznaczności, lepiej jest definiować regiony poprzez nierówności. Czy interesuje nas część płaszczyzny znajdująca się pod prostą $y=x+1$? OK, więc $y ≤ x+1$. Czy nasz obszar powinien znajdować się powyżej linii $y=0$? Świetnie, to znaczy $y ≥ 0$. Swoją drogą dwie ostatnie nierówności można łatwo połączyć w jedną: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Nierówności te definiują obszar $D$ i definiują go jednoznacznie, nie dopuszczając do żadnej dwuznaczności. Ale w jaki sposób może nam to pomóc w odpowiedzi na pytanie zadane na początku notatki? To też pomoże :) Musimy sprawdzić czy punkt $M_1(1;1)$ należy do obszaru $D$. Podstawmy $x=1$ i $y=1$ do układu nierówności definiujących ten obszar. Jeżeli obie nierówności są spełnione, wówczas punkt leży wewnątrz obszaru. Jeżeli choć jedna z nierówności nie jest spełniona, to punkt nie należy do obszaru. Więc:

$$ \left \( \begin(wyrównane) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(wyrównane) \right. \;\; \left \( \begin(wyrównane) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right $$.

Obie nierówności są prawdziwe. Punkt $M_1(1;1)$ należy do obszaru $D$.

Teraz kolej na zbadanie zachowania funkcji na granicy obszaru, tj. chodźmy do . Zacznijmy od prostej $y=0$.

Linia prosta $y=0$ (oś odciętych) ogranicza obszar $D$ pod warunkiem $-1 ≤ x ≤ 3$. Podstawiamy $y=0$ do podanej funkcji $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Funkcję jednej zmiennej $x$ otrzymaną w wyniku podstawienia oznaczamy jako $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Teraz dla funkcji $f_1(x)$ musimy znaleźć największą i najmniejszą wartość w przedziale $-1 ≤ x ≤ 3$. Znajdźmy pochodną tej funkcji i przyrównajmy ją do zera:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Wartość $x=2$ należy do odcinka $-1 ≤ x ≤ 3$, zatem do listy punktów dodamy także $M_2(2;0)$. Dodatkowo obliczmy wartości funkcji $z$ na końcach odcinka $-1 ≤ x ≤ 3$, czyli: w punktach $M_3(-1;0)$ i $M_4(3;0)$. Nawiasem mówiąc, gdyby punkt $M_2$ nie należał do rozpatrywanego odcinka, to oczywiście nie byłoby potrzeby obliczania w nim wartości funkcji $z$.

Obliczmy więc wartości funkcji $z$ w punktach $M_2$, $M_3$, $M_4$. Możesz oczywiście zastąpić współrzędne tych punktów oryginalnym wyrażeniem $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Przykładowo dla punktu $M_2$ otrzymujemy:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Obliczenia można jednak nieco uprościć. Aby to zrobić warto pamiętać, że na odcinku $M_3M_4$ mamy $z(x,y)=f_1(x)$. Napiszę to szczegółowo:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(wyrównane)

Oczywiście zazwyczaj nie ma potrzeby prowadzenia tak szczegółowych zapisów i w przyszłości pokrótce zapiszemy wszystkie obliczenia:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Przejdźmy teraz do prostej $x=3$. Ta linia prosta ogranicza obszar $D$ pod warunkiem $0 ≤ y ≤ 4$. Podstawiamy $x=3$ do podanej funkcji $z$. W wyniku tego podstawienia otrzymujemy funkcję $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Dla funkcji $f_2(y)$ musimy znaleźć największą i najmniejszą wartość w przedziale $0 ≤ y ≤ 4$. Znajdźmy pochodną tej funkcji i przyrównajmy ją do zera:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Wartość $y=3$ należy do odcinka $0 ≤ y ≤ 4$, więc do wcześniej znalezionych punktów dodamy także $M_5(3;3)$. Dodatkowo należy obliczyć wartość funkcji $z$ w punktach na końcach odcinka $0 ≤ y ≤ 4$, czyli: w punktach $M_4(3;0)$ i $M_6(3;4)$. W punkcie $M_4(3;0)$ obliczyliśmy już wartość $z$. Obliczmy wartość funkcji $z$ w punktach $M_5$ i $M_6$. Przypomnę, że na odcinku $M_4M_6$ mamy $z(x,y)=f_2(y)$, zatem:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(wyrównane)

Na koniec rozważmy ostatnią granicę regionu $D$, tj. linia prosta $y=x+1$. Ta linia prosta ogranicza obszar $D$ pod warunkiem $-1 ≤ x ≤ 3$. Podstawiając $y=x+1$ do funkcji $z$, otrzymamy:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Po raz kolejny mamy funkcję jednej zmiennej $x$. I znowu musimy znaleźć największą i najmniejszą wartość tej funkcji w przedziale $-1 ≤ x ≤ 3$. Znajdźmy pochodną funkcji $f_(3)(x)$ i przyrównajmy ją do zera:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Wartość $x=1$ należy do przedziału $-1 ≤ x ≤ 3$. Jeśli $x=1$, to $y=x+1=2$. Dodajmy $M_7(1;2)$ do listy punktów i dowiedzmy się jaka jest wartość funkcji $z$ w tym punkcie. Punkty na końcach odcinka $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. punkty $M_3(-1;0)$ i $M_6(3;4)$ były już rozważane, znaleźliśmy już w nich wartość funkcji.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Drugi etap rozwiązania został zakończony. Otrzymaliśmy siedem wartości:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Przejdźmy do. Wybierając największe i najmniejsze wartości z liczb uzyskanych w trzecim akapicie, będziemy mieli:

$$z_(min)=-4; \; z_(maks.)=6,$$

Problem rozwiązany, pozostaje tylko zapisać odpowiedź.

Odpowiedź: $z_(min)=-4; \; z_(maks.)=6$.

Przykład nr 2

Znajdź największe i najmniejsze wartości funkcji $z=x^2+y^2-12x+16y$ w obszarze $x^2+y^2 ≤ 25$.

Najpierw zbudujmy rysunek. Równanie $x^2+y^2=25$ (jest to linia graniczna danego obszaru) definiuje okrąg o środku w początku (tj. w punkcie $(0;0)$) i promieniu 5. Nierówność $x^2 +y^2 ≤ $25 spełnia wszystkie punkty wewnątrz i na wspomnianym okręgu.

Będziemy działać zgodnie. Znajdźmy pochodne cząstkowe i znajdźmy punkty krytyczne.

$$ \frac(\częściowe z)(\częściowe x)=2x-12; \frac(\częściowe z)(\częściowe y)=2y+16. $$

Nie ma punktów, w których znalezione pochodne cząstkowe nie istnieją. Dowiedzmy się, w jakich punktach obie pochodne cząstkowe są jednocześnie równe zeru, tj. znajdźmy punkty stacjonarne.

$$ \left \( \begin(wyrównane) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(wyrównane) \right. \;\; \left \( \begin(wyrównane) & x =6;\\ & y=-8. \end(wyrównane) \right $$.

Otrzymaliśmy punkt stacjonarny $(6;-8)$. Jednak znaleziony punkt nie należy do obszaru $D$. Łatwo to pokazać, nawet bez uciekania się do rysowania. Sprawdźmy, czy zachodzi nierówność $x^2+y^2 ≤ 25$, która definiuje nasz region $D$. Jeśli $x=6$, $y=-8$, to $x^2+y^2=36+64=100$, tj. nierówność $x^2+y^2 ≤ 25$ nie jest spełniona. Wniosek: punkt $(6;-8)$ nie należy do obszaru $D$.

Zatem w obszarze $D$ nie ma punktów krytycznych. Przejdźmy do... Musimy zbadać zachowanie funkcji na granicy danego obszaru, tj. na okręgu $x^2+y^2=25$. Możemy oczywiście wyrazić $y$ w postaci $x$, a następnie podstawić powstałe wyrażenie do naszej funkcji $z$. Z równania okręgu otrzymujemy: $y=\sqrt(25-x^2)$ lub $y=-\sqrt(25-x^2)$. Podstawiając do podanej funkcji np. $y=\sqrt(25-x^2)$ otrzymamy:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Dalsze rozwiązanie będzie całkowicie identyczne z badaniem zachowania funkcji na granicy obszaru w poprzednim przykładzie nr 1. Jednakże rozsądniejsze wydaje mi się zastosowanie w tej sytuacji metody Lagrange’a. Nas będzie interesować tylko pierwsza część tej metody. Po zastosowaniu pierwszej części metody Lagrange'a otrzymamy punkty, w których będziemy badać funkcję $z$ dla wartości minimalnych i maksymalnych.

Tworzymy funkcję Lagrange'a:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Znajdujemy pochodne cząstkowe funkcji Lagrange'a i układamy odpowiedni układ równań:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (wyrównane) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 prawo. \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( wyrównane)\right.$ $

Aby rozwiązać ten system, od razu zauważmy, że $\lambda\neq -1$. Dlaczego $\lambda\neq -1$? Spróbujmy podstawić $\lambda=-1$ do pierwszego równania:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Powstała sprzeczność $0=6$ wskazuje, że wartość $\lambda=-1$ jest niedopuszczalna. Wynik: $\lambda\neq -1$. Wyraźmy $x$ i $y$ w postaci $\lambda$:

\begin(wyrównane) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(wyrównane)

Myślę, że staje się tutaj oczywiste, dlaczego specjalnie określiliśmy warunek $\lambda\neq -1$. Dokonano tego, aby bez zakłóceń dopasować wyrażenie $1+\lambda$ do mianowników. Oznacza to, że aby mieć pewność, że mianownik $1+\lambda\neq 0$.

Podstawmy powstałe wyrażenia dla $x$ i $y$ do trzeciego równania układu, tj. w $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Z otrzymanej równości wynika, że $1+\lambda=2$ lub $1+\lambda=-2$. Stąd mamy dwie wartości parametru $\lambda$, a mianowicie: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. W związku z tym otrzymujemy dwie pary wartości $x$ i $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(wyrównane)

Otrzymaliśmy więc dwa punkty możliwego ekstremum warunkowego, tj. $M_1(3;-4)$ i $M_2(-3;4)$. Znajdźmy wartości funkcji $z$ w punktach $M_1$ i $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(wyrównane)

Spośród tych, które uzyskaliśmy w pierwszym i drugim kroku, powinniśmy wybrać największe i najmniejsze wartości. Ale w tym przypadku wybór jest niewielki :) Mamy:

$$ z_(min)=-75; \; z_(maks.)=125. $$

Odpowiedź: $z_(min)=-75; \; z_(maks.)=125 dolarów.

Co to jest ekstremum funkcji i jaki jest warunek konieczny ekstremum?

Ekstremum funkcji to jej maksimum i minimum.

Warunek konieczny na maksimum i minimum (ekstremum) funkcji jest następujący: jeśli funkcja f(x) ma ekstremum w punkcie x = a, to w tym punkcie pochodna jest albo zerowa, albo nieskończona, albo nie istnieje.

Warunek ten jest konieczny, ale niewystarczający. Pochodna w punkcie x = a może dążyć do zera, nieskończoności lub nie istnieć, jeśli funkcja nie ma w tym punkcie ekstremum.

Jaki jest warunek wystarczający na ekstremum funkcji (maksimum lub minimum)?

Pierwszy warunek:

Jeżeli w wystarczającej odległości od punktu x = a pochodna f?(x) jest dodatnia na lewo od a i ujemna na prawo od a, to w punkcie x = a funkcja f(x) ma maksymalny

Jeżeli w wystarczającej odległości od punktu x = a pochodna f?(x) jest ujemna na lewo od a i dodatnia na prawo od a, to w punkcie x = a funkcja f(x) ma minimum pod warunkiem, że funkcja f(x) jest tutaj ciągła.

Zamiast tego możesz użyć drugiego warunku wystarczającego dla ekstremum funkcji:

Niech w punkcie x = a pierwsza pochodna f?(x) zniknie; jeśli druga pochodna f??(a) jest ujemna, to funkcja f(x) ma maksimum w punkcie x = a, jeśli jest dodatnia, to ma minimum.

Jaki jest punkt krytyczny funkcji i jak go znaleźć?

Jest to wartość argumentu funkcji, przy której funkcja ma ekstremum (tj. maksimum lub minimum). Aby go znaleźć, potrzebujesz znajdź pochodną funkcję f?(x) i przyrównując ją do zera, Rozwiązać równanie f?(x) = 0. Pierwiastki tego równania, a także te punkty, w których pochodna tej funkcji nie istnieje, są punktami krytycznymi, czyli wartościami argumentu, w których może istnieć ekstremum. Można je łatwo rozpoznać po spojrzeniu wykres pochodnej: interesują nas te wartości argumentu, przy których wykres funkcji przecina oś odciętych (oś wołu) i te, przy których wykres wykazuje nieciągłości.

Na przykład znajdźmy ekstremum paraboli.

Funkcja y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Pochodna funkcji: y?(x) = 6x + 2

Rozwiąż równanie: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

W tym przypadku punktem krytycznym jest x0=-1/3. Funkcja ma właśnie tę wartość argumentu ekstremum. Do niego znajdować, zamień znalezioną liczbę w wyrażeniu na funkcję zamiast „x”:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Jak wyznaczyć maksimum i minimum funkcji, tj. jego największa i najmniejsza wartość?

Jeżeli znak pochodnej przy przejściu przez punkt krytyczny x0 zmieni się z „plus” na „minus”, to x0 wynosi maksymalny punkt; jeśli znak pochodnej zmienia się z minus na plus, to x0 wynosi minimalny punkt; jeśli znak się nie zmienia, to w punkcie x0 nie ma ani maksimum, ani minimum.

Dla rozważanego przykładu:

Przyjmujemy dowolną wartość argumentu na lewo od punktu krytycznego: x = -1

Przy x = -1 wartość pochodnej będzie wynosić y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (tzn. znak to „minus”).

Teraz bierzemy dowolną wartość argumentu na prawo od punktu krytycznego: x = 1

Przy x = 1 wartość pochodnej będzie wynosić y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (tzn. znak to „plus”).

Jak widać pochodna zmieniała znak z minus na plus po przejściu przez punkt krytyczny. Oznacza to, że przy wartości krytycznej x0 mamy punkt minimalny.

Największa i najmniejsza wartość funkcji na przerwie(na segmencie) znajdują się przy użyciu tej samej procedury, biorąc jedynie pod uwagę fakt, że być może nie wszystkie punkty krytyczne będą mieścić się w określonym przedziale. Te punkty krytyczne, które znajdują się poza przedziałem, należy wykluczyć z rozważań. Jeśli w przedziale znajduje się tylko jeden punkt krytyczny, będzie on miał maksimum lub minimum. W tym przypadku, aby wyznaczyć największą i najmniejszą wartość funkcji, bierzemy pod uwagę także wartości funkcji na końcach przedziału.

Na przykład znajdźmy największą i najmniejszą wartość funkcji

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

w przerwach:

Zatem pochodna funkcji wynosi

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rozwiązujemy równanie 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Punkty krytyczne znajdujemy na przedziale [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nieuwzględnione w przedziale)

x = -arccos(0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nieuwzględnione w przedziale)

Wartości funkcji znajdujemy przy wartościach krytycznych argumentu:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Można zauważyć, że na przedziale [-9; 9] funkcja ma największą wartość przy x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

i najmniejszy - przy x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Na przedziale [-6; -3] mamy tylko jeden punkt krytyczny: x = -4,88. Wartość funkcji przy x = -4,88 jest równa y = 5,398.

Znajdź wartość funkcji na końcach przedziału:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Na przedziale [-6; -3] mamy największą wartość funkcji

y = 5,398 przy x = -4,88

najmniejsza wartość -

y = 1,077 przy x = -3

Jak znaleźć punkty przegięcia wykresu funkcji i wyznaczyć boki wypukłe i wklęsłe?

Aby znaleźć wszystkie punkty przegięcia prostej y = f(x), należy znaleźć drugą pochodną, przyrównać ją do zera (rozwiązać równanie) i przetestować wszystkie wartości x, dla których druga pochodna wynosi zero, nieskończony lub nie istnieje. Jeżeli przy przejściu przez jedną z tych wartości druga pochodna zmieni znak, to wykres funkcji ma w tym miejscu przegięcie. Jeżeli to się nie zmieni, to nie ma zakrętu.

Pierwiastki równania f? (x) = 0, a także możliwe punkty nieciągłości funkcji i druga pochodna dzielą dziedzinę definicji funkcji na pewną liczbę przedziałów. Wypukłość na każdym z ich przedziałów wyznacza znak drugiej pochodnej. Jeżeli druga pochodna w punkcie badanego przedziału jest dodatnia, to prosta y = f(x) jest wklęsła w górę, a jeśli jest ujemna, to w dół.

Jak znaleźć ekstrema funkcji dwóch zmiennych?

Aby znaleźć ekstrema funkcji f(x,y), różniczkowalne w dziedzinie jej specyfikacji, potrzebujemy:

1) znaleźć punkty krytyczne i w tym celu rozwiązać układ równań

kurwa? (x, y) = 0, fу? (x, y) = 0

2) dla każdego punktu krytycznego P0(a;b) sprawdzić, czy znak różnicy pozostaje niezmieniony

dla wszystkich punktów (x;y) wystarczająco blisko P0. Jeśli różnica pozostaje dodatnia, to w punkcie P0 mamy minimum, jeśli jest ujemna, to mamy maksimum. Jeżeli różnica nie zachowuje znaku, to w punkcie P0 nie ma ekstremum.

Ekstrema funkcji wyznacza się w podobny sposób dla większej liczby argumentów.

Które napoje gazowane czyszczą powierzchnie?
Istnieje opinia, że gazowany napój bezalkoholowy Coca-Cola może rozpuszczać mięso. Ale niestety nie ma na to bezpośrednich dowodów. Wręcz przeciwnie, istnieją fakty potwierdzające, że mięso pozostawione w napoju Coca-Cola na dwa dni zmienia właściwości konsumenckie i nigdzie nie znika.

Układy standardowych mieszkań, opisy i zdjęcia domów można obejrzeć na stronach internetowych: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko.net/art

Jak leczyć nerwicę
Nerwica (Novolat. neurosis, pochodzi od starogreckiego νε?ρον – nerw; synonimy – psychonerwica, zaburzenie nerwicowe) – w klinice: zbiorcza nazwa grupy funkcjonalnych psychogennych, odwracalnych zaburzeń, które mają tendencję do utrzymywania się

Co to jest aphelium
Apocenter to punkt orbity, w którym ciało krążące po orbicie eliptycznej wokół innego ciała osiąga maksymalną odległość od tego drugiego. W tym samym momencie, zgodnie z drugim prawem Keplera, prędkość ruchu orbitalnego staje się minimalna. Apocentrum znajduje się w punkcie znajdującym się naprzeciw perycentrum. W szczególnych przypadkach zwyczajowo stosuje się terminy specjalne:

Co to jest mamona
Mamon (m.r.), mamona (f.r.) – słowo pochodzące z języka greckiego. mamony i oznacza bogactwo, ziemskie skarby, błogosławieństwa. Wśród niektórych starożytnych ludów pogańskich był bogiem bogactwa i zysku. Wspomniane w Piśmie Świętym ewangelistów Mateusza i Łukasza: „Nikt nie może dwom panom służyć, gdyż albo jednego, albo drugiego będzie nienawidził”.

Kiedy wypada prawosławna Wielkanoc w 2049 roku?
W 2015 roku Wielkanoc prawosławna przypada na 12 kwietnia, a Wielkanoc katolicka na 5 kwietnia. Kalendarze kościelne podają daty Wielkanocy prawosławnej według kalendarza juliańskiego (stary styl), natomiast Wielkanoc katolicka obliczana jest według współczesnego kalendarza gregoriańskiego (nowy styl), więc porównanie dat wymaga pewnego wysiłku umysłowego

Co to jest rubel
Rubel to nazwa współczesnych walut Rosji, Białorusi (rubel białoruski), Naddniestrza (rubel naddniestrzański). Rubel rosyjski jest również używany w Osetii Południowej i Abchazji. W przeszłości jednostka monetarna republik i księstw rosyjskich, Wielkiego Księstwa Moskiewskiego, Caratu Rosyjskiego, Wielkiego Księstwa Litewskiego, Cesarstwa Rosyjskiego i różnych

Jak długo Ariel Sharon była w śpiączce?
Ariel Arik Sharon (Sheinerman) – izraelski wojskowy, polityczny i mąż stanu, premier Izraela od 2001 do 2006 roku. Data urodzenia: 26 lutego 1928 Miejsce urodzenia: Osada Kfar Malal niedaleko Kfar Sava, Izrael Data śmierci: 11 stycznia 2014 Miejsce śmierci: Ramat Gan, Gush Dan, Iz

Kim byli neandertalczycy
Neandertalczyk, człowiek neandertalski (łac. Homo neanderthalensis lub Homo sapiens neanderthalensis) to kopalny gatunek ludzi, który żył 300-24 tysiące lat temu. Pochodzenie nazwy Uważa się, że czaszkę neandertalczyka odnaleziono po raz pierwszy w 1856 roku

Ile lat ma Geoffrey Rush
Geoffrey Rush to australijski aktor filmowy i teatralny. Laureat Oscara (1997), nagrody BAFTA (1996, 1999), Złotego Globu (1997, 2005). Najbardziej znane filmy z jego udziałem to „Shine”.

Jak wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości wykresu funkcji
Co to jest ekstremum funkcji i jaki jest warunek konieczny ekstremum? Ekstremum funkcji to jej maksimum i minimum. Warunek konieczny na maksimum i minimum (ekstremum) funkcji jest następujący: jeśli funkcja f(x) ma ekstremum w punkcie x = a, to w tym punkcie pochodna jest albo zerowa, albo nieskończona, albo nie istnieje. Warunek ten jest konieczny, ale niewystarczający. Pochodna w t