Komplexní deriváty. Logaritmická derivace.
Derivace mocninné exponenciální funkce

Pokračujeme ve zdokonalování naší techniky diferenciace. V této lekci si upevníme probranou látku, podíváme se na složitější derivace a také se seznámíme s novými technikami a triky pro nalezení derivace, zejména s logaritmickou derivací.

Čtenáři, kteří mají nízkou úroveň přípravy, by si měli přečíst článek Jak najít derivát? Příklady řešení, což vám umožní zvýšit vaše dovednosti téměř od nuly. Dále musíte stránku pečlivě prostudovat Derivace komplexní funkce, pochopit a vyřešit Všechno příklady, které jsem uvedl. Tato lekce je logicky třetí a po jejím zvládnutí budete sebevědomě rozlišovat poměrně složité funkce. Je nežádoucí zaujímat pozici „Kde jinde? To stačí!“, protože všechny příklady a řešení jsou převzaty ze skutečných testů a v praxi se s nimi často setkáváme.

Začněme opakováním. Na lekci Derivace komplexní funkce Podívali jsme se na řadu příkladů s podrobnými komentáři. V průběhu studia diferenciálního počtu a dalších odvětví matematické analýzy budete muset velmi často rozlišovat a ne vždy je vhodné (a ne vždy nutné) popisovat příklady velmi podrobně. Hledání derivátů si proto procvičíme ústně. Nejvhodnějšími „kandidáty“ jsou deriváty nejjednodušších komplexních funkcí, například:

Podle pravidla diferenciace komplexních funkcí :

Při budoucím studiu dalších matanských témat se většinou takto detailní záznam nevyžaduje, předpokládá se, že student ví, jak takové odvozeniny na autopilotu najít. Představme si, že ve 3 hodiny ráno zazvonil telefon a příjemný hlas se zeptal: "Jaká je derivace tečny dvou X?" Poté by měla následovat téměř okamžitá a zdvořilá odpověď: .

První příklad bude ihned určen k samostatnému řešení.

Příklad 1

Najděte následující deriváty ústně, v jedné akci, například: . K dokončení úkolu stačí použít tabulka derivací elementárních funkcí(pokud si to ještě nepamatuješ). Pokud máte nějaké potíže, doporučuji si lekci znovu přečíst Derivace komplexní funkce.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odpovědi na konci lekce

Komplexní deriváty

Po předběžné dělostřelecké přípravě budou příklady s 3-4-5 vnořeními funkcí méně děsivé. Následující dva příklady mohou někomu připadat složité, ale pokud je pochopíte (někdo bude trpět), pak vám téměř vše ostatní v diferenciálním počtu bude připadat jako dětský vtip.

Příklad 2

Najděte derivaci funkce

Jak již bylo uvedeno, při hledání derivace komplexní funkce je to nejprve nutné Že jo POROZUMĚJTE svým investicím. V případech, kdy existují pochybnosti, připomínám užitečnou techniku: vezmeme například experimentální hodnotu „x“ a pokusíme se (mentálně nebo v konceptu) tuto hodnotu dosadit do „strašného výrazu“.

1) Nejprve musíme vypočítat výraz, což znamená, že součet je nejhlubší vložení.

2) Poté musíte vypočítat logaritmus:

4) Pak krychli kosinus:

5) V pátém kroku je rozdíl:

6) A konečně nejvzdálenější funkcí je druhá odmocnina:

Vzorec pro derivování komplexní funkce jsou aplikovány v opačném pořadí, od nejvzdálenější funkce k nejvnitřnější. rozhodujeme se:

Zdá se, že nejsou žádné chyby...

(1) Vezměte derivaci druhé odmocniny.

(2) Vezmeme derivaci rozdílu pomocí pravidla

(3) Derivace trojice je nula. Ve druhém členu vezmeme derivaci stupně (krychle).

(4) Vezměte derivaci kosinusu.

(5) Vezměte derivaci logaritmu.

(6) A nakonec vezmeme derivát nejhlubšího vnoření.

Může se to zdát příliš obtížné, ale toto není ten nejbrutálnější příklad. Vezměte si například Kuzněcovovu sbírku a oceníte veškerou krásu a jednoduchost analyzovaného derivátu. Všiml jsem si, že podobnou věc rádi dávají u zkoušky, aby si ověřili, zda student rozumí, jak najít derivaci komplexní funkce, nebo nerozumí.

Následující příklad je pro vás, abyste si je vyřešili sami.

Příklad 3

Najděte derivaci funkce

Tip: Nejprve použijeme pravidla linearity a pravidlo diferenciace produktu

Úplné řešení a odpověď na konci lekce.

Je čas přejít k něčemu menšímu a hezčímu.
Není neobvyklé, že příklad ukazuje součin ne dvou, ale tří funkcí. Jak najít derivaci součinu tří faktorů?

Příklad 4

Najděte derivaci funkce

Nejprve se podíváme, je možné proměnit součin tří funkcí na součin dvou funkcí? Pokud bychom například měli v součinu dva polynomy, mohli bychom otevřít závorky. Ale v uvažovaném příkladu jsou všechny funkce odlišné: stupeň, exponent a logaritmus.

V takových případech je to nutné postupně použít pravidlo diferenciace produktů dvakrát

Trik je v tom, že „y“ označujeme součin dvou funkcí: a „ve“ označujeme logaritmus: . Proč to lze udělat? je to možné – to není součin dvou faktorů a pravidlo nefunguje?! Není nic složitého:

Nyní zbývá použít pravidlo podruhé do závorky:

Můžete se také zkroutit a dát něco ze závorek, ale v tomto případě je lepší nechat odpověď přesně v této podobě - ​​bude snazší zkontrolovat.

Uvažovaný příklad lze vyřešit druhým způsobem:

Obě řešení jsou naprosto ekvivalentní.

Příklad 5

Najděte derivaci funkce

Toto je příklad pro nezávislé řešení ve vzorku je řešeno pomocí první metody.

Podívejme se na podobné příklady se zlomky.

Příklad 6

Najděte derivaci funkce

Můžete se sem vydat několika způsoby:

Nebo takhle:

Ale řešení bude napsáno kompaktněji, pokud nejprve použijeme pravidlo derivace kvocientu , přičemž za celý čitatel:

V zásadě je příklad vyřešen, a pokud je ponechán tak, jak je, nebude to chyba. Ale pokud máte čas, je vždy vhodné zkontrolovat návrh, zda lze odpověď zjednodušit? Zredukujme vyjádření čitatele na společného jmenovatele a zbavme se třípatrového zlomku:

Nevýhodou dodatečných zjednodušení je, že existuje riziko chyby nikoli při hledání derivace, ale při banálních školních transformacích. Na druhou stranu učitelé často zadání odmítají a požadují, aby derivát „vybavili“.

Jednodušší příklad, který můžete vyřešit sami:

Příklad 7

Najděte derivaci funkce

Pokračujeme v zvládnutí metod hledání derivace a nyní zvážíme typický případ, kdy je pro derivování navržen „strašný“ logaritmus.

Příklad 8

Najděte derivaci funkce

Zde můžete jít dlouhou cestou pomocí pravidla pro diferenciaci komplexní funkce:

Ale hned první krok vás okamžitě uvrhne do sklíčenosti - musíte vzít tu nepříjemnou derivaci ze zlomkové mocniny a pak také ze zlomku.

Proto před jak vzít derivaci „sofistikovaného“ logaritmu, je nejprve zjednodušeno pomocí dobře známých školních vlastností:

! Pokud máte po ruce cvičný sešit, zkopírujte si tyto vzorce přímo tam. Pokud notebook nemáte, zkopírujte si je na kus papíru, protože zbývající příklady lekce se budou točit kolem těchto vzorců.

Samotné řešení lze napsat asi takto:

Převedeme funkci:

Hledání derivátu:

Předkonverze samotné funkce značně zjednodušila řešení. Když je tedy pro derivování navržen podobný logaritmus, je vždy vhodné jej „rozložit“.

A nyní pár jednoduchých příkladů, které můžete vyřešit sami:

Příklad 9

Najděte derivaci funkce

Příklad 10

Najděte derivaci funkce

Všechny transformace a odpovědi jsou na konci lekce.

Logaritmická derivace

Pokud je derivace logaritmů taková sladká hudba, pak se nabízí otázka: je možné v některých případech logaritmus uměle uspořádat? Umět! A dokonce nutné.

Příklad 11

Najděte derivaci funkce

Nedávno jsme se podívali na podobné příklady. Co dělat? Postupně můžete použít pravidlo diferenciace kvocientu a poté pravidlo diferenciace součinu. Nevýhodou této metody je, že dostanete obrovský třípatrový zlomek, kterým se vůbec nechcete zabývat.

Ale v teorii a praxi existuje tak úžasná věc, jako je logaritmická derivace. Logaritmy lze uměle organizovat jejich „zavěšením“ na obě strany:

Poznámka : protože funkce může nabývat záporných hodnot, pak, obecně řečeno, musíte použít moduly: , které v důsledku diferenciace zaniknou. Přijatelný je ale i aktuální design, kde se s ním standardně počítá komplex významy. Ale pokud je to se vší přísností, pak by v obou případech měla být učiněna výhrada.

Nyní je potřeba co nejvíce „rozložit“ logaritmus pravé strany (vzorce před očima?). Popíšu tento proces velmi podrobně:

Začněme rozlišováním.
Oba díly uzavíráme pod prvočíslem:

Derivace pravé strany je celkem jednoduchá, nebudu ji komentovat, protože pokud čtete tento text, měli byste s ní sebevědomě zacházet.

A co levá strana?

Na levé straně máme komplexní funkce. Předvídám otázku: „Proč, je pod logaritmem jedno písmeno „Y“?

Faktem je, že tato „hra s jedním písmenem“ - JE SAMA FUNKCÍ(pokud to není příliš jasné, podívejte se na článek Derivace implicitně zadané funkce). Proto je logaritmus externí funkcí a „y“ je vnitřní funkcí. A použijeme pravidlo pro derivování komplexní funkce :

Na levé straně jako mávnutím kouzelného proutku máme derivaci. Dále podle pravidla proporce přeneseme „y“ ze jmenovatele levé strany do horní části pravé strany:

A nyní si připomeňme, o jaké funkci „hráče“ jsme mluvili při rozlišování? Podívejme se na stav:

Konečná odpověď:

Příklad 12

Najděte derivaci funkce

Toto je příklad, který můžete vyřešit sami. Vzorový návrh příkladu tohoto typu je na konci lekce.

Pomocí logaritmické derivace bylo možné vyřešit kterýkoli z příkladů č. 4-7, další věc je, že funkce jsou tam jednodušší a možná použití logaritmické derivace není příliš opodstatněné.

Derivace mocninné exponenciální funkce

O této funkci jsme zatím neuvažovali. Mocninná exponenciální funkce je funkce, pro kterou stupeň i základ závisí na „x“. Klasický příklad, který vám bude uveden v jakékoli učebnici nebo přednášce:

Jak najít derivaci mocninné exponenciální funkce?

Je nutné použít právě diskutovanou techniku ​​- logaritmickou derivaci. Logaritmy zavěsíme na obě strany:

Zpravidla se na pravé straně vyjímá stupeň pod logaritmem:

Výsledkem je, že na pravé straně máme součin dvou funkcí, které budou diferencovány podle standardního vzorce .

Najdeme derivaci, abychom to udělali, uzavřeme obě části pod tahy:

Další akce jsou jednoduché:

Konečně:

Pokud některý převod není zcela jasný, přečtěte si prosím znovu pečlivě vysvětlení příkladu č. 11.

V praktických úlohách bude mocninně-exponenciální funkce vždy složitější než probíraný příklad z přednášky.

Příklad 13

Najděte derivaci funkce

Používáme logaritmickou derivaci.

Na pravé straně máme konstantu a součin dvou faktorů - „x“ a „logaritmus logaritmu x“ (pod logaritmus je vnořen další logaritmus). Při derivování, jak si pamatujeme, je lepší konstantu okamžitě přesunout z derivačního znaménka, aby nepřekážela; a samozřejmě uplatňujeme známé pravidlo :

Důkaz a odvození vzorců pro derivaci přirozeného logaritmu a logaritmu se základem a. Příklady výpočtu derivací ln 2x, ln 3x a ln nx. Důkaz vzorce pro derivaci logaritmu n-tého řádu metodou matematické indukce.

Obsah

Viz také: Logaritmus - vlastnosti, vzorce, graf
Přirozený logaritmus - vlastnosti, vzorce, graf

Odvození vzorců pro derivace přirozeného logaritmu a logaritmu se základem a

Derivace přirozeného logaritmu x se rovná jedné děleno x:
(1) (ln x)′ =.

Derivace logaritmu k základu a je rovna jedné dělené proměnnou x násobenou přirozeným logaritmem a:
(2) (log a x)′ =.

Důkaz

Nechť existuje nějaké kladné číslo, které se nerovná jedné. Uvažujme funkci závislou na proměnné x, což je logaritmus k základu:
.
Tato funkce je definována na . Pojďme najít její derivaci vzhledem k proměnné x. Podle definice je derivát následující limit:
(3) .

Pojďme tento výraz transformovat, abychom jej zredukovali na známé matematické vlastnosti a pravidla. K tomu potřebujeme znát následující skutečnosti:
A) Vlastnosti logaritmu. Budeme potřebovat následující vzorce:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
b) Spojitost logaritmu a vlastnost limit pro spojitou funkci:
(7) .
Zde je funkce, která má limitu a tato limita je kladná.
V) Význam druhé pozoruhodné hranice:
(8) .

Aplikujme tato fakta na naše limity. Nejprve transformujeme algebraický výraz
.
K tomu použijeme vlastnosti (4) a (5).

.

Použijme vlastnost (7) a druhou pozoruhodnou limitu (8):
.

A nakonec použijeme vlastnost (6):
.
Logaritmus k základně E volal přirozený logaritmus. Označuje se takto:
.
Pak ;
.

Tak jsme dostali vzorec (2) pro derivaci logaritmu.

Derivace přirozeného logaritmu

Ještě jednou napíšeme vzorec pro derivaci logaritmu na základ a:
.
Tento vzorec má nejjednodušší tvar pro přirozený logaritmus, pro který , . Pak
(1) .

Kvůli této jednoduchosti je přirozený logaritmus velmi široce používán v matematické analýze a v dalších odvětvích matematiky souvisejících s diferenciálním počtem. Logaritmické funkce s jinými bázemi lze vyjádřit pomocí přirozeného logaritmu pomocí vlastnosti (6):
.

Derivaci logaritmu vzhledem k základu lze najít ze vzorce (1), pokud z derivačního znaménka odeberete konstantu:
.

Jiné způsoby, jak dokázat derivaci logaritmu

Zde předpokládáme, že známe vzorec pro derivaci exponenciály:
(9) .
Potom můžeme odvodit vzorec pro derivaci přirozeného logaritmu za předpokladu, že logaritmus je inverzní funkcí exponenciály.

Dokažme vzorec pro derivaci přirozeného logaritmu, použití vzorce pro derivaci inverzní funkce:
.
V našem případě . Inverzní funkce k přirozenému logaritmu je exponenciála:
.
Jeho derivace je určena vzorcem (9). Proměnné lze označit libovolným písmenem. Ve vzorci (9) nahraďte proměnnou x za y:
.
Od té doby
.
Pak
.
Vzorec je osvědčený.

Nyní dokážeme vzorec pro derivaci přirozeného logaritmu pomocí pravidla pro diferenciaci komplexních funkcí. Protože funkce a jsou vzájemně inverzní
.
Derivujme tuto rovnici vzhledem k proměnné x:
(10) .
Derivace x se rovná jedné:
.
Aplikujeme pravidlo diferenciace komplexních funkcí:
.
Tady . Dosadíme v (10):
.
Odtud
.

Příklad

Najděte deriváty 2x, ln 3x A lnnx.

Původní funkce mají podobnou podobu. Proto najdeme derivaci funkce y = log nx. Pak dosadíme n = 2 a n = 3. A tak získáme vzorce pro deriváty ln 2x A ln 3x .

Hledáme tedy derivaci funkce
y = log nx .
Představme si tuto funkci jako komplexní funkci skládající se ze dvou funkcí:
1) Funkce závislé na proměnné: ;
2) Funkce závislé na proměnné: .
Pak se původní funkce skládá z funkcí a :
.

Pojďme najít derivaci funkce vzhledem k proměnné x:
.
Pojďme najít derivaci funkce vzhledem k proměnné:
.
Aplikujeme vzorec pro derivaci komplexní funkce.
.
Tady jsme to nastavili.

Tak jsme našli:
(11) .
Vidíme, že derivace nezávisí na n. Tento výsledek je zcela přirozený, pokud transformujeme původní funkci pomocí vzorce pro logaritmus součinu:
.
- to je konstanta. Jeho derivace je nulová. Pak podle pravidla derivace součtu máme:
.

; ; .

Derivace logaritmu modulu x

Pojďme najít derivaci další velmi důležité funkce - přirozeného logaritmu modulu x:
(12) .

Podívejme se na případ. Potom funkce vypadá takto:
.
Jeho derivace je určena vzorcem (1):
.

Nyní se podívejme na případ. Potom funkce vypadá takto:
,
kde .
Ve výše uvedeném příkladu jsme ale také našli derivaci této funkce. Nezávisí na n a je rovno
.
Pak
.

Tyto dva případy spojíme do jednoho vzorce:
.

V souladu s tím pro logaritmus se základem a máme:
.

Derivace vyšších řádů přirozeného logaritmu

Zvažte funkci
.
Našli jsme jeho derivát prvního řádu:
(13) .

Pojďme najít derivaci druhého řádu:
.
Pojďme najít derivaci třetího řádu:
.
Pojďme najít derivaci čtvrtého řádu:
.

Můžete si všimnout, že derivace n-tého řádu má tvar:
(14) .
Dokažme to matematickou indukcí.

Důkaz

Dosadíme hodnotu n = 1 do vzorce (14):
.
Od , pak když n = 1 , platí vzorec (14).

Předpokládejme, že pro n = k je splněn vzorec (14). Dokažme, že to znamená, že vzorec platí pro n = k + 1 .

Ve skutečnosti pro n = k máme:
.
Diferencujte s ohledem na proměnnou x:

.
Takže jsme dostali:
.
Tento vzorec se shoduje se vzorcem (14) pro n = k + 1 . Z předpokladu, že vzorec (14) platí pro n = k, tedy vyplývá, že vzorec (14) platí pro n = k + 1 .

Proto vzorec (14) pro derivaci n-tého řádu platí pro libovolné n.

Deriváty vyšších řádů logaritmu k základu a

Chcete-li najít derivaci logaritmu n-tého řádu se základem a, musíte ji vyjádřit pomocí přirozeného logaritmu:
.
Použitím vzorce (14) najdeme n-tou derivaci:
.

Viz také:

Operace hledání derivace se nazývá diferenciace.

V důsledku řešení problémů hledání derivací nejjednodušších (a nepříliš jednoduchých) funkcí definováním derivace jako limity poměru přírůstku k přírůstku argumentu se objevila tabulka derivací a přesně definovaná pravidla derivace. . První, kdo pracoval v oblasti hledání derivátů, byli Isaac Newton (1643-1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Proto v naší době, abychom našli derivaci libovolné funkce, nepotřebujeme vypočítat výše zmíněnou mez poměru přírůstku funkce k přírůstku argumentu, ale stačí použít tabulku derivace a pravidla diferenciace. Pro nalezení derivace je vhodný následující algoritmus.

Chcete-li najít derivát, potřebujete výraz pod prvočíslem rozdělit jednoduché funkce na komponenty a určit, jaké akce (součin, součet, podíl) tyto funkce spolu souvisí. Dále najdeme derivace elementárních funkcí v tabulce derivací a vzorce pro derivace součinu, součtu a kvocientu - v pravidlech derivování. Tabulka derivací a pravidla diferenciace jsou uvedeny po prvních dvou příkladech.

Příklad 1. Najděte derivaci funkce

Řešení. Z pravidel derivace zjistíme, že derivace součtu funkcí je součtem derivací funkcí, tzn.

Z tabulky derivací zjistíme, že derivace "x" je rovna jedné a derivace sinu je rovna kosinu. Tyto hodnoty dosadíme do součtu derivací a najdeme derivaci požadovanou podmínkou problému:

Příklad 2 Najděte derivaci funkce

Řešení. Derivujeme jako derivaci součtu, ve kterém má druhý člen konstantní faktor, lze jej vyjmout ze znaménka derivace:

Pokud stále vyvstávají otázky, odkud něco pochází, jsou obvykle vyjasněny po seznámení se s tabulkou derivací a nejjednoduššími pravidly diferenciace. Právě k nim přecházíme.

Tabulka derivací jednoduchých funkcí

1. Derivace konstanty (čísla). Jakékoli číslo (1, 2, 5, 200...), které je ve výrazu funkce. Vždy se rovná nule. To je velmi důležité mít na paměti, protože je to velmi často vyžadováno
2. Derivace nezávisle proměnné. Nejčastěji "X". Vždy se rovná jedné. To je také důležité si dlouho pamatovat
3. Derivace stupně. Při řešení problémů je potřeba převést neodmocniny na mocniny.
4. Derivace proměnné k mocnině -1
5. Derivace odmocniny
6. Derivace sinusu
7. Derivace kosinusu
8. Derivace tečny
9. Derivace kotangens
10. Derivace arcsinusu
11. Derivace arkuskosinus
12. Derivace arkustangens
13. Derivace obloukového kotangens
14. Derivace přirozeného logaritmu
15. Derivace logaritmické funkce
16. Derivace exponentu
17. Derivace exponenciální funkce

Pravidla diferenciace

1. Derivace součtu nebo rozdílu
2. Derivát produktu
2a. Derivace výrazu násobená konstantním faktorem
3. Derivace kvocientu
4. Derivace komplexní funkce

Pravidlo 1.Pokud funkce

jsou v určitém bodě diferencovatelné, pak jsou funkce diferencovatelné ve stejném bodě

a

těch. derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí.

Následek. Pokud se dvě diferencovatelné funkce liší konstantním členem, pak jsou jejich derivace stejné, tj.

Pravidlo 2.Pokud funkce

jsou v určitém bodě diferencovatelné, pak je jejich produkt diferencovatelný ve stejném bodě

a

těch. Derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí a derivace druhé.

Důsledek 1. Konstantní faktor lze vyjmout ze znaménka derivace:

Důsledek 2. Derivace součinu několika diferencovatelných funkcí se rovná součtu součinů derivace každého faktoru a všech ostatních.

Například pro tři násobiče:

Pravidlo 3.Pokud funkce

v určitém okamžiku rozlišitelné A , pak v tomto bodě je jejich kvocient také diferencovatelnýu/v a

těch. derivace podílu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatel je rozdílem součinů jmenovatele a derivace v čitateli a čitatele a derivace jmenovatele, a jmenovatel je druhá mocnina bývalý čitatel.

Kde hledat věci na jiných stránkách

Při hledání derivace součinu a kvocientu v reálných problémech je vždy nutné aplikovat více diferenciačních pravidel najednou, proto je v článku více příkladů na tyto derivace"Derivace produktu a kvocient funkcí".

Komentář. Neměli byste zaměňovat konstantu (tedy číslo) jako člen v součtu a jako konstantní faktor! V případě členu je jeho derivace rovna nule a v případě konstantního faktoru je vyjmuta ze znaménka derivací. Toto je typická chyba, která se vyskytuje v počáteční fázi studia odvozenin, ale protože průměrný student řeší několik jedno- a dvoudílných příkladů, již tuto chybu nedělá.

A pokud při rozlišování produktu nebo kvocientu máte termín u"proti, ve kterém u- číslo, například 2 nebo 5, tedy konstanta, pak bude derivace tohoto čísla rovna nule, a tedy celý člen bude roven nule (tento případ je probrán v příkladu 10).

Další častou chybou je mechanické řešení derivace komplexní funkce jako derivace jednoduché funkce. Proto derivace komplexní funkce je věnován samostatný článek. Nejprve se ale naučíme najít derivace jednoduchých funkcí.

Po cestě se neobejdete bez transformace výrazů. Chcete-li to provést, možná budete muset otevřít příručku v nových oknech. Akce se silami a kořeny A Operace se zlomky .

Pokud hledáte řešení pro derivace zlomků s mocninou a odmocninou, tedy když funkce vypadá a poté postupujte podle lekce „Derivace součtů zlomků s mocninami a odmocninami“.

Pokud máte úkol jako , poté absolvujete lekci „Derivace jednoduchých goniometrických funkcí“.

Příklady krok za krokem - jak najít derivaci

Příklad 3 Najděte derivaci funkce

Řešení. Definujeme části funkčního výrazu: celý výraz představuje součin a jeho činitele jsou součty, ve druhém z nich jeden z členů obsahuje konstantní činitel. Aplikujeme pravidlo diferenciace součinu: derivace součinu dvou funkcí se rovná součtu součinů každé z těchto funkcí derivací druhé:

Dále použijeme pravidlo derivace součtu: derivace algebraického součtu funkcí se rovná algebraickému součtu derivací těchto funkcí. V našem případě má v každém součtu druhý člen znaménko mínus. V každém součtu vidíme jak nezávislou proměnnou, jejíž derivace je rovna jedné, tak konstantu (číslo), jejíž derivace je rovna nule. Takže „X“ se změní na jedničku a mínus 5 na nulu. Ve druhém výrazu je "x" násobeno 2, takže násobíme dva stejnou jednotkou jako derivace "x". Získáme následující derivační hodnoty:

Nalezené derivace dosadíme do součtu součinů a získáme derivaci celé funkce, kterou vyžaduje podmínka problému:

A můžete zkontrolovat řešení problému s derivací na.

Příklad 4. Najděte derivaci funkce

Řešení. Musíme najít derivaci kvocientu. Aplikujeme vzorec pro derivování kvocientu: derivace kvocientu dvou funkcí se rovná zlomku, jehož čitatel je rozdílem součinů jmenovatele a derivace čitatele a čitatele a derivace jmenovatel a jmenovatel je druhá mocnina dřívějšího čitatele. Dostaneme:

Derivaci faktorů v čitateli jsme již našli v příkladu 2. Nezapomeňme také, že součin, který je v aktuálním příkladu druhým faktorem v čitateli, je brán se znaménkem mínus:

Pokud hledáte řešení problémů, ve kterých potřebujete najít derivaci funkce, kde je souvislá hromada odmocnin a mocnin, jako je např. , pak vítejte ve třídě "Derivace součtů zlomků s mocninou a odmocninou" .

Pokud se potřebujete dozvědět více o derivacích sinů, kosinů, tečen a dalších goniometrických funkcí, tedy když funkce vypadá , pak lekce pro vás "Derivace jednoduchých goniometrických funkcí" .

Příklad 5. Najděte derivaci funkce

Řešení. V této funkci vidíme součin, jehož jedním z faktorů je odmocnina nezávisle proměnné, s jejíž derivací jsme se seznámili v tabulce derivací. Pomocí pravidla pro derivování součinu a tabulkové hodnoty derivace odmocniny získáme:

Řešení problému s derivací můžete zkontrolovat na online kalkulačka derivátů .

Příklad 6. Najděte derivaci funkce

Řešení. V této funkci vidíme kvocient, jehož dividenda je druhou odmocninou nezávislé proměnné. Pomocí pravidla derivace kvocientů, které jsme zopakovali a použili v příkladu 4, a tabulkové hodnoty derivace odmocniny, získáme:

Chcete-li se zbavit zlomku v čitateli, vynásobte čitatel a jmenovatel číslem .

Velmi snadno zapamatovatelné.

No, nechoďme daleko, pojďme okamžitě uvažovat o inverzní funkci. Která funkce je inverzní k exponenciální funkci? Logaritmus:

V našem případě je základem číslo:

Takový logaritmus (tedy logaritmus se základem) se nazývá „přirozený“ a používáme pro něj speciální zápis: místo toho píšeme.

čemu se to rovná? Samozřejmě, .

Derivace přirozeného logaritmu je také velmi jednoduchá:

Příklady:

1. Najděte derivaci funkce.
2. Jaká je derivace funkce?

Odpovědi: Exponenciální a přirozený logaritmus jsou z derivační perspektivy jedinečně jednoduché funkce. Exponenciální a logaritmické funkce s jakoukoli jinou bází budou mít jinou derivaci, kterou budeme analyzovat později, až si projdeme pravidla derivování.

Pravidla diferenciace

Pravidla čeho? Zase nový termín, zase?!...

Diferenciace je proces hledání derivátu.

To je vše. Jak jinak lze tento proces nazvat jedním slovem? Ne derivace... Matematici nazývají diferenciál stejným přírůstkem funkce at. Tento výraz pochází z latinského differentia – rozdíl. Tady.

Při odvozování všech těchto pravidel použijeme dvě funkce, například a. Budeme také potřebovat vzorce pro jejich přírůstky:

Existuje celkem 5 pravidel.

Konstanta je vyjmuta z derivačního znaménka.

Pokud - nějaké konstantní číslo (konstanta), pak.

Toto pravidlo samozřejmě funguje i pro rozdíl: .

Pojďme to dokázat. Nech to být, nebo jednodušší.

Příklady.

Najděte derivace funkcí:

1. v bodě;
2. v bodě;
3. v bodě;
4. na místě.

Řešení:

1. (derivace je ve všech bodech stejná, protože jde o lineární funkci, pamatujete?);

Derivát produktu

Zde je vše podobné: zavedeme novou funkci a najdeme její přírůstek:

Derivát:

Příklady:

1. Najděte derivace funkcí a;
2. Najděte derivaci funkce v bodě.

Řešení:

Derivace exponenciální funkce

Nyní vaše znalosti stačí na to, abyste se naučili najít derivaci jakékoli exponenciální funkce, a nejen exponentů (zapomněli jste, co to je?).

Tak kde je nějaké číslo.

Derivaci funkce již známe, zkusme tedy naši funkci zredukovat na nový základ:

K tomu použijeme jednoduché pravidlo: . Pak:

No, povedlo se. Nyní zkuste najít derivaci a nezapomeňte, že tato funkce je složitá.

Stalo?

Zde se přesvědčte:

Ukázalo se, že vzorec je velmi podobný derivaci exponentu: jak byl, zůstává stejný, objevil se pouze faktor, což je jen číslo, ale ne proměnná.

Příklady:
Najděte derivace funkcí:

Odpovědi:

To je jen číslo, které se bez kalkulačky nedá spočítat, to znamená, že se nedá zapsat v jednodušší podobě. Proto jej v odpovědi ponecháme v této podobě.

Všimněte si, že zde je podíl dvou funkcí, takže použijeme odpovídající pravidlo diferenciace:

V tomto příkladu součin dvou funkcí:

Derivace logaritmické funkce

Tady je to podobné: derivaci přirozeného logaritmu už znáte:

Chcete-li tedy najít libovolný logaritmus s jiným základem, například:

Musíme tento logaritmus zmenšit na základnu. Jak změníte základ logaritmu? Doufám, že si pamatujete tento vzorec:

Teprve teď místo toho napíšeme:

Jmenovatel je prostě konstanta (konstantní číslo, bez proměnné). Derivát se získá velmi jednoduše:

Derivace exponenciálních a logaritmických funkcí se v jednotné státní zkoušce téměř nikdy nenacházejí, ale nebude zbytečné je znát.

Derivace komplexní funkce.

Co je to "komplexní funkce"? Ne, toto není logaritmus ani arkustangens. Těmto funkcím může být obtížné porozumět (ačkoli pokud vám logaritmus připadá obtížný, přečtěte si téma „Logaritmy“ a budete v pořádku), ale z matematického hlediska slovo „složitý“ neznamená „obtížný“.

Představte si malý dopravníkový pás: dva lidé sedí a provádějí nějaké akce s nějakými předměty. První například zabalí čokoládovou tyčinku do obalu a druhý ji převáže stuhou. Výsledkem je složený objekt: čokoládová tyčinka zabalená a převázaná stuhou. Chcete-li sníst čokoládovou tyčinku, musíte provést opačné kroky v opačném pořadí.

Vytvořme podobnou matematickou pipeline: nejprve najdeme kosinus čísla a poté odmocnime výsledné číslo. Takže dostaneme číslo (čokoláda), já najdu jeho kosinus (obal) a pak urovnáte, co jsem dostal (svažte to stuhou). Co se stalo? Funkce. Toto je příklad komplexní funkce: když, abychom zjistili její hodnotu, provedeme první akci přímo s proměnnou a poté druhou akci s tím, co vyplynulo z první.

Jinými slovy, komplexní funkce je funkce, jejímž argumentem je jiná funkce: .

Pro náš příklad, .

Stejné kroky můžeme snadno provést v opačném pořadí: nejprve to odmocni a pak hledám kosinus výsledného čísla: . Je snadné odhadnout, že výsledek bude téměř vždy jiný. Důležitá vlastnost komplexních funkcí: když se změní pořadí akcí, změní se funkce.

Druhý příklad: (totéž). .

Akce, kterou uděláme jako poslední, bude vyvolána „externí“ funkce, a akce provedená jako první – resp „vnitřní“ funkce(jedná se o neformální názvy, používám je pouze k vysvětlení látky jednoduchým jazykem).

Zkuste sami určit, která funkce je vnější a která vnitřní:

Odpovědi: Oddělení vnitřních a vnějších funkcí je velmi podobné změně proměnných: například ve funkci

1. Jakou akci provedeme jako první? Nejprve si vypočítejme sinus a teprve potom jej vypočítejme. To znamená, že jde o vnitřní funkci, ale o vnější.
   A původní funkcí je jejich složení: .
2. Interní: ; externí: .
   Vyšetření: .
3. Interní: ; externí: .
   Vyšetření: .
4. Interní: ; externí: .
   Vyšetření: .
5. Interní: ; externí: .
   Vyšetření: .

Změníme proměnné a dostaneme funkci.

Nyní vyjmeme naši čokoládovou tyčinku a budeme hledat derivát. Postup je vždy obrácený: nejprve hledáme derivaci vnější funkce, poté výsledek vynásobíme derivací vnitřní funkce. Ve vztahu k původnímu příkladu to vypadá takto:

Další příklad:

Pojďme tedy konečně formulovat oficiální pravidlo:

Algoritmus pro nalezení derivace komplexní funkce:

Vypadá to jednoduše, že?

Podívejme se na příklady:

Řešení:

1) Interní: ;

Externí: ;

2) Interní: ;

(Jen to teď nezkoušejte odříznout! Z pod kosinusu nic nevychází, pamatujete?)

3) Interní: ;

Externí: ;

Okamžitě je jasné, že se jedná o tříúrovňovou komplexní funkci: vždyť to je již sama o sobě komplexní funkce a navíc z ní extrahujeme kořen, to znamená, že provedeme třetí akci (dáme čokoládu do obalu a se stuhou v kufříku). Není ale důvod se bát: i tak tuto funkci „rozbalíme“ ve stejném pořadí jako obvykle: od konce.

To znamená, že nejprve rozlišujeme kořen, potom kosinus a teprve potom výraz v závorkách. A pak to všechno znásobíme.

V takových případech je vhodné akce očíslovat. To znamená, že si představme, co víme. V jakém pořadí provedeme akce pro výpočet hodnoty tohoto výrazu? Podívejme se na příklad:

Čím později je akce provedena, tím „externější“ bude odpovídající funkce. Pořadí akcí je stejné jako dříve:

Zde je hnízdění obecně 4úrovňové. Pojďme určit pořadí akcí.

1. Radikální vyjádření. .

2. Kořen. .

3. Sinus. .

4. Čtverec. .

5. Dát to všechno dohromady:

DERIVÁT. KRÁTCE O HLAVNÍCH VĚCÍCH

Derivace funkce- poměr přírůstku funkce k přírůstku argumentu pro nekonečně malý přírůstek argumentu:

Základní deriváty:

Pravidla rozlišování:

Konstanta je vyjmuta z derivačního znaménka:

Derivát součtu:

Derivát produktu:

Derivát kvocientu:

Derivace komplexní funkce:

Algoritmus pro nalezení derivace komplexní funkce:

1. Definujeme „vnitřní“ funkci a najdeme její derivaci.
2. Definujeme „externí“ funkci a najdeme její derivaci.
3. Výsledky prvního a druhého bodu vynásobíme.

Máte pocit, že je do zkoušky ještě hodně času? Je to měsíc? Dva? Rok? Praxe ukazuje, že student nejlépe zvládne zkoušku, pokud se na ni začne připravovat předem. V jednotné státní zkoušce je mnoho obtížných úkolů, které školákům a budoucím uchazečům brání v dosažení nejvyššího skóre. Musíte se naučit překonávat tyto překážky a kromě toho to není těžké. Musíte pochopit princip práce s různými úkoly z tiketů. S novými pak nebudou žádné problémy.

Logaritmy se na první pohled zdají neuvěřitelně složité, ale s detailní analýzou se situace mnohem zjednoduší. Pokud chcete složit jednotnou státní zkoušku s nejvyšším skóre, měli byste rozumět dotyčnému konceptu, což je to, co navrhujeme udělat v tomto článku.

Nejprve oddělme tyto definice. Co je to logaritmus (log)? Jedná se o ukazatel výkonu, na který musí být základna zvednuta, aby bylo dosaženo zadaného čísla. Pokud to není jasné, podívejme se na základní příklad.

V tomto případě musí být základna ve spodní části zvednuta na druhou mocninu, abyste získali číslo 4.

Nyní se podívejme na druhý koncept. Derivace funkce v jakékoli formě je pojem, který charakterizuje změnu funkce v daném bodě. Jedná se však o školní osnovy, a pokud máte s těmito pojmy individuálně problémy, vyplatí se téma zopakovat.

Derivace logaritmu

V zadáních jednotné státní zkoušky na toto téma můžete uvést několik úloh jako příklad. Pro začátek nejjednodušší logaritmická derivace. Je nutné najít derivaci následující funkce.

Musíme najít další derivaci

Existuje speciální vzorec.

V tomto případě x=u, log3x=v. Do vzorce dosadíme hodnoty z naší funkce.

Derivace x bude rovna jedné. Logaritmus je trochu složitější. Ale princip pochopíte, když hodnoty jednoduše dosadíte. Připomeňme, že derivace lg x je derivace dekadického logaritmu a derivace ln x je derivace přirozeného logaritmu (na základě e).

Nyní jednoduše vložte výsledné hodnoty do vzorce. Zkuste to sami, pak zkontrolujeme odpověď.

Co tady může být pro některé problém? Zavedli jsme koncept přirozeného logaritmu. Pojďme si o tom popovídat a zároveň vymyslet, jak s tím problémy řešit. Neuvidíte nic složitého, zvláště když pochopíte princip jeho fungování. Měli byste si na to zvyknout, protože se často používá v matematice (ještě více na vysokých školách).

Derivace přirozeného logaritmu

Ve svém jádru je to derivace logaritmu k základu e (což je iracionální číslo, které je přibližně 2,7). Ve skutečnosti je ln velmi jednoduchý, takže se často používá v matematice obecně. Vlastně řešit problém s tím taky nebude problém. Stojí za to připomenout, že derivace přirozeného logaritmu k základu e bude rovna jedné dělené x. Řešení následujícího příkladu bude nejvíce odhalující.

Představme si to jako komplexní funkci skládající se ze dvou jednoduchých.

Stačí převést

Hledáme derivaci u vzhledem k x

Pokračujme druhým

Použijeme metodu řešení derivace komplexní funkce dosazením u=nx.

Co se stalo na konci?

Nyní si připomeňme, co n znamenalo v tomto příkladu? Toto je jakékoli číslo, které se může objevit před x v přirozeném logaritmu. Je důležité, abyste pochopili, že odpověď nezávisí na ní. Dosaďte si, co chcete, odpověď bude stále 1/x.

Jak vidíte, není zde nic složitého, stačí pochopit princip, jak rychle a efektivně vyřešit problémy na toto téma. Nyní znáte teorii, stačí ji pouze uvést do praxe. Procvičte si řešení problémů, abyste si princip jejich řešení dlouho zapamatovali. Po absolvování školy tyto znalosti možná nebudete potřebovat, ale u zkoušky budou relevantnější než kdy jindy. Hodně štěstí!