Kompleks türevler. Logaritmik türev.
Bir üstel fonksiyonun türevi

Farklılaştırma tekniğimizi geliştirmeye devam ediyoruz. Bu derste ele aldığımız materyali pekiştireceğiz, daha karmaşık türevlere bakacağız ve ayrıca özellikle logaritmik türev olmak üzere türev bulmaya yönelik yeni teknikler ve püf noktaları hakkında bilgi sahibi olacağız.

Hazırlık düzeyi düşük olan okuyucular makaleye başvurmalıdır. Türevi nasıl bulunur? Çözüm örnekleri Bu da becerilerinizi neredeyse sıfırdan geliştirmenize olanak tanır. Daha sonra sayfayı dikkatlice incelemeniz gerekiyor Karmaşık bir fonksiyonun türevi anla ve çöz Tüm verdiğim örnekler. Bu ders mantıksal olarak üçüncü derstir ve bu konuda uzmanlaştıktan sonra oldukça karmaşık işlevleri güvenle ayırt edeceksiniz. “Başka nerede?” pozisyonunu almak istenmez. Bu kadar yeter!”, çünkü tüm örnekler ve çözümler gerçek testlerden alınmıştır ve pratikte sıklıkla karşılaşılmaktadır.

Tekrarlarla başlayalım. Derste Karmaşık bir fonksiyonun türevi Ayrıntılı yorumlarla birlikte birkaç örneğe baktık. Diferansiyel hesabı ve matematiksel analizin diğer dallarını incelerken, çok sık türev almanız gerekecektir ve örnekleri çok ayrıntılı bir şekilde açıklamak her zaman uygun değildir (ve her zaman gerekli de değildir). Bu nedenle sözlü olarak türev bulma alıştırması yapacağız. Bunun için en uygun "adaylar" en basit karmaşık fonksiyonların türevleridir, örneğin:

Karmaşık fonksiyonların farklılaşması kuralına göre :

Gelecekte diğer matan konularını incelerken, çoğu zaman bu kadar ayrıntılı bir kayıt gerekli değildir; öğrencinin bu tür türevleri otomatik pilotta nasıl bulacağını bildiği varsayılır. Farz edelim ki sabah saat 3’te telefon çaldı ve hoş bir ses şöyle sordu: “İki X’in tanjantının türevi nedir?” Bunu neredeyse anında ve kibar bir yanıt takip etmelidir: .

İlk örnek hemen bağımsız bir çözüme yönelik olacaktır.

örnek 1

Aşağıdaki türevleri tek bir işlemle sözlü olarak bulun, örneğin: . Görevi tamamlamak için yalnızca kullanmanız gerekir temel fonksiyonların türevleri tablosu(henüz hatırlamadıysanız). Herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız dersi tekrar okumanızı tavsiye ederim Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Cevaplar dersin sonunda

Karmaşık türevler

Ön topçu hazırlığından sonra, 3-4-5 işlevin iç içe geçtiği örnekler daha az korkutucu olacaktır. Aşağıdaki iki örnek bazılarına karmaşık görünebilir, ancak eğer bunları anlarsanız (birisi acı çekecektir), o zaman diferansiyel hesaptaki hemen hemen her şey bir çocuğun şakası gibi görünecektir.

Örnek 2

Bir fonksiyonun türevini bulun

Daha önce belirtildiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken her şeyden önce gereklidir Sağ Yatırımlarınızı ANLAYIN. Şüphe duyduğunuz durumlarda size faydalı bir tekniği hatırlatırım: Örneğin “x”in deneysel değerini alırız ve (zihinsel olarak veya taslakta) bu değeri “korkunç ifade”ye koymaya çalışırız.

1) Öncelikle toplamın en derin gömülü olduğu anlamına gelen ifadeyi hesaplamamız gerekir.

2) O zaman logaritmayı hesaplamanız gerekir:

4) Daha sonra kosinüsün küpünü alın:

5) Beşinci adımda fark şudur:

6) Ve son olarak en dıştaki fonksiyon kareköktür:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için formül en dıştaki fonksiyondan en içteki fonksiyona doğru ters sırada uygulanır. Biz karar veriyoruz:

Hiçbir hata yok gibi görünüyor...

(1) Karekökün türevini alın.

(2) Kuralı kullanarak farkın türevini alırız

(3) Bir üçlünün türevi sıfırdır. İkinci terimde derecenin (küp) türevini alıyoruz.

(4) Kosinüsün türevini alın.

(5) Logaritmanın türevini alın.

(6) Ve son olarak en derine yerleştirmenin türevini alıyoruz.

Çok zor görünebilir ama bu en acımasız örnek değil. Örneğin Kuznetsov'un koleksiyonunu ele aldığımızda, analiz edilen türevin tüm güzelliğini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Bir öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını anlayıp anlamadığını kontrol etmek için sınavda benzer bir şey vermeyi sevdiklerini fark ettim.

Aşağıdaki örnek kendi başınıza çözmeniz içindir.

Örnek 3

Bir fonksiyonun türevini bulun

İpucu: Öncelikle doğrusallık kurallarını ve ürün farklılaştırma kuralını uyguluyoruz

Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.

Daha küçük ve daha güzel bir şeye geçmenin zamanı geldi.
Bir örnekte iki değil üç fonksiyonun çarpımını göstermek alışılmadık bir durum değildir. Üç faktörün çarpımının türevi nasıl bulunur?

Örnek 4

Bir fonksiyonun türevini bulun

Öncelikle bakalım, üç fonksiyonun çarpımını iki fonksiyonun çarpımına dönüştürmek mümkün müdür? Örneğin çarpımda iki polinom varsa parantezleri açabiliriz. Ancak söz konusu örnekte tüm işlevler farklıdır: derece, üs ve logaritma.

Bu gibi durumlarda gerekli sıraylaürün farklılaştırma kuralını uygulayın iki kere

İşin püf noktası, "y" ile iki fonksiyonun çarpımını, "ve" ile de logaritmayı belirtmemizdir: . Bu neden yapılabilir? Gerçekten mi – bu iki faktörün bir ürünü değil ve kural işe yaramıyor mu?! Karmaşık bir şey yok:

Şimdi kuralı ikinci kez uygulamaya devam ediyor parantez içine almak için:

Ayrıca bükülebilir ve parantezlerin dışına bir şeyler koyabilirsiniz, ancak bu durumda cevabı tam olarak bu formda bırakmak daha iyidir - kontrol edilmesi daha kolay olacaktır.

Ele alınan örnek ikinci şekilde çözülebilir:

Her iki çözüm de kesinlikle eşdeğerdir.

Örnek 5

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu, bağımsız bir çözüme bir örnektir; örnekte birinci yöntem kullanılarak çözülür.

Kesirlerle benzer örneklere bakalım.

Örnek 6

Bir fonksiyonun türevini bulun

Buraya gidebileceğiniz birkaç yol var:

Veya bunun gibi:

Ancak öncelikle bölümün türev alma kuralını kullanırsak çözüm daha kısa bir şekilde yazılacaktır. , payın tamamını alarak:

Prensip olarak örnek çözülmüştür ve olduğu gibi bırakılırsa hata olmayacaktır. Ancak zamanınız varsa, cevabın basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini görmek için her zaman taslağı kontrol etmeniz önerilir. Payın ifadesini ortak bir paydaya indirgeyelim ve hadi üç katlı kesirden kurtulalım:

Ek basitleştirmelerin dezavantajı, türevi bulurken değil, sıradan okul dönüşümleri sırasında hata yapma riskinin olmasıdır. Öte yandan öğretmenler sıklıkla ödevi reddediyor ve türevi “akla getirmesini” istiyorlar.

Kendi başınıza çözebileceğiniz daha basit bir örnek:

Örnek 7

Bir fonksiyonun türevini bulun

Türevi bulma yöntemlerinde ustalaşmaya devam ediyoruz ve şimdi türev için "korkunç" bir logaritmanın önerildiği tipik bir durumu ele alacağız.

Örnek 8

Bir fonksiyonun türevini bulun

Burada karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanarak uzun bir yol kat edebilirsiniz:

Ancak ilk adım sizi hemen umutsuzluğa sürükler - hoş olmayan türevi kesirli bir kuvvetten ve sonra da bir kesirden almanız gerekir.

Bu yüzden önce"Gelişmiş" bir logaritmanın türevinin nasıl alınacağı, ilk olarak iyi bilinen okul özellikleri kullanılarak basitleştirilmiştir:

! Elinizde bir alıştırma defteriniz varsa, bu formülleri doğrudan oraya kopyalayın. Not defteriniz yoksa bunları bir kağıda kopyalayın, çünkü dersin geri kalan örnekleri bu formüller etrafında şekillenecektir.

Çözümün kendisi şöyle yazılabilir:

Fonksiyonu dönüştürelim:

Türevi bulma:

Fonksiyonun önceden dönüştürülmesi çözümü büyük ölçüde basitleştirdi. Bu nedenle, türev için benzer bir logaritma önerildiğinde, her zaman onu "parçalamak" tavsiye edilir.

Şimdi kendi başınıza çözebileceğiniz birkaç basit örnek:

Örnek 9

Bir fonksiyonun türevini bulun

Örnek 10

Bir fonksiyonun türevini bulun

Tüm dönüşümler ve cevaplar dersin sonundadır.

Logaritmik türev

Logaritmanın türevi bu kadar tatlı müzikse, o zaman şu soru ortaya çıkıyor: Bazı durumlarda logaritmayı yapay olarak düzenlemek mümkün mü? Olabilmek! Ve hatta gerekli.

Örnek 11

Bir fonksiyonun türevini bulun

Yakın zamanda benzer örneklere baktık. Ne yapalım? Bölümün farklılaşma kuralını ve ardından çarpımın farklılaşma kuralını sırayla uygulayabilirsiniz. Bu yöntemin dezavantajı, hiç uğraşmak istemeyeceğiniz devasa bir üç katlı kesirle karşı karşıya kalmanızdır.

Ancak teoride ve pratikte logaritmik türev diye harika bir şey var. Logaritmalar her iki tarafa "asılarak" yapay olarak düzenlenebilir:

Not : Çünkü bir fonksiyon negatif değerler alabilir, o zaman genel olarak konuşursak modülleri kullanmanız gerekir: farklılaşmanın bir sonucu olarak ortadan kaybolacaktır. Bununla birlikte, varsayılan olarak dikkate alınan mevcut tasarım da kabul edilebilir. karmaşık anlamlar. Ancak eğer çok titizse, o zaman her iki durumda da bir çekince yapılmalıdır..

Şimdi sağ tarafın logaritmasını mümkün olduğunca "parçalamanız" gerekiyor (formüller gözlerinizin önünde mi?). Bu süreci çok detaylı bir şekilde anlatacağım:

Farklılaştırmayla başlayalım.
Her iki bölümü de ana başlık altında sonlandırıyoruz:

Sağ tarafın türevi oldukça basittir; bu konuda yorum yapmayacağım, çünkü bu metni okuyorsanız, bunu kendinizden emin bir şekilde yapabilmeniz gerekir.

Peki sol taraf?

Sol tarafta elimizde karmaşık fonksiyon. “Neden logaritmanın altında bir tane “Y” harfi var?” sorusunu öngörüyorum.

Gerçek şu ki, bu "tek harfli oyun" - KENDİSİ BİR FONKSİYONDUR(çok açık değilse örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi makalesine bakın). Bu nedenle logaritma bir dış fonksiyondur ve “y” bir iç fonksiyondur. Ve karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuralı kullanıyoruz :

Sol tarafta sanki sihirli bir şekilde bir türevimiz var. Daha sonra orantı kuralına göre “y”yi sol taraftaki paydadan sağ tarafın üstüne aktarıyoruz:

Şimdi farklılaşma sırasında nasıl bir “oyuncu” işlevinden bahsettiğimizi hatırlayalım. Şimdi duruma bakalım:

Son cevap:

Örnek 12

Bir fonksiyonun türevini bulun

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Bu tip bir örneğin örnek tasarımı dersin sonundadır.

Logaritmik türevi kullanarak 4-7 numaralı örneklerden herhangi birini çözmek mümkündü, başka bir şey de oradaki fonksiyonların daha basit olmasıdır ve belki de logaritmik türevin kullanımı pek haklı değildir.

Bir üstel fonksiyonun türevi

Bu fonksiyonu henüz değerlendirmedik. Bir üstel fonksiyon fonksiyonu, bunun için bir fonksiyondur. hem derece hem de taban “x”e bağlıdır. Herhangi bir ders kitabında veya derste size verilecek klasik bir örnek:

Bir üstel fonksiyonun türevi nasıl bulunur?

Az önce tartışılan tekniğin (logaritmik türev) kullanılması gereklidir. Her iki tarafa da logaritma asıyoruz:

Kural olarak, sağ tarafta derece logaritmanın altından çıkarılır:

Sonuç olarak, sağ tarafta standart formüle göre farklılaştırılacak iki fonksiyonun çarpımı var. .

Türevi buluyoruz; bunu yapmak için her iki parçayı da konturların altına alıyoruz:

Diğer eylemler basittir:

Nihayet:

Herhangi bir dönüşüm tamamen açık değilse, lütfen Örnek 11'in açıklamalarını dikkatlice tekrar okuyun.

Pratik görevlerde kuvvet-üstel fonksiyonu her zaman tartışılan ders örneğinden daha karmaşık olacaktır.

Örnek 13

Bir fonksiyonun türevini bulun

Logaritmik türevi kullanıyoruz.

Sağ tarafta bir sabitimiz ve iki faktörün çarpımı var - “x” ve “logaritmanın logaritması x” (başka bir logaritma logaritmanın altına yerleştirilmiştir). Hatırladığımız gibi, türev alırken, yolunuza çıkmaması için sabiti hemen türev işaretinin dışına taşımak daha iyidir; ve elbette tanıdık kuralı uyguluyoruz :

Doğal logaritmanın ve a tabanına göre logaritmanın türevinin formüllerinin ispatı ve türetilmesi. ln 2x, ln 3x ve ln nx'in türevlerinin hesaplanmasına örnekler. Matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak n'inci dereceden logaritmanın türevinin formülünün kanıtı.

İçerik

Ayrıca bakınız: Logaritma - özellikler, formüller, grafik
Doğal logaritma - özellikler, formüller, grafik

Doğal logaritmanın türevleri ve logaritmanın bir tabanına göre formüllerinin türetilmesi

X'in doğal logaritmasının türevi, birin x'e bölünmesine eşittir:
(1) (ln x)' =.

Logaritmanın a tabanına göre türevi, birin x değişkenine bölünmesiyle a'nın doğal logaritmasının çarpımına eşittir:
(2) (log a x)' =.

Kanıt

Bire eşit olmayan pozitif bir sayı olsun. Tabanın logaritması olan x değişkenine bağlı bir fonksiyon düşünün:
.
Bu fonksiyon adresinde tanımlanmıştır. x değişkenine göre türevini bulalım. Tanım gereği türev aşağıdaki limittir:
(3) .

Bu ifadeyi bilinen matematiksel özelliklere ve kurallara indirgeyecek şekilde dönüştürelim. Bunu yapmak için aşağıdaki gerçekleri bilmemiz gerekir:
A) Logaritmanın özellikleri. Aşağıdaki formüllere ihtiyacımız olacak:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Logaritmanın sürekliliği ve sürekli bir fonksiyon için limitlerin özelliği:
(7) .
Burada limiti olan bir fonksiyon var ve bu limit pozitif.
İÇİNDE)İkinci dikkat çekici sınırın anlamı:
(8) .

Bu gerçekleri sınırlarımıza uygulayalım. İlk önce cebirsel ifadeyi dönüştürüyoruz
.
Bunu yapmak için (4) ve (5) özelliklerini uyguluyoruz.

.

Özelliği (7) ve ikinci dikkate değer limiti (8) kullanalım:
.

Ve son olarak (6) özelliğini uyguluyoruz:
.
Tabana göre logaritma e isminde doğal logaritma. Aşağıdaki şekilde belirlenmiştir:
.
Daha sonra ;
.

Böylece logaritmanın türevi için formül (2)'yi elde ettik.

Doğal logaritmanın türevi

Bir kez daha logaritmanın a tabanına göre türevinin formülünü yazıyoruz:
.
Bu formül doğal logaritmanın en basit biçimine sahiptir; bunun için , . Daha sonra
(1) .

Bu basitlik nedeniyle doğal logaritma, matematiksel analizde ve matematiğin diferansiyel hesapla ilgili diğer dallarında çok yaygın olarak kullanılır. Diğer tabanlarla logaritmik fonksiyonlar, (6) özelliği kullanılarak doğal logaritma cinsinden ifade edilebilir:
.

Diferansiyel işaretinden sabiti çıkarırsanız, logaritmanın tabana göre türevi formül (1)'den bulunabilir:
.

Logaritmanın türevini kanıtlamanın diğer yolları

Burada üstel sayının türevinin formülünü bildiğimizi varsayıyoruz:
(9) .
Logaritmanın üstel sayının ters fonksiyonu olduğu göz önüne alındığında, doğal logaritmanın türevinin formülünü türetebiliriz.

Doğal logaritmanın türevinin formülünü kanıtlayalım, ters fonksiyonun türevinin formülünü uygulamak:
.
Bizim durumumuzda.
.
Doğal logaritmanın ters fonksiyonu üsteldir:
.
Türevi formül (9) ile belirlenir. Değişkenler herhangi bir harfle belirtilebilir. Formül (9)'da x değişkenini y ile değiştirin:
.
O zamandan beri
.
Daha sonra

Formül kanıtlanmıştır. Şimdi doğal logaritmanın türevinin formülünü kullanarak kanıtlıyoruz: karmaşık fonksiyonların türevini alma kuralları
.
. ve fonksiyonları birbirinin tersi olduğundan,
(10) .
Bu denklemin x değişkenine göre türevini alalım:
.
x'in türevi bire eşittir:
.
Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uyguluyoruz:
.
Burada . (10)'da yerine koyalım:
.

Buradan

Örnek Türevlerini bulun 2x'te, 3x'te Ve.

lnx Orijinal işlevler benzer bir biçime sahiptir. Bu nedenle fonksiyonun türevini bulacağız y = log nx . Daha sonra n = 2 ve n = 3'ü yerine koyarız. Ve böylece türevleri için formüller elde ederiz. 2x'te 2x'te, .

Ve
Orijinal işlevler benzer bir biçime sahiptir. Bu nedenle fonksiyonun türevini bulacağız .
Yani fonksiyonun türevini arıyoruz
1) Bu fonksiyonu iki fonksiyondan oluşan karmaşık bir fonksiyon olarak düşünelim:
2) Değişkene bağlı işlevler: ;
Değişkene bağlı işlevler: .
.

Fonksiyonun x değişkenine göre türevini bulalım:
.
Fonksiyonun değişkene göre türevini bulalım:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülünü uyguluyoruz.
.
İşte ayarladık.

Böylece şunu bulduk:
(11) .
Türevin n'ye bağlı olmadığını görüyoruz. Orijinal fonksiyonu çarpımın logaritması formülünü kullanarak dönüştürürsek bu sonuç oldukça doğaldır:
.
- bu bir sabittir. Türevi sıfırdır. O zaman toplamın farklılaşma kuralına göre şunu elde ederiz:
.

; ; .

Modül x logaritmasının türevi

Başka bir önemli fonksiyonun türevini bulalım: x modülünün doğal logaritması:
(12) .

Olayı ele alalım. Daha sonra fonksiyon şöyle görünür:
.
Türevi formül (1) ile belirlenir:
.

Şimdi olayı ele alalım. Daha sonra fonksiyon şöyle görünür:
,
Nerede .
Ancak yukarıdaki örnekte bu fonksiyonun türevini de bulduk. N'ye bağlı değildir ve eşittir
.
O zamandan beri
.

Bu iki durumu tek bir formülde birleştiriyoruz:
.

Buna göre logaritmanın a tabanını oluşturması için şunu elde ederiz:
.

Doğal logaritmanın daha yüksek mertebeden türevleri

İşlevi düşünün
.
Birinci dereceden türevini bulduk:
(13) .

İkinci dereceden türevi bulalım:
.
Üçüncü dereceden türevi bulalım:
.
Dördüncü dereceden türevi bulalım:
.

N'inci dereceden türevin şu şekilde olduğunu fark edebilirsiniz:
(14) .
Bunu matematiksel tümevarımla kanıtlayalım.

Kanıt

n = 1 değerini formül (14)'te yerine koyalım:
.
'den beri, o zaman n = 1 , formül (14) geçerlidir.

Formül (14)'ün n = k için karşılandığını varsayalım. Bunun, formülün n = k için geçerli olduğunu ima ettiğini kanıtlayalım. + 1 .

Aslında, n = k için elimizde:
.
x değişkenine göre türev alın:

.
Böylece şunu elde ettik:
.
Bu formül n = k + için formül (14) ile örtüşmektedir. 1 . Dolayısıyla formül (14)'ün n = k için geçerli olduğu varsayımından, formül (14)'ün n = k + için geçerli olduğu sonucu çıkar. 1 .

Bu nedenle, n'inci dereceden türev için formül (14) herhangi bir n için geçerlidir.

Bir tabana göre daha yüksek logaritmanın türevleri

Bir logaritmanın a tabanına göre n'inci dereceden türevini bulmak için bunu doğal logaritma cinsinden ifade etmeniz gerekir:
.
Formül (14)'ü uygulayarak n'inci türevi buluruz:
.

Ayrıca bakınız:

Türev bulma işlemine farklılaşma denir.

Türevi, argümanın artışına oranının limiti olarak tanımlayarak en basit (ve çok basit olmayan) fonksiyonların türevlerini bulma problemlerinin çözülmesinin bir sonucu olarak, bir türev tablosu ve kesin olarak tanımlanmış farklılaşma kuralları ortaya çıktı. . Türev bulma alanında ilk çalışmalar yapanlar Isaac Newton (1643-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) olmuştur.

Bu nedenle günümüzde herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için yukarıda belirtilen fonksiyonun artımının argümanın artımına oranının limitini hesaplamanıza gerek yoktur, yalnızca tabloyu kullanmanız gerekir. türevler ve türev alma kuralları. Aşağıdaki algoritma türevi bulmak için uygundur.

Türevi bulmak için, asal işaretin altında bir ifadeye ihtiyacınız var basit işlevleri bileşenlere ayırın ve hangi eylemlerin gerçekleştirileceğini belirleyin (çarpım, toplam, bölüm) bu işlevler birbiriyle ilişkilidir. Daha sonra, türev tablosunda temel fonksiyonların türevlerini ve türev kurallarında ürünün, toplamın ve bölümün türevlerinin formüllerini buluyoruz. İlk iki örnekten sonra türevler ve türev alma kurallarının bir tablosu verilmiştir.

Örnek 1. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Türev alma kurallarından, bir fonksiyon toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin toplamı olduğunu öğreniyoruz;

Türev tablosundan "x" türevinin bire, sinüs türevinin kosinüse eşit olduğunu öğreniyoruz. Bu değerleri türevlerin toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği türevi buluruz:

Örnek 2. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. İkinci terimin sabit bir faktöre sahip olduğu bir toplamın türevi olarak türev alıyoruz; bu, türevin işaretinden çıkarılabilir:

Bir şeyin nereden geldiğine dair hâlâ sorular ortaya çıkıyorsa, bunlar genellikle türev tablosuna ve türev almanın en basit kurallarına aşina olunduktan sonra açıklığa kavuşturulur. Şu anda onlara doğru ilerliyoruz.

Basit fonksiyonların türevleri tablosu

1. Bir sabitin (sayı) türevi. İşlev ifadesindeki herhangi bir sayı (1, 2, 5, 200...). Her zaman sıfıra eşittir. Bunu hatırlamak çok önemlidir, çünkü çok sık ihtiyaç duyulur.
2. Bağımsız değişkenin türevi. Çoğu zaman "X". Her zaman bire eşittir. Bunu uzun süre hatırlamak da önemlidir
3. Derecenin türevi. Problem çözerken karekök olmayanları kuvvetlere dönüştürmeniz gerekir.
4. Bir değişkenin -1 kuvvetine göre türevi
5. Karekökün türevi
6. Sinüs türevi
7. Kosinüsün türevi
8. Teğetin türevi
9. Kotanjantın Türevi
10. Arsinüsün türevi
11. Ark kosinüsün türevi
12. Arktanjantın türevi
13. Ark kotanjantının türevi
14. Doğal logaritmanın türevi
15. Logaritmik bir fonksiyonun türevi
16. Üssün türevi
17. Üstel bir fonksiyonun türevi

Farklılaşma kuralları

1. Bir toplamın veya farkın türevi
2. Ürünün türevi
2a. Bir ifadenin sabit bir faktörle çarpılmasının türevi
3. Bölümün türevi
4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi

Kural 1.Eğer işlevler

Bir noktada türevlenebilirse fonksiyonlar aynı noktada türevlenebilirdir

Ve

onlar. cebirsel fonksiyon toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir.

Sonuçlar. İki türevlenebilir fonksiyonun farkı sabit bir terim ise türevleri eşittir, yani

Kural 2.Eğer işlevler

Bir noktada türevlenebilirse çarpımları aynı noktada türevlenebilirdir

Ve

onlar. İki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin çarpımları ile diğerinin türevinin toplamına eşittir.

Sonuç 1. Sabit faktör türevin işaretinden çıkarılabilir:

Sonuç 2. Çeşitli türevlenebilir fonksiyonların çarpımının türevi, her faktörün ve diğerlerinin türevinin çarpımlarının toplamına eşittir.

Örneğin üç çarpan için:

Kural 3.Eğer işlevler

bir noktada farklılaşabilir Ve , o zaman bu noktada onların bölümleri de türevlenebiliru/v ve

onlar. iki fonksiyonun bölümünün türevi, pay, paydanın çarpımları ile payın türevi ile pay ve paydanın türevi arasındaki fark olan bir kesire eşittir ve payda, karesidir. eski pay.

Diğer sayfalardaki şeyleri nerede arayabilirim?

Gerçek problemlerde bir çarpımın ve bölümün türevini bulurken her zaman birkaç türev alma kuralını aynı anda uygulamak gerekir, bu nedenle makalede bu türevlerle ilgili daha fazla örnek vardır."Çarpının türevi ve fonksiyonların bölümü".

Yorum. Bir sabiti (yani bir sayıyı) toplamdaki bir terim ve sabit bir faktör olarak karıştırmamalısınız! Terim durumunda türevi sıfıra eşit olup, sabit faktör olması durumunda türevlerin işareti dışına çıkarılır. Bu, türevleri çalışmanın ilk aşamasında meydana gelen tipik bir hatadır, ancak ortalama bir öğrenci birkaç bir ve iki parçalı örnekleri çözdükçe artık bu hatayı yapmaz.

Ve eğer bir ürünü veya bölümü farklılaştırırken bir teriminiz varsa sen"v, hangisinde sen- bir sayı, örneğin 2 veya 5, yani bir sabit, o zaman bu sayının türevi sıfıra eşit olacaktır ve dolayısıyla tüm terim sıfıra eşit olacaktır (bu durum örnek 10'da tartışılmıştır).

Bir diğer yaygın hata, karmaşık bir fonksiyonun türevini basit bir fonksiyonun türevi olarak mekanik olarak çözmektir. Bu yüzden karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrı bir makale ayrılmıştır. Ama önce basit fonksiyonların türevlerini bulmayı öğreneceğiz.

Yol boyunca ifadeleri dönüştürmeden yapamazsınız. Bunu yapmak için kılavuzu yeni pencerelerde açmanız gerekebilir. Güçleri ve kökleri olan eylemler 3x'te Kesirlerle işlemler .

Kesirlerin kuvvetleri ve kökleri olan türevlerine çözüm arıyorsanız, yani fonksiyon şöyle göründüğünde , ardından “Küsleri ve kökleri olan kesirlerin toplamlarının türevi” dersini takip edin.

gibi bir göreviniz varsa , daha sonra “Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri” dersini alacaksınız.

Adım adım örnekler - türev nasıl bulunur

Örnek 3. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Fonksiyon ifadesinin bölümlerini tanımlarız: ifadenin tamamı bir çarpımı temsil eder ve faktörleri toplamlardır; ikincisinde terimlerden biri sabit bir faktör içerir. Çarpım farklılaşma kuralını uyguluyoruz: iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin çarpımlarının diğerinin türevine göre toplamına eşittir:

Daha sonra, toplamın türev alma kuralını uyguluyoruz: Cebirsel fonksiyonlar toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir. Bizim durumumuzda, her toplamın ikinci teriminde bir eksi işareti vardır. Her toplamda hem türevi bire eşit olan bağımsız bir değişken hem de türevi sıfıra eşit olan bir sabit (sayı) görüyoruz. Yani “X” bire, eksi 5 ise sıfıra dönüşüyor. İkinci ifadede "x" 2 ile çarpıldığından ikiyi "x"in türeviyle aynı birim ile çarpıyoruz. Türevlerin aşağıdaki değerlerini elde ederiz:

Bulunan türevleri çarpımların toplamına koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği tüm fonksiyonun türevini elde ederiz:

Ve türev probleminin çözümünü adresinde kontrol edebilirsiniz.

Örnek 4. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bölümün türevini bulmamız gerekiyor. Bölümün türevini almak için formülü uyguluyoruz: iki fonksiyonun bölümünün türevi, payı paydanın çarpımları ile payın türevi ile pay ve payın türevi arasındaki fark olan bir kesire eşittir. payda ve payda önceki payın karesidir. Şunu elde ederiz:

Örnek 2'de paydaki faktörlerin türevini zaten bulmuştuk. Mevcut örnekte payda ikinci faktör olan çarpımın eksi işaretiyle alındığını da unutmayalım:

Bir fonksiyonun türevini bulmanız gereken, sürekli bir kök ve kuvvet yığınının bulunduğu sorunlara çözüm arıyorsanız, örneğin, , o zaman sınıfa hoş geldiniz "Kuvvetleri ve kökleri olan kesirlerin toplamlarının türevi" .

Sinüs, kosinüs, teğet ve diğer trigonometrik fonksiyonların türevleri hakkında daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız, yani fonksiyon şuna benzer: o zaman sana bir ders "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" .

Örnek 5. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, türev tablosunda türevine aşina olduğumuz, faktörlerinden biri bağımsız değişkenin karekökü olan bir çarpım görüyoruz. Çarpımı ve karekök türevinin tablo değerini farklılaştırma kuralını kullanarak şunu elde ederiz:

Türev probleminin çözümünü şuradan kontrol edebilirsiniz: çevrimiçi türev hesaplayıcı .

Örnek 6. Bir fonksiyonun türevini bulun

Çözüm. Bu fonksiyonda, payı bağımsız değişkenin karekökü olan bir bölüm görüyoruz. Örnek 4'te tekrarladığımız ve uyguladığımız bölümlerin farklılaşma kuralını ve karekök türevinin tablolaştırılmış değerini kullanarak şunu elde ederiz:

Paydaki kesirden kurtulmak için pay ve paydayı ile çarpın.

Hatırlanması çok kolay.

Neyse fazla uzağa gitmeyelim, hemen ters fonksiyonu ele alalım. Üstel fonksiyonun tersi hangi fonksiyondur? Logaritma:

Bizim durumumuzda taban sayıdır:

Böyle bir logaritma (yani tabanlı bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için özel bir gösterim kullanırız: onun yerine yazarız.

Neye eşittir? Elbette, .

Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:

Örnekler:

1. Fonksiyonun türevini bulun.
2. Fonksiyonun türevi nedir?

Yanıtlar: Üstel ve doğal logaritma, türev perspektifinden bakıldığında benzersiz derecede basit fonksiyonlardır. Başka herhangi bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır ve bunu daha sonra türev alma kurallarını inceledikten sonra analiz edeceğiz.

Farklılaşma kuralları

Neyin kuralları? Yine yeni bir dönem mi, yine mi?...

Farklılaşma türevi bulma işlemidir.

Bu kadar. Bu sürece tek kelimeyle başka ne diyebilirsiniz? Türev değil... Matematikçiler diferansiyele bir fonksiyonun aynı artışı adını verirler. Bu terim Latince diferansiyel - farklılık kelimesinden gelir. Burada.

Tüm bu kuralları türetirken iki işlevi kullanacağız, örneğin ve. Ayrıca artışları için formüllere de ihtiyacımız olacak:

Toplamda 5 kural bulunmaktadır.

Sabit türev işaretinden çıkarılır.

Eğer - bazı sabit sayılar (sabit), o zaman.

Açıkçası, bu kural aynı zamanda şu fark için de işe yarar: .

Hadi kanıtlayalım. Bırakın ya da daha basit.

Örnekler.

Fonksiyonların türevlerini bulun:

1. bir noktada;
2. bir noktada;
3. bir noktada;
4. noktada.

Çözümler:

1. (Doğrusal bir fonksiyon olduğundan türev her noktada aynıdır, hatırladınız mı?);

Ürünün türevi

Burada her şey benzer: yeni bir fonksiyon tanıtalım ve onun artışını bulalım:

Türev:

Örnekler:

1. Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
2. Fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun.

Çözümler:

Üstel bir fonksiyonun türevi

Artık bilginiz, yalnızca üstel sayıları değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterlidir (bunun ne olduğunu henüz unuttunuz mu?).

Peki, bazı sayılar nerede?

Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, o halde fonksiyonumuzu yeni bir tabana indirgemeye çalışalım:

Bunu yapmak için basit bir kural kullanacağız: . Daha sonra:

İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun karmaşık olduğunu unutmayın.

Olmuş?

İşte, kendinizi kontrol edin:

Formülün bir üssün türevine çok benzediği ortaya çıktı: olduğu gibi aynı kalıyor, yalnızca bir sayı olan ancak değişken olmayan bir faktör ortaya çıktı.

Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:

Yanıtlar:

Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayan, yani daha basit bir biçimde yazılamayan bir sayıdır. Bu nedenle cevapta bu formda bırakıyoruz.

Burada iki fonksiyonun bölümü olduğuna dikkat edin, dolayısıyla ilgili türev kuralını uyguluyoruz:

Bu örnekte iki fonksiyonun çarpımı:

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

Burada da durum benzer: Doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:

Bu nedenle, farklı bir tabana sahip keyfi bir logaritma bulmak için, örneğin:

Bu logaritmayı tabana indirmemiz gerekiyor. Logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:

Ancak şimdi onun yerine şunu yazacağız:

Payda basitçe bir sabittir (değişkeni olmayan sabit bir sayı). Türev çok basit bir şekilde elde edilir:

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri Birleşik Devlet Sınavında neredeyse hiç bulunmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

"Karmaşık fonksiyon" nedir? Hayır, bu bir logaritma değil, arktanjant da değil. Bu fonksiyonları anlamak zor olabilir (gerçi logaritmayı zor buluyorsanız, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve sorun yaşamazsınız), ancak matematiksel açıdan "karmaşık" kelimesi "zor" anlamına gelmez.

Küçük bir taşıma bandı hayal edin: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bazı eylemler yapıyor. Örneğin, ilki bir çikolatayı bir ambalaj kağıdına sarar ve ikincisi onu bir kurdele ile bağlar. Sonuç, kompozit bir nesnedir: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata çubuğu. Çikolata yemek için ters adımları tersten uygulamanız gerekir.

Benzer bir matematiksel işlem hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız, sonra da elde edilen sayının karesini alacağız. Yani, bize bir sayı veriliyor (çikolata), ben onun kosinüsünü buluyorum (paketleyici), ve sonra elde ettiğimin karesini alıyorsunuz (bunu bir kurdele ile bağlıyorsunuz). Ne oldu? İşlev. Bu, karmaşık bir fonksiyonun bir örneğidir: değerini bulmak için, ilk eylemi doğrudan değişkenle gerçekleştirdiğimizde ve ardından ilk eylemin sonucuyla ikinci bir eylemi gerçekleştirdiğimizde.

Başka bir deyişle, karmaşık bir fonksiyon, argümanı başka bir fonksiyon olan bir fonksiyondur: .

Örneğimiz için, .

Aynı adımları ters sırada da kolaylıkla yapabiliriz: önce bunun karesini alırsınız, sonra da ortaya çıkan sayının kosinüsünü ararım: . Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Karmaşık işlevlerin önemli bir özelliği: Eylemlerin sırası değiştiğinde işlev de değişir.

İkinci örnek: (aynı şey). .

En son yaptığımız eylem çağrılacak "harici" işlev ve buna göre ilk olarak gerçekleştirilen eylem "dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, bunları yalnızca materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).

Hangi fonksiyonun harici ve hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:

Yanıtlar:İç ve dış fonksiyonları ayırmak değişkenleri değiştirmeye çok benzer: örneğin bir fonksiyonda

1. İlk önce hangi eylemi gerçekleştireceğiz? İlk önce sinüsü hesaplayalım ve ancak ondan sonra küpünü alalım. Bu, bunun dahili bir fonksiyon olduğu, ancak harici bir fonksiyon olduğu anlamına gelir.
   Ve asıl işlev bunların bileşimidir: .
2. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
3. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
4. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
5. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .

Değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ediyoruz.

Şimdi çikolatamızı çıkarıp türevini arayacağız. Prosedür her zaman tersidir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Orijinal örnekle ilgili olarak şöyle görünür:

Başka bir örnek:

O halde nihayet resmi kuralı formüle edelim:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:

Basit görünüyor, değil mi?

Örneklerle kontrol edelim:

Çözümler:

1) Dahili: ;

Harici: ;

2) Dahili: ;

(Şimdilik kesmeye çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkmaz, hatırladınız mı?)

3) Dahili: ;

Harici: ;

Bunun üç seviyeli karmaşık bir işlev olduğu hemen anlaşılıyor: sonuçta, bu zaten kendi içinde karmaşık bir işlev ve biz de ondan kökü çıkarıyoruz, yani üçüncü eylemi gerçekleştiriyoruz (çikolatayı bir ambalaja koyun) ve evrak çantasında bir kurdeleyle). Ancak korkmanıza gerek yok: Bu işlevi yine de her zamanki gibi aynı sırayla "paketinden çıkaracağız": sondan itibaren.

Yani, önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi farklılaştırıyoruz. Daha sonra hepsini çarpıyoruz.

Bu gibi durumlarda eylemlerin numaralandırılması uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla gerçekleştireceğiz? Bir örneğe bakalım:

Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, karşılık gelen işlev o kadar "harici" olacaktır. Eylem sırası öncekiyle aynıdır:

Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Hareket tarzını belirleyelim.

1. Radikal ifade. .

2. Kök. .

3. Sinüs. .

4. Kare. .

5. Hepsini bir araya getirmek:

TÜREV. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Bir fonksiyonun türevi- argümanın sonsuz küçük bir artışı için fonksiyonun artışının argümanın artışına oranı:

Temel türevler:

Farklılaşma kuralları:

Sabit türev işaretinden çıkarılır:

Toplamın türevi:

Ürünün türevi:

Bölümün türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:

1. “İç” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
2. “Harici” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
3. Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.

Sınava daha çok zaman olduğunu mu düşünüyorsunuz? Bu bir ay mı? İki? Yıl? Uygulama, bir öğrencinin sınava önceden hazırlanmaya başlaması durumunda sınavla en iyi şekilde başa çıkabileceğini göstermektedir. Birleşik Devlet Sınavında okul çocuklarının ve gelecekteki başvuru sahiplerinin en yüksek puanlara ulaşmalarının önünde duran birçok zor görev vardır. Bu engelleri aşmayı öğrenmeniz gerekiyor, üstelik bunu yapmak hiç de zor değil. Biletlerden çeşitli görevlerle çalışmanın ilkesini anlamalısınız. O zaman yenileriyle hiçbir sorun olmayacak.

Logaritmalar ilk bakışta inanılmaz derecede karmaşık görünebilir ancak ayrıntılı bir analizle durum çok daha basit hale gelir. Birleşik Devlet Sınavını en yüksek puanla geçmek istiyorsanız, söz konusu kavramı anlamalısınız ki bu makalede yapmayı önerdiğimiz şey de budur.

Öncelikle bu tanımları ayıralım. Logaritma (log) nedir? Bu, belirtilen sayıyı elde etmek için tabanın yükseltilmesi gereken gücün bir göstergesidir. Açık değilse basit bir örneğe bakalım.

Bu durumda 4 sayısını elde etmek için alttaki tabanın ikinci kuvvetine yükseltilmesi gerekir.

Şimdi ikinci kavrama bakalım. Bir fonksiyonun herhangi bir biçimde türevi, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki değişimini karakterize eden bir kavramdır. Ancak bu bir okul müfredatıdır ve bireysel olarak bu kavramlarla ilgili sorun yaşıyorsanız konuyu tekrarlamakta fayda var.

Logaritmanın türevi

Bu konuyla ilgili Birleşik Devlet Sınavı ödevlerinde örnek olarak birkaç görev verebilirsiniz. Başlangıç ​​olarak en basit logaritmik türevle başlayalım. Aşağıdaki fonksiyonun türevini bulmak gerekir.

Bir sonraki türevi bulmamız gerekiyor

Özel bir formül var.

Bu durumda x=u, log3x=v. Fonksiyonumuzdaki değerleri formülde yerine koyarız.

X'in türevi bire eşit olacaktır. Logaritma biraz daha zordur. Ancak değerleri basitçe yerine koyarsanız prensibi anlayacaksınız. lg x'in türevinin ondalık logaritmanın türevi olduğunu ve ln x'in türevinin doğal logaritmanın (e'ye göre) türevi olduğunu hatırlayın.

Şimdi ortaya çıkan değerleri formüle yerleştirmeniz yeterli. Kendiniz deneyin, ardından cevabı kontrol edeceğiz.

Bazıları için burada sorun ne olabilir? Doğal logaritma kavramını tanıttık. Bunun hakkında konuşalım ve aynı zamanda onunla ilgili sorunların nasıl çözüleceğini de çözelim. Özellikle çalışma prensibini anladığınızda karmaşık bir şey görmezsiniz. Matematikte sıklıkla kullanıldığı için (daha çok yüksek öğretim kurumlarında) buna alışmalısınız.

Doğal logaritmanın türevi

Özünde, e tabanına göre logaritmanın türevidir (bu, yaklaşık 2,7 olan irrasyonel bir sayıdır). Aslında ln çok basittir ve bu nedenle genel olarak matematikte sıklıkla kullanılır. Aslında sorunu onunla çözmek de sorun olmayacak. Doğal logaritmanın e tabanına göre türevinin birin x'e bölünmesine eşit olacağını hatırlamakta fayda var. Aşağıdaki örneğin çözümü en açıklayıcı olacaktır.

Bunu iki basit fonksiyondan oluşan karmaşık bir fonksiyon olarak düşünelim.

Dönüştürmeniz yeterli

u'nun x'e göre türevini arıyoruz

İkinciyle devam edelim

Karmaşık bir fonksiyonun türevini u=nx yerine koyarak çözme yöntemini kullanıyoruz.

Sonunda ne oldu?

Şimdi bu örnekte n'nin ne anlama geldiğini hatırlayalım. Bu, doğal logaritmada x'in önünde bulunabilecek herhangi bir sayıdır. Cevabın ona bağlı olmadığını anlamanız önemlidir. İstediğinizi değiştirin, cevap yine 1/x olacaktır.

Gördüğünüz gibi burada karmaşık bir şey yok; sadece bu konudaki sorunları hızlı ve etkili bir şekilde çözme ilkesini anlamanız gerekiyor. Artık teoriyi biliyorsunuz, tek yapmanız gereken onu uygulamaya koymak. Çözüm ilkelerini uzun süre hatırlamak için problem çözme alıştırmaları yapın. Okuldan mezun olduktan sonra bu bilgiye ihtiyacınız olmayabilir, ancak sınavda her zamankinden daha alakalı olacaktır. Sana iyi şanslar!