נגזרות מורכבות. נגזרת לוגריתמית.
נגזרת של פונקציה חזקה-מעריכית

אנו ממשיכים לשפר את טכניקת הבידול שלנו. בשיעור זה נאחד את החומר שסקרנו, נסתכל על נגזרות מורכבות יותר, וגם נכיר טכניקות וטריקים חדשים למציאת נגזרת, בפרט, עם הנגזרת הלוגריתמית.

אותם קוראים שיש להם רמת הכנה נמוכה צריכים להתייחס למאמר איך למצוא את הנגזרת? דוגמאות לפתרונות, מה שיאפשר לך להעלות את הכישורים שלך כמעט מאפס. לאחר מכן, עליך ללמוד היטב את הדף נגזרת של פונקציה מורכבת, להבין ולפתור את כלהדוגמאות שנתתי. השיעור הזה הוא באופן הגיוני השלישי, ואחרי שתשלוט בו תבדיל בביטחון פונקציות מורכבות למדי. לא רצוי לנקוט בעמדה של "איפה עוד? זה מספיק!", שכן כל הדוגמאות והפתרונות לקוחים ממבחנים אמיתיים ולעתים קרובות נתקלים בהם בפועל.

נתחיל עם חזרה. בשיעור נגזרת של פונקציה מורכבתהסתכלנו על מספר דוגמאות עם הערות מפורטות. במהלך לימוד חשבון דיפרנציאלי וענפים אחרים של ניתוח מתמטי, תצטרך להבדיל לעתים קרובות מאוד, ולא תמיד נוח (ולא תמיד הכרחי) לתאר דוגמאות בפירוט רב. לכן, נתרגל מציאת נגזרות בעל פה. ה"מועמדים" המתאימים ביותר לכך הם נגזרות של הפונקציות הפשוטות ביותר המורכבות, למשל:

על פי כלל הבידול של פונקציות מורכבות :

כאשר לומדים בעתיד נושאי מתן אחרים, לרוב לא נדרש רישום מפורט שכזה, ההנחה היא שהתלמיד יודע למצוא נגזרות כאלה בטייס אוטומטי. בואו נדמיין שבשעה 3 לפנות בוקר צלצל הטלפון וקול נעים שאל: "מהי הנגזרת של הטנגנס של שני איקסים?" אחרי זה אמורה להיות תגובה כמעט מיידית ומנומסת: .

הדוגמה הראשונה נועדה מיד לפתרון עצמאי.

דוגמה 1

מצא את הנגזרות הבאות בעל פה, בפעולה אחת, למשל: . כדי להשלים את המשימה אתה רק צריך להשתמש טבלת נגזרות של פונקציות יסודיות(אם עדיין לא זכרתם). אם יש לך קשיים, אני ממליץ לקרוא שוב את השיעור נגזרת של פונקציה מורכבת.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

תשובות בסוף השיעור

נגזרות מורכבות

לאחר הכנה ארטילרית מקדימה, דוגמאות עם 3-4-5 קינון של פונקציות יהיו פחות מפחידות. שתי הדוגמאות הבאות עשויות להיראות מסובכות לחלק, אבל אם תבינו אותן (מישהו יסבול), אז כמעט כל השאר בחשבון דיפרנציאלי ייראה כמו בדיחה של ילד.

דוגמה 2

מצא את הנגזרת של פונקציה

כפי שכבר צוין, כאשר מוצאים את הנגזרת של פונקציה מורכבת, קודם כל, זה הכרחי ימיןהבן את ההשקעות שלך. במקרים שבהם יש ספקות, אני מזכיר לך טכניקה שימושית: אנחנו לוקחים את הערך הניסיוני של "x", למשל, ומנסים (מנטלית או בטיוטה) להחליף את הערך הזה ב"ביטוי הנורא".

1) ראשית עלינו לחשב את הביטוי, כלומר הסכום הוא ההטבעה העמוקה ביותר.

2) אז אתה צריך לחשב את הלוגריתם:

4) ואז קוביות את הקוסינוס:

5) בשלב החמישי ההבדל הוא:

6) ולבסוף, הפונקציה החיצונית ביותר היא השורש הריבועי:

נוסחה להבדיל פונקציה מורכבת מיושמים בסדר הפוך, מהפונקציה החיצונית ביותר אל הפנימית ביותר. אנחנו מחליטים:

נראה שאין שגיאות...

(1) קח את הנגזרת של השורש הריבועי.

(2) ניקח את הנגזרת של ההפרש באמצעות הכלל

(3) הנגזרת של משולש היא אפס. במונח השני ניקח את הנגזרת של התואר (קוביה).

(4) קח את הנגזרת של הקוסינוס.

(5) קח את הנגזרת של הלוגריתם.

(6) ולבסוף, אנו לוקחים את הנגזרת של ההטבעה העמוקה ביותר.

זה אולי נראה קשה מדי, אבל זו לא הדוגמה האכזרית ביותר. קח, למשל, את האוסף של קוזנצוב ותעריך את כל היופי והפשטות של הנגזרת המנותחת. שמתי לב שהם אוהבים לתת דבר דומה בבחינה כדי לבדוק אם תלמיד מבין איך למצוא את הנגזרת של פונקציה מורכבת או לא מבין.

הדוגמה הבאה היא בשבילך לפתור בעצמך.

דוגמה 3

מצא את הנגזרת של פונקציה

רמז: ראשית אנו מיישמים את כללי הליניאריות ואת כלל בידול המוצר

פתרון מלא ותשובה בסוף השיעור.

הגיע הזמן לעבור למשהו קטן ונחמד יותר.
זה לא נדיר שדוגמה מציגה את המכפלה של לא שתיים, אלא שלוש פונקציות. כיצד למצוא את הנגזרת של המכפלה של שלושה גורמים?

דוגמה 4

מצא את הנגזרת של פונקציה

ראשית נסתכל, האם ניתן להפוך את המכפלה של שלוש פונקציות למכפלה של שתי פונקציות? לדוגמה, אם היו לנו שני פולינומים במכפלה, אז נוכל לפתוח את הסוגריים. אבל בדוגמה הנבדקת, כל הפונקציות שונות: תואר, מעריך ולוגריתם.

במקרים כאלה זה הכרחי ברצףליישם את כלל בידול המוצרים פעמיים

החוכמה היא שבאמצעות "y" אנו מסמנים את המכפלה של שתי פונקציות: , וב-"ve" אנו מסמנים את הלוגריתם: . מדוע ניתן לעשות זאת? באמת – זה לא תוצר של שני גורמים והכלל לא עובד?! אין שום דבר מסובך:

כעת נותר ליישם את הכלל פעם שנייה לסוגר:

אתה יכול גם להתפתל ולשים משהו בסוגריים, אבל במקרה זה עדיף להשאיר את התשובה בדיוק בטופס הזה - זה יהיה קל יותר לבדוק.

ניתן לפתור את הדוגמה הנחשבת בדרך השנייה:

שני הפתרונות שווים לחלוטין.

דוגמה 5

מצא את הנגזרת של פונקציה

זוהי דוגמה לפתרון עצמאי במדגם זה נפתר בשיטה הראשונה.

בואו נסתכל על דוגמאות דומות עם שברים.

דוגמה 6

מצא את הנגזרת של פונקציה

ישנן מספר דרכים שאתה יכול ללכת כאן:

או ככה:

אבל הפתרון ייכתב בצורה קומפקטית יותר אם נשתמש קודם כל בכלל ההבחנה של המנה , לוקח עבור כל המונה:

באופן עקרוני, הדוגמה נפתרת, ואם היא נשארת כפי שהיא, זו לא תהיה טעות. אבל אם יש לך זמן, תמיד מומלץ לבדוק טיוטה כדי לראות אם ניתן לפשט את התשובה? הבה נצמצם את הביטוי של המונה למכנה משותף ו בואו ניפטר מהשבר בן שלוש הקומות:

החיסרון של הפשטות נוספות הוא שקיים סיכון לטעות לא בעת מציאת הנגזרת, אלא במהלך טרנספורמציות בית ספריות בנאליות. מצד שני, מורים לעתים קרובות דוחים את המשימה ומבקשים "להעלות על הדעת" את הנגזרת.

דוגמה פשוטה יותר לפתרון בעצמך:

דוגמה 7

מצא את הנגזרת של פונקציה

אנו ממשיכים לשלוט בשיטות מציאת הנגזרת, וכעת נשקול מקרה טיפוסי כאשר לוגריתם "נורא" מוצע להבדלה

דוגמה 8

מצא את הנגזרת של פונקציה

כאן אתה יכול ללכת רחוק, באמצעות הכלל להבדיל פונקציה מורכבת:

אבל הצעד הראשון מכניס אותך מיד לדיכאון - אתה צריך לקחת את הנגזרת הלא נעימה מכוח שבר, ואחר כך גם משבר.

בגלל זה לפניכיצד לקחת את הנגזרת של לוגריתם "מתוחכם", זה מפושט תחילה באמצעות מאפייני בית ספר ידועים:

! אם יש לך מחברת תרגול בהישג יד, העתק את הנוסחאות האלה ישירות לשם. אם אין לך מחברת, העתק אותה על פיסת נייר, שכן הדוגמאות הנותרות של השיעור יסתובבו סביב נוסחאות אלו.

את הפתרון עצמו אפשר לכתוב בערך כך:

בואו נשנה את הפונקציה:

מציאת הנגזרת:

המרה מראש של הפונקציה עצמה פשטה מאוד את הפתרון. לפיכך, כאשר מוצע לוגריתם דומה להבדלה, תמיד מומלץ "לפרק אותו".

ועכשיו כמה דוגמאות פשוטות שתוכל לפתור בעצמך:

דוגמה 9

מצא את הנגזרת של פונקציה

דוגמה 10

מצא את הנגזרת של פונקציה

כל השינויים והתשובות נמצאים בסוף השיעור.

נגזרת לוגריתמית

אם הנגזרת של הלוגריתמים היא מוזיקה מתוקה כל כך, אז נשאלת השאלה: האם ניתן במקרים מסוימים לארגן את הלוגריתם באופן מלאכותי? פחית! ואפילו הכרחי.

דוגמה 11

מצא את הנגזרת של פונקציה

לאחרונה הסתכלנו על דוגמאות דומות. מה לעשות? אתה יכול ליישם ברצף את כלל ההבחנה של המנה, ולאחר מכן את כלל ההבחנה של המוצר. החיסרון של שיטה זו הוא שבסופו של דבר אתה מקבל שבר עצום בן שלוש קומות, שאתה לא רוצה להתמודד איתו בכלל.

אבל בתיאוריה ובפרקטיקה יש דבר נפלא כמו הנגזרת הלוגריתמית. ניתן לארגן לוגריתמים באופן מלאכותי על ידי "תליית" אותם משני הצדדים:

הערה : כי פונקציה יכולה לקבל ערכים שליליים, אז, באופן כללי, אתה צריך להשתמש במודולים: , שייעלם כתוצאה מהבידול. עם זאת, גם העיצוב הנוכחי מקובל, כאשר כברירת מחדל הוא נלקח בחשבון מורכבמשמעויות. אבל אם בכל קפדנות, אז בשני המקרים יש להסתיג זאת.

עכשיו אתה צריך "לפרק" את הלוגריתם של הצד הימני ככל האפשר (נוסחאות לנגד עיניך?). אתאר את התהליך הזה בפירוט רב:

נתחיל עם בידול.
אנו מסיימים את שני החלקים תחת העיקר:

הנגזרת של הצד הימני היא פשוטה למדי.

מה עם הצד השמאלי?

בצד שמאל יש לנו פונקציה מורכבת. אני צופה את השאלה: "למה, האם יש אות אחת "Y" מתחת ללוגריתם?"

העובדה היא ש"משחק האות האחת" הזה - האם בעצמה פונקציה(אם זה לא מאוד ברור, עיין במאמר נגזרת של פונקציה שצוינה במרומז). לכן, הלוגריתם הוא פונקציה חיצונית, וה- "y" הוא פונקציה פנימית. ואנחנו משתמשים בכלל להבדיל פונקציה מורכבת :

בצד שמאל, כאילו בקסם, יש לנו נגזרת. לאחר מכן, על פי כלל הפרופורציות, נעביר את ה-y מהמכנה של צד שמאל לחלק העליון של צד ימין:

ועכשיו בואו נזכור על איזו פונקציית "שחקן" דיברנו במהלך הבידול? בואו נסתכל על המצב:

תשובה סופית:

דוגמה 12

מצא את הנגזרת של פונקציה

זו דוגמה שתוכל לפתור בעצמך. עיצוב לדוגמה של דוגמה מסוג זה נמצא בסוף השיעור.

באמצעות הנגזרת הלוגריתמית ניתן היה לפתור כל אחת מהדוגמאות מס' 4-7, דבר נוסף הוא שהפונקציות שם פשוטות יותר, ואולי, השימוש בנגזרת הלוגריתמית אינו מוצדק במיוחד.

נגזרת של פונקציה חזקה-מעריכית

עדיין לא שקלנו את הפונקציה הזו. פונקציה כוח-מעריכי היא פונקציה שעבורה גם התואר וגם הבסיס תלויים ב-"x". דוגמה קלאסית שתינתן לכם בכל ספר לימוד או הרצאה:

כיצד למצוא את הנגזרת של פונקציית החזקה-מעריכי?

יש צורך להשתמש בטכניקה שנידונה זה עתה - הנגזרת הלוגריתמית. אנו תולים לוגריתמים משני הצדדים:

ככלל, בצד ימין מוציאים את התואר מתחת ללוגריתם:

כתוצאה מכך, בצד ימין יש לנו מכפלה של שתי פונקציות, שיובדלו לפי הנוסחה הסטנדרטית .

אנו מוצאים את הנגזרת כדי לעשות זאת, אנו מקיפים את שני החלקים תחת קווים:

פעולות נוספות פשוטות:

סוף כל סוף:

אם המרה כלשהי אינה ברורה לחלוטין, אנא קרא שוב את ההסברים של דוגמה מס' 11 בעיון.

במשימות מעשיות, פונקציית הכוח-מעריכי תמיד תהיה מורכבת יותר מאשר דוגמא ההרצאה שנידונה.

דוגמה 13

מצא את הנגזרת של פונקציה

אנו משתמשים בנגזרת הלוגריתמית.

בצד ימין יש לנו קבוע ומכפלה של שני גורמים - "x" ו"לוגריתם של לוגריתם x" (לוגריתם אחר מקונן מתחת ללוגריתם). כשמבדילים, כזכור, עדיף להזיז מיד את הקבוע אל מחוץ לסימן הנגזרת כדי שלא יפריע; וכמובן, אנו מיישמים את הכלל המוכר :

הוכחה וגזירה של נוסחאות לנגזרת הלוגריתם הטבעי והלוגריתם לבסיס א. דוגמאות לנגזרות חישוב של ln 2x, ln 3x ו-ln nx. הוכחת הנוסחה לנגזרת הלוגריתם מסדר n בשיטת האינדוקציה המתמטית.

תוֹכֶן

ראה גם: לוגריתם - מאפיינים, נוסחאות, גרף
לוגריתם טבעי - מאפיינים, נוסחאות, גרף

גזירת נוסחאות לנגזרות של הלוגריתם הטבעי והלוגריתם לבסיס א

הנגזרת של הלוגריתם הטבעי של x שווה לאחד חלקי x:
(1) (ln x)′ =.

הנגזרת של הלוגריתם לבסיס a שווה לאחד חלקי המשתנה x כפול בלוגריתם הטבעי של a:
(2) (log a x)′ =.

הוכחה

שיהיה מספר חיובי שאינו שווה לאחד. שקול פונקציה התלויה במשתנה x, שהוא לוגריתם לבסיס:
.
פונקציה זו מוגדרת ב-. בוא נמצא את הנגזרת שלו ביחס למשתנה x. בהגדרה, הנגזרת היא הגבול הבא:
(3) .

בואו נמיר את הביטוי הזה כדי לצמצם אותו לתכונות וחוקים מתמטיים ידועים. לשם כך עלינו לדעת את העובדות הבאות:
א)מאפייני הלוגריתם. נצטרך את הנוסחאות הבאות:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
ב)המשכיות הלוגריתם והתכונה של גבולות עבור פונקציה רציפה:
(7) .
הנה פונקציה שיש לה גבול והגבול הזה חיובי.
IN)המשמעות של הגבול המדהים השני:
(8) .

בואו ליישם את העובדות הללו עד לקצה גבול היכולת שלנו. ראשית אנו משנים את הביטוי האלגברי
.
לשם כך, אנו מיישמים מאפיינים (4) ו-(5).

.

בואו נשתמש במאפיין (7) ובמגבלה המדהימה השנייה (8):
.

ולבסוף, אנו מיישמים נכס (6):
.
לוגריתם לבסיס השקוראים לו לוגריתם טבעי. הוא מיועד באופן הבא:
.
לאחר מכן ;
.

לפיכך, קיבלנו נוסחה (2) לנגזרת של הלוגריתם.

נגזרת של הלוגריתם הטבעי

שוב נכתוב את הנוסחה לנגזרת הלוגריתם לבסיס a:
.
לנוסחה זו יש את הצורה הפשוטה ביותר ללוגריתם הטבעי, שעבורה , . לאחר מכן
(1) .

בגלל הפשטות הזו, הלוגריתם הטבעי נמצא בשימוש נרחב מאוד בניתוח מתמטי ובענפים אחרים של מתמטיקה הקשורים לחשבון דיפרנציאלי. ניתן לבטא פונקציות לוגריתמיות עם בסיסים אחרים במונחים של הלוגריתם הטבעי באמצעות תכונה (6):
.

ניתן למצוא את הנגזרת של הלוגריתם ביחס לבסיס מנוסחה (1), אם מוציאים את הקבוע מסימן ההבחנה:
.

דרכים אחרות להוכיח את הנגזרת של לוגריתם

כאן אנו מניחים שאנו יודעים את הנוסחה לנגזרת של המעריכ:
(9) .
אז נוכל לגזור את הנוסחה לנגזרת של הלוגריתם הטבעי, בהינתן שהלוגריתם הוא הפונקציה ההפוכה של המעריכי.

הבה נוכיח את הנוסחה לנגזרת של הלוגריתם הטבעי, יישום הנוסחה לנגזרת של הפונקציה ההפוכה:
.
במקרה שלנו . הפונקציה ההפוכה ללוגריתם הטבעי היא האקספוננציאלי:
.
הנגזרת שלו נקבעת על ידי נוסחה (9). ניתן להגדיר משתנים בכל אות. בנוסחה (9), החלף את המשתנה x ב-y:
.
מאז
.
לאחר מכן
.
הנוסחה מוכחת.

כעת אנו מוכיחים את הנוסחה לנגזרת של הלוגריתם הטבעי באמצעות כללים להבחנה בין פונקציות מורכבות. מכיוון שהפונקציות והפוכות זו לזו, אז
.
בואו נבדיל את המשוואה הזו ביחס למשתנה x:
(10) .
הנגזרת של x שווה לאחד:
.
אנו מיישמים את כלל ההבחנה של פונקציות מורכבות:
.
כאן . בואו נחליף ב-(10):
.
מכאן
.

דוגמא

מצא נגזרות של ב-2x, ב 3xו lnnx.

לפונקציות המקוריות יש צורה דומה. לכן, נמצא את הנגזרת של הפונקציה y = log nx. אז נחליף את n=2 ו-n=3. וכך, אנו מקבלים נוסחאות לנגזרות של ב 2xו ב 3x .

אז, אנחנו מחפשים את הנגזרת של הפונקציה
y = log nx .
בואו נדמיין את הפונקציה הזו כפונקציה מורכבת המורכבת משתי פונקציות:
1) פונקציות בהתאם למשתנה: ;
2) פונקציות בהתאם למשתנה: .
אז הפונקציה המקורית מורכבת מפונקציות ו:
.

בוא נמצא את הנגזרת של הפונקציה ביחס למשתנה x:
.
בוא נמצא את הנגזרת של הפונקציה ביחס למשתנה:
.
אנו מיישמים את הנוסחה לנגזרת של פונקציה מורכבת.
.
הנה הגדרנו את זה.

אז מצאנו:
(11) .
אנו רואים שהנגזרת אינה תלויה ב-n. תוצאה זו היא די טבעית אם נמיר את הפונקציה המקורית באמצעות הנוסחה ללוגריתם של המכפלה:
.
- זה קבוע. הנגזרת שלו היא אפס. ואז, על פי כלל ההבחנה של הסכום, יש לנו:
.

; ; .

נגזרת של הלוגריתם של מודולוס x

בואו נמצא את הנגזרת של פונקציה חשובה נוספת - הלוגריתם הטבעי של מודולוס x:
(12) .

בואו נשקול את המקרה. ואז הפונקציה נראית כך:
.
הנגזרת שלו נקבעת על ידי נוסחה (1):
.

עכשיו בואו נבחן את המקרה. ואז הפונקציה נראית כך:
,
איפה .
אבל מצאנו גם את הנגזרת של פונקציה זו בדוגמה למעלה. זה לא תלוי ב-n והוא שווה ל
.
לאחר מכן
.

אנו משלבים את שני המקרים הללו לנוסחה אחת:
.

בהתאם לכך, כדי שהלוגריתם יבסס את a, יש לנו:
.

נגזרות מסדרים גבוהים יותר של הלוגריתם הטבעי

שקול את הפונקציה
.
מצאנו את נגזרת הסדר הראשון שלו:
(13) .

בואו נמצא את נגזרת הסדר השני:
.
בואו נמצא את נגזרת הסדר השלישי:
.
בואו נמצא את נגזרת הסדר הרביעי:
.

אתה יכול לשים לב שלנגזרת מסדר n יש את הצורה:
(14) .
הבה נוכיח זאת באמצעות אינדוקציה מתמטית.

הוכחה

הבה נחליף את הערך n = 1 בנוסחה (14):
.
מאז , אז כאשר n = 1 , הנוסחה (14) תקפה.

הבה נניח שהנוסחה (14) מתקיימת עבור n = k. הבה נוכיח שזה מרמז שהנוסחה תקפה עבור n = k + 1 .

ואכן, עבור n = k יש לנו:
.
הבדיל ביחס למשתנה x:

.
אז קיבלנו:
.
נוסחה זו עולה בקנה אחד עם הנוסחה (14) עבור n = k + 1 . לפיכך, מההנחה שהנוסחה (14) תקפה עבור n = k, נובע שנוסחה (14) תקפה עבור n = k + 1 .

לכן, הנוסחה (14), עבור נגזרת מסדר n, תקפה עבור כל n.

נגזרות מסדרים גבוהים יותר של הלוגריתם לבסיס א

כדי למצוא את הנגזרת מסדר n של לוגריתם לבסיס a, עליך לבטא אותה במונחים של הלוגריתם הטבעי:
.
תוך שימוש בנוסחה (14), נמצא את הנגזרת ה-n:
.

ראה גם:

פעולת מציאת הנגזרת נקראת בידול.

כתוצאה מפתרון בעיות של מציאת נגזרות של הפונקציות הכי פשוטות (ולא פשוטות) על ידי הגדרת הנגזרת כגבול היחס בין התוספת לתוספת הטיעון, הופיעה טבלת נגזרות וכללי בידול מוגדרים במדויק. . הראשונים שעבדו בתחום מציאת נגזרות היו אייזק ניוטון (1643-1727) וגוטפריד וילהלם לייבניץ (1646-1716).

לכן, בזמננו, כדי למצוא את הנגזרת של פונקציה כלשהי, אין צורך לחשב את הגבול הנ"ל של היחס בין תוספת הפונקציה לתוספת של הארגומנט, אלא רק צריך להשתמש בטבלה של נגזרות וכללי הבידול. האלגוריתם הבא מתאים למציאת הנגזרת.

כדי למצוא את הנגזרת, אתה צריך ביטוי מתחת לסימן ראשוני לפרק פונקציות פשוטות לרכיביםולקבוע אילו פעולות (מוצר, סכום, מנה)פונקציות אלו קשורות. לאחר מכן נמצא את הנגזרות של פונקציות אלמנטריות בטבלת הנגזרות, ואת הנוסחאות לנגזרות המכפלה, הסכום והמנה - בכללי ההבחנה. טבלה של נגזרות וכללי בידול ניתנת לאחר שתי הדוגמאות הראשונות.

דוגמה 1.מצא את הנגזרת של פונקציה

פִּתָרוֹן. מכללי ההבחנה אנו מגלים שהנגזרת של סכום פונקציות היא סכום הנגזרות של פונקציות, כלומר.

מטבלת הנגזרות אנו מגלים שהנגזרת של "x" שווה לאחד, והנגזרת של סינוס שווה לקוסינוס. אנו מחליפים את הערכים הללו בסכום הנגזרות ומוצאים את הנגזרת הנדרשת ממצב הבעיה:

דוגמה 2.מצא את הנגזרת של פונקציה

פִּתָרוֹן. אנו מבדילים כנגזרת של סכום שבו למונח השני יש גורם קבוע ניתן להוציא אותו מהסימן של הנגזרת:

אם בכל זאת עולות שאלות מהיכן מגיע משהו, הן בדרך כלל מתבהרות לאחר היכרות עם טבלת הנגזרות וכללי ההבחנה הפשוטים ביותר. אנחנו ממשיכים אליהם עכשיו.

טבלת נגזרות של פונקציות פשוטות

1. נגזרת של קבוע (מספר). כל מספר (1, 2, 5, 200...) שנמצא בביטוי הפונקציה. תמיד שווה לאפס. זה מאוד חשוב לזכור, שכן זה נדרש לעתים קרובות מאוד
2. נגזרת של המשתנה הבלתי תלוי. לרוב "X". תמיד שווה לאחד. זה גם חשוב לזכור לאורך זמן
3. נגזרת של תואר. בעת פתרון בעיות, אתה צריך להמיר שורשים לא מרובעים לכוחות.
4. נגזרת של משתנה בחזקת -1
5. נגזרת של שורש ריבועי
6. נגזרת של סינוס
7. נגזרת של קוסינוס
8. נגזרת של טנגנס
9. נגזרת של קוטנגנט
10. נגזרת של ארקסין
11. נגזרת של arc cosinus
12. נגזרת של arctangent
13. נגזרת של arc cotangent
14. נגזרת של הלוגריתם הטבעי
15. נגזרת של פונקציה לוגריתמית
16. נגזרת של המעריך
17. נגזרת של פונקציה מעריכית

כללי בידול

1. נגזרת של סכום או הפרש
2. נגזרת של המוצר
2א. נגזרת של ביטוי כפול גורם קבוע
3. נגזרת של המנה
4. נגזרת של פונקציה מורכבת

חוק מספר 1.אם הפונקציות

ניתנות להבדלה בשלב מסוים, ואז הפונקציות ניתנות להבדלה באותה נקודה

ו

הָהֵן. הנגזרת של סכום אלגברי של פונקציות שווה לסכום האלגברי של הנגזרות של פונקציות אלו.

תוֹצָאָה. אם שתי פונקציות הניתנות להבדלה נבדלות במונח קבוע, אז הנגזרות שלהן שוות, כלומר

כלל 2.אם הפונקציות

ניתנים להבדלה בשלב מסוים, ואז המוצר שלהם ניתן להבדיל באותה נקודה

ו

הָהֵן. הנגזרת של מכפלת שתי פונקציות שווה לסכום המכפלה של כל אחת מהפונקציות הללו ולנגזרת של האחרת.

מסקנה 1. ניתן להוציא את הגורם הקבוע מהסימן של הנגזרת:

מסקנה 2. הנגזרת של המכפלה של מספר פונקציות הניתנות להבדלה שווה לסכום מכפלות הנגזרת של כל גורם ושל כל האחרים.

לדוגמה, עבור שלושה מכפילים:

כלל 3.אם הפונקציות

ניתן להבדיל בשלב מסוים ו , אז בשלב זה המנה שלהם ניתנת להפרדהu/v , ו

הָהֵן. הנגזרת של המנה של שתי פונקציות שווה לשבר, שהמונה שלה הוא ההפרש בין מכפלת המכנה לנגזרת המונה והמונה והנגזרת של המכנה, והמכנה הוא הריבוע של המונה לשעבר.

איפה לחפש דברים בדפים אחרים

כשמוצאים את הנגזרת של מוצר ומנה בבעיות אמיתיות, תמיד יש צורך להחיל כמה כללי בידול בבת אחת, ולכן יש דוגמאות נוספות על נגזרות אלו במאמר"נגזרת של המוצר ומנת הפונקציות".

תגובה.אין לבלבל בין קבוע (כלומר מספר) כאיבר בסכום וכגורם קבוע! במקרה של איבר, הנגזרת שלו שווה לאפס, ובמקרה של גורם קבוע מוציאים אותו מהסימן של הנגזרות. זוהי טעות אופיינית שמתרחשת בשלב הראשוני של לימוד נגזרות, אך מכיוון שתלמיד ממוצע פותר מספר דוגמאות חד ושני חלקים, הוא כבר לא עושה את הטעות הזו.

ואם, כאשר מבדילים מוצר או מנה, יש לך מונח u"v, שבה u- מספר, למשל, 2 או 5, כלומר קבוע, אז הנגזרת של מספר זה תהיה שווה לאפס, ולכן, האיבר כולו יהיה שווה לאפס (מקרה זה נדון בדוגמה 10).

טעות נפוצה נוספת היא פתרון מכאני של הנגזרת של פונקציה מורכבת כנגזרת של פונקציה פשוטה. בגלל זה נגזרת של פונקציה מורכבתמוקדש מאמר נפרד. אבל קודם נלמד למצוא נגזרות של פונקציות פשוטות.

לאורך הדרך, אתה לא יכול לעשות בלי לשנות ביטויים. לשם כך, ייתכן שיהיה עליך לפתוח את המדריך בחלונות חדשים. פעולות עם כוחות ושורשיםו פעולות עם שברים .

אם אתם מחפשים פתרונות לנגזרות של שברים עם חזקות ושורשים, כלומר כשהפונקציה נראית כך , לאחר מכן עקוב אחר השיעור "נגזרת של סכומים של שברים עם חזקה ושורשים."

אם יש לך משימה כמו , אז תלמד את השיעור "נגזרות של פונקציות טריגונומטריות פשוטות".

דוגמאות שלב אחר שלב - איך למצוא את הנגזרת

דוגמה 3.מצא את הנגזרת של פונקציה

פִּתָרוֹן. אנו מגדירים את חלקי ביטוי הפונקציה: הביטוי כולו מייצג מכפלה, והגורמים שלו הם סכומים, שבשני שבהם אחד המונחים מכיל גורם קבוע. אנו מיישמים את כלל בידול המכפלה: הנגזרת של המכפלה של שתי פונקציות שווה לסכום המכפלה של כל אחת מהפונקציות הללו על ידי הנגזרת של האחרת:

לאחר מכן, אנו מיישמים את כלל ההבחנה של הסכום: הנגזרת של הסכום האלגברי של פונקציות שווה לסכום האלגברי של הנגזרות של פונקציות אלו. במקרה שלנו, בכל סכום למונח השני יש סימן מינוס. בכל סכום אנו רואים גם משתנה בלתי תלוי, שהנגזרת שלו שווה לאחד, וגם קבוע (מספר) שהנגזרת שלו שווה לאפס. אז, "X" הופך לאחד, ומינוס 5 הופך לאפס. בביטוי השני, "x" מוכפל ב-2, אז נכפיל שניים באותה יחידה כמו הנגזרת של "x". אנו מקבלים את הערכים הבאים של נגזרים:

אנו מחליפים את הנגזרות שנמצאו בסכום התוצרים ומקבלים את הנגזרת של כל הפונקציה הנדרשת ממצב הבעיה:

ואתה יכול לבדוק את הפתרון לבעיה הנגזרת על.

דוגמה 4.מצא את הנגזרת של פונקציה

פִּתָרוֹן. אנו נדרשים למצוא את הנגזרת של המנה. אנו מיישמים את הנוסחה להבחנה בין המנה: הנגזרת של המנה של שתי פונקציות שווה לשבר, שהמונה שלה הוא ההפרש בין מכפלת המכנה לבין הנגזרת של המונה והמונה והנגזרת של המונה. מכנה, והמכנה הוא הריבוע של המונה הקודם. אנחנו מקבלים:

כבר מצאנו את הנגזרת של הגורמים במונה בדוגמה 2. אל לנו גם לשכוח שהמכפלה, שהוא הגורם השני במונה בדוגמה הנוכחית, נלקחת בסימן מינוס:

אם אתם מחפשים פתרונות לבעיות שבהן צריך למצוא את הנגזרת של פונקציה, שבהן יש ערימה רציפה של שורשים וכוחות, כמו למשל, , אז ברוכים הבאים לכיתה "נגזרת של סכומים של שברים בעלי חזקה ושורשים" .

אם אתה צריך ללמוד יותר על הנגזרות של סינוסים, קוסינוסים, טאנג'ים ופונקציות טריגונומטריות אחרות, כלומר, כאשר הפונקציה נראית כמו , אז שיעור בשבילך "נגזרות של פונקציות טריגונומטריות פשוטות" .

דוגמה 5.מצא את הנגזרת של פונקציה

פִּתָרוֹן. בפונקציה זו אנו רואים מכפלה, שאחד הגורמים שלו הוא השורש הריבועי של המשתנה הבלתי תלוי, שאת הנגזרת שלו הכרנו בטבלת הנגזרות. באמצעות הכלל להבחנה בין המכפלה והערך הטבלאי של הנגזרת של השורש הריבועי, נקבל:

אתה יכול לבדוק את הפתרון לבעיה הנגזרת בכתובת מחשבון נגזרים מקוון .

דוגמה 6.מצא את הנגזרת של פונקציה

פִּתָרוֹן. בפונקציה זו אנו רואים מנה שהדיבידנד שלה הוא השורש הריבועי של המשתנה הבלתי תלוי. באמצעות כלל הדיפרנציאציה של מנות, עליו חזרנו ויישמנו בדוגמה 4, ובערך הטבלה של הנגזרת של השורש הריבועי, נקבל:

כדי להיפטר משבר במונה, הכפל את המונה והמכנה ב-.

קל מאוד לזכור.

ובכן, בוא לא נלך רחוק, הבה נשקול מיד את הפונקציה ההפוכה. איזו פונקציה היא היפוך של הפונקציה המעריכית? לוֹגָרִיתְם:

במקרה שלנו, הבסיס הוא המספר:

לוגריתם כזה (כלומר לוגריתם עם בסיס) נקרא "טבעי", ואנחנו משתמשים עבורו בסימון מיוחד: אנו כותבים במקום זאת.

למה זה שווה? כמובן, .

גם הנגזרת של הלוגריתם הטבעי היא פשוטה מאוד:

דוגמאות:

1. מצא את הנגזרת של הפונקציה.
2. מהי הנגזרת של הפונקציה?

תשובות: הלוגריתם האקספוננציאלי והטבעי הם פונקציות פשוטות באופן ייחודי מנקודת מבט נגזרת. לפונקציות אקספוננציאליות ולוגריתמיות עם כל בסיס אחר תהיה נגזרת שונה, אותה ננתח בהמשך, לאחר שנעבור על כללי הבידול.

כללי בידול

חוקים של מה? שוב קדנציה חדשה, שוב?!...

בידולהוא תהליך מציאת הנגזרת.

זה הכל. איך עוד אפשר לקרוא לתהליך הזה במילה אחת? לא נגזרת... מתמטיקאים קוראים להפרש אותה תוספת של פונקציה ב. המונח הזה מגיע מהדיפרנציה הלטינית - הבדל. כאן.

כאשר נגזר את כל הכללים הללו, נשתמש בשתי פונקציות, למשל, ו. נזדקק גם לנוסחאות עבור המרווחים שלהם:

יש 5 כללים בסך הכל.

הקבוע נלקח מהסימן הנגזרת.

אם - מספר קבוע כלשהו (קבוע), אז.

ברור שהכלל הזה עובד גם על ההבדל: .

בואו נוכיח את זה. תן לזה להיות, או יותר פשוט.

דוגמאות.

מצא את הנגזרות של הפונקציות:

1. בשלב מסוים;
2. בשלב מסוים;
3. בשלב מסוים;
4. בנקודה.

פתרונות:

1. (הנגזרת זהה בכל הנקודות, מכיוון שהיא פונקציה לינארית, זוכרים?);

נגזרת של המוצר

הכל דומה כאן: בואו נציג פונקציה חדשה ונמצא את התוספת שלה:

נגזר:

דוגמאות:

1. מצא את הנגזרות של הפונקציות ו;
2. מצא את הנגזרת של הפונקציה בנקודה.

פתרונות:

נגזרת של פונקציה אקספוננציאלית

עכשיו הידע שלך מספיק כדי ללמוד איך למצוא את הנגזרת של כל פונקציה מעריכית, ולא רק מעריכי (כבר שכחת מה זה?).

אז איפה מספר כלשהו.

אנחנו כבר יודעים את הנגזרת של הפונקציה, אז בואו ננסה לצמצם את הפונקציה שלנו לבסיס חדש:

לשם כך, נשתמש בכלל פשוט: . לאחר מכן:

ובכן, זה עבד. כעת נסו למצוא את הנגזרת, ואל תשכחו שהפונקציה הזו מורכבת.

קרה?

הנה, בדוק את עצמך:

הנוסחה התבררה כדומה מאוד לנגזרת של מעריך: כפי שהייתה, היא נשארת זהה, רק גורם הופיע, שהוא רק מספר, אבל לא משתנה.

דוגמאות:
מצא את הנגזרות של הפונקציות:

תשובות:

זהו רק מספר שלא ניתן לחישוב ללא מחשבון, כלומר, לא ניתן לרשום אותו בצורה פשוטה יותר. לכן, אנו משאירים זאת בצורה זו בתשובה.

שימו לב שהנה המנה של שתי פונקציות, לכן אנו מיישמים את כלל ההבחנה המתאים:

בדוגמה זו, המכפלה של שתי פונקציות:

נגזרת של פונקציה לוגריתמית

זה דומה כאן: אתה כבר מכיר את הנגזרת של הלוגריתם הטבעי:

לכן, כדי למצוא לוגריתם שרירותי עם בסיס שונה, למשל:

אנחנו צריכים לצמצם את הלוגריתם הזה לבסיס. איך משנים את הבסיס של לוגריתם? אני מקווה שאתה זוכר את הנוסחה הזו:

רק עכשיו נכתוב במקום:

המכנה הוא פשוט קבוע (מספר קבוע, ללא משתנה). הנגזרת מתקבלת בפשטות רבה:

נגזרות של פונקציות אקספוננציאליות ולוגריתמיות כמעט ואינן נמצאות בבחינת המדינה המאוחדת, אבל לא יהיה מיותר לדעת אותן.

נגזרת של פונקציה מורכבת.

מהי "פונקציה מורכבת"? לא, זה לא לוגריתם, ולא ארקטנגנט. פונקציות אלו עשויות להיות קשות להבנה (אם כי אם הלוגריתם קשה לך, קרא את הנושא "לוגריתמים" ותהיה בסדר), אבל מנקודת מבט מתמטית, המילה "מורכבת" אין פירושה "קשה".

דמיינו לעצמכם מסוע קטן: שני אנשים יושבים ועושים כמה פעולות עם כמה חפצים. לדוגמה, הראשון עוטף חפיסת שוקולד בעטיפה, והשני קושר אותו בסרט. התוצאה היא חפץ מורכב: חפיסת שוקולד עטופה וקשורה בסרט. כדי לאכול חפיסת שוקולד, אתה צריך לעשות את השלבים ההפוך בסדר הפוך.

בואו ניצור צינור מתמטי דומה: תחילה נמצא את הקוסינוס של מספר, ולאחר מכן בריבוע את המספר המתקבל. אז נותנים לנו מספר (שוקולד), אני מוצא את הקוסינוס שלו (העטיפה), ואז מעבירים את מה שקיבלתי (קושרים אותו בסרט). מה קרה? פוּנקצִיָה. זוהי דוגמה לפונקציה מורכבת: כאשר, כדי למצוא את הערך שלה, אנו מבצעים את הפעולה הראשונה ישירות עם המשתנה, ולאחר מכן פעולה שנייה עם מה שנבע מהראשון.

במילים אחרות, פונקציה מורכבת היא פונקציה שהארגומנט שלה הוא פונקציה אחרת: .

לדוגמא שלנו, .

אנחנו יכולים בקלות לעשות את אותם השלבים בסדר הפוך: תחילה אתה ריבוע אותו, ואז אני מחפש את הקוסינוס של המספר המתקבל: . קל לנחש שהתוצאה כמעט תמיד תהיה שונה. תכונה חשובה של פונקציות מורכבות: כאשר סדר הפעולות משתנה, הפונקציה משתנה.

דוגמה שנייה: (אותו דבר). .

הפעולה שנעשה אחרונה תיקרא פונקציה "חיצונית"., והפעולה שבוצעה תחילה - בהתאם פונקציה "פנימית".(אלה שמות לא רשמיים, אני משתמש בהם רק כדי להסביר את החומר בשפה פשוטה).

נסה לקבוע בעצמך איזו פונקציה חיצונית ואיזו פנימית:

תשובות:הפרדת פונקציות פנימיות וחיצוניות דומה מאוד לשינוי משתנים: למשל בפונקציה

1. איזו פעולה נבצע קודם? ראשית, בוא נחשב את הסינוס, ורק אז נרכיב אותו בקובייה. זה אומר שזו פונקציה פנימית, אבל חיצונית.
   והפונקציה המקורית היא ההרכב שלהם:.
2. פנימי: ; חיצוני: .
   בחינה: .
3. פנימי: ; חיצוני: .
   בחינה: .
4. פנימי: ; חיצוני: .
   בחינה: .
5. פנימי: ; חיצוני: .
   בחינה: .

אנו משנים משתנים ומקבלים פונקציה.

ובכן, כעת נחלץ את חפיסת השוקולד שלנו ונחפש את הנגזרת. ההליך תמיד הפוך: תחילה נחפש את הנגזרת של הפונקציה החיצונית, ואז נכפיל את התוצאה בנגזרת של הפונקציה הפנימית. ביחס לדוגמא המקורית, זה נראה כך:

דוגמה אחרת:

אז, בואו סוף סוף ננסח את הכלל הרשמי:

אלגוריתם למציאת הנגזרת של פונקציה מורכבת:

זה נראה פשוט, נכון?

בואו נבדוק עם דוגמאות:

פתרונות:

1) פנימי: ;

חיצוני: ;

2) פנימי: ;

(רק אל תנסה לחתוך את זה עד עכשיו! שום דבר לא יוצא מתחת לקוסינוס, זוכר?)

3) פנימי: ;

חיצוני: ;

ברור מיד שמדובר בפונקציה מורכבת בת שלוש רמות: הרי זו כבר פונקציה מורכבת בפני עצמה, וגם ממנה שואבים את השורש, כלומר מבצעים את הפעולה השלישית (שמים את השוקולד בעטיפה ועם סרט בתיק). אבל אין סיבה לפחד: אנחנו עדיין "נפרק" את הפונקציה הזו באותו סדר כרגיל: מהסוף.

כלומר, קודם נבדיל את השורש, אחר כך את הקוסינוס, ורק אחר כך את הביטוי בסוגריים. ואז אנחנו מכפילים את הכל.

במקרים כאלה, נוח למספר את הפעולות. כלומר, בואו נדמיין את מה שאנחנו יודעים. באיזה סדר נבצע פעולות לחישוב ערכו של ביטוי זה? בואו נסתכל על דוגמה:

ככל שהפעולה תתבצע מאוחר יותר, כך הפונקציה המתאימה תהיה "חיצונית" יותר. רצף הפעולות זהה לקודם:

כאן הקינון הוא בדרך כלל 4 מפלסים. בואו נקבע את דרך הפעולה.

1. ביטוי רדיקלי. .

2. שורש. .

3. סינוס. .

4. ריבוע. .

5. חיבור הכל ביחד:

נגזר. בקצרה על הדברים העיקריים

נגזרת של פונקציה- היחס בין התוספת של הפונקציה לעלייה של הארגומנט עבור תוספת אינסופית של הארגומנט:

נגזרות בסיסיות:

כללי בידול:

הקבוע נלקח מתוך סימן הנגזרת:

נגזרת של הסכום:

נגזרת של המוצר:

נגזרת של המנה:

נגזרת של פונקציה מורכבת:

אלגוריתם למציאת הנגזרת של פונקציה מורכבת:

1. אנו מגדירים את הפונקציה "הפנימית" ומוצאים את הנגזרת שלה.
2. אנו מגדירים את הפונקציה "חיצונית" ומוצאים את הנגזרת שלה.
3. נכפיל את התוצאות של הנקודה הראשונה והשנייה.

האם אתה מרגיש שיש עוד הרבה זמן לפני הבחינה? זה חודש? שתיים? שָׁנָה? התרגול מראה שתלמיד מתמודד בצורה הטובה ביותר עם בחינה אם הוא מתחיל להתכונן אליה מראש. יש הרבה משימות קשות בבחינת המדינה המאוחדת שעומדות בדרכם של תלמידי בית ספר ומועמדים עתידיים לציון הגבוה ביותר. אתה צריך ללמוד להתגבר על המכשולים האלה, וחוץ מזה, זה לא קשה לעשות. אתה צריך להבין את העיקרון של עבודה עם משימות שונות מכרטיסים. אז לא יהיו בעיות עם החדשים.

לוגריתמים במבט ראשון נראים מורכבים להפליא, אבל עם ניתוח מפורט המצב הופך להרבה יותר פשוט. אם אתה רוצה לעבור את הבחינה המאוחדת עם הציון הגבוה ביותר, אתה צריך להבין את הרעיון המדובר, וזה מה שאנו מציעים לעשות במאמר זה.

ראשית, הבה נפריד בין ההגדרות הללו. מהו לוגריתם (לוג)? זהו אינדיקטור של ההספק שאליו יש להעלות את הבסיס כדי לקבל את המספר שצוין. אם זה לא ברור, בואו נסתכל על דוגמה בסיסית.

במקרה זה, יש להעלות את הבסיס בתחתית לחזקה השנייה כדי לקבל את המספר 4.

עכשיו בואו נסתכל על הרעיון השני. הנגזרת של פונקציה בכל צורה היא מושג המאפיין את השינוי של פונקציה בנקודה נתונה. עם זאת, מדובר בתכנית לימודים בית ספרית, ואם יש לכם בעיות עם מושגים אלו בנפרד, כדאי לחזור על הנושא.

נגזרת של לוגריתם

במטלות הבחינה המאוחדת בנושא זה, תוכל לתת מספר משימות כדוגמה. מלכתחילה, הנגזרת הלוגריתמית הפשוטה ביותר. יש צורך למצוא את הנגזרת של הפונקציה הבאה.

אנחנו צריכים למצוא את הנגזרת הבאה

יש נוסחה מיוחדת.

במקרה זה x=u, log3x=v. אנו מחליפים את הערכים מהפונקציה שלנו בנוסחה.

הנגזרת של x תהיה שווה לאחד. הלוגריתם קצת יותר קשה. אבל אתה תבין את העיקרון אם פשוט תחליף את הערכים. נזכיר שהנגזרת של lg x היא הנגזרת של הלוגריתם העשרוני, והנגזרת של ln x היא הנגזרת של הלוגריתם הטבעי (על בסיס e).

כעת פשוט חבר את הערכים המתקבלים לנוסחה. נסה זאת בעצמך, ואז נבדוק את התשובה.

מה יכולה להיות הבעיה כאן עבור חלק? הצגנו את המושג לוגריתם טבעי. בואו נדבר על זה, ובמקביל להבין איך לפתור בעיות עם זה. לא תראה שום דבר מסובך, במיוחד כשתבין את עיקרון הפעולה שלו. כדאי להתרגל לזה, מכיוון שהוא משמש לעתים קרובות במתמטיקה (עוד יותר במוסדות להשכלה גבוהה).

נגזרת של הלוגריתם הטבעי

בליבה, היא הנגזרת של הלוגריתם לבסיס e (שהוא מספר אי רציונלי שהוא בערך 2.7). למעשה, ln הוא פשוט מאוד, ולכן הוא משמש לעתים קרובות במתמטיקה באופן כללי. למעשה, גם לפתור את הבעיה איתו לא תהיה בעיה. כדאי לזכור שהנגזרת של הלוגריתם הטבעי לבסיס e תהיה שווה לאחד חלקי x. הפתרון לדוגמא הבאה יהיה החושפני ביותר.

בואו נדמיין את זה כפונקציה מורכבת המורכבת משני פשוטים.

מספיק להמיר

אנו מחפשים את הנגזרת של u ביחס ל-x

נמשיך עם השני

אנו משתמשים בשיטה לפתרון הנגזרת של פונקציה מורכבת על ידי החלפת u=nx.

מה קרה בסוף?

עכשיו בואו נזכור מה המשמעות של n בדוגמה זו? זהו כל מספר שיכול להופיע מול x בלוגריתם הטבעי. חשוב שתבינו שהתשובה לא תלויה בה. החלף מה שתרצה, התשובה עדיין תהיה 1/x.

כפי שאתה יכול לראות, אין כאן שום דבר מסובך, אתה רק צריך להבין את העיקרון כדי לפתור במהירות וביעילות בעיות בנושא זה. עכשיו אתה מכיר את התיאוריה, כל מה שאתה צריך לעשות זה ליישם אותה. תרגל פתרון בעיות כדי לזכור את עיקרון הפתרון שלהן לאורך זמן. אולי לא תזדקק לידע הזה לאחר סיום הלימודים בבית הספר, אבל בבחינה הוא יהיה רלוונטי מתמיד. בהצלחה לך!