इलाज

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान क्या है. किसी अंतराल पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान कैसे ज्ञात करें

व्यवहार में, किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान की गणना करने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना काफी आम है। हम यह क्रिया तब करते हैं जब हम यह पता लगाते हैं कि लागत को कैसे कम किया जाए, मुनाफा कैसे बढ़ाया जाए, उत्पादन पर इष्टतम भार की गणना कैसे की जाए, आदि, अर्थात, ऐसे मामलों में जहां हमें किसी पैरामीटर का इष्टतम मूल्य निर्धारित करने की आवश्यकता होती है। ऐसी समस्याओं को सही ढंग से हल करने के लिए, आपको इस बात की अच्छी समझ होनी चाहिए कि किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान क्या हैं।

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आमतौर पर हम इन मानों को एक निश्चित अंतराल x के भीतर परिभाषित करते हैं, जो बदले में फ़ंक्शन के संपूर्ण डोमेन या उसके भाग के अनुरूप हो सकता है। यह एक खंड की तरह हो सकता है [ए; b ] , और खुला अंतराल (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), अनंत अंतराल (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) या अनंत अंतराल - ∞ ; ए , (- ∞ ; ए ] , [ ए ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

इस सामग्री में हम आपको बताएंगे कि एक चर y=f(x) y = f (x) के साथ स्पष्ट रूप से परिभाषित फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों की गणना कैसे करें।

बुनियादी परिभाषाएँ

आइए, हमेशा की तरह, बुनियादी परिभाषाओं के निर्माण के साथ शुरुआत करें।

परिभाषा 1

एक निश्चित अंतराल x पर फ़ंक्शन y = f (x) का सबसे बड़ा मान m a x y = f (x 0) x ∈ X है, जो किसी भी मान x x ∈ X, x ≠ x 0 के लिए असमानता f (x) बनाता है ≤ f (x) वैध 0) .

परिभाषा 2

एक निश्चित अंतराल x पर फ़ंक्शन y = f (x) का सबसे छोटा मान m i n x ∈ X y = f (x 0) का मान है, जो किसी भी मान x ∈ X, x ≠ x 0 के लिए असमानता f(X f) बनाता है (एक्स) ≥ एफ (एक्स 0) .

ये परिभाषाएँ बिल्कुल स्पष्ट हैं। और भी सरलता से, हम यह कह सकते हैं: किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान एब्सिस्सा x 0 पर ज्ञात अंतराल पर इसका सबसे बड़ा मान है, और सबसे छोटा x 0 पर समान अंतराल पर सबसे छोटा स्वीकृत मान है।

परिभाषा 3

स्थिर बिंदु किसी फ़ंक्शन के तर्क के वे मान हैं जिन पर इसका व्युत्पन्न 0 हो जाता है।

हमें यह जानने की आवश्यकता क्यों है कि स्थिर बिंदु क्या हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए हमें फ़र्मेट के प्रमेय को याद रखना होगा। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि एक स्थिर बिंदु वह बिंदु है जिस पर अवकलनीय फलन का चरम स्थित होता है (अर्थात, इसका स्थानीय न्यूनतम या अधिकतम)। नतीजतन, फ़ंक्शन निश्चित अंतराल पर किसी स्थिर बिंदु पर सबसे छोटा या सबसे बड़ा मान लेगा।

एक फ़ंक्शन उन बिंदुओं पर सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान भी ले सकता है, जहां फ़ंक्शन स्वयं परिभाषित है और इसका पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है।

इस विषय का अध्ययन करते समय पहला प्रश्न यह उठता है: क्या सभी मामलों में हम किसी दिए गए अंतराल पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान निर्धारित कर सकते हैं? नहीं, हम ऐसा तब नहीं कर सकते जब किसी दिए गए अंतराल की सीमाएँ परिभाषा क्षेत्र की सीमाओं से मेल खाती हों, या यदि हम एक अनंत अंतराल से निपट रहे हों। ऐसा भी होता है कि किसी दिए गए खंड में या अनंत पर कोई फ़ंक्शन अनंत रूप से छोटे या असीम रूप से बड़े मान लेगा। इन मामलों में, सबसे बड़ा और/या सबसे छोटा मूल्य निर्धारित करना संभव नहीं है।

ग्राफ़ पर दर्शाए जाने के बाद ये बिंदु स्पष्ट हो जाएंगे:

पहला आंकड़ा हमें एक फ़ंक्शन दिखाता है जो खंड पर स्थित स्थिर बिंदुओं पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान (एम ए एक्स वाई और एम आई एन वाई) लेता है [ - 6 ; 6].

आइए दूसरे ग्राफ़ में दर्शाए गए मामले की विस्तार से जाँच करें। आइए खंड का मान बदलकर [ 1 ; 6 ] और हम पाते हैं कि फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य अंतराल की दाहिनी सीमा पर भुज के साथ बिंदु पर प्राप्त किया जाएगा, और सबसे छोटा - स्थिर बिंदु पर।

तीसरी आकृति में, बिंदुओं के भुज खंड के सीमा बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं [-3; 2]. वे किसी दिए गए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान के अनुरूप होते हैं।

अब चौथी तस्वीर पर नजर डालते हैं. इसमें, फ़ंक्शन खुले अंतराल (- 6; 6) पर स्थिर बिंदुओं पर m a x y (सबसे बड़ा मान) और m i n y (सबसे छोटा मान) लेता है।

यदि हम अंतराल लें [ 1 ; 6), तो हम कह सकते हैं कि इस पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान एक स्थिर बिंदु पर प्राप्त किया जाएगा। सबसे बड़ा मूल्य हमारे लिए अज्ञात होगा। यदि x = 6 अंतराल से संबंधित है तो फ़ंक्शन x पर अपना अधिकतम मान 6 के बराबर ले सकता है। यह बिल्कुल वैसा ही मामला है जैसा ग्राफ़ 5 में दिखाया गया है।

ग्राफ़ 6 में, यह फ़ंक्शन अंतराल (- 3; 2 ] की दाहिनी सीमा पर अपना सबसे छोटा मान प्राप्त करता है, और हम सबसे बड़े मान के बारे में निश्चित निष्कर्ष नहीं निकाल सकते हैं।

चित्र 7 में हम देखते हैं कि फलन में एक स्थिर बिंदु पर m a x y होगा जिसका भुज 1 के बराबर होगा। फ़ंक्शन अंतराल c की सीमा पर अपने न्यूनतम मान तक पहुंच जाएगा दाहिनी ओर. माइनस इनफिनिटी पर, फ़ंक्शन मान स्पर्शोन्मुख रूप से y = 3 तक पहुंच जाएगा।

यदि हम अंतराल x ∈ 2 लेते हैं; + ∞ , तो हम देखेंगे कि दिया गया फ़ंक्शन न तो सबसे छोटा और न ही सबसे बड़ा मान लेगा। यदि x 2 की ओर प्रवृत्त होता है, तो फ़ंक्शन का मान शून्य से अनंत की ओर प्रवृत्त होगा, क्योंकि सीधी रेखा x = 2 एक ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी है। यदि एब्सिस्सा प्लस इनफिनिटी की ओर जाता है, तो फ़ंक्शन मान असम्बद्ध रूप से y = 3 तक पहुंच जाएगा। यह बिल्कुल वैसा ही है जैसा चित्र 8 में दिखाया गया है।

इस पैराग्राफ में हम उन क्रियाओं का क्रम प्रस्तुत करेंगे जिन्हें एक निश्चित खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान खोजने के लिए निष्पादित करने की आवश्यकता है।

सबसे पहले, आइए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र खोजें। आइए जांचें कि शर्त में निर्दिष्ट खंड इसमें शामिल है या नहीं।
आइए अब इस खंड में शामिल उन बिंदुओं की गणना करें जिन पर पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। अक्सर वे उन फ़ंक्शंस में पाए जा सकते हैं जिनका तर्क मापांक चिह्न के तहत लिखा जाता है, या पावर फ़ंक्शंस में जिनका घातांक एक भिन्नात्मक तर्कसंगत संख्या है।
इसके बाद, हम यह पता लगाएंगे कि दिए गए खंड में कौन से स्थिर बिंदु आएंगे। ऐसा करने के लिए, आपको फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने की आवश्यकता है, फिर इसे 0 के बराबर करें और परिणामी समीकरण को हल करें, और फिर उचित जड़ों का चयन करें। यदि हमें एक भी स्थिर बिंदु नहीं मिलता है या वे दिए गए खंड में नहीं आते हैं, तो हम अगले चरण पर आगे बढ़ते हैं।
हम यह निर्धारित करते हैं कि दिए गए स्थिर बिंदुओं (यदि कोई हो) पर फ़ंक्शन कौन से मान लेगा, या उन बिंदुओं पर जहां पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है (यदि कोई है), या हम x = a और के मानों की गणना करते हैं एक्स = बी.
5. हमारे पास कई फ़ंक्शन मान हैं, जिनमें से अब हमें सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करने की आवश्यकता है। ये फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान होंगे जिन्हें हमें ढूंढना होगा।

आइए देखें कि समस्याओं को हल करते समय इस एल्गोरिदम को सही ढंग से कैसे लागू किया जाए।

उदाहरण 1

स्थिति:फलन y = x 3 + 4 x 2 दिया गया है। खंडों पर इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान निर्धारित करें [ 1 ; 4 ] और [-4 ; - 1 ] .

समाधान:

आइए किसी दिए गए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र ढूंढकर शुरुआत करें। इस स्थिति में, यह 0 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होगा। दूसरे शब्दों में, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . शर्त में निर्दिष्ट दोनों खंड परिभाषा क्षेत्र के अंदर होंगे।

अब हम भिन्न विभेदन के नियम के अनुसार फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 एक्स 3

हमने सीखा कि किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खंडों के सभी बिंदुओं पर मौजूद होगा [ 1 ; 4 ] और [-4 ; - 1 ] .

अब हमें फ़ंक्शन के स्थिर बिंदु निर्धारित करने की आवश्यकता है। आइए इसे समीकरण x 3 - 8 x 3 = 0 का उपयोग करके करें। इसकी केवल एक ही वास्तविक जड़ है, जो कि 2 है। यह फ़ंक्शन का एक स्थिर बिंदु होगा और पहले खंड में आएगा [1; 4 ] .

आइए पहले खंड के अंत में और इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें, अर्थात। x = 1, x = 2 और x = 4 के लिए:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

हमने पाया कि फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 x = 1 पर प्राप्त किया जाएगा, और सबसे छोटा m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 - x = 2 पर।

दूसरे खंड में एक भी स्थिर बिंदु शामिल नहीं है, इसलिए हमें केवल दिए गए खंड के अंत में फ़ंक्शन मानों की गणना करने की आवश्यकता है:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

इसका मतलब है m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

उत्तर:खंड के लिए [1 ; 4 ] - एम ए एक्स वाई एक्स ∈ [ 1 ; 4 ] = वाई (2) = 3 , एम आई एन वाई एक्स ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , खंड के लिए [ - 4 ; - 1 ] - एम ए एक्स वाई एक्स ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

तस्वीर देखने:

इस विधि का अध्ययन करने से पहले, हम आपको यह समीक्षा करने की सलाह देते हैं कि एक तरफा सीमा और अनंत पर सीमा की सही गणना कैसे करें, साथ ही उन्हें खोजने के लिए बुनियादी तरीकों को भी सीखें। किसी खुले या अनंत अंतराल पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और/या सबसे छोटा मान खोजने के लिए, निम्नलिखित चरणों का क्रमिक रूप से पालन करें।

सबसे पहले, आपको यह जांचना होगा कि क्या दिया गया अंतराल दिए गए फ़ंक्शन के डोमेन का सबसेट होगा।
आइए हम उन सभी बिंदुओं को निर्धारित करें जो आवश्यक अंतराल में शामिल हैं और जिन पर पहला व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। वे आम तौर पर उन कार्यों के लिए होते हैं जहां तर्क मापांक चिह्न में संलग्न होता है, और आंशिक रूप से तर्कसंगत घातांक के साथ शक्ति कार्यों के लिए होता है। यदि ये बिंदु गायब हैं, तो आप अगले चरण पर आगे बढ़ सकते हैं।
अब आइए निर्धारित करें कि दिए गए अंतराल में कौन से स्थिर बिंदु आएंगे। सबसे पहले, हम अवकलज को 0 के बराबर करते हैं, समीकरण को हल करते हैं और उपयुक्त मूलों का चयन करते हैं। यदि हमारे पास एक भी स्थिर बिंदु नहीं है या वे निर्दिष्ट अंतराल के भीतर नहीं आते हैं, तो हम तुरंत आगे की कार्रवाई के लिए आगे बढ़ते हैं। वे अंतराल के प्रकार से निर्धारित होते हैं।

यदि अंतराल फॉर्म का है [ ए ; बी) , तो हमें बिंदु x = a और एक तरफा सीमा lim x → b - 0 f (x) पर फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता है।
यदि अंतराल का रूप (a; b ] है, तो हमें बिंदु x = b और एक तरफा सीमा lim x → a + 0 f (x) पर फ़ंक्शन के मान की गणना करने की आवश्यकता है।
यदि अंतराल का रूप (ए; बी) है, तो हमें एक तरफा सीमा लिम एक्स → बी - 0 एफ (एक्स), लिम एक्स → ए + 0 एफ (एक्स) की गणना करने की आवश्यकता है।
यदि अंतराल फॉर्म का है [ ए ; + ∞), तो हमें बिंदु x = a पर मान और प्लस अनंत lim x → + ∞ f (x) पर सीमा की गणना करने की आवश्यकता है।
यदि अंतराल (- ∞ ; b ] जैसा दिखता है, तो हम बिंदु x = b पर मान और शून्य से अनंत सीमा x → - ∞ f (x) पर सीमा की गणना करते हैं।
यदि - ∞ ; b , तो हम एक तरफा सीमा lim x → b - 0 f (x) और शून्य से अनंत lim x → - ∞ f (x) पर सीमा पर विचार करते हैं
अगर - ∞; + ∞ , फिर हम माइनस और प्लस अनंत lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) पर सीमा पर विचार करते हैं।

अंत में, आपको प्राप्त फ़ंक्शन मानों और सीमाओं के आधार पर निष्कर्ष निकालना होगा। यहां कई विकल्प उपलब्ध हैं. इसलिए, यदि एकतरफा सीमा माइनस इनफिनिटी या प्लस इनफिनिटी के बराबर है, तो यह तुरंत स्पष्ट है कि फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों के बारे में कुछ भी नहीं कहा जा सकता है। नीचे हम एक विशिष्ट उदाहरण देखेंगे. विस्तृत विवरण आपको यह समझने में मदद करेंगे कि क्या है। यदि आवश्यक हो, तो आप सामग्री के पहले भाग में चित्र 4 - 8 पर लौट सकते हैं।

उदाहरण 2

शर्त: दिया गया फलन y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4। अंतरालों में इसके सबसे बड़े और सबसे छोटे मान की गणना करें - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [4 ; + ∞) .

समाधान

सबसे पहले, हम फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र ढूंढते हैं। भिन्न के हर में एक द्विघात त्रिपद होता है, जिसे 0 में नहीं बदलना चाहिए:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

हमने फ़ंक्शन की परिभाषा का डोमेन प्राप्त कर लिया है जिससे स्थिति में निर्दिष्ट सभी अंतराल संबंधित हैं।

आइए अब फ़ंक्शन को अलग करें और प्राप्त करें:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 एक्स 2 + एक्स - 6 2

नतीजतन, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न उसकी परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में मौजूद होते हैं।

आइए स्थिर बिंदुओं को खोजने की ओर आगे बढ़ें। फ़ंक्शन का अवकलज x = - 1 2 पर 0 हो जाता है। यह एक स्थिर बिंदु है जो अंतराल (- 3 ; 1 ] और (- 3 ; 2) में स्थित है।

आइए अंतराल (- ∞ ; - 4 ] के लिए x = - 4 पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें, साथ ही शून्य से अनंत पर सीमा की गणना करें:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0। 456 लिम x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

चूँकि 3 e 1 6 - 4 > - 1, इसका मतलब है कि m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. यह हमें विशिष्ट रूप से न्यूनतम मान निर्धारित करने की अनुमति नहीं देता है फ़ंक्शन। हम केवल यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि -1 के नीचे एक बाधा है, क्योंकि यह इस मान पर है कि फ़ंक्शन माइनस इनफिनिटी पर स्पर्शोन्मुख रूप से आता है।

दूसरे अंतराल की ख़ासियत यह है कि इसमें एक भी स्थिर बिंदु और एक भी सख्त सीमा नहीं है। परिणामस्वरूप, हम फ़ंक्शन के सबसे बड़े या सबसे छोटे मान की गणना नहीं कर पाएंगे। माइनस इनफिनिटी पर सीमा को परिभाषित करने और बाईं ओर -3 की ओर झुकाव वाले तर्क के साथ, हमें केवल मानों का अंतराल मिलता है:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 (+ 0) - 4 = 3 ई + ∞ - 4 = + ∞ लिम एक्स → - ∞ 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = 3 ई 0 - 4 = - 1

इसका मतलब है कि फ़ंक्शन मान अंतराल - 1 में स्थित होंगे; +∞

तीसरे अंतराल में फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान खोजने के लिए, हम स्थिर बिंदु x = - 1 2 पर इसका मान निर्धारित करते हैं यदि x = 1 है। हमें उस मामले के लिए एकतरफ़ा सीमा जानने की भी आवश्यकता होगी जब तर्क दाहिनी ओर -3 पर हो:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1। 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1। 644 लिम एक्स → - 3 + 0 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = लिम एक्स → - 3 + 0 3 ई 1 (एक्स + 3) (एक्स - 2) - 4 = 3 ई 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 (- 0) - 4 = 3 ई - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

यह पता चला कि फ़ंक्शन एक स्थिर बिंदु m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 पर सबसे बड़ा मान लेगा। सबसे छोटे मान के लिए, हम इसे निर्धारित नहीं कर सकते। हम जो कुछ भी जानते हैं , - 4 की निचली सीमा की उपस्थिति है।

अंतराल (- 3; 2) के लिए, पिछली गणना के परिणाम लें और एक बार फिर से गणना करें कि बाईं ओर 2 की ओर रुझान होने पर एक तरफा सीमा किसके बराबर है:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1। 444 लिम एक्स → - 3 + 0 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = - 4 लिम एक्स → 2 - 0 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = लिम एक्स → - 3 + 0 3 ई 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

इसका मतलब यह है कि m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, और सबसे छोटा मान निर्धारित नहीं किया जा सकता है, और फ़ंक्शन के मान नीचे से संख्या - 4 द्वारा सीमित हैं .

पिछली दो गणनाओं में हमें जो मिला, उसके आधार पर हम कह सकते हैं कि अंतराल पर [ 1 ; 2) फ़ंक्शन x = 1 पर अपना सबसे बड़ा मान लेगा, लेकिन सबसे छोटा मान पाना असंभव है।

अंतराल (2 ; + ∞) पर फ़ंक्शन या तो सबसे बड़े या सबसे छोटे मान तक नहीं पहुंचेगा, यानी। यह अंतराल से मान लेगा - 1 ; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 ई 1 (+ 0) - 4 = 3 ई + ∞ - 4 = + ∞ लिम एक्स → + ∞ 3 ई 1 एक्स 2 + एक्स - 6 - 4 = 3 ई 0 - 4 = - 1

यह गणना करने पर कि x = 4 पर फ़ंक्शन का मान किसके बराबर होगा, हमें पता चलता है कि m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4, और प्लस इनफिनिटी पर दिया गया फ़ंक्शन स्पर्शोन्मुख रूप से सीधी रेखा y = - 1 तक पहुंचेगा।

आइए प्रत्येक गणना में हमें जो मिला उसकी तुलना दिए गए फ़ंक्शन के ग्राफ़ से करें। चित्र में, अनंतस्पर्शियों को बिंदीदार रेखाओं द्वारा दिखाया गया है।

किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजने के बारे में हम आपको बस इतना ही बताना चाहते थे। हमारे द्वारा दिए गए कार्यों का क्रम आपको आवश्यक गणना यथासंभव शीघ्र और सरलता से करने में मदद करेगा। लेकिन याद रखें कि पहले यह पता लगाना अक्सर उपयोगी होता है कि फ़ंक्शन किस अंतराल पर घटेगा और किस अंतराल पर बढ़ेगा, जिसके बाद आप आगे निष्कर्ष निकाल सकते हैं। इस तरह आप फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को अधिक सटीक रूप से निर्धारित कर सकते हैं और प्राप्त परिणामों को सही ठहरा सकते हैं।

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समस्या कथन 2:

एक ऐसा फ़ंक्शन दिया गया है जो एक निश्चित अंतराल पर परिभाषित और निरंतर है। आपको इस अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान ढूंढना होगा।

सैद्धांतिक आधार।
प्रमेय (दूसरा वीयरस्ट्रैस प्रमेय):

यदि किसी फ़ंक्शन को एक बंद अंतराल में परिभाषित और निरंतर किया जाता है, तो वह इस अंतराल में अपने अधिकतम और न्यूनतम मान तक पहुंच जाता है।

फ़ंक्शन अंतराल के आंतरिक बिंदुओं पर या उसकी सीमाओं पर अपने सबसे बड़े और सबसे छोटे मान तक पहुंच सकता है। आइए सभी संभावित विकल्पों का वर्णन करें।

स्पष्टीकरण:
1) फ़ंक्शन बिंदु पर अंतराल की बाईं सीमा पर अपने उच्चतम मूल्य तक पहुंचता है, और बिंदु पर अंतराल की दाईं सीमा पर इसका न्यूनतम मूल्य होता है।
2) फ़ंक्शन बिंदु पर अपने सबसे बड़े मूल्य (यह अधिकतम बिंदु है) तक पहुंचता है, और बिंदु पर अंतराल की सही सीमा पर इसका न्यूनतम मूल्य होता है।
3) फ़ंक्शन बिंदु पर अंतराल की बाईं सीमा पर अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंचता है, और बिंदु पर इसका न्यूनतम मूल्य (यह न्यूनतम बिंदु है)।
4) फलन अंतराल पर स्थिर है, अर्थात। यह अंतराल के किसी भी बिंदु पर अपने न्यूनतम और अधिकतम मूल्यों तक पहुंचता है, और न्यूनतम और अधिकतम मूल्य एक दूसरे के बराबर होते हैं।
5) फ़ंक्शन बिंदु पर अपने सबसे बड़े मूल्य तक पहुंचता है, और बिंदु पर इसका न्यूनतम मूल्य (इस तथ्य के बावजूद कि इस अंतराल पर फ़ंक्शन में अधिकतम और न्यूनतम दोनों हैं)।
6) फ़ंक्शन एक बिंदु पर अपने सबसे बड़े मूल्य (यह अधिकतम बिंदु है) तक पहुंचता है, और एक बिंदु पर इसका न्यूनतम मूल्य (यह न्यूनतम बिंदु है)।
टिप्पणी:

"अधिकतम" और "अधिकतम मूल्य" अलग-अलग चीजें हैं। यह अधिकतम की परिभाषा और वाक्यांश "अधिकतम मूल्य" की सहज समझ से अनुसरण करता है।

समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम 2.

4) प्राप्त मानों में से सबसे बड़े (सबसे छोटे) का चयन करें और उत्तर लिखें।

उदाहरण 4:

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान निर्धारित करें खंड पर.
समाधान:
1) फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें।

2) समीकरण को हल करके स्थिर बिंदु (और चरम सीमा के संदिग्ध बिंदु) खोजें। उन बिंदुओं पर ध्यान दें जहां कोई दो-तरफा परिमित व्युत्पन्न नहीं है।

3) स्थिर बिंदुओं और अंतराल की सीमाओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें।

4) प्राप्त मानों में से सबसे बड़े (सबसे छोटे) का चयन करें और उत्तर लिखें।

इस खंड पर फ़ंक्शन निर्देशांक वाले बिंदु पर अपने उच्चतम मूल्य तक पहुंचता है।

इस खंड पर फ़ंक्शन निर्देशांक वाले बिंदु पर अपने न्यूनतम मान तक पहुंचता है।

आप अध्ययन के तहत फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखकर गणना की शुद्धता को सत्यापित कर सकते हैं।

टिप्पणी:फ़ंक्शन अधिकतम बिंदु पर अपने सबसे बड़े मूल्य तक पहुंचता है, और खंड की सीमा पर इसका न्यूनतम मूल्य होता है।

एक विशेष मामला.

मान लीजिए आपको किसी सेगमेंट पर किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम मान खोजने की आवश्यकता है। एल्गोरिथम का पहला बिंदु पूरा करने के बाद, यानी व्युत्पन्न की गणना करने पर, यह स्पष्ट हो जाता है कि, उदाहरण के लिए, यह विचाराधीन संपूर्ण अंतराल में केवल नकारात्मक मान लेता है। याद रखें कि यदि व्युत्पन्न ऋणात्मक है, तो फलन घट जाता है। हमने पाया कि पूरे खंड में फ़ंक्शन घटता जाता है। यह स्थिति लेख की शुरुआत में ग्राफ़ नंबर 1 में दिखाई गई है।

खंड पर फ़ंक्शन घटता है, अर्थात। इसका कोई चरम बिंदु नहीं है। चित्र से आप देख सकते हैं कि फ़ंक्शन खंड की दाहिनी सीमा पर सबसे छोटा मान लेगा, और बाईं ओर सबसे बड़ा मान लेगा। यदि खंड पर व्युत्पन्न हर जगह सकारात्मक है, तो फ़ंक्शन बढ़ जाता है। सबसे छोटा मान खंड की बाईं सीमा पर है, सबसे बड़ा दाईं ओर है।

इस सेवा से आप कर सकते हैं किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें Word में स्वरूपित समाधान के साथ एक चर f(x)। इसलिए, यदि फलन f(x,y) दिया गया है, तो दो चरों के फलन का चरम ज्ञात करना आवश्यक है। आप बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल भी पा सकते हैं।

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें

य =

खंड पर [ ;]

सिद्धांत शामिल करें

कार्यों में प्रवेश के नियम:

एक चर के फलन के चरम के लिए आवश्यक शर्त

समीकरण f" 0 (x *) = 0 एक चर के फ़ंक्शन के चरम के लिए एक आवश्यक शर्त है, यानी बिंदु x * पर फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न गायब हो जाना चाहिए। यह स्थिर बिंदुओं x c की पहचान करता है जिस पर फ़ंक्शन नहीं होता है बढ़ा या घटा ।

एक चर के फलन के चरम के लिए पर्याप्त स्थिति

मान लीजिए f 0 (x) समुच्चय D से संबंधित x के संबंध में दो बार अवकलनीय है। यदि बिंदु x * पर शर्त पूरी होती है:

एफ" 0 (एक्स *) = 0
एफ"" 0 (एक्स *) > 0

तब बिंदु x * फ़ंक्शन का स्थानीय (वैश्विक) न्यूनतम बिंदु है।

यदि बिंदु x * पर शर्त पूरी होती है:

एफ" 0 (एक्स *) = 0
एफ"" 0 (एक्स *)< 0

तब बिंदु x * एक स्थानीय (वैश्विक) अधिकतम है।

उदाहरण क्रमांक 1. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजें: खंड पर।
समाधान।

क्रांतिक बिंदु एक x 1 = 2 (f'(x)=0) है। यह बिंदु खंड का है. (बिंदु x=0 महत्वपूर्ण नहीं है, क्योंकि 0∉)।
हम खंड के अंत और महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करते हैं।
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
उत्तर: f मिनट = 5/2 x=2 पर; f अधिकतम =9 x=1 पर

उदाहरण संख्या 2. उच्च क्रम डेरिवेटिव का उपयोग करके, फ़ंक्शन y=x-2sin(x) का चरम ज्ञात करें।
समाधान।
फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें: y'=1-2cos(x) । आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z। हम y''=2sin(x) पाते हैं, गणना करते हैं, जिसका अर्थ है कि x= π / 3 +2πk, k∈Z फ़ंक्शन के न्यूनतम बिंदु हैं; , जिसका अर्थ है x=- π / 3 +2πk, k∈Z फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदु हैं।

उदाहरण संख्या 3. बिंदु x=0 के आसपास चरम फ़ंक्शन की जांच करें।
समाधान। यहां फलन का चरम खोजना आवश्यक है। यदि चरम x=0 है, तो इसका प्रकार (न्यूनतम या अधिकतम) ज्ञात कीजिए। यदि पाए गए बिंदुओं में कोई x = 0 नहीं है, तो फ़ंक्शन f(x=0) के मान की गणना करें।
यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि जब किसी दिए गए बिंदु के प्रत्येक पक्ष पर व्युत्पन्न अपना संकेत नहीं बदलता है, तो संभावित स्थितियां अलग-अलग कार्यों के लिए भी समाप्त नहीं होती हैं: ऐसा हो सकता है कि बिंदु x 0 के एक तरफ एक मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस के लिए या दोनों तरफ व्युत्पन्न परिवर्तन चिह्न। इन बिंदुओं पर चरम सीमा पर कार्यों का अध्ययन करने के लिए अन्य तरीकों का उपयोग करना आवश्यक है।

मान लीजिए कि फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ को कुछ सीमित बंद डोमेन $D$ में परिभाषित और निरंतर किया जाता है। मान लीजिए कि इस क्षेत्र में दिए गए फ़ंक्शन में पहले क्रम के सीमित आंशिक व्युत्पन्न हैं (शायद, अंकों की एक सीमित संख्या को छोड़कर)। किसी दिए गए बंद क्षेत्र में दो चर वाले फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को खोजने के लिए, एक सरल एल्गोरिदम के तीन चरणों की आवश्यकता होती है।

एक बंद डोमेन $D$ में फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए एल्गोरिदम।

डोमेन $D$ से संबंधित फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें। महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की गणना करें।
संभावित अधिकतम और न्यूनतम मानों के बिंदुओं का पता लगाते हुए, क्षेत्र $D$ की सीमा पर फ़ंक्शन $z=f(x,y)$ के व्यवहार की जांच करें। प्राप्त बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की गणना करें।
पिछले दो पैराग्राफ में प्राप्त फ़ंक्शन मानों में से, सबसे बड़े और सबसे छोटे का चयन करें।

महत्वपूर्ण बिंदु क्या हैं? छिपा हुया दिखाओ

अंतर्गत महत्वपूर्ण बिंदुउन बिंदुओं को इंगित करें जिन पर प्रथम-क्रम के दोनों आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर हैं (अर्थात् $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ और $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) या कम से कम एक आंशिक व्युत्पन्न मौजूद नहीं है।

अक्सर वे बिंदु जिन पर प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न शून्य के बराबर होते हैं, कहलाते हैं स्थिर बिंदु. इस प्रकार, स्थिर बिंदु महत्वपूर्ण बिंदुओं का एक उपसमूह हैं।

उदाहरण क्रमांक 1

$x=3$, $y=0$ और $y=x रेखाओं से घिरे एक बंद क्षेत्र में फ़ंक्शन $z=x^2+2xy-y^2-4x$ का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजें +1$.

हम उपरोक्त का पालन करेंगे, लेकिन पहले हम किसी दिए गए क्षेत्र के चित्रण से निपटेंगे, जिसे हम $D$ अक्षर से निरूपित करेंगे। हमें इस क्षेत्र को सीमित करने वाली तीन सीधी रेखाओं के समीकरण दिए गए हैं। सीधी रेखा $x=3$ कोटि अक्ष (Oy अक्ष) के समानांतर बिंदु $(3;0)$ से होकर गुजरती है। सीधी रेखा $y=0$ भुज अक्ष (ऑक्स अक्ष) का समीकरण है। खैर, रेखा $y=x+1$ बनाने के लिए, हमें दो बिंदु मिलेंगे जिनके माध्यम से हम यह रेखा खींचेंगे। बेशक, आप $x$ के स्थान पर कुछ मनमाने मान स्थानापन्न कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, $x=10$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: $y=x+1=10+1=11$. हमें रेखा $y=x+1$ पर स्थित बिंदु $(10;11)$ मिला है। हालाँकि, उन बिंदुओं को ढूंढना बेहतर है जिन पर सीधी रेखा $y=x+1$ रेखाओं $x=3$ और $y=0$ को काटती है। यह बेहतर क्यों है? क्योंकि हम एक पत्थर से कुछ पक्षियों को मार देंगे: हमें सीधी रेखा $y=x+1$ बनाने के लिए दो बिंदु मिलेंगे और साथ ही यह पता चलेगा कि यह सीधी रेखा दिए गए क्षेत्र को सीमित करने वाली अन्य रेखाओं को किन बिंदुओं पर काटती है। रेखा $y=x+1$ रेखा $x=3$ को बिंदु $(3;4)$ पर प्रतिच्छेद करती है, और रेखा $y=0$ बिंदु $(-1;0)$ पर प्रतिच्छेद करती है। सहायक स्पष्टीकरणों के साथ समाधान की प्रगति को अव्यवस्थित न करने के लिए, मैं इन दो बिंदुओं को प्राप्त करने के प्रश्न को एक नोट में रखूंगा।

अंक $(3;4)$ और $(-1;0)$ कैसे प्राप्त हुए? छिपा हुया दिखाओ

आइए $y=x+1$ और $x=3$ रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से शुरू करें। वांछित बिंदु के निर्देशांक पहली और दूसरी दोनों सीधी रेखाओं से संबंधित हैं, इसलिए, अज्ञात निर्देशांक खोजने के लिए, आपको समीकरणों की प्रणाली को हल करने की आवश्यकता है:

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और y=x+1;\\ और x=3. \end(संरेखित) \दाएं। $$

ऐसी प्रणाली का समाधान तुच्छ है: पहले समीकरण में $x=3$ को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होगा: $y=3+1=4$। बिंदु $(3;4)$ रेखाओं $y=x+1$ और $x=3$ का वांछित प्रतिच्छेदन बिंदु है।

आइए अब रेखाओं $y=x+1$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। आइए हम फिर से समीकरणों की प्रणाली बनाएं और हल करें:

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और y=x+1;\\ और y=0. \end(संरेखित) \दाएं। $$

पहले समीकरण में $y=0$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: $0=x+1$, $x=-1$। बिंदु $(-1;0)$ रेखाओं $y=x+1$ और $y=0$ (x-अक्ष) का वांछित प्रतिच्छेदन बिंदु है।

एक चित्र बनाने के लिए सब कुछ तैयार है जो इस तरह दिखेगा:

नोट का सवाल तो साफ लग रहा है, क्योंकि तस्वीर में सब कुछ दिख रहा है. हालाँकि, यह याद रखने योग्य है कि कोई चित्र साक्ष्य के रूप में काम नहीं कर सकता। चित्र केवल चित्रण प्रयोजनों के लिए है।

हमारे क्षेत्र को सीधी रेखा समीकरणों का उपयोग करके परिभाषित किया गया था जो इसे बांधते थे। जाहिर है, ये रेखाएँ एक त्रिभुज को परिभाषित करती हैं, है ना? या यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है? या हो सकता है कि हमें एक ही पंक्ति से घिरा हुआ एक अलग क्षेत्र दिया गया हो:

बेशक, शर्त कहती है कि क्षेत्र बंद है, इसलिए दिखाया गया चित्र गलत है। लेकिन ऐसी अस्पष्टताओं से बचने के लिए, क्षेत्रों को असमानताओं के आधार पर परिभाषित करना बेहतर है। क्या हम सीधी रेखा $y=x+1$ के नीचे स्थित विमान के हिस्से में रुचि रखते हैं? ठीक है, तो $y ≤ x+1$। क्या हमारा क्षेत्र $y=0$ रेखा के ऊपर स्थित होना चाहिए? बढ़िया, इसका मतलब है $y ≥ 0$। वैसे, अंतिम दो असमानताओं को आसानी से एक में जोड़ा जा सकता है: $0 ≤ y ≤ x+1$।

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और 0 ≤ y ≤ x+1;\\ और x ≤ 3. \end(संरेखित) \दाएं। $$

ये असमानताएँ क्षेत्र $D$ को परिभाषित करती हैं, और वे इसे किसी भी अस्पष्टता की अनुमति दिए बिना, स्पष्ट रूप से परिभाषित करते हैं। लेकिन नोट की शुरुआत में बताए गए प्रश्न से हमें यह कैसे मदद मिलती है? इससे भी मदद मिलेगी :) हमें यह जांचने की ज़रूरत है कि बिंदु $M_1(1;1)$ क्षेत्र $D$ से संबंधित है या नहीं। आइए हम इस क्षेत्र को परिभाषित करने वाली असमानताओं की प्रणाली में $x=1$ और $y=1$ को प्रतिस्थापित करें। यदि दोनों असमानताएँ संतुष्ट हैं, तो बिंदु क्षेत्र के अंदर है। यदि असमानताओं में से कम से कम एक संतुष्ट नहीं है, तो मुद्दा क्षेत्र से संबंधित नहीं है। इसलिए:

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ और 1 ≤ 3. \अंत(संरेखित) \दाएं। \;\; \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(संरेखित) \दाएं $$।

दोनों असमानताएँ वैध हैं। बिंदु $M_1(1;1)$ क्षेत्र $D$ से संबंधित है।

अब क्षेत्र की सीमा पर फ़ंक्शन के व्यवहार का अध्ययन करने का समय आ गया है, अर्थात। के लिए चलते हैं । आइए सीधी रेखा $y=0$ से शुरू करें।

सीधी रेखा $y=0$ (एब्सिस्सा अक्ष) $-1 ≤ x ≤ 3$ शर्त के तहत क्षेत्र $D$ को सीमित करती है। आइए दिए गए फ़ंक्शन $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$ में $y=0$ को प्रतिस्थापित करें। हम प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप प्राप्त एक चर $x$ के फ़ंक्शन को $f_1(x)$ के रूप में दर्शाते हैं:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

अब फ़ंक्शन $f_1(x)$ के लिए हमें अंतराल $-1 ≤ x ≤ 3$ पर सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजने की आवश्यकता है। आइए इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें और इसे शून्य के बराबर करें:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

मूल्य $x=2$ खंड $-1 ≤ x ≤ 3$ से संबंधित है, इसलिए हम अंकों की सूची में $M_2(2;0)$ भी जोड़ देंगे। इसके अलावा, आइए सेगमेंट $-1 ≤ x ≤ 3$ के अंत में फ़ंक्शन $z$ के मानों की गणना करें, यानी। बिंदु $M_3(-1;0)$ और $M_4(3;0)$ पर। वैसे, यदि बिंदु $M_2$ विचाराधीन खंड से संबंधित नहीं था, तो, निश्चित रूप से, इसमें फ़ंक्शन $z$ के मान की गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं होगी।

तो, आइए बिंदु $M_2$, $M_3$, $M_4$ पर फ़ंक्शन $z$ के मानों की गणना करें। बेशक, आप इन बिंदुओं के निर्देशांक को मूल अभिव्यक्ति $z=x^2+2xy-y^2-4x$ में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, बिंदु $M_2$ के लिए हमें मिलता है:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

हालाँकि, गणनाओं को थोड़ा सरल बनाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, यह याद रखने योग्य है कि सेगमेंट $M_3M_4$ पर हमारे पास $z(x,y)=f_1(x)$ है। मैं इसे विस्तार से लिखूंगा:

\begin(संरेखित) और z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ और z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(संरेखित)

बेशक, आमतौर पर ऐसे विस्तृत रिकॉर्ड की कोई आवश्यकता नहीं होती है, और भविष्य में हम सभी गणनाओं को संक्षेप में लिखेंगे:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

अब आइए सीधी रेखा $x=3$ की ओर मुड़ें। यह सीधी रेखा $0 ≤ y ≤ 4$ शर्त के तहत क्षेत्र $D$ को सीमित करती है। आइए दिए गए फ़ंक्शन $z$ में $x=3$ को प्रतिस्थापित करें। इस प्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप हमें फ़ंक्शन $f_2(y)$ मिलता है:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

फ़ंक्शन $f_2(y)$ के लिए हमें अंतराल $0 ≤ y ≤ 4$ पर सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजने की आवश्यकता है। आइए इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें और इसे शून्य के बराबर करें:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

मान $y=3$ खंड $0 ≤ y ≤ 4$ से संबंधित है, इसलिए हम पहले पाए गए बिंदुओं में $M_5(3;3)$ भी जोड़ देंगे। इसके अलावा, सेगमेंट $0 ≤ y ≤ 4$ के सिरों पर बिंदुओं पर फ़ंक्शन $z$ के मूल्य की गणना करना आवश्यक है, यानी। बिंदु $M_4(3;0)$ और $M_6(3;4)$ पर। बिंदु $M_4(3;0)$ पर हमने पहले ही $z$ के मूल्य की गणना कर ली है। आइए बिंदु $M_5$ और $M_6$ पर फ़ंक्शन $z$ के मान की गणना करें। मैं आपको याद दिला दूं कि सेगमेंट $M_4M_6$ पर हमारे पास $z(x,y)=f_2(y)$ है, इसलिए:

\begin(संरेखित) और z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; और z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(संरेखित)

और अंत में, क्षेत्र की अंतिम सीमा $D$ पर विचार करें, अर्थात। सीधी रेखा $y=x+1$. यह सीधी रेखा $-1 ≤ x ≤ 3$ शर्त के तहत क्षेत्र $D$ को सीमित करती है। फ़ंक्शन $z$ में $y=x+1$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास होगा:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

एक बार फिर हमारे पास एक वेरिएबल $x$ का एक फ़ंक्शन है। और फिर से हमें अंतराल $-1 ≤ x ≤ 3$ पर इस फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने की आवश्यकता है। आइए फ़ंक्शन $f_(3)(x)$ का व्युत्पन्न खोजें और इसे शून्य के बराबर करें:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

मान $x=1$ अंतराल $-1 ≤ x ≤ 3$ से संबंधित है। यदि $x=1$, तो $y=x+1=2$. आइए बिंदुओं की सूची में $M_7(1;2)$ जोड़ें और पता लगाएं कि इस बिंदु पर फ़ंक्शन $z$ का मूल्य क्या है। खंड के अंत में बिंदु $-1 ≤ x ≤ 3$, यानी। अंक $M_3(-1;0)$ और $M_6(3;4)$ पर पहले विचार किया गया था, हमें उनमें फ़ंक्शन का मान पहले ही मिल गया था।

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

समाधान का दूसरा चरण पूरा हो गया है. हमें सात मान प्राप्त हुए:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

आइये आगे बढ़ते हैं. तीसरे पैराग्राफ में प्राप्त संख्याओं में से सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान चुनने पर, हमारे पास होगा:

$$z_(मिनट)=-4; \; z_(अधिकतम)=6.$$

समस्या हल हो गई है, जो कुछ बचा है वह उत्तर लिखना है।

उत्तर: $z_(मिनट)=-4; \; z_(अधिकतम)=6$.

उदाहरण क्रमांक 2

$x^2+y^2 ≤ 25$ क्षेत्र में फ़ंक्शन $z=x^2+y^2-12x+16y$ का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजें।

सबसे पहले, आइए एक चित्र बनाएं। समीकरण $x^2+y^2=25$ (यह किसी दिए गए क्षेत्र की सीमा रेखा है) मूल बिंदु पर एक केंद्र (यानी बिंदु $(0;0)$) और त्रिज्या के साथ एक वृत्त को परिभाषित करता है 5. असमानता $x^2 +y^2 ≤ $25 उल्लिखित सर्कल के अंदर और ऊपर सभी बिंदुओं को संतुष्ट करती है।

हम उसके अनुसार कार्य करेंगे। आइए आंशिक व्युत्पन्न खोजें और महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाएं।

$$ \frac(\आंशिक z)(\आंशिक x)=2x-12; \frac(\आंशिक z)(\आंशिक y)=2y+16. $$

ऐसा कोई बिंदु नहीं है जिस पर पाया गया आंशिक व्युत्पन्न मौजूद न हो। आइए जानें कि किन बिंदुओं पर दोनों आंशिक व्युत्पन्न एक साथ शून्य के बराबर हैं, यानी। आइए स्थिर बिंदु खोजें।

$$ \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और 2x-12=0;\\ और 2y+16=0. \end(संरेखित) \दाएं। \;\; \बाएं \( \शुरू(संरेखित) और x =6;\\ & y=-8. \end(संरेखित) \दाएं $$.

हमने एक स्थिर बिंदु $(6;-8)$ प्राप्त किया है। हालाँकि, पाया गया बिंदु $D$ क्षेत्र से संबंधित नहीं है। इसे रेखांकन का सहारा लिए बिना भी दिखाना आसान है। आइए देखें कि क्या असमानता $x^2+y^2 ≤ 25$ कायम है, जो हमारे क्षेत्र $D$ को परिभाषित करती है। यदि $x=6$, $y=-8$, तो $x^2+y^2=36+64=100$, यानी। असमानता $x^2+y^2 ≤ 25$ कायम नहीं है। निष्कर्ष: बिंदु $(6;-8)$ क्षेत्र $D$ से संबंधित नहीं है।

इसलिए, $D$ क्षेत्र के अंदर कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। चलिए आगे बढ़ते हैं... हमें किसी दिए गए क्षेत्र की सीमा पर किसी फ़ंक्शन के व्यवहार का अध्ययन करने की आवश्यकता है, अर्थात। वृत्त पर $x^2+y^2=25$. बेशक, हम $y$ को $x$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति को हमारे फ़ंक्शन $z$ में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। एक वृत्त के समीकरण से हमें मिलता है: $y=\sqrt(25-x^2)$ या $y=-\sqrt(25-x^2)$. उदाहरण के लिए, $y=\sqrt(25-x^2)$ को दिए गए फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास होगा:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

आगे का समाधान पिछले उदाहरण संख्या 1 में क्षेत्र की सीमा पर फ़ंक्शन के व्यवहार के अध्ययन के पूरी तरह से समान होगा। हालाँकि, मुझे इस स्थिति में लैग्रेंज पद्धति को लागू करना अधिक उचित लगता है। हमें इस पद्धति के केवल पहले भाग में ही रुचि होगी। लैग्रेंज विधि के पहले भाग को लागू करने के बाद, हमें ऐसे बिंदु प्राप्त होंगे जिन पर हम न्यूनतम और अधिकतम मानों के लिए फ़ंक्शन $z$ की जांच करेंगे।

हम लैग्रेंज फ़ंक्शन बनाते हैं:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

हम लैग्रेंज फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न ढूंढते हैं और समीकरणों की संगत प्रणाली बनाते हैं:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (संरेखित) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0 सही. \left \( \begin(allined) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( संरेखित)\right.$ $

इस प्रणाली को हल करने के लिए, आइए तुरंत बताएं कि $\lambda\neq -1$। $\lambda\neq -1$ क्यों? आइए पहले समीकरण में $\lambda=-1$ को प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

परिणामी विरोधाभास $0=6$ इंगित करता है कि मूल्य $\lambda=-1$ अस्वीकार्य है। आउटपुट: $\lambda\neq -1$। आइए $x$ और $y$ को $\lambda$ के रूप में व्यक्त करें:

\begin(संरेखित) और x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(संरेखित)

मेरा मानना है कि यहां यह स्पष्ट हो जाता है कि हमने विशेष रूप से शर्त $\lambda\neq -1$ क्यों निर्धारित की है। यह अभिव्यक्ति $1+\lambda$ को बिना किसी हस्तक्षेप के हर में फिट करने के लिए किया गया था। यानी, यह सुनिश्चित करने के लिए कि हर $1+\lambda\neq 0$ है।

आइए $x$ और $y$ के परिणामी भावों को सिस्टम के तीसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें, यानी। $x^2+y^2=25$ में:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

परिणामी समानता से यह पता चलता है कि $1+\lambda=2$ या $1+\lambda=-2$। इसलिए हमारे पास पैरामीटर $\lambda$ के दो मान हैं, अर्थात्: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$। तदनुसार, हमें $x$ और $y$ मानों के दो जोड़े मिलते हैं:

\begin(संरेखित) और x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(संरेखित)

तो, हमने संभावित सशर्त चरम के दो बिंदु प्राप्त किए हैं, अर्थात। $M_1(3;-4)$ और $M_2(-3;4)$. आइए बिंदु $M_1$ और $M_2$ पर फ़ंक्शन $z$ का मान ज्ञात करें:

\begin(संरेखित) और z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(संरेखित)

हमें पहले और दूसरे चरण में प्राप्त मूल्यों में से सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों का चयन करना चाहिए। लेकिन इस मामले में विकल्प छोटा है :) हमारे पास है:

$$ z_(मिनट)=-75; \; z_(अधिकतम)=125. $$

उत्तर: $z_(मिनट)=-75; \; z_(अधिकतम)=$125.

किसी कार्य का चरम क्या है और चरम के लिए आवश्यक शर्त क्या है?

किसी फ़ंक्शन का चरम फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम होता है।

किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम (चरम) के लिए आवश्यक शर्त निम्नलिखित है: यदि फ़ंक्शन f(x) का चरम बिंदु x = a पर है, तो इस बिंदु पर व्युत्पन्न या तो शून्य है, या अनंत है, या करता है मौजूद नहीं।

यह शर्त आवश्यक है, परंतु पर्याप्त नहीं है। बिंदु x = a पर व्युत्पन्न शून्य, अनंत तक जा सकता है, या इस बिंदु पर चरम सीमा वाले फ़ंक्शन के बिना मौजूद नहीं हो सकता है।

किसी फ़ंक्शन के चरम (अधिकतम या न्यूनतम) के लिए पर्याप्त स्थिति क्या है?

पहली शर्त:

यदि, बिंदु x = a के पर्याप्त निकटता में, व्युत्पन्न f?(x) a के बाईं ओर सकारात्मक है और a के दाईं ओर नकारात्मक है, तो बिंदु x = a पर फ़ंक्शन f(x) है अधिकतम

यदि, बिंदु x = a के पर्याप्त निकटता में, व्युत्पन्न f?(x) a के बाईं ओर नकारात्मक और a के दाईं ओर सकारात्मक है, तो बिंदु x = a पर फ़ंक्शन f(x) है न्यूनतमबशर्ते कि यहां फलन f(x) सतत है।

इसके बजाय, आप किसी फ़ंक्शन के चरम के लिए दूसरी पर्याप्त शर्त का उपयोग कर सकते हैं:

मान लीजिए बिंदु x = a पर पहला अवकलज f?(x) लुप्त हो जाता है; यदि दूसरा व्युत्पन्न f??(a) नकारात्मक है, तो फ़ंक्शन f(x) का बिंदु x = a पर अधिकतम है, यदि यह सकारात्मक है, तो इसका न्यूनतम है।

किसी फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु क्या है और इसे कैसे खोजें?

यह फ़ंक्शन तर्क का मान है जिस पर फ़ंक्शन का चरम (यानी अधिकतम या न्यूनतम) होता है। इसे खोजने के लिए आपको चाहिए व्युत्पन्न खोजेंफ़ंक्शन f?(x) और, इसे शून्य के बराबर करते हुए, प्रश्न हल करें f?(x) = 0. इस समीकरण की जड़ें, साथ ही वे बिंदु जिन पर इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, महत्वपूर्ण बिंदु हैं, अर्थात, तर्क के मान जिस पर चरम हो सकता है। इन्हें देखकर आसानी से पहचाना जा सकता है व्युत्पन्न ग्राफ: हम तर्क के उन मूल्यों में रुचि रखते हैं जिन पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ एब्सिस्सा अक्ष (ऑक्स अक्ष) को काटता है और जिन पर ग्राफ़ में असंतोष होता है।

उदाहरण के लिए, आइए खोजें परवलय का चरम.

फलन y(x) = 3x2 + 2x - 50.

फलन का व्युत्पन्न: y?(x) = 6x + 2

समीकरण हल करें: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

इस मामले में, क्रांतिक बिंदु x0=-1/3 है। यह इस तर्क मान के साथ है कि फ़ंक्शन में है चरम. उसे खोजो, फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्ति में पाए गए नंबर को "x" के बजाय प्रतिस्थापित करें:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम कैसे निर्धारित करें, अर्थात। इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान?

यदि क्रांतिक बिंदु x0 से गुजरते समय व्युत्पन्न का चिह्न "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है, तो x0 है अधिकतम बिंदु; यदि अवकलज का चिह्न ऋण से धन में बदल जाता है, तो x0 है न्यूनतम बिंदु; यदि चिह्न नहीं बदलता है, तो बिंदु x0 पर न तो अधिकतम है और न ही न्यूनतम।

उदाहरण के लिए विचार किया गया:

हम महत्वपूर्ण बिंदु के बाईं ओर के तर्क का एक मनमाना मान लेते हैं: x = -1

x = -1 पर, अवकलज का मान y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 होगा (अर्थात् चिह्न "ऋण" है)।

अब हम महत्वपूर्ण बिंदु के दाईं ओर के तर्क का एक मनमाना मान लेते हैं: x = 1

x = 1 पर, अवकलज का मान y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 होगा (अर्थात चिह्न "प्लस" है)।

जैसा कि आप देख सकते हैं, महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय व्युत्पन्न का चिह्न माइनस से प्लस में बदल गया। इसका मतलब यह है कि क्रांतिक मान x0 पर हमारे पास न्यूनतम बिंदु है।

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान अंतराल पर(एक खंड पर) एक ही प्रक्रिया का उपयोग करके पाए जाते हैं, केवल इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि शायद सभी महत्वपूर्ण बिंदु निर्दिष्ट अंतराल के भीतर नहीं होंगे। वे महत्वपूर्ण बिंदु जो अंतराल के बाहर हैं, उन्हें विचार से बाहर रखा जाना चाहिए। यदि अंतराल के अंदर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, तो इसका अधिकतम या न्यूनतम होगा। इस मामले में, फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान को निर्धारित करने के लिए, हम अंतराल के अंत में फ़ंक्शन के मानों को भी ध्यान में रखते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

अंतरालों पर:

तो, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

हम समीकरण 3cos(x) - 0.5 = 0 को हल करते हैं

क्योंकि(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

हम अंतराल पर महत्वपूर्ण बिंदु पाते हैं [-9; 9]:

x = आर्ककोस(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

x = -arccos(0.16667) - 2π*1 = -7.687

x = आर्ककोस(0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = आर्ककोस(0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = आर्ककोस(0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

हम तर्क के महत्वपूर्ण मूल्यों पर फ़ंक्शन मान पाते हैं:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

यह देखा जा सकता है कि अंतराल पर [-9; 9] फ़ंक्शन का मान x = -4.88 पर सबसे बड़ा है:

एक्स = -4.88, वाई = 5.398,

और सबसे छोटा - x = 4.88 पर:

एक्स = 4.88, वाई = -5.398.

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है: x = -4.88। x = -4.88 पर फ़ंक्शन का मान y = 5.398 के बराबर है।

अंतराल के अंत में फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मूल्य है

y = 5.398 x = -4.88 पर

सबसे छोटा मान -

y = 1.077 x = -3 पर

फ़ंक्शन ग्राफ़ के विभक्ति बिंदु कैसे खोजें और उत्तल और अवतल पक्षों का निर्धारण कैसे करें?

रेखा y = f(x) के सभी विभक्ति बिंदुओं को खोजने के लिए, आपको दूसरा व्युत्पन्न ढूंढना होगा, इसे शून्य के बराबर करना होगा (समीकरण को हल करना होगा) और x के उन सभी मानों का परीक्षण करना होगा जिनके लिए दूसरा व्युत्पन्न शून्य है, अनंत या अस्तित्व में नहीं है. यदि, इनमें से किसी एक मान से गुजरते समय, दूसरा व्युत्पन्न संकेत बदलता है, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ में इस बिंदु पर एक विभक्ति होती है। यदि यह नहीं बदलता है, तो कोई मोड़ नहीं है।

समीकरण की जड़ें एफ? (x) = 0, साथ ही फ़ंक्शन और दूसरे व्युत्पन्न के असंततता के संभावित बिंदु, फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र को कई अंतरालों में विभाजित करते हैं। उनके प्रत्येक अंतराल पर उत्तलता दूसरे व्युत्पन्न के चिह्न द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि अध्ययन के तहत अंतराल पर एक बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो रेखा y = f(x) ऊपर की ओर अवतल है, और यदि नकारात्मक है, तो नीचे की ओर है।

दो चरों वाले किसी फलन का चरम कैसे ज्ञात करें?

फ़ंक्शन f(x,y) के चरम को खोजने के लिए, जो इसके विनिर्देशन के क्षेत्र में भिन्न है, आपको चाहिए:

1) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, और इसके लिए - समीकरणों की प्रणाली को हल करें

एफх? (x,y) = 0, fу? (एक्स,वाई) = 0

2) प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु P0(a;b) के लिए जांच करें कि क्या अंतर का चिह्न अपरिवर्तित रहता है

सभी बिंदुओं (x;y) के लिए P0 के पर्याप्त करीब। यदि अंतर सकारात्मक रहता है, तो बिंदु P0 पर हमारे पास न्यूनतम है, यदि नकारात्मक है, तो हमारे पास अधिकतम है। यदि अंतर अपना चिह्न बरकरार नहीं रखता है, तो बिंदु P0 पर कोई चरम सीमा नहीं है।

किसी फ़ंक्शन के चरम को बड़ी संख्या में तर्कों के लिए समान रूप से निर्धारित किया जाता है।

कौन सा कार्बोनेटेड शीतल पेय सतहों को साफ करता है?
एक राय है कि कार्बोनेटेड शीतल पेय कोका-कोला मांस को घोल सकता है। लेकिन, दुर्भाग्य से, इसका कोई प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं है। इसके विपरीत, इस बात की पुष्टि करने वाले सकारात्मक तथ्य हैं कि कोका-कोला पेय में दो दिनों तक छोड़ा गया मांस उपभोक्ता गुणों में बदल जाता है और कहीं भी गायब नहीं होता है।

मानक अपार्टमेंट के लेआउट, घरों के विवरण और तस्वीरें वेबसाइटों पर देखी जा सकती हैं: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - Goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko. नेट/कला

न्यूरोसिस का इलाज कैसे करें
न्यूरोसिस (नोवोलेट। न्यूरोसिस, प्राचीन ग्रीक νε?ρον से आता है - तंत्रिका; पर्यायवाची शब्द - साइकोन्यूरोसिस, न्यूरोटिक विकार) - क्लिनिक में: कार्यात्मक मनोवैज्ञानिक प्रतिवर्ती विकारों के एक समूह के लिए एक सामूहिक नाम जो लगातार बने रहते हैं

अप्सरा क्या है
एपोसेंटर कक्षा में वह बिंदु है जिस पर एक पिंड दूसरे पिंड के चारों ओर अण्डाकार कक्षा में घूमता हुआ दूसरे पिंड से अपनी अधिकतम दूरी तक पहुंचता है। उसी बिंदु पर, केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार, कक्षीय गति की गति न्यूनतम हो जाती है। एपोसेंटर पेरीएप्सिस के बिल्कुल विपरीत बिंदु पर स्थित होता है। विशेष मामलों में, विशेष शब्दों का उपयोग करने की प्रथा है:

मैमन क्या है?
मैमोन (m.r.), मैमोन (f.r.) - ग्रीक से लिया गया एक शब्द। मैमोनास और अर्थ धन, सांसारिक खजाने, आशीर्वाद। कुछ प्राचीन बुतपरस्त लोगों के बीच, वह धन और लाभ का देवता था। इंजीलवादी मैथ्यू और ल्यूक द्वारा पवित्र धर्मग्रंथों में उल्लेख किया गया है: "कोई भी दो स्वामियों की सेवा नहीं कर सकता: क्योंकि वह एक से और दूसरे से घृणा करेगा।"

2049 में ऑर्थोडॉक्स ईस्टर कब है?
2015 में, रूढ़िवादी ईस्टर 12 अप्रैल को होगा, और कैथोलिक ईस्टर 5 अप्रैल को होगा। चर्च कैलेंडर जूलियन कैलेंडर (पुरानी शैली) के अनुसार रूढ़िवादी ईस्टर की तारीखें देते हैं, जबकि कैथोलिक ईस्टर की गणना आधुनिक ग्रेगोरियन कैलेंडर (नई शैली) के अनुसार की जाती है, इसलिए तारीखों की तुलना करने के लिए कुछ मानसिक प्रयास की आवश्यकता होती है

एक रूबल क्या है?
रूबल रूस, बेलारूस (बेलारूसी रूबल), ट्रांसनिस्ट्रिया (ट्रांसनिस्ट्रियन रूबल) की आधुनिक मुद्राओं का नाम है। रूसी रूबल का उपयोग दक्षिण ओसेशिया और अब्खाज़िया में भी किया जाता है। अतीत में - रूसी गणराज्यों और रियासतों की मौद्रिक इकाई, मॉस्को की ग्रैंड डची, रूसी ज़ारडोम, लिथुआनिया की ग्रैंड डची, रूसी साम्राज्य और कई अन्य

एरियल शेरोन कितने समय तक कोमा में थी?
एरियल एरिक शेरोन (शीनरमैन) - इजरायली सैन्य, राजनीतिक और राजनेता, 2001 से 2006 तक इजरायल के प्रधान मंत्री। जन्म तिथि: 26 फरवरी, 1928 जन्म स्थान: कफर सावा, इज़राइल के पास कफर मलाल बस्ती मृत्यु तिथि: 11 जनवरी, 2014 मृत्यु स्थान: रामत गण, गुश दान, इज़

निएंडरथल कौन थे?
निएंडरथल, निएंडरथल मानव (अव्य. होमो निएंडरथेलेंसिस या होमो सेपियंस निएंडरथेलेंसिस) 300-24 हजार साल पहले रहने वाले लोगों की एक जीवाश्म प्रजाति है। नाम की उत्पत्ति ऐसा माना जाता है कि निएंडरथल खोपड़ी पहली बार 1856 में मिली थी

जेफ्री रश कितने साल के हैं
जेफ्री रश एक ऑस्ट्रेलियाई फिल्म और मंच अभिनेता हैं। ऑस्कर (1997), बाफ्टा (1996, 1999), गोल्डन ग्लोब (1997, 2005) के विजेता। उनकी भागीदारी वाली सबसे प्रसिद्ध फ़िल्में "शाइन" हैं।

किसी फ़ंक्शन ग्राफ़ की उत्तलता और अवतलता अंतराल का निर्धारण कैसे करें
किसी कार्य का चरम क्या है और चरम के लिए आवश्यक शर्त क्या है? किसी फ़ंक्शन का चरम फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम होता है। किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम (चरम) के लिए आवश्यक शर्त निम्नलिखित है: यदि फ़ंक्शन f(x) का चरम बिंदु x = a पर है, तो इस बिंदु पर व्युत्पन्न या तो शून्य है, या अनंत है, या करता है मौजूद नहीं। यह शर्त आवश्यक है, परंतु पर्याप्त नहीं है। टी में व्युत्पन्न