органи

Каква е стандартната форма на полином. Как се решават полиноми. Стандартна форма на полином

След като изучаваме мономи, преминаваме към полиноми. Тази статия ще ви разкаже за цялата необходима информация, необходима за извършване на действия върху тях. Ще дефинираме полином със съпътстващи дефиниции на член на полином, тоест свободен и подобен, ще разгледаме полином със стандартна форма, ще въведем степен и ще се научим как да я намираме и ще работим с нейните коефициенти.

Полином и неговите термини - определения и примери

Дефиницията на полином е дадена в 7 клас след изучаване на мономи. Нека да разгледаме пълното му определение.

Определение 1

ПолиномИзчислява се сумата от мономи, а самият моном е частен случай на полином.

От определението следва, че примерите за полиноми могат да бъдат различни: 5 , 0 , − 1 , х, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z и т.н. От дефиницията имаме това 1+x, a 2 + b 2 и изразът x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x са полиноми.

Нека да разгледаме още някои определения.

Определение 2

Членове на полиномасъставните му мономи се наричат.

Да разгледаме пример, при който имаме полином 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3, състоящ се от 4 члена: 3 x 4, − 2 x y, 3 и − y 3. Такъв моном може да се счита за полином, който се състои от един член.

Определение 3

Полиномите, които съдържат 2, 3 тринома, имат съответното име - биномИ тричлен.

От това следва, че израз на формата x+y– е бином, а изразът 2 x 3 q − q x x x + 7 b е тричлен.

Според училищната програма работихме с линеен бином от вида a · x + b, където a и b са някои числа, а x е променлива. Нека разгледаме примери за линейни биноми от вида: x + 1, x · 7, 2 − 4 с примери за квадратни триноми x 2 + 3 · x − 5 и 2 5 · x 2 - 3 x + 11.

За трансформиране и решаване е необходимо да се намерят и въведат подобни термини. Например полином от формата 1 + 5 x − 3 + y + 2 x има подобни членове 1 и - 3, 5 x и 2 x. Те са разделени на специална група, наречена подобни членове на полинома.

Определение 4

Подобни членове на полиномса подобни термини, открити в полином.

В примера по-горе имаме, че 1 и - 3, 5 x и 2 x са подобни членове на полинома или подобни членове. За да опростите израза, намерете и редуцирайте подобни членове.

Полином със стандартна форма

Всички мономи и полиноми имат свои специфични имена.

Определение 5

Полином със стандартна формасе нарича полином, в който всеки член, включен в него, има моном със стандартна форма и не съдържа подобни членове.

От дефиницията става ясно, че е възможно да се редуцират полиноми от стандартната форма, например 3 x 2 − x y + 1 и __формула__, а записът е в стандартна форма. Изразите 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z и 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z не са полиноми от стандартна форма, тъй като първият от тях има подобни членове в форма 3 · x 2 и − x 2, а вторият съдържа моном от формата x · y 3 · x · z 2, който се различава от стандартния полином.

Ако обстоятелствата го изискват, понякога полиномът се редуцира до стандартна форма. Концепцията за свободен член на полином също се счита за полином със стандартна форма.

Определение 6

Свободен член на полиноме полином със стандартна форма, който няма буквална част.

С други думи, когато полином в стандартна форма има число, той се нарича свободен член. Тогава числото 5 е свободният член на многочлена x 2 z + 5, а полиномът 7 a + 4 a b + b 3 няма свободен член.

Степен на полином - как да го намерим?

Самата дефиниция на степента на полином се основава на дефиницията на полином със стандартна форма и на степените на мономите, които са негови компоненти.

Определение 7

Степен на полином от стандартна формасе нарича най-голямата от степените, включени в неговата нотация.

Нека разгледаме един пример. Степента на многочлена 5 x 3 − 4 е равна на 3, тъй като мономите, включени в неговия състав, имат степени 3 и 0, а по-големият от тях е съответно 3. Дефиницията на степента от полинома 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x е равна на най-голямото от числата, тоест 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 и 1, което означава 5 .

Необходимо е да се разбере как се намира самата степен.

Определение 8

Степен на полином от произволно числое степента на съответния полином в стандартна форма.

Когато полиномът не е записан в стандартна форма, но трябва да намерите степента му, трябва да го намалите до стандартната форма и след това да намерите необходимата степен.

Пример 1

Намерете степента на полином 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Решение

Първо, нека представим полинома в стандартна форма. Получаваме израз на формата:

3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · в) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

При получаване на полином със стандартна форма откриваме, че два от тях се открояват ясно - 2 · a 2 · b 2 · c 2 и y 2 · z 2 . За да намерим градусите, преброяваме и откриваме, че 2 + 2 + 2 = 6 и 2 + 2 = 4. Вижда се, че най-големият от тях е 6. От дефиницията следва, че 6 е степента на полинома − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 и следователно първоначалната стойност.

Отговор: 6 .

Коефициенти на полиномни членове

Определение 9

Когато всички членове на полином са мономи от стандартната форма, тогава в този случай те имат името коефициенти на полиномни членове.С други думи, те могат да бъдат наречени коефициенти на полинома.

При разглеждане на примера е ясно, че полином от формата 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 съдържа 4 полинома: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x и 7 със съответните им коефициенти 2, − 0, 5, 3 и 7. Това означава, че 2, − 0, 5, 3 и 7 се считат за коефициенти на членовете на даден полином от формата 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7. Когато конвертирате, е важно да обърнете внимание на коефициентите пред променливите.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Полиномът е сборът от мономи. Ако всички членове на полином са записани в стандартна форма (вижте параграф 51) и подобни членове се редуцират, ще получите полином със стандартна форма.

Всеки израз на цяло число може да бъде преобразуван в полином със стандартна форма - това е целта на трансформациите (опростяванията) на изрази на цели числа.

Нека да разгледаме примери, в които цял израз трябва да бъде намален до стандартната форма на полином.

Решение. Първо, нека приведем членовете на полинома в стандартна форма. Получаваме След привеждане на подобни условия, получаваме полином от стандартната форма

Решение. Ако има знак плюс пред скобите, скобите могат да бъдат пропуснати, като се запазят знаците на всички термини, затворени в скоби. Използвайки това правило за отваряне на скоби, получаваме:

Решение. Ако има „минус“ пред скобите, тогава скобите могат да бъдат пропуснати чрез промяна на знаците на всички термини, затворени в скобите. Използвайки това правило за скриване на скоби, получаваме:

Решение. Произведението на моном и полином, според закона на разпределението, е равно на сумата от продуктите на този моном и всеки член на полинома. Получаваме

Решение. Ние имаме

Остава да дадем подобни термини (те са подчертани). Получаваме:

53. Формули за съкратено умножение.

В някои случаи привеждането на цял израз в стандартната форма на полином се извършва с помощта на идентичностите:

Тези идентичности се наричат формули за съкратено умножение,

Нека да разгледаме примери, в които трябва да преобразувате даден израз в стандартна форма myogochlea.

Пример 1. .

Решение. Използвайки формула (1), получаваме:

Пример 2. .

Решение.

Пример 3. .

Решение. Използвайки формула (3), получаваме:

Пример 4.

Решение. Използвайки формула (4), получаваме:

54. Факторизиране на полиноми.

Понякога можете да трансформирате полином в произведение на няколко фактора - полиноми или субноми. Такава трансформация на идентичност се нарича факторизация на полинома. В този случай се казва, че полиномът се дели на всеки от тези множители.

Нека да разгледаме някои начини за разлагане на полиноми,

1) Изваждане на общия множител извън скоби. Тази трансформация е пряко следствие от закона за разпределение (за по-голяма яснота, просто трябва да пренапишете този закон „отдясно наляво“):

Пример 1: Факторизиране на полином

Решение. .

Обикновено, когато общият множител се изважда извън скоби, всяка променлива, включена във всички членове на полинома, се изважда с най-малкия индикатор, който има в този полином. Ако всички коефициенти на полинома са цели числа, тогава за коефициент на общия множител се приема най-големият абсолютен общ делител на всички коефициенти на полинома.

2) Използване на формули за съкратено умножение. Формули (1) - (7) от параграф 53, прочетени отдясно наляво, в много случаи се оказват полезни за разлагане на полиноми.

Пример 2: Фактор .

Решение. Ние имаме. Прилагайки формула (1) (разлика на квадратите), получаваме . Чрез кандидатстване

Сега формули (4) и (5) (сума от кубове, разлика от кубове), получаваме:

Пример 3. .

Решение. Първо, нека извадим общия множител от скобата. За да направим това, ще намерим най-големия общ делител на коефициентите 4, 16, 16 и най-малките показатели, с които променливите a и b се включват в съставните мономи на този полином. Получаваме:

3) Метод на групиране. Основава се на факта, че комутативните и асоциативните закони на събиране позволяват членовете на полином да бъдат групирани по различни начини. Понякога е възможно групиране по такъв начин, че след изваждане на общите множители извън скоби, същият полином остава в скоби във всяка група, който от своя страна, като общ множител, може да бъде изваден извън скоби. Нека да разгледаме примери за разлагане на многочлен.

Пример 4. .

Решение. Нека направим групирането по следния начин:

В първата група нека извадим общия множител от скобите във втората - общия множител 5. Получаваме Сега поставяме полинома като общ множител извън скобите: Така получаваме:

Пример 5.

Решение. .

Пример 6.

Решение. Тук никакво групиране няма да доведе до появата на един и същ полином във всички групи. В такива случаи понякога е полезно да представите член на полинома като сума и след това да опитате отново метода на групиране. В нашия пример е препоръчително да го представим като сума

Пример 7.

Решение. Събираме и изваждаме моном Получаваме

55. Полиноми на една променлива.

Полином, където a, b са променливи числа, се нарича полином от първа степен; полином, където a, b, c са променливи числа, наречен полином от втора степен или квадратен трином; полином, където a, b, c, d са числа, променливата се нарича полином от трета степен.

Като цяло, ако o е променлива, то е полином

наречена lsmogochnolenol степен (спрямо x); , m-членове на полинома, коефициенти, водещият член на полинома, a е коефициентът на водещия член, свободният член на полинома. Обикновено полиномът се записва в низходящи степени на променлива, т.е. степените на променлива постепенно намаляват, по-специално водещият член е на първо място, а свободният член е на последно място. Степента на полином е степента на най-високия член.

Например, полином от пета степен, в който водещият член, 1, е свободният член на полинома.

Коренът на полином е стойността, при която полиномът изчезва. Например, числото 2 е корен на полином, тъй като

При изучаването на темата за полиномите си струва да се спомене отделно, че полиномите се срещат както в стандартни, така и в нестандартни форми. В този случай полином от нестандартна форма може да бъде редуциран до стандартна форма. Всъщност този въпрос ще бъде обсъден в тази статия. Нека подсилим обясненията с примери с подробно описание стъпка по стъпка.

Значението на редуцирането на полином до стандартна форма

Нека се задълбочим малко в самата концепция, действието - „привеждане на полином в стандартна форма“.

Полиномите, както всички други изрази, могат да бъдат трансформирани идентично. В резултат на това в този случай получаваме изрази, които са идентично равни на оригиналния израз.

Определение 1

Редуцирайте полинома до стандартна форма– означава заместване на оригиналния полином с равен полином със стандартна форма, получен от оригиналния полином чрез идентични трансформации.

Метод за редуциране на полином до стандартна форма

Нека спекулираме по темата какви точно трансформации на идентичност ще доведат полинома до стандартната форма.

Определение 2

Според дефиницията всеки полином от стандартна форма се състои от мономи от стандартна форма и не съдържа подобни членове. Полином с нестандартна форма може да включва мономи с нестандартна форма и подобни членове. От горното естествено се извежда правило за това как да се редуцира полином до стандартна форма:

първо, мономите, които съставляват даден полином, се редуцират до стандартна форма;
след това се извършва намаляването на подобни членове.

Примери и решения

Нека разгледаме подробно примери, в които редуцираме полинома до стандартна форма. Ще следваме правилото, изведено по-горе.

Обърнете внимание, че понякога условията на полином в началното състояние вече имат стандартна форма и всичко, което остава, е да се доведат подобни членове. Случва се след първата стъпка от действия да няма такива условия, тогава пропускаме втората стъпка. В общите случаи е необходимо да се извършат и двете действия от горното правило.

Пример 1

Дадени са полиноми:

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 ,

0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5,

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Необходимо е да ги доведете до стандартна форма.

Решение

Нека първо разгледаме полинома 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 : неговите членове имат стандартна форма, няма подобни термини, което означава, че полиномът е посочен в стандартна форма и не са необходими допълнителни действия.

Сега нека да разгледаме полинома 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5. Той включва нестандартни мономи: 2 · a 3 · 0, 6 и − b · a · b 4 · b 5, т.е. трябва да приведем полинома в стандартна форма, за което първата стъпка е да трансформираме мономите в стандартна форма:

2 a 3 0, 6 = 1, 2 a 3;

− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10 , като по този начин получаваме следния полином:

0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · a 3 − a · b 10.

В получения полином всички членове са стандартни, няма подобни членове, което означава, че нашите действия за привеждане на полинома в стандартна форма са завършени.

Помислете за третия даден многочлен: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8

Нека приведем членовете му в стандартна форма и да получим:

2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Виждаме, че полиномът съдържа подобни членове, нека донесем подобни членове:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1

Така даденият многочлен 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 приема стандартната форма − x y + 1 .

Отговор:

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1- полиномът е зададен като стандартен;

0, 8 + 2 a 3 0, 6 − b a b 4 b 5 = 0, 8 + 1, 2 a 3 − a b 10;

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .

В много задачи действието за редуциране на полином до стандартна форма е междинно при търсене на отговор на даден въпрос. Нека разгледаме този пример.

Пример 2

Даден е многочленът 11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0. 5 · z 2 + z 3 . Необходимо е да се доведе до стандартен вид, да се посочи степента му и да се подредят членовете на даден полином в низходящи степени на променливата.

Решение

Нека намалим членовете на дадения полином до стандартната форма:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z 2 + z 3 .

Следващата стъпка е да представите подобни условия:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2

Получихме полином със стандартна форма, което ни позволява да обозначим степента на полинома (равна на най-високата степен на съставните му мономи). Очевидно необходимата степен е 5.

Остава само да подредим членовете в намаляващи степени на променливите. За тази цел просто пренареждаме членовете в получения полином със стандартна форма, като вземаме предвид изискването. Така получаваме:

z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .

Отговор:

11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0, 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2, докато степента на полиномът - 5 ; в резултат на подреждането на членовете на полинома в намаляващи степени на променливите, полиномът ще приеме формата: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Ключови думи на резюмето: Полином, стандартна форма на полином, членове на полином, полиноми, нулев полином, степен на полином, редукция на подобни членове, водещ коефициент, свободен член на полином.

Изразяване 5a 2 b – 3ab – 4a 3 + 7 представлява сумата от мономи 5a 2 b, –5ab, –4a 3 и 7 . Такива изрази се наричат полиноми.

✅ Определение. Полиномът е сборът от мономи.

Мономите, от които е съставен полином, се наричат членове на полинома . Например членовете на полинома x 3 y – 4x 2 + 9 са мономи на x 3 y, – 4x 2 и 9.

Нарича се полином, състоящ се от два члена бином , а полином, състоящ се от три члена е тричлен . Моном се счита за полином, състоящ се от един член. Понякога се наричат полиноми полиноми и биноми - биноми (от гръцките думи "poly" - "много", "nomos" - "член, част" и латинските "bi" - "два, два пъти").

Познавайки стойностите на променливите, включени в полинома, можете да изчислите стойността на полинома.

Пример 1.Нека намерим стойността на полинома –0,3x 2 y – x 3 + 7y при x = –0,2, y = –1 .
Ние имаме:
–0,3x 2 y – x 3 +7y = –0,3 (–0,2) 2 (–1) – (–0,2) 3 + 7 (–1) = 0,012 + 0,008 – 7 = –6 ,98.

Стандартна форма на полином

В полином 13x 2 y + 4 + 8xy – 6x 2 y – 9 първият и четвъртият термин имат една и съща буквена част. Членове на полином, които имат една и съща буквена част, се наричат подобни членове. Термините, които нямат буквена част, също се считат за подобни термини.

Сумата от подобни членове на полином може да бъде заменена с моном. Такава идентична трансформация се нарича редукция на подобни членове или привеждане на подобни условия. Намаляването на такива членове се основава на комутативните и комбинативните свойства на събирането и разпределителното свойство на умножението.

Пример 2. Нека представим подобни членове на полинома 13x 2 y + 4 + 8xy – 6x 2 y – 9.
Ние имаме:
13x 2 y + 4 + 8xy – 6x 2 y – 9 = (13x 2 y – 6x 2 y) + 8xy + (4 – 9) = (13 – 6)x 2 y + 8xy – 5 = 7x 2 y + 8xy - 5.

В полином 7x 2 y + 8xy – 5 всеки термин е моном със стандартна форма и няма подобни термини сред тях. Такива полиноми се наричат полиноми със стандартна форма.

Да разгледаме полином със стандартна форма За 3 – 5a 3 b 2 + 7 . Неговите членове са мономи от трета, пета и нулева степен. Най-голямата от тези степени се нарича степен на полинома. Така този полином е полином от пета степен.

Степен на полиномстандартната форма е най-голямата от степените на включените в нея мономи. Степента на произволен полином е степента на идентично равен полином със стандартна форма.

Пример 3. Нека определим степента на полинома a 6 + 2a 2 b – a 6 + 1 .
За да направим това, намаляваме полинома до стандартна форма: a 6 + 2a 2 b – a 6 + 1 = 2a 2 b + 1 .
Степента на получения полином е три. Това означава, че степента на дадения полином е равна на три.

Ако полиномът е ненулево число, тогава степента на такъв полином е 0. Числото нула се нарича нулев полином . Степента му се счита за несигурна.

Сред полиномите се разграничават полиноми с една променлива. Полином от n-та степен с една променлива в стандартна форма се записва, както следва: a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ... + a n-2 x 2 + a n-1 x + a n, Където х- променлива, a 0, a 1 a 2, …, a n-1, a n- произволни числа, n ∈ N или n = 0. Коефициент при x nНаречен старши коефициент (в нашия случай това е 0). Извиква се термин, който не съдържа променливата x безплатен член полином (в нашия случай това е n). Например водещият коефициент на полинома x 4 + 2x 3 – x 2 + 3x е равно на 1 и фиктивният член е нула.

Обърнете внимание, че стойността на полином с променлива x при x = 0 е равна на свободния член на този полином, а при x = 1 - на сумата от неговите коефициенти.

Това е обобщение по математика по темата. Изберете следващите стъпки:

Отидете на следващото резюме:

Казахме, че има както стандартни, така и нестандартни полиноми. Там отбелязахме, че всеки може привеждане на полинома в стандартна форма. В тази статия първо ще разберем какво значение носи тази фраза. След това изброяваме стъпките за преобразуване на всеки полином в стандартна форма. И накрая, нека разгледаме решенията на типични примери. Ще опишем решенията много подробно, за да разберем всички нюанси, които възникват при редуцирането на полиномите до стандартна форма.

Навигация в страницата.

Какво означава да се редуцира полином до стандартна форма?

Първо трябва ясно да разберете какво се има предвид под редуциране на полином до стандартна форма. Нека разберем това.

Полиномите, както всички други изрази, могат да бъдат подложени на идентични трансформации. В резултат на извършването на такива трансформации се получават изрази, идентично равни на оригиналния израз. По този начин извършването на определени трансформации с полиноми с нестандартна форма позволява да се премине към полиноми, които са идентично равни на тях, но записани в стандартна форма. Този преход се нарича редуциране на полинома до стандартна форма.

Така, редуцирайте полинома до стандартна форма- това означава замяна на оригиналния полином с идентично равен полином със стандартна форма, получен от оригиналния чрез извършване на идентични трансформации.

Как да редуцирам полином до стандартна форма?

Нека помислим какви трансформации ще ни помогнат да доведем полинома до стандартна форма. Ще започнем от дефиницията на полином със стандартна форма.

По дефиниция всеки член на полином от стандартна форма е моном от стандартна форма, а полином от стандартна форма не съдържа подобни членове. От своя страна полиномите, записани във форма, различна от стандартната, могат да се състоят от мономи в нестандартна форма и могат да съдържат подобни членове. Това логично следва следното правило, което обяснява как да редуцирам полином до стандартна форма:

първо трябва да приведете мономите, които съставят оригиналния полином, в стандартна форма,
след това извършете редукция на подобни термини.

В резултат на това ще се получи полином със стандартна форма, тъй като всичките му членове ще бъдат записани в стандартна форма и няма да съдържа подобни термини.

Примери, решения

Нека да разгледаме примери за редуциране на полиноми до стандартна форма. При решаването ще следваме стъпките, продиктувани от правилото от предходния параграф.

Тук отбелязваме, че понякога всички членове на полином се записват веднага в стандартна форма; в този случай е достатъчно просто да се дадат подобни условия. Понякога, след редуциране на условията на полином до стандартна форма, няма подобни условия, следователно етапът на привеждане на подобни условия се пропуска в този случай. Като цяло трябва да направите и двете.

Пример.

Представете полиномите в стандартна форма: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5И .

Решение.

Всички членове на полинома 5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 са записани в стандартна форма; той няма подобни членове, следователно този полином вече е представен в стандартна форма.

Да преминем към следващия полином 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. Формата му не е стандартна, както се вижда от членовете 2·a 3 ·0,6 и −b·a·b 4 ·b 5 на нестандартна форма. Нека го представим в стандартна форма.

На първия етап от привеждането на оригиналния полином в стандартна форма, трябва да представим всичките му членове в стандартна форма. Следователно редуцираме монома 2·a 3 ·0.6 до стандартен вид, имаме 2·a 3 ·0.6=1.2·a 3 , след което вземаме монома −b·a·b 4 ·b 5 , имаме −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. По този начин, . В получения полином всички членове са записани в стандартен вид, освен това е очевидно, че в него няма подобни членове. Следователно, това завършва редуцирането на оригиналния полином до стандартна форма.

Остава да представим последния от дадените полиноми в стандартен вид. След привеждане на всички негови членове в стандартна форма, той ще бъде написан като . Има подобни членове, така че трябва да зададете подобни членове:

Така че първоначалният полином приема стандартната форма −x·y+1.

Отговор:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – вече в стандартна форма, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 −a b 10, .

Често привеждането на полином в стандартна форма е само междинна стъпка в отговора на поставения въпрос на проблема. Например намирането на степента на полином изисква предварителното му представяне в стандартна форма.

Пример.

Дайте полином към стандартния формуляр, посочете неговата степен и подредете членовете в низходящи степени на променливата.

Решение.

Първо, привеждаме всички членове на полинома в стандартна форма: .

Сега представяме подобни условия:

Така че приведохме оригиналния полином до стандартна форма, това ни позволява да определим степента на полинома, която е равна на най-високата степен на мономите, включени в него. Очевидно е равно на 5.

Остава да подредим членовете на полинома в намаляващи степени на променливите. За да направите това, просто трябва да пренаредите членовете в получения полином със стандартна форма, като вземете предвид изискването. Членът z 5 има най-високата степен; степените на членовете , −0,5·z 2 и 11 са равни съответно на 3, 2 и 0. Следователно, полином с членове, подредени в намаляващи степени на променливата, ще има формата .

Отговор:

Степента на полинома е 5 и след подреждане на членовете му в низходящи степени на променливата, той приема формата .

Библиография.

Алгебра:учебник за 7 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 17-то изд. - М.: Образование, 2008. - 240 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Мордкович А. Г.Алгебра. 7 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 17-то изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
Алгебраи началото на математическия анализ. 10. клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; редактиран от А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М .: Образование, 2010.- 368 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.