Trigonometria ako veda vznikla na starovekom východe. Prvé trigonometrické pomery odvodili astronómovia, aby vytvorili presný kalendár a orientáciu podľa hviezd. Tieto výpočty sa týkali sférickej trigonometrie, pričom v školskom kurze študujú pomer strán a uhlov rovinného trojuholníka.

Trigonometria je odvetvie matematiky, ktoré sa zaoberá vlastnosťami goniometrických funkcií a vzťahmi medzi stranami a uhlami trojuholníkov.

V období rozkvetu kultúry a vedy v 1. tisícročí nášho letopočtu sa poznatky rozšírili zo starovekého východu do Grécka. Ale hlavné objavy trigonometrie sú zásluhou mužov arabského kalifátu. Najmä turkménsky vedec al-Marazwi zaviedol funkcie ako tangens a kotangens a zostavil prvé tabuľky hodnôt pre sínus, tangens a kotangens. Pojmy sínus a kosínus zaviedli indickí vedci. Trigonometrii sa venovala veľká pozornosť v dielach takých veľkých postáv staroveku ako Euklides, Archimedes a Eratosthenes.

Základné veličiny trigonometrie

Základné goniometrické funkcie číselného argumentu sú sínus, kosínus, tangens a kotangens. Každý z nich má svoj vlastný graf: sínus, kosínus, tangens a kotangens.

Vzorce na výpočet hodnôt týchto veličín sú založené na Pytagorovej vete. Pre školákov je to lepšie známe z formulácie: „Pytagorejské nohavice sú rovnaké vo všetkých smeroch“, pretože dôkaz je uvedený na príklade rovnoramenného pravouhlého trojuholníka.

Sínusové, kosínusové a iné vzťahy vytvárajú vzťah medzi ostrými uhlami a stranami akéhokoľvek pravouhlého trojuholníka. Uveďme vzorce na výpočet týchto veličín pre uhol A a nasledujme vzťahy medzi goniometrickými funkciami:

Ako vidíte, tg a ctg sú inverzné funkcie. Ak si vetvu a predstavíme ako súčin sínu A a prepony c a vetvu b ako cos A * c, dostaneme nasledujúce vzorce pre dotyčnicu a kotangens:

Trigonometrický kruh

Graficky možno vzťah medzi uvedenými veličinami znázorniť nasledovne:

Kruh v tomto prípade predstavuje všetky možné hodnoty uhla α - od 0° do 360°. Ako je možné vidieť z obrázku, každá funkcia nadobúda zápornú alebo kladnú hodnotu v závislosti od uhla. Napríklad sin α bude mať znamienko „+“, ak α patrí do 1. a 2. štvrtiny kruhu, to znamená, že je v rozsahu od 0° do 180°. Pre α od 180° do 360° (štvrtiny III a IV) môže byť sin α iba zápornou hodnotou.

Pokúsme sa zostaviť trigonometrické tabuľky pre konkrétne uhly a zistiť význam veličín.

Hodnoty α rovné 30°, 45°, 60°, 90°, 180° atď. sa nazývajú špeciálne prípady. Hodnoty goniometrických funkcií pre nich sú vypočítané a prezentované vo forme špeciálnych tabuliek.

Tieto uhly neboli zvolené náhodne. Označenie π v tabuľkách je pre radiány. Rad je uhol, pod ktorým dĺžka oblúka kružnice zodpovedá jej polomeru. Táto hodnota bola zavedená s cieľom stanoviť univerzálnu závislosť pri výpočte v radiánoch, na skutočnej dĺžke polomeru v cm nezáleží.

Uhly v tabuľkách pre goniometrické funkcie zodpovedajú radiánom:

Nie je teda ťažké uhádnuť, že 2π je úplný kruh alebo 360°.

Vlastnosti goniometrických funkcií: sínus a kosínus

Aby sme mohli zvážiť a porovnať základné vlastnosti sínusu a kosínusu, dotyčnice a kotangensu, je potrebné nakresliť ich funkcie. Dá sa to urobiť vo forme krivky umiestnenej v dvojrozmernom súradnicovom systéme.

Zvážte porovnávaciu tabuľku vlastností pre sínus a kosínus:

Sínusoida	Kosínus
y = sinx	y = cos x
ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
sin x = 0, pre x = πk, kde k ϵ Z	cos x = 0, pre x = π/2 + πk, kde k ϵ Z
sin x = 1, pre x = π/2 + 2πk, kde k ϵ Z	cos x = 1, pri x = 2πk, kde k ϵ Z
sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, kde k ϵ Z	cos x = - 1, pre x = π + 2πk, kde k ϵ Z
sin (-x) = - sin x, teda funkcia je nepárna	cos (-x) = cos x, t.j. funkcia je párna
	funkcia je periodická, najmenšia perióda je 2π
sin x › 0, pričom x patrí do 1. a 2. štvrtiny alebo od 0° do 180° (2πk, π + 2πk)	cos x › 0, pričom x patrí k I a IV štvrtine alebo od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
sin x ‹ 0, pričom x patrí do tretej a štvrtej štvrtiny alebo od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, pričom x patrí do 2. a 3. štvrtiny alebo od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
nárasty v intervale [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	rastie na intervale [-π + 2πk, 2πk]
klesá v intervaloch [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	klesá v intervaloch
derivát (sin x)’ = cos x	derivát (cos x)’ = - sin x

Určenie, či je funkcia párna alebo nie, je veľmi jednoduché. Stačí si predstaviť trigonometrický kruh so znakmi trigonometrických veličín a mentálne „zložiť“ graf vzhľadom na os OX. Ak sa znamienka zhodujú, funkcia je párna, inak je nepárna.

Zavedenie radiánov a zoznam základných vlastností sínusových a kosínusových vĺn nám umožňuje predstaviť nasledujúci vzorec:

Overiť správnosť vzorca je veľmi jednoduché. Napríklad pre x = π/2 je sínus 1, rovnako ako kosínus x = 0. Kontrola sa môže vykonať pomocou tabuliek alebo sledovaním funkčných kriviek pre dané hodnoty.

Vlastnosti tangensoidov a kotangensoidov

Grafy funkcií tangens a kotangens sa výrazne líšia od funkcií sínus a kosínus. Hodnoty tg a ctg sú navzájom recipročné.

1. Y = tan x.
2. Dotyčnica smeruje k hodnotám y pri x = π/2 + πk, ale nikdy ich nedosiahne.
3. Najmenšia kladná perióda tangentoidu je π.
4. Tg (- x) = - tg x, t.j. funkcia je nepárna.
5. Tg x = 0, pre x = πk.
6. Funkcia sa zvyšuje.
7. Tg x › 0, pre x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, pre x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivát (tg x)’ = 1/cos 2⁡x.

Zvážte grafické znázornenie kotangentoidu nižšie v texte.

Hlavné vlastnosti kotangentoidov:

1. Y = detská postieľka x.
2. Na rozdiel od funkcií sínus a kosínus môže v tangentoide Y nadobudnúť hodnoty množiny všetkých reálnych čísel.
3. Kotangentoid má tendenciu k hodnotám y pri x = πk, ale nikdy ich nedosiahne.
4. Najmenšia kladná perióda kotangentoidu je π.
5. Ctg (- x) = - ctg x, t.j. funkcia je nepárna.
6. Ctg x = 0, pre x = π/2 + πk.
7. Funkcia sa znižuje.
8. Ctg x › 0, pre x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, pre x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivát (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Správne

Inštrukcie

Ak potrebujete nájsť kosínus uhol v ľubovoľnom trojuholníku musíte použiť kosínusovú vetu:
ak je uhol ostrý: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab);
ak uhol: cos? = (c2 – a2 – b2)/(2ab), kde a, b sú dĺžky strán priľahlých k rohu, c je dĺžka strany oproti rohu.

Užitočné rady

Matematický zápis pre kosínus je cos.
Hodnota kosínusu nemôže byť väčšia ako 1 a menšia ako -1.

Zdroje:

• ako vypočítať kosínus uhla
• Goniometrické funkcie na jednotkovej kružnici

Kosínus je základná trigonometrická funkcia uhla. Schopnosť určiť kosínus je užitočná vo vektorovej algebre pri určovaní projekcií vektorov na rôzne osi.

Inštrukcie

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)

Existuje trojuholník so stranami a, b, c rovnými 3, 4, 5 mm.

Nájsť kosínus uhol medzi väčšími stranami.

Označme uhol oproti strane a ?, potom podľa vyššie odvodeného vzorca máme:

сos?=(b?+c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16+25-9)/40 = 32/40 = 0,8

Odpoveď: 0,8.

Ak je trojuholník pravouhlý, potom nájsť kosínus a pre uhol stačí poznať dĺžky len akýchkoľvek dvoch strán ( kosínus pravý uhol je 0).

Nech existuje pravouhlý trojuholník so stranami a, b, c, kde c je prepona.

Zvážme všetky možnosti:

Nájdite cos?, ak sú známe dĺžky strán a a b (trojuholníka).

Použime navyše Pytagorovu vetu:

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(b?+b?+а?-а?)/(2*b*v(b?+а?)) =(2*b?)/(2*b*v(b?+a?))=b/v(b?+a?)

Aby bol výsledný vzorec správny, dosadíme do neho z príkladu 1, t.j.

Po vykonaní niekoľkých základných výpočtov dostaneme:

Podobne zistené kosínus v obdĺžnikovom trojuholník v iných prípadoch:

Známe a a c (prepona a opačná strana), nájdite cos?

сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(с?-а?)) =(2*с?-2*а?)/(2*с*v(с?-а?))=v(с?-а?)/с.

Nahradením hodnôt a=3 a c=5 z príkladu dostaneme:

Známe b a c (hypotenza a priľahlá noha).

Nájsť cos?

Uskutočnením podobných transformácií (uvedených v príkladoch 2 a 3) dostaneme to v tomto prípade kosínus V trojuholník vypočíta sa pomocou veľmi jednoduchého vzorca:

Jednoduchosť odvodeného vzorca možno vysvetliť jednoducho: v skutočnosti susediaci s rohom? noha je priemetom prepony, jej dĺžka sa rovná dĺžke prepony vynásobenej cos?.

Nahradením hodnôt b=4 a c=5 z prvého príkladu dostaneme:

To znamená, že všetky naše vzorce sú správne.

Tip 5: Ako nájsť ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku

Priamo uhličitý trojuholník je pravdepodobne jedným z najznámejších, z historického hľadiska, geometrických útvarov. Pythagorejské „nohavice“ môžu konkurovať iba „heuréke!“ Archimedes.

Budete potrebovať

• - kresba trojuholníka;
• - pravítko;
• - uhlomer

Inštrukcie

Súčet uhlov trojuholníka je 180 stupňov. V obdĺžnikovom trojuholník jeden uhol (rovný) bude vždy 90 stupňov a ostatné sú ostré, t.j. menej ako 90 stupňov každý. Ak chcete určiť, aký uhol je v obdĺžniku trojuholník je rovný, pomocou pravítka zmerajte strany trojuholníka a určte najväčšiu. Je to prepona (AB) a nachádza sa oproti pravému uhlu (C). Zvyšné dve strany tvoria pravý uhol a nohy (AC, BC).

Keď zistíte, ktorý uhol je ostrý, môžete použiť uhlomer na výpočet uhla pomocou matematických vzorcov.

Ak chcete určiť uhol pomocou uhlomeru, zarovnajte jeho vrchol (označme ho písmenom A) so špeciálnou značkou na pravítku v strede uhlomeru AC by sa mala zhodovať s jeho horným okrajom. Označte na polkruhovej časti uhlomeru bod, cez ktorý prechádza prepona AB. Hodnota v tomto bode zodpovedá uhlu v stupňoch. Ak sú na uhlomere uvedené 2 hodnoty, potom pre ostrý uhol musíte zvoliť menší, pre tupý uhol - väčší.

Nájdite výslednú hodnotu v referenčných knihách Bradis a určite, ktorému uhlu zodpovedá výsledná číselná hodnota. Túto metódu používali naše staré mamy.

V našom stačí vziať s funkciou výpočtu goniometrických vzorcov. Napríklad vstavaná kalkulačka Windows. Spustite aplikáciu „Kalkulačka“, v položke ponuky „Zobraziť“ vyberte „Inžinierstvo“. Vypočítajte sínus požadovaného uhla, napríklad sin (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Prepnite kalkulačku do režimu inverznej funkcie kliknutím na tlačidlo INV na displeji kalkulačky a potom kliknite na tlačidlo funkcie arcsínus (na displeji je označené ako sin mínus prvá mocnina). V okne výpočtu sa zobrazí nasledujúca správa: asind (0,5) = 30. T.j. hodnota požadovaného uhla je 30 stupňov.

Zdroje:

• Bradisove tabuľky (sínusy, kosínusy)

Kosínusová veta v matematike sa najčastejšie používa, keď je potrebné nájsť tretiu stranu uhla a dve strany. Niekedy je však stav problému nastavený opačne: musíte nájsť uhol s danými tromi stranami.

Inštrukcie

Predstavte si, že dostanete trojuholník, v ktorom sú známe dĺžky dvoch strán a hodnota jedného uhla. Všetky uhly tohto trojuholníka nie sú rovnaké a jeho strany sú tiež rôzne veľké. Uhol γ leží oproti strane trojuholníka, označenej AB, čo je tento obrázok. Prostredníctvom tohto uhla, ako aj cez zostávajúce strany AC a BC, môžete pomocou kosínusovej vety nájsť neznámu stranu trojuholníka, z ktorej odvodíte vzorec uvedený nižšie:
a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, kde a=BC, b=AB, c=AC
Kosínusová veta sa inak nazýva zovšeobecnená Pytagorova veta.

Teraz si predstavte, že sú dané všetky tri strany obrazca, ale jeho uhol γ nie je známy. S vedomím, že tvar a^2=b^2+c^2-2bc*cosγ, transformujte tento výraz tak, aby sa požadovaná hodnota stala uhlom γ: b^2+c^2=2bc*cosγ+a^2.
Potom dajte vyššie uvedenú rovnicu do trochu iného tvaru: b^2+c^2-a^2=2bc*cosγ.
Tento výraz by sa potom mal previesť na výraz uvedený nižšie: cosγ=√b^2+c^2-a^2/2bc.
Zostáva len dosadiť čísla do vzorca a vykonať výpočty.

Aby sme našli kosínus, označený γ, musíme ho vyjadriť inverznou hodnotou k trigonometrii, nazývanou arkus kosínus. Oblúkový kosínus čísla m je hodnota uhla γ, pre ktorú sa kosínus uhla γ rovná m. Funkcia y=arccos m je klesajúca. Predstavte si napríklad, že kosínus uhla γ sa rovná jednej polovici. Potom možno uhol γ definovať cez arckosínus takto:
γ = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, kde m = 1/2.
Podobným spôsobom môžete nájsť zostávajúce uhly trojuholníka s jeho ďalšími dvoma neznámymi stranami.

Sínus a kosínus sú dve goniometrické funkcie, ktoré sa nazývajú „priame“. Práve tie sa musia počítať častejšie ako iné a na vyriešenie tohto problému má dnes každý z nás značný výber možností. Nižšie sú uvedené niektoré z najjednoduchších metód.

Inštrukcie

Ak nemáte k dispozícii iné spôsoby výpočtu, použite uhlomer, ceruzku a kus papiera. Jedna z definícií kosínusu je uvedená z hľadiska ostrých uhlov v pravouhlom trojuholníku - rovná sa pomeru medzi dĺžkou nohy oproti tomuto uhlu a dĺžkou. Nakreslite trojuholník, v ktorom je jeden z uhlov pravý (90°) a druhý je uhol, ktorý chcete vypočítať. Na dĺžke strán nezáleží - nakreslite ich tak, ako je to pre vás pohodlnejšie na meranie. Zmerajte dĺžku požadovanej nohy a prepony a vydeľte prvú druhou akýmkoľvek vhodným spôsobom.

Využite hodnotu trigonometrických funkcií pomocou kalkulačky zabudovanej vo vyhľadávači Nigma, ak máte prístup na internet. Napríklad, ak potrebujete vypočítať kosínus uhla 20°, potom po načítaní hlavnej stránky služby http://nigma.ru zadajte do poľa vyhľadávacieho dopytu „kosínus 20“ a kliknite na tlačidlo „Nájsť! tlačidlo “. Môžete vynechať „stupne“ a nahradiť slovo „kosínus“ slovom cos – v každom prípade vyhľadávací nástroj zobrazí výsledok s presnosťou na 15 desatinných miest (0,939692620785908).

Ak nemáte prístup na internet, otvorte štandardný program nainštalovaný s operačným systémom Windows. Môžete to urobiť napríklad súčasným stlačením klávesov win a r, zadaním príkazu calc a kliknutím na tlačidlo OK. Na výpočet trigonometrických funkcií je tu rozhranie nazývané „inžinierstvo“ alebo „vedecké“ (v závislosti od verzie OS) - vyberte požadovanú položku v časti „Zobraziť“ v ponuke kalkulačky. Potom zadajte hodnotu uhla a kliknite na tlačidlo cos v rozhraní programu.

Video k téme

Tip 8: Ako určiť uhly v pravom trojuholníku

Obdĺžnikový sa vyznačuje určitými vzťahmi medzi rohmi a stranami. Keď poznáte hodnoty niektorých z nich, môžete vypočítať iné. Na tento účel sa používajú vzorce, ktoré sú založené na axiómach a teorémoch geometrie.

Tam, kde sa zvažovali problémy s riešením pravouhlého trojuholníka, sľúbil som, že predstavím techniku ​​na zapamätanie si definícií sínusu a kosínusu. Pomocou nej si vždy rýchlo zapamätáte, ktorá strana patrí prepone (susednej alebo opačnej). Rozhodla som sa, že to nebudem dlho odkladať, potrebný materiál je nižšie, prečítajte si ho 😉

Faktom je, že som opakovane pozoroval, ako žiaci 10. – 11. ročníka majú problém zapamätať si tieto definície. Veľmi dobre si pamätajú, že noha odkazuje na preponu, ale na ktorú- zabúdajú a zmätený. Cenou za chybu, ako viete na skúške, je stratený bod.

Informácie, ktoré uvediem priamo, nemajú nič spoločné s matematikou. Spája sa s nápaditým myslením a s metódami verbálno-logickej komunikácie. Presne tak si to pamätám, raz a navždydefiničné údaje. Ak ich zabudnete, pomocou prezentovaných techník si ich vždy ľahko zapamätáte.

Dovoľte mi pripomenúť vám definície sínusu a kosínusu v pravouhlom trojuholníku:

Kosínus Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlého ramena k prepone:

Sinus Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej strany k prepone:

Takže, aké asociácie máte so slovom kosínus?

Asi každý má to svoje 😉Zapamätajte si odkaz:

Výraz sa teda okamžite objaví vo vašej pamäti -

«… pomer PRIEDNEJ nohy k prepone».

Problém s určovaním kosínusu bol vyriešený.

Ak si potrebujete zapamätať definíciu sínusu v pravouhlom trojuholníku a potom si zapamätať definíciu kosínusu, môžete ľahko zistiť, že sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej strany k prepone. Koniec koncov, existujú iba dve nohy, ak je susedná noha „obsadená“ kosínusom, potom zostáva iba opačná noha so sínusom.

A čo tangens a kotangens? Zmätok je rovnaký. Žiaci vedia, že ide o vzťah nôh, ale problém je zapamätať si, ktorá sa vzťahuje na ktorú – buď opačne k susednej, alebo naopak.

Definície:

Tangenta Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej strany k susednej strane:

Kotangens Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej strany k opačnej strane:

Ako si zapamätať? Sú dva spôsoby. Jeden využíva aj slovesno-logické spojenie, druhý využíva matematické.

MATEMATICKÁ METÓDA

Existuje taká definícia - dotyčnica ostrého uhla je pomer sínusu uhla k jeho kosínu:

*Keď si zapamätáte vzorec, môžete vždy určiť, že dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej strany k susednej strane.

Podobne.Kotangens ostrého uhla je pomer kosínusu uhla k jeho sínusu:

Takže! Zapamätaním si týchto vzorcov môžete vždy určiť, že:

- dotyčnica ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer protiľahlej strany k susednej

— kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlej strany k protiľahlej strane.

SLOVNO-LOGICKÁ METÓDA

O dotyčnici. Zapamätajte si odkaz:

To znamená, že ak si potrebujete zapamätať definíciu dotyčnice, pomocou tohto logického spojenia si ľahko zapamätáte, čo to je

"... pomer protiľahlej strany k susednej strane"

Ak hovoríme o kotangens, potom pri zapamätaní si definície tangensu môžete ľahko vysloviť definíciu kotangensu -

"... pomer susednej strany k opačnej strane"

Na webe je zaujímavý trik na zapamätanie tangens a kotangens " Matematický tandem " pozri.

UNIVERZÁLNA METÓDA

Môžete si to len zapamätať.Ale ako ukazuje prax, vďaka verbálno-logickým spojeniam si človek dlho pamätá informácie, a to nielen matematické.

Dúfam, že materiál bol pre vás užitočný.

S pozdravom Alexander Krutitskikh

P.S: Bol by som vďačný, keby ste mi o stránke povedali na sociálnych sieťach.

V tomto článku si ukážeme, ako dať definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla a čísla v trigonometrii. Tu budeme hovoriť o zápisoch, uvádzame príklady zápisov a uvádzame grafické ilustrácie. Na záver uveďme paralelu medzi definíciami sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu v trigonometrii a geometrii.

Navigácia na stránke.

Definícia sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu

Pozrime sa, ako sa v školskom kurze matematiky tvorí myšlienka sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu. Na hodinách geometrie je uvedená definícia sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku. A neskôr sa študuje trigonometria, ktorá hovorí o sínusoch, kosíne, tangens a kotangens uhla natočenia a čísla. Uvedieme všetky tieto definície, uvedieme príklady a uvedieme potrebné komentáre.

Ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku

Z kurzu geometrie poznáme definície sínus, kosínus, tangens a kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku. Sú uvedené ako pomer strán pravouhlého trojuholníka. Uveďme ich formulácie.

Definícia.

Sínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer opačnej strany k prepone.

Definícia.

Kosínus ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je pomer priľahlého ramena k prepone.

Definícia.

Tangenta ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku– toto je pomer protiľahlej strany k priľahlej strane.

Definícia.

Kotangens ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku- to je pomer priľahlej strany k protiľahlej strane.

Zavádzajú sa tam aj označenia sínus, kosínus, tangens a kotangens - sin, cos, tg a ctg.

Napríklad, ak ABC je pravouhlý trojuholník s pravým uhlom C, potom sa sínus ostrého uhla A rovná pomeru opačnej strany BC k prepone AB, teda sin∠A=BC/AB.

Tieto definície vám umožňujú vypočítať hodnoty sínus, kosínus, tangens a kotangens ostrého uhla zo známych dĺžok strán pravouhlého trojuholníka, ako aj zo známych hodnôt sínus, kosínus, tangens, kotangens a dĺžku jednej zo strán, aby ste našli dĺžky ostatných strán. Napríklad, ak by sme vedeli, že v pravouhlom trojuholníku sa rameno AC rovná 3 a prepona AB sa rovná 7, potom by sme mohli vypočítať hodnotu kosínusu ostrého uhla A podľa definície: cos∠A=AC/ AB = 3/7.

Uhol natočenia

V trigonometrii sa začínajú pozerať na uhol širšie – zavádzajú pojem uhla natočenia. Veľkosť uhla natočenia, na rozdiel od ostrého uhla, nie je obmedzená na 0 až 90 stupňov, uhol natočenia v stupňoch (a v radiánoch) môže byť vyjadrený ľubovoľným reálnym číslom od -∞ do +∞.

V tomto svetle nie sú definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu dané ostrým uhlom, ale uhlom ľubovoľnej veľkosti – uhlom rotácie. Sú dané súradnicami x a y bodu A 1, do ktorého ide takzvaný počiatočný bod A(1, 0) po jeho otočení o uhol α okolo bodu O - začiatku pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému. a stred jednotkového kruhu.

Definícia.

Sínus uhla natočeniaα je ordináta bodu A 1, teda sinα=y.

Definícia.

Kosínus uhla natočeniaα sa nazýva úsečka bodu A 1, to znamená cosα=x.

Definícia.

Tangenta uhla natočeniaα je pomer zvislej osi bodu A 1 k jeho osi x, tj tanα=y/x.

Definícia.

Kotangens uhla natočeniaα je pomer úsečky bodu A 1 k jeho ordináte, to znamená ctgα=x/y.

Sínus a kosínus sú definované pre ľubovoľný uhol α, pretože vždy môžeme určiť úsečku a ordinátu bodu, ktorý získame otočením začiatočného bodu o uhol α. Ale dotyčnica a kotangens nie sú definované pre žiadny uhol. Dotyčnica nie je definovaná pre uhly α, pri ktorých začiatočný bod smeruje k bodu s nulovou osou (0, 1) alebo (0, −1), a to sa vyskytuje pri uhloch 90°+180° k, k∈Z (π /2+π·k rad). Pri takýchto uhloch rotácie totiž výraz tgα=y/x nedáva zmysel, pretože obsahuje delenie nulou. Pokiaľ ide o kotangens, nie je definovaný pre uhly α, pri ktorých začiatočný bod smeruje k bodu s nulovou ordinátou (1, 0) alebo (−1, 0), a to nastáva pre uhly 180° k, k ∈Z (π·k rad).

Takže sínus a kosínus sú definované pre všetky uhly rotácie, dotyčnica je definovaná pre všetky uhly okrem 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) a kotangens je definovaný pre všetky uhly okrem 180° ·k , k∈Z (π·k rad).

Definície zahŕňajú nám už známe označenia sin, cos, tg a ctg, používajú sa aj na označenie sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla natočenia (niekedy sa môžete stretnúť s označením tan a cot zodpovedajúcim tangens a kotangens) . Takže sínus uhla rotácie 30 stupňov možno zapísať ako sin30°, vstupy tg(−24°17′) a ctgα zodpovedajú tangente uhla rotácie −24° 17 minút a kotangens uhla rotácie α . Pripomeňme, že pri písaní radiánovej miery uhla sa označenie „rad“ často vynecháva. Napríklad kosínus uhla natočenia tri pi rad sa zvyčajne označuje cos3·π.

Na záver tohto bodu stojí za zmienku, že keď sa hovorí o sínusovom, kosínusovom, tangente a kotangense uhla rotácie, často sa vynecháva fráza „uhol rotácie“ alebo slovo „rotácia“. To znamená, že namiesto frázy „sínus uhla natočenia alfa“ sa zvyčajne používa fráza „sínus uhla alfa“ alebo ešte kratšia „sínus alfa“. To isté platí pre kosínus, tangens a kotangens.

Povieme tiež, že definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku sú v súlade s práve uvedenými definíciami pre sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla rotácie v rozsahu od 0 do 90 stupňov. Toto zdôvodníme.

čísla

Definícia.

Sínus, kosínus, tangens a kotangens čísla t je číslo rovné sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu uhla natočenia v t radiánoch.

Napríklad kosínus čísla 8·π podľa definície je číslo rovné kosínusu uhla 8·π rad. A kosínus uhla 8·π rad sa rovná jednej, preto sa kosínus čísla 8·π rovná 1.

Existuje iný prístup k určovaniu sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla. Spočíva v tom, že každé reálne číslo t je spojené s bodom na jednotkovej kružnici so stredom v počiatku pravouhlého súradnicového systému a sínus, kosínus, tangens a kotangens sú určené súradnicami tohto bodu. Pozrime sa na to podrobnejšie.

Ukážme, ako sa vytvorí korešpondencia medzi reálnymi číslami a bodmi na kruhu:

• číslu 0 je priradený počiatočný bod A(1, 0);
• kladné číslo t je spojené s bodom na jednotkovej kružnici, do ktorého sa dostaneme, ak sa po kružnici budeme pohybovať od počiatočného bodu proti smeru hodinových ručičiek a prejdeme dráhu dĺžky t;
• záporné číslo t je spojené s bodom na jednotkovej kružnici, do ktorého sa dostaneme, ak sa po kružnici budeme pohybovať od počiatočného bodu v smere hodinových ručičiek a prejdeme dráhu dĺžky |t| .

Teraz prejdeme k definíciám sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla t. Predpokladajme, že číslo t zodpovedá bodu na kružnici A 1 (x, y) (napríklad číslu &pi/2; zodpovedá bod A 1 (0, 1) ).

Definícia.

Sínus čísla t je ordináta bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej číslu t, teda sint=y.

Definícia.

Kosínus čísla t sa nazýva úsečka bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t, teda náklady=x.

Definícia.

Tangenta čísla t je pomer zvislej osi k osovej osi bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej číslu t, teda tgt=y/x. V inej ekvivalentnej formulácii je tangens čísla t pomer sínusu tohto čísla ku kosínusu, to znamená tgt=sint/cena.

Definícia.

Kotangens čísla t je pomer osi x osi bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej číslu t, teda ctgt=x/y. Ďalšia formulácia je táto: dotyčnica čísla t je pomer kosínusu čísla t k sínusu čísla t: ctgt=cena/sint.

Tu poznamenávame, že práve uvedené definície sú v súlade s definíciou uvedenou na začiatku tohto odseku. Bod na jednotkovej kružnici zodpovedajúci číslu t sa totiž zhoduje s bodom získaným otočením začiatočného bodu o uhol t radiánov.

Stále stojí za to objasniť tento bod. Povedzme, že máme vstup sin3. Ako môžeme pochopiť, či hovoríme o sínuse čísla 3 alebo sínusu uhla natočenia 3 radiánov? To je zvyčajne jasné z kontextu, inak to pravdepodobne nemá zásadný význam.

Goniometrické funkcie uhlového a číselného argumentu

Podľa definícií uvedených v predchádzajúcom odseku každý uhol natočenia α zodpovedá veľmi špecifickej hodnote sinα, ako aj hodnote cosα. Okrem toho všetky uhly otáčania iné ako 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) zodpovedajú hodnotám tgα a hodnoty iné ako 180°k, k∈Z (πk rad ) – hodnoty z ctgα. Preto sinα, cosα, tanα a ctgα sú funkciami uhla α. Inými slovami, toto sú funkcie uhlového argumentu.

Podobne môžeme hovoriť o funkciách sínus, kosínus, tangens a kotangens číselného argumentu. Každé reálne číslo t skutočne zodpovedá veľmi špecifickej hodnote sint, ako aj nákladom. Okrem toho všetky čísla iné ako π/2+π·k, k∈Z zodpovedajú hodnotám tgt a čísla π·k, k∈Z - hodnotám ctgt.

Volajú sa funkcie sínus, kosínus, tangens a kotangens základné goniometrické funkcie.

Z kontextu je zvyčajne jasné, či máme do činenia s goniometrickými funkciami uhlového argumentu alebo numerického argumentu. V opačnom prípade môžeme o nezávislej premennej uvažovať ako o mieri uhla (uhlový argument) aj ako o číselnom argumente.

V škole však študujeme najmä numerické funkcie, teda funkcie, ktorých argumenty, ako aj im zodpovedajúce funkčné hodnoty, sú čísla. Ak teda hovoríme konkrétne o funkciách, potom je vhodné považovať goniometrické funkcie za funkcie číselných argumentov.

Vzťah medzi definíciami z geometrie a trigonometrie

Ak vezmeme do úvahy uhol rotácie α v rozsahu od 0 do 90 stupňov, potom definície sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangens uhla rotácie v kontexte trigonometrie sú plne v súlade s definíciami sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu. ostrý uhol v pravouhlom trojuholníku, ktoré sú uvedené v kurze geometrie. Zdôvodnime to.

Ukážme si jednotkovú kružnicu v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme Oxy. Označme začiatočný bod A(1, 0) . Otočme ho o uhol α v rozsahu od 0 do 90 stupňov, dostaneme bod A 1 (x, y). Pustime kolmicu A 1 H z bodu A 1 na os Ox.

Je ľahké vidieť, že v pravouhlom trojuholníku sa uhol A 1 OH rovná uhlu natočenia α, dĺžka ramena OH susediaceho s týmto uhlom sa rovná osovej osi bodu A 1, teda |OH |=x, dĺžka ramena A 1 H oproti uhlu sa rovná ordináte bodu A 1, teda |A 1 H|=y, a dĺžka prepony OA 1 sa rovná jednej, pretože je to polomer jednotkovej kružnice. Potom sa podľa definície z geometrie sínus ostrého uhla α v pravouhlom trojuholníku A 1 OH rovná pomeru protiľahlej vetvy k prepone, to znamená sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. A podľa definície z trigonometrie sa sínus uhla natočenia α rovná ordináte bodu A 1, teda sinα=y. To ukazuje, že určenie sínusu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku je ekvivalentné určeniu sínusu uhla natočenia α, keď α je od 0 do 90 stupňov.

Podobne je možné ukázať, že definície kosínusu, tangensu a kotangensu ostrého uhla α sú v súlade s definíciami kosínusu, tangensu a kotangensu uhla natočenia α.

Bibliografia.

1. Geometria. 7-9 ročníkov: učebnica pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev atď.]. - 20. vyd. M.: Školstvo, 2010. - 384 s.: chor. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometria: Učebnica. pre 7-9 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. V. Pogorelov. - 2. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2001. - 224 s.: chor. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra a elementárne funkcie: Učebnica pre žiakov 9. ročníka strednej školy / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Spracoval doktor fyzikálnych a matematických vied O. N. Golovin - 4. vyd. M.: Školstvo, 1969.
4. Algebra: Učebnica pre 9. ročník. priem. škola/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky - M.: Vzdelávanie, 1990. - 272 s.: ill
5. Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 ročníkov. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2004. - 384 s.: ill.
6. Mordkovič A.G. Algebra a začiatky analýzy. 10. ročník V 2 častiach: učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. vyd., dod. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: chor. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 10. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie: základné a profilové. úrovne /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; vyd. A. B. Žižčenko. - 3. vyd. - I.: Školstvo, 2010.- 368 s.: ill.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bašmakov M.I. Algebra a začiatky analýzy: Učebnica. pre 10-11 ročníkov. priem. školy - 3. vyd. - M.: Školstvo, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

Trigonometria je odbor matematickej vedy, ktorý študuje goniometrické funkcie a ich využitie v geometrii. Vývoj trigonometrie sa začal v starovekom Grécku. Počas stredoveku vedci z Blízkeho východu a Indie významne prispeli k rozvoju tejto vedy.

Tento článok je venovaný základným pojmom a definíciám trigonometrie. Rozoberá definície základných goniometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens a kotangens. Ich význam je vysvetlený a znázornený v kontexte geometrie.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pôvodne boli definície goniometrických funkcií, ktorých argumentom je uhol, vyjadrené ako pomer strán pravouhlého trojuholníka.

Definície goniometrických funkcií

Sínus uhla (sin α) je pomer nohy oproti tomuto uhlu k prepone.

Kosínus uhla (cos α) - pomer priľahlej nohy k prepone.

Tangenta uhla (t g α) - pomer protiľahlej strany k susednej strane.

Kotangens uhla (c t g α) - pomer priľahlej strany k protiľahlej strane.

Tieto definície sú uvedené pre ostrý uhol pravouhlého trojuholníka!

Uveďme ilustráciu.

V trojuholníku ABC s pravým uhlom C sa sínus uhla A rovná pomeru ramena BC k prepone AB.

Definície sínus, kosínus, tangens a kotangens vám umožňujú vypočítať hodnoty týchto funkcií zo známych dĺžok strán trojuholníka.

Dôležité mať na pamäti!

Rozsah hodnôt sínus a kosínus je od -1 do 1. Inými slovami, sínus a kosínus nadobúdajú hodnoty od -1 do 1. Rozsah hodnôt dotyčnice a kotangens je celá číselná os, to znamená, že tieto funkcie môžu nadobúdať ľubovoľné hodnoty.

Vyššie uvedené definície platia pre ostré uhly. V trigonometrii sa zavádza pojem uhla natočenia, ktorého hodnota na rozdiel od ostrého uhla nie je obmedzená na 0 až 90 stupňov Uhol natočenia v stupňoch alebo radiánoch je vyjadrený ľubovoľným reálnym číslom od - ∞ do + ∞ .

V tejto súvislosti môžeme definovať sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla ľubovoľnej veľkosti. Predstavme si jednotkovú kružnicu so stredom v počiatku karteziánskeho súradnicového systému.

Počiatočný bod A so súradnicami (1, 0) sa otáča okolo stredu jednotkovej kružnice o určitý uhol α a smeruje do bodu A 1. Definícia je daná z hľadiska súradníc bodu A 1 (x, y).

Sínus (sin) uhla natočenia

Sínus uhla natočenia α je ordináta bodu A 1 (x, y). hriech α = y

Kosínus (cos) uhla natočenia

Kosínus uhla natočenia α je úsečka bodu A 1 (x, y). cos α = x

Tangenta (tg) uhla natočenia

Tangenta uhla natočenia α je pomerom ordináty bodu A 1 (x, y) k jeho os. t g α = y x

Kotangens (ctg) uhla natočenia

Kotangens uhla natočenia α je pomer úsečky bodu A 1 (x, y) k jeho ordinate. c t g α = x y

Sínus a kosínus sú definované pre akýkoľvek uhol natočenia. Je to logické, pretože úsečka a ordináta bodu po otočení sa dajú určiť v akomkoľvek uhle. Iná situácia je pri tangente a kotangens. Dotyčnica je nedefinovaná, keď bod po otočení smeruje k bodu s nulovou osou (0, 1) a (0, - 1). V takýchto prípadoch výraz pre dotyčnicu t g α = y x jednoducho nedáva zmysel, pretože obsahuje delenie nulou. Podobná situácia je s kotangensom. Rozdiel je v tom, že kotangens nie je definovaný v prípadoch, keď ordináta bodu ide na nulu.

Dôležité mať na pamäti!

Sínus a kosínus sú definované pre ľubovoľné uhly α.

Tangenta je definovaná pre všetky uhly okrem α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangens je definovaný pre všetky uhly okrem α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Pri riešení praktických príkladov nehovorte „sínus uhla natočenia α“. Slová „uhol natočenia“ sú jednoducho vynechané, čo znamená, že už z kontextu je jasné, o čom sa diskutuje.

čísla

A čo definícia sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla a nie uhla natočenia?

Sínus, kosínus, tangens, kotangens čísla

Sínus, kosínus, tangens a kotangens čísla t je číslo, ktoré sa rovná sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu v t radián.

Napríklad sínus čísla 10 π sa rovná sínusu uhla natočenia 10 π rad.

Existuje iný prístup k určovaniu sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu čísla. Poďme sa na to pozrieť bližšie.

Akékoľvek skutočné číslo t bod na jednotkovej kružnici je spojený so stredom v počiatku pravouhlého karteziánskeho súradnicového systému. Sínus, kosínus, dotyčnica a kotangens sú určené súradnicami tohto bodu.

Počiatočný bod na kružnici je bod A so súradnicami (1, 0).

Kladné číslo t

Záporné číslo t zodpovedá bodu, do ktorého pôjde začiatočný bod, ak sa bude pohybovať po kružnici proti smeru hodinových ručičiek a prejde dráhu t.

Teraz, keď sme vytvorili spojenie medzi číslom a bodom na kružnici, prejdeme k definícii sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu.

Sínus (hriech) t

Sínus čísla t- súradnica bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúca číslu t. hriech t = y

Kosínus (cos) t

Kosínus čísla t- súradnica bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúcej číslu t. cos t = x

Tangenta (tg) t

Tangenta čísla t- pomer zvislej osi k osovej osi bodu na jednotkovej kružnici zodpovedajúcej číslu t. t g t = y x = sin t cos t

Najnovšie definície sú v súlade s definíciou uvedenou na začiatku tohto odseku a nie sú v rozpore s ňou. Ukážte na kruh zodpovedajúci číslu t, sa zhoduje s bodom, do ktorého ide počiatočný bod po otočení o uhol t radián.

Goniometrické funkcie uhlového a číselného argumentu

Každá hodnota uhla α zodpovedá určitej hodnote sínusu a kosínusu tohto uhla. Rovnako ako všetky uhly α iné ako α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) zodpovedajú určitej hodnote dotyčnice. Kotangens, ako je uvedené vyššie, je definovaný pre všetky α okrem α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Môžeme povedať, že sin α, cos α, t g α, c t g α sú funkcie uhla alfa, alebo funkcie uhlového argumentu.

Podobne môžeme hovoriť o sínus, kosínus, tangens a kotangens ako o funkciách číselného argumentu. Každé skutočné číslo t zodpovedá určitej hodnote sínusu alebo kosínusu čísla t. Všetky čísla iné ako π 2 + π · k, k ∈ Z zodpovedajú tangensovej hodnote. Kotangens je podobne definovaný pre všetky čísla okrem π · k, k ∈ Z.

Základné funkcie trigonometrie

Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú základné goniometrické funkcie.

Z kontextu je zvyčajne jasné, s ktorým argumentom goniometrickej funkcie (uhlovým argumentom alebo číselným argumentom) máme do činenia.

Vráťme sa k definíciám uvedeným na samom začiatku a uhlu alfa, ktorý leží v rozmedzí od 0 do 90 stupňov. Trigonometrické definície sínus, kosínus, tangens a kotangens sú úplne v súlade s geometrickými definíciami danými pomermi strán pravouhlého trojuholníka. Ukážme to.

Zoberme si jednotkový kruh so stredom v pravouhlej karteziánskej súradnicovej sústave. Otočme počiatočný bod A (1, 0) o uhol až 90 stupňov a z výsledného bodu A 1 (x, y) nakreslime kolmicu na os x. Vo výslednom pravouhlom trojuholníku sa uhol A 1 O H rovná uhlu natočenia α, dĺžka ramena O H sa rovná osovej osi bodu A 1 (x, y). Dĺžka ramena oproti uhlu sa rovná ordinate bodu A 1 (x, y) a dĺžka prepony sa rovná jednej, pretože je to polomer jednotkovej kružnice.

V súlade s definíciou z geometrie sa sínus uhla α rovná pomeru opačnej strany k prepone.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

To znamená, že určenie sínusu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku pomocou pomeru strán je ekvivalentné určeniu sínusu uhla natočenia α, pričom alfa leží v rozsahu od 0 do 90 stupňov.

Podobne je možné ukázať zhodu definícií pre kosínus, tangens a kotangens.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter