פתרון משוואות טריגונומטריות פשוטות.

פתרון משוואות טריגונומטריות בכל רמת מורכבות מסתכם בסופו של דבר בפתרון המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר. ובזה המעגל הטריגונומטרי שוב מתגלה כעוזר הטוב ביותר.

נזכיר את ההגדרות של קוסינוס וסינוס.

הקוסינוס של זווית הוא האבססיס (כלומר הקואורדינטה לאורך הציר) של נקודה במעגל היחידה המקבילה לסיבוב בזווית נתונה.

הסינוס של זווית הוא הקואורדינטה (כלומר, הקואורדינטה לאורך הציר) של נקודה במעגל היחידה המקבילה לסיבוב בזווית נתונה.

כיוון התנועה החיובי במעגל הטריגונומטרי הוא נגד כיוון השעון. סיבוב של 0 מעלות (או 0 רדיאנים) מתאים לנקודה עם קואורדינטות (1;0)

אנו משתמשים בהגדרות אלה כדי לפתור משוואות טריגונומטריות פשוטות.

1. פתרו את המשוואה

משוואה זו מתמלאת על ידי כל ערכי זווית הסיבוב התואמים לנקודות במעגל שהסמין שלהן שווה ל.

בואו נסמן נקודה עם סמין על ציר הסמין:

צייר קו אופקי מקביל לציר ה-x עד שהוא נחתך עם המעגל. נקבל שתי נקודות השוכבות על המעגל ובעלות סמיכה. נקודות אלו מתאימות לזוויות הסיבוב ב- ורדיאנים:

אם נשאיר את הנקודה המתאימה לזווית הסיבוב לרדיאן, נעבור סביב מעגל שלם, אז נגיע לנקודה המקבילה לזווית הסיבוב לרדיאן ובעלת אותה סמינטה. כלומר, זווית הסיבוב הזו גם עונה על המשוואה שלנו. אנחנו יכולים לעשות כמה מהפכות "בטלות" שנרצה, לחזור לאותה נקודה, וכל ערכי הזווית האלה יספקו את המשוואה שלנו. מספר המהפכות ה"בטלות" יסומן באות (או). מכיוון שאנו יכולים לבצע את המהפכות הללו לכיוונים חיוביים ושליליים כאחד, (או) יכולים לקבל כל ערכים שלמים.

כלומר, לסדרה הראשונה של פתרונות למשוואה המקורית יש את הצורה:

, , - קבוצה של מספרים שלמים (1)

באופן דומה, לסדרת הפתרונות השנייה יש את הצורה:

, איפה , . (2)

כפי שאולי ניחשתם, סדרת פתרונות זו מבוססת על הנקודה על המעגל המתאימה לזווית הסיבוב ב-.

ניתן לשלב את שתי סדרות הפתרונות הללו לכדי ערך אחד:

אם ניקח (כלומר אפילו) בערך הזה, אז נקבל את סדרת הפתרונות הראשונה.

אם ניקח (כלומר, מוזר) בערך הזה, אז נקבל את סדרת הפתרונות השנייה.

2. כעת נפתור את המשוואה

מכיוון שזוהי האבשסיס של נקודה במעגל היחידה המתקבלת על ידי סיבוב בזווית, אנו מסמנים את הנקודה עם האבשיסה על הציר:

צייר קו אנכי מקביל לציר עד שהוא נחתך עם המעגל. נקבל שתי נקודות השוכבות על המעגל ובעלות אבשיסה. נקודות אלו מתאימות לזוויות הסיבוב פנימה ורדיאנים. נזכיר שכאשר נעים בכיוון השעון אנו מקבלים זווית סיבוב שלילית:

הבה נכתוב שתי סדרות של פתרונות:

,

,

(אנו מגיעים לנקודה הרצויה על ידי מעבר מהמעגל המלא הראשי, כלומר.

בואו נשלב את שתי הסדרות הללו לכדי ערך אחד:

3. פתרו את המשוואה

קו המשיק עובר דרך הנקודה עם קואורדינטות (1,0) של מעגל היחידה במקביל לציר OY

בואו נסמן עליה נקודה עם סמין השווה ל-1 (אנחנו מחפשים את הטנגנס שלו זוויות שווה ל-1):

נחבר את הנקודה הזו למקור הקואורדינטות עם קו ישר ונסמן את נקודות החיתוך של הישר עם מעגל היחידה. נקודות החיתוך של הישר והמעגל מתאימות לזוויות הסיבוב על ו:

מכיוון שהנקודות המתאימות לזוויות הסיבוב המקיימות את המשוואה שלנו נמצאות במרחק של רדיאנים זו מזו, נוכל לכתוב את הפתרון כך:

4. פתרו את המשוואה

קו הקוטנגנטים עובר דרך הנקודה כאשר הקואורדינטות של מעגל היחידה מקבילות לציר.

בואו נסמן נקודה עם abscissa -1 על הקו הקוטנגנטי:

נחבר את הנקודה הזו למקור הקו הישר ונמשיך אותה עד שהיא מצטלבת עם המעגל. קו ישר זה יחצה את המעגל בנקודות המתאימות לזוויות הסיבוב ב- ורדיאנים:

מכיוון שנקודות אלו מופרדות זו מזו במרחק שווה ל- , נוכל לכתוב את הפתרון הכללי למשוואה זו באופן הבא:

בדוגמאות שניתנו הממחישות את הפתרון של המשוואות הטריגונומטריות הפשוטות ביותר, נעשה שימוש בערכים טבלאיים של פונקציות טריגונומטריות.

עם זאת, אם הצד הימני של המשוואה מכיל ערך לא טבלאי, אז נחליף את הערך בפתרון הכללי של המשוואה:

פתרונות מיוחדים:

הבה נסמן את הנקודות על המעגל שהאוריד שלהן הוא 0:

הבה נסמן נקודה בודדת במעגל שהאוריד שלה הוא 1:

הבה נסמן נקודה בודדת במעגל שהאוריד שלה שווה ל-1:

מכיוון שנהוג לציין את הערכים הקרובים ביותר לאפס, אנו כותבים את הפתרון כך:

נסמן את הנקודות על המעגל שהאבשיסה שלה שווה ל-0:

5.
הבה נסמן נקודה בודדת במעגל שהאבשיסה שלה שווה ל-1:

הבה נסמן נקודה בודדת במעגל שהאבססיס שלה שווה ל-1:

ודוגמאות קצת יותר מורכבות:

1.

הסינוס שווה לאחד אם הארגומנט שווה ל

הטיעון של הסינוס שלנו שווה, אז אנחנו מקבלים:

בואו נחלק את שני הצדדים של השוויון ב-3:

תשובה:

2.

קוסינוס הוא אפס אם הטיעון של קוסינוס הוא

הטיעון של הקוסינוס שלנו שווה ל , אז אנחנו מקבלים:

בואו נביע , לשם כך נעבור תחילה ימינה עם הסימן ההפוך:

בואו נפשט את הצד הימני:

מחלקים את שני הצדדים ב-2:

שימו לב שהסימן שלפני המונח אינו משתנה, מכיוון ש-k יכול לקחת כל ערך שלם.

תשובה:

ולסיום, צפו בשיעור הסרטון "בחירת שורשים במשוואה טריגונומטרית באמצעות עיגול טריגונומטרי"

זה מסיים את השיחה שלנו על פתרון משוואות טריגונומטריות פשוטות. בפעם הבאה נדבר על איך להחליט.

תרגיל.
מצא את הערך של x ב- .

פִּתָרוֹן.
מציאת הערך של ארגומנט הפונקציה שבו הוא שווה לכל ערך פירושה קביעה באילו ארגומנטים ערך הסינוס יהיה בדיוק כפי שמצוין בתנאי.
במקרה זה, עלינו לברר באילו ערכים ערך הסינוס יהיה שווה ל-1/2. זה יכול להיעשות בכמה דרכים.
לדוגמה, השתמש ב- , כדי לקבוע באילו ערכים של x פונקציית הסינוס תהיה שווה ל-1/2.
דרך נוספת היא להשתמש. הרשו לי להזכיר לכם שהערכים של הסינוסים נמצאים על ציר Oy.
הדרך הנפוצה ביותר היא להתייחס ל-, במיוחד אם אנחנו מדברים על ערכים שהם סטנדרטיים עבור פונקציה זו, כמו 1/2.
בכל המקרים, אין לשכוח את אחד המאפיינים החשובים ביותר של הסינוס - תקופתו.
בוא נמצא את הערך 1/2 לסינוס בטבלה ונראה אילו ארגומנטים מתאימים לו. הטיעונים שאנו מעוניינים בהם הם Pi / 6 ו- 5Pi / 6.
נרשום את כל השורשים שעומדים במשוואה הנתונה. לשם כך, אנו רושמים את הארגומנט הלא ידוע x שמעניין אותנו ואת אחד מערכי הארגומנט המתקבל מהטבלה, כלומר Pi / 6. אנו רושמים עבורו, תוך התחשבות בתקופת הסינוס , כל הערכים של הטיעון:

בואו ניקח את הערך השני ונבצע את אותם השלבים כמו במקרה הקודם:

הפתרון המלא למשוואה המקורית יהיה:
ו
שיכול לקחת את הערך של כל מספר שלם.

באופן כללי, הנושא הזה ראוי לתשומת לב מיוחדת, אבל הכל פשוט כאן: בזווית של מעלות, גם הסינוס וגם הקוסינוס חיוביים (ראה איור), ואז ניקח את סימן ה"פלוס".

כעת נסו, בהתבסס על האמור לעיל, למצוא את הסינוס והקוסינוס של הזוויות: ו

אתה יכול לרמות: במיוחד עבור זווית במעלות. מכיוון שאם זווית אחת במשולש ישר זווית שווה למעלות, אז השנייה שווה למעלות. כעת נכנסות לתוקף הנוסחאות המוכרות:

ואז מאז, אז ו. מאז, אז ו. עם מעלות זה אפילו יותר פשוט: אם אחת מהזוויות של משולש ישר זווית שווה למעלות, אז גם השנייה שווה למעלות, מה שאומר שהמשולש שווה שוקיים.

זה אומר שהרגליים שלו שוות. זה אומר שהסינוס והקוסינוס שלו שווים.

כעת, באמצעות ההגדרה החדשה (באמצעות X ו-Y!), מצא את הסינוס והקוסינוס של זוויות במעלות ובמעלות. לא תוכל לצייר כאן משולשים! הם יהיו שטוחים מדי!

היית צריך לקבל:

אתה יכול למצוא את המשיק והקוטנגנט בעצמך באמצעות הנוסחאות:

שימו לב שלא ניתן לחלק באפס!!

כעת ניתן לעצב את כל המספרים שהתקבלו:

להלן הערכים של סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנט של זוויות רבע ראשון. מטעמי נוחות, זוויות ניתנות גם במעלות וגם ברדיאנים (אבל עכשיו אתה יודע את הקשר ביניהן!). שימו לב ל-2 המקפים בטבלה: כלומר, הקוטנגנט של אפס והטנגנס של מעלות. זה לא מקרי!

באופן מיוחד:

עכשיו בואו נכליל את המושג סינוס וקוסינוס לזווית שרירותית לחלוטין. אדון כאן בשני מקרים:

1. הזווית נעה בין מעלות
2. זווית גדולה ממעלות

באופן כללי, עיקמתי מעט את ליבי כשדיברתי על "בהחלט כל" הזוויות. הם גם יכולים להיות שליליים! אבל נשקול את המקרה הזה במאמר אחר. בואו נסתכל תחילה על המקרה הראשון.

אם הזווית נמצאת ברבע הראשון, אז הכל ברור, כבר שקלנו את המקרה הזה ואפילו שרטטנו טבלאות.

עכשיו תן לזווית שלנו להיות יותר ממעלות ולא יותר מ. זה אומר שהוא ממוקם ברבעון השני, השלישי או הרביעי.

מה אנחנו עושים? כן, בדיוק אותו הדבר!

בואו נסתכל במקום משהו כזה...

...ככה:

כלומר, קחו בחשבון את הזווית המונחת ברבע השני. מה אנחנו יכולים להגיד עליו?

לנקודה שהיא נקודת החיתוך של הקרן והמעגל יש עדיין 2 קואורדינטות (שום דבר על טבעי, נכון?). אלו הן הקואורדינטות ו.

יתרה מכך, הקואורדינטה הראשונה שלילית, והשנייה חיובית! זה אומר ש בפינות הרבע השני, הקוסינוס שלילי והסינוס חיובי!

מדהים, נכון? לפני זה, מעולם לא נתקלנו בקוסינוס שלילי.

ובאופן עקרוני זה לא יכול להיות המקרה כאשר שקלנו פונקציות טריגונומטריות כיחס בין צלעות המשולש. אגב, תחשבו באילו זוויות יש את אותו קוסינוס? לאילו יש את אותו סינוס?

באופן דומה, אתה יכול לשקול את הזוויות בכל שאר הרבעים. תן לי רק להזכיר לך שהזווית נספרת נגד כיוון השעון! (כפי שמוצג בתמונה האחרונה!).

כמובן, אתה יכול לספור בכיוון השני, אבל הגישה לזוויות כאלה תהיה שונה במקצת.

בהתבסס על ההיגיון לעיל, אנו יכולים לסדר את הסימנים של סינוס, קוסינוס, טנגנס (כסינוס חלקי קוסינוס) וקוטנגנט (כקוסינוס חלקי סינוס) עבור כל ארבעת הרבעים.

אבל שוב, אין טעם לשנן את הציור הזה. כל מה שצריך לדעת:

בוא נתאמן קצת איתך. משימות פשוטות מאוד:

גלה איזה סימן יש לכמויות הבאות:

נבדוק?

1. מעלות היא זווית, גדולה וקטן יותר, כלומר היא נמצאת ב-3 רבעים. צייר כל פינה ברבע השלישי וראה איזה סוג שחקן יש לה. זה יתברר כשלילי. לאחר מכן.
   מעלות - 2 רבע זווית. הסינוס שם חיובי, והקוסינוס שלילי. פלוס חלקי מינוס שווה מינוס. אומר.
   מעלות - זווית, גדולה וקטן. זה אומר שהוא נמצא ברבעון הרביעי. עבור כל זווית ברבע הרביעי, ה-"x" יהיה חיובי, כלומר
2. אנחנו עובדים עם רדיאנים באותו אופן: זו הזווית של הרבע השני (מאחר ו. הסינוס של הרבע השני חיובי.
   .
   , זו פינת הרבע הרביעי. שם הקוסינוס חיובי.
   - שוב פינת הרבע הרביעי. שם הקוסינוס חיובי והסינוס שלילי. אז המשיק יהיה פחות מאפס:

אולי קשה לך לקבוע רבעים ברדיאנים. במקרה כזה, אתה תמיד יכול ללכת לתארים. התשובה, כמובן, תהיה זהה לחלוטין.

עכשיו אני רוצה להתעכב בקצרה על נקודה נוספת. בואו נזכור שוב את הזהות הטריגונומטרית הבסיסית.

כפי שכבר אמרתי, ממנו נוכל לבטא את הסינוס דרך הקוסינוס או להיפך:

בחירת השלט תושפע רק מהרבע בו נמצאת זווית האלפא שלנו. יש הרבה בעיות בשתי הנוסחאות האחרונות בבחינת המדינה המאוחדת, למשל, אלה:

מְשִׁימָה

מצא אם ו.

למעשה, זו רבע משימה! תראה איך זה נפתר:

פִּתָרוֹן

אז בואו נחליף את הערך כאן. עכשיו הדבר היחיד שנותר לעשות הוא להבין את השלט. מה אנחנו צריכים בשביל זה? דע באיזה רובע נמצאת הפינה שלנו. לפי תנאי הבעיה:. באיזה רבעון מדובר? רביעי. מהו הסימן של הקוסינוס ברבע הרביעי? הקוסינוס ברבעון הרביעי חיובי. אז כל שעלינו לעשות הוא לבחור את סימן הפלוס מלפנים. , לאחר מכן.

אני לא אתעכב על משימות כאלה בפירוט עכשיו אתה יכול למצוא ניתוח מפורט שלהן במאמר "". רק רציתי לציין בפניכם את החשיבות של איזה סימן לוקח פונקציה טריגונומטרית זו או אחרת בהתאם לרבע.

זוויות גדולות ממעלות

הדבר האחרון שאני רוצה לציין במאמר זה הוא מה לעשות עם זוויות גדולות ממעלות?

מה זה ועם מה אפשר לאכול את זה כדי להימנע מחנק? בואו ניקח, נניח, זווית במעלות (רדיאנים) ונצא ממנה נגד כיוון השעון...

בתמונה ציירתי ספירלה, אבל אתה מבין שלמעשה אין לנו שום ספירלה: יש לנו רק עיגול.

אז לאן נגיע אם נתחיל מזווית מסוימת ונלך את כל המעגל (מעלות או רדיאנים)?

לאן נלך? ואנחנו נגיע לאותה פינה!

הדבר נכון כמובן לכל זווית אחרת:

לוקחים פינה שרירותית ומסתובבים לחלוטין את כל המעגל, נחזור לאותה פינה.

מה זה ייתן לנו? הנה מה: אם, אז

מאיפה אנחנו מגיעים סוף סוף:

לכל שלם. זה אומר ש סינוס וקוסינוס הם פונקציות מחזוריות עם נקודה.

לפיכך, אין בעיה למצוא את הסימן לזווית שרירותית כעת: אנחנו רק צריכים להשליך את כל "המעגלים השלמים" שמתאימים לזווית שלנו ולגלות באיזה רבע נמצאת הזווית הנותרת.

לדוגמה, מצא סימן:

אנחנו בודקים:

1. במעלות מתאים פעמים אחר מעלות (מעלות):
   שנותרו מעלות. זוהי זווית של 4 רבעים. שם הסינוס הוא שלילי, כלומר
2. . מעלות. זוהי זווית של 3 רבעים. שם הקוסינוס שלילי. לאחר מכן
3. . . מאז, אז - הזווית של הרבע הראשון. שם הקוסינוס חיובי. ואז בגלל
4. . . מאז, הזווית שלנו נמצאת ברבע השני, שבו הסינוס חיובי.

אנחנו יכולים לעשות את אותו הדבר עבור משיק וקוטנגנט. עם זאת, למעשה, הם אפילו יותר פשוטים: הם גם פונקציות תקופתיות, רק התקופה שלהם קטנה פי 2:

אז אתה מבין מה זה מעגל טריגונומטרי ולמה הוא נחוץ.

אבל עדיין יש לנו הרבה שאלות:

1. מהן זוויות שליליות?
2. כיצד לחשב פונקציות טריגונומטריות בזוויות אלו
3. כיצד להשתמש בערכים הידועים של פונקציות טריגונומטריות של הרבע הראשון כדי לחפש את הערכים של פונקציות ברבעים אחרים (האם באמת יש צורך לדחוס את הטבלה?!)
4. כיצד ניתן להשתמש במעגל כדי לפשט פתרונות למשוואות טריגונומטריות?

רמה ממוצעת

ובכן, במאמר זה נמשיך בחקר המעגל הטריגונומטרי ונדון בנקודות הבאות:

1. מהן זוויות שליליות?
2. כיצד לחשב את הערכים של פונקציות טריגונומטריות בזוויות אלה?
3. כיצד להשתמש בערכים הידועים של פונקציות טריגונומטריות של רבע אחד כדי לחפש את הערכים של פונקציות ברבעים אחרים?
4. מהו הציר המשיק והציר הקוטנגנטי?

אין לנו צורך בידע נוסף מלבד מיומנויות בסיסיות בעבודה עם מעגל יחידה (מאמר קודם). ובכן, בואו נגיע לשאלה הראשונה: מהן זוויות שליליות?

זוויות שליליות

זוויות שליליות בטריגונומטריהמשורטטים על המעגל הטריגונומטרי למטה מההתחלה, בכיוון התנועה בכיוון השעון:

בואו נזכור איך שרטמנו בעבר זוויות במעגל טריגונומטרי: התחלנו מהכיוון החיובי של הציר נגד כיוון השעון:

ואז בציור שלנו נבנית זווית שווה ל. בנינו את כל הפינות באותו אופן.

עם זאת, שום דבר לא מונע מאיתנו לנוע מהכיוון החיובי של הציר עם כיוון השעון.

נקבל גם זוויות שונות, אבל הן יהיו שליליות:

התמונה הבאה מציגה שתי זוויות, שוות בערך המוחלט, אך מנוגדות בסימן:

באופן כללי, ניתן לנסח את הכלל כך:

• אנחנו הולכים נגד כיוון השעון - אנחנו מקבלים זוויות חיוביות
• נלך עם כיוון השעון - נקבל זוויות שליליות

הכלל מוצג באופן סכמטי באיור זה:

אתה יכול לשאול אותי שאלה הגיונית לחלוטין: ובכן, אנחנו צריכים זוויות כדי למדוד את ערכי הסינוס, הקוסינוס, הטנגנס והקוטנגנטי שלהן.

אז האם יש הבדל כאשר הזווית שלנו חיובית ומתי היא שלילית? אענה לך: ככלל, יש.

עם זאת, תמיד ניתן לצמצם את חישוב הפונקציה הטריגונומטרית מזווית שלילית לחישוב הפונקציה בזוויתחִיוּבִי.

תסתכל על התמונה הבאה:

בניתי שתי זוויות, הן שוות בערכן המוחלט, אבל יש להן סימן הפוך. עבור כל זווית, סמן את הסינוס והקוסינוס שלה על הצירים.

מה אתה ואני רואים? הנה מה:

• הסינוסים נמצאים בזוויות והם מנוגדים בסימן! אז אם
• הקוסינוסים של הזוויות חופפים! אז אם
• מאז:
• מאז:

לפיכך, תמיד נוכל להיפטר מהסימן השלילי בתוך כל פונקציה טריגונומטרית: או על ידי ביטולו פשוט, כמו עם קוסינוס, או על ידי הצבתו מול הפונקציה, כמו עם סינוס, טנגנס וקוטנגנטי.

אגב, זכור את שם הפונקציה שפועלת עבור כל ערך חוקי: ?

פונקציה כזו נקראת אי זוגי.

אבל אם עבור כל אחד קביל הדברים הבאים נכון: ? ואז במקרה הזה הפונקציה נקראת אפילו.

אז, אתה ואני הראינו זה עתה:

סינוס, טנגנס וקוטנגנט הם פונקציות אי-זוגיות, וקוסינוס הוא פונקציה זוגית.

לפיכך, כפי שאתה מבין, אין זה משנה אם אנו מחפשים את הסינוס של זווית חיובית או שלילי: להתמודד עם מינוס היא פשוטה מאוד. אז אנחנו לא צריכים טבלאות בנפרד עבור זוויות שליליות.

מצד שני, עליך להסכים שיהיה נוח מאוד, לדעת רק את הפונקציות הטריגונומטריות של זוויות הרבע הראשון, להיות מסוגל לחשב פונקציות דומות עבור הרבעים הנותרים. האם ניתן לעשות זאת? כמובן שאתה יכול! יש לך לפחות 2 דרכים: הראשונה היא לבנות משולש וליישם את משפט פיתגורס (כך אתה ואני מצאנו את הערכים של פונקציות טריגונומטריות עבור הזוויות העיקריות של הרבע הראשון), ו השני הוא לזכור את ערכי הפונקציות עבור זוויות ברבע הראשון ואיזה כלל פשוט, כדי להיות מסוגל לחשב פונקציות טריגונומטריות עבור כל שאר הרבעים.השיטה השנייה תחסוך לך הרבה התעסקות עם משולשים ופיתגורס, אז אני רואה אותה כמבטיחה יותר:

לכן, שיטה (או כלל) זו נקראת נוסחאות הפחתה.

נוסחאות הפחתה

באופן גס, הנוסחאות האלה יעזרו לכם לא לזכור את הטבלה הזו (אגב, היא מכילה 98 מספרים!):

אם אתה זוכר את זה (רק 20 מספרים):

כלומר, אתה לא יכול להטריד את עצמך עם 78 מספרים מיותרים לחלוטין! בואו, למשל, אנחנו צריכים לחשב. ברור שזה לא המצב בטבלה קטנה. מה אנחנו עושים? הנה מה:

ראשית, נצטרך את הידע הבא:

1. לסינוס ולקוסינוס יש נקודה (מעלות), כלומר

   לטנגנט (קוטנגנט) יש מחזור (מעלות)

   כל מספר שלם

2. סינוס וטנגנס הם פונקציות אי-זוגיות, וקוסינוס הוא פונקציה זוגית:

את האמירה הראשונה כבר הוכחנו איתך, ותוקפו של השני התקבע לאחרונה.

כלל הליהוק בפועל נראה כך:

1. אם מחשבים את הערך של פונקציה טריגונומטרית מזווית שלילית, נהפוך אותו לחיובי באמצעות קבוצת נוסחאות (2). לדוגמה:
2. אנו פוסלים את התקופות שלו עבור סינוס וקוסינוס: (במעלות), ועבור טנגנס - (במעלות). לדוגמה:
3. אם ה"פינה" הנותרת היא פחות ממעלות, הבעיה נפתרת: אנחנו מחפשים אותה ב"טבלה הקטנה".
4. אחרת, אנחנו מחפשים באיזה רבע שוכנת הפינה שלנו: זה יהיה הרבע השני, השלישי או הרביעי. הבה נסתכל על הסימן של הפונקציה הנדרשת ברביע. תזכרו את השלט הזה!!!
5. אנו מייצגים את הזווית באחת מהצורות הבאות:

   (אם ברבע השני)
   (אם ברבע השני)
   (אם ברבעון השלישי)
   (אם ברבעון השלישי)
   
   (אם ברבע הרביעי)

   כך שהזווית הנותרת גדולה מאפס וקטנה ממעלות. לדוגמה:

   באופן עקרוני, אין זה משנה באיזו משתי הצורות החלופיות עבור כל רבע אתה מייצג את הזווית. זה לא ישפיע על התוצאה הסופית.

6. עכשיו בוא נראה מה קיבלנו: אם בחרת לכתוב במונחים של או מעלות פלוס מינוס משהו, אז הסימן של הפונקציה לא ישתנה: אתה פשוט מסיר או וכותב את הסינוס, הקוסינוס או הטנגנס של הזווית הנותרת. אם בחרת בסימון ב- או מעלות, שנה את הסינוס לקוסינוס, קוסינוס לסינוס, משיק לקוטנגנט, קוטנגנט לטנגנס.
7. שמנו את הסימן מנקודה 4 לפני הביטוי שנוצר.

בואו נדגים את כל האמור לעיל עם דוגמאות:

1. לחשב
2. לחשב
3. מצא את המשמעות שלך:

נתחיל לפי הסדר:

1. אנו פועלים לפי האלגוריתם שלנו. בחר מספר שלם של מעגלים עבור:

   באופן כללי, אנחנו מסיקים שכל הפינה מתאימה 5 פעמים, אבל כמה נשאר? שמאלה. לאחר מכן

   ובכן, השלכנו את העודף. עכשיו בואו נסתכל על השלט. שוכנת ברבעון הרביעי. לסינוס של הרבע הרביעי יש סימן מינוס, ואני לא צריך לשכוח לשים אותו בתשובה. לאחר מכן, נציג לפי אחת משתי הנוסחאות של סעיף 5 לכללי הצמצום. אני אבחר:

   עכשיו בואו נסתכל על מה שקרה: יש לנו מקרה עם מעלות, ואז אנחנו משליכים אותו ומשנים את הסינוס לקוסינוס. ושמנו סימן מינוס לפניו!

   מעלות - הזווית ברבע הראשון. אנחנו יודעים (הבטחת לי ללמוד טבלה קטנה!!) המשמעות שלו:

   ואז נקבל את התשובה הסופית:

   תשובה:

2. הכל אותו דבר, אבל במקום מעלות - רדיאנים. זה בסדר. הדבר העיקרי שצריך לזכור זה

   אבל אתה לא צריך להחליף רדיאנים במעלות. זה עניין של הטעם שלך. אני לא אשנה כלום. אתחיל שוב על ידי השלכת מעגלים שלמים:

   נזרוק - אלו שני מעגלים שלמים. כל מה שנותר הוא לחשב. זווית זו נמצאת ברבע השלישי. הקוסינוס של הרבעון השלישי שלילי. בואו לא נשכח לשים סימן מינוס בתשובה. אתה יכול לדמיין איך. הבה נזכור שוב את הכלל: יש לנו את המקרה של מספר "שלם" (או), אז הפונקציה לא משתנה:

   לאחר מכן.
   תשובה: .

3. . אתה צריך לעשות את אותו הדבר, אבל עם שתי פונקציות. אקצר קצת יותר: ומעלות - הזוויות של הרבע השני. לקוסינוס של הרבע השני יש סימן מינוס, ולסינוס יש סימן פלוס. יכול להיות מיוצג כ: , וכיצד, אז

   שני המקרים הם "חצאים של השלם". ואז הסינוס משתנה לקוסינוס, והקוסינוס משתנה לסינוס. יתר על כן, יש סימן מינוס מול הקוסינוס:

תשובה: .

כעת תרגל בעצמך באמצעות הדוגמאות הבאות:

והנה הפתרונות:

1. 
   ראשית, בואו נפטר מהמינוס על ידי הנחתו מול הסינוס (שכן סינוס היא פונקציה אי-זוגית!!!). הבא נסתכל על הזוויות:

   אנו משליכים מספר שלם של עיגולים - כלומר שלושה עיגולים ().
   נותר לחשב: .
   אנחנו עושים את אותו הדבר עם הפינה השנייה:

   אנו מוחקים מספר שלם של מעגלים - 3 מעגלים () ואז:

   עכשיו אנחנו חושבים: באיזה רבע נמצאת הזווית הנותרת? הוא "נופל" מהכל. אז באיזה רבע מדובר? רביעי. מהו הסימן של הקוסינוס של הרבע הרביעי? חִיוּבִי. עכשיו בואו נדמיין. מכיוון שאנו מפחיתים מכמות שלמה, איננו משנים את הסימן של הקוסינוס:

   אנו מחליפים את כל הנתונים שהתקבלו בנוסחה:

   תשובה: .

2. 
   סטנדרטי: הסר את המינוס מהקוסינוס, תוך שימוש בעובדה ש.
   כל מה שנותר הוא לחשב את הקוסינוס של מעלות. בואו נסיר מעגלים שלמים: . לאחר מכן

   לאחר מכן.
   תשובה: .

3. נמשיך כמו בדוגמה הקודמת.

   מכיוון שאתה זוכר שהתקופה של הטנגנס היא (או) בניגוד לקוסינוס או סינוס, שעבורם היא גדולה פי 2, אז נסיר את הכמות השלמה.

   מעלות - הזווית ברבע השני. הטנגנס של הרבע השני הוא שלילי, אז בואו לא נשכח את ה"מינוס" בסוף! ניתן לכתוב כ. המשיק משתנה לקוטנגנט. לבסוף אנחנו מקבלים:

   לאחר מכן.
   תשובה: .

ובכן, נשאר רק קצת!

ציר טנגנט וציר קוטנגנטי

הדבר האחרון שהייתי רוצה לגעת בו הוא שני הצירים הנוספים. כפי שכבר דיברנו, יש לנו שני צירים:

1. ציר - ציר קוסינוס
2. ציר - ציר סינוסים

למעשה, נגמרו לנו צירי הקואורדינטות, לא? אבל מה לגבי משיקים וקוטנגנטים?

האם באמת אין פרשנות גרפית עבורם?

למעשה, זה קיים, אתה יכול לראות את זה בתמונה הזו:

בפרט, מהתמונות הללו נוכל לומר זאת:

1. לטנג'נט ולקוטנגנט יש את אותם סימני רבע
2. הם חיוביים ברבעון הראשון והשלישי
3. הם שליליים ברבעים השני והרביעי
4. טנג'נט אינו מוגדר בזוויות
5. קוטנגנט לא מוגדר בפינות

בשביל מה עוד התמונות האלו? תלמדו ברמה מתקדמת, שם אספר לכם איך אפשר להשתמש במעגל טריגונומטרי כדי לפשט פתרונות למשוואות טריגונומטריות!

שלב מתקדם

במאמר זה אתאר כיצד מעגל יחידה (מעגל טריגונומטרי)עשוי להיות שימושי בפתרון משוואות טריגונומטריות.

אני יכול לחשוב על שני מקרים שבהם זה עשוי להיות שימושי:

1. בתשובה אנחנו לא מקבלים זווית "יפה", אבל בכל זאת צריך לבחור את השורשים
2. התשובה מכילה יותר מדי סדרות של שורשים

אתה לא צריך שום ידע ספציפי מלבד ידע בנושא:

ניסיתי לכתוב את הנושא "משוואות טריגונומטריות" מבלי להזדקק לעיגולים. רבים לא היו משבחים אותי על גישה כזו.

אבל אני מעדיף את הנוסחה, אז מה אני יכול לעשות? עם זאת, במקרים מסוימים אין מספיק נוסחאות. הדוגמה הבאה הניעה אותי לכתוב מאמר זה:

פתור את המשוואה:

טוב אז. לא קשה לפתור את המשוואה עצמה.

החלפה הפוכה:

לפיכך, המשוואה המקורית שלנו שווה ערך לארבע משוואות פשוטות! האם אנחנו באמת צריכים לרשום 4 סדרות של שורשים:

באופן עקרוני, נוכל לעצור שם. אבל לא עבור קוראי המאמר הזה, שמתיימר להיות סוג של "מורכבות"!

בואו נסתכל תחילה על סדרת השורשים הראשונה. אז, ניקח את מעגל היחידה, עכשיו בואו ניישם את השורשים האלה על המעגל (בנפרד עבור ועבור):

שימו לב: מה זווית בין הפינות לבין? זו הפינה. עכשיו בואו נעשה את אותו הדבר עבור הסדרה: .

בין שורשי המשוואה נקבל שוב זווית פנימה. כעת נשלב את שתי התמונות הללו:

מה אנחנו רואים? אחרת, כל הזוויות בין השורשים שלנו שוות. מה זה אומר?

אם נתחיל מפינה וניקח זוויות שוות (עבור כל מספר שלם), אז תמיד נסיים באחת מארבע הנקודות במעגל העליון! לפיכך, 2 סדרות של שורשים:

ניתן לשלב לאחד:

אבוי, לסדרת השורש:

הטיעונים הללו לא יהיו תקפים יותר. צרו ציור והבינו מדוע זה כך. עם זאת, ניתן לשלב אותם באופן הבא:

אז למשוואה המקורית יש שורשים:

שזו תשובה די קצרה ותמציתית. מה המשמעות של קיצור ותמציתיות? לגבי רמת האוריינות המתמטית שלך.

זו הייתה הדוגמה הראשונה שבה השימוש במעגל הטריגונומטרי הניב תוצאות שימושיות.

הדוגמה השנייה היא משוואות שיש להן "שורשים מכוערים".

לדוגמה:

1. פתור את המשוואה.
2. מצא את שורשיו השייכים לפער.

החלק הראשון לא קשה בכלל.

מכיוון שאתה כבר מכיר את הנושא, ארשה לעצמי לקצר בחישובים.

אז או

כך מצאנו את שורשי המשוואה שלנו. שום דבר מסובך.

קשה יותר לפתור את החלק השני של המשימה מבלי לדעת בדיוק מה זה קוסינוס הקשת של מינוס רבע (זה לא ערך טבלה).

עם זאת, אנו יכולים לתאר את סדרת השורשים שנמצאה במעגל היחידה:

מה אנחנו רואים? ראשית, הדמות הבהירה לנו באילו גבולות מצוי קוסינוס הקשת:

פרשנות ויזואלית זו תעזור לנו למצוא את השורשים השייכים לקטע: .

ראשית, המספר עצמו נופל לתוכו, ואז (ראה איור).

שייך גם לפלח.

לפיכך, מעגל היחידה עוזר לקבוע באילו גבולות נופלות הזוויות ה"מכוערות".

צריכה להיות לך לפחות עוד שאלה אחת: אבל מה עלינו לעשות עם משיקים וקוטנגנטים?

למעשה, יש להם גם צירים משלהם, אם כי יש להם מראה מעט ספציפי:

אחרת, הדרך לטפל בהם תהיה זהה לזו עם סינוס וקוסינוס.

דוגמא

המשוואה ניתנת.

• פתרו את המשוואה הזו.
• ציין את השורשים של משוואה זו השייכים למרווח.

פִּתָרוֹן:

אנו מציירים עיגול יחידה ומסמנים עליו את הפתרונות שלנו:

מהאיור אפשר להבין ש:

או אפילו יותר: מאז, אז

לאחר מכן נמצא את השורשים השייכים למקטע.

, (כי)

אני משאיר לך לאמת בעצמך שלמשוואה שלנו אין שורשים אחרים השייכים למרווח.

תקציר ונוסחאות בסיסיות

הכלי העיקרי של הטריגונומטריה הוא מעגל טריגונומטרי,זה מאפשר לך למדוד זוויות, למצוא את הסינוסים, הקוסינוסים שלהן וכו'.

ישנן שתי דרכים למדידת זוויות.

1. דרך תארים
2. דרך רדיאנים

ולהיפך: מרדיאנים למעלות:

כדי למצוא את הסינוס והקוסינוס של זווית אתה צריך:

1. צייר עיגול יחידה שהמרכז חופף לקודקוד הזווית.
2. מצא את נקודת החיתוך של זווית זו עם המעגל.
3. קואורדינטת ה- "X" שלו היא הקוסינוס של הזווית הרצויה.
4. קואורדינטת ה"משחק" שלו היא הסינוס של הזווית הרצויה.

נוסחאות הפחתה

אלו הן נוסחאות המאפשרות לך לפשט ביטויים מורכבים של הפונקציה הטריגונומטרית.

הנוסחאות האלה יעזרו לך לא לזכור את הטבלה הזו:

תִמצוּת

למדת איך ליצור דורבן אוניברסלי באמצעות טריגונומטריה.

למדת לפתור בעיות הרבה יותר קל ומהיר והכי חשוב בלי טעויות.

הבנת שאתה לא צריך לדחוס שום שולחנות ולא צריך לדחוס שום דבר בכלל!

עכשיו אני רוצה לשמוע אותך!

הצלחתם להבין את הנושא המורכב הזה?

מה מצא חן בעיניך? מה לא אהבת?

אולי מצאת טעות?

כתבו בתגובות!

ובהצלחה במבחן!

טבלת ערכים של פונקציות טריגונומטריות

הערה. טבלה זו של ערכי פונקציות טריגונומטריות משתמשת בסימן √ כדי לייצג את השורש הריבועי. כדי לציין שבר, השתמש בסמל "/".

ראה גםחומרים שימושיים:

ל קביעת הערך של פונקציה טריגונומטרית, מצא אותו בצומת הישר המציין את הפונקציה הטריגונומטרית. לדוגמה, סינוס 30 מעלות - אנו מחפשים את העמודה עם הכותרת sin (סינוס) ומוצאים את החיתוך של עמודת הטבלה הזו עם השורה "30 מעלות", בצומת שלהם אנו קוראים את התוצאה - חצי אחד. באופן דומה אנו מוצאים קוסינוס 60מעלות, סינוס 60מעלות (שוב, במפגש בין עמודת החטא לקו 60 המעלות נמצא את הערך sin 60 = √3/2) וכו'. הערכים של סינוסים, קוסינוסים וטנג'ים של זוויות "פופולריות" אחרות נמצאים באותו אופן.

סינוס פאי, קוסינוס פאי, טנגנס פי ועוד זוויות ברדיאנים

הטבלה שלהלן של קוסינוס, סינוס וטנג'ים מתאימה גם למציאת הערך של פונקציות טריגונומטריות שהארגומנט שלהן הוא נתון ברדיאנים. לשם כך, השתמש בעמודה השנייה של ערכי הזווית. הודות לכך, אתה יכול להמיר את הערך של זוויות פופולריות ממעלות לרדיאנים. לדוגמה, בוא נמצא את הזווית של 60 מעלות בשורה הראשונה ונקרא את ערכה ברדיאנים מתחתיה. 60 מעלות שווה ל-π/3 רדיאנים.

המספר pi מבטא באופן חד משמעי את התלות של ההיקף במידת המעלות של הזווית. לפיכך, רדיאנים פאי שווים ל-180 מעלות.

כל מספר המבוטא במונחים של pi (רדיאנים) יכול להיות מומר בקלות למעלות על ידי החלפת pi (π) ב-180.

דוגמאות:
1. Sine pi.
sin π = sin 180 = 0
לפיכך, הסינוס של pi זהה לסינוס של 180 מעלות והוא שווה לאפס.

2. קוסינוס פי.
cos π = cos 180 = -1
לפיכך, הקוסינוס של פאי זהה לקוסינוס של 180 מעלות והוא שווה למינוס אחד.

3. טנג'נט פי
tg π = tg 180 = 0
לפיכך, משיק פאי זהה למשיק 180 מעלות והוא שווה לאפס.

טבלה של ערכי סינוס, קוסינוס, טנגנס עבור זוויות 0 - 360 מעלות (ערכים נפוצים)

ערך זווית α (מעלות)	ערך זווית α ברדיאנים (דרך פי)	חטא (סִינוּס)	חַסַת עָלִים (קוסינוס)	tg (מַשִׁיק)	ctg (קוטננט)	שניות (חוֹתֵך)	cosec (קוסקאנט)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

אם בטבלת הערכים של פונקציות טריגונומטריות מצוין מקף במקום ערך הפונקציה (טנגנט (tg) 90 מעלות, קוטנגנט (ctg) 180 מעלות), אז עבור ערך נתון של מידת המעלות של הזווית הפונקציה אין לו ערך ספציפי. אם אין מקף, התא ריק, מה שאומר שעדיין לא הכנסנו את הערך הנדרש. אנו מעוניינים באילו שאילתות משתמשים מגיעים אלינו ומשלימים את הטבלה בערכים חדשים, למרות העובדה שהנתונים העדכניים על ערכי הקוסינוסים, הסינוסים והטנג'נסים של ערכי הזווית הנפוצים ביותר מספיקים כדי לפתור את רוב בעיות.

טבלת ערכים של פונקציות טריגונומטריות sin, cos, tg עבור הזוויות הפופולריות ביותר
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 מעלות
(ערכים מספריים "לפי טבלאות ברדיס")

ערך זווית α (מעלות)	ערך זווית α ברדיאנים	חטא (סינוס)	cos (קוסינוס)	tg (טנגנט)	ctg (קוטננט)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

במאמר זה ננתח בפירוט רב את הגדרת מעגל המספרים, נברר את המאפיין העיקרי שלו ונסדר את המספרים 1,2,3 וכו'. על איך לסמן מספרים אחרים על המעגל (לדוגמה, \(\frac(π)(2), \frac(π)(3), \frac(7π)(4), 10π, -\frac(29π) (6)\)) מבין .

עיגול מספרים נקרא מעגל של רדיוס יחידה שנקודותיו מתאימות , מסודרים לפי הכללים הבאים:

1) המקור נמצא בנקודה הימנית הקיצונית של המעגל;

2) נגד כיוון השעון - כיוון חיובי; בכיוון השעון - שלילי;

3) אם נשרטט את המרחק \(t\) על המעגל בכיוון החיובי, אז נגיע לנקודה בעלת הערך \(t\);

4) אם נשרטט את המרחק \(t\) על המעגל בכיוון השלילי, אז נגיע לנקודה בעלת הערך \(–t\).

מדוע המעגל נקרא מעגל מספרים?
כי יש עליו מספרים. באופן זה המעגל דומה לציר המספרים – במעגל, כמו בציר, ישנה נקודה ספציפית לכל מספר.

למה לדעת מהו מעגל מספרים?
באמצעות עיגול המספרים נקבעים ערכי סינוס, קוסינוס, טנגנס וקוטנגנטים. לכן, כדי לדעת טריגונומטריה ולעבור את הבחינה המאוחדת עם 60+ נקודות, עליך להבין מהו עיגול מספרים וכיצד למקם עליו נקודות.

מה משמעות המילים "... של רדיוס יחידה..." בהגדרה?
המשמעות היא שהרדיוס של מעגל זה שווה ל-\(1\). ואם נבנה מעגל כזה עם המרכז במקור, אז הוא יצטלב עם הצירים בנקודות \(1\) ו-\(-1\).

זה לא צריך להיות מצויר קטן אתה יכול לשנות את "גודל" של חלוקות לאורך הצירים, אז התמונה תהיה גדולה יותר (ראה להלן).

למה הרדיוס הוא בדיוק אחד? זה נוח יותר, מכיוון שבמקרה זה, כאשר מחשבים את ההיקף באמצעות הנוסחה \(l=2πR\), אנו מקבלים:

אורך מעגל המספרים הוא \(2π\) או בקירוב \(6.28\).

מה המשמעות של "...הנקודות שבהן מתאימות למספרים ממשיים"?
כפי שאמרנו לעיל, על מעגל המספרים של כל מספר אמיתי בהחלט יהיה ה"מקום" שלו - נקודה המתאימה למספר הזה.

מדוע לקבוע את המקור והכיוון על מעגל המספרים?
המטרה העיקרית של מעגל המספרים היא לקבוע באופן ייחודי את הנקודה שלו עבור כל מספר. אבל איך אתה יכול לקבוע איפה לשים את הנקודה אם אתה לא יודע מאיפה לספור ולאן לעבור?

כאן חשוב לא להתבלבל בין המוצא על קו הקואורדינטות ועל מעגל המספרים - מדובר בשתי מערכות ייחוס שונות! וגם אל תבלבלו את \(1\) בציר \(x\) ו-\(0\) במעגל - אלו נקודות על עצמים שונים.

אילו נקודות מתאימות למספרים \(1\), \(2\) וכו'?

זכור, הנחנו שלמעגל המספרים יש רדיוס של \(1\)? זה יהיה קטע היחידה שלנו (באנלוגיה לציר המספרים), אותו נשרטט על המעגל.

כדי לסמן נקודה במעגל המספרים המקבילה למספר 1, עליך לעבור מ-0 למרחק השווה לרדיוס בכיוון החיובי.

כדי לסמן נקודה על המעגל המתאימה למספר \(2\), צריך לעבור מרחק השווה לשני רדיוסים מהמקור, כך ש-\(3\) הוא מרחק השווה לשלושה רדיוסים וכו'.

כאשר מסתכלים על התמונה הזו, ייתכן שיש לך 2 שאלות:
1. מה קורה כשהמעגל "מסתיים" (כלומר אנחנו עושים מהפכה מלאה)?
תשובה: בואו נצא לסיבוב השני! וכשהשני ייגמר, נלך לשלישי וכן הלאה. לכן, ניתן לשרטט מספר אינסופי של מספרים על מעגל.

2. היכן יהיו המספרים השליליים?
תשובה: ממש שם! ניתן גם לסדר אותם, לספור מאפס את המספר הנדרש של רדיוסים, אך כעת בכיוון שלילי.

למרבה הצער, קשה לציין מספרים שלמים במעגל המספרים. זאת בשל העובדה שאורך מעגל המספרים לא יהיה שווה למספר שלם: \(2π\). ובמקומות הנוחים ביותר (בנקודות החיתוך עם הצירים) יהיו גם שברים, לא מספרים שלמים