อนุพันธ์เชิงซ้อน อนุพันธ์ลอการิทึม
อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังยกกำลัง

เราปรับปรุงเทคนิคการสร้างความแตกต่างของเราอย่างต่อเนื่อง ในบทนี้ เราจะรวมเนื้อหาที่เราได้กล่าวถึง ดูอนุพันธ์ที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น และทำความคุ้นเคยกับเทคนิคและเทคนิคใหม่ๆ ในการค้นหาอนุพันธ์ โดยเฉพาะอนุพันธ์ลอการิทึม

ผู้อ่านที่มีการเตรียมตัวในระดับต่ำควรอ่านบทความนี้ จะหาอนุพันธ์ได้อย่างไร? ตัวอย่างการแก้ปัญหาซึ่งจะช่วยให้คุณยกระดับทักษะของคุณเกือบจะตั้งแต่เริ่มต้น ถัดไปคุณต้องศึกษาหน้าอย่างละเอียด อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเข้าใจและแก้ไข ทั้งหมดตัวอย่างที่ฉันให้ บทเรียนนี้เป็นบทที่สามตามหลักตรรกะ และหลังจากเชี่ยวชาญแล้ว คุณจะแยกแยะฟังก์ชันที่ค่อนข้างซับซ้อนได้อย่างมั่นใจ ไม่พึงปรารถนาที่จะรับตำแหน่ง "ที่ไหนอีก? เพียงพอแล้ว!” เนื่องจากตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดนำมาจากการทดสอบจริงและมักพบเห็นได้ในทางปฏิบัติ

เริ่มต้นด้วยการทำซ้ำ ในบทเรียน อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนเราดูตัวอย่างจำนวนหนึ่งพร้อมความคิดเห็นโดยละเอียด ในระหว่างการศึกษาแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์สาขาอื่น คุณจะต้องแยกความแตกต่างบ่อยมาก และไม่สะดวกเสมอไป (และไม่จำเป็นเสมอไป) ที่จะอธิบายตัวอย่างโดยละเอียด ดังนั้นเราจะฝึกการหาอนุพันธ์แบบปากเปล่า “ผู้สมัคร” ที่เหมาะสมที่สุดสำหรับสิ่งนี้คืออนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนที่ง่ายที่สุดตัวอย่างเช่น:

ตามกฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน :

เมื่อศึกษาหัวข้อ Matan อื่น ๆ ในอนาคต มักไม่จำเป็นต้องบันทึกรายละเอียดดังกล่าว โดยถือว่านักเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ดังกล่าวในระบบอัตโนมัติ ลองจินตนาการว่าเวลาตี 3 โทรศัพท์ดังขึ้นและมีเสียงไพเราะถามว่า: "อนุพันธ์ของแทนเจนต์ของ X สองตัวคืออะไร" ควรตามด้วยการตอบสนองที่เกือบจะทันทีและสุภาพ: .

ตัวอย่างแรกจะมีไว้สำหรับโซลูชันอิสระทันที

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาอนุพันธ์ต่อไปนี้ด้วยวาจาในการกระทำเดียว เช่น: เพื่อทำงานให้สำเร็จคุณเพียงแค่ต้องใช้ ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันเบื้องต้น(ถ้ายังจำไม่ได้) หากคุณมีปัญหาใด ๆ ฉันแนะนำให้อ่านบทเรียนซ้ำ อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

คำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

อนุพันธ์เชิงซ้อน

หลังจากการเตรียมปืนใหญ่เบื้องต้น ตัวอย่างที่มีฟังก์ชัน 3-4-5 ซ้อนจะน่ากลัวน้อยลง ตัวอย่างสองตัวอย่างต่อไปนี้อาจดูซับซ้อนสำหรับบางคน แต่ถ้าคุณเข้าใจ (อาจมีบางคนต้องทนทุกข์ทรมาน) ส่วนอื่นๆ เกือบทั้งหมดในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ก็จะดูเหมือนเป็นเรื่องตลกสำหรับเด็ก

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตามที่ระบุไว้แล้วเมื่อค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนสิ่งแรกที่จำเป็นคือ ขวาเข้าใจการลงทุนของคุณ ในกรณีที่มีข้อสงสัย ฉันขอเตือนคุณถึงเทคนิคที่มีประโยชน์ เช่น เราใช้ค่าทดลองของ "x" และลอง (ทางจิตใจหรือแบบร่าง) เพื่อแทนที่ค่านี้เป็น "สำนวนแย่มาก"

1) ก่อนอื่น เราต้องคำนวณนิพจน์ ซึ่งหมายความว่าผลรวมคือการฝังที่ลึกที่สุด

2) จากนั้นคุณต้องคำนวณลอการิทึม:

4) จากนั้นยกกำลังสามของโคไซน์:

5) ในขั้นตอนที่ห้า ความแตกต่างคือ:

6) และสุดท้าย ฟังก์ชันด้านนอกสุดคือรากที่สอง:

สูตรหาความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน ใช้ในลำดับย้อนกลับจากฟังก์ชันด้านนอกสุดไปด้านในสุด เราตัดสินใจ:

ดูเหมือนจะไม่มีข้อผิดพลาด...

(1) หาอนุพันธ์ของรากที่สอง

(2) เราหาอนุพันธ์ของผลต่างโดยใช้กฎ

(3) อนุพันธ์ของทริปเปิลเป็นศูนย์ ในเทอมที่สอง เราจะหาอนุพันธ์ของดีกรี (ลูกบาศก์)

(4) หาอนุพันธ์ของโคไซน์

(5) หาอนุพันธ์ของลอการิทึม

(6) และสุดท้าย เราก็หาอนุพันธ์ของการฝังที่ลึกที่สุด

อาจดูยากเกินไป แต่นี่ไม่ใช่ตัวอย่างที่โหดร้ายที่สุด ตัวอย่างเช่น คอลเลกชันของ Kuznetsov แล้วคุณจะประทับใจกับความสวยงามและความเรียบง่ายของอนุพันธ์ที่วิเคราะห์ ฉันสังเกตเห็นว่าพวกเขาชอบให้สิ่งที่คล้ายกันในการสอบเพื่อตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจวิธีหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อนหรือไม่

ตัวอย่างต่อไปนี้ให้คุณแก้ได้ด้วยตัวเอง

ตัวอย่างที่ 3

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

คำแนะนำ: อันดับแรก เราใช้กฎความเป็นเชิงเส้นและกฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์

เฉลยเต็มและเฉลยท้ายบทเรียน

ถึงเวลาที่จะก้าวไปสู่บางสิ่งที่เล็กลงและสวยงามยิ่งขึ้น
ไม่ใช่เรื่องแปลกที่ตัวอย่างจะแสดงผลคูณของฟังก์ชันไม่ใช่สอง แต่มีสามฟังก์ชัน จะหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสามปัจจัยได้อย่างไร?

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ก่อนอื่นเรามาดูกัน เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเปลี่ยนผลคูณของสามฟังก์ชันเป็นผลคูณของสองฟังก์ชัน? ตัวอย่างเช่น หากเรามีพหุนามสองตัวในผลคูณ เราก็สามารถเปิดวงเล็บได้ แต่ในตัวอย่างที่กำลังพิจารณา ฟังก์ชันทั้งหมดจะแตกต่างกัน: องศา เลขชี้กำลัง และลอการิทึม

ในกรณีเช่นนี้ก็จำเป็น ตามลำดับใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลิตภัณฑ์ สองครั้ง

เคล็ดลับก็คือว่าโดย "y" เราแสดงถึงผลคูณของสองฟังก์ชัน: และโดย "ve" เราแสดงถึงลอการิทึม: เหตุใดจึงสามารถทำได้? จริงเหรอ. – นี่ไม่ใช่ผลคูณของสองปัจจัยและกฎใช้ไม่ได้ผล! ไม่มีอะไรซับซ้อน:

ตอนนี้ยังคงต้องใช้กฎเป็นครั้งที่สอง เพื่อวงเล็บ:

คุณสามารถบิดเบี้ยวและใส่บางอย่างออกจากวงเล็บได้ แต่ในกรณีนี้ ควรทิ้งคำตอบไว้ในแบบฟอร์มนี้จะดีกว่า - จะตรวจสอบได้ง่ายกว่า

ตัวอย่างที่พิจารณาสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีที่สอง:

โซลูชันทั้งสองเทียบเท่ากันอย่างแน่นอน

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างสำหรับโซลูชันอิสระ ในตัวอย่างจะได้รับการแก้ไขโดยใช้วิธีแรก

ลองดูตัวอย่างที่คล้ายกันกับเศษส่วน

ตัวอย่างที่ 6

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

คุณสามารถไปที่นี่ได้หลายวิธี:

หรือเช่นนี้:

แต่คำตอบจะถูกเขียนให้กระชับกว่านี้ถ้าเราใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลหารก่อน โดยหาตัวเศษทั้งหมด:

โดยหลักการแล้วตัวอย่างได้รับการแก้ไขแล้วและหากปล่อยไว้ตามเดิมก็จะไม่เกิดข้อผิดพลาด แต่ถ้าคุณมีเวลา ขอแนะนำให้ตรวจสอบแบบร่างเสมอเพื่อดูว่าคำตอบนั้นทำให้ง่ายขึ้นหรือไม่? ให้เราลดการแสดงออกของตัวเศษให้เป็นตัวส่วนร่วมและ เรามากำจัดเศษส่วนสามชั้นกันเถอะ:

ข้อเสียของการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติมคือมีความเสี่ยงที่จะเกิดข้อผิดพลาดไม่ใช่เมื่อค้นหาอนุพันธ์ แต่ในระหว่างการเปลี่ยนแปลงโรงเรียนซ้ำซาก ในทางกลับกัน ครูมักจะปฏิเสธงานมอบหมายและขอให้ "คำนึงถึง" อนุพันธ์

ตัวอย่างที่ง่ายกว่าในการแก้ไขด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 7

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เรายังคงเชี่ยวชาญวิธีการหาอนุพันธ์ต่อไป และตอนนี้เราจะพิจารณากรณีทั่วไปเมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่ "แย่มาก" เพื่อสร้างความแตกต่าง

ตัวอย่างที่ 8

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ที่นี่คุณสามารถไปได้ไกลโดยใช้กฎในการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:

แต่ขั้นตอนแรกจะทำให้คุณหมดหวังทันที - คุณต้องหาอนุพันธ์ที่ไม่พึงประสงค์จากเศษส่วนยกกำลังและจากนั้นจากเศษส่วนด้วย

นั่นเป็นเหตุผล ก่อนวิธีหาอนุพันธ์ของลอการิทึมที่ "ซับซ้อน" จะง่ายขึ้นก่อนโดยใช้คุณสมบัติของโรงเรียนที่มีชื่อเสียง:

! หากคุณมีสมุดบันทึกแบบฝึกหัดอยู่แล้ว ให้คัดลอกสูตรเหล่านี้ไปที่นั่นโดยตรง หากคุณไม่มีสมุดบันทึก ให้คัดลอกลงในกระดาษ เนื่องจากตัวอย่างบทเรียนที่เหลือจะเกี่ยวข้องกับสูตรเหล่านี้

วิธีแก้ปัญหาสามารถเขียนได้ดังนี้:

มาแปลงฟังก์ชันกัน:

ค้นหาอนุพันธ์:

การแปลงฟังก์ชันล่วงหน้าทำให้การแก้ปัญหาง่ายขึ้นอย่างมาก ดังนั้น เมื่อมีการเสนอลอการิทึมที่คล้ายกันเพื่อสร้างความแตกต่าง แนะนำให้ "แยกย่อย" เสมอ

และตอนนี้มีตัวอย่างง่ายๆ สองสามตัวอย่างให้คุณแก้ไขด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 9

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 10

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

การเปลี่ยนแปลงและคำตอบทั้งหมดอยู่ท้ายบทเรียน

อนุพันธ์ลอการิทึม

หากอนุพันธ์ของลอการิทึมเป็นดนตรีที่ไพเราะ คำถามก็เกิดขึ้น: เป็นไปได้ไหมในบางกรณีที่จะจัดระเบียบลอการิทึมแบบเทียม? สามารถ! และจำเป็นด้วยซ้ำ

ตัวอย่างที่ 11

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เมื่อเร็ว ๆ นี้เราได้ดูตัวอย่างที่คล้ายกัน จะทำอย่างไร? คุณสามารถใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลหารตามลำดับ จากนั้นจึงใช้กฎการหาอนุพันธ์ของผลคูณ ข้อเสียของวิธีนี้คือคุณจะได้เศษส่วนสามชั้นขนาดใหญ่ซึ่งคุณไม่ต้องการจัดการเลย

แต่ในทางทฤษฎีและการปฏิบัติ มีสิ่งมหัศจรรย์อย่างหนึ่ง เช่น อนุพันธ์ลอการิทึม ลอการิทึมสามารถจัดเรียงแบบเทียมได้โดยการ "แขวน" ไว้ทั้งสองด้าน:

บันทึก : เพราะ ฟังก์ชันสามารถรับค่าลบได้ โดยทั่วไปแล้ว คุณต้องใช้โมดูล: ซึ่งจะหายไปจากความแตกต่าง อย่างไรก็ตาม การออกแบบในปัจจุบันก็เป็นที่ยอมรับเช่นกัน โดยจะนำมาพิจารณาโดยค่าเริ่มต้น ซับซ้อนความหมาย แต่ถ้าเข้มงวดทั้งหมดก็ควรทำการจองทั้งสองกรณี.

ตอนนี้คุณต้อง "แยก" ลอการิทึมของด้านขวาให้มากที่สุด (สูตรต่อหน้าต่อตาคุณ?) ฉันจะอธิบายกระบวนการนี้โดยละเอียด:

เริ่มต้นด้วยความแตกต่าง
เราสรุปทั้งสองส่วนภายใต้นายก:

อนุพันธ์ของด้านขวามือค่อนข้างง่าย ฉันจะไม่แสดงความคิดเห็น เพราะหากคุณอ่านข้อความนี้ คุณจะสามารถจัดการได้อย่างมั่นใจ

แล้วด้านซ้ายล่ะ?

ทางด้านซ้ายเรามี ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน- ฉันมองเห็นคำถาม: “ทำไม มีตัวอักษร “Y” อยู่ตัวหนึ่งใต้ลอการิทึม”

ความจริงก็คือว่า “เกมตัวอักษรตัวเดียว” นี้ - ตัวเองเป็นหน้าที่(หากยังไม่ชัดเจน โปรดดูบทความอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ระบุโดยนัย) ดังนั้นลอการิทึมจึงเป็นฟังก์ชันภายนอก และ "y" เป็นฟังก์ชันภายใน และเราใช้กฎในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน :

ทางด้านซ้ายราวกับมีเวทมนตร์ เรามีอนุพันธ์ ต่อไปตามกฎสัดส่วนเราโอน "y" จากตัวส่วนของด้านซ้ายไปที่ด้านบนของด้านขวา:

และตอนนี้เรามาจำกันว่า "ผู้เล่น" แบบไหนที่เราพูดถึงระหว่างการสร้างความแตกต่าง? ลองดูที่สภาพ:

คำตอบสุดท้าย:

ตัวอย่างที่ 12

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นี่คือตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ตัวอย่างการออกแบบตัวอย่างประเภทนี้อยู่ท้ายบทเรียน

การใช้อนุพันธ์ลอการิทึมทำให้สามารถแก้ตัวอย่างหมายเลข 4-7 ได้ อีกประการหนึ่งคือฟังก์ชันต่างๆ ในนั้นง่ายกว่า และบางที การใช้อนุพันธ์ลอการิทึมอาจไม่สมเหตุสมผลนัก

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังยกกำลัง

เรายังไม่ได้พิจารณาฟังก์ชันนี้ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเป็นฟังก์ชันที่ ทั้งระดับและฐานขึ้นอยู่กับ "x"- ตัวอย่างคลาสสิกที่จะมอบให้คุณในตำราเรียนหรือการบรรยาย:

จะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังกำลังได้อย่างไร?

มีความจำเป็นต้องใช้เทคนิคที่เพิ่งกล่าวถึง - อนุพันธ์ลอการิทึม เราแขวนลอการิทึมไว้ทั้งสองด้าน:

ตามกฎแล้ว ทางด้านขวา องศาจะถูกลบออกจากใต้ลอการิทึม:

ผลที่ได้คือผลคูณของฟังก์ชัน 2 ฟังก์ชันทางด้านขวา ซึ่งจะแยกความแตกต่างตามสูตรมาตรฐาน .

เราค้นหาอนุพันธ์ เพื่อทำเช่นนี้ เราใส่ทั้งสองส่วนไว้ใต้เส้นขีด:

การดำเนินการเพิ่มเติมนั้นง่าย:

ในที่สุด:

หากการแปลงใดๆ ไม่ชัดเจนทั้งหมด โปรดอ่านคำอธิบายของตัวอย่างที่ 11 อย่างละเอียดอีกครั้ง

ในทางปฏิบัติ ฟังก์ชันยกกำลัง-เลขชี้กำลังจะซับซ้อนกว่าตัวอย่างการบรรยายเสมอ

ตัวอย่างที่ 13

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เราใช้อนุพันธ์ลอการิทึม

ทางด้านขวา เรามีค่าคงที่และผลคูณของสองปัจจัย - “x” และ “ลอการิทึมของลอการิทึม x” (ลอการิทึมอื่นซ้อนอยู่ใต้ลอการิทึม) ดังที่เราจำได้ว่าเมื่อสร้างความแตกต่างจะเป็นการดีกว่าที่จะย้ายค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์ทันทีเพื่อไม่ให้ขวางทาง และแน่นอนว่าเราใช้กฎที่คุ้นเคย :

การพิสูจน์และการได้มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติและลอการิทึมเป็นฐาน a ตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์ของ ln 2x, ln 3x และ ln nx การพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของลอการิทึมลำดับที่ n โดยใช้วิธีอุปนัยทางคณิตศาสตร์

เนื้อหา

ดูสิ่งนี้ด้วย: ลอการิทึม - คุณสมบัติ สูตร กราฟ
ลอการิทึมธรรมชาติ - คุณสมบัติ สูตร กราฟ

ที่มาของสูตรสำหรับอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติและลอการิทึมเป็นฐาน a

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติของ x เท่ากับหนึ่งหารด้วย x:
(1) (ใน x)′ =.

อนุพันธ์ของลอการิทึมถึงฐาน a เท่ากับหนึ่งหารด้วยตัวแปร x คูณด้วยลอการิทึมธรรมชาติของ a:
(2) (ล็อก a x)′ =.

การพิสูจน์

ให้มีเลขบวกไม่เท่ากับหนึ่ง. พิจารณาฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปร x ซึ่งเป็นลอการิทึมของฐาน:
.
ฟังก์ชันนี้ถูกกำหนดไว้ที่ ลองหาอนุพันธ์ของมันเทียบกับตัวแปร x กัน ตามคำนิยาม อนุพันธ์มีขีดจำกัดดังต่อไปนี้:
(3) .

มาแปลงนิพจน์นี้เพื่อลดคุณสมบัติและกฎทางคณิตศาสตร์ที่ทราบกัน ในการดำเนินการนี้ เราจำเป็นต้องทราบข้อเท็จจริงต่อไปนี้:
ก)คุณสมบัติของลอการิทึม เราจะต้องมีสูตรต่อไปนี้:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
ข)ความต่อเนื่องของลอการิทึมและคุณสมบัติของขีดจำกัดสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง:
(7) .
นี่คือฟังก์ชันที่มีขีดจำกัด และขีดจำกัดนี้เป็นค่าบวก
ใน)ความหมายของขีด จำกัด ที่น่าทึ่งประการที่สอง:
(8) .

ลองใช้ข้อเท็จจริงเหล่านี้กับขีดจำกัดของเรา ขั้นแรกเราแปลงนิพจน์พีชคณิต
.
ในการทำเช่นนี้ เราใช้คุณสมบัติ (4) และ (5)

.

ให้เราใช้คุณสมบัติ (7) และขีดจำกัดที่น่าทึ่งประการที่สอง (8):
.

และสุดท้าย เราใช้คุณสมบัติ (6):
.
ลอการิทึมถึงฐาน จเรียกว่า ลอการิทึมธรรมชาติ- มันถูกกำหนดไว้ดังนี้:
.
แล้ว ;
.

ดังนั้นเราจึงได้สูตร (2) สำหรับอนุพันธ์ของลอการิทึม

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ

อีกครั้งเราเขียนสูตรสำหรับอนุพันธ์ของลอการิทึมไปที่ฐาน a:
.
สูตรนี้มีรูปแบบที่ง่ายที่สุดสำหรับลอการิทึมธรรมชาติ โดยที่ , แล้ว
(1) .

เนื่องจากความเรียบง่ายนี้ ลอการิทึมธรรมชาติจึงถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และในคณิตศาสตร์สาขาอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ฟังก์ชันลอการิทึมที่มีฐานอื่นสามารถแสดงในรูปของลอการิทึมธรรมชาติโดยใช้คุณสมบัติ (6):
.

อนุพันธ์ของลอการิทึมเทียบกับฐานหาได้จากสูตร (1) หากคุณนำค่าคงที่ออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์:
.

วิธีอื่นๆ ในการพิสูจน์อนุพันธ์ของลอการิทึม

ที่นี่เราถือว่าเรารู้สูตรอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง:
(9) .
จากนั้นเราก็จะได้สูตรหาอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ โดยที่ลอการิทึมเป็นฟังก์ชันผกผันของเลขชี้กำลัง

ให้เราพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ การใช้สูตรหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผัน:
.
ในกรณีของเรา.
.
ฟังก์ชันผกผันกับลอการิทึมธรรมชาติคือเลขชี้กำลัง:
.
อนุพันธ์ของมันถูกกำหนดโดยสูตร (9) ตัวแปรสามารถกำหนดด้วยตัวอักษรใดก็ได้ ในสูตร (9) ให้แทนที่ตัวแปร x ด้วย y:
.
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
.
แล้ว

สูตรได้รับการพิสูจน์แล้ว ตอนนี้เราพิสูจน์สูตรสำหรับอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติโดยใช้กฎสำหรับการแยกฟังก์ชันที่ซับซ้อน
.
- เนื่องจากฟังก์ชันและมีการผกผันซึ่งกันและกันแล้ว
(10) .
ลองแยกสมการนี้ด้วยความเคารพกับตัวแปร x:
.
อนุพันธ์ของ x เท่ากับ 1:
.
เราใช้กฎการแยกความแตกต่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน:
.
ที่นี่ . แทนค่าใน (10):
.

จากที่นี่

ตัวอย่าง ค้นหาอนุพันธ์ของ ใน 2x,ใน 3x และ.

ใช่ ฟังก์ชั่นดั้งเดิมมีรูปแบบคล้ายกัน ดังนั้น เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้ y = บันทึก nx - จากนั้นเราแทน n = 2 และ n = 3 ดังนั้นเราจึงได้สูตรอนุพันธ์ของใน 2x ใน 2x, .

และ
ฟังก์ชั่นดั้งเดิมมีรูปแบบคล้ายกัน ดังนั้น เราจะหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้ .
ดังนั้นเราจึงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
1) ลองจินตนาการว่าฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยสองฟังก์ชัน:
2) ฟังก์ชั่นขึ้นอยู่กับตัวแปร: ;
ฟังก์ชั่นขึ้นอยู่กับตัวแปร: .
.

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปร x:
.
มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเทียบกับตัวแปรกัน:
.
เราใช้สูตรสำหรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน
.
ที่นี่เราตั้งค่าไว้

ดังนั้นเราจึงพบว่า:
(11) .
เราจะเห็นว่าอนุพันธ์ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ n ผลลัพธ์นี้ค่อนข้างเป็นธรรมชาติหากเราแปลงฟังก์ชันดั้งเดิมโดยใช้สูตรลอการิทึมของผลิตภัณฑ์:
.
- นี่คือค่าคงที่ อนุพันธ์ของมันคือศูนย์ จากนั้นตามกฎการแยกผลรวมเราจะได้:
.

; ; .

อนุพันธ์ของลอการิทึมของโมดูลัส x

มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สำคัญมากอีกฟังก์ชันหนึ่ง - ลอการิทึมธรรมชาติของโมดูลัส x:
(12) .

ลองพิจารณากรณีนี้ดู จากนั้นฟังก์ชันจะมีลักษณะดังนี้:
.
อนุพันธ์ของมันถูกกำหนดโดยสูตร (1):
.

ทีนี้ลองมาพิจารณากรณีนี้กัน จากนั้นฟังก์ชันจะมีลักษณะดังนี้:
,
ที่ไหน .
แต่เรายังพบอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ในตัวอย่างด้านบนด้วย มันไม่ได้ขึ้นอยู่กับ n และเท่ากับ
.
ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา
.

เรารวมสองกรณีนี้เป็นสูตรเดียว:
.

ดังนั้น เพื่อให้ลอการิทึมเป็นฐาน a เราได้:
.

อนุพันธ์ของลำดับที่สูงกว่าของลอการิทึมธรรมชาติ

พิจารณาฟังก์ชัน
.
เราพบอนุพันธ์อันดับหนึ่ง:
(13) .

มาหาอนุพันธ์อันดับสองกัน:
.
มาหาอนุพันธ์อันดับสามกัน:
.
มาหาอนุพันธ์อันดับสี่กัน:
.

คุณจะสังเกตได้ว่าอนุพันธ์ลำดับที่ n มีรูปแบบ:
(14) .
ให้เราพิสูจน์สิ่งนี้ด้วยการอุปนัยทางคณิตศาสตร์

การพิสูจน์

ให้เราแทนค่า n = 1 ลงในสูตร (14):
.
ตั้งแต่ แล้ว เมื่อ n = 1 สูตร (14) ถูกต้อง

สมมติว่าสูตร (14) เป็นไปตามสมการสำหรับ n = k ให้เราพิสูจน์ว่านี่บอกเป็นนัยว่าสูตรนี้ใช้ได้สำหรับ n = k + 1 .

อันที่จริงสำหรับ n = k เรามี:
.
แยกความแตกต่างด้วยความเคารพกับตัวแปร x:

.
ดังนั้นเราจึงได้:
.
สูตรนี้เกิดขึ้นพร้อมกับสูตร (14) สำหรับ n = k + 1 - 1 .

ดังนั้น จากสมมุติฐานว่าสูตร (14) ใช้ได้กับ n = k จึงเป็นไปตามสูตร (14) ที่ถูกต้องสำหรับ n = k +

ดังนั้น สูตร (14) สำหรับอนุพันธ์ลำดับที่ n จึงใช้ได้กับ n ใดๆ

อนุพันธ์ของลำดับที่สูงกว่าของลอการิทึมถึงฐาน a
.
ในการค้นหาอนุพันธ์อันดับ n ของลอการิทึมเป็นฐาน a คุณต้องแสดงมันในรูปของลอการิทึมธรรมชาติ:
.

การใช้สูตร (14) เราพบอนุพันธ์ลำดับที่ n:

ดูสิ่งนี้ด้วย:

การดำเนินการค้นหาอนุพันธ์เรียกว่าอนุพันธ์

ดังนั้นในยุคของเราในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันใด ๆ คุณไม่จำเป็นต้องคำนวณขีด จำกัด ดังกล่าวข้างต้นของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ แต่คุณเพียงต้องใช้ตารางของ อนุพันธ์และกฎของความแตกต่าง อัลกอริธึมต่อไปนี้เหมาะสำหรับการค้นหาอนุพันธ์

เพื่อหาอนุพันธ์คุณต้องมีนิพจน์ใต้เครื่องหมายเฉพาะ แบ่งฟังก์ชันง่ายๆ ออกเป็นส่วนประกอบต่างๆและกำหนดการกระทำใด (ผลิตภัณฑ์ ผลรวม ผลหาร)ฟังก์ชันเหล่านี้เกี่ยวข้องกัน ต่อไปเราจะค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานในตารางอนุพันธ์และสูตรสำหรับอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ผลรวมและผลหาร - ในกฎการสร้างความแตกต่าง ตารางอนุพันธ์และกฎการสร้างความแตกต่างจะได้รับหลังจากสองตัวอย่างแรก

ตัวอย่างที่ 1ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. จากกฎการหาความแตกต่าง เราพบว่าอนุพันธ์ของผลรวมของฟังก์ชันคือผลรวมของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน เช่น

จากตารางอนุพันธ์ เราพบว่าอนุพันธ์ของ "x" เท่ากับ 1 และอนุพันธ์ของไซน์เท่ากับโคไซน์ เราแทนที่ค่าเหล่านี้เป็นผลรวมของอนุพันธ์และค้นหาอนุพันธ์ที่ต้องการตามเงื่อนไขของปัญหา:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เราแยกความแตกต่างเป็นอนุพันธ์ของผลรวมโดยที่เทอมที่สองมีปัจจัยคงที่ สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

หากยังคงมีคำถามเกิดขึ้นเกี่ยวกับที่มาของบางสิ่ง คำถามเหล่านี้มักจะถูกกระจ่างหลังจากทำความคุ้นเคยกับตารางอนุพันธ์และกฎการแยกความแตกต่างที่ง่ายที่สุด เรากำลังดำเนินการไปหาพวกเขาในขณะนี้

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย

1. อนุพันธ์ของค่าคงที่ (ตัวเลข) ตัวเลขใดๆ (1, 2, 5, 200...) ที่อยู่ในนิพจน์ฟังก์ชัน เท่ากับศูนย์เสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญมากที่ต้องจำไว้เนื่องจากต้องใช้บ่อยมาก
2. อนุพันธ์ของตัวแปรอิสระ ส่วนใหญ่มักจะเป็น "X" เท่ากับหนึ่งเสมอ นี่เป็นสิ่งสำคัญที่ต้องจดจำเป็นเวลานาน
3. อนุพันธ์ของปริญญา เมื่อแก้ไขปัญหา คุณต้องแปลงรากที่ไม่ใช่กำลังสองให้เป็นกำลัง
4. อนุพันธ์ของตัวแปรยกกำลัง -1
5. อนุพันธ์ของรากที่สอง
6. อนุพันธ์ของไซน์
7. อนุพันธ์ของโคไซน์
8. อนุพันธ์ของแทนเจนต์
9. อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์
10. อนุพันธ์ของอาร์คไซน์
11. อนุพันธ์ของอาร์คโคไซน์
12. อนุพันธ์ของอาร์กแทนเจนต์
13. อนุพันธ์ของอาร์คโคแทนเจนต์
14. อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ
15. อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม
16. อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง
17. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

กฎของความแตกต่าง

1. อนุพันธ์ของผลรวมหรือผลต่าง
2. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์
2ก. อนุพันธ์ของนิพจน์คูณด้วยตัวประกอบคงที่
3. อนุพันธ์ของผลหาร
4. อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

กฎข้อที่ 1ถ้าฟังก์ชั่น

สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง จากนั้นฟังก์ชันจะหาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้

ผลที่ตามมา หากฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันต่างกันด้วยเทอมคงที่ อนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งสองจะเท่ากัน, เช่น.

กฎข้อที่ 2ถ้าฟังก์ชั่น

สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดหนึ่ง แล้วผลิตภัณฑ์ของเขาก็หาอนุพันธ์ได้ที่จุดเดียวกัน

และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้กับอนุพันธ์ของอีกฟังก์ชันหนึ่ง

ข้อพิสูจน์ 1. ตัวประกอบคงที่สามารถนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ได้:

ข้อพิสูจน์ 2. อนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชันอนุพันธ์หลายฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลคูณของอนุพันธ์ของแต่ละปัจจัยและอื่นๆ ทั้งหมด

ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวคูณสามตัว:

กฎข้อที่ 3ถ้าฟังก์ชั่น

แยกแยะได้ในบางจุด และ , เมื่อถึงจุดนี้ความฉลาดของพวกมันก็สามารถหาอนุพันธ์ได้เช่นกันคุณ/วี และ

เหล่านั้น. อนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชันเท่ากับเศษส่วน โดยตัวเศษคือผลต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษและอนุพันธ์ของตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของ อดีตตัวเศษ

จะค้นหาสิ่งต่าง ๆ ในหน้าอื่นได้ที่ไหน

เมื่อค้นหาอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารในปัญหาจริง จำเป็นต้องใช้กฎการสร้างความแตกต่างหลายข้อในคราวเดียวเสมอ ดังนั้นจึงมีตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์เหล่านี้ในบทความ"อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์และผลหารของฟังก์ชัน".

ความคิดเห็นคุณไม่ควรสับสนระหว่างค่าคงที่ (นั่นคือตัวเลข) ในรูปของผลรวมและตัวประกอบคงที่! ในกรณีของเทอม อนุพันธ์ของมันจะเท่ากับศูนย์ และในกรณีของตัวประกอบคงที่ อนุพันธ์ของเทอมนั้นจะถูกนำออกจากเครื่องหมายของอนุพันธ์ นี่เป็นข้อผิดพลาดทั่วไปที่เกิดขึ้นในระยะเริ่มต้นของการศึกษาอนุพันธ์ แต่เมื่อนักเรียนทั่วไปแก้ตัวอย่างที่มีหนึ่งและสองส่วน เขาจะไม่ทำผิดพลาดอีกต่อไป

และถ้าเมื่อคุณแยกแยะผลิตภัณฑ์หรือผลหาร คุณมีคำศัพท์ ยู"โวลต์, ซึ่งใน ยู- ตัวเลข เช่น 2 หรือ 5 นั่นคือค่าคงที่ จากนั้นอนุพันธ์ของตัวเลขนี้จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้นพจน์ทั้งหมดจะเท่ากับศูนย์ (ในกรณีนี้จะกล่าวถึงในตัวอย่างที่ 10)

ข้อผิดพลาดทั่วไปอีกประการหนึ่งคือการแก้อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยกลไกให้เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงเดียว นั่นเป็นเหตุผล อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนมีการอุทิศบทความแยกต่างหาก แต่ก่อนอื่น เราจะเรียนรู้การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันง่ายๆ ก่อน

ระหว่างทาง คุณไม่สามารถทำได้โดยไม่เปลี่ยนการแสดงออก เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณอาจต้องเปิดคู่มือในหน้าต่างใหม่ การกระทำที่มีพลังและรากใน 3x การดำเนินการกับเศษส่วน .

หากคุณกำลังมองหาคำตอบของอนุพันธ์ของเศษส่วนที่มีกำลังและราก นั่นคือเมื่อฟังก์ชันมีลักษณะเช่นนี้ จากนั้นติดตามบทเรียน “อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนที่มีพลังและราก”

หากคุณมีงานเช่น จากนั้น คุณจะได้เรียนรู้บทเรียน “อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย”

ตัวอย่างทีละขั้นตอน - วิธีค้นหาอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เรากำหนดส่วนของนิพจน์ฟังก์ชัน: นิพจน์ทั้งหมดแสดงถึงผลิตภัณฑ์ และปัจจัยคือผลรวม ในวินาทีที่หนึ่งในเงื่อนไขประกอบด้วยตัวประกอบคงที่ เราใช้กฎการสร้างความแตกต่างของผลคูณ: อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ของสองฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมของผลิตภัณฑ์ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น:

ต่อไป เราใช้กฎการหาความแตกต่างของผลรวม: อนุพันธ์ของผลรวมพีชคณิตของฟังก์ชันจะเท่ากับผลรวมพีชคณิตของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเหล่านี้ ในกรณีของเรา ในแต่ละผลรวม เทอมที่สองจะมีเครื่องหมายลบ ในแต่ละผลรวมเราจะเห็นทั้งตัวแปรอิสระ โดยมีอนุพันธ์เท่ากับ 1 และค่าคงที่ (ตัวเลข) ซึ่งอนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้น "X" จะกลายเป็นหนึ่ง และลบ 5 จะกลายเป็นศูนย์ ในนิพจน์ที่สอง "x" คูณด้วย 2 ดังนั้นเราจึงคูณสองด้วยหน่วยเดียวกันกับอนุพันธ์ของ "x" เราได้รับค่าอนุพันธ์ดังต่อไปนี้:

เราแทนที่อนุพันธ์ที่พบเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์และรับอนุพันธ์ของฟังก์ชันทั้งหมดที่กำหนดตามเงื่อนไขของปัญหา:

และคุณสามารถตรวจสอบวิธีแก้ไขปัญหาอนุพันธ์ได้ที่

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. เราจำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของผลหาร เราใช้สูตรในการหาความแตกต่างของผลหาร: อนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชันทั้งสองมีค่าเท่ากับเศษส่วน ซึ่งตัวเศษคือความแตกต่างระหว่างผลคูณของตัวส่วนกับอนุพันธ์ของตัวเศษและตัวเศษและอนุพันธ์ของ ตัวส่วน และตัวส่วนคือกำลังสองของตัวเศษเดิม เราได้รับ:

เราพบอนุพันธ์ของปัจจัยในตัวเศษในตัวอย่างที่ 2 แล้ว อย่าลืมว่าผลคูณซึ่งเป็นตัวประกอบตัวที่สองในตัวเศษในตัวอย่างปัจจุบันนั้นมีเครื่องหมายลบ:

หากคุณกำลังมองหาวิธีแก้ไขปัญหาโดยต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันซึ่งมีรากและกำลังมากมายอย่างต่อเนื่อง เช่น แล้วยินดีต้อนรับเข้าสู่ชั้นเรียน “อนุพันธ์ของผลบวกของเศษส่วนด้วยกำลังและราก” .

หากคุณต้องการเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับอนุพันธ์ของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ นั่นคือเมื่อฟังก์ชันมีลักษณะดังนี้ แล้วบทเรียนสำหรับคุณ "อนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติอย่างง่าย" .

ตัวอย่างที่ 5ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลคูณ หนึ่งในปัจจัยคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ที่เราคุ้นเคยในตารางอนุพันธ์ เมื่อใช้กฎในการแยกความแตกต่างผลิตภัณฑ์และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สองเราได้รับ:

สามารถตรวจสอบแนวทางแก้ไขปัญหาอนุพันธ์ได้ที่ เครื่องคิดเลขอนุพันธ์ออนไลน์ .

ตัวอย่างที่ 6ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สารละลาย. ในฟังก์ชันนี้ เราจะเห็นผลหารซึ่งเงินปันผลคือรากที่สองของตัวแปรอิสระ เมื่อใช้กฎการแยกความแตกต่างของผลหารซึ่งเราทำซ้ำและนำไปใช้ในตัวอย่างที่ 4 และค่าตารางของอนุพันธ์ของรากที่สอง เราได้:

หากต้องการกำจัดเศษส่วนในตัวเศษ ให้คูณทั้งเศษและส่วนด้วย

จำง่ายมาก

อย่าเพิ่งไปไกล ลองพิจารณาฟังก์ชันผกผันทันที ฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ลอการิทึม:

ในกรณีของเรา ฐานคือตัวเลข:

ลอการิทึมดังกล่าว (นั่นคือลอการิทึมที่มีฐาน) เรียกว่า "ธรรมชาติ" และเราใช้สัญลักษณ์พิเศษสำหรับมัน: เราเขียนแทน

มันเท่ากับอะไร? แน่นอน, .

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาตินั้นง่ายมาก:

ตัวอย่าง:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน
2. อนุพันธ์ของฟังก์ชันคืออะไร?

คำตอบ: ลอการิทึมเลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันง่ายๆ ที่ไม่เหมือนใครจากมุมมองของอนุพันธ์ ฟังก์ชันเลขชี้กำลังและลอการิทึมกับฐานอื่นจะมีอนุพันธ์ที่แตกต่างกัน ซึ่งเราจะวิเคราะห์ในภายหลังหลังจากที่เราผ่านกฎการสร้างความแตกต่างแล้ว

กฎของความแตกต่าง

กฎของอะไร? ศัพท์ใหม่อีกแล้วเหรอ?!...

ความแตกต่างเป็นกระบวนการหาอนุพันธ์

นั่นคือทั้งหมดที่ คุณสามารถเรียกกระบวนการนี้ว่าอะไรอีกในคำเดียว? ไม่ใช่อนุพันธ์... นักคณิตศาสตร์เรียกอนุพันธ์ว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันที่เท่ากัน คำนี้มาจากภาษาละตินว่า differentia - ความแตกต่าง ที่นี่.

เมื่อได้รับกฎเหล่านี้ทั้งหมด เราจะใช้สองฟังก์ชัน เช่น และ นอกจากนี้เรายังต้องมีสูตรสำหรับการเพิ่ม:

มีกฎทั้งหมด 5 ข้อ

ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์

ถ้า - จำนวนคงที่ (คงที่) ดังนั้น

แน่นอนว่ากฎนี้ยังใช้ได้กับความแตกต่าง:

มาพิสูจน์กัน ปล่อยให้มันเป็นไปหรือง่ายกว่านั้น

ตัวอย่าง.

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

1. ณ จุดหนึ่ง;
2. ณ จุดหนึ่ง;
3. ณ จุดหนึ่ง;
4. ตรงจุด

โซลูชั่น:

1. (อนุพันธ์จะเท่ากันทุกจุด เนื่องจากเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น จำได้ไหม?);

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์

ทุกอย่างจะคล้ายกันที่นี่ เรามาแนะนำฟังก์ชันใหม่และค้นหาส่วนที่เพิ่มขึ้นกันดีกว่า:

อนุพันธ์:

ตัวอย่าง:

1. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันและ;
2. ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง

โซลูชั่น:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

ตอนนี้ความรู้ของคุณก็เพียงพอแล้วที่จะเรียนรู้วิธีค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล ไม่ใช่แค่เลขยกกำลัง (คุณลืมไปแล้วหรือว่ามันคืออะไร?)

แล้วเลขไหนล่ะ..

เรารู้อนุพันธ์ของฟังก์ชันแล้ว ลองลดฟังก์ชันของเราให้เป็นฐานใหม่:

ในการดำเนินการนี้ เราจะใช้กฎง่ายๆ: . แล้ว:

มันได้ผล ทีนี้ลองหาอนุพันธ์ และอย่าลืมว่าฟังก์ชันนี้ซับซ้อน

เกิดขึ้น?

ที่นี่ตรวจสอบตัวเอง:

สูตรนี้ดูคล้ายกับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลังมาก เหมือนเดิม มันยังคงเหมือนเดิม มีเพียงตัวประกอบเท่านั้นที่ปรากฏ ซึ่งเป็นเพียงตัวเลข แต่ไม่ใช่ตัวแปร

ตัวอย่าง:
ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

คำตอบ:

นี่เป็นเพียงตัวเลขที่ไม่สามารถคำนวณได้หากไม่มีเครื่องคิดเลข กล่าวคือ ไม่สามารถเขียนลงในรูปแบบที่ง่ายกว่านี้ได้ ดังนั้นเราจึงทิ้งคำตอบไว้ในรูปแบบนี้

โปรดทราบว่านี่คือผลหารของฟังก์ชันทั้งสอง ดังนั้นเราจึงใช้กฎการหาอนุพันธ์ที่สอดคล้องกัน:

ในตัวอย่างนี้ ผลคูณของสองฟังก์ชัน:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม

มันคล้ายกันตรงนี้: คุณรู้อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติแล้ว:

ดังนั้น หากต้องการค้นหาลอการิทึมตามอำเภอใจที่มีฐานต่างกัน เช่น

เราจำเป็นต้องลดลอการิทึมนี้ลงเหลือฐาน คุณจะเปลี่ยนฐานของลอการิทึมได้อย่างไร? ฉันหวังว่าคุณจะจำสูตรนี้:

ตอนนี้เราจะเขียนแทน:

ตัวส่วนเป็นเพียงค่าคงที่ (จำนวนคงที่โดยไม่มีตัวแปร) อนุพันธ์ได้มาง่ายมาก:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียลและลอการิทึมแทบไม่เคยพบในการตรวจสอบ Unified State แต่การรู้จักพวกมันจะไม่ฟุ่มเฟือย

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

"ฟังก์ชันที่ซับซ้อน" คืออะไร? ไม่ นี่ไม่ใช่ลอการิทึม และไม่ใช่อาร์กแทนเจนต์ ฟังก์ชันเหล่านี้อาจเข้าใจได้ยาก (แม้ว่าคุณจะพบว่าลอการิทึมยาก ลองอ่านหัวข้อ "ลอการิทึม" แล้วคุณจะโอเค) แต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ คำว่า "ซับซ้อน" ไม่ได้หมายความว่า "ยาก"

ลองนึกภาพสายพานลำเลียงขนาดเล็ก: คนสองคนกำลังนั่งและทำอะไรบางอย่างกับวัตถุบางอย่าง ตัวอย่างเช่น อันแรกห่อแท่งช็อกโกแลตด้วยกระดาษห่อ และอันที่สองผูกด้วยริบบิ้น ผลลัพธ์ที่ได้คือวัตถุที่ประกอบขึ้นเป็นแท่งช็อกโกแลตที่พันและผูกด้วยริบบิ้น หากต้องการกินช็อกโกแลตแท่ง คุณต้องทำขั้นตอนย้อนกลับในลำดับย้อนกลับ

มาสร้างไปป์ไลน์ทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกันกัน: ก่อนอื่นเราจะหาโคไซน์ของตัวเลขแล้วยกกำลังสองของจำนวนผลลัพธ์ ดังนั้นเราจึงได้รับตัวเลข (ช็อคโกแลต) ฉันหาโคไซน์ของมัน (กระดาษห่อ) แล้วคุณก็ยกกำลังสองสิ่งที่ฉันได้ (มัดด้วยริบบิ้น) เกิดอะไรขึ้น การทำงาน. นี่คือตัวอย่างของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อเราต้องการหาค่าของมัน เราจะดำเนินการแรกกับตัวแปรโดยตรง จากนั้นจึงดำเนินการที่สองกับผลลัพธ์จากฟังก์ชันแรก

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันที่ซับซ้อนคือฟังก์ชันที่มีอาร์กิวเมนต์เป็นฟังก์ชันอื่น: .

สำหรับตัวอย่างของเรา .

เราสามารถทำขั้นตอนเดียวกันในลำดับย้อนกลับได้ง่ายๆ ขั้นแรกให้คุณยกกำลังสอง จากนั้นฉันจะหาโคไซน์ของตัวเลขผลลัพธ์: เป็นเรื่องง่ายที่จะคาดเดาว่าผลลัพธ์จะแตกต่างออกไปเกือบตลอดเวลา คุณลักษณะที่สำคัญของฟังก์ชันที่ซับซ้อน: เมื่อลำดับของการกระทำเปลี่ยนแปลง ฟังก์ชันก็จะเปลี่ยนไป

ตัวอย่างที่สอง: (สิ่งเดียวกัน) -

การกระทำที่เราทำครั้งสุดท้ายจะถูกเรียกว่า ฟังก์ชั่น "ภายนอก"และการกระทำนั้นเกิดขึ้นก่อน - ตามนั้น ฟังก์ชั่น "ภายใน"(ชื่อเหล่านี้เป็นชื่อที่ไม่เป็นทางการ ฉันใช้เพื่ออธิบายเนื้อหาเป็นภาษาง่ายๆ เท่านั้น)

ลองพิจารณาด้วยตัวเองว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันภายนอกและฟังก์ชันใดภายใน:

คำตอบ:การแยกฟังก์ชันภายในและภายนอกจะคล้ายกับการเปลี่ยนแปลงตัวแปร เช่น ในฟังก์ชัน

1. เราจะดำเนินการใดก่อน? ก่อนอื่น มาคำนวณไซน์ก่อน แล้วค่อยยกกำลังสามเท่านั้น ซึ่งหมายความว่ามันเป็นฟังก์ชันภายใน แต่เป็นฟังก์ชันภายนอก
   และฟังก์ชันดั้งเดิมคือองค์ประกอบ: .
2. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
3. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
4. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .
5. ภายใน: ; ภายนอก: .
   การตรวจสอบ: .

เราเปลี่ยนตัวแปรและรับฟังก์ชัน

ทีนี้ เราจะแยกแท่งช็อกโกแลตออกมาแล้วมองหาอนุพันธ์ ขั้นตอนจะกลับกันเสมอ ขั้นแรกเรามองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก จากนั้นจึงคูณผลลัพธ์ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน สัมพันธ์กับตัวอย่างดั้งเดิม ดูเหมือนว่า:

ตัวอย่างอื่น:

ในที่สุดเรามากำหนดกฎอย่างเป็นทางการกัน:

อัลกอริทึมในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

ดูเหมือนง่ายใช่มั้ย?

ตรวจสอบด้วยตัวอย่าง:

โซลูชั่น:

1) ภายใน: ;

ภายนอก: ;

2) ภายใน: ;

(อย่าเพิ่งพยายามตัดมันออกตอนนี้! ไม่มีอะไรออกมาจากใต้โคไซน์จำได้ไหม?)

3) ภายใน: ;

ภายนอก: ;

ชัดเจนทันทีว่านี่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนสามระดับ: ท้ายที่สุดแล้วนี่เป็นฟังก์ชันที่ซับซ้อนในตัวเองอยู่แล้วและเรายังแยกรากออกจากมันด้วยนั่นคือเราทำการกระทำที่สาม (ใส่ช็อคโกแลตลงในกระดาษห่อ และมีริบบิ้นอยู่ในกระเป๋าเอกสาร) แต่ไม่มีเหตุผลที่ต้องกลัว: เราจะยังคง "แกะ" ฟังก์ชันนี้ในลำดับเดิมเหมือนปกติ: จากจุดสิ้นสุด

นั่นคือ ขั้นแรกเราแยกความแตกต่างของราก จากนั้นจึงแยกโคไซน์ และเฉพาะนิพจน์ในวงเล็บเท่านั้น แล้วเราก็คูณมันทั้งหมด.

ในกรณีเช่นนี้ จะสะดวกในการนับจำนวนการกระทำ นั่นคือลองจินตนาการถึงสิ่งที่เรารู้ เราจะดำเนินการตามลำดับใดเพื่อคำนวณค่าของนิพจน์นี้ ลองดูตัวอย่าง:

ยิ่งดำเนินการในภายหลังฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องก็จะยิ่งมี "ภายนอก" มากขึ้นเท่านั้น ลำดับของการกระทำเหมือนกับเมื่อก่อน:

โดยทั่วไปการทำรังจะมี 4 ระดับ เรามากำหนดลำดับการดำเนินการกัน

1. การแสดงออกที่รุนแรง -

2. รูท -

3. ไซน์. -

4. สี่เหลี่ยม. -

5. นำทั้งหมดมารวมกัน:

อนุพันธ์ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน- อัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์สำหรับการเพิ่มอาร์กิวเมนต์เพียงเล็กน้อย:

อนุพันธ์พื้นฐาน:

กฎของความแตกต่าง:

ค่าคงที่ถูกนำออกจากเครื่องหมายอนุพันธ์:

อนุพันธ์ของผลรวม:

อนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์:

อนุพันธ์ของผลหาร:

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

อัลกอริทึมในการค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน:

1. เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายใน" และค้นหาอนุพันธ์ของมัน
2. เรากำหนดฟังก์ชัน "ภายนอก" และค้นหาอนุพันธ์ของมัน
3. เราคูณผลลัพธ์ของจุดที่หนึ่งและที่สอง

รู้สึกว่ายังมีเวลาอีกมากก่อนสอบ? นี่เดือนเหรอ? สอง? ปี? การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่านักเรียนจะรับมือกับการสอบได้ดีที่สุดหากเขาเริ่มเตรียมตัวสำหรับการสอบล่วงหน้า มีงานที่ยากมากมายในการสอบ Unified State ที่ขัดขวางเด็กนักเรียนและผู้สมัครในอนาคตเพื่อให้ได้คะแนนสูงสุด คุณต้องเรียนรู้ที่จะเอาชนะอุปสรรคเหล่านี้ และอีกอย่าง การทำเช่นนี้ก็ทำได้ไม่ยาก คุณต้องเข้าใจหลักการทำงานกับงานต่าง ๆ จากตั๋ว จากนั้นจะไม่มีปัญหากับสิ่งใหม่

ลอการิทึมเมื่อมองแวบแรกดูเหมือนจะซับซ้อนอย่างไม่น่าเชื่อ แต่ด้วยการวิเคราะห์โดยละเอียด สถานการณ์จะง่ายขึ้นมาก หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนนสูงสุด คุณควรเข้าใจแนวคิดที่เป็นปัญหา ซึ่งเป็นสิ่งที่เราเสนอให้ทำในบทความนี้

ก่อนอื่น เรามาแยกคำจำกัดความเหล่านี้กันก่อน ลอการิทึม (บันทึก) คืออะไร? นี่เป็นตัวบ่งชี้กำลังที่ต้องยกฐานเพื่อให้ได้หมายเลขที่ระบุ ถ้าไม่ชัดเจน มาดูตัวอย่างเบื้องต้นกันดีกว่า

ในกรณีนี้ต้องยกฐานด้านล่างยกกำลังสองจึงจะได้เลข 4

ตอนนี้เรามาดูแนวคิดที่สองกัน อนุพันธ์ของฟังก์ชันในรูปแบบใดๆ คือแนวคิดที่แสดงลักษณะการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด อย่างไรก็ตาม นี่เป็นหลักสูตรของโรงเรียน และหากคุณมีปัญหากับแนวคิดเหล่านี้เป็นรายบุคคล ก็คุ้มค่าที่จะทำซ้ำหัวข้อนี้

อนุพันธ์ของลอการิทึม

ในงานมอบหมายการสอบ Unified State ในหัวข้อนี้ คุณสามารถให้งานหลายอย่างเป็นตัวอย่างได้ เริ่มต้นด้วยอนุพันธ์ลอการิทึมที่ง่ายที่สุด จำเป็นต้องค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้

เราต้องหาอนุพันธ์ต่อไป

มีสูตรพิเศษคือ

ในกรณีนี้ x=u, log3x=v เราแทนค่าจากฟังก์ชันของเราลงในสูตร

อนุพันธ์ของ x จะเท่ากับ 1 ลอการิทึมนั้นยากขึ้นเล็กน้อย แต่คุณจะเข้าใจหลักการนี้หากคุณเพียงแค่แทนค่าต่างๆ โปรดจำไว้ว่าอนุพันธ์ของ lg x คืออนุพันธ์ของลอการิทึมฐานสิบ และอนุพันธ์ของ ln x คืออนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ (ขึ้นอยู่กับ e)

ตอนนี้เพียงเสียบค่าผลลัพธ์ลงในสูตร ลองด้วยตัวเองแล้วเราจะตรวจสอบคำตอบ

อาจเกิดปัญหาอะไรขึ้นสำหรับบางคน เราได้แนะนำแนวคิดเรื่องลอการิทึมธรรมชาติ มาพูดถึงเรื่องนี้กันดีกว่าและในขณะเดียวกันก็หาวิธีแก้ปัญหาด้วย คุณจะไม่เห็นอะไรซับซ้อนโดยเฉพาะเมื่อคุณเข้าใจหลักการทำงานของมัน คุณควรทำความคุ้นเคยเนื่องจากมักใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ (ยิ่งใช้ในสถาบันการศึกษาระดับอุดมศึกษาด้วย)

อนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติ

ที่แกนกลางของมันคืออนุพันธ์ของลอการิทึมกับฐาน e (ซึ่งเป็นจำนวนอตรรกยะซึ่งมีค่าประมาณ 2.7) อันที่จริง ln นั้นง่ายมาก ดังนั้นจึงมักใช้ในวิชาคณิตศาสตร์โดยทั่วไป จริงๆแล้วการแก้ปัญหาด้วยก็จะไม่ใช่ปัญหาเช่นกัน ควรจำไว้ว่าอนุพันธ์ของลอการิทึมธรรมชาติกับฐาน e จะเท่ากับ 1 หารด้วย x วิธีแก้ไขสำหรับตัวอย่างต่อไปนี้จะเปิดเผยได้มากที่สุด

ลองจินตนาการว่ามันเป็นฟังก์ชันเชิงซ้อนที่ประกอบด้วยฟังก์ชันง่ายๆ สองตัว

ก็เพียงพอที่จะแปลง

เรากำลังหาอนุพันธ์ของคุณเทียบกับ x

มาต่อกันที่ตัวที่สองกันเลย

เราใช้วิธีการแก้อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนโดยการแทนที่ u=nx

เกิดอะไรขึ้นในตอนจบ?

ทีนี้มาจำกันว่า n หมายถึงอะไรในตัวอย่างนี้? นี่คือตัวเลขใดๆ ที่สามารถปรากฏหน้า x ในลอการิทึมธรรมชาติ สิ่งสำคัญคือคุณต้องเข้าใจว่าคำตอบไม่ได้ขึ้นอยู่กับเธอ แทนสิ่งที่คุณต้องการ คำตอบยังคงเป็น 1/x

อย่างที่คุณเห็นไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่คุณเพียงแค่ต้องเข้าใจหลักการเพื่อแก้ไขปัญหาในหัวข้อนี้อย่างรวดเร็วและมีประสิทธิภาพ ตอนนี้คุณรู้ทฤษฎีแล้ว สิ่งที่คุณต้องทำคือนำไปปฏิบัติ ฝึกแก้ปัญหาเพื่อจดจำหลักการแก้ปัญหาไปนานๆ คุณอาจไม่ต้องการความรู้นี้หลังจากสำเร็จการศึกษา แต่ในการสอบจะมีความเกี่ยวข้องมากขึ้นกว่าเดิม ขอให้โชคดี!