Лечение

Коя е най-голямата стойност на функция. Как да намерите най-голямата и най-малката стойност на функция на интервал

На практика е доста обичайно да се използва производната, за да се изчисли най-голямата и най-малката стойност на функция. Извършваме това действие, когато разберем как да минимизираме разходите, да увеличим печалбите, да изчислим оптималното натоварване на производството и т.н., т.е. в случаите, когато трябва да определим оптималната стойност на даден параметър. За да разрешите правилно такива проблеми, трябва да имате добро разбиране за това кои са най-големите и най-малките стойности на дадена функция.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Обикновено ние дефинираме тези стойности в рамките на определен интервал x, който от своя страна може да съответства на цялата област на функцията или част от нея. Може да бъде като сегмент [a; b ] , и отворен интервал (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), безкраен интервал (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) или безкраен интервал - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

В този материал ще ви кажем как да изчислите най-голямата и най-малката стойност на изрично дефинирана функция с една променлива y=f(x) y = f (x) .

Основни определения

Нека започнем, както винаги, с формулирането на основните определения.

Определение 1

Най-голямата стойност на функцията y = f (x) на определен интервал x е стойността m a x y = f (x 0) x ∈ X, която за всяка стойност x x ∈ X, x ≠ x 0 прави неравенството f (x) ≤ f (x) валидно 0) .

Определение 2

Най-малката стойност на функцията y = f (x) на определен интервал x е стойността m i n x ∈ X y = f (x 0) , което за всяка стойност x ∈ X, x ≠ x 0 прави неравенството f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Тези определения са съвсем очевидни. Още по-просто можем да кажем следното: най-голямата стойност на функция е нейната най-голяма стойност на известен интервал при абсцисата x 0, а най-малката е най-малката приета стойност на същия интервал при x 0.

Определение 3

Стационарни точки са онези стойности на аргумента на функция, при които нейната производна става 0.

Защо трябва да знаем какво представляват неподвижните точки? За да отговорим на този въпрос, трябва да си спомним теоремата на Ферма. От това следва, че стационарна точка е точката, в която се намира екстремумът на диференцируемата функция (т.е. нейният локален минимум или максимум). Следователно функцията ще вземе най-малката или най-голямата стойност на определен интервал точно в една от стационарните точки.

Една функция може също да приеме най-голямата или най-малката стойност в онези точки, в които самата функция е дефинирана и нейната първа производна не съществува.

Първият въпрос, който възниква при изучаването на тази тема: във всички случаи можем ли да определим най-голямата или най-малката стойност на функция на даден интервал? Не, не можем да направим това, когато границите на даден интервал съвпадат с границите на дефиниционната област или ако имаме работа с безкраен интервал. Също така се случва функция в даден сегмент или в безкрайност да приема безкрайно малки или безкрайно големи стойности. В тези случаи не е възможно да се определи най-голямата и/или най-малката стойност.

Тези точки ще станат по-ясни, след като бъдат изобразени на графиките:

Първата фигура ни показва функция, която приема най-големите и най-малките стойности (m a x y и m i n y) в стационарни точки, разположени на сегмента [ - 6 ; 6].

Нека разгледаме подробно случая, посочен във втората графика. Нека променим стойността на сегмента на [ 1 ; 6 ] и намираме, че максималната стойност на функцията ще бъде постигната в точката с абсцисата на дясната граница на интервала, а минималната – в стационарната точка.

На третата фигура абсцисите на точките представляват граничните точки на отсечката [ - 3 ; 2]. Те съответстват на най-голямата и най-малката стойност на дадена функция.

Сега нека да разгледаме четвъртата снимка. В него функцията приема m a x y (най-голямата стойност) и m i n y (най-малката стойност) в стационарни точки на отворения интервал (- 6; 6).

Ако вземем интервала [ 1 ; 6), тогава можем да кажем, че най-малката стойност на функцията върху него ще бъде постигната в стационарна точка. Най-голямата стойност ще бъде непозната за нас. Функцията може да приеме максималната си стойност при x равно на 6, ако x = 6 принадлежи на интервала. Точно такъв е случаят, показан на графика 5.

В графика 6 тази функция придобива най-малката си стойност на дясната граница на интервала (- 3; 2 ] и не можем да направим категорични заключения за най-голямата стойност.

На фигура 7 виждаме, че функцията ще има m a x y в неподвижна точка с абциса, равна на 1. Функцията ще достигне минималната си стойност на границата на интервала c правилната страна. При минус безкрайност стойностите на функцията асимптотично ще се доближат до y = 3.

Ако вземем интервала x ∈ 2 ; + ∞ , тогава ще видим, че дадената функция няма да приеме нито най-малката, нито най-голямата стойност върху нея. Ако x клони към 2, тогава стойностите на функцията ще клонят към минус безкрайност, тъй като правата x = 2 е вертикална асимптота. Ако абсцисата клони към плюс безкрайност, тогава стойностите на функцията асимптотично ще се доближат до y = 3. Това е точно случаят, показан на фигура 8.

В този параграф ще представим последователността от действия, които трябва да се извършат, за да се намери най-голямата или най-малката стойност на функция на определен сегмент.

Първо, нека намерим домейна на дефиниция на функцията. Нека проверим дали посоченият в условието сегмент е включен в него.
Сега нека изчислим точките, съдържащи се в този сегмент, в които първата производна не съществува. Най-често те могат да бъдат намерени във функции, чийто аргумент е записан под знака на модула, или в степенни функции, чийто показател е дробно рационално число.
След това ще разберем кои стационарни точки ще попаднат в дадения сегмент. За да направите това, трябва да изчислите производната на функцията, след това да я приравните към 0 и да решите полученото уравнение и след това да изберете подходящите корени. Ако не получим нито една неподвижна точка или те не попадат в дадения сегмент, тогава преминаваме към следващата стъпка.
Определяме какви стойности ще приеме функцията в дадени стационарни точки (ако има такива) или в тези точки, в които първата производна не съществува (ако има такива), или изчисляваме стойностите за x = a и x = b.
5. Имаме редица стойности на функцията, от които сега трябва да изберем най-голямата и най-малката. Това ще бъдат най-голямата и най-малката стойност на функцията, която трябва да намерим.

Нека видим как правилно да прилагаме този алгоритъм при решаване на задачи.

Пример 1

Състояние:дадена е функцията y = x 3 + 4 x 2. Определете неговите най-големи и най-малки стойности на сегментите [ 1 ; 4] и [-4; - 1 ] .

Решение:

Нека започнем с намиране на домейна на дефиниция на дадена функция. В този случай това ще бъде множеството от всички реални числа с изключение на 0. С други думи, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞. И двата сегмента, посочени в условието, ще бъдат вътре в зоната за дефиниране.

Сега изчисляваме производната на функцията според правилото за диференциране на дроби:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 х 3

Научихме, че производната на функция ще съществува във всички точки на отсечките [ 1 ; 4] и [-4; - 1 ] .

Сега трябва да определим стационарните точки на функцията. Нека направим това с помощта на уравнението x 3 - 8 x 3 = 0. Има само един истински корен, който е 2. Тя ще бъде стационарна точка на функцията и ще попада в първия сегмент [1; 4 ] .

Нека изчислим стойностите на функцията в краищата на първия сегмент и в тази точка, т.е. за x = 1, x = 2 и x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Установихме, че най-голямата стойност на функцията m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 ще бъде постигнато при x = 1, а най-малкото m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – при x = 2.

Вторият сегмент не включва нито една стационарна точка, така че трябва да изчислим стойностите на функцията само в краищата на дадения сегмент:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Това означава m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Отговор:За сегмента [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , за отсечката [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Вижте снимката:

Преди да изучавате този метод, ви съветваме да прегледате как правилно да изчислите едностранната граница и границата в безкрайност, както и да научите основните методи за намирането им. За да намерите най-голямата и/или най-малката стойност на функция в отворен или безкраен интервал, изпълнете следните стъпки последователно.

Първо трябва да проверите дали дадения интервал е подмножество от областта на дефиниране на тази функция.
Нека определим всички точки, които се съдържат в търсения интервал и в които първата производна не съществува. Те обикновено се появяват за функции, при които аргументът е ограден в знака за модул, и за степенни функции с частично рационален показател. Ако тези точки липсват, можете да продължите към следващата стъпка.
Сега нека определим кои неподвижни точки ще попаднат в дадения интервал. Първо приравняваме производната на 0, решаваме уравнението и избираме подходящи корени. Ако нямаме нито една стационарна точка или те не попадат в посочения интервал, тогава незабавно пристъпваме към по-нататъшни действия. Те се определят от вида на интервала.

Ако интервалът е във формата [ a ; b) , тогава трябва да изчислим стойността на функцията в точката x = a и едностранната граница lim x → b - 0 f (x) .
Ако интервалът има формата (a; b ], тогава трябва да изчислим стойността на функцията в точката x = b и едностранната граница lim x → a + 0 f (x).
Ако интервалът има формата (a; b), тогава трябва да изчислим едностранните граници lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
Ако интервалът е във формата [ a ; + ∞), тогава трябва да изчислим стойността в точката x = a и границата при плюс безкрайност lim x → + ∞ f (x) .
Ако интервалът изглежда като (- ∞ ; b ] , изчисляваме стойността в точката x = b и границата при минус безкрайност lim x → - ∞ f (x) .
Ако - ∞ ; b , тогава разглеждаме едностранната граница lim x → b - 0 f (x) и границата при минус безкрайност lim x → - ∞ f (x)
Ако - ∞; + ∞ , тогава разглеждаме границите на минус и плюс безкрайност lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

В крайна сметка трябва да направите заключение въз основа на получените стойности и граници на функцията. Тук има много опции. Така че, ако едностранната граница е равна на минус безкрайност или плюс безкрайност, тогава веднага става ясно, че нищо не може да се каже за най-малките и най-големите стойности на функцията. По-долу ще разгледаме един типичен пример. Подробните описания ще ви помогнат да разберете какво е какво. Ако е необходимо, можете да се върнете към фигури 4 - 8 в първата част на материала.

Пример 2

Условие: дадена функция y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Изчислете най-голямата и най-малката му стойност в интервалите - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞).

Решение

Първо, намираме областта на дефиниция на функцията. Знаменателят на дробта съдържа квадратен тричлен, който не трябва да се превръща в 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Получихме областта на дефиниране на функцията, към която принадлежат всички интервали, посочени в условието.

Сега нека разграничим функцията и да получим:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Следователно, производни на функция съществуват в цялата й област на дефиниция.

Нека да преминем към намирането на неподвижни точки. Производната на функцията става 0 при x = - 1 2 . Това е неподвижна точка, която лежи в интервалите (- 3 ; 1 ] и (- 3 ; 2) .

Нека изчислим стойността на функцията при x = - 4 за интервала (- ∞ ; - 4 ], както и границата при минус безкрайност:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Тъй като 3 e 1 6 - 4 > - 1, това означава, че m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Това не ни позволява еднозначно да определим най-малката стойност на може да се заключи само, че има ограничение под - 1, тъй като функцията се приближава асимптотично при минус безкрайност.

Особеността на втория интервал е, че в него няма нито една стационарна точка и нито една строга граница. Следователно няма да можем да изчислим нито най-голямата, нито най-малката стойност на функцията. След като дефинирахме границата при минус безкрайност и тъй като аргументът клони към -3 от лявата страна, получаваме само интервал от стойности:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Това означава, че стойностите на функцията ще бъдат разположени в интервала - 1; +∞

За да намерим най-голямата стойност на функцията в третия интервал, определяме нейната стойност в стационарната точка x = - 1 2, ако x = 1. Ще трябва също да знаем едностранната граница за случая, когато аргументът клони към - 3 от дясната страна:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Оказа се, че функцията ще приеме най-голяма стойност в стационарна точка m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Колкото до най-малката стойност, не можем да я определим. Всичко, което знаем , е наличието на долна граница до - 4 .

За интервала (- 3 ; 2) вземете резултатите от предишното изчисление и отново изчислете на какво е равно едностранното ограничение, когато клоните към 2 от лявата страна:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Това означава, че m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 и най-малката стойност не може да бъде определена, а стойностите на функцията са ограничени отдолу с числото - 4 .

Въз основа на това, което получихме в двете предишни изчисления, можем да кажем, че на интервала [ 1 ; 2) функцията ще приеме най-голямата стойност при x = 1, но е невъзможно да се намери най-малката.

На интервала (2 ; + ∞) функцията няма да достигне нито най-голямата, нито най-малката стойност, т.е. ще приема стойности от интервала - 1 ; + ∞.

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

След като изчислим на какво ще бъде равна стойността на функцията при x = 4, откриваме, че m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , и дадената функция при плюс безкрайност асимптотично ще се доближава до правата линия y = - 1 .

Нека сравним полученото при всяко изчисление с графиката на дадената функция. На фигурата асимптотите са показани с пунктирани линии.

Това е всичко, което искахме да ви кажем за намирането на най-голямата и най-малката стойност на функция. Последователността от действия, които дадохме, ще ви помогне да направите необходимите изчисления възможно най-бързо и лесно. Но не забравяйте, че често е полезно първо да разберете на кои интервали функцията ще намалява и на кои ще се увеличава, след което можете да направите допълнителни заключения. По този начин можете по-точно да определите най-големите и най-малките стойности на функцията и да обосновете получените резултати.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Изявление на проблем 2:

Дадена е функция, която е дефинирана и непрекъсната на определен интервал. Трябва да намерите най-голямата (най-малката) стойност на функцията на този интервал.

Теоретична основа.
Теорема (втора теорема на Вайерщрас):

Ако една функция е дефинирана и непрекъсната в затворен интервал, тогава тя достига своите максимални и минимални стойности в този интервал.

Функцията може да достигне своите най-големи и най-малки стойности или във вътрешните точки на интервала, или в неговите граници. Нека илюстрираме всички възможни варианти.

Обяснение:
1) Функцията достига най-голямата си стойност на лявата граница на интервала в точка , а минималната си стойност на дясната граница на интервала в точка .
2) Функцията достига най-голямата си стойност в точката (това е максималната точка), а минималната си стойност на дясната граница на интервала в точката.
3) Функцията достига максималната си стойност на лявата граница на интервала в точка , а минималната си стойност в точка (това е минималната точка).
4) Функцията е постоянна на интервала, т.е. тя достига своите минимални и максимални стойности във всяка точка от интервала, а минималните и максималните стойности са равни една на друга.
5) Функцията достига най-голямата си стойност в точка , а минималната си стойност в точка (въпреки факта, че функцията има както максимум, така и минимум на този интервал).
6) Функцията достига най-голямата си стойност в точка (това е максималната точка), а минималната си стойност в точка (това е минималната точка).
коментар:

„Максимум“ и „максимална стойност“ са различни неща. Това следва от определението за максимум и интуитивното разбиране на израза „максимална стойност“.

Алгоритъм за решаване на задача 2.

4) Изберете най-голямата (най-малката) от получените стойности и запишете отговора.

Пример 4:

Определете най-голямата и най-малката стойност на функция на сегмента.
Решение:
1) Намерете производната на функцията.

2) Намерете стационарни точки (и точки, предполагаеми екстремуми) чрез решаване на уравнението. Обърнете внимание на точките, в които няма двустранна крайна производна.

3) Изчислете стойностите на функцията в стационарни точки и в границите на интервала.

4) Изберете най-голямата (най-малката) от получените стойности и запишете отговора.

Функцията на този сегмент достига най-голямата си стойност в точката с координати .

Функцията на този сегмент достига минималната си стойност в точката с координати .

Можете да проверите правилността на изчисленията, като погледнете графиката на изследваната функция.

коментар:Функцията достига най-голямата си стойност в максималната точка, а минималната си на границата на отсечката.

Специален случай.

Да предположим, че трябва да намерите максималните и минималните стойности на някаква функция в сегмент. След завършване на първата точка от алгоритъма, т.е. изчислявайки производната, става ясно, че например тя приема само отрицателни стойности през целия разглеждан интервал. Не забравяйте, че ако производната е отрицателна, тогава функцията намалява. Установихме, че функцията намалява в целия сегмент. Тази ситуация е показана на графика No1 в началото на статията.

Функцията намалява на сегмента, т.е. няма крайни точки. От снимката можете да видите, че функцията ще вземе най-малката стойност на дясната граница на сегмента и най-голямата стойност на лявата. ако производната на сегмента е положителна навсякъде, тогава функцията нараства. Най-малката стойност е на лявата граница на сегмента, най-голямата е на дясната.

С тази услуга можете намиране на най-голямата и най-малката стойност на функцияедна променлива f(x) с решението, форматирано в Word. Следователно, ако е дадена функцията f(x,y), е необходимо да се намери екстремумът на функцията на две променливи. Можете също така да намерите интервалите на нарастващи и намаляващи функции.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

на сегмента [ ;]

Включете теория

Правила за въвеждане на функции:

Необходимо условие за екстремума на функция на една променлива

Уравнението f" 0 (x *) = 0 е необходимо условие за екстремума на функция на една променлива, т.е. в точка x * първата производна на функцията трябва да се нулира. То идентифицира стационарни точки x c, в които функцията не увеличаване или намаляване.

Достатъчно условие за екстремум на функция на една променлива

Нека f 0 (x) е два пъти диференцируем по отношение на x, принадлежащ на множеството D. Ако в точка x * условието е изпълнено:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Тогава точка x * е локалната (глобална) минимална точка на функцията.

Ако в точка x * условието е изпълнено:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Тогава точка x * е локален (глобален) максимум.

Пример №1. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията: на сегмента.
Решение.

Критичната точка е 1 x 1 = 2 (f’(x)=0). Тази точка принадлежи на сегмента. (Точката x=0 не е критична, тъй като 0∉).
Изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента и в критичната точка.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2, f(3)=3 8 / 81
Отговор: f min = 5 / 2 при x=2; f max =9 при x=1

Пример №2. Използвайки производни от по-висок порядък, намерете екстремума на функцията y=x-2sin(x) .
Решение.
Намерете производната на функцията: y’=1-2cos(x) . Нека намерим критичните точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Намираме y’’=2sin(x), изчисляваме , което означава x= π / 3 +2πk, k∈Z са минималните точки на функцията; , което означава x=- π / 3 +2πk, k∈Z са максималните точки на функцията.

Пример №3. Изследвайте функцията екстремум в околността на точката x=0.
Решение. Тук е необходимо да се намерят екстремумите на функцията. Ако екстремумът x=0, тогава разберете неговия тип (минимум или максимум). Ако сред намерените точки няма x = 0, тогава се изчислява стойността на функцията f(x=0).
Трябва да се отбележи, че когато производната от всяка страна на дадена точка не променя знака си, възможните ситуации не са изчерпани дори за диференцируеми функции: може да се случи, че за произволно малък квартал от едната страна на точката x 0 или от двете страни производната променя знака. В тези точки е необходимо да се използват други методи за изследване на екстремни функции.

Нека функцията $z=f(x,y)$ е дефинирана и непрекъсната в някаква ограничена затворена област $D$. Нека дадената функция в тази област има крайни частични производни от първи ред (освен, може би, за краен брой точки). За да се намерят най-големите и най-малките стойности на функция от две променливи в дадена затворена област, са необходими три стъпки от прост алгоритъм.

Алгоритъм за намиране на най-голямата и най-малката стойност на функцията $z=f(x,y)$ в затворена област $D$.

Намерете критичните точки на функцията $z=f(x,y)$, принадлежащи към областта $D$. Изчислете стойностите на функцията в критични точки.
Изследвайте поведението на функцията $z=f(x,y)$ на границата на област $D$, намирайки точките на възможните максимални и минимални стойности. Изчислете стойностите на функцията в получените точки.
От стойностите на функцията, получени в предишните два параграфа, изберете най-голямата и най-малката.

Какво представляват критичните точки? Покажи скрий

Под критични точкипредполагат точки, в които и двете частични производни от първи ред са равни на нула (т.е. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ и $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) или поне една частична производна не съществува.

Често се наричат точките, в които частните производни от първи ред са равни на нула стационарни точки. По този начин стационарните точки са подмножество от критични точки.

Пример №1

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията $z=x^2+2xy-y^2-4x$ в затворена област, ограничена от линиите $x=3$, $y=0$ и $y=x +1$.

Ще следваме горното, но първо ще се заемем с изчертаването на дадена област, която ще обозначим с буквата $D$. Дадени са ни уравненията на три прави линии, които ограничават тази област. Правата $x=3$ минава през точката $(3;0)$ успоредно на ординатната ос (ос Oy). Правата $y=0$ е уравнението на абсцисната ос (ос Ox). Е, за да построим правата $y=x+1$, ще намерим две точки, през които ще прекараме тази права. Можете, разбира се, да замените няколко произволни стойности вместо $x$. Например, замествайки $x=10$, получаваме: $y=x+1=10+1=11$. Намерихме точката $(10;11)$, лежаща на правата $y=x+1$. По-добре е обаче да се намерят точките, в които правата $y=x+1$ пресича правите $x=3$ и $y=0$. Защо това е по-добре? Защото ще убием няколко птици с един камък: ще получим две точки, за да построим правата линия $y=x+1$ и в същото време ще разберем в кои точки тази права линия пресича други линии, ограничаващи дадената площ. Правата $y=x+1$ пресича правата $x=3$ в точката $(3;4)$, а правата $y=0$ се пресича в точката $(-1;0)$. За да не затрупвам хода на решението със спомагателни обяснения, ще поставя въпроса за получаването на тези две точки в бележка.

Как са получени точките $(3;4)$ и $(-1;0)$? Покажи скрий

Да започнем от пресечната точка на правите $y=x+1$ и $x=3$. Координатите на желаната точка принадлежат както на първата, така и на втората права линия, следователно, за да намерите неизвестните координати, трябва да решите системата от уравнения:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

Решението на такава система е тривиално: замествайки $x=3$ в първото уравнение, ще имаме: $y=3+1=4$. Точката $(3;4)$ е желаната пресечна точка на правите $y=x+1$ и $x=3$.

Сега нека намерим пресечната точка на правите $y=x+1$ и $y=0$. Нека отново съставим и решим системата от уравнения:

$$ \left \( \begin(подравнено) & y=x+1;\\ & y=0. \end(подравнено) \right. $$

Като заместим $y=0$ в първото уравнение, получаваме: $0=x+1$, $x=-1$. Точката $(-1;0)$ е желаната пресечна точка на правите $y=x+1$ и $y=0$ (ос x).

Всичко е готово за изграждане на чертеж, който ще изглежда така:

Въпросът за бележката изглежда очевиден, защото всичко се вижда от снимката. Въпреки това си струва да запомните, че рисунката не може да служи като доказателство. Чертежът е само с илюстративна цел.

Нашата област беше определена с помощта на уравненията на линиите, които я ограничават. Очевидно тези линии определят триъгълник, нали? Или не е съвсем очевидно? Или може би ни е дадена различна област, ограничена от същите линии:

Разбира се, условието гласи, че зоната е затворена, така че показаната снимка е неправилна. Но за да се избегнат подобни неясноти, е по-добре да се дефинират регионите чрез неравенства. Интересува ли ни частта от равнината, разположена под правата $y=x+1$? Добре, значи $y ≤ x+1$. Трябва ли нашата област да се намира над линията $y=0$? Чудесно, това означава $y ≥ 0$. Между другото, последните две неравенства могат лесно да се комбинират в едно: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Тези неравенства определят областта $D$ и я определят еднозначно, без да допускат двусмислие. Но как това ни помага с въпроса, зададен в началото на бележката? Това също ще помогне :) Трябва да проверим дали точката $M_1(1;1)$ принадлежи на областта $D$. Нека заместим $x=1$ и $y=1$ в системата от неравенства, които определят тази област. Ако и двете неравенства са изпълнени, тогава точката е вътре в областта. Ако поне едно от неравенствата не е изпълнено, тогава точката не принадлежи на областта. Така:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right $$.

И двете неравенства са валидни. Точка $M_1(1;1)$ принадлежи на област $D$.

Сега е ред да проучим поведението на функцията на границата на региона, т.е. Хайде да отидем до . Нека започнем с правата $y=0$.

Правата $y=0$ (ос x) ограничава областта $D$ при условие $-1 ≤ x ≤ 3$. Нека заместим $y=0$ в дадената функция $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Функцията на една променлива $x$, получена в резултат на заместване, означаваме като $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Сега за функцията $f_1(x)$ трябва да намерим най-голямата и най-малката стойност на интервала $-1 ≤ x ≤ 3$. Нека намерим производната на тази функция и я приравним към нула:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Стойността $x=2$ принадлежи на сегмента $-1 ≤ x ≤ 3$, така че ще добавим също $M_2(2;0)$ към списъка с точки. Освен това нека изчислим стойностите на функцията $z$ в краищата на сегмента $-1 ≤ x ≤ 3$, т.е. в точки $M_3(-1;0)$ и $M_4(3;0)$. Между другото, ако точката $M_2$ не принадлежи на разглеждания сегмент, тогава, разбира се, няма да има нужда да се изчислява стойността на функцията $z$ в нея.

И така, нека изчислим стойностите на функцията $z$ в точки $M_2$, $M_3$, $M_4$. Можете, разбира се, да замените координатите на тези точки в оригиналния израз $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Например за точка $M_2$ получаваме:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Изчисленията обаче могат да бъдат малко опростени. За да направите това, си струва да запомните, че на сегмента $M_3M_4$ имаме $z(x,y)=f_1(x)$. Ще го напиша подробно:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \край (подравнено)

Разбира се, обикновено няма нужда от толкова подробни записи и в бъдеще ще запишем всички изчисления накратко:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Сега нека се обърнем към правата $x=3$. Тази права линия ограничава областта $D$ при условие $0 ≤ y ≤ 4$. Нека заместим $x=3$ в дадената функция $z$. В резултат на това заместване получаваме функцията $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

За функцията $f_2(y)$ трябва да намерим най-голямата и най-малката стойност на интервала $0 ≤ y ≤ 4$. Нека намерим производната на тази функция и я приравним към нула:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Стойността $y=3$ принадлежи на сегмента $0 ≤ y ≤ 4$, така че ще добавим $M_5(3;3)$ към предварително намерените точки. Освен това е необходимо да се изчисли стойността на функцията $z$ в точките в краищата на отсечката $0 ≤ y ≤ 4$, т.е. в точки $M_4(3;0)$ и $M_6(3;4)$. В точка $M_4(3;0)$ вече сме изчислили стойността на $z$. Нека изчислим стойността на функцията $z$ в точки $M_5$ и $M_6$. Нека ви напомня, че на отсечката $M_4M_6$ имаме $z(x,y)=f_2(y)$, следователно:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \край (подравнено)

И накрая, разгледайте последната граница на региона $D$, т.е. права линия $y=x+1$. Тази права линия ограничава областта $D$ при условие $-1 ≤ x ≤ 3$. Замествайки $y=x+1$ във функцията $z$, ще имаме:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Отново имаме функция на една променлива $x$. И отново трябва да намерим най-голямата и най-малката стойност на тази функция в интервала $-1 ≤ x ≤ 3$. Нека намерим производната на функцията $f_(3)(x)$ и я приравним към нула:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Стойността $x=1$ принадлежи на интервала $-1 ≤ x ≤ 3$. Ако $x=1$, тогава $y=x+1=2$. Нека добавим $M_7(1;2)$ към списъка с точки и да разберем каква е стойността на функцията $z$ в тази точка. Точките в краищата на отсечката $-1 ≤ x ≤ 3$, т.е. точки $M_3(-1;0)$ и $M_6(3;4)$ бяха разгледани по-рано, вече намерихме стойността на функцията в тях.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Втората стъпка от решението е завършена. Получихме седем стойности:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Да се обърнем към. Избирайки най-големите и най-малките стойности от числата, получени в третия параграф, ще имаме:

$$z_(мин)=-4; \; z_(макс.)=6.$$

Задачата е решена, остава само да запиша отговора.

Отговор: $z_(мин)=-4; \; z_(max)=6$.

Пример №2

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията $z=x^2+y^2-12x+16y$ в областта $x^2+y^2 ≤ 25$.

Първо, нека изградим чертеж. Уравнението $x^2+y^2=25$ (това е граничната линия на дадена област) определя окръжност с център в началото (т.е. в точката $(0;0)$) и радиус от 5. Неравенството $x^2 +y^2 ≤ $25 удовлетворява всички точки вътре и върху споменатата окръжност.

Ние ще действаме според. Нека намерим частни производни и да открием критичните точки.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Няма точки, в които намерените частни производни да не съществуват. Нека разберем в кои точки и двете частни производни са едновременно равни на нула, т.е. нека намерим стационарни точки.

$$ \left \( \begin(подравнено) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8 \end(aligned) \right $$.

Получихме стационарна точка $(6;-8)$. Намерената точка обаче не принадлежи към областта $D$. Това е лесно да се покаже, без дори да се прибягва до рисуване. Нека проверим дали е в сила неравенството $x^2+y^2 ≤ 25$, което определя нашата област $D$. Ако $x=6$, $y=-8$, тогава $x^2+y^2=36+64=100$, т.е. неравенството $x^2+y^2 ≤ 25$ не е в сила. Извод: точка $(6;-8)$ не принадлежи на област $D$.

Така че няма критични точки вътре в региона $D$. Да преминем към... Трябва да изследваме поведението на функция на границата на даден регион, т.е. върху окръжността $x^2+y^2=25$. Можем, разбира се, да изразим $y$ чрез $x$ и след това да заместим получения израз в нашата функция $z$. От уравнението на окръжност получаваме: $y=\sqrt(25-x^2)$ или $y=-\sqrt(25-x^2)$. Като заместим например $y=\sqrt(25-x^2)$ в дадената функция, ще имаме:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

По-нататъшното решение ще бъде напълно идентично с изследването на поведението на функцията на границата на областта в предишния пример № 1. Струва ми се обаче по-разумно да се приложи методът на Лагранж в тази ситуация. Ще се интересуваме само от първата част на този метод. След прилагане на първата част от метода на Лагранж ще получим точки, в които ще изследваме функцията $z$ за минимални и максимални стойности.

Съставяме функцията на Лагранж:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Намираме частните производни на функцията на Лагранж и съставяме съответната система от уравнения:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (подравнено) & 2x-12\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 \;\; \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( aligned)\right.$ $

За да решим тази система, нека веднага да посочим, че $\lambda\neq -1$. Защо $\lambda\neq -1$? Нека се опитаме да заместим $\lambda=-1$ в първото уравнение:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; х-х=6; \; 0=6. $$

Полученото противоречие $0=6$ показва, че стойността $\lambda=-1$ е неприемлива. Изход: $\lambda\neq -1$. Нека изразим $x$ и $y$ чрез $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\ламбда)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \край (подравнено)

Вярвам, че тук става очевидно защо изрично поставихме условието $\lambda\neq -1$. Това беше направено, за да се побере изразът $1+\lambda$ в знаменателите без намеса. Тоест, за да сте сигурни, че знаменателят $1+\lambda\neq 0$.

Нека заместим получените изрази за $x$ и $y$ в третото уравнение на системата, т.е. в $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\ламбда)^2=4. $$

От полученото равенство следва, че $1+\lambda=2$ или $1+\lambda=-2$. Следователно имаме две стойности на параметъра $\lambda$, а именно: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Съответно получаваме две двойки стойности $x$ и $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \край (подравнено)

И така, получихме две точки от възможен условен екстремум, т.е. $M_1(3;-4)$ и $M_2(-3;4)$. Нека намерим стойностите на функцията $z$ в точки $M_1$ и $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \край (подравнено)

Трябва да изберем най-големите и най-малките стойности от тези, които сме получили в първата и втората стъпка. Но в този случай изборът е малък :) Имаме:

$$ z_(мин)=-75; \; z_(max)=125. $$

Отговор: $z_(мин)=-75; \; z_(макс.)=$125.

Какво е екстремум на функция и кое е необходимото условие за екстремум?

Екстремумът на функция е максимумът и минимумът на функцията.

Необходимото условие за максимума и минимума (екстремум) на функция е следното: ако функцията f(x) има екстремум в точката x = a, тогава в тази точка производната е или нула, или безкрайна, или не съществува.

Това условие е необходимо, но не достатъчно. Производната в точката x = a може да стигне до нула, безкрайност или да не съществува, без функцията да има екстремум в тази точка.

Кое е достатъчното условие за екстремума на функция (максимум или минимум)?

Първо условие:

Ако в достатъчна близост до точката x = a, производната f?(x) е положителна отляво на a и отрицателна отдясно на a, тогава в точката x = a функцията f(x) има максимум

Ако, в достатъчна близост до точката x = a, производната f?(x) е отрицателна отляво на a и положителна отдясно на a, тогава в точката x = a функцията f(x) има минимумпри условие, че функцията f(x) тук е непрекъсната.

Вместо това можете да използвате второто достатъчно условие за екстремума на функция:

Нека в точката x = a първата производна f?(x) е нулева; ако втората производна f??(a) е отрицателна, тогава функцията f(x) има максимум в точката x = a, ако е положителна, тогава има минимум.

Каква е критичната точка на една функция и как да я намерим?

Това е стойността на аргумента на функцията, при която функцията има екстремум (т.е. максимум или минимум). За да го намерите трябва намерете производнатафункция f?(x) и приравнявайки я на нула, реши уравнението f?(x) = 0. Корените на това уравнение, както и онези точки, в които производната на тази функция не съществува, са критични точки, т.е. стойности на аргумента, при които може да има екстремум. Те могат лесно да бъдат идентифицирани, като се вгледат производна графика: интересуваме се от тези стойности на аргумента, при които графиката на функцията пресича абсцисната ос (ос Ox) и тези, при които графиката претърпява прекъсвания.

Например, да намерим екстремум на парабола.

Функция y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Производна на функцията: y?(x) = 6x + 2

Решете уравнението: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

В този случай критичната точка е x0=-1/3. Функцията има тази стойност на аргумента екстремум. На него намирам, заменете намереното число в израза за функцията вместо „x“:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Как да определим максимума и минимума на една функция, т.е. неговите най-големи и най-малки стойности?

Ако знакът на производната при преминаване през критичната точка x0 се промени от "плюс" на "минус", тогава x0 е максимална точка; ако знакът на производната се промени от минус на плюс, тогава x0 е минимална точка; ако знакът не се променя, то в точката x0 няма нито максимум, нито минимум.

За разглеждания пример:

Вземаме произволна стойност на аргумента вляво от критичната точка: x = -1

При x = -1, стойността на производната ще бъде y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (т.е. знакът е „минус“).

Сега вземаме произволна стойност на аргумента вдясно от критичната точка: x = 1

При x = 1, стойността на производната ще бъде y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (т.е. знакът е „плюс“).

Както можете да видите, производната промени знака от минус на плюс при преминаване през критичната точка. Това означава, че при критичната стойност x0 имаме минимална точка.

Най-голяма и най-малка стойност на функция на интервала(на сегмент) се намират с помощта на същата процедура, само като се вземе предвид фактът, че може би не всички критични точки ще лежат в определения интервал. Онези критични точки, които са извън интервала, трябва да бъдат изключени от разглеждане. Ако има само една критична точка вътре в интервала, тя ще има или максимум, или минимум. В този случай, за да определим най-големите и най-малките стойности на функцията, ние също вземаме предвид стойностите на функцията в края на интервала.

Например, нека намерим най-голямата и най-малката стойност на функцията

y(x) = 3sin(x) - 0,5x

на интервали:

И така, производната на функцията е

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Решаваме уравнението 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x = ±arccos(0,16667) + 2πk.

Намираме критични точки на интервала [-9; 9]:

x = arccos(0,16667) - 2π*2 = -11,163 (не е включено в интервала)

x = -arccos(0,16667) - 2π*1 = -7,687

x = arccos(0,16667) - 2π*1 = -4,88

x = -arccos(0,16667) + 2π*0 = -1,403

x = arccos(0,16667) + 2π*0 = 1,403

x = -arccos(0,16667) + 2π*1 = 4,88

x = arccos(0,16667) + 2π*1 = 7,687

x = -arccos(0,16667) + 2π*2 = 11,163 (не е включено в интервала)

Намираме стойностите на функцията при критични стойности на аргумента:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Вижда се, че на интервала [-9; 9] функцията има най-голяма стойност при x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

и най-малката - при x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

На интервала [-6; -3] имаме само една критична точка: x = -4,88. Стойността на функцията при x = -4,88 е равна на y = 5,398.

Намерете стойността на функцията в краищата на интервала:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

На интервала [-6; -3] имаме най-голямата стойност на функцията

y = 5,398 при x = -4,88

най-малка стойност -

y = 1,077 при x = -3

Как да намерим точките на инфлексия на графика на функция и да определим изпъкналите и вдлъбнатите страни?

За да намерите всички точки на огъване на линията y = f(x), трябва да намерите второто производно, да го приравните към нула (решете уравнението) и да тествате всички тези стойности на x, за които второто производно е нула, безкраен или не съществува. Ако при преминаване през една от тези стойности втората производна промени знака, тогава графиката на функцията има инфлексия в тази точка. Ако не се промени, значи няма завой.

Корените на уравнението f? (x) = 0, както и възможните точки на прекъсване на функцията и втората производна, разделят областта на дефиниране на функцията на няколко интервала. Изпъкналостта на всеки техен интервал се определя от знака на втората производна. Ако втората производна в точка от изследвания интервал е положителна, тогава линията y = f(x) е вдлъбната нагоре, а ако е отрицателна, тогава надолу.

Как да намерим екстремумите на функция на две променливи?

За да намерите екстремумите на функцията f(x,y), диференцируема в областта на нейната спецификация, трябва:

1) намерете критичните точки и за това - решете системата от уравнения

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) за всяка критична точка P0(a;b) проучете дали знакът на разликата остава непроменен

за всички точки (x;y), достатъчно близки до P0. Ако разликата остане положителна, тогава в точка P0 имаме минимум, ако е отрицателна, тогава имаме максимум. Ако разликата не запазва знака си, тогава няма екстремум в точка P0.

Екстремумите на функция се определят по подобен начин за по-голям брой аргументи.

Кои газирани безалкохолни напитки почистват повърхности?
Има мнение, че газираната безалкохолна напитка Coca-Cola може да разтвори месото. Но, за съжаление, няма преки доказателства за това. Напротив, има положителни факти, които потвърждават, че месото, оставено в напитката Coca-Cola за два дни, променя потребителските си свойства и не изчезва никъде.

Разпределения на стандартни апартаменти, описания и снимки на къщи можете да видите на уебсайтовете: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko net/art

Как да се лекува невроза
Невроза (новолат. neurosis, идва от старогръцки νε?ρον - нерв; синоними - психоневроза, невротично разстройство) - в клиниката: събирателно наименование за група функционални психогенни обратими разстройства, които са склонни да персистират

Какво е афелий
Апоцентърът е точката от орбитата, в която тяло, въртящо се по елиптична орбита около друго тяло, достига максималното си разстояние от последното. В същия момент, според втория закон на Кеплер, скоростта на орбиталното движение става минимална. Апоцентърът е разположен в точка, диаметрално противоположна на периапсиса. В специални случаи е обичайно да се използват специални термини:

Какво е мамон
Мамон (м.р.), мамон (ф.р.) – дума произлизаща от гръц. mammonas и означава богатство, земни съкровища, благословии. Сред някои древни езически народи той е бог на богатството и печалбата. Споменато в Светото писание от евангелистите Матей и Лука: „Никой не може да служи на двама господари: защото или ще намрази единия, и другия“.

Кога е православният Великден през 2049 г.?
През 2015 г. православният Великден ще бъде на 12 април, а католическият - на 5 април. Църковните календари дават датите на православния Великден според Юлианския календар (стар стил), докато католическият Великден се изчислява според съвременния Григориански календар (нов стил), така че сравняването на датите изисква известно умствено усилие

Какво е рубла
Рубла е името на съвременните валути на Русия, Беларус (беларуска рубла), Приднестровието (приднестровска рубла). Руската рубла се използва и в Южна Осетия и Абхазия. В миналото - паричната единица на руските републики и княжества, Великото Московско княжество, Руското царство, Великото литовско княжество, Руската империя и различни други

Колко дълго беше Ариел Шарон в кома?
Ариел Арик Шарон (Шейнерман) - израелски военен, политически и държавник, министър-председател на Израел от 2001 до 2006 г. Дата на раждане: 26 февруари 1928 г. Място на раждане: селище Кфар Малал близо до Кфар Сава, Израел Дата на смърт: 11 януари 2014 г. Място на смърт: Рамат Ган, Гуш Дан, Из

Кои са били неандерталците
Неандерталец, неандерталец (лат. Homo neanderthalensis или Homo sapiens neanderthalensis) е изкопаем вид хора, живели преди 300-24 хиляди години. Произход на името. Смята се, че черепът на неандерталеца е открит за първи път през 1856 г.

На колко години е Джефри Ръш
Джефри Ръш е австралийски филмов и театрален актьор. Носител на Оскар (1997), БАФТА (1996, 1999), Златен глобус (1997, 2005). Най-известните филми с негово участие са "Блясък".

Как да определим интервалите на изпъкналост и вдлъбнатост на функционална графика
Какво е екстремум на функция и какво е необходимото условие за екстремум? Екстремумът на функция е максимумът и минимумът на функцията. Необходимото условие за максимума и минимума (екстремум) на функция е следното: ако функцията f(x) има екстремум в точката x = a, тогава в тази точка производната е или нула, или безкрайна, или не съществува. Това условие е необходимо, но не достатъчно. Производна в t