פרסום בפורטל

מהו הערך הגדול ביותר של פונקציה. כיצד למצוא את הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה במרווח

בפועל, די נפוץ להשתמש בנגזרת על מנת לחשב את הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה. אנו מבצעים פעולה זו כאשר אנו מבינים כיצד למזער עלויות, להגדיל רווחים, לחשב את העומס האופטימלי על הייצור וכו', כלומר במקרים בהם אנו צריכים לקבוע את הערך האופטימלי של פרמטר. כדי לפתור בעיות כאלה בצורה נכונה, אתה צריך להבין טוב מה הם הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה.

Yandex.RTB R-A-339285-1

בדרך כלל אנו מגדירים את הערכים הללו בתוך מרווח מסוים x, אשר בתורו עשוי להתאים לכל התחום של הפונקציה או לחלק ממנה. זה יכול להיות כמו קטע [א; b ] , ומרווח פתוח (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), מרווח אינסופי (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) או מרווח אינסופי - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞ ), (- ∞ ; + ∞) .

בחומר זה נספר לכם כיצד לחשב את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה מוגדרת במפורש עם משתנה אחד y=f(x) y = f (x) .

הגדרות בסיסיות

נתחיל, כמו תמיד, בניסוח הגדרות בסיסיות.

הגדרה 1

הערך הגדול ביותר של הפונקציה y = f (x) במרווח מסוים x הוא הערך m a x y = f (x 0) x ∈ X, אשר עבור כל ערך x x ∈ X, x ≠ x 0 הופך את אי השוויון f (x) ≤ f (x) חוקי 0) .

הגדרה 2

הערך הקטן ביותר של הפונקציה y = f (x) במרווח מסוים x הוא הערך m i n x ∈ X y = f (x 0) , אשר עבור כל ערך x ∈ X, x ≠ x 0 הופך את אי השוויון f(X f (x) ≥ f (x 0) .

ההגדרות הללו ברורות למדי. אפילו יותר פשוט, אנו יכולים לומר זאת: הערך הגדול ביותר של פונקציה הוא הערך הגדול ביותר שלה במרווח ידוע ב-abscissa x 0, והקטן הוא הערך הקטן ביותר המקובל באותו מרווח ב-x 0.

הגדרה 3

נקודות נייחות הן הערכים של הארגומנט של פונקציה שבה הנגזרת שלה הופכת ל-0.

למה אנחנו צריכים לדעת מהן נקודות נייחות? כדי לענות על שאלה זו, עלינו לזכור את משפט פרמה. מכאן נובע שנקודה נייחת היא הנקודה שבה נמצא הקיצון של הפונקציה הניתנת להבדלה (כלומר, המינימום או המקסימום המקומי שלה). כתוצאה מכך, הפונקציה תיקח את הערך הקטן ביותר או הגדול ביותר במרווח מסוים בדיוק באחת הנקודות הנייחות.

פונקציה יכולה לקבל גם את הערך הגדול או הקטן ביותר באותן נקודות שבהן הפונקציה עצמה מוגדרת והנגזרת הראשונה שלה לא קיימת.

השאלה הראשונה שעולה בעת לימוד נושא זה: בכל המקרים נוכל לקבוע את הערך הגדול או הקטן ביותר של פונקציה במרווח נתון? לא, איננו יכולים לעשות זאת כאשר הגבולות של מרווח נתון עולים בקנה אחד עם גבולות אזור ההגדרה, או אם עסקינן במרווח אינסופי. קורה גם שפונקציה בקטע נתון או באינסוף תקבל ערכים קטנים עד אינסוף או גדולים עד אינסוף. במקרים אלו, לא ניתן לקבוע את הערך הגדול ביותר ו/או הקטן ביותר.

נקודות אלה יתבהרו לאחר שתוארו על הגרפים:

האיור הראשון מראה לנו פונקציה שלוקחת את הערכים הגדולים והקטנים ביותר (m a x y ו-m i n y) בנקודות נייחות הממוקמות על הקטע [-6 ; 6].

הבה נבחן בפירוט את המקרה המצוין בגרף השני. הבה נשנה את ערך הקטע ל-[1; 6 ] ואנו מוצאים שהערך המקסימלי של הפונקציה יושג בנקודה עם האבססיס בגבול הימני של המרווח, והמינימום - בנקודה הנייחת.

באיור השלישי, האבססיס של הנקודות מייצגות את נקודות הגבול של הקטע [-3; 2]. הם תואמים את הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה נתונה.

עכשיו בואו נסתכל על התמונה הרביעית. בו, הפונקציה לוקחת את m a x y (הערך הגדול ביותר) ואת m i n y (הערך הקטן ביותר) בנקודות נייחות במרווח הפתוח (- 6; 6).

אם ניקח את המרווח [1; 6), אז נוכל לומר שהערך הקטן ביותר של הפונקציה עליו יושג בנקודה נייחת. הערך הגדול ביותר לא יהיה ידוע לנו. הפונקציה יכולה לקחת את הערך המרבי שלה ב-x שווה ל-6 אם x = 6 שייך למרווח. זה בדיוק המקרה שמוצג בגרף 5.

בגרף 6, פונקציה זו מקבלת את הערך הקטן ביותר שלה בגבול הימני של המרווח (- 3; 2 ], ולא נוכל להסיק מסקנות ברורות לגבי הערך הגדול ביותר.

באיור 7 אנו רואים שלפונקציה תהיה m a x y בנקודה נייחת בעלת אבשיסה השווה ל-1. הפונקציה תגיע לערך המינימלי שלה בגבול המרווח c צד ימין. במינוס אינסוף, ערכי הפונקציה יתקרבו באופן אסימפטוטי ל-y = 3.

אם ניקח את המרווח x ∈ 2; + ∞ , אז נראה שהפונקציה הנתונה לא תיקח לא את הערך הקטן ביותר ולא את הערך הגדול ביותר עליה. אם x שואף ל-2, אז ערכי הפונקציה ישוו למינוס אינסוף, מכיוון שהקו הישר x = 2 הוא אסימפטוטה אנכית. אם האבשסיס נוטה לפלוס אינסוף, אז ערכי הפונקציה יתקרבו באופן אסימפטוטי ל-y = 3. זה בדיוק המקרה שמוצג באיור 8.

בפסקה זו נציג את רצף הפעולות שצריך לבצע כדי למצוא את הערך הגדול או הקטן ביותר של פונקציה על קטע מסוים.

  1. ראשית, הבה נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. הבה נבדוק האם הקטע שצוין בתנאי נכלל בו.
  2. כעת נחשב את הנקודות הכלולות בקטע זה שבהן לא קיימת הנגזרת הראשונה. לרוב ניתן למצוא אותם בפונקציות שהארגומנט שלהן כתוב תחת סימן המודולוס, או בפונקציות חזקות שהמעריך שלהן הוא מספר רציונלי שבריר.
  3. לאחר מכן, נגלה אילו נקודות נייחות יפלו בקטע הנתון. לשם כך, עליך לחשב את הנגזרת של הפונקציה, לאחר מכן להשוות אותה ל-0 ולפתור את המשוואה המתקבלת, ולאחר מכן לבחור את השורשים המתאימים. אם לא נקבל נקודה נייחת אחת או שהם לא נופלים לקטע הנתון, אז נמשיך לשלב הבא.
  4. אנו קובעים אילו ערכים תיקח הפונקציה בנקודות נייחות נתונות (אם יש), או באותן נקודות שבהן הנגזרת הראשונה לא קיימת (אם יש כאלה), או שאנו מחשבים את הערכים עבור x = a ו x = b.
  5. 5. יש לנו מספר ערכי פונקציה, שמהם עלינו לבחור כעת את הגדול והקטן ביותר. אלו יהיו הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה שאנו צריכים למצוא.

בואו נראה כיצד ליישם נכון את האלגוריתם הזה בעת פתרון בעיות.

דוגמה 1

מַצָב:ניתנת הפונקציה y = x 3 + 4 x 2. קבע את הערכים הגדולים והקטנים ביותר שלו על המקטעים [1; 4] ו-[-4; - 1 ] .

פִּתָרוֹן:

נתחיל במציאת תחום ההגדרה של פונקציה נתונה. במקרה זה, זה יהיה קבוצת כל המספרים הממשיים מלבד 0. במילים אחרות, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . שני הקטעים המצוינים בתנאי יהיו בתוך אזור ההגדרה.

כעת אנו מחשבים את הנגזרת של הפונקציה לפי כלל ההבחנה בין השברים:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2" x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

למדנו שהנגזרת של פונקציה תתקיים בכל נקודות הקטעים [1; 4] ו-[-4; - 1 ] .

כעת עלינו לקבוע את הנקודות הנייחות של הפונקציה. בוא נעשה זאת באמצעות המשוואה x 3 - 8 x 3 = 0. יש לו רק שורש אמיתי אחד, שהוא 2. היא תהיה נקודה נייחת של הפונקציה ותיפול לקטע הראשון [1; 4] .

הבה נחשב את ערכי הפונקציה בקצות הקטע הראשון ובנקודה זו, כלומר. עבור x = 1, x = 2 ו-x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

מצאנו שהערך הגדול ביותר של הפונקציה m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 יושג ב-x = 1, וה-m i n y x ∈ [ 1 הקטן ביותר; 4 ] = y (2) = 3 – ב-x = 2.

הקטע השני אינו כולל נקודה נייחת אחת, ולכן עלינו לחשב את ערכי הפונקציה רק ​​בקצות הקטע הנתון:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

זה אומר ש-m a x y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

תשובה:עבור הקטע [1; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , עבור הקטע [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m i n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

לראות תמונה:


לפני לימוד שיטה זו, אנו ממליצים לך לסקור כיצד לחשב נכון את הגבול החד-צדדי ואת הגבול באינסוף, כמו גם ללמוד את השיטות הבסיסיות למציאתם. כדי למצוא את הערך הגדול ביותר ו/או הקטן ביותר של פונקציה במרווח פתוח או אינסופי, בצע את השלבים הבאים ברצף.

  1. ראשית, עליך לבדוק אם המרווח הנתון יהיה תת-קבוצה של התחום של הפונקציה הנתונה.
  2. הבה נקבע את כל הנקודות הכלולות במרווח הנדרש ובהן הנגזרת הראשונה אינה קיימת. הם מתרחשים בדרך כלל עבור פונקציות שבהן הארגומנט מוקף בסימן המודולוס, ועבור פונקציות חזקות עם מעריך רציונלי שבריר. אם נקודות אלו חסרות, תוכל להמשיך לשלב הבא.
  3. עכשיו בואו נקבע אילו נקודות נייחות ייפלו בתוך המרווח הנתון. ראשית, נשווה את הנגזרת ל-0, נפתור את המשוואה ונבחר שורשים מתאימים. אם אין לנו נקודה נייחת אחת או שהם לא נופלים במרווח שצוין, נמשיך מיד לפעולות נוספות. הם נקבעים לפי סוג המרווח.
  • אם המרווח הוא בצורת [ a ; ב) , אז עלינו לחשב את ערך הפונקציה בנקודה x = a ואת הגבול החד-צדדי lim x → b - 0 f (x) .
  • אם למרווח יש את הצורה (a; b ], אז עלינו לחשב את ערך הפונקציה בנקודה x = b ואת הגבול החד-צדדי lim x → a + 0 f (x).
  • אם למרווח יש את הצורה (a; b), אז אנחנו צריכים לחשב את הגבולות החד-צדדיים lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
  • אם המרווח הוא בצורת [ a ; + ∞), אז עלינו לחשב את הערך בנקודה x = a ואת הגבול בתוספת אינסוף lim x → + ∞ f (x) .
  • אם המרווח נראה כמו (- ∞ ; b ] , נחשב את הערך בנקודה x = b ואת הגבול במינוס אינסוף lim x → - ∞ f (x) .
  • אם - ∞ ; b , אז נשקול את הגבול החד-צדדי lim x → b - 0 f (x) ואת הגבול במינוס אינסוף lim x → - ∞ f (x)
  • אם - ∞; + ∞ , אז נשקול את המגבלות על מינוס ופלוס אינסוף lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .
  1. בסוף, אתה צריך להסיק מסקנה על סמך ערכי הפונקציה והגבולות שהתקבלו. יש הרבה אפשרויות זמינות כאן. אז אם הגבול החד-צדדי שווה למינוס אינסוף או פלוס אינסוף, אז ברור מיד שאי אפשר לומר דבר על הערכים הקטנים והגדולים ביותר של הפונקציה. להלן נסתכל על דוגמה טיפוסית אחת. תיאורים מפורטים יעזרו לך להבין מה זה מה. במידת הצורך, ניתן לחזור לתמונות 4 - 8 בחלק הראשון של החומר.
דוגמה 2

מצב: פונקציה נתונה y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . חשב את ערכו הגדול והקטן ביותר במרווחים - ∞; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ) , [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞, [4; + ∞).

פִּתָרוֹן

קודם כל, נמצא את תחום ההגדרה של הפונקציה. המכנה של השבר מכיל טרינום ריבועי, שלא אמור להסתובב ל-0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

קיבלנו את תחום ההגדרה של הפונקציה אליה שייכים כל המרווחים המצוינים בתנאי.

עכשיו בואו נבדיל את הפונקציה ונקבל:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 אינץ' · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 אינץ' (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

כתוצאה מכך, נגזרות של פונקציה קיימות בכל תחום ההגדרה שלה.

נעבור למציאת נקודות נייחות. הנגזרת של הפונקציה הופכת ל-0 ב-x = -1 2. זוהי נקודה נייחת השוכנת במרווחים (- 3 ; 1 ] ו- (- 3 ; 2) .

הבה נחשב את ערך הפונקציה ב-x = - 4 עבור המרווח (- ∞ ; - 4 ], וכן את הגבול במינוס אינסוף:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

מאז 3 e 1 6 - 4 > - 1, זה אומר ש m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. זה לא מאפשר לנו לקבוע באופן ייחודי את הערך הקטן ביותר של פונקציה אנו יכולים רק להסיק שיש מגבלה מתחת - 1, מכיוון שלערך זה הפונקציה מתקרבת בצורה אסימפטוטית במינוס אינסוף.

הייחודיות של המרווח השני היא שאין בה נקודה נייחת אחת ואף לא גבול קפדני אחד. כתוצאה מכך, לא נוכל לחשב את הערך הגדול ביותר או הקטן ביותר של הפונקציה. לאחר שהגדרנו את הגבול במינוס אינסוף וכשהטיעון נוטה ל-3 בצד שמאל, נקבל רק מרווח של ערכים:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

משמעות הדבר היא שערכי הפונקציה יהיו ממוקמים במרווח - 1; +∞

כדי למצוא את הערך הגדול ביותר של הפונקציה במרווח השלישי, אנו קובעים את ערכה בנקודה הנייחת x = - 1 2 אם x = 1. נצטרך גם לדעת את הגבול החד-צדדי למקרה כאשר הטיעון נוטה ל-3 בצד ימין:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

התברר שהפונקציה תיקח את הערך הגדול ביותר בנקודה נייחת m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. לגבי הערך הקטן ביותר, אנחנו לא יכולים לקבוע אותו. כל מה שאנחנו יודעים , הוא נוכחות של גבול תחתון ל-4.

עבור המרווח (- 3 ; 2), קח את תוצאות החישוב הקודם וחשב שוב למה שווה הגבול החד-צדדי כאשר נוטים ל-2 בצד שמאל:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

זה אומר שm a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, ולא ניתן לקבוע את הערך הקטן ביותר, וערכי הפונקציה מוגבלים מלמטה במספר - 4 .

בהתבסס על מה שקיבלנו בשני החישובים הקודמים, נוכל לומר שעל המרווח [ 1 ; 2) הפונקציה תקבל את הערך הגדול ביותר ב-x = 1, אבל אי אפשר למצוא את הקטן ביותר.

במרווח (2 ; + ∞) הפונקציה לא תגיע לא לערך הגדול או הקטן ביותר, כלומר. זה ייקח ערכים מהמרווח - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

לאחר שחישבנו למה יהיה שווה הערך של הפונקציה ב-x = 4, נגלה כי m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , והפונקציה הנתונה בתוספת אינסוף תתקרב בצורה אסימפטוטית לישר y = - 1 .

נשווה את מה שקיבלנו בכל חישוב עם הגרף של הפונקציה הנתונה. באיור, האסימפטוטות מוצגות בקווים מקווקוים.

זה כל מה שרצינו לספר לכם על מציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה. רצפי הפעולות שנתנו יעזרו לכם לבצע את החישובים הדרושים במהירות ובפשטות האפשרית. אבל זכור שלעתים קרובות כדאי לברר תחילה באילו מרווחים הפונקציה תפחת ובאילו היא תגדל, ולאחר מכן תוכל להסיק מסקנות נוספות. כך תוכלו לקבוע בצורה מדויקת יותר את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה ולהצדיק את התוצאות שהתקבלו.

אם אתה מבחין בשגיאה בטקסט, אנא סמן אותה והקש Ctrl+Enter


הצהרת בעיה 2:

נתונה פונקציה מוגדרת ורציפה במרווח מסוים. עליך למצוא את הערך הגדול (הקטן ביותר) של הפונקציה במרווח זה.

בסיס תיאורטי.
משפט (משפט ויירשטראס השני):

אם פונקציה מוגדרת ורציפה במרווח סגור, אז היא מגיעה לערכים המקסימליים והמינימליים שלה במרווח זה.

הפונקציה יכולה להגיע לערכים הגדולים והקטנים ביותר שלה בנקודות הפנימיות של המרווח או בגבולותיה. בואו נמחיש את כל האפשרויות האפשריות.

הֶסבֵּר:
1) הפונקציה מגיעה לערך הגדול ביותר שלה בגבול השמאלי של המרווח בנקודה, ולערך המינימלי שלה בגבול הימני של המרווח בנקודה .
2) הפונקציה מגיעה לערך הגדול ביותר שלה בנקודה (זוהי נקודת המקסימום), ולערך המינימלי שלה בגבול הימני של המרווח בנקודה.
3) הפונקציה מגיעה לערך המקסימלי שלה בגבול השמאלי של המרווח בנקודה, ולערך המינימלי שלה בנקודה (זוהי נקודת המינימום).
4) הפונקציה קבועה על המרווח, כלומר. הוא מגיע לערכי המינימום והמקסימום שלו בכל נקודה במרווח, והערכים המינימליים והמקסימליים שווים זה לזה.
5) הפונקציה מגיעה לערך הגדול ביותר שלה בנקודה , ולערך המינימלי שלה בנקודה (למרות שלפונקציה יש גם מקסימום וגם מינימום במרווח זה).
6) הפונקציה מגיעה לערך הגדול ביותר שלה בנקודה (זו נקודת המקסימום), ולערך המינימלי שלה בנקודה (זו נקודת המינימום).
תגובה:

"מקסימום" ו"ערך מקסימלי" הם דברים שונים. הדבר נובע מהגדרת המקסימום ומההבנה האינטואיטיבית של הביטוי "ערך מקסימלי".

אלגוריתם לפתרון בעיה 2.



4) בחר את הגדול (הקטן ביותר) מבין הערכים שהתקבלו ורשום את התשובה.

דוגמה 4:

קבע את הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה על הקטע.
פִּתָרוֹן:
1) מצא את הנגזרת של הפונקציה.

2) מצא נקודות נייחות (ונקודות החשודות בקיצוניות) על ידי פתרון המשוואה. שימו לב לנקודות שבהן אין נגזרת סופית דו-צדדית.

3) חשב את ערכי הפונקציה בנקודות נייחות ובגבולות המרווח.



4) בחר את הגדול (הקטן ביותר) מבין הערכים שהתקבלו ורשום את התשובה.

הפונקציה בקטע זה מגיעה לערך הגדול ביותר שלה בנקודה עם קואורדינטות.

הפונקציה בקטע זה מגיעה לערך המינימלי שלה בנקודה עם קואורדינטות.

אתה יכול לאמת את נכונות החישובים על ידי התבוננות בגרף של הפונקציה הנבדקת.


תגובה:הפונקציה מגיעה לערכה הגדול ביותר בנקודת המקסימום, ולמינימום שלה בגבול הקטע.

מקרה מיוחד.

נניח שאתה צריך למצוא את הערכים המקסימליים והמינימליים של פונקציה כלשהי בקטע. לאחר השלמת הנקודה הראשונה של האלגוריתם, כלומר. בחישוב הנגזרת, מתברר כי, למשל, הוא לוקח רק ערכים שליליים לאורך כל המרווח הנדון. זכור שאם הנגזרת שלילית, אז הפונקציה יורדת. מצאנו שהפונקציה פוחתת על פני כל הקטע. מצב זה מוצג בגרף מס' 1 בתחילת המאמר.

הפונקציה יורדת על הקטע, כלומר. אין לו נקודות קיצון. מהתמונה ניתן לראות שהפונקציה תיקח את הערך הקטן ביותר בגבול הימני של הקטע, ואת הערך הגדול ביותר משמאל. אם הנגזרת על הקטע חיובית בכל מקום, אז הפונקציה גדלה. הערך הקטן ביותר נמצא בגבול השמאלי של הקטע, הגדול ביותר נמצא בצד ימין.

עם השירות הזה אתה יכול למצוא את הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציהמשתנה אחד f(x) עם הפתרון מעוצב ב-Word. אם ניתנת הפונקציה f(x,y), לכן, יש צורך למצוא את הקיצון של הפונקציה של שני משתנים. אתה יכול גם למצוא את המרווחים של הגדלה והקטנה של פונקציות.

מצא את הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה

y=

על הקטע [ ;]

כלול תיאוריה

כללים להזנת פונקציות:

תנאי הכרחי לקצה הקיצוני של פונקציה של משתנה אחד

המשוואה f" 0 (x *) = 0 היא תנאי הכרחי לקיצון של פונקציה של משתנה אחד, כלומר בנקודה x * הנגזרת הראשונה של הפונקציה חייבת להיעלם. היא מזהה נקודות נייחות x c שבהן הפונקציה לא נעלמת להגדיל או להקטין.

תנאי מספיק לקצה הקיצוני של פונקציה של משתנה אחד

תן f 0 (x) להיות ניתנים להבדלה פעמיים ביחס ל-x השייך לקבוצה D. אם בנקודה x * מתקיים התנאי:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

ואז נקודה x * היא נקודת המינימום המקומית (גלובלית) של הפונקציה.

אם בנקודה x * מתקיים התנאי:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

ואז נקודה x * היא מקסימום מקומי (גלובלי).

דוגמה מס' 1. מצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה: על הקטע.
פִּתָרוֹן.

הנקודה הקריטית היא אחד x 1 = 2 (f'(x)=0). נקודה זו שייכת לקטע. (הנקודה x=0 אינה קריטית, שכן 0∉).
אנו מחשבים את ערכי הפונקציה בקצות הקטע ובנקודה הקריטית.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
תשובה: f min = 5 / 2 ב-x=2; f max =9 ב-x=1

דוגמה מס' 2. בעזרת נגזרות מסדר גבוה, מצא את הקיצון של הפונקציה y=x-2sin(x) .
פִּתָרוֹן.
מצא את הנגזרת של הפונקציה: y'=1-2cos(x) . בואו נמצא את הנקודות הקריטיות: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. נמצא y''=2sin(x), חשב , כלומר x= π / 3 +2πk, k∈Z הן נקודות המינימום של הפונקציה; , כלומר x=- π / 3 +2πk, k∈Z הן הנקודות המקסימליות של הפונקציה.

דוגמה מס' 3. חקור את פונקציית הקיצון בקרבת הנקודה x=0.
פִּתָרוֹן. כאן יש צורך למצוא את הקיצוניות של הפונקציה. אם הקיצון x=0, גלה את סוגו (מינימום או מקסימום). אם בין הנקודות שנמצאו אין x = 0, חשב את הערך של הפונקציה f(x=0).
יש לציין שכאשר הנגזרת בכל צד של נקודה נתונה אינה משנה את הסימן שלה, המצבים האפשריים אינם מוצים אפילו עבור פונקציות הניתנות להבדלה: יכול לקרות שעבור שכונה קטנה באופן שרירותי בצד אחד של הנקודה x 0 או משני הצדדים הנגזרת משנה סימן. בנקודות אלה יש צורך להשתמש בשיטות אחרות כדי ללמוד פונקציות בקיצוניות.

תן לפונקציה $z=f(x,y)$ להיות מוגדרת ורציפה באיזה תחום סגור מוגבל $D$. תן לפונקציה הנתונה באזור זה נגזרות חלקיות סופיות מהסדר הראשון (למעט, אולי, מספר סופי של נקודות). כדי למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה של שני משתנים באזור סגור נתון, נדרשים שלושה שלבים של אלגוריתם פשוט.

אלגוריתם למציאת הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה $z=f(x,y)$ בתחום סגור $D$.

  1. מצא נקודות קריטיות של הפונקציה $z=f(x,y)$ השייכות לתחום $D$. חשב את ערכי הפונקציה בנקודות קריטיות.
  2. חקור את התנהגות הפונקציה $z=f(x,y)$ על גבול האזור $D$, מצא את הנקודות של ערכי מקסימום ומינימום אפשריים. חשב את ערכי הפונקציה בנקודות שהושגו.
  3. מתוך ערכי הפונקציה שהושגו בשתי הפסקאות הקודמות, בחר את הגדול והקטן ביותר.

מהן נקודות קריטיות? הצג הסתר

תַחַת נקודות קריטיותמרמזים על נקודות שבהן שתי הנגזרות החלקיות מסדר ראשון שוות לאפס (כלומר $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ ו-$\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) או שלפחות נגזרת חלקית אחת לא קיימת.

לעתים קרובות נקראות הנקודות שבהן נגזרות חלקיות מסדר ראשון שוות לאפס נקודות נייחות. לפיכך, נקודות נייחות הן תת-קבוצה של נקודות קריטיות.

דוגמה מס' 1

מצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה $z=x^2+2xy-y^2-4x$ באזור סגור תחום על ידי השורות $x=3$, $y=0$ ו-$y=x +1$.

נלך לפי האמור לעיל, אך תחילה נעסוק בשרטוט של שטח נתון, אותו נסמן באות $D$. ניתן לנו משוואות של שלושה קווים ישרים המגבילים את השטח הזה. הישר $x=3$ עובר דרך הנקודה $(3;0)$ במקביל לציר הסמין (ציר Oy). הקו הישר $y=0$ הוא משוואת ציר האבשיסה (ציר שוורי). ובכן, כדי לבנות את הקו $y=x+1$, נמצא שתי נקודות שדרכן נצייר את הקו הזה. אתה יכול, כמובן, להחליף כמה ערכים שרירותיים במקום $x$. לדוגמה, החלפת $x=10$, נקבל: $y=x+1=10+1=11$. מצאנו את הנקודה $(10;11)$ מונחת על הקו $y=x+1$. עם זאת, עדיף למצוא את הנקודות שבהן הישר $y=x+1$ חוצה את הקווים $x=3$ ו-$y=0$. למה זה יותר טוב? כי נהרוג כמה ציפורים במכה אחת: נקבל שתי נקודות לבנות את הישר $y=x+1$ ובו זמנית לגלות באילו נקודות קו ישר זה חוצה קווים אחרים המגבילים את השטח הנתון. הישר $y=x+1$ חותך את הישר $x=3$ בנקודה $(3;4)$, והקו $y=0$ חותך בנקודה $(-1;0)$. כדי לא לבלבל את התקדמות הפתרון בהסברי עזר, אעלה את שאלת השגת שתי הנקודות הללו בהערה.

כיצד הושגו הנקודות $(3;4)$ ו-$(-1;0)$? הצג הסתר

נתחיל מנקודת החיתוך של הקווים $y=x+1$ ו-$x=3$. הקואורדינטות של הנקודה הרצויה שייכות הן לישר הראשון והשני, לכן, כדי למצוא את הקואורדינטות הלא ידועות, עליך לפתור את מערכת המשוואות:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & x=3. \end(aligned) \right. $$

הפתרון למערכת כזו הוא טריוויאלי: החלפת $x=3$ במשוואה הראשונה תהיה לנו: $y=3+1=4$. הנקודה $(3;4)$ היא נקודת החיתוך הרצויה של הקווים $y=x+1$ ו-$x=3$.

כעת נמצא את נקודת החיתוך של הקווים $y=x+1$ ו-$y=0$. הבה נחבר שוב ונפתור את מערכת המשוואות:

$$ \left \( \begin(aligned) & y=x+1;\\ & y=0. \end(aligned) \right. $$

החלפת $y=0$ במשוואה הראשונה, נקבל: $0=x+1$, $x=-1$. הנקודה $(-1;0)$ היא נקודת החיתוך הרצויה של הקווים $y=x+1$ ו-$y=0$ (ציר x).

הכל מוכן לבניית ציור שייראה כך:

השאלה של הפתק נראית ברורה, כי הכל נראה בתמונה. עם זאת, כדאי לזכור שציור אינו יכול לשמש ראיה. השרטוט הוא להמחשה בלבד.

האזור שלנו הוגדר באמצעות משוואות קו ישר שקושרו אותו. ברור שהקווים האלה מגדירים משולש, נכון? או שזה לא לגמרי ברור? או אולי ניתן לנו אזור אחר, תחום באותם קווים:

כמובן שהתנאי אומר שהאזור סגור ולכן התמונה המוצגת שגויה. אבל כדי למנוע אי בהירות כאלה, עדיף להגדיר אזורים לפי אי-שוויון. האם אנו מעוניינים בחלק של המטוס שנמצא מתחת לקו הישר $y=x+1$? אוקיי, אז $y ≤ x+1$. האם האזור שלנו צריך להיות ממוקם מעל הקו $y=0$? נהדר, זה אומר $y ≥ 0$. אגב, אפשר בקלות לשלב את שני אי השוויון האחרונים לאחד: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

אי השוויון הללו מגדירים את האזור $D$, והם מגדירים אותו באופן חד משמעי, מבלי לאפשר אי בהירות. אבל איך זה עוזר לנו בשאלה שנאמרה בתחילת ההערה? זה גם יעזור :) אנחנו צריכים לבדוק האם הנקודה $M_1(1;1)$ שייכת לאזור $D$. הבה נחליף את $x=1$ ו-$y=1$ במערכת אי השוויון המגדירה אזור זה. אם שני אי השוויון מסופקים, אז הנקודה נמצאת בתוך האזור. אם לפחות אחד מאי השוויון אינו מסופק, אז הנקודה אינה שייכת לאזור. כך:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(מיושר) \right $$.

שני אי השוויון תקפים. הנקודה $M_1(1;1)$ שייכת לאזור $D$.

כעת הגיע התור ללמוד את התנהגות הפונקציה בגבול האזור, כלומר. בוא נלך ל . נתחיל מהקו הישר $y=0$.

הקו הישר $y=0$ (ציר אבשיסה) מגביל את האזור $D$ בתנאי $-1 ≤ x ≤ 3$. בואו נחליף את $y=0$ בפונקציה הנתונה $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. נסמן את הפונקציה של משתנה אחד $x$ המתקבל כתוצאה מהחלפה בתור $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

כעת עבור הפונקציה $f_1(x)$ עלינו למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר במרווח $-1 ≤ x ≤ 3$. בוא נמצא את הנגזרת של הפונקציה הזו ונשווה אותה לאפס:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

הערך $x=2$ שייך לקטע $-1 ≤ x ≤ 3$, לכן נוסיף לרשימת הנקודות גם $M_2(2;0)$. בנוסף, הבה נחשב את ערכי הפונקציה $z$ בקצות הקטע $-1 ≤ x ≤ 3$, כלומר. בנקודות $M_3(-1;0)$ ו-$M_4(3;0)$. אגב, אם הנקודה $M_2$ לא הייתה שייכת לקטע הנבדק, אז כמובן, לא יהיה צורך לחשב את הערך של הפונקציה $z$ בה.

אז בואו נחשב את ערכי הפונקציה $z$ בנקודות $M_2$, $M_3$, $M_4$. אתה יכול, כמובן, להחליף את הקואורדינטות של נקודות אלה בביטוי המקורי $z=x^2+2xy-y^2-4x$. לדוגמה, עבור נקודה $M_2$ נקבל:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

עם זאת, ניתן לפשט מעט את החישובים. לשם כך, כדאי לזכור שבקטע $M_3M_4$ יש לנו $z(x,y)=f_1(x)$. אני אכתוב את זה בפירוט:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \end(מיושר)

כמובן שבדרך כלל אין צורך ברשומות מפורטות כאלה, ובעתיד נכתוב את כל החישובים בקצרה:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

כעת נפנה לקו הישר $x=3$. קו ישר זה מגביל את האזור $D$ בתנאי $0 ≤ y ≤ 4$. בואו נחליף את $x=3$ בפונקציה הנתונה $z$. כתוצאה מהחלפה זו אנו מקבלים את הפונקציה $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

עבור הפונקציה $f_2(y)$ עלינו למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר במרווח $0 ≤ y ≤ 4$. בוא נמצא את הנגזרת של הפונקציה הזו ונשווה אותה לאפס:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

הערך $y=3$ שייך לקטע $0 ≤ y ≤ 4$, לכן נוסיף גם $M_5(3;3)$ לנקודות שנמצאו קודם לכן. בנוסף, יש צורך לחשב את הערך של הפונקציה $z$ בנקודות שבקצות הקטע $0 ≤ y ≤ 4$, כלומר. בנקודות $M_4(3;0)$ ו-$M_6(3;4)$. בנקודה $M_4(3;0)$ כבר חישבנו את הערך של $z$. הבה נחשב את הערך של הפונקציה $z$ בנקודות $M_5$ ו-$M_6$. הרשה לי להזכיר לך שבקטע $M_4M_6$ יש לנו $z(x,y)=f_2(y)$, לכן:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \end(מיושר)

ולבסוף, שקול את הגבול האחרון של האזור $D$, כלומר. קו ישר $y=x+1$. קו ישר זה מגביל את האזור $D$ בתנאי $-1 ≤ x ≤ 3$. החלפת $y=x+1$ בפונקציה $z$, יהיה לנו:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

שוב יש לנו פונקציה של משתנה אחד $x$. ושוב עלינו למצוא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של פונקציה זו במרווח $-1 ≤ x ≤ 3$. בוא נמצא את הנגזרת של הפונקציה $f_(3)(x)$ ונשווה אותה לאפס:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

הערך $x=1$ שייך למרווח $-1 ≤ x ≤ 3$. אם $x=1$, אז $y=x+1=2$. בואו נוסיף $M_7(1;2)$ לרשימת הנקודות ונגלה מה הערך של הפונקציה $z$ בשלב זה. נקודות בקצות הקטע $-1 ≤ x ≤ 3$, כלומר. נקודות $M_3(-1;0)$ ו-$M_6(3;4)$ נחשבו קודם לכן, כבר מצאנו בהן את הערך של הפונקציה.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

השלב השני של הפתרון הושלם. קיבלנו שבעה ערכים:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

בואו נפנה ל. בחירת הערכים הגדולים והקטנים ביותר מבין המספרים שהתקבלו בפסקה השלישית, יהיו לנו:

$$z_(דקה)=-4; \; z_(max)=6.$$

הבעיה נפתרה, כל שנותר הוא לרשום את התשובה.

תשובה: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

דוגמה מס' 2

מצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה $z=x^2+y^2-12x+16y$ באזור $x^2+y^2 ≤ 25$.

ראשית, בואו נבנה ציור. המשוואה $x^2+y^2=25$ (זהו קו הגבול של אזור נתון) מגדירה מעגל עם מרכז במקור (כלומר בנקודה $(0;0)$) ורדיוס של 5. אי השוויון $x^2 +y^2 ≤ $25 מספק את כל הנקודות בתוך ועל המעגל המוזכר.

נפעל בהתאם. בואו נמצא נגזרות חלקיות ונברר את הנקודות הקריטיות.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

אין נקודות שבהן הנגזרות החלקיות שנמצאו אינן קיימות. הבה נגלה באילו נקודות שתי הנגזרות החלקיות שוות בו זמנית לאפס, כלומר. בואו נמצא נקודות נייחות.

$$ \left \( \begin(aligned) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8 \end(מיושר) \right $$.

השגנו נקודה נייחת $(6;-8)$. עם זאת, הנקודה שנמצאה אינה שייכת לאזור $D$. קל להראות זאת מבלי להזדקק לציור. בוא נבדוק האם אי השוויון $x^2+y^2 ≤ 25$ מתקיים, מה שמגדיר את האזור שלנו $D$. אם $x=6$, $y=-8$, אז $x^2+y^2=36+64=100$, כלומר. אי השוויון $x^2+y^2 ≤ 25$ אינו מתקיים. מסקנה: נקודה $(6;-8)$ לא שייכת לאזור $D$.

לכן, אין נקודות קריטיות באזור $D$. בואו נעבור ל... אנחנו צריכים ללמוד את ההתנהגות של פונקציה על הגבול של אזור נתון, כלומר. על המעגל $x^2+y^2=25$. אנחנו יכולים, כמובן, לבטא $y$ במונחים של $x$, ואז להחליף את הביטוי שנוצר בפונקציה שלנו $z$. ממשוואת המעגל נקבל: $y=\sqrt(25-x^2)$ או $y=-\sqrt(25-x^2)$. אם תחליף, למשל, $y=\sqrt(25-x^2)$ בפונקציה הנתונה, יהיה לנו:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

הפתרון הנוסף יהיה זהה לחלוטין לחקר התנהגות הפונקציה בגבול האזור בדוגמה הקודמת מס' 1. עם זאת, נראה לי הגיוני יותר ליישם את שיטת לגראנז' במצב זה. נתעניין רק בחלק הראשון של שיטה זו. לאחר יישום החלק הראשון של שיטת לגראנז', נקבל נקודות בהן נבחן את הפונקציה $z$ עבור ערכי מינימום ומקסימום.

אנו מרכיבים את פונקציית לגראנז':

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

אנו מוצאים את הנגזרות החלקיות של פונקציית לגראנז' ומרכיבים את מערכת המשוואות המתאימה:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (מיושר) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \left \( \begin(aligned) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( aligned)\right.$ $

כדי לפתור את המערכת הזו, נציין מיד ש-$\lambda\neq -1$. למה $\lambda\neq -1$? בוא ננסה להחליף את $\lambda=-1$ במשוואה הראשונה:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

הסתירה המתקבלת $0=6$ מצביעה על כך שהערך $\lambda=-1$ אינו קביל. פלט: $\lambda\neq -1$. בואו נביע את $x$ ו-$y$ במונחים של $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \end(מיושר)

אני מאמין שמתברר כאן מדוע קבענו במפורש את התנאי $\lambda\neq -1$. זה נעשה כדי להתאים את הביטוי $1+\lambda$ למכנים ללא הפרעה. כלומר, כדי להיות בטוח שהמכנה $1+\lambda\neq 0$.

הבה נחליף את הביטויים המתקבלים עבור $x$ ו-$y$ במשוואה השלישית של המערכת, כלומר. ב-$x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

מהשוויון המתקבל עולה ש$1+\lambda=2$ או $1+\lambda=-2$. מכאן שיש לנו שני ערכים של הפרמטר $\lambda$, כלומר: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. בהתאם, נקבל שני זוגות של ערכים $x$ ו-$y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \end(מיושר)

אז, השגנו שתי נקודות של קיצון מותנה אפשרי, כלומר. $M_1(3;-4)$ ו-$M_2(-3;4)$. בואו נמצא את ערכי הפונקציה $z$ בנקודות $M_1$ ו-$M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \end(מיושר)

עלינו לבחור את הערכים הגדולים והקטנים ביותר מאלה שהשגנו בשלב הראשון והשני. אבל במקרה הזה הבחירה קטנה :) יש לנו:

$$ z_(דקה)=-75; \; z_(max)=125. $$

תשובה: $z_(min)=-75; \; z_(max)=$125.

מהו קיצון של פונקציה ומהו התנאי ההכרחי לקיצון?

הקצה הקיצוני של פונקציה הוא המקסימום והמינימום של הפונקציה.

התנאי ההכרחי למקסימום ולמינימום (קיצוני) של פונקציה הוא הבא: אם לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה x = a, אז בנקודה זו הנגזרת היא אפס, או אינסופית, או שיש לא קיים.

תנאי זה הכרחי, אך אינו מספיק. הנגזרת בנקודה x = a יכולה להגיע לאפס, לאינסוף או לא להתקיים מבלי שלפונקציה יש נקודת קיצון בנקודה זו.

מהו תנאי מספיק לקצה הקיצוני של פונקציה (מקסימום או מינימום)?

תנאי ראשון:

אם, בסמיכות מספקת לנקודה x = a, הנגזרת f?(x) חיובית משמאל ל-a ושלילי מימין ל-a, אזי בנקודה x = a יש לפונקציה f(x) מַקסִימוּם

אם, בסמיכות מספקת לנקודה x = a, הנגזרת f?(x) שלילית משמאל ל-a וחיובית מימין ל-a, אזי בנקודה x = a יש לפונקציה f(x) מִינִימוּםבתנאי שהפונקציה f(x) כאן היא רציפה.

במקום זאת, אתה יכול להשתמש בתנאי השני מספיק עבור הקצה הקיצוני של פונקציה:

תן בנקודה x = a הנגזרת הראשונה f?(x) תיעלם; אם הנגזרת השנייה f??(a) שלילית, אז לפונקציה f(x) יש מקסימום בנקודה x = a, אם היא חיובית, אז יש לה מינימום.

מהי הנקודה הקריטית של פונקציה וכיצד למצוא אותה?

זהו הערך של ארגומנט הפונקציה שבו לפונקציה יש קיצון (כלומר מקסימום או מינימום). כדי למצוא אותו אתה צריך למצוא את הנגזרתהפונקציה f?(x) ושווה אותה לאפס, פתור את המשוואה f?(x) = 0. השורשים של המשוואה הזו, כמו גם הנקודות שבהן לא קיימת הנגזרת של פונקציה זו, הם נקודות קריטיות, כלומר ערכים של הארגומנט שבהם יכול להיות נקודת קיצון. ניתן לזהות אותם בקלות על ידי התבוננות גרף נגזרת: אנו מתעניינים באותם ערכים של הארגומנט שבהם גרף הפונקציה חוצה את ציר האבססיס (ציר שוורי) ובאלה שבהם הגרף סובל מחוסר המשכיות.

למשל, בואו נמצא קיצון של פרבולה.

הפונקציה y(x) = 3x2 + 2x - 50.

נגזרת של הפונקציה: y?(x) = 6x + 2

פתרו את המשוואה: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

במקרה זה, הנקודה הקריטית היא x0=-1/3. עם ערך הארגומנט הזה יש לפונקציה קיצוני. לו למצוא, החלף את המספר שנמצא בביטוי בפונקציה במקום "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

כיצד לקבוע את המקסימום והמינימום של פונקציה, כלומר. הערכים הגדולים והקטנים ביותר שלו?

אם הסימן של הנגזרת במעבר דרך הנקודה הקריטית x0 משתנה מ"פלוס" ל"מינוס", אז x0 הוא נקודת מקסימום; אם הסימן של הנגזרת משתנה ממינוס לפלוס, אז x0 הוא נקודת מינימום; אם הסימן לא משתנה, אז בנקודה x0 אין לא מקסימום ולא מינימום.

לדוגמא שנחשבת:

אנו לוקחים ערך שרירותי של הארגומנט משמאל לנקודה הקריטית: x = -1

ב-x = -1, הערך של הנגזרת יהיה y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (כלומר הסימן הוא "מינוס").

כעת ניקח ערך שרירותי של הארגומנט מימין לנקודה הקריטית: x = 1

ב-x = 1, הערך של הנגזרת יהיה y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (כלומר הסימן הוא "פלוס").

כפי שאתה יכול לראות, הנגזרת שינתה את הסימן ממינוס לפלוס במעבר בנקודה הקריטית. זה אומר שבערך הקריטי x0 יש לנו נקודת מינימום.

הערך הגדול והקטן ביותר של פונקציה על המרווח(על קטע) נמצאות תוך שימוש באותו הליך, רק תוך התחשבות בעובדה שאולי לא כל הנקודות הקריטיות יהיו בתוך המרווח שצוין. נקודות קריטיות שנמצאות מחוץ למרווח חייבות להיכלל בשיקול. אם יש רק נקודה קריטית אחת בתוך המרווח, יהיה לה מקסימום או מינימום. במקרה זה, כדי לקבוע את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה, אנו לוקחים בחשבון גם את ערכי הפונקציה בקצות המרווח.

לדוגמה, בואו נמצא את הערכים הגדולים והקטנים ביותר של הפונקציה

y(x) = 3sin(x) - 0.5x

במרווחים:

אז, הנגזרת של הפונקציה היא

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

נפתור את המשוואה 3cos(x) - 0.5 = 0

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±arccos(0.16667) + 2πk.

אנו מוצאים נקודות קריטיות במרווח [-9; 9]:

x = arccos(0.16667) - 2π*2 = -11.163 (לא כלול במרווח)

x = -arccos(0.16667) - 2π*1 = -7.687

x = arccos(0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -arccos(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = arccos(0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -arccos(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = arccos(0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (לא כלול במרווח)

אנו מוצאים את ערכי הפונקציה בערכים קריטיים של הארגומנט:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

ניתן לראות שבמרווח [-9; 9] לפונקציה יש את הערך הגדול ביותר ב-x = -4.88:

x = -4.88, y = 5.398,

והקטן ביותר - ב-x = 4.88:

x = 4.88, y = -5.398.

על המרווח [-6; -3] יש לנו רק נקודה קריטית אחת: x = -4.88. הערך של הפונקציה ב-x = -4.88 שווה ל-y = 5.398.

מצא את הערך של הפונקציה בקצות המרווח:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

על המרווח [-6; -3] יש לנו את הערך הגדול ביותר של הפונקציה

y = 5.398 ב-x = -4.88

הערך הקטן ביותר -

y = 1.077 ב-x = -3

כיצד למצוא את נקודות הפיתול של גרף פונקציות ולקבוע את הצלעות הקמורות והקעורות?

כדי למצוא את כל נקודות הפיתול של הישר y = f(x), אתה צריך למצוא את הנגזרת השנייה, לשוות אותה לאפס (לפתור את המשוואה) ולבדוק את כל הערכים של x שעבורם הנגזרת השנייה היא אפס, אינסופי או לא קיים. אם, כאשר עוברים דרך אחד מהערכים הללו, הנגזרת השנייה משנה סימן, אז לגרף של הפונקציה יש הטיה בנקודה זו. אם זה לא משתנה, אז אין עיקול.

שורשי המשוואה f? (x) = 0, כמו גם נקודות אי-רציפות אפשריות של הפונקציה והנגזרת השנייה, מחלקים את תחום ההגדרה של הפונקציה למספר מרווחים. הקמורות בכל אחד מהמרווחים שלהם נקבעת לפי הסימן של הנגזרת השנייה. אם הנגזרת השנייה בנקודה במרווח הנבדק היא חיובית, אז הישר y = f(x) קעור כלפי מעלה, ואם שלילי, אז כלפי מטה.

איך מוצאים את הקיצוניות של פונקציה של שני משתנים?

כדי למצוא את הקיצוניות של הפונקציה f(x,y), הניתנת להבדלה בתחום המפרט שלה, אתה צריך:

1) למצוא את הנקודות הקריטיות, ולשם כך - לפתור את מערכת המשוואות

fх? (x,y) = 0, fу? (x,y) = 0

2) עבור כל נקודה קריטית P0(a;b) בדוק אם סימן ההפרש נשאר ללא שינוי

עבור כל הנקודות (x;y) קרוב מספיק ל-P0. אם ההפרש נשאר חיובי, אז בנקודה P0 יש לנו מינימום, אם שלילי, אז יש לנו מקסימום. אם ההפרש לא שומר על הסימן שלו, אז אין קיצון בנקודה P0.

הקיצוניות של פונקציה נקבעת באופן דומה עבור מספר גדול יותר של ארגומנטים.



אילו משקאות קלים מוגזים מנקים משטחים?
יש דעה שהמשקה הקל המוגז קוקה קולה יכול להמיס בשר. אבל, למרבה הצער, אין הוכחה ישירה לכך. להיפך, ישנן עובדות חיוביות המאשרות שבשר שנותר במשקה קוקה קולה למשך יומיים משתנה במאפייני הצרכן ואינו נעלם לשום מקום.


ניתן לראות פריסות של דירות סטנדרטיות, תיאורים ותצלומים של בתים באתרי האינטרנט: - www.kvadroom.ru/planirovki - www.prime-realty.ru/tip/tip.htm - goodgoods.ru/pages/1093353787.html - www.cnko

כיצד לטפל בנוירוזה
נוירוזה (Novolat. neurosis, מגיעה מיוונית עתיקה νε?ρον - עצב; מילים נרדפות - פסיכונוירוזה, הפרעה נוירוטית) - בקליניקה: שם כולל לקבוצת הפרעות פסיכוגניות הפיכות תפקודיות הנוטות להימשך.

מה זה אפליון
אפוסנטר היא הנקודה במסלול שבה גוף המסתובב במסלול אליפטי סביב גוף אחר מגיע למרחק המקסימלי שלו מזה האחרון. באותה נקודה, לפי החוק השני של קפלר, מהירות התנועה במסלול נעשית מינימלית. האפוסנטר ממוקם בנקודה הפוכה לפריאפסיס. במקרים מיוחדים נהוג להשתמש במונחים מיוחדים:

מה זה ממון
ממון (m.r.), mammon (f.r.) - מילה שמקורה ביוונית. mammonas ומשמעות עושר, אוצרות ארציים, ברכות. בין כמה עמים פגאניים עתיקים, הוא היה אל העושר והרווח. מוזכר בכתבי הקודש על ידי האוונגליסטים מתי ולוקס: "אף אחד לא יכול לשרת שני אדונים: כי או שהוא ישנא את זה ואת זה."

מתי חג הפסחא האורתודוקסי בשנת 2049?
בשנת 2015, חג הפסחא האורתודוקסי יהיה ב-12 באפריל, וחג הפסחא הקתולי יהיה ב-5 באפריל. לוחות השנה של הכנסייה נותנים את התאריכים של חג הפסחא האורתודוקסי לפי הלוח היוליאני (סגנון ישן), בעוד שהפסחא הקתולי מחושב לפי הלוח הגרגוריאני המודרני (סגנון חדש), כך שהשוואת התאריכים דורשת מאמץ נפשי מסוים

מה זה רובל
רובל הוא שמם של המטבעות המודרניים של רוסיה, בלארוס (רובל בלארוס), טרנסניסטריה (רובל טרנסניסטרי). הרובל הרוסי משמש גם בדרום אוסטיה ובאבחזיה. בעבר - היחידה המוניטרית של הרפובליקות והנסיכות הרוסיות, הדוכסות הגדולה של מוסקבה, הצאר הרוסית, הדוכסות הגדולה של ליטא, האימפריה הרוסית ועוד.

כמה זמן היה אריאל שרון בתרדמת?
אריאל אריק שרון (שיינרמן) - איש צבא, מדיני ומדינאי ישראלי, ראש ממשלת ישראל בשנים 2001-2006. תאריך לידה: 26 בפברואר 1928 מקום לידה: התנחלות כפר מל"ל ליד כפר סבא, ישראל תאריך פטירה: 11 בינואר 2014 מקום פטירה: רמת גן, גוש דן, עז

מי היו הניאנדרטלים
ניאנדרתלי, אדם ניאנדרתלי (lat. Homo neanderthalensis או Homo sapiens neanderthalensis) הוא מין מאובן של אנשים שחיו לפני 300-24 אלף שנה. מקור השם מאמינים כי הגולגולת הניאנדרטלי נמצאה לראשונה בשנת 1856

בן כמה ג'פרי ראש
ג'פרי ראש הוא שחקן קולנוע ובמה אוסטרלי. זוכה אוסקר (1997), BAFTA (1996, 1999), גלובוס הזהב (1997, 2005). הסרטים המפורסמים ביותר בהשתתפותו הם "Shine".

כיצד לקבוע את מרווחי הקמורות והקיעור של גרף פונקציות
מהו קיצון של פונקציה ומהו התנאי ההכרחי לקיצון? הקצה הקיצוני של פונקציה הוא המקסימום והמינימום של הפונקציה. התנאי ההכרחי למקסימום ולמינימום (קיצוני) של פונקציה הוא הבא: אם לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה x = a, אז בנקודה זו הנגזרת היא אפס, או אינסופית, או שיש לא קיים. תנאי זה הכרחי, אך אינו מספק. נגזרת ב-t