Řešení jednoduchých goniometrických rovnic.

Řešení goniometrických rovnic jakékoli úrovně složitosti nakonec vede k řešení nejjednodušších goniometrických rovnic. A v tomto se opět ukazuje jako nejlepší pomocník trigonometrický kruh.

Připomeňme si definice kosinusu a sinusu.

Kosinus úhlu je úsečka (tj. souřadnice podél osy) bodu na jednotkové kružnici odpovídající rotaci o daný úhel.

Sinus úhlu je ordináta (tj. souřadnice podél osy) bodu na jednotkové kružnici odpovídající rotaci o daný úhel.

Kladný směr pohybu na trigonometrické kružnici je proti směru hodinových ručiček. Otočení o 0 stupňů (nebo 0 radiánů) odpovídá bodu se souřadnicemi (1;0)

Tyto definice používáme k řešení jednoduchých goniometrických rovnic.

1. Řešte rovnici

Tato rovnice je splněna všemi hodnotami úhlu natočení, které odpovídají bodům na kružnici, jejichž pořadnice je rovna .

Označme bod s pořadnicí na souřadnicové ose:

Nakreslete vodorovnou čáru rovnoběžnou s osou x, dokud se neprotne s kružnicí. Dostaneme dva body ležící na kružnici a mající pořadnici. Tyto body odpovídají úhlům rotace v radiánech:

Pokud opustíme bod odpovídající úhlu natočení na radián, obejdeme celý kruh, pak dojdeme k bodu odpovídajícímu úhlu natočení na radián a se stejnou pořadnicí. To znamená, že tento úhel natočení také splňuje naši rovnici. Můžeme udělat tolik „volnoběžných“ otáček, kolik chceme, vracet se do stejného bodu a všechny tyto hodnoty úhlu splní naši rovnici. Počet otáček „naprázdno“ bude označen písmenem (nebo). Protože tyto revoluce můžeme provádět v kladném i záporném směru, (nebo) mohou nabývat libovolné celočíselné hodnoty.

To znamená, že první řada řešení původní rovnice má tvar:

, , - sada celých čísel (1)

Podobně má druhá řada řešení tvar:

, Kde , . (2)

Jak jste možná uhodli, tato řada řešení je založena na bodu na kružnici, který odpovídá úhlu natočení o .

Tyto dvě řady řešení lze spojit do jednoho záznamu:

Pokud vezmeme (tedy sudé) v tomto zadání, pak dostaneme první řadu řešení.

Vezmeme-li (tedy liché) v tomto zadání, pak dostaneme druhou řadu řešení.

2. Nyní vyřešme rovnici

Protože se jedná o úsečku bodu na jednotkové kružnici získané otočením o úhel, označíme bod úsečkou na ose:

Nakreslete svislou čáru rovnoběžnou s osou, dokud se neprotne s kružnicí. Získáme dva body ležící na kruhu a mající úsečku. Tyto body odpovídají rotačním úhlům v a radiánech. Připomeňme, že při pohybu ve směru hodinových ručiček získáme záporný úhel natočení:

Zapišme si dvě řady řešení:

,

,

(Do požadovaného bodu se dostaneme tak, že půjdeme z hlavního plného kruhu, tzn.

Spojme tyto dvě řady do jednoho záznamu:

3. Řešte rovnici

Tečna prochází bodem se souřadnicemi (1,0) jednotkové kružnice rovnoběžné s osou OY

Označme na něm bod s pořadnicí rovnou 1 (hledáme tečnu, jejíž úhly jsou rovné 1):

Spojme tento bod s počátkem souřadnic přímkou ​​a označme průsečíky přímky s jednotkovou kružnicí. Průsečíky přímky a kružnice odpovídají úhlům natočení na a :

Protože body odpovídající úhlům natočení, které splňují naši rovnici, leží ve vzdálenosti radiánů od sebe, můžeme řešení zapsat takto:

4. Řešte rovnici

Přímka kotangens prochází bodem se souřadnicemi jednotkové kružnice rovnoběžné s osou.

Označme bod s úsečkou -1 na přímce kotangens:

Spojme tento bod s počátkem přímky a pokračujeme v ní, dokud se neprotne s kružnicí. Tato přímka bude protínat kružnici v bodech odpovídajících úhlům rotace v a radiánech:

Protože tyto body jsou od sebe odděleny vzdáleností rovnou , můžeme napsat obecné řešení této rovnice takto:

V uvedených příkladech ilustrujících řešení nejjednodušších goniometrických rovnic byly použity tabulkové hodnoty goniometrických funkcí.

Pokud však pravá strana rovnice obsahuje netabulkovou hodnotu, dosadíme hodnotu do obecného řešení rovnice:

SPECIÁLNÍ ŘEŠENÍ:

Označme body na kružnici, jejíž pořadnice je 0:

Označme jeden bod na kružnici, jejíž pořadnice je 1:

Označme jeden bod na kružnici, jehož pořadnice je rovna -1:

Protože je obvyklé uvádět hodnoty nejbližší nule, zapíšeme řešení následovně:

Označme body na kružnici, jejíž úsečka je rovna 0:

5.
Označme jeden bod na kružnici, jehož úsečka je rovna 1:

Označme jeden bod na kružnici, jehož úsečka je rovna -1:

A trochu složitější příklady:

1.

Sinus je roven jedné, pokud je argument roven

Argument našeho sinusu je stejný, takže dostáváme:

Vydělte obě strany rovnosti 3:

Odpověď:

2.

Kosinus je nula, pokud je argument kosinus

Argument našeho kosinusu je roven , takže dostaneme:

Pojďme vyjádřit , abychom to udělali, nejprve se přesuneme doprava s opačným znaménkem:

Zjednodušme pravou stranu:

Vydělte obě strany -2:

Všimněte si, že znaménko před výrazem se nemění, protože k může nabývat libovolné celočíselné hodnoty.

Odpověď:

A nakonec se podívejte na video lekci „Výběr kořenů v trigonometrické rovnici pomocí trigonometrické kružnice“

Tím náš rozhovor o řešení jednoduchých goniometrických rovnic končí. Příště si povíme, jak se rozhodnout.

Cvičení.
Najděte hodnotu x v .

Řešení.
Nalezení hodnoty argumentu funkce, při které se rovná libovolné hodnotě, znamená určit, u kterých argumentů bude hodnota sinus přesně taková, jaká je uvedena v podmínce.
V tomto případě musíme zjistit, při jakých hodnotách bude sinusová hodnota rovna 1/2. To lze provést několika způsoby.
Například pomocí , pomocí kterého určíte, při jakých hodnotách x bude funkce sinus rovna 1/2.
Dalším způsobem je použití . Dovolte mi připomenout, že hodnoty sinů leží na ose Oy.
Nejběžnějším způsobem je použití , zejména při práci s hodnotami, které jsou pro tuto funkci standardní, jako je 1/2.
Ve všech případech bychom neměli zapomínat na jednu z nejdůležitějších vlastností sinu - jeho periodu.
Najdeme v tabulce hodnotu 1/2 pro sinus a uvidíme, jaké argumenty jí odpovídají. Argumenty, které nás zajímají, jsou Pi / 6 a 5Pi / 6.
Zapišme si všechny kořeny, které splňují danou rovnici. Za tímto účelem si zapíšeme neznámý argument x, který nás zajímá, a jednu z hodnot argumentu získaného z tabulky, tedy Pi / 6. Zapíšeme si to s přihlédnutím k periodě sinus , všechny hodnoty argumentu:

Vezměme druhou hodnotu a proveďte stejné kroky jako v předchozím případě:

Kompletní řešení původní rovnice bude:
A
q může mít hodnotu libovolného celého čísla.

Obecně si tato otázka zaslouží zvláštní pozornost, ale vše je zde jednoduché: pod úhlem stupňů jsou sinus i kosinus kladné (viz obrázek), pak vezmeme znaménko plus.

Nyní zkuste na základě výše uvedeného najít sinus a kosinus úhlů: a

Můžete podvádět: zejména pro úhel ve stupních. Protože pokud je jeden úhel pravoúhlého trojúhelníku roven stupňům, pak se druhý rovná stupňům. Nyní vstoupí v platnost známé vzorce:

Od té doby, potom a. Od té doby a. Se stupni je to ještě jednodušší: pokud je jeden z úhlů pravoúhlého trojúhelníku roven stupňům, pak je druhý také roven stupňům, což znamená, že trojúhelník je rovnoramenný.

To znamená, že jeho nohy jsou stejné. To znamená, že jeho sinus a kosinus jsou stejné.

Nyní pomocí nové definice (pomocí X a Y!) najděte sinus a kosinus úhlů ve stupních a stupních. Zde nebudete moci kreslit žádné trojúhelníky! Budou příliš ploché!

Měli jste dostat:

Tangentu a kotangens si můžete najít sami pomocí vzorců:

Pozor, nulou nelze dělit!!

Nyní lze všechna získaná čísla sestavit do tabulky:

Zde jsou hodnoty sinus, kosinus, tangens a kotangens úhlů 1. čtvrtletí. Pro usnadnění jsou úhly uvedeny jak ve stupních, tak v radiánech (teď však znáte vztah mezi nimi!). Věnujte pozornost 2 pomlčkám v tabulce: jmenovitě kotangens nuly a tangens stupňů. To není náhoda!

Zejména:

Nyní zobecněme pojem sinus a kosinus do zcela libovolného úhlu. Budu zde uvažovat o dvou případech:

1. Úhel se pohybuje od do stupňů
2. Úhel větší než stupňů

Obecně řečeno, trochu jsem si zakroutil srdcem, když jsem mluvil o „úplně všech“ úhlech. Mohou být i negativní! Tomuto případu se ale budeme věnovat v jiném článku. Nejprve se zaměřme na první případ.

Pokud úhel leží v 1. čtvrtině, pak je vše jasné, tento případ jsme již zvažovali a dokonce jsme nakreslili tabulky.

Nyní ať je náš úhel větší než stupňů a ne větší než. To znamená, že se nachází buď ve 2., 3. nebo 4. čtvrtletí.

co budeme dělat? Ano, přesně to samé!

Pojďme se na to podívat místo něčeho takového...

...takhle:

To znamená, že uvažujte úhel ležící ve druhé čtvrtině. Co o něm můžeme říci?

Bod, který je průsečíkem paprsku a kružnice, má stále 2 souřadnice (nic nadpřirozeného, ​​že?). Toto jsou souřadnice a.

Navíc první souřadnice je záporná a druhá kladná! To znamená, že v rozích druhé čtvrtiny je kosinus záporný a sinus kladný!

Úžasné, že? Předtím jsme se nikdy nesetkali se záporným kosinusem.

A to by v zásadě nemohlo platit, když jsme goniometrické funkce považovali za poměr stran trojúhelníku. Mimochodem, zamyslete se nad tím, které úhly mají stejný kosinus? Které z nich mají stejný sinus?

Podobně můžete uvažovat úhly ve všech ostatních čtvrtích. Jen připomínám, že úhel se počítá proti směru hodinových ručiček! (jak je znázorněno na posledním obrázku!).

Samozřejmě můžete počítat v opačném směru, ale přístup k takovým úhlům bude poněkud odlišný.

Na základě výše uvedené úvahy můžeme uspořádat znaménka sinus, kosinus, tangens (jako sinus dělený kosinus) a kotangens (jako kosinus dělený sinem) pro všechny čtyři čtvrtiny.

Ale ještě jednou, nemá smysl se tuto kresbu učit nazpaměť. Vše, co potřebujete vědět:

Pojďme si s vámi trochu zacvičit. Velmi jednoduché úkoly:

Zjistěte, jaké znamení mají následující množství:

Zkontrolujeme?

1. stupně je úhel, větší a menší, což znamená, že leží ve 3 čtvrtinách. Nakreslete libovolný roh ve 3. čtvrtině a podívejte se, jaký má hráč. Ukáže se to jako negativní. Pak.
   stupně - 2 čtvrtinový úhel. Sinus je tam kladný a kosinus záporný. Plus děleno mínus se rovná mínus. Prostředek.
   stupně - úhel, větší a menší. To znamená, že leží ve 4. čtvrtletí. Pro jakýkoli úhel čtvrté čtvrtiny bude „x“ kladné, což znamená
2. S radiány pracujeme stejným způsobem: jedná se o úhel druhé čtvrtiny (od a. Sinus druhé čtvrtiny je kladný.
   .
   , to je čtvrtá čtvrtina rohu. Tam je kosinus kladný.
   - opět roh čtvrté čtvrtiny. Tam je kosinus kladný a sinus záporný. Pak bude tečna menší než nula:

Možná je pro vás obtížné určit čtvrtiny v radiánech. V takovém případě můžete vždy jít na stupně. Odpověď bude samozřejmě úplně stejná.

Nyní bych se rád velmi krátce zastavil u jiného bodu. Znovu si připomeňme základní goniometrickou identitu.

Jak jsem již řekl, z něj můžeme vyjádřit sinus přes kosinus nebo naopak:

Volbu znaménka ovlivní pouze čtvrtina, ve které se nachází náš úhel alfa. Na posledních dvou vzorcích jednotné státní zkoušky je mnoho problémů, například tyto:

Úkol

Najděte, zda a.

Ve skutečnosti se jedná o čtvrtinový úkol! Podívejte se, jak se to řeší:

Řešení

Takže dosadíme hodnotu zde. Teď už zbývá jen vypořádat se s tím znamením. Co k tomu potřebujeme? Vědět, ve které čtvrti je náš koutek. Podle podmínek problému: . Co je to za čtvrtletí? Čtvrtý. Jaké je znamení kosinusu ve čtvrté čtvrtině? Kosinus ve čtvrtém čtvrtletí je kladný. Pak už jen zbývá vybrat znaménko plus vpředu. , Pak.

Nebudu se těmito úkoly nyní podrobně zabývat, jejich podrobnou analýzu najdete v článku „“. Jen jsem vás chtěl upozornit na důležitost toho, jaké znaménko má ta či ona goniometrická funkce v závislosti na čtvrtletí.

Úhly větší než stupně

Poslední věc, na kterou bych chtěl v tomto článku upozornit, je, co dělat s úhly většími než stupně?

Co to je a s čím to můžete jíst, abyste se neudusili? Vezmeme, řekněme, úhel ve stupních (radiánech) a půjdeme od něj proti směru hodinových ručiček...

Na obrázku jsem nakreslil spirálu, ale chápete, že ve skutečnosti žádnou spirálu nemáme: máme pouze kruh.

Kde tedy skončíme, když začneme z určitého úhlu a projdeme celý kruh (stupně nebo radiány)?

kam půjdeme? A přijdeme do stejného rohu!

Totéž samozřejmě platí pro jakýkoli jiný úhel:

Vezmeme-li libovolný roh a obejdeme celý kruh, vrátíme se do stejného rohu.

Co nám to dá? Tady je co: pokud, tak

Odkud se nakonec dostaneme:

Pro jakýkoli celek. To znamená, že sinus a kosinus jsou periodické funkce s periodou.

Není tedy problém najít znaménko nyní libovolného úhlu: stačí zahodit všechny „celé kruhy“, které se do našeho úhlu vejdou, a zjistit, ve které čtvrtině leží zbývající úhel.

Najděte například znak:

Kontrolujeme:

1. Ve stupních se hodí časy podle stupňů (stupňů):
   stupně zbývají. Toto je úhel 4 čtvrtiny. Tam je sinus záporný, což znamená
2. . stupně. Toto je úhel 3 čtvrtiny. Tam je kosinus záporný. Pak
3. . . Od té doby - úhel první čtvrtiny. Tam je kosinus kladný. Pak cos
4. . . Protože náš úhel leží ve druhé čtvrtině, kde je sinus kladný.

Totéž můžeme udělat pro tečnu a kotangens. Ve skutečnosti jsou však ještě jednodušší: jsou to také periodické funkce, pouze jejich perioda je 2krát menší:

Takže chápete, co je trigonometrický kruh a k čemu je potřeba.

Ale stále máme spoustu otázek:

1. Co jsou negativní úhly?
2. Jak vypočítat goniometrické funkce v těchto úhlech
3. Jak využít známé hodnoty goniometrických funkcí 1. čtvrtletí k hledání hodnot funkcí v ostatních čtvrtletích (je opravdu nutné nacpat tabulku?!)
4. Jak můžete použít kruh ke zjednodušení řešení goniometrických rovnic?

STŘEDNÍ ÚROVEŇ

V tomto článku budeme pokračovat ve studiu trigonometrického kruhu a diskutovat o následujících bodech:

1. Co jsou negativní úhly?
2. Jak vypočítat hodnoty goniometrických funkcí v těchto úhlech?
3. Jak použít známé hodnoty goniometrických funkcí 1 čtvrtletí k vyhledání hodnot funkcí v jiných čtvrtletích?
4. Jaká je osa tečny a osa kotangens?

Nepotřebujeme žádné další znalosti kromě základních dovedností při práci s jednotkovým kruhem (předchozí článek). No, pojďme k první otázce: co jsou negativní úhly?

Negativní úhly

Záporné úhly v trigonometrii jsou vyneseny na trigonometrické kružnici od začátku dolů ve směru pohybu hodinových ručiček:

Připomeňme si, jak jsme dříve vykreslovali úhly na trigonometrické kružnici: Vycházeli jsme z kladného směru osy proti směru hodinových ručiček:

Potom v našem výkresu sestrojíme úhel rovný. Všechny rohy jsme postavili stejným způsobem.

Nic nám však nebrání v pohybu z kladného směru osy ve směru hodinových ručiček.

Dostaneme také různé úhly, ale budou negativní:

Následující obrázek ukazuje dva úhly, stejné v absolutní hodnotě, ale opačné ve znaménku:

Obecně lze pravidlo formulovat takto:

• Jdeme proti směru hodinových ručiček – dostáváme kladné úhly
• Jdeme po směru hodinových ručiček – dostáváme záporné úhly

Pravidlo je schematicky znázorněno na tomto obrázku:

Můžete mi položit zcela rozumnou otázku: dobře, potřebujeme úhly, abychom změřili jejich hodnoty sinus, kosinus, tangens a kotangens.

Je tedy rozdíl, kdy je náš úhel kladný a kdy záporný? Odpovím vám: zpravidla existuje.

Vždy však můžete snížit výpočet goniometrické funkce ze záporného úhlu na výpočet funkce v úhlu pozitivní.

Podívejte se na následující obrázek:

Sestrojil jsem dva úhly, jsou stejné v absolutní hodnotě, ale mají opačné znaménko. Pro každý úhel označte na osách jeho sinus a kosinus.

co vidíme? Zde je co:

• Sinusy jsou v úhlech a mají opačné znaménko! Pak kdyby
• Kosiny úhlů se shodují! Pak kdyby
• Od té doby:
• Od té doby:

Vždy se tedy můžeme zbavit záporného znaménka uvnitř jakékoli goniometrické funkce: buď jeho prostým odstraněním, jako u kosinusu, nebo jeho umístěním před funkci, jako u sinus, tangens a kotangens.

Mimochodem, zapamatujte si název funkce, která se provádí pro jakoukoli platnou hodnotu: ?

Taková funkce se nazývá lichá.

Ale pokud pro jakoukoli přípustnou platí následující: ? Pak se v tomto případě funkce nazývá sudá.

Takže vy a já jsme právě ukázali, že:

Sinus, tangens a kotangens jsou liché funkce a kosinus je sudá funkce.

Jak jste pochopili, nezáleží na tom, zda hledáme sinus kladného nebo záporného úhlu: vypořádat se s mínusem je velmi jednoduché. Nepotřebujeme tedy tabulky zvlášť pro záporné úhly.

Na druhou stranu musíte souhlasit s tím, že by bylo velmi pohodlné, znát pouze goniometrické funkce úhlů první čtvrtiny, umět vypočítat podobné funkce pro zbývající čtvrtiny. Je to možné? Samozřejmě můžete! Máte alespoň 2 způsoby: první je postavit trojúhelník a použít Pythagorovu větu (tak jsme vy a já našli hodnoty goniometrických funkcí pro hlavní úhly první čtvrtiny) a druhá je zapamatovat si hodnoty funkcí pro úhly v první čtvrtině a nějaké jednoduché pravidlo, abyste mohli vypočítat goniometrické funkce pro všechny ostatní čtvrtiny. Druhá metoda vám ušetří spoustu starostí s trojúhelníky a Pythagoras, takže ji vidím jako nadějnější:

Tato metoda (nebo pravidlo) se tedy nazývá redukční vzorce.

Redukční vzorce

Zhruba řečeno, tyto vzorce vám pomohou nezapamatovat si tuto tabulku (mimochodem, obsahuje 98 čísel!):

pokud si pamatujete toto (pouze 20 čísel):

To znamená, že se nemůžete obtěžovat zcela zbytečnými 78 čísly! Potřebujeme například počítat. Je jasné, že v malé tabulce tomu tak není. co bychom měli dělat? Zde je co:

Nejprve budeme potřebovat následující znalosti:

1. Sinus a kosinus mají periodu (stupně), tzn

   Tangenta (kotangens) má tečku (stupně)

   Jakékoli celé číslo

2. Sinus a tangens jsou liché funkce a kosinus je sudá funkce:

První tvrzení jsme vám již dokázali a platnost druhého byla prokázána poměrně nedávno.

Skutečné pravidlo castingu vypadá takto:

1. Počítáme-li hodnotu goniometrické funkce ze záporného úhlu, učiníme ji pozitivní pomocí skupiny vzorců (2). Například:
2. Vyřadíme jeho periody pro sinus a kosinus: (ve stupních) a pro tečnu - (ve stupních). Například:
3. Pokud je zbývající „roh“ menší než stupně, problém je vyřešen: hledáme ho v „malé tabulce“.
4. Jinak hledáme, ve které čtvrti leží náš roh: bude to 2., 3. nebo 4. čtvrtletí. Podívejme se na znaménko požadované funkce v kvadrantu. Pamatujte na toto znamení!!!
5. Úhel znázorňujeme v jedné z následujících forem:

   (pokud ve druhém čtvrtletí)
   (pokud ve druhém čtvrtletí)
   (pokud ve třetím čtvrtletí)
   (pokud ve třetím čtvrtletí)
   
   (pokud ve čtvrtém čtvrtletí)

   takže zbývající úhel je větší než nula a menší než stupně. Například:

   V zásadě je jedno, ve které ze dvou alternativních forem pro každou čtvrtinu úhel znázorňujete. To neovlivní konečný výsledek.

6. Nyní se podívejme, co jsme dostali: pokud jste se rozhodli psát v jednotkách nebo stupních plus mínus něco, pak se znaménko funkce nezmění: jednoduše odstraníte nebo a zapíšete sinus, kosinus nebo tangens zbývajícího úhlu. Pokud jste zvolili zápis v nebo stupních, změňte sinus na kosinus, kosinus na sinus, tečnu na kotangens, kotangens na tangens.
7. Znaménko z bodu 4 dáme před výsledný výraz.

Pojďme si vše výše uvedené ukázat na příkladech:

1. Vypočítat
2. Vypočítat
3. Najděte svůj význam:

Začneme popořadě:

1. Jednáme podle našeho algoritmu. Vyberte celočíselný počet kruhů pro:

   Obecně jsme dospěli k závěru, že celý roh se vejde 5krát, ale kolik zbývá? Vlevo. Pak

   No, přebytek jsme zahodili. Nyní se podíváme na znamení. leží ve 4. čtvrtletí. Sinus čtvrté čtvrtiny má znaménko mínus a neměl bych to zapomenout uvést do odpovědi. Dále uvádíme podle jednoho ze dvou vzorců odstavce 5 redukčních pravidel. vyberu si:

   Nyní se podívejme, co se stalo: máme případ se stupni, pak ho zahodíme a změníme sinus na kosinus. A před něj jsme dali znaménko mínus!

   stupně - úhel v první čtvrtině. Známe (slíbil jste mi, že se naučíte malý stůl!!) jeho význam:

   Pak dostaneme konečnou odpověď:

   Odpověď:

2. vše je stejné, ale místo stupňů - radiány. To je v pořádku. Hlavní věc, kterou je třeba si zapamatovat, je to

   Ale nemusíte nahrazovat radiány stupni. Je to věc vašeho vkusu. nic nezměním. Začnu znovu vyřazením celých kruhů:

   Zahodíme – to jsou dva celé kruhy. Zbývá jen spočítat. Tento úhel je ve třetí čtvrtině. Kosinus třetího čtvrtletí je záporný. Nezapomeňte v odpovědi uvést znaménko mínus. dovedete si představit jak. Připomeňme si znovu pravidlo: máme případ „celého“ čísla (nebo), pak se funkce nemění:

   Pak.
   Odpověď: .

3. . Musíte udělat to samé, ale se dvěma funkcemi. Budu trochu stručnější: a stupně - úhly druhé čtvrtiny. Kosinus druhé čtvrtiny má znaménko minus a sinus znaménko plus. může být reprezentováno jako: , a jak, potom

   Oba případy jsou „polovinou celku“. Potom se sinus změní na kosinus a kosinus se změní na sinus. Navíc je před kosinusem znaménko mínus:

Odpověď: .

Nyní si procvičte sami pomocí následujících příkladů:

A zde jsou řešení:

1. 
   Nejprve se zbavme mínus tím, že ho postavíme před sinus (protože sinus je lichá funkce!!!). Dále se podívejme na úhly:

   Vyřadíme celočíselný počet kruhů - tedy tři kruhy ().
   Zbývá spočítat: .
   Totéž uděláme s druhým rohem:

   Smažeme celý počet kruhů - 3 kruhy () a poté:

   Nyní přemýšlíme: ve které čtvrtině leží zbývající úhel? Všechno mu „chybí“. Jaká je tedy čtvrtina? Čtvrtý. Jaké je znaménko kosinusu čtvrtého čtvrtletí? Pozitivní. Teď si to představme. Protože odečítáme od celé veličiny, neměníme znaménko kosinusu:

   Všechna získaná data dosadíme do vzorce:

   Odpověď: .

2. 
   Standard: odstraňte mínus z kosinusu s využitím skutečnosti, že.
   Zbývá jen vypočítat kosinus stupňů. Odebereme celé kruhy: . Pak

   Pak.
   Odpověď: .

3. Postupujeme stejně jako v předchozím příkladu.

   Protože si pamatujete, že perioda tečny je (nebo) na rozdíl od kosinu nebo sinu, pro které je 2krát větší, odebereme celočíselnou veličinu.

   stupně - úhel ve druhé čtvrtině. Tangenta druhého čtvrtletí je záporná, pak nezapomínejme na „mínus“ na konci! lze napsat jako. Tečna se změní na kotangensu. Nakonec dostaneme:

   Pak.
   Odpověď: .

No, zbývá jen málo!

Osa tečny a osa kotangens

Poslední věcí, které bych se zde chtěl dotknout, jsou dvě další osy. Jak jsme již probrali, máme dvě osy:

1. Osa - kosinusová osa
2. Axis - osa sinusů

Ve skutečnosti nám došly souřadnicové osy, že? Ale co tangenty a kotangensy?

Opravdu pro ně neexistuje žádný grafický výklad?

Ve skutečnosti existuje, můžete to vidět na tomto obrázku:

Konkrétně z těchto obrázků můžeme říci toto:

1. Tangenta a kotangensa mají stejná čtvrtová znaménka
2. Pozitivní jsou v 1. a 3. čtvrtletí
3. Ve 2. a 4. čtvrtletí jsou negativní
4. Tečna není definována v úhlech
5. Kotangens není definován v rozích

K čemu jinému jsou tyto obrázky? Naučíte se na pokročilé úrovni, kde vám řeknu, jak můžete použít trigonometrický kruh pro zjednodušení řešení goniometrických rovnic!

POKROČILÝ ÚROVEŇ

V tomto článku popíšu jak jednotkový kruh (trigonometrický kruh) mohou být užitečné při řešení goniometrických rovnic.

Napadají mě dva případy, kdy by to mohlo být užitečné:

1. V odpovědi nezískáme „krásný“ úhel, ale přesto musíme vybrat kořeny
2. Odpověď obsahuje příliš mnoho řad kořenů

Nepotřebujete žádné specifické znalosti kromě znalosti tématu:

Snažil jsem se napsat téma „trigonometrické rovnice“ bez použití kruhů. Mnozí by mě za takový přístup nepochválili.

Ale já preferuji vzorec, tak co mohu dělat? V některých případech však není dostatek vzorců. K napsání tohoto článku mě motivoval následující příklad:

Řešte rovnici:

Tak tedy. Samotné řešení rovnice není obtížné.

Reverzní výměna:

Naše původní rovnice je tedy ekvivalentní až čtyřem jednoduchým rovnicím! Opravdu potřebujeme napsat 4 řady kořenů:

V zásadě bychom se tam mohli zastavit. Ale ne pro čtenáře tohoto článku, který tvrdí, že je jakousi „složitostí“!

Podívejme se nejprve na první sérii kořenů. Takže vezmeme jednotkovou kružnici, nyní aplikujeme tyto kořeny na kružnici (zvlášť pro a pro):

Věnujte pozornost: jaký úhel je mezi rohy a? Tohle je roh. Nyní udělejme totéž pro sérii: .

Úhel mezi kořeny rovnice je opět . Nyní spojíme tyto dva obrázky:

co vidíme? Jinak jsou všechny úhly mezi našimi kořeny stejné. Co to znamená?

Pokud začneme od rohu a vezmeme stejné úhly (pro libovolné celé číslo), pak vždy skončíme v jednom ze čtyř bodů na horním kruhu! Tedy 2 řady kořenů:

Lze spojit do jednoho:

Bohužel, pro kořenovou řadu:

Tyto argumenty již nebudou platné. Udělejte si obrázek a pochopte, proč tomu tak je. Lze je však kombinovat následovně:

Pak má původní rovnice kořeny:

Což je docela krátká a výstižná odpověď. Co znamená stručnost a výstižnost? O úrovni vaší matematické gramotnosti.

Toto byl první příklad, ve kterém použití trigonometrické kružnice přineslo užitečné výsledky.

Druhým příkladem jsou rovnice, které mají „ošklivé kořeny“.

Například:

1. Vyřešte rovnici.
2. Najděte jeho kořeny patřící do mezery.

První díl není vůbec těžký.

Vzhledem k tomu, že se již v tématu orientujete, dovolím si být ve svých vyjádřeních stručný.

pak nebo

Takto jsme našli kořeny naší rovnice. Nic složitého.

Je obtížnější vyřešit druhou část úlohy, aniž bychom přesně věděli, co je arkus cosinus mínus jedna čtvrtina (nejedná se o tabulkovou hodnotu).

Nalezenou řadu kořenů však můžeme znázornit na jednotkovém kruhu:

co vidíme? Za prvé, obrázek nám objasnil, v jakých mezích leží arkuskosinus:

Tato vizuální interpretace nám pomůže najít kořeny patřící do segmentu: .

Nejprve do něj spadne samotné číslo, pak (viz obrázek).

také patří do segmentu.

Jednotkový kruh tedy pomáhá určit, do jakých limitů spadají „ošklivé“ úhly.

Měli byste mít ještě alespoň jednu otázku: Ale co bychom měli dělat s tangentami a kotangens?

Ve skutečnosti mají také své vlastní osy, i když mají trochu specifický vzhled:

Jinak bude způsob, jak s nimi zacházet, stejný jako se sinusem a kosinusem.

Příklad

Rovnice je dána.

• Vyřešte tuto rovnici.
• Uveďte kořeny této rovnice, které patří do intervalu.

Řešení:

Nakreslíme jednotkovou kružnici a označíme na ní naše řešení:

Z obrázku můžete pochopit, že:

Nebo ještě více: od té doby

Poté najdeme kořeny patřící do segmentu.

, (protože)

Nechám na vás, abyste si sami ověřili, že naše rovnice nemá žádné další kořeny patřící do intervalu.

SHRNUTÍ A ZÁKLADNÍ VZORCE

Hlavním nástrojem trigonometrie je trigonometrický kruh, umožňuje měřit úhly, najít jejich sinus, kosinus atd.

Existují dva způsoby měření úhlů.

1. Přes stupně
2. Přes radiány

A naopak: od radiánů ke stupňům:

Chcete-li najít sinus a kosinus úhlu, potřebujete:

1. Nakreslete jednotkovou kružnici se středem shodným s vrcholem úhlu.
2. Najděte průsečík tohoto úhlu s kružnicí.
3. Jeho souřadnice „X“ je kosinus požadovaného úhlu.
4. Jeho „herní“ souřadnice je sinus požadovaného úhlu.

Redukční vzorce

Jedná se o vzorce, které umožňují zjednodušit složité výrazy goniometrické funkce.

Tyto vzorce vám pomohou nezapamatovat si tuto tabulku:

Shrnutí

Naučili jste se, jak vytvořit univerzální ostruhu pomocí trigonometrie.

Naučili jste se řešit problémy mnohem snadněji a rychleji a hlavně bez chyb.

Uvědomili jste si, že nemusíte nacpat žádné stoly a už vůbec nic!

Teď tě chci slyšet!

Podařilo se vám pochopit toto složité téma?

co se ti líbilo? co se ti nelíbilo?

Možná jste našli chybu?

Pište do komentářů!

A hodně štěstí u zkoušky!

Tabulka hodnot goniometrických funkcí

Poznámka. Tato tabulka hodnot goniometrických funkcí používá k vyjádření druhé odmocniny znaménko √. Pro označení zlomku použijte symbol "/".

Viz také užitečné materiály:

Pro určení hodnoty goniometrické funkce, najděte ji v průsečíku přímky označující goniometrickou funkci. Například sinus 30 stupňů - hledáme sloupec s nadpisem sin (sinus) a najdeme průsečík tohoto sloupce tabulky s řádkem „30 stupňů“, na jejich průsečíku čteme výsledek - jednu polovinu. Podobně nacházíme kosinus 60 stupně, sinus 60 stupňů (ještě jednou na průsečíku sloupce sin a úsečky 60 stupňů najdeme hodnotu sin 60 = √3/2) atd. Hodnoty sinusů, kosinusů a tečen jiných „populárních“ úhlů se nacházejí stejným způsobem.

Sinus pí, kosinus pí, tečna pí a další úhly v radiánech

Níže uvedená tabulka kosinů, sinů a tečen je také vhodná pro zjištění hodnoty goniometrických funkcí, jejichž argument je udává se v radiánech. K tomu použijte druhý sloupec hodnot úhlů. Díky tomu můžete převádět hodnotu oblíbených úhlů ze stupňů na radiány. Najdeme například úhel 60 stupňů v prvním řádku a pod ním odečteme jeho hodnotu v radiánech. 60 stupňů se rovná π/3 radiánům.

Číslo pí jednoznačně vyjadřuje závislost obvodu na stupňové míře úhlu. Pi radiány se tedy rovnají 180 stupňům.

Jakékoli číslo vyjádřené v pí (radiánech) lze snadno převést na stupně nahrazením pí (π) 180.

Příklady:
1. Sine pí.
sin π = sin 180 = 0
tedy sinus pí je stejný jako sinus 180 stupňů a rovná se nule.

2. Kosinus pí.
cos π = cos 180 = -1
tedy kosinus pí je stejný jako kosinus 180 stupňů a rovná se mínus jedné.

3. Tangenta pí
tg π = tg 180 = 0
tedy tečna pí je stejná jako tečna 180 stupňů a rovná se nule.

Tabulka hodnot sinus, kosinus, tečna pro úhly 0 - 360 stupňů (běžné hodnoty)

hodnota úhlu α (stupně)	hodnota úhlu α v radiánech (přes pi)	hřích (sinus)	cos (kosinus)	tg (tečna)	ctg (kotangens)	sek (sekant)	cosec (kosekant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Pokud je v tabulce hodnot goniometrických funkcí místo hodnoty funkce uvedena pomlčka (tangens (tg) 90 stupňů, kotangens (ctg) 180 stupňů), pak pro danou hodnotu míry úhlu je funkce nemá konkrétní hodnotu. Pokud není pomlčka, je buňka prázdná, což znamená, že jsme ještě nezadali požadovanou hodnotu. Zajímá nás, s jakými dotazy se k nám uživatelé obracejí a doplňujeme tabulku o nové hodnoty, a to i přesto, že aktuální údaje o hodnotách kosinus, sinus a tangens nejběžnějších úhlových hodnot zcela postačují k vyřešení většiny problémy.

Tabulka hodnot goniometrických funkcí sin, cos, tg pro nejoblíbenější úhly
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 stupňů
(numerické hodnoty „podle Bradisových tabulek“)

hodnota úhlu α (stupně)	úhel α hodnota v radiánech	hřích (sine)	cos (kosinus)	tg (tangens)	ctg (kotangens)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

V tomto článku velmi podrobně rozebereme definici číselného kruhu, zjistíme jeho hlavní vlastnost a uspořádáme čísla 1,2,3 atd. O tom, jak na kružnici označit další čísla (například \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) rozumí .

Číselný kruh nazývaná kružnice o jednotkovém poloměru, jejíž body si odpovídají , uspořádány podle následujících pravidel:

1) Počátek je v krajním pravém bodě kružnice;

2) Proti směru hodinových ručiček - kladný směr; ve směru hodinových ručiček – záporné;

3) Vyneseme-li na kružnici vzdálenost \(t\) v kladném směru, pak se dostaneme do bodu s hodnotou \(t\);

4) Vyneseme-li na kružnici vzdálenost \(t\) v záporném směru, pak se dostaneme do bodu s hodnotou \(–t\).

Proč se kruh nazývá číselný kruh?
Protože jsou na něm čísla. Tímto způsobem je kruh podobný číselné ose - na kruhu, stejně jako na ose, je pro každé číslo určitý bod.

Proč vědět, co je číselný kruh?
Pomocí číselného kruhu se určují hodnoty sinusů, kosinů, tečen a kotangens. Proto, abyste znali trigonometrii a složili jednotnou státní zkoušku s více než 60 body, musíte pochopit, co je číselný kruh a jak na něj umístit tečky.

Co znamenají slova „...jednotkového poloměru...“ v definici?
To znamená, že poloměr této kružnice je roven \(1\). A pokud takovou kružnici sestrojíme se středem v počátku, pak se bude protínat s osami v bodech \(1\) a \(-1\).

Nemusí být nakreslen malý, můžete změnit „velikost“ dělení podél os, pak bude obrázek větší (viz níže).

Proč je poloměr právě jeden? To je pohodlnější, protože v tomto případě při výpočtu obvodu pomocí vzorce \(l=2πR\) dostaneme:

Délka číselného kruhu je \(2π\) nebo přibližně \(6,28\).

Co znamená „...jehož body odpovídají reálným číslům“?
Jak jsme řekli výše, na číselném kruhu pro jakékoli reálné číslo bude určitě jeho „místo“ - bod, který tomuto číslu odpovídá.

Proč určovat počátek a směr na číselném kruhu?
Hlavním účelem číselného kruhu je jednoznačně určit jeho bod pro každé číslo. Ale jak můžete určit, kam zařadit bod, když nevíte, odkud počítat a kam se posunout?

Zde je důležité nezaměnit počátek na souřadnicové čáře a na číselném kruhu – jedná se o dva různé vztažné systémy! A také nezaměňujte \(1\) na ose \(x\) a \(0\) na kružnici - to jsou body na různých objektech.

Které body odpovídají číslům \(1\), \(2\) atd.?

Pamatujete si, že jsme předpokládali, že číselný kruh má poloměr \(1\)? To bude náš jednotkový segment (analogicky s číselnou osou), který vyneseme na kružnici.

Chcete-li označit bod na číselném kruhu odpovídající číslu 1, musíte přejít od 0 do vzdálenosti rovné poloměru v kladném směru.

Chcete-li označit bod na kružnici odpovídající číslu \(2\), musíte ujet vzdálenost rovnající se dvěma poloměrům od počátku, takže \(3\) je vzdálenost rovna třem poloměrům atd.

Při pohledu na tento obrázek vás mohou napadnout 2 otázky:
1. Co se stane, když kruh „skončí“ (tj. uděláme úplnou otáčku)?
Odpověď: pojďme do druhého kola! A až skončí druhý, půjdeme ke třetímu a tak dále. Proto lze na kružnici vykreslit nekonečné množství čísel.

2. Kde budou záporná čísla?
Odpověď: přímo tam! Mohou být také uspořádány, počítajíce od nuly požadovaný počet poloměrů, ale nyní v záporném směru.

Bohužel je obtížné označit celá čísla na číselném kruhu. To je způsobeno skutečností, že délka číselného kruhu nebude rovna celému číslu: \(2π\). A na nejvhodnějších místech (v průsečících s osami) budou také zlomky, nikoli celá čísla