Složeni derivati. Logaritamski izvod.
Derivat eksponencijalne funkcije stepena

Nastavljamo da poboljšavamo našu tehniku ​​diferencijacije. U ovoj lekciji ćemo konsolidirati materijal koji smo obradili, pogledati složenije derivacije, a također ćemo se upoznati s novim tehnikama i trikovima za pronalaženje izvoda, posebno s logaritamskim izvodom.

Oni čitaoci koji imaju nizak nivo pripreme trebali bi pogledati članak Kako pronaći derivat? Primjeri rješenja, što će vam omogućiti da podignete svoje vještine gotovo od nule. Zatim morate pažljivo proučiti stranicu Derivat kompleksne funkcije, razumjeti i riješiti Sve primjere koje sam naveo. Ova lekcija je logično treća, a nakon što je savladate, pouzdano ćete razlikovati prilično složene funkcije. Nepoželjno je zauzimati stav „Gdje drugdje? Dosta je!”, jer su svi primjeri i rješenja preuzeti iz stvarnih testova i često se susreću u praksi.

Počnimo s ponavljanjem. Na lekciji Derivat kompleksne funkcije Pogledali smo niz primjera s detaljnim komentarima. U toku proučavanja diferencijalnog računa i drugih grana matematičke analize, moraćete vrlo često da pravite razliku, a nije uvek zgodno (i nije uvek neophodno) detaljno opisivati ​​primere. Stoga ćemo vježbati usmeno pronalaženje izvedenica. Najprikladniji "kandidati" za to su derivati ​​najjednostavnijih složenih funkcija, na primjer:

Prema pravilu diferencijacije složenih funkcija :

Prilikom izučavanja drugih matana u budućnosti, ovako detaljno snimanje najčešće nije potrebno, pretpostavlja se da student zna pronaći takve derivate na autopilotu. Zamislimo da je u 3 sata ujutru zazvonio telefon i prijatan glas upitao: "Koja je derivacija tangenta dva X-a?" Ovo bi trebalo da bude praćeno skoro trenutnim i ljubaznim odgovorom: .

Prvi primjer će odmah biti namijenjen za samostalno rješenje.

Primjer 1

Pronađite sljedeće izvedenice usmeno, u jednoj radnji, na primjer: . Za završetak zadatka potrebno je samo koristiti tablica izvoda elementarnih funkcija(ako se još niste sjetili). Ako imate bilo kakvih poteškoća, preporučujem da ponovo pročitate lekciju Derivat kompleksne funkcije.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odgovori na kraju lekcije

Složeni derivati

Nakon preliminarne artiljerijske pripreme, primjeri sa 3-4-5 ugniježđenja funkcija bit će manje zastrašujući. Sljedeća dva primjera nekome mogu izgledati komplikovana, ali ako ih razumijete (neko će patiti), onda će gotovo sve ostalo u diferencijalnom računu izgledati kao dječja šala.

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije

Kao što je već napomenuto, pri pronalaženju derivacije kompleksne funkcije, prije svega, to je neophodno U redu RAZUMIJETE svoja ulaganja. U slučajevima kada postoje sumnje, podsjećam vas na korisnu tehniku: uzimamo eksperimentalnu vrijednost “x”, na primjer, i pokušavamo (mentalno ili na nacrtu) zamijeniti ovu vrijednost u “užasan izraz”.

1) Prvo trebamo izračunati izraz, što znači da je zbir najdublje ugrađivanje.

2) Zatim morate izračunati logaritam:

4) Zatim izrežite kosinus na kocku:

5) U petom koraku razlika je:

6) I konačno, najudaljenija funkcija je kvadratni korijen:

Formula za diferenciranje složene funkcije primjenjuju se obrnutim redoslijedom, od najudaljenije funkcije prema unutrašnjoj. Odlučujemo:

Izgleda da nema grešaka...

(1) Uzmite izvod kvadratnog korijena.

(2) Izvod razlike uzimamo pomoću pravila

(3) Derivat trojke je nula. U drugom članu uzimamo derivaciju stepena (kocke).

(4) Uzmimo derivaciju kosinusa.

(5) Uzmimo izvod logaritma.

(6) I konačno, uzimamo derivaciju najdubljeg ugrađivanja.

Možda izgleda preteško, ali ovo nije najbrutalniji primjer. Uzmite, na primjer, kolekciju Kuznjecova i cijenit ćete svu ljepotu i jednostavnost analiziranog derivata. Primijetio sam da vole da daju sličnu stvar na ispitu kako bi provjerili da li student razumije kako pronaći izvod kompleksne funkcije ili ne razumije.

Sljedeći primjer možete sami riješiti.

Primjer 3

Pronađite izvod funkcije

Savjet: Prvo primjenjujemo pravila linearnosti i pravilo diferencijacije proizvoda

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Vrijeme je da pređete na nešto manje i ljepše.
Nije neuobičajeno da primjer prikazuje proizvod ne dvije, već tri funkcije. Kako pronaći derivaciju proizvoda tri faktora?

Primjer 4

Pronađite izvod funkcije

Prvo pogledamo, da li je moguće pretvoriti proizvod tri funkcije u proizvod dvije funkcije? Na primjer, ako imamo dva polinoma u proizvodu, mogli bismo otvoriti zagrade. Ali u primjeru koji se razmatra, sve funkcije su različite: stepen, eksponent i logaritam.

U takvim slučajevima je neophodno sekvencijalno primijeniti pravilo diferencijacije proizvoda dvaput

Trik je u tome što sa “y” označavamo proizvod dvije funkcije: , a sa “ve” označavamo logaritam: . Zašto se to može uraditi? moguće je – ovo nije proizvod dva faktora i pravilo ne funkcionira?! Nema ništa komplikovano:

Sada preostaje primijeniti pravilo po drugi put u zagradu:

Možete se i uvrnuti i staviti nešto izvan zagrada, ali u ovom slučaju je bolje ostaviti odgovor upravo u ovom obliku - lakše će se provjeriti.

Razmatrani primjer se može riješiti na drugi način:

Oba rješenja su apsolutno ekvivalentna.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer za nezavisno rješenje u uzorku je riješeno pomoću prve metode.

Pogledajmo slične primjere sa razlomcima.

Primjer 6

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete doći na nekoliko načina:

ili ovako:

Ali rješenje će biti napisano kompaktnije ako prvo upotrijebimo pravilo diferencijacije količnika , uzimajući za cijeli brojnik:

U principu, primjer je riješen, a ako se ostavi kako jeste, neće biti greške. Ali ako imate vremena, uvijek je preporučljivo provjeriti nacrt kako biste vidjeli da li se odgovor može pojednostaviti? Svedimo izraz brojnika na zajednički nazivnik i oslobodimo se trospratne frakcije:

Nedostatak dodatnih pojednostavljenja je u tome što postoji rizik od greške ne pri pronalaženju derivacije, već prilikom banalnih školskih transformacija. S druge strane, nastavnici često odbacuju zadatak i traže da se „spomene” izvedenica.

Jednostavniji primjer koji možete sami riješiti:

Primjer 7

Pronađite izvod funkcije

Nastavljamo da savladavamo metode pronalaženja derivacije, a sada ćemo razmotriti tipičan slučaj kada se za diferencijaciju predlaže "strašan" logaritam

Primjer 8

Pronađite izvod funkcije

Ovdje možete ići daleko, koristeći pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Ali već prvi korak vas odmah uranja u malodušnost - morate uzeti neugodan derivat iz razlomka, a zatim i iz razlomka.

Zbog toga prije kako uzeti derivaciju "sofisticiranog" logaritma, prvo se pojednostavljuje korištenjem dobro poznatih školskih svojstava:

! Ako imate pri ruci bilježnicu za vježbanje, kopirajte ove formule direktno tamo. Ako nemate bilježnicu, kopirajte je na komad papira, jer će se preostali primjeri lekcije vrtjeti oko ovih formula.

Samo rješenje se može napisati otprilike ovako:

Transformirajmo funkciju:

Pronalaženje derivata:

Prethodno pretvaranje same funkcije uvelike je pojednostavilo rješenje. Stoga, kada se sličan logaritam predlaže za diferencijaciju, uvijek je preporučljivo da ga „razbijete“.

A sada nekoliko jednostavnih primjera koje možete sami riješiti:

Primjer 9

Pronađite izvod funkcije

Primjer 10

Pronađite izvod funkcije

Sve transformacije i odgovori nalaze se na kraju lekcije.

Logaritamski izvod

Ako je derivat logaritama tako slatka muzika, onda se postavlja pitanje: da li je u nekim slučajevima moguće organizovati logaritam veštački? Može! Čak i neophodno.

Primjer 11

Pronađite izvod funkcije

Nedavno smo pogledali slične primjere. sta da radim? Možete uzastopno primijeniti pravilo diferencijacije količnika, a zatim pravilo diferencijacije proizvoda. Nedostatak ove metode je što na kraju dobijete ogroman trospratni dio, s kojim uopće ne želite da se bavite.

Ali u teoriji i praksi postoji tako divna stvar kao što je logaritamski izvod. Logaritmi se mogu umjetno organizirati tako što će se "okačiti" na obje strane:

Bilješka : jer funkcija može uzeti negativne vrijednosti, tada, općenito govoreći, trebate koristiti module: , koji će nestati kao rezultat diferencijacije. Međutim, trenutni dizajn je također prihvatljiv, gdje se po defaultu uzima u obzir kompleks značenja. Ali ako je u potpunosti strogo, onda u oba slučaja treba napraviti rezervu.

Sada morate što je više moguće „dezintegrirati“ logaritam desne strane (formule pred vašim očima?). Opisaću ovaj proces veoma detaljno:

Počnimo s diferencijacijom.
Oba dijela zaključujemo pod udarom:

Izvod od desne strane je prilično jednostavan, jer ako čitate ovaj tekst, trebalo bi da budete u stanju da se nosite sa njim.

Šta je sa lijevom stranom?

Na lijevoj strani imamo složena funkcija. Predviđam pitanje: "Zašto, ima li jedno slovo "Y" ispod logaritma?"

Činjenica je da ova "igra jednog slova" - JE SAMA FUNKCIJA(ako nije baš jasno, pogledajte članak Derivat funkcije specificirane implicitno). Dakle, logaritam je eksterna funkcija, a "y" je interna funkcija. I koristimo pravilo za razlikovanje složene funkcije :

Na lijevoj strani, kao magijom, imamo izvedenicu. Zatim, prema pravilu proporcije, prenosimo "y" iz nazivnika lijeve strane na vrh desne strane:

A sada se prisjetimo o kakvoj smo funkciji "igrača" govorili tokom diferencijacije? Pogledajmo stanje:

Konačan odgovor:

Primjer 12

Pronađite izvod funkcije

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Uzorak dizajna primjera ovog tipa nalazi se na kraju lekcije.

Koristeći logaritamsku derivaciju bilo je moguće riješiti bilo koji od primjera br. 4-7, druga stvar je što su tamo funkcije jednostavnije i, možda, upotreba logaritamskog izvoda nije baš opravdana.

Derivat eksponencijalne funkcije stepena

Ovu funkciju još nismo razmatrali. Eksponencijalna funkcija je funkcija za koju i stepen i baza zavise od “x”. Klasičan primjer koji će vam biti dat u bilo kojem udžbeniku ili predavanju:

Kako pronaći izvod eksponencijalne funkcije stepena?

Neophodno je koristiti tehniku ​​o kojoj smo upravo govorili - logaritamski izvod. Objesite logaritme na obje strane:

Po pravilu, na desnoj strani stepen se vadi ispod logaritma:

Kao rezultat, na desnoj strani imamo proizvod dvije funkcije, koje će se razlikovati prema standardnoj formuli .

Pronalazimo izvedenicu da bismo to uradili, stavljamo oba dela ispod poteza:

Dalje radnje su jednostavne:

konačno:

Ako bilo koja konverzija nije sasvim jasna, molimo ponovo pažljivo pročitajte objašnjenja primjera br. 11.

U praktičnim zadacima, stepen eksponencijalna funkcija će uvijek biti složenija od primjera predavanja o kojem se raspravlja.

Primjer 13

Pronađite izvod funkcije

Koristimo logaritamski izvod.

Na desnoj strani imamo konstantu i proizvod dva faktora – “x” i “logaritam logaritma x” (drugi logaritam je ugniježđen ispod logaritma). Prilikom diferenciranja, kao što se sjećamo, bolje je odmah pomaknuti konstantu iz predznaka derivacije kako ne bi smetala; i, naravno, primjenjujemo poznato pravilo :

Dokaz i izvođenje formula za izvod prirodnog logaritma i logaritma na osnovu a. Primjeri izračunavanja izvedenica od ln 2x, ln 3x i ln nx. Dokaz formule za izvod logaritma n-tog reda metodom matematičke indukcije.

Sadržaj

Vidi također: Logaritam - svojstva, formule, graf
Prirodni logaritam - svojstva, formule, graf

Izvođenje formula za izvode prirodnog logaritma i logaritma na osnovu a

Derivat prirodnog logaritma od x jednak je jedinici podijeljenoj sa x:
(1) (ln x)′ =.

Derivat logaritma prema bazi a jednak je jedinici podijeljenom promjenljivom x pomnoženom prirodnim logaritmom a:
(2) (log a x)′ =.

Dokaz

Neka postoji neki pozitivan broj koji nije jednak jednom. Razmotrimo funkciju koja zavisi od varijable x, što je logaritam bazi:
.
Ova funkcija je definirana na . Nađimo njen izvod u odnosu na varijablu x. Po definiciji, derivat je sljedeća granica:
(3) .

Transformirajmo ovaj izraz da ga svedemo na poznata matematička svojstva i pravila. Da bismo to uradili moramo znati sljedeće činjenice:
A) Svojstva logaritma. Trebat će nam sljedeće formule:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Kontinuitet logaritma i svojstvo granica za kontinuiranu funkciju:
(7) .
Ovdje je funkcija koja ima ograničenje i ovo ograničenje je pozitivno.
IN) Značenje druge izuzetne granice:
(8) .

Primijenimo ove činjenice do naših granica. Prvo transformiramo algebarski izraz
.
Da bismo to učinili, primjenjujemo svojstva (4) i (5).

.

Koristimo svojstvo (7) i drugu izuzetnu granicu (8):
.

I na kraju, primjenjujemo svojstvo (6):
.
Logaritam prema bazi e pozvao prirodni logaritam. Označava se na sljedeći način:
.
Onda ;
.

Tako smo dobili formulu (2) za izvod logaritma.

Derivat prirodnog logaritma

Još jednom ispisujemo formulu za izvod logaritma na osnovu a:
.
Ova formula ima najjednostavniji oblik za prirodni logaritam, za koji , . Onda
(1) .

Zbog ove jednostavnosti, prirodni logaritam se vrlo široko koristi u matematičkoj analizi i drugim granama matematike vezanim za diferencijalni račun. Logaritamske funkcije sa drugim bazama mogu se izraziti prirodnim logaritmom koristeći svojstvo (6):
.

Derivat logaritma u odnosu na bazu može se naći iz formule (1), ako iz predznaka diferencijacije uzmete konstantu:
.

Drugi načini dokazivanja derivacije logaritma

Ovdje pretpostavljamo da znamo formulu za izvod eksponencijala:
(9) .
Tada možemo izvesti formulu za izvod prirodnog logaritma, s obzirom da je logaritam inverzna funkcija eksponencijala.

Dokažimo formulu za izvod prirodnog logaritma, primjenom formule za izvod inverzne funkcije:
.
U našem slučaju.
.
Inverzna funkcija prirodnom logaritmu je eksponencijalna:
.
Njegov izvod je određen formulom (9). Varijable se mogu označiti bilo kojim slovom. U formuli (9) zamijenite varijablu x sa y:
.
Od tada
.
Onda

Formula je dokazana. Sada dokazujemo formulu za izvod prirodnog logaritma koristeći pravila za razlikovanje složenih funkcija
.
. Budući da su funkcije i inverzne jedna drugoj, onda
(10) .
Hajde da razlikujemo ovu jednačinu s obzirom na varijablu x:
.
Derivat od x je jednak jedan:
.
Primjenjujemo pravilo diferencijacije složenih funkcija:
.
Evo.
.

Zamijenimo u (10):

Odavde Primjer Pronađite derivate od u 2x, U 3x.

I lnnx Originalne funkcije imaju sličan oblik. Stoga ćemo pronaći derivaciju funkcije y = log nx. Zatim zamjenjujemo n = 2 i n = 3. I, tako, dobijamo formule za izvode od Pronađite derivate od .

U 2x
lnnx .
I
1) Dakle, tražimo derivaciju funkcije
2) Zamislimo ovu funkciju kao složenu funkciju koja se sastoji od dvije funkcije:
Funkcije u zavisnosti od varijable: ;
.

Nađimo derivaciju funkcije u odnosu na varijablu x:
.
Nađimo derivaciju funkcije u odnosu na varijablu:
.
Primjenjujemo formulu za izvod kompleksne funkcije.
.
Evo ga postavili.

Tako smo pronašli:
(11) .
Vidimo da derivacija ne zavisi od n. Ovaj rezultat je sasvim prirodan ako transformiramo originalnu funkciju koristeći formulu za logaritam proizvoda:
.
- ovo je konstanta. Njegov izvod je nula. Tada, prema pravilu diferencijacije sume, imamo:
.

; ; .

Derivat logaritma modula x

Nađimo derivaciju druge vrlo važne funkcije - prirodnog logaritma modula x:
(12) .

Hajde da razmotrimo slučaj. Tada funkcija izgleda ovako:
.
Njegov izvod je određen formulom (1):
.

Sada razmotrimo slučaj. Tada funkcija izgleda ovako:
,
Gdje .
Ali smo također pronašli derivaciju ove funkcije u primjeru iznad. Ne zavisi od n i jednako je
.
Od tada
.

Kombiniramo ova dva slučaja u jednu formulu:
.

Prema tome, za logaritam na bazi a imamo:
.

Derivati ​​višeg reda prirodnog logaritma

Razmotrite funkciju
.
Našli smo njen derivat prvog reda:
(13) .

Nađimo izvod drugog reda:
.
Nađimo izvod trećeg reda:
.
Nađimo izvod četvrtog reda:
.

Možete primijetiti da derivat n-tog reda ima oblik:
(14) .
Dokažimo to matematičkom indukcijom.

Dokaz

Zamijenimo vrijednost n = 1 u formulu (14):
.
Budući da , onda kada je n = 1 , formula (14) je važeća.

Pretpostavimo da je formula (14) zadovoljena za n = k. Dokažimo da to implicira da formula vrijedi za n = k + 1 .

Zaista, za n = k imamo:
.
Diferencirati s obzirom na varijablu x:

.
pa smo dobili:
.
Ova formula se poklapa sa formulom (14) za n = k + 1 . Dakle, iz pretpostavke da formula (14) vrijedi za n = k, slijedi da formula (14) vrijedi za n = k + 1 .

Prema tome, formula (14), za izvod n-tog reda, vrijedi za bilo koje n.

Derivati ​​višeg reda logaritma prema bazi a

Da biste pronašli izvod logaritma n-tog reda na osnovu a, morate ga izraziti prirodnim logaritmom:
.
Primjenom formule (14) nalazimo n-ti izvod:
.

Vidi također:

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema pronalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i precizno definirana pravila diferencijacije. . Prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata bili su Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Stoga, u naše vrijeme, da biste pronašli izvod bilo koje funkcije, ne morate izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo trebate koristiti tablicu derivati ​​i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz pod predznakom rastaviti jednostavne funkcije na komponente i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Zatim pronalazimo izvode elementarnih funkcija u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, sume i količnika - u pravilima diferencijacije. Izvodna tablica i pravila diferencijacije dati su nakon prva dva primjera.

Primjer 1. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele izvoda saznajemo da je izvod "x" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i pronalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Razlikujemo kao derivaciju sume u kojoj drugi član ima konstantan faktor može se izvaditi iz predznaka izvoda:

Ako se i dalje postavljaju pitanja odakle nešto dolazi, obično se razjasne nakon upoznavanja s tablicom izvedenica i najjednostavnijim pravilima diferencijacije. Prelazimo na njih upravo sada.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek jednako nuli. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "X". Uvek jednako jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti dugo vremena
3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u potencije.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratnog korijena
6. Derivat sinusa
7. Derivat kosinusa
8. Derivat tangente
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arc kosinusa
12. Derivat arktangensa
13. Derivat arc kotangensa
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1.Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj tački, onda su funkcije diferencibilne u istoj tački

i

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencibilne funkcije razlikuju po konstantnom članu, onda su njihovi derivati ​​jednaki, tj.

Pravilo 2.Ako funkcije

su diferencibilni u nekom trenutku, onda je njihov proizvod diferencibilan u istoj tački

i

one. Izvod proizvoda dvije funkcije jednak je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge.

Zaključak 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Zaključak 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbroju proizvoda izvoda svakog faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3.Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku I , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciranu/v , i

one. izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat od bivši brojilac.

Gdje tražiti stvari na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja derivacije proizvoda i količnika u realnim problemima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa u članku ima više primjera o tim izvodnicama"Derivat proizvoda i količnik funkcija".

Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegova derivacija je jednaka nuli, a u slučaju konstantnog faktora vađena je iz predznaka izvoda. Ovo je tipična greška koja se javlja u početnoj fazi proučavanja izvedenica, ali kako prosječan student riješi nekoliko jednodijelnih i dvodijelnih primjera, više ne pravi ovu grešku.

I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (ovaj slučaj je razmatran u primjeru 10).

Još jedna uobičajena greška je mehanički rješavanje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Zbog toga derivat kompleksne funkcije posvećen je poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnik u novim prozorima. Akcije sa moćima i korijenima u 2x, Operacije sa razlomcima .

Ako tražite rješenja za izvode razlomaka sa potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda kao , zatim slijedi lekcija "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima."

Ako imate zadatak kao , onda ćete uzeti lekciju “Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija”.

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Definiramo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbroji, u drugom od kojih jedan od pojmova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija derivacijom druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbiru drugi član ima predznak minus. U svakom zbiru vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "X" se pretvara u jedan, a minus 5 u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće derivacijske vrijednosti:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

I možete provjeriti rješenje problema derivata na.

Primjer 4. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za diferenciranje količnika: izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku, čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda od nazivnik, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za probleme u kojima trebate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i potencija, kao što je npr. , onda dobro došli na čas "Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .

Ako trebate saznati više o izvodima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda lekcija za vas "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, čiji smo izvod upoznali u tabeli derivacija. Koristeći pravilo za razlikovanje proizvoda i tabelarne vrijednosti izvoda kvadratnog korijena, dobijamo:

Rješenje problema s izvedenicama možete provjeriti na online kalkulator derivata .

Primjer 6. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo količnik čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Koristeći pravilo diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarne vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:

Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojilac i imenilac sa .

Vrlo lako za pamćenje.

Pa, da ne idemo daleko, odmah razmotrimo inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? logaritam:

U našem slučaju, osnova je broj:

Takav logaritam (tj. logaritam s bazom) naziva se „prirodnim“, a za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.

Čemu je to jednako? Naravno, .

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

primjeri:

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponencijalni i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije iz perspektive derivata. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, koji ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja derivacije.

To je sve. Kako još jednom riječju možete nazvati ovaj proces? Nije derivacija... Matematičari diferencijal nazivaju istim prirastom funkcije u. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila, koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta se izvlači iz predznaka derivacije.

Ako - neki konstantni broj (konstanta), onda.

Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.

Primjeri.

Pronađite izvode funkcija:

1. u jednom trenutku;
2. u jednom trenutku;
3. u jednom trenutku;
4. u tački.

rješenja:

1. (izvod je isti u svim tačkama, pošto je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvedemo novu funkciju i pronađemo njen prirast:

Derivat:

primjeri:

1. Naći izvode funkcija i;
2. Pronađite izvod funkcije u tački.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili šta je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo svesti našu funkciju na novu bazu:

Da bismo to učinili, koristit ćemo jednostavno pravilo: . onda:

Pa, upalilo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Desilo se?

Evo, uvjerite se sami:

Pokazalo se da je formula vrlo slična izvedenici eksponenta: onakva kakva je bila, ostala je ista, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite izvode funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se zapisati u jednostavnijem obliku. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.

Imajte na umu da je ovdje kvocijent dvije funkcije, pa primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferencijacije:

U ovom primjeru, proizvod dvije funkcije:

Derivat logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljan logaritam s različitom bazom, na primjer:

Ovaj logaritam moramo svesti na bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada ćemo umjesto toga napisati:

Imenilac je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobija vrlo jednostavno:

Derivati ​​eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.

Derivat kompleksne funkcije.

Šta je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (mada ako vam je logaritam težak, pročitajte temu “Logaritmi” i bit će vam dobro), ali sa matematičke tačke gledišta, riječ “složeno” ne znači “teško”.

Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Rezultat je kompozitni predmet: čokoladica umotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate učiniti obrnutim koracima obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, dat nam je broj (čokolada), ja nađem njegov kosinus (omot), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). Šta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu akciju s onim što je rezultat prve.

Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za naš primjer, .

Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadriraš, a onda tražim kosinus rezultirajućeg broja: . Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složenih funkcija: kada se redoslijed radnji promijeni, funkcija se mijenja.

Drugi primjer: (ista stvar). .

Akcija koju radimo posljednja će biti pozvana "vanjska" funkcija, a radnja izvedena prva - respektivno "interne" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:

odgovori: Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

1. Koju akciju ćemo prvo izvesti? Prvo izračunajmo sinus, pa ga tek onda kockiraj. To znači da je to interna funkcija, ali vanjska.
   A originalna funkcija je njihov sastav: .
2. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
3. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
4. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
5. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .

Mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.

Pa, sada ćemo izvaditi našu čokoladicu i potražiti derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s izvodom unutrašnje funkcije. U odnosu na originalni primjer, to izgleda ovako:

Drugi primjer:

Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Čini se jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interni: ;

Vanjski: ;

2) Interni: ;

(Samo nemojte pokušavati da ga isečete do sada! Ništa ne izlazi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interni: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da se radi o složenoj funkciji na tri nivoa: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i sa trakom u aktovci). Ali nema razloga za strah: i dalje ćemo „raspakovati“ ovu funkciju istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve to pomnožimo.

U takvim slučajevima je zgodno numerisati radnje. Odnosno, zamislimo šta znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti „spoljašnja“. Redoslijed radnji je isti kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 nivoa. Hajde da odredimo redosled akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Root. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Stavljajući sve zajedno:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Derivat funkcije- omjer prirasta funkcije i prirasta argumenta za beskonačno mali prirast argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila diferencijacije:

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:

Derivat sume:

Derivat proizvoda:

Derivat količnika:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

1. Definiramo “internu” funkciju i nalazimo njen izvod.
2. Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge tačke.

Osjećate li da ima još dosta vremena do ispita? Je li ovo mjesec? Dva? Godina? Praksa pokazuje da se student najbolje nosi sa ispitom ako se za njega počne pripremati unaprijed. Mnogo je teških zadataka na Jedinstvenom državnom ispitu koji školarcima i budućim kandidatima stoje na putu do najviših bodova. Morate naučiti da savladate ove prepreke, a osim toga, to nije teško učiniti. Morate razumjeti princip rada s raznim zadacima iz tiketa. Tada neće biti problema sa novima.

Logaritmi na prvi pogled izgledaju nevjerovatno složeni, ali uz detaljnu analizu situacija postaje mnogo jednostavnija. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa najvećim rezultatom, trebali biste razumjeti koncept o kojem je riječ, što je ono što predlažemo da uradite u ovom članku.

Prvo, razdvojimo ove definicije. Šta je logaritam (log)? Ovo je pokazatelj snage do koje se baza mora podići da bi se dobio navedeni broj. Ako nije jasno, pogledajmo elementarni primjer.

U ovom slučaju, baza na dnu mora biti podignuta na drugi stepen da se dobije broj 4.

Pogledajmo sada drugi koncept. Izvod funkcije u bilo kojem obliku je koncept koji karakterizira promjenu funkcije u datoj tački. Međutim, ovo je školski program i ako imate problema s ovim pojmovima pojedinačno, vrijedi ponoviti temu.

Derivat logaritma

U zadacima objedinjenog državnog ispita na ovu temu možete dati nekoliko zadataka kao primjer. Za početak, najjednostavniji logaritamski izvod. Potrebno je pronaći derivaciju sljedeće funkcije.

Moramo pronaći sljedeći izvod

Postoji posebna formula.

U ovom slučaju x=u, log3x=v. Zamjenjujemo vrijednosti iz naše funkcije u formulu.

Derivat od x će biti jednak jedan. Logaritam je malo teži. Ali razumjet ćete princip ako jednostavno zamijenite vrijednosti. Podsjetimo da je izvod lg x izvod decimalnog logaritma, a izvod ln x derivacija prirodnog logaritma (zasnovan na e).

Sada jednostavno uključite rezultirajuće vrijednosti u formulu. Probajte sami, a onda ćemo provjeriti odgovor.

Šta bi nekima ovdje mogao biti problem? Uveli smo koncept prirodnog logaritma. Razgovarajmo o tome, a u isto vrijeme smislimo kako riješiti probleme s tim. Nećete vidjeti ništa komplikovano, pogotovo kada shvatite princip njegovog rada. Trebalo bi da se naviknete na to, jer se često koristi u matematici (a još više u visokoškolskim ustanovama).

Derivat prirodnog logaritma

U svojoj osnovi, to je izvod logaritma na osnovu e (što je iracionalan broj koji je približno 2,7). U stvari, ln je vrlo jednostavan, pa se često koristi u matematici općenito. Zapravo, ni rješavanje problema s njim neće biti problem. Vrijedi zapamtiti da će derivacija prirodnog logaritma prema bazi e biti jednaka jedinici podijeljenoj sa x. Rješenje sljedećeg primjera će biti najotkrivenije.

Zamislimo je kao složenu funkciju koja se sastoji od dvije jednostavne.

Dovoljno je pretvoriti

Tražimo derivaciju od u u odnosu na x

Nastavimo s drugim

Koristimo metodu rješavanja derivacije kompleksne funkcije zamjenom u=nx.

Šta se na kraju dogodilo?

Sada se prisjetimo šta je n značilo u ovom primjeru? Ovo je bilo koji broj koji se može pojaviti ispred x u prirodnom logaritmu. Važno je da shvatite da odgovor ne zavisi od nje. Zamijenite šta god želite, odgovor će i dalje biti 1/x.

Kao što vidite, ovdje nema ništa komplikovano, samo trebate razumjeti princip da biste brzo i efikasno riješili probleme na ovu temu. Sada znate teoriju, sve što treba da uradite je da je primenite u praksi. Vježbajte rješavanje problema kako biste dugo zapamtili princip njihovog rješavanja. Možda vam ovo znanje neće trebati nakon završetka škole, ali na ispitu će biti relevantnije nego ikad. Sretno ti!