Tratament

Care este cea mai mare valoare a unei funcții. Cum să găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții într-un interval

În practică, este destul de comun să se folosească derivata pentru a calcula cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții. Efectuăm această acțiune atunci când ne dăm seama cum să minimizăm costurile, să creștem profiturile, să calculăm sarcina optimă a producției etc., adică în cazurile în care trebuie să determinăm valoarea optimă a unui parametru. Pentru a rezolva corect astfel de probleme, trebuie să înțelegeți bine care sunt cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții.

Yandex.RTB R-A-339285-1

De obicei definim aceste valori într-un anumit interval x, care, la rândul său, poate corespunde întregului domeniu al funcției sau unei părți a acesteia. Poate fi ca un segment [a; b ] , și interval deschis (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), interval infinit (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) sau interval infinit - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

În acest material vă vom spune cum să calculați cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții definite în mod explicit cu o variabilă y=f(x) y = f (x) .

Definiții de bază

Să începem, ca întotdeauna, cu formularea definițiilor de bază.

Definiția 1

Cea mai mare valoare a funcției y = f (x) pe un anumit interval x este valoarea m a x y = f (x 0) x ∈ X, care pentru orice valoare x x ∈ X, x ≠ x 0 face inegalitatea f (x) ≤ f (x) valabil 0) .

Definiția 2

Cea mai mică valoare a funcției y = f (x) pe un anumit interval x este valoarea m i n x ∈ X y = f (x 0) , care pentru orice valoare x ∈ X, x ≠ x 0 face ca inegalitatea f(X f (x) ≥ f (x 0).

Aceste definiții sunt destul de evidente. Și mai simplu, putem spune așa: cea mai mare valoare a unei funcții este cea mai mare valoare a ei pe un interval cunoscut la abscisă x 0, iar cea mai mică este cea mai mică valoare acceptată pe același interval la x 0.

Definiția 3

Punctele staționare sunt acele valori ale argumentului unei funcții la care derivata acesteia devine 0.

De ce trebuie să știm ce sunt punctele staționare? Pentru a răspunde la această întrebare, trebuie să ne amintim teorema lui Fermat. Din aceasta rezultă că un punct staționar este punctul în care se află extremul funcției diferențiabile (adică, minimul sau maximul său local). În consecință, funcția va lua cea mai mică sau cea mai mare valoare pe un anumit interval exact în unul dintre punctele staționare.

O funcție poate lua, de asemenea, cea mai mare sau cea mai mică valoare în acele puncte în care funcția în sine este definită și derivata sa prima nu există.

Prima întrebare care apare atunci când studiem acest subiect: în toate cazurile putem determina valoarea cea mai mare sau cea mai mică a unei funcții pe un interval dat? Nu, nu putem face acest lucru atunci când limitele unui interval dat coincid cu limitele zonei de definiție sau dacă avem de-a face cu un interval infinit. De asemenea, se întâmplă ca o funcție dintr-un segment dat sau la infinit să ia valori infinit de mici sau infinit de mari. În aceste cazuri, nu este posibil să se determine valoarea cea mai mare și/sau cea mai mică.

Aceste puncte vor deveni mai clare după ce vor fi reprezentate pe grafice:

Prima figură ne arată o funcție care ia cele mai mari și mai mici valori (m a x y și m i n y) în punctele staționare situate pe segmentul [ - 6 ; 6].

Să examinăm în detaliu cazul indicat în al doilea grafic. Să schimbăm valoarea segmentului în [ 1 ; 6 ] și constatăm că valoarea maximă a funcției va fi atinsă în punctul cu abscisa la limita dreaptă a intervalului, iar cea minimă - în punctul staționar.

În figura a treia, abscisele punctelor reprezintă punctele de limită ale segmentului [ - 3 ; 2]. Ele corespund celei mai mari și mai mici valori a unei anumite funcții.

Acum să ne uităm la a patra imagine. În ea, funcția ia m a x y (cea mai mare valoare) și m i n y (cea mai mică valoare) în punctele staționare din intervalul deschis (- 6; 6).

Dacă luăm intervalul [ 1 ; 6), atunci putem spune că cea mai mică valoare a funcției de pe ea va fi atinsă într-un punct staționar. Cea mai mare valoare ne va fi necunoscută. Funcția ar putea lua valoarea maximă la x egală cu 6 dacă x = 6 aparține intervalului. Acesta este exact cazul prezentat în graficul 5.

În graficul 6, această funcție capătă cea mai mică valoare la limita dreaptă a intervalului (- 3; 2 ] și nu putem trage concluzii definitive despre cea mai mare valoare.

În figura 7 vedem că funcția va avea m a x y într-un punct staționar având o abscisă egală cu 1. Funcția își va atinge valoarea minimă la limita intervalului c partea dreapta. La minus infinit, valorile funcției se vor apropia asimptotic de y = 3.

Dacă luăm intervalul x ∈ 2; + ∞ , atunci vom vedea că funcția dată nu va lua nici cea mai mică, nici cea mai mare valoare pe ea. Dacă x tinde spre 2, atunci valorile funcției vor tinde spre minus infinit, deoarece linia dreaptă x = 2 este o asimptotă verticală. Dacă abscisa tinde spre plus infinit, atunci valorile funcției se vor apropia asimptotic de y = 3. Acesta este exact cazul prezentat în figura 8.

În acest paragraf vom prezenta succesiunea de acțiuni care trebuie efectuate pentru a găsi cea mai mare sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un anumit segment.

Mai întâi, să găsim domeniul de definire al funcției. Să verificăm dacă segmentul specificat în condiție este inclus în el.
Acum să calculăm punctele conținute în acest segment la care derivata întâi nu există. Cel mai adesea ele pot fi găsite în funcțiile al căror argument este scris sub semnul modulului sau în funcțiile de putere al căror exponent este un număr fracțional rațional.
În continuare, vom afla ce puncte staționare vor cădea în segmentul dat. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați derivata funcției, apoi să o echivalați cu 0 și să rezolvați ecuația rezultată, apoi să selectați rădăcinile adecvate. Dacă nu obținem un singur punct staționar sau nu se încadrează în segmentul dat, atunci trecem la pasul următor.
Determinăm ce valori va lua funcția în anumite puncte staționare (dacă există) sau în acele puncte în care derivata întâi nu există (dacă există), sau calculăm valorile pentru x = a și x = b.
5. Avem un număr de valori ale funcției, din care acum trebuie să le selectăm pe cea mai mare și pe cea mai mică. Acestea vor fi cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe care trebuie să le găsim.

Să vedem cum să aplicăm corect acest algoritm atunci când rezolvăm probleme.

Exemplul 1

Condiție: este dată funcția y = x 3 + 4 x 2. Determinați valorile sale cele mai mari și cele mai mici pe segmente [ 1 ; 4 ] şi [ - 4 ; - 1 ] .

Soluţie:

Să începem prin a găsi domeniul de definiție al unei funcții date. În acest caz, va fi mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția lui 0. Cu alte cuvinte, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Ambele segmente specificate în condiție vor fi în interiorul zonei de definire.

Acum calculăm derivata funcției conform regulii de diferențiere a fracțiilor:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Am învățat că derivata unei funcții va exista în toate punctele segmentelor [ 1 ; 4 ] şi [ - 4 ; - 1 ] .

Acum trebuie să determinăm punctele staționare ale funcției. Să facem asta folosind ecuația x 3 - 8 x 3 = 0. Are o singură rădăcină reală, care este 2. Va fi un punct staționar al funcției și va cădea în primul segment [1; 4 ] .

Să calculăm valorile funcției la capetele primului segment și în acest punct, adică. pentru x = 1, x = 2 și x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Am constatat că cea mai mare valoare a funcției m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 se va realiza la x = 1, iar cel mai mic m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – la x = 2.

Al doilea segment nu include un singur punct staționar, așa că trebuie să calculăm valorile funcției numai la sfârșitul segmentului dat:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Aceasta înseamnă că m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Răspuns: Pentru segmentul [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , pentru segmentul [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Vezi poza:

Înainte de a studia această metodă, vă sfătuim să revizuiți cum să calculați corect limita unilaterală și limita la infinit, precum și să învățați metodele de bază pentru a le găsi. Pentru a găsi cea mai mare și/sau cea mai mică valoare a unei funcții pe un interval deschis sau infinit, parcurgeți următorii pași secvențial.

În primul rând, trebuie să verificați dacă intervalul dat va fi un subset al domeniului funcției date.
Să determinăm toate punctele care sunt cuprinse în intervalul necesar și la care derivata întâi nu există. Ele apar de obicei pentru funcțiile în care argumentul este inclus în semnul modulului și pentru funcțiile de putere cu un exponent rațional fracțional. Dacă aceste puncte lipsesc, atunci puteți trece la pasul următor.
Acum să determinăm care puncte staționare se vor încadra în intervalul dat. Mai întâi, echivalăm derivata cu 0, rezolvăm ecuația și selectăm rădăcinile potrivite. Dacă nu avem un singur punct staționar sau nu se încadrează în intervalul specificat, atunci trecem imediat la acțiuni ulterioare. Ele sunt determinate de tipul de interval.

Dacă intervalul este de forma [ a ; b) , atunci trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = a și limita unilaterală lim x → b - 0 f (x) .
Dacă intervalul are forma (a; b ], atunci trebuie să calculăm valoarea funcției în punctul x = b și limita unilaterală lim x → a + 0 f (x).
Dacă intervalul are forma (a; b), atunci trebuie să calculăm limitele unilaterale lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
Dacă intervalul este de forma [ a ; + ∞), atunci trebuie să calculăm valoarea în punctul x = a și limita la plus infinit lim x → + ∞ f (x) .
Dacă intervalul arată ca (- ∞ ; b ] , se calculează valoarea în punctul x = b și limita la minus infinit lim x → - ∞ f (x) .
Dacă - ∞ ; b , atunci considerăm limita unilaterală lim x → b - 0 f (x) și limita la minus infinit lim x → - ∞ f (x)
Dacă - ∞; + ∞ , atunci considerăm limitele pe minus și plus infinit lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

La sfârșit, trebuie să trageți o concluzie pe baza valorilor și limitelor funcției obținute. Există multe opțiuni disponibile aici. Deci, dacă limita unilaterală este egală cu minus infinit sau plus infinit, atunci este imediat clar că nu se poate spune nimic despre cele mai mici și mai mari valori ale funcției. Mai jos ne vom uita la un exemplu tipic. Descrierile detaliate vă vor ajuta să înțelegeți ce este. Dacă este necesar, puteți reveni la figurile 4 - 8 din prima parte a materialului.

Exemplul 2

Condiție: funcție dată y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Calculați valoarea sa cea mai mare și cea mai mică în intervalele - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞).

Soluţie

În primul rând, găsim domeniul de definire al funcției. Numitorul fracției conține un trinom pătratic, care nu trebuie să se transforme la 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Am obținut domeniul de definire al funcției căreia îi aparțin toate intervalele specificate în condiție.

Acum să diferențiem funcția și să obținem:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

În consecință, derivatele unei funcții există în întregul său domeniu de definire.

Să trecem la găsirea punctelor staționare. Derivata functiei devine 0 la x = - 1 2 . Acesta este un punct staționar care se află în intervalele (- 3 ; 1 ] și (- 3 ; 2) .

Să calculăm valoarea funcției la x = - 4 pentru intervalul (- ∞ ; - 4 ], precum și limita la minus infinit:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Deoarece 3 e 1 6 - 4 > - 1, înseamnă că m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Acest lucru nu ne permite să determinăm în mod unic cea mai mică valoare a Putem doar concluziona că există o constrângere sub - 1, deoarece funcția se apropie asimptotic de această valoare la minus infinit.

Particularitatea celui de-al doilea interval este că nu există un singur punct staționar și nici o singură limită strictă în el. În consecință, nu vom putea calcula nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare a funcției. După ce am definit limita la minus infinit și cu argumentul tinde spre - 3 în partea stângă, obținem doar un interval de valori:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Aceasta înseamnă că valorile funcției vor fi localizate în intervalul - 1; +∞

Pentru a găsi cea mai mare valoare a funcției în al treilea interval, determinăm valoarea acesteia în punctul staționar x = - 1 2 dacă x = 1. De asemenea, va trebui să cunoaștem limita unilaterală pentru cazul în care argumentul tinde spre - 3 pe partea dreaptă:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

S-a dovedit că funcția va lua cea mai mare valoare într-un punct staționar m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. În ceea ce privește cea mai mică valoare, nu o putem determina. Tot ce știm , este prezenţa unei limite inferioare la - 4 .

Pentru intervalul (- 3 ; 2), luați rezultatele calculului anterior și calculați din nou cu ce este egală limita unilaterală când tindeți spre 2 pe partea stângă:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Aceasta înseamnă că m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, iar cea mai mică valoare nu poate fi determinată, iar valorile funcției sunt limitate de jos de numărul - 4 .

Pe baza a ceea ce am obținut în cele două calcule anterioare, putem spune că pe intervalul [ 1 ; 2) funcția va lua cea mai mare valoare la x = 1, dar este imposibil să găsiți cea mai mică.

Pe intervalul (2 ; + ∞) funcția nu va atinge nici cea mai mare, nici cea mai mică valoare, adică. va lua valori din intervalul - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

După ce am calculat cu ce valoarea funcției va fi egală la x = 4, aflăm că m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , iar funcția dată la plus infinit se va apropia asimptotic de dreapta y = - 1 .

Să comparăm ceea ce am obținut în fiecare calcul cu graficul funcției date. În figură, asimptotele sunt afișate prin linii punctate.

Asta este tot ce am vrut să vă spunem despre găsirea valorilor mai mari și cele mai mici ale unei funcții. Secvențele de acțiuni pe care le-am oferit vă vor ajuta să faceți calculele necesare cât mai rapid și simplu posibil. Dar amintiți-vă că este adesea util să aflați mai întâi la ce intervale funcția va scădea și la care va crește, după care puteți trage concluzii suplimentare. Astfel, puteți determina cu mai multă acuratețe cele mai mari și mai mici valori ale funcției și puteți justifica rezultatele obținute.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Declarația problemei 2:

Dată o funcție care este definită și continuă pe un anumit interval. Trebuie să găsiți cea mai mare (cea mai mică) valoare a funcției în acest interval.

Baza teoretica.
Teorema (a doua teoremă Weierstrass):

Dacă o funcție este definită și continuă într-un interval închis, atunci ea își atinge valorile maxime și minime în acest interval.

Funcția poate atinge valorile cele mai mari și cele mai mici fie în punctele interne ale intervalului, fie la limitele acestuia. Să ilustrăm toate opțiunile posibile.

Explicaţie:
1) Funcția atinge cea mai mare valoare la limita stângă a intervalului în punctul , iar valoarea sa minimă la limita dreaptă a intervalului în punctul .
2) Funcția atinge cea mai mare valoare în punct (acesta este punctul maxim), iar valoarea sa minimă la limita dreaptă a intervalului în punctul respectiv.
3) Funcția își atinge valoarea maximă pe limita stângă a intervalului în punctul , iar valoarea sa minimă în punctul (acesta este punctul minim).
4) Funcția este constantă pe interval, adică. își atinge valorile minime și maxime în orice punct al intervalului, iar valorile minime și maxime sunt egale între ele.
5) Funcția atinge cea mai mare valoare în punctul , iar valoarea sa minimă la punctul (în ciuda faptului că funcția are atât un maxim, cât și un minim pe acest interval).
6) Funcția atinge cea mai mare valoare într-un punct (acesta este punctul maxim), iar valoarea sa minimă într-un punct (acesta este punctul minim).
Cometariu:

„Maximă” și „valoare maximă” sunt lucruri diferite. Aceasta rezultă din definiția maximului și înțelegerea intuitivă a expresiei „valoare maximă”.

Algoritm pentru rezolvarea problemei 2.

4) Selectați cea mai mare (mai mică) dintre valorile obținute și notați răspunsul.

Exemplul 4:

Determinați cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe segment.
Soluţie:
1) Aflați derivata funcției.

2) Găsiți puncte staționare (și puncte suspectate de extremum) rezolvând ecuația. Acordați atenție punctelor în care nu există o derivată finită cu două fețe.

3) Calculați valorile funcției în punctele staționare și la limitele intervalului.

4) Selectați cea mai mare (mai mică) dintre valorile obținute și notați răspunsul.

Funcția de pe acest segment atinge cea mai mare valoare în punctul cu coordonatele .

Funcția de pe acest segment atinge valoarea minimă în punctul cu coordonatele .

Puteți verifica corectitudinea calculelor privind graficul funcției studiate.

Cometariu: Funcția atinge cea mai mare valoare în punctul maxim și minimă la limita segmentului.

Un caz special.

Să presupunem că trebuie să găsiți valorile maxime și minime ale unei anumite funcții pe un segment. După completarea primului punct al algoritmului, i.e. calculând derivata, devine clar că, de exemplu, ia doar valori negative pe tot intervalul luat în considerare. Amintiți-vă că dacă derivata este negativă, atunci funcția scade. Am constatat că funcția scade pe întregul segment. Această situație este prezentată în graficul nr. 1 de la începutul articolului.

Funcția scade pe segment, adică. nu are puncte extreme. Din imagine puteți vedea că funcția va lua cea mai mică valoare pe limita dreaptă a segmentului și cea mai mare valoare în stânga. dacă derivata de pe segment este pozitivă peste tot, atunci funcția crește. Cea mai mică valoare este pe marginea din stânga a segmentului, cea mai mare este în dreapta.

Cu acest serviciu poți găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții o variabilă f(x) cu soluția formatată în Word. Dacă funcția f(x,y) este dată, deci, este necesar să găsim extremul funcției a două variabile. De asemenea, puteți găsi intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare.

Găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții

pe segmentul [ ;]

Includeți teoria

Reguli de intrare în funcții:

Condiție necesară pentru extremul unei funcții a unei variabile

Ecuația f" 0 (x *) = 0 este o condiție necesară pentru extremul unei funcții a unei variabile, adică în punctul x * derivata întâi a funcției trebuie să dispară. Ea identifică punctele staționare x c la care funcția nu dispare. creste sau scade.

Condiție suficientă pentru extremul unei funcții a unei variabile

Fie f 0 (x) de două ori diferențiabilă față de x aparținând mulțimii D. Dacă la punctul x * este îndeplinită condiția:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Atunci punctul x * este punctul minim local (global) al funcției.

Dacă la punctul x * este îndeplinită condiția:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Atunci punctul x * este un maxim local (global).

Exemplul nr. 1. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției: pe segment.
Soluţie.

Punctul critic este unul x 1 = 2 (f’(x)=0). Acest punct aparține segmentului. (Punctul x=0 nu este critic, deoarece 0∉).
Calculăm valorile funcției la capetele segmentului și în punctul critic.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Răspuns: f min = 5 / 2 la x=2; f max =9 la x=1

Exemplul nr. 2. Folosind derivate de ordin superior, găsiți extremul funcției y=x-2sin(x) .
Soluţie.
Aflați derivata funcției: y’=1-2cos(x) . Să găsim punctele critice: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Găsim y’’=2sin(x), calculați , ceea ce înseamnă x= π / 3 +2πk, k∈Z sunt punctele minime ale funcției; , ceea ce înseamnă x=- π / 3 +2πk, k∈Z sunt punctele maxime ale funcției.

Exemplul nr. 3. Investigați funcția extremum în vecinătatea punctului x=0.
Soluţie. Aici este necesar să găsiți extremele funcției. Dacă extrema x=0, atunci aflați tipul său (minim sau maxim). Dacă printre punctele găsite nu există x = 0, atunci calculați valoarea funcției f(x=0).
De remarcat că atunci când derivata de pe fiecare parte a unui punct dat nu își schimbă semnul, situațiile posibile nu sunt epuizate nici măcar pentru funcții diferențiabile: se poate întâmpla ca pentru o vecinătate arbitrar mică de pe o parte a punctului x 0 sau pe ambele părți derivata își schimbă semnul. În aceste puncte este necesar să se folosească alte metode pentru a studia funcțiile la extrem.

Fie definită și continuă funcția $z=f(x,y)$ într-un domeniu închis mărginit $D$. Fie ca funcția dată din această regiune să aibă derivate parțiale finite de ordinul întâi (cu excepția, poate, a unui număr finit de puncte). Pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții a două variabile într-o regiune închisă dată, sunt necesari trei pași ai unui algoritm simplu.

Algoritm pentru găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcției $z=f(x,y)$ într-un domeniu închis $D$.

Găsiți punctele critice ale funcției $z=f(x,y)$ aparținând domeniului $D$. Calculați valorile funcției în punctele critice.
Investigați comportamentul funcției $z=f(x,y)$ la limita regiunii $D$, găsind punctele valorilor maxime și minime posibile. Calculați valorile funcției la punctele obținute.
Din valorile funcției obținute în cele două paragrafe precedente, selectați cel mai mare și cel mai mic.

Care sunt punctele critice? arată ascunde

Sub puncte critice implică puncte la care ambele derivate parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero (adică $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ și $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) sau cel puțin o derivată parțială nu există.

Adesea sunt numite punctele în care derivatele parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero punctele staţionare. Astfel, punctele staționare sunt un subset de puncte critice.

Exemplul nr. 1

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției $z=x^2+2xy-y^2-4x$ într-o regiune închisă delimitată de liniile $x=3$, $y=0$ și $y=x +1$.

Vom urma cele de mai sus, dar mai întâi ne vom ocupa de desenarea unei zone date, pe care o vom nota cu litera $D$. Ni se dau ecuațiile a trei drepte care limitează această zonă. Dreapta $x=3$ trece prin punctul $(3;0)$ paralel cu axa ordonatelor (axa Oy). Linia dreaptă $y=0$ este ecuația axei absciselor (axa Ox). Ei bine, pentru a construi dreapta $y=x+1$, vom găsi două puncte prin care vom trasa această dreaptă. Puteți, desigur, să înlocuiți câteva valori arbitrare în loc de $x$. De exemplu, înlocuind $x=10$, obținem: $y=x+1=10+1=11$. Am găsit punctul $(10;11)$ situat pe dreapta $y=x+1$. Totuși, este mai bine să găsiți acele puncte în care dreapta $y=x+1$ intersectează liniile $x=3$ și $y=0$. De ce este mai bine? Pentru că vom ucide câteva păsări dintr-o singură piatră: vom obține două puncte pentru a construi linia dreaptă $y=x+1$ și, în același timp, vom afla în ce puncte intersectează această dreaptă alte linii care limitează aria dată. Linia $y=x+1$ intersectează linia $x=3$ în punctul $(3;4)$, iar linia $y=0$ se intersectează în punctul $(-1;0)$. Pentru a nu aglomera mersul soluției cu explicații auxiliare, voi pune problema obținerii acestor două puncte într-o notă.

Cum au fost obținute punctele $(3;4)$ și $(-1;0)$? arată ascunde

Să începem de la punctul de intersecție al dreptelor $y=x+1$ și $x=3$. Coordonatele punctului dorit aparțin atât primei, cât și celei de a doua drepte, prin urmare, pentru a găsi coordonatele necunoscute, trebuie să rezolvați sistemul de ecuații:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Solutia unui astfel de sistem este banala: substituind $x=3$ in prima ecuatie vom avea: $y=3+1=4$. Punctul $(3;4)$ este punctul de intersecție dorit al dreptelor $y=x+1$ și $x=3$.

Acum să găsim punctul de intersecție al dreptelor $y=x+1$ și $y=0$. Să compunem și să rezolvăm din nou sistemul de ecuații:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

Înlocuind $y=0$ în prima ecuație, obținem: $0=x+1$, $x=-1$. Punctul $(-1;0)$ este punctul de intersecție dorit al dreptelor $y=x+1$ și $y=0$ (axa x).

Totul este gata pentru a construi un desen care va arăta astfel:

Întrebarea notei pare evidentă, pentru că totul este vizibil în poză. Cu toate acestea, merită să ne amintim că un desen nu poate servi drept dovadă. Desenul are doar scop ilustrativ.

Zona noastră a fost definită folosind ecuații în linie dreaptă care o legau. Evident, aceste linii definesc un triunghi, nu? Sau nu este complet evident? Sau poate ni se oferă o zonă diferită, delimitată de aceleași linii:

Desigur, condiția spune că zona este închisă, așa că poza afișată este incorectă. Dar pentru a evita astfel de ambiguități, este mai bine să definiți regiunile prin inegalități. Suntem interesați de partea de plan situată sub dreapta $y=x+1$? Ok, deci $y ≤ x+1$. Zona noastră ar trebui să fie situată deasupra liniei $y=0$? Grozav, asta înseamnă $y ≥ 0$. Apropo, ultimele două inegalități pot fi ușor combinate într-una singură: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Aceste inegalități definesc regiunea $D$ și o definesc fără ambiguitate, fără a permite nicio ambiguitate. Dar cum ne ajută acest lucru cu întrebarea formulată la începutul notei? De asemenea, va ajuta :) Trebuie să verificăm dacă punctul $M_1(1;1)$ aparține regiunii $D$. Să substituim $x=1$ și $y=1$ în sistemul de inegalități care definesc această regiune. Dacă ambele inegalități sunt satisfăcute, atunci punctul se află în interiorul regiunii. Dacă cel puțin una dintre inegalități nu este satisfăcută, atunci punctul nu aparține regiunii. Asa de:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right $$.

Ambele inegalități sunt valabile. Punctul $M_1(1;1)$ aparține regiunii $D$.

Acum este rândul să studiem comportamentul funcției la limita regiunii, adică. să mergem la . Să începem cu linia dreaptă $y=0$.

Linia dreaptă $y=0$ (axa absciselor) limitează regiunea $D$ în condiția $-1 ≤ x ≤ 3$. Să substituim $y=0$ în funcția dată $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Notăm funcția unei variabile $x$ obținută ca rezultat al înlocuirii ca $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Acum, pentru funcția $f_1(x)$ trebuie să găsim cele mai mari și cele mai mici valori pe intervalul $-1 ≤ x ≤ 3$. Să găsim derivata acestei funcții și să o echivalăm cu zero:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Valoarea $x=2$ aparține segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, așa că vom adăuga și $M_2(2;0)$ la lista de puncte. În plus, să calculăm valorile funcției $z$ la capetele segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, adică. în punctele $M_3(-1;0)$ și $M_4(3;0)$. Apropo, dacă punctul $M_2$ nu ar aparține segmentului luat în considerare, atunci, desigur, nu ar fi nevoie să se calculeze valoarea funcției $z$ din acesta.

Deci, să calculăm valorile funcției $z$ în punctele $M_2$, $M_3$, $M_4$. Puteți, desigur, să înlocuiți coordonatele acestor puncte în expresia originală $z=x^2+2xy-y^2-4x$. De exemplu, pentru punctul $M_2$ obținem:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Cu toate acestea, calculele pot fi puțin simplificate. Pentru a face acest lucru, merită să ne amintim că pe segmentul $M_3M_4$ avem $z(x,y)=f_1(x)$. O voi scrie în detaliu:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(aliniat)

Desigur, de obicei nu este nevoie de astfel de înregistrări detaliate, iar în viitor vom nota toate calculele pe scurt:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Acum să trecem la linia dreaptă $x=3$. Această linie dreaptă limitează regiunea $D$ în condiția $0 ≤ y ≤ 4$. Să substituim $x=3$ în funcția dată $z$. Ca rezultat al acestei substituții obținem funcția $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Pentru funcția $f_2(y)$ trebuie să găsim cele mai mari și cele mai mici valori pe intervalul $0 ≤ y ≤ 4$. Să găsim derivata acestei funcții și să o echivalăm cu zero:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Valoarea $y=3$ aparține segmentului $0 ≤ y ≤ 4$, așa că vom adăuga și $M_5(3;3)$ la punctele găsite anterior. În plus, este necesar să se calculeze valoarea funcției $z$ în punctele de la capetele segmentului $0 ≤ y ≤ 4$, adică. la punctele $M_4(3;0)$ și $M_6(3;4)$. La punctul $M_4(3;0)$ am calculat deja valoarea lui $z$. Să calculăm valoarea funcției $z$ în punctele $M_5$ și $M_6$. Permiteți-mi să vă reamintesc că pe segmentul $M_4M_6$ avem $z(x,y)=f_2(y)$, prin urmare:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(aliniat)

Și, în cele din urmă, luați în considerare ultima graniță a regiunii $D$, adică. linie dreaptă $y=x+1$. Această linie dreaptă limitează regiunea $D$ în condiția $-1 ≤ x ≤ 3$. Înlocuind $y=x+1$ în funcția $z$, vom avea:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Din nou avem o funcție a unei variabile $x$. Și din nou trebuie să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale acestei funcții pe intervalul $-1 ≤ x ≤ 3$. Să găsim derivata funcției $f_(3)(x)$ și să o echivalăm cu zero:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Valoarea $x=1$ aparține intervalului $-1 ≤ x ≤ 3$. Dacă $x=1$, atunci $y=x+1=2$. Să adăugăm $M_7(1;2)$ la lista de puncte și să aflăm care este valoarea funcției $z$ în acest moment. Punctele de la capetele segmentului $-1 ≤ x ≤ 3$, i.e. punctele $M_3(-1;0)$ și $M_6(3;4)$ au fost luate în considerare mai devreme, am găsit deja valoarea funcției în ele.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Al doilea pas al soluției este finalizat. Am primit șapte valori:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Să ne întoarcem la. Alegând cele mai mari și cele mai mici valori dintre numerele obținute în al treilea paragraf, vom avea:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Problema este rezolvată, rămâne doar să notăm răspunsul.

Răspuns: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Exemplul nr. 2

Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției $z=x^2+y^2-12x+16y$ în regiunea $x^2+y^2 ≤ 25$.

Mai întâi, să construim un desen. Ecuația $x^2+y^2=25$ (aceasta este linia de delimitare a unei zone date) definește un cerc cu un centru la origine (adică în punctul $(0;0)$) și o rază de 5. Inegalitatea $x^2 +y^2 ≤ $25 satisface toate punctele din interiorul și de pe cercul menționat.

Vom acționa conform. Să găsim derivate parțiale și să aflăm punctele critice.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Nu există puncte în care derivatele parțiale găsite să nu existe. Să aflăm în ce puncte ambele derivate parțiale sunt simultan egale cu zero, adică. haideti sa gasim puncte stationare.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8 \end(aliniat) \right $$.

Am obținut un punct staționar $(6;-8)$. Totuși, punctul găsit nu aparține regiunii $D$. Acest lucru este ușor de arătat fără a recurge măcar la desen. Să verificăm dacă inegalitatea $x^2+y^2 ≤ 25$ este valabilă, ceea ce definește regiunea noastră $D$. Dacă $x=6$, $y=-8$, atunci $x^2+y^2=36+64=100$, adică. inegalitatea $x^2+y^2 ≤ 25$ nu este valabilă. Concluzie: punctul $(6;-8)$ nu aparține zonei $D$.

Deci, nu există puncte critice în interiorul regiunii $D$. Să trecem la... Trebuie să studiem comportamentul unei funcții la granița unei regiuni date, i.e. pe cercul $x^2+y^2=25$. Putem, desigur, să exprimăm $y$ în termeni de $x$ și apoi să înlocuim expresia rezultată în funcția noastră $z$. Din ecuația unui cerc obținem: $y=\sqrt(25-x^2)$ sau $y=-\sqrt(25-x^2)$. Înlocuind, de exemplu, $y=\sqrt(25-x^2)$ în funcția dată, vom avea:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Soluția ulterioară va fi complet identică cu studiul comportamentului funcției la limita regiunii din exemplul precedent nr. 1. Totuși, mi se pare mai rezonabil să aplicăm metoda Lagrange în această situație. Ne va interesa doar prima parte a acestei metode. După aplicarea primei părți a metodei Lagrange, vom obține puncte la care vom examina funcția $z$ pentru valori minime și maxime.

Compunem funcția Lagrange:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Găsim derivatele parțiale ale funcției Lagrange și compunem sistemul de ecuații corespunzător:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (aliniat) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( aligned)\right.$ $

Pentru a rezolva acest sistem, să subliniem imediat că $\lambda\neq -1$. De ce $\lambda\neq -1$? Să încercăm să înlocuim $\lambda=-1$ în prima ecuație:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Contradicția rezultată $0=6$ indică faptul că valoarea $\lambda=-1$ este inacceptabilă. Ieșire: $\lambda\neq -1$. Să exprimăm $x$ și $y$ în termeni de $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(aliniat)

Cred că aici devine evident de ce am stipulat în mod specific condiția $\lambda\neq -1$. Acest lucru a fost făcut pentru a încadra expresia $1+\lambda$ în numitori fără interferențe. Adică, pentru a fi sigur că numitorul $1+\lambda\neq 0$.

Să substituim expresiile rezultate pentru $x$ și $y$ în a treia ecuație a sistemului, adică. în $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Din egalitatea rezultată rezultă că $1+\lambda=2$ sau $1+\lambda=-2$. Prin urmare, avem două valori ale parametrului $\lambda$ și anume: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. În consecință, obținem două perechi de valori $x$ și $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(aliniat)

Deci, am obținut două puncte ale unui posibil extremum condiționat, i.e. $M_1(3;-4)$ și $M_2(-3;4)$. Să găsim valorile funcției $z$ în punctele $M_1$ și $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(aliniat)

Ar trebui să selectăm cele mai mari și cele mai mici valori dintre cele pe care le-am obținut în primul și al doilea pas. Dar în acest caz alegerea este mică :) Avem:

$$ z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Răspuns: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125 USD.

Ce este un extremum al unei funcții și care este condiția necesară pentru un extremum?

Extremul unei funcții este maximul și minimul funcției.

Condiția necesară pentru maximul și minimul (extremul) unei funcții este următoarea: dacă funcția f(x) are un extrem în punctul x = a, atunci în acest punct derivata este fie zero, fie infinită, fie nu nu exista.

Această condiție este necesară, dar nu suficientă. Derivata în punctul x = a poate merge la zero, la infinit sau nu poate exista fără ca funcția să aibă un extrem în acest punct.

Care este condiția suficientă pentru extremul unei funcții (maxim sau minim)?

Prima conditie:

Dacă, în apropiere suficientă de punctul x = a, derivata f?(x) este pozitivă la stânga lui a și negativă la dreapta lui a, atunci în punctul x = a funcția f(x) are maxim

Dacă, în apropiere suficientă de punctul x = a, derivata f?(x) este negativă la stânga lui a și pozitivă la dreapta lui a, atunci în punctul x = a funcția f(x) are minim cu condiția ca funcția f(x) aici să fie continuă.

În schimb, puteți folosi a doua condiție suficientă pentru extremul unei funcții:

Fie în punctul x = a prima derivată f?(x) să dispară; dacă derivata a doua f??(a) este negativă, atunci funcția f(x) are un maxim în punctul x = a, dacă este pozitivă, atunci are un minim.

Care este punctul critic al unei funcții și cum se găsește?

Aceasta este valoarea argumentului funcției la care funcția are un extrem (adică maxim sau minim). Pentru a-l găsi ai nevoie găsiți derivata funcția f?(x) și, echivalând-o cu zero, rezolva ecuația f?(x) = 0. Rădăcinile acestei ecuații, precum și acele puncte în care derivata acestei funcții nu există, sunt puncte critice, adică valori ale argumentului la care poate exista un extrem. Ele pot fi identificate cu ușurință privind grafic derivat: ne interesează acele valori ale argumentului la care graficul funcției intersectează axa absciselor (axa Ox) și cele la care graficul suferă discontinuități.

De exemplu, să găsim extremul unei parabole.

Funcția y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivată a funcției: y?(x) = 6x + 2

Rezolvați ecuația: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

În acest caz, punctul critic este x0=-1/3. Funcția are această valoare a argumentului extremum. Către el găsi, înlocuiți numărul găsit în expresie pentru funcție în loc de „x”:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Cum se determină maximul și minimul unei funcții, de ex. valorile sale cele mai mari și cele mai mici?

Dacă semnul derivatei la trecerea prin punctul critic x0 se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci x0 este punct maxim; dacă semnul derivatei se schimbă de la minus la plus, atunci x0 este punct minim; dacă semnul nu se schimbă, atunci în punctul x0 nu există nici maxim, nici minim.

Pentru exemplul considerat:

Luăm o valoare arbitrară a argumentului din stânga punctului critic: x = -1

La x = -1, valoarea derivatei va fi y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (adică semnul este „minus”).

Acum luăm o valoare arbitrară a argumentului din dreapta punctului critic: x = 1

La x = 1, valoarea derivatei va fi y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (adică semnul este „plus”).

După cum puteți vedea, derivata și-a schimbat semnul de la minus la plus la trecerea prin punctul critic. Aceasta înseamnă că la valoarea critică x0 avem un punct minim.

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții pe interval(pe un segment) se găsesc folosind aceeași procedură, ținând cont doar de faptul că, poate, nu toate punctele critice se vor afla în intervalul specificat. Acele puncte critice care se află în afara intervalului trebuie excluse din considerare. Dacă există un singur punct critic în interval, acesta va avea fie un maxim, fie un minim. În acest caz, pentru a determina cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției, luăm în considerare și valorile funcției de la sfârșitul intervalului.

De exemplu, să găsim cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

la intervale:

Deci, derivata funcției este

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Rezolvăm ecuația 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Găsim puncte critice pe intervalul [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (nu sunt incluse în interval)

x = -arccos(0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (nu sunt incluse în interval)

Găsim valorile funcției la valorile critice ale argumentului:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Se poate observa că pe intervalul [-9; 9] funcția are cea mai mare valoare la x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

iar cel mai mic - la x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Pe intervalul [-6; -3] avem un singur punct critic: x = -4,88. Valoarea funcției la x = -4,88 este egală cu y = 5,398.

Găsiți valoarea funcției la sfârșitul intervalului:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Pe intervalul [-6; -3] avem cea mai mare valoare a funcției

y = 5,398 la x = -4,88

cea mai mica valoare -

y = 1,077 la x = -3

Cum să găsiți punctele de inflexiune ale unui grafic al funcției și să determinați laturile convexe și concave?

Pentru a găsi toate punctele de inflexiune ale dreptei y = f(x), trebuie să găsiți derivata a doua, să o echivalați cu zero (rezolvați ecuația) și să testați toate acele valori ale lui x pentru care derivata a doua este zero, infinit sau nu există. Dacă, la trecerea prin una dintre aceste valori, derivata a doua își schimbă semnul, atunci graficul funcției are o inflexiune în acest punct. Dacă nu se schimbă, atunci nu există nicio îndoire.

Rădăcinile ecuației f? (x) = 0, precum și posibilele puncte de discontinuitate ale funcției și derivata a doua, împart domeniul de definire a funcției într-un număr de intervale. Convexitatea pe fiecare dintre intervalele lor este determinată de semnul derivatei a doua. Dacă derivata a doua într-un punct al intervalului studiat este pozitivă, atunci linia y = f(x) este concavă în sus, iar dacă este negativă, atunci în jos.

Cum se află extremele unei funcții a două variabile?

Pentru a găsi extremele funcției f(x,y), diferențiabile în domeniul specificației sale, aveți nevoie de:

1) găsiți punctele critice și pentru aceasta - rezolvați sistemul de ecuații

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) pentru fiecare punct critic P0(a;b) investigați dacă semnul diferenței rămâne neschimbat

pentru toate punctele (x;y) suficient de apropiate de P0. Dacă diferența rămâne pozitivă, atunci în punctul P0 avem un minim, dacă negativ, atunci avem un maxim. Dacă diferența nu își păstrează semnul, atunci nu există un extremum în punctul P0.

Extremele unei funcții sunt determinate în mod similar pentru un număr mai mare de argumente.

Ce băuturi răcoritoare carbogazoase curăță suprafețele?
Există o părere că băutura răcoritoare carbogazoasă Coca-Cola poate dizolva carnea. Dar, din păcate, nu există dovezi directe în acest sens. Dimpotrivă, există fapte afirmative care confirmă că carnea rămasă în băutura Coca-Cola timp de două zile își schimbă proprietățile consumatorului și nu dispare nicăieri.

Aspectele apartamentelor standard, descrierile și fotografiile caselor pot fi vizualizate pe site-urile web: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko.net/art

Cum să tratezi nevroza
Nevroză (Novolat. nevroză, provine din greaca veche νε?ρον - nerv; sinonime - psihonevroză, tulburare nevrotică) - în clinică: denumire colectivă pentru un grup de tulburări psihogene reversibile funcționale care tind să persistă

Ce este afeliul
Apocentrul este punctul din orbită în care un corp care se rotește pe o orbită eliptică în jurul altui corp atinge distanța maximă față de acesta din urmă. În același punct, conform celei de-a doua legi a lui Kepler, viteza mișcării orbitale devine minimă. Apocentrul este situat într-un punct diametral opus periapsisului. În cazuri speciale, se obișnuiește să se utilizeze termeni speciali:

Ce este Mamon
Mamon (m.r.), mammon (f.r.) - un cuvânt derivat din greacă. mammonas și înseamnă bogăție, comori pământești, binecuvântări. Printre unele popoare păgâne antice, el era zeul bogăției și al câștigului. Menționat în Sfintele Scripturi de evangheliștii Matei și Luca: „Nimeni nu poate sluji la doi stăpâni, căci ori îi va urî pe unul și pe celălalt”.

Când este Paștele Ortodox în 2049?
În 2015, Paștele Ortodox va fi pe 12 aprilie, iar Paștele Catolic va fi pe 5 aprilie. Calendarele bisericești dau datele Paștelui ortodox conform calendarului iulian (stil vechi), în timp ce Paștele catolic este calculat conform calendarului gregorian modern (stil nou), astfel încât compararea datelor necesită un efort mental.

Ce este o rublă
Rubla este numele monedelor moderne ale Rusiei, Belarus (rubla belarusă), Transnistria (rubla transnistreană). Rubla rusă este folosită și în Osetia de Sud și Abhazia. În trecut - unitatea monetară a republicilor și principatelor ruse, Marele Ducat al Moscovei, țarul rus, Marele Ducat al Lituaniei, Imperiul Rus și diverse

Cât timp a stat Ariel Sharon în comă?
Ariel Arik Sharon (Sheinerman) - militar, politic și om de stat israelian, prim-ministru al Israelului din 2001 până în 2006. Data nașterii: 26 februarie 1928 Locul nașterii: Așezarea Kfar Malal lângă Kfar Sava, Israel Data morții: 11 ianuarie 2014 Locul morții: Ramat Gan, Gush Dan, Iz

Cine erau oamenii de Neanderthal
Neanderthal, omul de Neanderthal (lat. Homo neanderthalensis sau Homo sapiens neanderthalensis) este o specie fosilă de oameni care au trăit acum 300-24 de mii de ani. Originea numelui Se crede că craniul de Neanderthal a fost găsit pentru prima dată în 1856

Câți ani are Geoffrey Rush
Geoffrey Rush este un actor de film și scenă australian. Câștigător al Oscarului (1997), BAFTA (1996, 1999), Globului de Aur (1997, 2005). Cele mai cunoscute filme cu participarea sa sunt „Shine”.

Cum se determină intervalele de convexitate și concavitate ale unui grafic al funcției
Ce este un extremum al unei funcții și care este condiția necesară pentru un extremum? Extremul unei funcții este maximul și minimul funcției. Condiția necesară pentru maximul și minimul (extremul) unei funcții este următoarea: dacă funcția f(x) are un extrem în punctul x = a, atunci în acest punct derivata este fie zero, fie infinită, fie nu nu exista. Această condiție este necesară, dar nu suficientă. Derivată în t