Organlar

Bir polinomun standart formu nedir? Polinomlar nasıl çözülür? Polinomun standart formu

Tek terimlileri inceledikten sonra polinomlara geçiyoruz. Bu makale, bunlar üzerinde işlem yapmak için gerekli tüm bilgileri size anlatacaktır. Bir polinomu, bir polinom teriminin, yani serbest ve benzer tanımlarıyla birlikte tanımlayacağız, standart formda bir polinomu ele alacağız, bir derece tanıtacağız ve onu nasıl bulacağımızı öğreneceğiz ve katsayılarıyla çalışacağız.

Polinom ve terimleri - tanımlar ve örnekler

Bir polinomun tanımı şu şekilde verilmiştir: 7 Tek terimlileri inceledikten sonra ders. Tam tanımına bakalım.

Tanım 1

Polinom Tek terimlilerin toplamı hesaplanır ve tek terimlinin kendisi bir polinomun özel bir durumudur.

Tanımdan polinom örneklerinin farklı olabileceği anlaşılmaktadır: 5 , 0 , − 1 , X, 5 a b 3, x 2 · 0 , 6 · x · (− 2) · y 12 , - 2 13 · x · y 2 · 3 2 3 · x · x 3 · y · z vb. Tanımdan şunu anlıyoruz 1+x, a 2 + b 2 ve x 2 - 2 x y + 2 5 x 2 + y 2 + 5, 2 y x ifadesi polinomlardır.

Biraz daha tanımlara bakalım.

Tanım 2

Polinomun üyeleri onu oluşturan tek terimlilere denir.

4 terimden oluşan 3 x 4 − 2 x y + 3 − y 3 polinomuna sahip olduğumuz bir örneği düşünün: 3 x 4, − 2 x y, 3 ve - y 3. Böyle bir monom, bir terimden oluşan bir polinom olarak düşünülebilir.

Tanım 3

2, 3 trinom içeren polinomlar karşılık gelen adı taşır - iki terimli Ve üç terimli.

Bu, formun bir ifadesinin olduğu anlamına gelir x+y– bir binomdur ve 2 x 3 q − q x x x + 7 b ifadesi bir üç terimlidir.

Okul müfredatına göre, a ve b'nin bazı sayılar ve x'in bir değişken olduğu a · x + b formundaki doğrusal bir binomla çalıştık. Şu formdaki doğrusal binom örneklerini ele alalım: x + 1, x · 7, 2 − 4 ile kare trinomial x 2 + 3 · x − 5 ve 2 5 · x 2 - 3 x + 11 örnekleriyle.

Dönüştürmek ve çözmek için benzer terimleri bulup getirmek gerekir. Örneğin, 1 + 5 x − 3 + y + 2 x formundaki bir polinomun benzer terimleri 1 ve - 3, 5 x ve 2 x'tir. Polinomun benzer üyeleri adı verilen özel bir gruba ayrılırlar.

Tanım 4

Bir polinomun benzer terimleri bir polinomda bulunan benzer terimlerdir.

Yukarıdaki örnekte 1 ve - 3, 5 x ve 2 x polinomun benzer terimleri veya benzer terimlerdir. İfadeyi basitleştirmek için benzer terimleri bulun ve azaltın.

Standart formun polinomu

Tüm monomların ve polinomların kendi özel isimleri vardır.

Tanım 5

Standart formun polinomu içinde yer alan her terimin standart formda bir tek terimli olduğu ve benzer terimler içermediği bir polinomdur.

Tanımdan, standart formdaki polinomları azaltmanın mümkün olduğu açıktır, örneğin 3 x 2 − x y + 1 ve __formula__ ve giriş standart biçimdedir. 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z ve 5 + 3 · x 2 − x 2 + 2 · x · z ifadeleri standart biçimde polinomlar değildir, çünkü bunlardan ilki denklemde benzer terimlere sahiptir. 3 · x 2'yi oluşturur ve - x 2 ikincisi ise standart polinomdan farklı olan x · y 3 · x · z 2 formunda bir monom içerir.

Koşullar gerektiriyorsa bazen polinom standart bir forma indirgenir. Bir polinomun serbest terimi kavramı aynı zamanda standart biçimdeki bir polinom olarak kabul edilir.

Tanım 6

Bir polinomun serbest terimi değişmez bir kısmı olmayan standart biçimdeki bir polinomdur.

Başka bir deyişle, standart formdaki bir polinomun bir numarası varsa buna serbest üye denir. O halde 5 sayısı x 2 z + 5 polinomunun serbest terimidir ve 7 a + 4 a b + b 3 polinomunun serbest terimi yoktur.

Bir polinomun derecesi - nasıl bulunur?

Bir polinomun derecesinin tanımı, standart formdaki bir polinomun tanımına ve onun bileşenleri olan monomların derecelerine dayanmaktadır.

Tanım 7

Standart formdaki bir polinomun derecesi gösteriminde yer alan derecelerin en büyüğü olarak adlandırılır.

Bir örneğe bakalım. 5 x 3 − 4 polinomunun derecesi 3'e eşittir çünkü bileşimindeki monomlar sırasıyla 3 ve 0 derecelerine sahiptir ve bunlardan büyük olanı 3'tür. 4 x 2 y 3 − 5 x 4 y + 6 x polinomundan derecenin tanımı sayıların en büyüğüne eşittir, yani 2 + 3 = 5, 4 + 1 = 5 ve 1, yani 5 .

Derecenin kendisinin nasıl bulunduğunu bulmak gerekir.

Tanım 8

Rastgele bir sayının polinomunun derecesi karşılık gelen polinomun standart formdaki derecesidir.

Bir polinom standart formda yazılmadığında ancak derecesini bulmanız gerektiğinde, onu standart forma indirgemeniz ve ardından gerekli dereceyi bulmanız gerekir.

örnek 1

Bir polinomun derecesini bulun 3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12.

Çözüm

Öncelikle polinomu standart formda sunalım. Formun bir ifadesini alıyoruz:

3 a 12 − 2 a b c c a c b + y 2 z 2 − 2 a 12 − a 12 = = (3 a 12 − 2 a 12 − a 12) − 2 · (a · a) · (b · b) · (c · c) + y 2 · z 2 = = − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2

Standart biçimde bir polinom elde ederken, bunlardan ikisinin açıkça öne çıktığını görüyoruz - 2 · a 2 · b 2 · c 2 ve y 2 · z 2 . Dereceleri bulmak için sayarız ve 2 + 2 + 2 = 6 ve 2 + 2 = 4'ü buluruz. Bunlardan en büyüğünün 6 olduğu görülmektedir. Tanımdan, 6'nın − 2 · a 2 · b 2 · c 2 + y 2 · z 2 polinomunun derecesi ve dolayısıyla orijinal değer olduğu sonucu çıkar.

Cevap: 6 .

Polinom terimlerinin katsayıları

Tanım 9

Bir polinomun tüm terimleri standart formun monomları olduğunda, bu durumda bu adlara sahip olurlar. polinom terimlerinin katsayıları. Başka bir deyişle bunlara polinomun katsayıları denilebilir.

Örneği göz önüne aldığımızda, 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 formundaki bir polinomun 4 polinom içerdiği açıktır: 2 x, − 0, 5 x y, 3 x ve 7, bunlara karşılık gelen katsayılar 2, − 0, 5, 3 ve 7. Bu, 2, − 0, 5, 3 ve 7'nin, 2 x − 0, 5 x y + 3 x + 7 formundaki belirli bir polinomun terimlerinin katsayıları olarak kabul edildiği anlamına gelir. Dönüştürme yaparken değişkenlerin önündeki katsayılara dikkat etmek önemlidir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Bir polinom, monomların toplamıdır. Bir polinomun tüm terimleri standart biçimde yazılırsa (paragraf 51'e bakın) ve benzer terimler azaltılırsa, standart biçimde bir polinom elde edersiniz.

Herhangi bir tamsayı ifadesi, standart formdaki bir polinoma dönüştürülebilir - tamsayı ifadelerinin dönüşümlerinin (basitleştirmelerinin) amacı budur.

Bir ifadenin tamamının bir polinomun standart biçimine indirgenmesi gereken örneklere bakalım.

Çözüm. Öncelikle polinomun terimlerini standart forma getirelim. Elde ederiz Benzer terimleri getirdikten sonra standart formda bir polinom elde ederiz

Çözüm. Parantezlerin önünde bir artı işareti varsa, parantez içindeki tüm terimlerin işaretleri korunarak parantezler çıkarılabilir. Parantezleri açmak için bu kuralı kullanırsak şunu elde ederiz:

Çözüm. Parantezlerin önünde eksi işareti varsa, parantez içindeki tüm terimlerin işaretleri değiştirilerek parantezler çıkarılabilir. Parantezleri gizlemek için bu kuralı kullanırsak şunu elde ederiz:

Çözüm. Dağılım yasasına göre bir monom ve bir polinomun çarpımı, bu monom ve polinomun her bir üyesinin çarpımlarının toplamına eşittir. Aldık

Çözüm. Sahibiz

Benzer terimler vermeye devam ediyor (altı çizili). Şunu elde ederiz:

53. Kısaltılmış çarpma formülleri.

Bazı durumlarda, bir ifadenin tamamını bir polinomun standart biçimine getirmek, kimlikler kullanılarak gerçekleştirilir:

Bu özdeşliklere kısaltılmış çarpma formülleri adı verilir.

Belirli bir ifadeyi standart miyogoklea biçimine dönüştürmeniz gereken örneklere bakalım.

Örnek 1. .

Çözüm. Formül (1)'i kullanarak şunu elde ederiz:

Örnek 2. .

Çözüm.

Örnek 3...

Çözüm. Formül (3)'ü kullanarak şunu elde ederiz:

Örnek 4.

Çözüm. Formül (4)'ü kullanarak şunu elde ederiz:

54. Polinomları çarpanlarına ayırma.

Bazen bir polinomu çeşitli faktörlerin (polinomlar veya altnomlar) çarpımına dönüştürebilirsiniz. Böyle bir kimlik dönüşümüne polinomun çarpanlara ayrılması denir. Bu durumda polinomun bu faktörlerin her birine bölünebildiği söylenir.

Polinomları çarpanlarına ayırmanın bazı yollarına bakalım,

1) Ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak. Bu dönüşüm, dağıtım yasasının doğrudan bir sonucudur (açıklık sağlamak için bu yasayı "sağdan sola" yeniden yazmanız yeterlidir):

Örnek 1: Bir polinomu çarpanlara ayırın

Çözüm. .

Genellikle ortak çarpanı parantezlerden çıkarırken, polinomun tüm terimlerinde yer alan her değişken, bu polinomda sahip olduğu en düşük üsle çıkarılır. Polinomun tüm katsayıları tamsayı ise, polinomun tüm katsayılarının en büyük mutlak ortak böleni, ortak faktörün katsayısı olarak alınır.

2) Kısaltılmış çarpma formüllerini kullanma. Paragraf 53'teki formüller (1) - (7), sağdan sola okunduğunda, çoğu durumda polinomları çarpanlara ayırmada yararlı olduğu ortaya çıkar.

Örnek 2: Faktör.

Çözüm. Sahibiz. Formül (1)'i (kareler farkı) uygulayarak şunu elde ederiz: Başvuru yaparak

Şimdi (4) ve (5) formüllerinden (küplerin toplamı, küplerin farkı) şunu elde ederiz:

Örnek 3...

Çözüm. Öncelikle parantez içindeki ortak çarpanı çıkaralım. Bunu yapmak için, 4, 16, 16 katsayılarının en büyük ortak bölenini ve a ve b değişkenlerinin bu polinomun kurucu monomlarına dahil edildiği en küçük üsleri bulacağız. Şunu elde ederiz:

3) Gruplama yöntemi. Değişmeli ve birleşmeli toplama yasalarının bir polinomun üyelerinin çeşitli şekillerde gruplanmasına izin verdiği gerçeğine dayanmaktadır. Bazen, ortak faktörleri parantezlerden çıkardıktan sonra, her grupta aynı polinomun parantez içinde kalacağı ve bunun da ortak bir faktör olarak parantezlerin dışına alınabileceği şekilde gruplamak mümkündür. Bir polinomu çarpanlarına ayırma örneklerine bakalım.

Örnek 4. .

Çözüm. Gruplandırmayı şu şekilde yapalım:

Birinci grupta, parantezlerin ortak faktörünü ikinci gruba alalım - ortak faktör 5. Şimdi polinomu parantezlerin dışına ortak faktör olarak koyarız: Böylece şunu elde ederiz:

Örnek 5.

Çözüm. .

Örnek 6.

Çözüm. Burada hiçbir gruplama tüm gruplarda aynı polinomun ortaya çıkmasına yol açmayacaktır. Bu gibi durumlarda bazen polinomun bir üyesini toplam olarak temsil etmek ve ardından gruplama yöntemini yeniden denemek yararlı olabilir. Örneğimizde bunu bir toplam olarak temsil etmemiz tavsiye edilir.

Örnek 7.

Çözüm. Bir tek terimli ekleme ve çıkarma elde ederiz

55. Tek değişkenli polinomlar.

a, b'nin değişken sayılar olduğu bir polinom, birinci dereceden bir polinom olarak adlandırılır; a, b, c'nin değişken sayılar olduğu, ikinci dereceden polinom veya kare trinomial olarak adlandırılan bir polinom; a, b, c, d'nin sayı olduğu bir polinom, değişkene üçüncü dereceden bir polinom denir.

Genel olarak, eğer o bir değişkense o zaman bir polinomdur

lsmogochnolenol derecesi denir (x'e göre); , polinomun m terimleri, katsayılar, polinomun baş terimi, a baş terimin katsayısı, polinomun serbest terimidir. Tipik olarak, bir polinom bir değişkenin azalan kuvvetleriyle yazılır, yani bir değişkenin kuvvetleri yavaş yavaş azalır, özellikle önde gelen terim ilk sırada ve serbest terim son sıradadır. Bir polinomun derecesi en yüksek terimin derecesidir.

Örneğin, beşinci dereceden bir polinom, burada baş terim 1, polinomun serbest terimidir.

Bir polinomun kökü, polinomun sıfır olduğu değerdir. Örneğin 2 sayısı bir polinomun köküdür çünkü

Polinomlar konusunu incelerken polinomların hem standart hem de standart olmayan formlarda ortaya çıktığını ayrıca belirtmekte fayda var. Bu durumda standart olmayan bir forma sahip bir polinom, standart bir forma indirgenebilir. Aslında bu soru bu makalede ele alınacak. Ayrıntılı adım adım anlatımla açıklamaları örneklerle pekiştirelim.

Bir polinomu standart forma indirmenin anlamı

Haydi kavramın kendisine, eyleme biraz daha derinlemesine bakalım - "bir polinomu standart bir forma getirmek."

Polinomlar, diğer ifadeler gibi, aynı şekilde dönüştürülebilir. Sonuç olarak bu durumda orijinal ifadeye tamamen eşit ifadeler elde ederiz.

Tanım 1

Polinomu standart forma indirgeyin– orijinal polinomun, aynı dönüşümler kullanılarak orijinal polinomdan elde edilen standart formdaki eşit bir polinomla değiştirilmesi anlamına gelir.

Bir polinomu standart forma indirgemek için bir yöntem

Tam olarak hangi kimlik dönüşümlerinin polinomu standart forma götüreceği konusu üzerinde spekülasyon yapalım.

Tanım 2

Tanıma göre, standart bir formun her polinomu standart bir formun monomlarından oluşur ve benzer terimler içermez. Standart olmayan bir forma sahip bir polinom, standart olmayan bir forma sahip monomları ve benzer terimleri içerebilir. Yukarıdakilerden doğal olarak bir polinomun standart forma nasıl indirgeneceğine ilişkin bir kural çıkarılmıştır:

her şeyden önce, belirli bir polinomu oluşturan monomlar standart forma indirgenir;
daha sonra benzer üyelerin azaltılması gerçekleştirilir.

Örnekler ve çözümler

Polinomu standart forma indirgediğimiz örnekleri detaylı olarak inceleyelim. Yukarıda türetilen kuralı takip edeceğiz.

Bazen bir polinomun başlangıç durumundaki terimlerinin zaten standart bir forma sahip olduğunu ve geriye kalan tek şeyin benzer terimleri getirmek olduğunu unutmayın. Eylemlerin ilk adımından sonra böyle bir terim kalmaz, ardından ikinci adımı atlarız. Genel durumlarda yukarıdaki kurala göre her iki eylemi de gerçekleştirmek gerekir.

örnek 1

Polinomlar verilir:

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 ,

0, 8 + 2 a 3 0, 6 - b a b 4 b 5,

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Bunları standart bir forma getirmek gerekiyor.

Çözüm

İlk önce 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1 polinomunu ele alalım : üyelerinin standart bir formu vardır, benzer terimler yoktur, bu da polinomun standart bir formda belirtildiği ve hiçbir ek eylemin gerekli olmadığı anlamına gelir.

Şimdi 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 − b · a · b 4 · b 5 polinomuna bakalım. Standart olmayan tek terimlileri içerir: 2 · a 3 · 0, 6 ve − b · a · b 4 · b 5, yani. polinomu standart forma getirmemiz gerekiyor; bunun için ilk adım, monomları standart forma dönüştürmektir:

2 · a 3 · 0, 6 = 1, 2 · a 3;

− b · a · b 4 · b 5 = − a · b 1 + 4 + 5 = − a · b 10, böylece aşağıdaki polinomu elde ederiz:

0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 - b · a · b 4 · b 5 = 0, 8 + 1, 2 · a 3 - a · b 10.

Ortaya çıkan polinomda tüm terimler standarttır, benzer terimler yoktur, bu da polinomu standart forma getirme çalışmalarımızın tamamlandığı anlamına gelir.

Verilen üçüncü polinomu düşünün: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8

Üyelerini standart forma getirelim ve şunu elde edelim:

2 3 7 · x 2 - x · y - 1 6 7 · x 2 + 9 - 4 7 · x 2 - 8 .

Polinomun benzer üyeler içerdiğini görüyoruz, benzer üyeleri getirelim:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x · y + (9 - 8) = = x 2 · 2 3 7 - 1 6 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 · 17 7 - 13 7 - 4 7 - x · y + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1

Böylece, verilen 2 3 7 x 2 + 1 2 y x (- 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 polinomu standart − x y + 1 formunu alır.

Cevap:

5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1- polinom standart olarak ayarlanmıştır;

0, 8 + 2 a 3 0, 6 - b a b 4 b 5 = 0, 8 + 1, 2 a 3 - a b 10;

2 3 7 · x 2 + 1 2 · y · x · (- 2) - 1 6 7 · x · x + 9 - 4 7 · x 2 - 8 = - x · y + 1 .

Pek çok problemde, bir polinomu standart bir forma indirgeme eylemi, belirli bir sorunun cevabını ararken orta düzeydedir. Bu örneği ele alalım.

Örnek 2

11 - 2 3 z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0 polinomu verilmiştir. 5 · z2 + z3 . Bunu standart bir forma getirmek, derecesini belirtmek ve belirli bir polinomun terimlerini değişkenin azalan derecelerine göre düzenlemek gerekir.

Çözüm

Verilen polinomun terimlerini standart forma indirgeyelim:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 · z2 + z3 .

Bir sonraki adım benzer terimleri sunmaktır:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0 . 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0, 5 z 2 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0, 5 z 2

Polinomun derecesini (kendini oluşturan tek terimlilerin en yüksek derecesine eşit) belirlememize olanak tanıyan standart formda bir polinom elde ettik. Açıkçası, gerekli derece 5'tir.

Geriye kalan tek şey terimleri değişkenlerin azalan kuvvetlerine göre düzenlemektir. Bu amaçla, ortaya çıkan standart form polinomundaki terimleri gereksinimi dikkate alarak yeniden düzenleriz. Böylece şunu elde ederiz:

z 5 + 1 3 · z 3 - 0 , 5 · z 2 + 11 .

Cevap:

11 - 2 3 · z 2 · z + 1 3 · z 5 · 3 - 0, 5 · z 2 + z 3 = 11 + 1 3 · z 3 + z 5 - 0, 5 · z 2, derecesi ise polinom - 5; polinomun terimlerinin değişkenlerin azalan kuvvetlerine göre düzenlenmesi sonucunda polinom şu şekli alacaktır: z 5 + 1 3 · z 3 - 0, 5 · z 2 + 11.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Özetin anahtar kelimeleri: Polinom, polinomun standart formu, polinomun terimleri, polinomlar, sıfır polinom, polinomun derecesi, benzer terimlerin indirgenmesi, baş katsayı, polinomun serbest terimi.

İfade 5a 2 b – 3ab – 4a 3 + 7 tek terimlilerin toplamını temsil eder 5a 2 b, –5ab, –4a 3 ve 7 . Bu tür ifadelere denir polinomlar.

✅ Tanım. Bir polinom, monomların toplamıdır.

Bir polinomu oluşturan monomlara denir polinomun üyeleri . Örneğin, x 3 y polinomunun terimleri – 4x 2 + 9 x 3 y'nin tek terimlileridir, – 4x2 ve 9.

İki terimden oluşan polinoma denir iki terimli ve üç terimden oluşan bir polinom üç terimli . Bir monom, bir terimden oluşan bir polinom olarak kabul edilir. Polinomlara bazen denir polinomlar ve binomlar - binomlar (Yunanca “poli” - “çok”, “nomos” - “üye, parça” ve Latince “bi” - “iki, iki kez” kelimelerinden).

Polinomun içerdiği değişkenlerin değerlerini bilerek polinomun değerini hesaplayabilirsiniz.

Örnek 1. Polinomun değerini bulalım –0,3x 2 y – x 3 + 7y en x = –0,2, y = –1 .
Sahibiz:
–0,3x 2 y – x 3 +7y = –0,3 (–0,2) 2 (–1) – (–0,2) 3 + 7 (–1) = 0,012 + 0,008 – 7 = –6 ,98.

Polinomun standart formu

Bir polinomda 13x 2 y + 4 + 8xy – 6x 2 y – 9 birinci ve dördüncü terimler aynı harf kısmına sahiptir. Bir polinomun harf kısımları aynı olan terimlerine benzer terimler denir. Harf kısmı bulunmayan terimler de benzer terimler olarak kabul edilir.

Bir polinomun benzer terimlerinin toplamı bir tek terimle değiştirilebilir. Böyle bir özdeş dönüşüme benzer terimlerin indirgenmesi denir veya benzer terimlerin getirilmesi. Bu tür terimlerin indirgenmesi, toplamanın değişme ve birleşimsel özelliklerine ve çarpmanın dağılma özelliğine dayanmaktadır.

Örnek 2. Polinomun benzer terimlerini sunalım 13x 2 y + 4 + 8xy – 6x 2 y – 9.
Sahibiz:
13x 2 y + 4 + 8xy – 6x 2 y – 9 = (13x 2 y – 6x 2 y) + 8xy + (4 – 9) = (13 – 6)x 2 y + 8xy – 5 = 7x 2 y + 8xy - 5.

Bir polinomda 7x 2 y + 8xy – 5 her terim standart formun bir monomudur ve aralarında benzer terimler yoktur. Bu tür polinomlara denir standart formdaki polinomlar.

Standart formun bir polinomunu düşünün 3 – 5a 3 b 2 + 7 için . Üyeleri üçüncü, beşinci ve sıfır derecenin tek terimlileridir. Bu kuvvetlerin en büyüğüne polinomun derecesi denir. Dolayısıyla bu polinom beşinci dereceden bir polinomdur.

Polinom derecesi standart form, içerdiği monomların kuvvetlerinin en büyüğüdür. Rasgele bir polinomun derecesi, standart biçimdeki özdeş bir polinomun derecesidir.

Örnek 3. Polinomun derecesini belirleyelim a 6 + 2a 2 b – a 6 + 1 .
Bunu yapmak için polinomu standart forma indirgeriz: bir 6 + 2a 2 b – bir 6 + 1 = 2a 2 b + 1 .
Ortaya çıkan polinomun derecesi üçtür. Bu, verilen polinomun derecesinin üçe eşit olduğu anlamına gelir.

Bir polinom sıfırdan farklı bir sayı ise, böyle bir polinomun derecesi 0'dır. Sıfır sayısına sıfır denir. boş polinom . Derecesi belirsiz kabul edilir.

Polinomlar arasında tek değişkenli polinomlar ayırt edilir. Standart formda tek değişkenli n'inci dereceden bir polinom şu şekilde yazılır: a 0 x n + a 1 x n-1 + a 2 x n-2 + ... + a n-2 x 2 + a n-1 x + a n, Nerede X- değişken, a 0, a 1 a 2,…, a n-1, a n- keyfi sayılar, n ∈ N veya n = 0. Katsayı xn isminde kıdemli katsayı (bizim durumumuzda bu 0'dır). İçinde x değişkeni bulunmayan terime denir Ücretsiz Üye polinom (bizim durumumuzda bu bir n'dir). Örneğin polinomun baş katsayısı x 4 + 2x 3 – x 2 + 3x eşittir 1 ve kukla terim sıfırdır.

X = 0'da x değişkenli bir polinomun değerinin, bu polinomun serbest terimine ve x = 1'de katsayılarının toplamına eşit olduğuna dikkat edin.

Bu konuyla ilgili bir matematik özetidir. Bundan sonra ne yapacağınızı seçin:

Sonraki özete git:

Hem standart hem de standart olmayan polinomların olduğunu söylemiştik. Orada herkesin yapabileceğini belirttik polinomu standart forma getirin. Bu yazımızda öncelikle bu cümlenin ne anlam taşıdığını öğreneceğiz. Daha sonra herhangi bir polinomu standart forma dönüştürme adımlarını listeliyoruz. Son olarak tipik örneklerin çözümlerine bakalım. Polinomları standart forma indirirken ortaya çıkan tüm nüansları anlamak için çözümleri çok detaylı bir şekilde anlatacağız.

Sayfada gezinme.

Bir polinomu standart forma indirgemek ne anlama gelir?

Öncelikle bir polinomu standart forma indirgemenin ne anlama geldiğini açıkça anlamanız gerekir. Bunu çözelim.

Diğer ifadeler gibi polinomlar da aynı dönüşümlere tabi tutulabilir. Bu tür dönüşümlerin gerçekleştirilmesi sonucunda orijinal ifadeye tamamen eşit ifadeler elde edilir. Bu nedenle, standart olmayan formdaki polinomlarla belirli dönüşümlerin gerçekleştirilmesi, bunlara tamamen eşit olan ancak standart formda yazılan polinomlara geçilmesine olanak tanır. Bu geçişe polinomun standart forma indirgenmesi denir.

Bu yüzden, polinomu standart forma indirgemek- bu, orijinal polinomun, aynı dönüşümler gerçekleştirilerek orijinal polinomdan elde edilen, standart formdaki özdeş bir polinomla değiştirilmesi anlamına gelir.

Bir polinomu standart forma nasıl indirgeyebilirim?

Polinomu standart bir forma getirmemize hangi dönüşümlerin yardımcı olacağını düşünelim. Standart formdaki bir polinomun tanımıyla başlayacağız.

Tanım gereği, standart formdaki bir polinomun her terimi standart formdaki bir monomdur ve standart formdaki bir polinom benzer terimler içermez. Buna karşılık, standart formdan farklı bir biçimde yazılan polinomlar, standart olmayan formdaki tek terimlilerden oluşabilir ve benzer terimler içerebilir. Bu mantıksal olarak aşağıdaki kuralı takip eder; bir polinomun standart forma nasıl indirgeneceği:

öncelikle orijinal polinomu oluşturan tek terimlileri standart forma getirmeniz gerekir,
daha sonra benzer terimlerin indirgenmesini gerçekleştirin.

Sonuç olarak, tüm terimleri standart biçimde yazılacağı ve benzer terimler içermeyeceği için standart biçimde bir polinom elde edilecektir.

Örnekler, çözümler

Polinomları standart forma indirgeme örneklerine bakalım. Çözerken, önceki paragrafta belirtilen kuralın belirttiği adımları takip edeceğiz.

Burada bazen bir polinomun tüm terimlerinin hemen standart formda yazıldığını görüyoruz; bu durumda sadece benzer terimleri vermek yeterlidir. Bazen bir polinomun terimleri standart forma indirildikten sonra benzer terimler kalmaz, dolayısıyla benzer terimlerin getirilmesi aşaması bu durumda atlanır. Genel olarak her ikisini de yapmanız gerekir.

Örnek.

Polinomları standart biçimde sunun: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 Ve .

Çözüm.

5·x 2 ·y+2·y 3 −x·y+1 polinomunun tüm terimleri standart biçimde yazılmıştır; benzer terimleri yoktur, dolayısıyla bu polinom zaten standart biçimde sunulmuştur.

Bir sonraki polinoma geçelim 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. Standart olmayan bir formun 2·a 3 ·0,6 ve −b·a·b 4 ·b 5 terimlerinin de gösterdiği gibi, formu standart değildir. Standart formda sunalım.

Orijinal polinomu standart forma getirmenin ilk aşamasında tüm terimlerini standart formda sunmamız gerekiyor. Bu nedenle, 2·a 3 ·0,6 tek terimlisini standart forma indirgeriz, 2·a 3 ·0,6=1,2·a 3 elde ederiz, ardından −b·a·b 4 ·b 5 tek terimlisini alırız, şunu elde ederiz: −b·a·b 4 ·b 5 =−a·b 1+4+5 =−a·b 10. Böylece, . Ortaya çıkan polinomda tüm terimler standart biçimde yazılmıştır; üstelik içinde benzer terimlerin olmadığı da açıktır. Sonuç olarak bu, orijinal polinomun standart forma indirgenmesini tamamlar.

Geriye verilen polinomların sonuncusunu standart biçimde sunmak kalıyor. Tüm üyeleri standart forma getirildikten sonra şu şekilde yazılacaktır: . Benzer üyeleri var, dolayısıyla benzer üyeleri seçmeniz gerekiyor:

Böylece orijinal polinom standart −x·y+1 formunu aldı.

Cevap:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – zaten standart biçimde, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 −a b 10, .

Genellikle bir polinomu standart bir forma getirmek, problemin ortaya atılan sorusunu yanıtlamada yalnızca bir ara adımdır. Örneğin bir polinomun derecesini bulmak, onun standart biçimde ön gösterimini gerektirir.

Örnek.

Bir polinom verin standart forma, derecesini belirtin ve terimleri değişkenin azalan derecelerine göre düzenleyin.

Çözüm.

İlk olarak polinomun tüm terimlerini standart forma getiriyoruz: .

Şimdi benzer terimleri sunuyoruz:

Böylece orijinal polinomu standart bir forma getirdik, bu bize polinomun, içerdiği monomların en yüksek derecesine eşit olan derecesini belirlememizi sağlıyor. Açıkçası 5'e eşit.

Geriye polinomun terimlerini değişkenlerin azalan kuvvetlerine göre düzenlemek kalır. Bunu yapmak için, ortaya çıkan standart form polinomundaki terimleri, gereksinimi dikkate alarak yeniden düzenlemeniz yeterlidir. z 5 terimi en yüksek dereceye sahiptir; −0,5·z 2 ve 11 terimlerinin dereceleri sırasıyla 3, 2 ve 0'a eşittir. Bu nedenle, değişkenin azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş terimleri olan bir polinom şu şekilde olacaktır: .

Cevap:

Polinomun derecesi 5 olup, terimleri değişkenin azalan derecelerine göre düzenlendikten sonra şu şekli alır: .

Kaynakça.

Cebir: ders kitabı 7. sınıf için Genel Eğitim kurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tarafından düzenlendi S. A. Telyakovsky. - 17. baskı. - M.: Eğitim, 2008. - 240 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Mordkoviç A.G. Cebir. 7. sınıf. 2 saat içinde Bölüm 1. Genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı / A. G. Mordkovich. - 17. baskı, ekleyin. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: hasta. ISBN 978-5-346-02432-3.
Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 10. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil. seviyeler / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; tarafından düzenlendi A. B. Zhizhchenko. - 3. baskı. - M.: Eğitim, 2010.- 368 s. : hasta. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.