Решаване на прости тригонометрични уравнения.

Решаването на тригонометрични уравнения с всякакво ниво на сложност в крайна сметка се свежда до решаването на най-простите тригонометрични уравнения. И в това тригонометричният кръг отново се оказва най-добрият помощник.

Нека си припомним дефинициите на косинус и синус.

Косинусът на ъгъл е абсцисата (тоест координатата по оста) на точка от единичната окръжност, съответстваща на завъртане през даден ъгъл.

Синусът на ъгъл е ординатата (т.е. координатата по оста) на точка от единичната окръжност, съответстваща на завъртане през даден ъгъл.

Положителната посока на движение върху тригонометричния кръг е обратно на часовниковата стрелка. Завъртане от 0 градуса (или 0 радиана) съответства на точка с координати (1;0)

Използваме тези определения за решаване на прости тригонометрични уравнения.

1. Решете уравнението

Това уравнение се удовлетворява от всички стойности на ъгъла на завъртане, които съответстват на точки от окръжността, чиято ордината е равна на .

Нека отбележим точка с ордината върху ординатната ос:

Начертайте хоризонтална линия, успоредна на оста x, докато се пресече с кръга. Получаваме две точки, лежащи на окръжността и имащи ордината. Тези точки съответстват на ъгли на въртене в и радиани:

Ако, излизайки от точката, съответстваща на ъгъла на въртене на радиан, обиколим цял кръг, тогава ще стигнем до точка, съответстваща на ъгъла на въртене на радиан и имаща същата ордината. Тоест, този ъгъл на завъртане също удовлетворява нашето уравнение. Можем да направим толкова „неактивни“ обороти, колкото желаем, връщайки се към същата точка и всички тези ъглови стойности ще задоволят нашето уравнение. Броят на оборотите на празен ход ще бъде обозначен с буквата (или). Тъй като можем да направим тези революции както в положителна, така и в отрицателна посока, (или) можем да приемем всякакви цели числа.

Тоест, първата серия от решения на оригиналното уравнение има формата:

, , - набор от цели числа (1)

По същия начин втората серия от решения има формата:

, Където , . (2)

Както може би се досещате, тази поредица от решения се основава на точката от окръжността, съответстваща на ъгъла на въртене от .

Тези две серии от решения могат да бъдат комбинирани в един запис:

Ако вземем (т.е. дори) в този запис, тогава ще получим първата поредица от решения.

Ако вземем (т.е. нечетно) в този запис, тогава получаваме втората серия от решения.

2. Сега нека решим уравнението

Тъй като това е абсцисата на точка от единичната окръжност, получена чрез завъртане на ъгъл, отбелязваме точката с абсцисата на оста:

Начертайте вертикална линия, успоредна на оста, докато се пресече с кръга. Ще получим две точки, лежащи на окръжността и имащи абциса. Тези точки съответстват на ъгли на въртене в и радиани. Спомнете си, че при движение по посока на часовниковата стрелка получаваме отрицателен ъгъл на въртене:

Нека запишем две серии от решения:

,

,

(Стигаме до желаната точка, като тръгнем от основния пълен кръг, т.е.

Нека комбинираме тези две серии в един запис:

3. Решете уравнението

Допирателната минава през точката с координати (1,0) на единичната окръжност, успоредна на оста OY

Нека отбележим точка върху него с ордината равна на 1 (търсим тангенса на кои ъгли е равна на 1):

Нека свържем тази точка с началото на координатите с права линия и да отбележим пресечните точки на правата с единичната окръжност. Пресечните точки на правата и окръжността съответстват на ъглите на завъртане на и :

Тъй като точките, съответстващи на ъглите на завъртане, които удовлетворяват нашето уравнение, лежат на разстояние радиани една от друга, можем да запишем решението по следния начин:

4. Решете уравнението

Правата на котангенсите минава през точката с координати на единичната окръжност, успоредна на оста.

Нека отбележим точка с абсцисата -1 на правата на котангенсите:

Нека свържем тази точка с началото на правата линия и я продължим, докато се пресече с окръжността. Тази права линия ще пресича окръжността в точки, съответстващи на ъглите на въртене в и радиани:

Тъй като тези точки са разделени една от друга на разстояние, равно на , можем да напишем общото решение на това уравнение, както следва:

В дадените примери, илюстриращи решението на най-простите тригонометрични уравнения, са използвани таблични стойности на тригонометрични функции.

Ако обаче дясната страна на уравнението съдържа нетаблична стойност, тогава заместваме стойността в общото решение на уравнението:

СПЕЦИАЛНИ РЕШЕНИЯ:

Нека отбележим точките на окръжността, чиято ордината е 0:

Нека отбележим една точка на окръжността, чиято ордината е 1:

Нека отбележим една точка на окръжността, чиято ордината е равна на -1:

Тъй като е обичайно да се посочват стойности, най-близки до нула, ние записваме решението, както следва:

Нека отбележим точките на окръжността, чиято абциса е равна на 0:

5.
Нека отбележим една точка на окръжността, чиято абциса е равна на 1:

Нека отбележим една точка на окръжността, чиято абциса е равна на -1:

И малко по-сложни примери:

1.

Синусът е равен на едно, ако аргументът е равен на

Аргументът на нашия синус е равен, така че получаваме:

Разделете двете страни на равенството на 3:

Отговор:

2.

Косинусът е нула, ако аргументът косинус е равен

Аргументът на нашия косинус е равен на , така че получаваме:

Нека изразим , за да направим това, първо се преместваме надясно с противоположния знак:

Нека опростим дясната страна:

Разделете двете страни на -2:

Обърнете внимание, че знакът пред члена не се променя, тъй като k може да приеме произволна цяло число.

Отговор:

И накрая, гледайте видео урока „Избиране на корени в тригонометрично уравнение с помощта на тригонометрична окръжност“

Това приключва нашия разговор за решаването на прости тригонометрични уравнения. Следващият път ще говорим как да решим.

Упражнение.
Намерете стойността на x при .

Решение.
Намирането на стойността на аргумента на функцията, при която той е равен на която и да е стойност, означава да се определи при кои аргументи стойността на синуса ще бъде точно както е посочено в условието.
В този случай трябва да разберем при какви стойности синусовата стойност ще бъде равна на 1/2. Това може да стане по няколко начина.
Например, използвайте , чрез което да определите при какви стойности на x функцията синус ще бъде равна на 1/2.
Друг начин е да използвате. Нека ви напомня, че стойностите на синусите лежат на оста Oy.
Най-често срещаният начин е да се използва, особено когато се работи със стойности, които са стандартни за тази функция, като 1/2.
Във всички случаи не трябва да забравяме едно от най-важните свойства на синуса - неговия период.
Нека намерим стойността 1/2 за синус в таблицата и да видим какви аргументи й съответстват. Аргументите, които ни интересуват, са Pi / 6 и 5Pi / 6.
Нека запишем всички корени, които удовлетворяват даденото уравнение. За да направите това, записваме неизвестния аргумент x, който ни интересува, и една от стойностите на аргумента, получен от таблицата, т.е. Pi / 6. Записваме за него, като вземем предвид периода на синуса , всички стойности на аргумента:

Нека вземем втората стойност и следваме същите стъпки като в предишния случай:

Пълното решение на първоначалното уравнение ще бъде:
И
рможе да приеме стойността на всяко цяло число.

Като цяло този въпрос заслужава специално внимание, но тук всичко е просто: под ъгъл от градуси и синусът, и косинусът са положителни (вижте фигурата), след което вземаме знака плюс.

Сега се опитайте въз основа на горното да намерите синуса и косинуса на ъглите: и

Можете да мамите: по-специално за ъгъл в градуси. Тъй като ако единият ъгъл на правоъгълен триъгълник е равен на градуси, то вторият е равен на градуси. Сега в сила влизат познатите формули:

Тогава тъй като, тогава и. От тогава и. С градусите е още по-просто: ако един от ъглите на правоъгълен триъгълник е равен на градуси, тогава другият също е равен на градуси, което означава, че триъгълникът е равнобедрен.

Това означава, че краката му са равни. Това означава, че неговите синус и косинус са равни.

Сега, използвайки новата дефиниция (използвайки X и Y!), намерете синуса и косинуса на ъглите в градуси и градуси. Тук няма да можете да рисувате никакви триъгълници! Те ще бъдат твърде плоски!

Трябваше да получиш:

Можете сами да намерите тангенса и котангенса, като използвате формулите:

Моля, обърнете внимание, че не можете да делите на нула!!

Сега всички получени числа могат да бъдат таблични:

Ето стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъглите 1-ва четвърт. За удобство ъглите са дадени както в градуси, така и в радиани (но вече знаете връзката между тях!). Обърнете внимание на 2 тирета в таблицата: а именно котангенса на нулата и тангенса на градусите. Това не е случайно!

В частност:

Сега нека обобщим концепцията за синус и косинус до напълно произволен ъгъл. Тук ще разгледам два случая:

1. Ъгълът варира от до градуса
2. Ъгъл по-голям от градуси

Най-общо казано, малко се изкривих, когато говорих за "абсолютно всички" ъгли. Те могат да бъдат и отрицателни! Но ще разгледаме този случай в друга статия. Нека първо се съсредоточим върху първия случай.

Ако ъгълът е в 1-вата четвърт, тогава всичко е ясно, вече разгледахме този случай и дори начертахме таблици.

Сега нека нашият ъгъл е повече от градуса и не повече от. Това означава, че се намира или във 2-ра, 3-та или 4-та четвърт.

И какво ще правим? Да, абсолютно същото!

Нека да разгледаме вместо нещо такова...

...като този:

Тоест, помислете за ъгъла, лежащ във втората четвърт. Какво можем да кажем за него?

Точката, която е пресечната точка на лъча и окръжността, все още има 2 координати (нищо свръхестествено, нали?). Това са координатите и.

Освен това първата координата е отрицателна, а втората е положителна! Означава, че В ъглите на втората четвърт косинусът е отрицателен, а синусът е положителен!

Удивително, нали? Преди това никога не бяхме срещали отрицателен косинус.

И по принцип това не може да бъде случаят, когато разглеждаме тригонометричните функции като съотношение на страните на триъгълник. Между другото, помислете кои ъгли имат еднакъв косинус? Кои имат еднакъв синус?

По същия начин можете да вземете предвид ъглите във всички останали четвъртини. Само да ви напомня, че ъгълът се брои обратно на часовниковата стрелка! (както е показано на последната снимка!).

Разбира се, можете да разчитате в другата посока, но подходът към такива ъгли ще бъде малко по-различен.

Въз основа на горното разсъждение можем да подредим знаците на синус, косинус, тангенс (като синус, разделен на косинус) и котангенс (като косинус, разделен на синус) за всичките четири четвърти.

Но още веднъж, няма смисъл да запаметявате тази рисунка. Всичко, което трябва да знаете:

Нека се упражняваме малко с вас. Много прости задачи:

Разберете какъв знак имат следните количества:

да проверим ли

1. градуса е ъгъл, по-голям и по-малък, което означава, че лежи в 3 четвърти. Начертайте произволен корнер в 3-та четвърт и вижте какъв играч има. То ще се окаже отрицателно. Тогава.
   градуса - 2 четвърт ъгъл. Синусът там е положителен, а косинусът е отрицателен. Плюс делено на минус е равно на минус. Средства.
   градуси - ъгъл, по-голям и по-малък. Това означава, че се намира в 4-то тримесечие. За всеки ъгъл на четвъртата четвърт, "x" ще бъде положителен, което означава
2. Ние работим с радиани по същия начин: това е ъгълът на втората четвърт (тъй като и. Синусът на втората четвърт е положителен.
   .
   , това е ъгълът на четвъртата четвърт. Там косинусът е положителен.
   - отново ъгъл на четвърта четвърт. Там косинусът е положителен, а синусът е отрицателен. Тогава тангенсът ще бъде по-малък от нула:

Може би ви е трудно да определите четвъртините в радиани. В такъв случай винаги можете да преминете към градуси. Отговорът, разбира се, ще бъде абсолютно същият.

Сега бих искал съвсем накратко да се спра на още един момент. Нека си припомним отново основното тригонометрично тъждество.

Както вече казах, от него можем да изразим синуса през косинуса или обратно:

Изборът на знак ще бъде повлиян само от четвъртината, в която се намира нашият алфа ъгъл. Има много проблеми с последните две формули в Единния държавен изпит, например тези:

Задача

Намерете дали и.

Всъщност това е една четвърт задача! Вижте как се решава:

Решение

Тогава нека заместим стойността тук. Сега единственото нещо, което остава да направите, е да разберете знака. Какво ни трябва за това? Знайте в кой квартал е нашият ъгъл. Според условията на задачата: . Кое тримесечие е това? Четвърто. Какъв е знакът на косинуса в четвъртата четвърт? Косинусът в четвъртото тримесечие е положителен. След това всичко, което трябва да направим, е да изберем знака плюс отпред. , Тогава.

Сега няма да се спирам подробно на такива задачи; можете да намерите подробен анализ на тях в статията "". Просто исках да ви обърна внимание на това какъв знак приема тази или онази тригонометрична функция в зависимост от четвъртината.

Ъгли, по-големи от градуси

Последното нещо, което бих искал да отбележа в тази статия, е какво да правя с ъгли, по-големи от градуси?

Какво представлява и с какво можете да го ядете, за да не се задавите? Да вземем, да речем, ъгъл в градуси (радиани) и да тръгнем обратно на часовниковата стрелка от него...

На снимката нарисувах спирала, но разбирате, че всъщност нямаме спирала: имаме само кръг.

И така, къде ще стигнем, ако започнем от определен ъгъл и изминем целия кръг (градуси или радиани)?

Къде ще отидем? И ще стигнем до същия ъгъл!

Същото, разбира се, важи и за всеки друг ъгъл:

Като вземем произволен ъгъл и обиколим изцяло целия кръг, ще се върнем към същия ъгъл.

Какво ще ни даде това? Ето какво: ако, тогава

Откъде най-накрая получаваме:

За всяко цяло. Означава, че синус и косинус са периодични функции с период.

По този начин няма проблем да намерим знака на вече произволен ъгъл: просто трябва да изхвърлим всички „цели кръгове“, които се вписват в нашия ъгъл, и да разберем в коя четвърт се намира оставащият ъгъл.

Например, намерете знак:

Ние проверяваме:

1. В градуси се вписва пъти в градуси (градуси):
   остават градуса. Това е ъгъл от 4 четвърти. Там синусът е отрицателен, което означава
2. . степени. Това е ъгъл от 3 четвърти. Там косинусът е отрицателен. Тогава
3. . . Тъй като тогава - ъгълът на първата четвърт. Там косинусът е положителен. Тогава cos
4. . . Тъй като нашият ъгъл е във втората четвърт, където синусът е положителен.

Можем да направим същото за тангенс и котангенс. Всъщност обаче те са още по-прости: те също са периодични функции, само периодът им е 2 пъти по-малък:

Така че разбирате какво е тригонометричен кръг и за какво е необходим.

Но все още имаме много въпроси:

1. Какво представляват отрицателните ъгли?
2. Как да изчислим тригонометрични функции при тези ъгли
3. Как да използваме известните стойности на тригонометричните функции от 1-во тримесечие, за да търсим стойностите на функциите в други тримесечия (наистина ли е необходимо да тъпчем таблицата?!)
4. Как можете да използвате кръг, за да опростите решенията на тригонометрични уравнения?

СРЕДНО НИВО

Е, в тази статия ще продължим изучаването на тригонометричния кръг и ще обсъдим следните точки:

1. Какво представляват отрицателните ъгли?
2. Как да изчислим стойностите на тригонометричните функции при тези ъгли?
3. Как да използваме известните стойности на тригонометрични функции от 1 четвърт, за да търсим стойностите на функции в други четвърти?
4. Какво представлява допирателната ос и котангенсната ос?

Не се нуждаем от допълнителни знания, освен основни умения за работа с единична окръжност (предишна статия). Е, нека да стигнем до първия въпрос: какво са отрицателните ъгли?

Отрицателни ъгли

Отрицателни ъгли в тригонометриятасе нанасят върху тригонометричния кръг надолу от началото, по посока на движението на часовниковата стрелка:

Нека си припомним как преди това начертахме ъгли върху тригонометрична окръжност: Започнахме от положителната посока на оста обратно на часовниковата стрелка:

Тогава в нашия чертеж е построен ъгъл, равен на. Изградихме всички ъгли по същия начин.

Нищо обаче не ни пречи да се движим от положителната посока на оста по часовниковата стрелка.

Ще получим и различни ъгли, но те ще бъдат отрицателни:

Следващата снимка показва два ъгъла, равни по абсолютна стойност, но противоположни по знак:

Най-общо правилото може да се формулира така:

• Вървим обратно на часовниковата стрелка - получаваме положителни ъгли
• Вървим по посока на часовниковата стрелка - получаваме отрицателни ъгли

Правилото е показано схематично на тази фигура:

Бихте могли да ми зададете един напълно разумен въпрос: добре, имаме нужда от ъгли, за да измерим техните стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс.

И така, има ли разлика, когато ъгълът ни е положителен и когато е отрицателен? Ще ви отговоря: като правило има.

Винаги обаче можете да намалите изчислението на тригонометричната функция от отрицателен ъгъл до изчислението на функцията в ъгълаположителен.

Вижте следната снимка:

Построих два ъгъла, те са равни по абсолютна стойност, но имат противоположен знак. За всеки ъгъл маркирайте неговия синус и косинус върху осите.

какво виждаме Ето какво:

• Синусите са в ъглите и са противоположни по знак! Тогава ако
• Косинусите на ъглите съвпадат! Тогава ако
• От тогава:
• От тогава:

Така винаги можем да се отървем от отрицателния знак във всяка тригонометрична функция: или просто като го елиминираме, както при косинуса, или като го поставим пред функцията, както при синус, тангенс и котангенс.

Между другото, запомнете името на функцията, която се изпълнява за всяка валидна стойност: ?

Такава функция се нарича странна.

Но ако за някоя допустима е вярно следното: ? Тогава в този случай функцията се нарича дори.

И така, вие и аз току-що показахме, че:

Синус, тангенс и котангенс са нечетни функции, а косинусът е четна функция.

По този начин, както разбирате, няма значение дали търсим синуса на положителен ъгъл или отрицателен: работата с минус е много проста. Така че не се нуждаем от отделни таблици за отрицателни ъгли.

От друга страна, трябва да се съгласите, че би било много удобно, знаейки само тригонометричните функции на ъглите на първата четвърт, да можете да изчислите подобни функции за останалите четвърти. Възможно ли е да се направи това? Разбира се можете да! Имате поне 2 начина: първият е да построите триъгълник и да приложите Питагоровата теорема (така вие и аз намерихме стойностите на тригонометричните функции за главните ъгли на първата четвърт) и второто е да запомните стойностите на функциите за ъгли в първата четвърт и някакво просто правило, за да можете да изчислите тригонометричните функции за всички останали четвърти.Вторият метод ще ви спести много суета с триъгълници и Питагор, така че го виждам като по-обещаващ:

И така, този метод (или правило) се нарича редукционни формули.

Формули за намаляване

Грубо казано, тези формули ще ви помогнат да не запомните тази таблица (между другото, тя съдържа 98 числа!):

ако си спомняте това (само 20 числа):

Тоест, не можете да се занимавате с напълно ненужни 78 числа! Нека, например, трябва да изчислим. Ясно е, че в малка маса не е така. И какво ще правим? Ето какво:

Първо, ще ни трябват следните знания:

1. Синус и косинус имат период (градуси), т.е

   Тангенс (котангенс) има период (градуси)

   Всяко цяло число

2. Синус и тангенс са нечетни функции, а косинусът е четна функция:

Вече доказахме първото твърдение с вас, а валидността на второто беше установено съвсем наскоро.

Действителното правило за кастинг изглежда така:

1. Ако изчислим стойността на тригонометрична функция от отрицателен ъгъл, ние я правим положителна, като използваме група формули (2). Например:
2. Изхвърляме периодите му за синус и косинус: (в градуси), а за тангенса - (в градуси). Например:
3. Ако оставащият „ъгъл“ е по-малък от градуса, проблемът е решен: търсим го в „малката таблица“.
4. В противен случай търсим в кой квартал е нашият ъгъл: ще бъде 2-ра, 3-та или 4-та четвърт. Нека да разгледаме знака на търсената функция в квадранта. Запомнете този знак!!!
5. Представяме ъгъла в една от следните форми:

   (ако през второто тримесечие)
   (ако през второто тримесечие)
   (ако през третото тримесечие)
   (ако през третото тримесечие)
   
   (ако през четвъртото тримесечие)

   така че оставащият ъгъл да е по-голям от нула и по-малък от градуси. Например:

   По принцип няма значение в коя от двете алтернативни форми за всяка четвърт представяте ъгъла. Това няма да повлияе на крайния резултат.

6. Сега нека видим какво имаме: ако сте избрали да напишете чрез или градуси плюс минус нещо, тогава знакът на функцията няма да се промени: просто премахвате или и записвате синуса, косинуса или тангенса на оставащия ъгъл. Ако сте избрали запис в или градуси, променете синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс.
7. Поставяме знака от точка 4 пред получения израз.

Нека демонстрираме всичко по-горе с примери:

1. Изчисли
2. Изчисли
3. Намерете своето значение:

Да започнем по ред:

1. Ние действаме според нашия алгоритъм. Изберете цяло число кръгове за:

   Като цяло заключаваме, че целият ъгъл се побира 5 пъти, но колко остава? Наляво. Тогава

   Е, изхвърлихме излишното. Сега нека да разгледаме табелата. се намира в 4-то тримесечие. Синусът на четвъртата четвърт има знак минус и не трябва да забравям да го поставя в отговора. След това представяме според една от двете формули на параграф 5 от правилата за намаляване. ще избера:

   Сега да видим какво се случи: имаме случай със степени, след което го изхвърляме и променяме синуса на косинус. И поставяме знак минус пред него!

   градуса - ъгълът в първата четвърт. Знаем (обещахте ми да науча малка таблица!!) нейното значение:

   Тогава получаваме окончателния отговор:

   Отговор:

2. всичко е същото, но вместо градуси - радиани. Всичко е наред. Основното нещо, което трябва да запомните е, че

   Но не е нужно да замествате радианите с градуси. Това е въпрос на вкус. Няма да променя нищо. Ще започна отново, като изхвърля цели кръгове:

   Да изхвърлим - това са цели два кръга. Остава само да се изчисли. Този ъгъл е в третата четвърт. Косинусът на третата четвърт е отрицателен. Не забравяйте да поставите знак минус в отговора. можете да си представите как. Нека отново си спомним правилото: имаме случай на „цяло“ число (или), тогава функцията не се променя:

   Тогава.
   Отговор: .

3. . Трябва да направите същото, но с две функции. Ще бъда малко по-кратък: и градуси - ъглите на втората четвърт. Косинусът на втората четвърт има знак минус, а синусът има знак плюс. може да се представи като: и как тогава

   И двата случая са „половините на цялото“. Тогава синусът се променя в косинус и косинусът се променя в синус. Освен това пред косинуса има знак минус:

Отговор: .

Сега практикувайте сами, като използвате следните примери:

А ето и решенията:

1. 
   Първо, нека се отървем от минуса, като го поставим пред синуса (тъй като синусът е нечетна функция!!!). След това нека разгледаме ъглите:

   Изхвърляме цяло число кръгове - тоест три кръга ().
   Остава да изчислим: .
   Правим същото с втория ъгъл:

   Изтриваме цяло число кръгове - 3 кръга (), след което:

   Сега мислим: в коя четвърт лежи оставащият ъгъл? Той „не достига“ до всичко. Тогава кое тримесечие е? Четвърто. Какъв е знакът на косинуса на четвъртата четвърт? Положителен. Сега нека си представим. Тъй като изваждаме от цяло количество, не променяме знака на косинуса:

   Заместваме всички получени данни във формулата:

   Отговор: .

2. 
   Стандартно: премахнете минуса от косинуса, като използвате факта, че.
   Остава само да се изчисли косинус от градуси. Нека премахнем цели кръгове: . Тогава

   Тогава.
   Отговор: .

3. Продължаваме както в предишния пример.

   Тъй като помните, че периодът на тангенса е (или) различен от косинуса или синуса, за които е 2 пъти по-голям, тогава ще премахнем цялото число.

   градуса - ъгълът във втората четвърт. Тангенсът на второто тримесечие е отрицателен, тогава нека не забравяме за „минуса“ в края! може да се напише като. Тангенсът се променя на котангенс. Накрая получаваме:

   Тогава.
   Отговор: .

Е, остава съвсем малко!

Допирателна ос и котангенсна ос

Последното нещо, което бих искал да засегна тук, са двете допълнителни оси. Както вече обсъдихме, имаме две оси:

1. Ос - косинус ос
2. Axis - ос на синусите

Всъщност координатните оси ни свършиха, нали? Но какво да кажем за тангенсите и котангенсите?

Наистина ли няма графична интерпретация за тях?

Всъщност тя съществува, можете да я видите на тази снимка:

По-специално, от тези снимки можем да кажем следното:

1. Тангенсът и котангенсът имат еднакви четвъртинни знаци
2. Те са положителни през 1-во и 3-то тримесечие
3. Отрицателни са през 2-ро и 4-то тримесечие
4. Тангентата не е дефинирана при ъгли
5. Котангенсът не е определен в ъглите

За какво друго са тези снимки? Ще научите на ниво за напреднали, където ще ви кажа как можете да използвате тригонометрична окръжност, за да опростите решенията на тригонометрични уравнения!

НАПРЕДНАЛО НИВО

В тази статия ще опиша как единична окръжност (тригонометрична окръжност)могат да бъдат полезни при решаването на тригонометрични уравнения.

Сещам се за два случая, в които може да е полезно:

1. В отговора не получаваме „красив“ ъгъл, но въпреки това трябва да изберем корените
2. Отговорът съдържа твърде много серии от корени

Не са ви необходими никакви специфични познания, освен познания по темата:

Опитах се да напиша темата „тригонометрични уравнения“, без да прибягвам до кръгове. Мнозина не биха ме похвалили за такъв подход.

Но предпочитам формулата, така че какво мога да направя? В някои случаи обаче няма достатъчно формули. Следният пример ме мотивира да напиша тази статия:

Решете уравнението:

Добре тогава. Самото решаване на уравнението не е трудно.

Обратна замяна:

Следователно нашето оригинално уравнение е еквивалентно на цели четири прости уравнения! Наистина ли трябва да запишем 4 серии от корени:

По принцип можем да спрем до тук. Но не и за читателите на тази статия, която претендира за някаква „сложност“!

Нека първо разгледаме първата поредица от корени. И така, вземаме единичната окръжност, сега нека приложим тези корени към окръжността (отделно за и за):

Обърнете внимание: какъв ъгъл е между ъглите и? Това е ъгълът. Сега нека направим същото за серията: .

Между корените на уравнението отново получаваме ъгъл. Сега нека комбинираме тези две снимки:

какво виждаме В противен случай всички ъгли между нашите корени са равни. Какво означава?

Ако започнем от ъгъл и вземем равни ъгли (за всяко цяло число), тогава винаги ще стигнем до една от четирите точки на горния кръг! Така 2 серии от корени:

Може да се комбинира в едно:

Уви, за основната серия:

Тези аргументи вече няма да бъдат валидни. Начертайте и разберете защо това е така. Те обаче могат да се комбинират, както следва:

Тогава оригиналното уравнение има корени:

Което е доста кратък и сбит отговор. Какво означава краткост и сбитост? За нивото на вашата математическа грамотност.

Това беше първият пример, в който използването на тригонометричния кръг даде полезни резултати.

Вторият пример са уравнения, които имат „грозни корени“.

Например:

1. Решете уравнението.
2. Намерете неговите корени, принадлежащи на празнината.

Първата част не е никак трудна.

Тъй като вече сте запознати с темата, ще си позволя да бъда кратък в изчисленията си.

тогава или

Ето как намерихме корените на нашето уравнение. Нищо сложно.

По-трудно е да се реши втората част на задачата, без да се знае точно какъв е аркосинусът на минус една четвърт (това не е таблична стойност).

Въпреки това, можем да изобразим намерената поредица от корени върху единичната окръжност:

какво виждаме Първо, фигурата ни показа ясно в какви граници се намира арккосинусът:

Тази визуална интерпретация ще ни помогне да намерим корените, принадлежащи на сегмента: .

Първо, самият номер попада в него, след това (виж фигурата).

също принадлежи към сегмента.

По този начин единичната окръжност помага да се определи в какви граници попадат „грозните“ ъгли.

Трябва да имате поне още един въпрос: Но какво трябва да правим с тангенсите и котангенсите?

Всъщност те също имат свои собствени оси, въпреки че имат малко специфичен външен вид:

В противен случай начинът за обработка ще бъде същият като със синус и косинус.

Пример

Уравнението е дадено.

• Решете това уравнение.
• Посочете корените на това уравнение, които принадлежат на интервала.

Решение:

Начертаваме единична окръжност и отбелязваме нашите решения върху нея:

От фигурата можете да разберете, че:

Или още повече: от тогава

След това намираме корените, принадлежащи на сегмента.

, (защото)

Оставям на вас да проверите сами, че нашето уравнение няма други корени, принадлежащи на интервала.

ОБОБЩЕНИЕ И ОСНОВНИ ФОРМУЛИ

Основният инструмент на тригонометрията е тригонометричен кръг,позволява ви да измервате ъгли, да намирате техните синуси, косинуси и т.н.

Има два начина за измерване на ъгли.

1. Чрез градуси
2. Чрез радиани

И обратно: от радиани до градуси:

За да намерите синуса и косинуса на ъгъл, трябва:

1. Начертайте единична окръжност с центъра, съвпадащ с върха на ъгъла.
2. Намерете пресечната точка на този ъгъл с окръжността.
3. Неговата координата "X" е косинусът на желания ъгъл.
4. Неговата „игра“ координата е синусът на желания ъгъл.

Формули за намаляване

Това са формули, които ви позволяват да опростите изрази на сложни тригонометрични функции.

Тези формули ще ви помогнат да не помните тази таблица:

Обобщаване

Научихте как да направите универсална шпора с помощта на тригонометрия.

Научихте се да решавате проблемите много по-лесно и по-бързо и, най-важното, без грешки.

Разбрахте, че не е нужно да тъпчете никакви маси и изобщо не е нужно да тъпчете нищо!

Сега искам да те чуя!

Успяхте ли да разберете тази сложна тема?

Какво ти хареса? Какво не ти хареса?

Може би сте открили грешка?

Пишете в коментарите!

И успех на изпита!

Таблица със стойности на тригонометрични функции

Забележка. Тази таблица със стойности на тригонометрични функции използва знака √ за представяне на корен квадратен. За да посочите дроб, използвайте символа "/".

Вижте същополезни материали:

За определяне на стойността на тригонометрична функция, намерете го в пресечната точка на линията, указваща тригонометричната функция. Например синус 30 градуса - търсим колоната със заглавие sin (синус) и намираме пресечната точка на тази колона на таблицата с реда „30 градуса“, ​​в пресечната точка четем резултата - едната половина. По същия начин намираме косинус 60степени, синус 60градуси (отново в пресечната точка на колоната sin и линията на 60 градуса намираме стойността sin 60 = √3/2) и т.н. Стойностите на синусите, косинусите и тангентите на други „популярни“ ъгли се намират по същия начин.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и други ъгли в радиани

Таблицата по-долу с косинуси, синуси и тангенси също е подходяща за намиране на стойността на тригонометрични функции, чийто аргумент е дадени в радиани. За да направите това, използвайте втората колона с ъглови стойности. Благодарение на това можете да конвертирате стойността на популярните ъгли от градуси в радиани. Например, нека намерим ъгъла от 60 градуса в първия ред и да прочетем стойността му в радиани под него. 60 градуса е равно на π/3 радиана.

Числото пи еднозначно изразява зависимостта на обиколката от градусната мярка на ъгъла. Така пи радианите са равни на 180 градуса.

Всяко число, изразено чрез pi (радиани), може лесно да бъде преобразувано в градуси чрез замяна на pi (π) със 180.

Примери:
1. Синус пи.
sin π = sin 180 = 0
по този начин синус от пи е същият като синус от 180 градуса и е равен на нула.

2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
следователно косинусът от пи е същият като косинусът от 180 градуса и е равен на минус едно.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
по този начин тангенс pi е същият като тангенс 180 градуса и е равен на нула.

Таблица със стойности на синус, косинус, тангенс за ъгли 0 - 360 градуса (общи стойности)

стойност на ъгъл α (градуси)	стойност на ъгъл α в радиани (чрез пи)	грях (синус)	cos (косинус)	tg (тангента)	ctg (котангенс)	сек (секанс)	cosec (косеканс)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ако в таблицата със стойности на тригонометричните функции е посочено тире вместо стойността на функцията (тангенс (tg) 90 градуса, котангенс (ctg) 180 градуса), тогава за дадена стойност на градусната мярка на ъгъла функцията няма конкретна стойност. Ако няма тире, клетката е празна, което означава, че все още не сме въвели необходимата стойност. Интересуваме се за какви заявки потребителите идват при нас и допълваме таблицата с нови стойности, въпреки факта, че текущите данни за стойностите на косинусите, синусите и тангентите на най-често срещаните стойности на ъглите са напълно достатъчни за решаване на повечето проблеми.

Таблица със стойности на тригонометричните функции sin, cos, tg за най-популярните ъгли
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градуса
(числови стойности „според таблиците на Bradis“)

стойност на ъгъл α (градуси)	стойност на ъгъл α в радиани	грях (синус)	cos (косинус)	tg (тангенса)	ctg (котангенс)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

В тази статия ще анализираме много подробно дефиницията на числовия кръг, ще разберем основното му свойство и ще подредим числата 1,2,3 и т.н. За това как да маркирате други числа върху кръга (например \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) ( 6)\)) разбира .

Цифров кръг наречен кръг с единичен радиус, чиито точки съответстват , подредени по следните правила:

1) Началото е в крайната дясна точка на окръжността;

2) Обратно на часовниковата стрелка - положителна посока; по часовниковата стрелка – отрицателно;

3) Ако нанесем разстоянието \(t\) върху окръжността в положителна посока, тогава ще стигнем до точка със стойност \(t\);

4) Ако начертаем разстоянието \(t\) върху окръжността в отрицателна посока, тогава ще стигнем до точка със стойност \(–t\).

Защо кръгът се нарича числов кръг?
Защото има цифри. По този начин кръгът е подобен на числовата ос - върху кръга, както и върху оста, има определена точка за всяко число.

Защо да знаете какво е числова окръжност?
С помощта на числовия кръг се определят стойностите на синусите, косинусите, тангенсите и котангенсите. Следователно, за да знаете тригонометрията и да издържите Единния държавен изпит с 60+ точки, трябва да разберете какво е кръг с числа и как да поставите точки върху него.

Какво означават думите „...с единичен радиус...“ в определението?
Това означава, че радиусът на тази окръжност е равен на \(1\). И ако построим такава окръжност с център в началото, тогава тя ще се пресича с осите в точки \(1\) и \(-1\).

Не е необходимо да се рисува малко; можете да промените „размера“ на деленията по осите, тогава картината ще бъде по-голяма (вижте по-долу).

Защо радиусът е точно единица? Това е по-удобно, защото в този случай при изчисляване на обиколката по формулата \(l=2πR\) получаваме:

Дължината на числовата окръжност е \(2π\) или приблизително \(6,28\).

Какво означава „...чиито точки съответстват на реални числа“?
Както казахме по-горе, в числовия кръг за всяко реално число определено ще има неговото „място“ - точка, която съответства на това число.

Защо да определяте началото и посоката върху числовата окръжност?
Основната цел на числовата окръжност е еднозначно да определи своята точка за всяко число. Но как можете да определите къде да поставите точката, ако не знаете откъде да броите и накъде да се движите?

Тук е важно да не бъркате началото на координатната линия и на числовата окръжност - това са две различни референтни системи! И също така не бъркайте \(1\) на оста \(x\) и \(0\) на окръжността - това са точки на различни обекти.

Кои точки съответстват на числата \(1\), \(2\) и т.н.?

Не забравяйте, че предположихме, че числовата окръжност има радиус \(1\)? Това ще бъде нашата единична отсечка (по аналогия с числовата ос), която ще начертаем върху окръжността.

За да маркирате точка в числовия кръг, съответстващ на числото 1, трябва да преминете от 0 до разстояние, равно на радиуса в положителната посока.

За да маркирате точка в окръжността, съответстваща на числото \(2\), трябва да изминете разстояние, равно на два радиуса от началото, така че \(3\) да е разстояние, равно на три радиуса и т.н.

Когато гледате тази снимка, може да имате 2 въпроса:
1. Какво се случва, когато кръгът „свърши“ (т.е. направим пълен оборот)?
Отговор: да отидем на втори кръг! И когато вторият свърши, ще отидем на третия и така нататък. Следователно безкраен брой числа могат да бъдат нанесени върху кръг.

2. Къде ще бъдат отрицателните числа?
Отговор: точно там! Те също могат да бъдат подредени, като се брои от нула необходимия брой радиуси, но вече в отрицателна посока.

За съжаление е трудно да се обозначат цели числа върху числовата окръжност. Това се дължи на факта, че дължината на числовата окръжност няма да бъде равна на цяло число: \(2π\). И на най-удобните места (в точките на пресичане с осите) също ще има дроби, а не цели числа