Komplexné deriváty. Logaritmická derivácia.
Derivácia mocninnej exponenciálnej funkcie

Pokračujeme v zlepšovaní našej techniky diferenciácie. V tejto lekcii si upevníme preberaný materiál, pozrieme sa na zložitejšie deriváty a tiež sa zoznámime s novými technikami a trikmi na nájdenie derivátu, najmä s logaritmickou deriváciou.

Tí čitatelia, ktorí majú nízku úroveň prípravy, by si mali prečítať článok Ako nájsť derivát? Príklady riešení, čo vám umožní zvýšiť svoje zručnosti takmer od nuly. Ďalej si musíte stránku dôkladne preštudovať Derivácia komplexnej funkcie, pochopiť a vyriešiť Všetky príklady, ktoré som uviedol. Táto lekcia je logicky tretia a po jej zvládnutí s istotou rozlišujete pomerne zložité funkcie. Je nežiaduce zastávať pozíciu „Kde inde? To je dosť!“, pretože všetky príklady a riešenia sú prevzaté z reálnych testov a často sa s nimi stretávame v praxi.

Začnime opakovaním. Na lekcii Derivácia komplexnej funkcie Pozreli sme sa na množstvo príkladov s podrobnými komentármi. V priebehu štúdia diferenciálneho počtu a iných odvetví matematickej analýzy budete musieť veľmi často rozlišovať a nie vždy je vhodné (a nie vždy potrebné) opisovať príklady veľmi podrobne. Preto si hľadanie derivátov precvičíme ústne. Najvhodnejšími „kandidátmi“ na to sú deriváty najjednoduchších zložitých funkcií, napríklad:

Podľa pravidla diferenciácie komplexných funkcií :

Pri štúdiu iných matanských tém v budúcnosti sa takýto podrobný záznam najčastejšie nevyžaduje, predpokladá sa, že študent vie nájsť takéto deriváty na autopilotovi. Predstavme si, že o tretej hodine ráno zazvonil telefón a príjemný hlas sa spýtal: „Aká je derivácia dotyčnice dvoch X? Potom by mala nasledovať takmer okamžitá a zdvorilá odpoveď: .

Prvý príklad bude okamžite určený na samostatné riešenie.

Príklad 1

Nájdite nasledujúce deriváty ústne, v jednej akcii, napríklad: . Na dokončenie úlohy stačí použiť tabuľka derivácií elementárnych funkcií(ak si si to ešte nepamätal). Ak máte nejaké ťažkosti, odporúčam si lekciu znovu prečítať Derivácia komplexnej funkcie.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Odpovede na konci hodiny

Komplexné deriváty

Po predbežnej delostreleckej príprave budú príklady s 3-4-5 hniezdeniami funkcií menej desivé. Nasledujúce dva príklady sa niekomu môžu zdať komplikované, ale ak ich pochopíte (niekto bude trpieť), tak takmer všetko ostatné v diferenciálnom počte vám bude pripadať ako detský vtip.

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie

Ako už bolo uvedené, pri hľadaní derivácie komplexnej funkcie je to potrebné Správny POCHOPTE svoje investície. V prípadoch, keď existujú pochybnosti, pripomínam vám užitočnú techniku: vezmeme napríklad experimentálnu hodnotu „x“ a pokúsime sa (mentálne alebo v koncepte) nahradiť túto hodnotu do „strašného výrazu“.

1) Najprv musíme vypočítať výraz, čo znamená, že súčet je najhlbšie vloženie.

2) Potom musíte vypočítať logaritmus:

4) Potom položte kosínus:

5) V piatom kroku je rozdiel:

6) A nakoniec najvzdialenejšia funkcia je druhá odmocnina:

Vzorec na diferenciáciu komplexnej funkcie sa aplikujú v opačnom poradí, od vonkajšej funkcie po najvnútornejšiu. Rozhodujeme sa:

Zdá sa, že neexistujú žiadne chyby...

(1) Vezmite deriváciu druhej odmocniny.

(2) Zoberieme deriváciu rozdielu pomocou pravidla

(3) Derivácia trojky je nula. V druhom člene vezmeme deriváciu stupňa (kocku).

(4) Vezmite deriváciu kosínusu.

(5) Vezmite deriváciu logaritmu.

(6) A nakoniec vezmeme derivát najhlbšieho vloženia.

Môže sa to zdať príliš ťažké, ale toto nie je ten najbrutálnejší príklad. Vezmite si napríklad Kuznecovovu zbierku a oceníte všetku krásu a jednoduchosť analyzovaného derivátu. Všimol som si, že radi dávajú podobnú vec na skúške, aby si overili, či študent rozumie, ako nájsť deriváciu komplexnej funkcie, alebo nerozumie.

Nasledujúci príklad je na to, aby ste si ho vyriešili sami.

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie

Tip: Najprv použijeme pravidlá linearity a pravidlo diferenciácie produktu

Úplné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Je čas prejsť na niečo menšie a krajšie.
Nie je nezvyčajné, že príklad ukazuje súčin nie dvoch, ale troch funkcií. Ako nájsť deriváciu súčinu troch faktorov?

Príklad 4

Nájdite deriváciu funkcie

Najprv sa pozrieme, je možné premeniť súčin troch funkcií na súčin dvoch funkcií? Napríklad, ak by sme v súčine mali dva polynómy, mohli by sme otvoriť zátvorky. Ale v uvažovanom príklade sú všetky funkcie odlišné: stupeň, exponent a logaritmus.

V takýchto prípadoch je to nevyhnutné postupne uplatniť pravidlo diferenciácie produktov dvakrát

Trik je v tom, že „y“ označujeme súčin dvoch funkcií: a „ve“ označujeme logaritmus: . Prečo sa to dá urobiť? Je to naozaj – to nie je súčin dvoch faktorov a pravidlo nefunguje?! Nie je nič zložité:

Teraz zostáva použiť pravidlo druhýkrát do zátvorky:

Môžete sa tiež skrútiť a dať niečo zo zátvoriek, ale v tomto prípade je lepšie nechať odpoveď presne v tejto forme - bude to jednoduchšie skontrolovať.

Uvažovaný príklad možno vyriešiť druhým spôsobom:

Obe riešenia sú absolútne ekvivalentné.

Príklad 5

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad pre nezávislé riešenie vo vzorke je riešené pomocou prvej metódy.

Pozrime sa na podobné príklady so zlomkami.

Príklad 6

Nájdite deriváciu funkcie

Môžete sem ísť niekoľkými spôsobmi:

Alebo takto:

Ale riešenie bude napísané kompaktnejšie, ak najprv použijeme pravidlo diferenciácie kvocientu , pričom pre celý čitateľ:

V zásade je príklad vyriešený a ak sa nechá tak, nebude to chyba. Ale ak máte čas, vždy je vhodné skontrolovať návrh, či sa dá odpoveď zjednodušiť? Zredukujme vyjadrenie čitateľa na spoločného menovateľa a zbavme sa trojposchodového zlomku:

Nevýhodou dodatočných zjednodušení je, že existuje riziko chyby nie pri hľadaní derivátu, ale pri banálnych školských transformáciách. Na druhej strane učitelia často zadanie odmietnu a žiadajú, aby im „pripomenuli“ derivát.

Jednoduchší príklad, ktorý môžete vyriešiť sami:

Príklad 7

Nájdite deriváciu funkcie

Pokračujeme v ovládaní metód hľadania derivácie a teraz zvážime typický prípad, keď sa na diferenciáciu navrhuje „hrozný“ logaritmus.

Príklad 8

Nájdite deriváciu funkcie

Tu môžete prejsť dlhú cestu pomocou pravidla na diferenciáciu komplexnej funkcie:

Ale hneď prvý krok vás okamžite uvrhne do skľúčenosti - musíte vziať nepríjemnú deriváciu z zlomkovej mocniny a potom aj zo zlomku.

Preto predtým ako vziať deriváciu „sofistikovaného“ logaritmu, najprv sa zjednoduší pomocou dobre známych školských vlastností:

! Ak máte po ruke cvičný zošit, skopírujte si tieto vzorce priamo tam. Ak nemáte poznámkový blok, skopírujte si ich na kus papiera, pretože zvyšné príklady lekcie sa budú točiť okolo týchto vzorcov.

Samotné riešenie môže byť napísané asi takto:

Transformujme funkciu:

Nájdenie derivátu:

Predkonverzia samotnej funkcie značne zjednodušila riešenie. Preto, keď sa na diferenciáciu navrhuje podobný logaritmus, vždy sa odporúča „rozložiť ho“.

A teraz pár jednoduchých príkladov, ktoré môžete vyriešiť sami:

Príklad 9

Nájdite deriváciu funkcie

Príklad 10

Nájdite deriváciu funkcie

Všetky transformácie a odpovede sú na konci lekcie.

Logaritmická derivácia

Ak je derivácia logaritmu taká sladká hudba, potom vyvstáva otázka: je možné v niektorých prípadoch logaritmus umelo usporiadať? Môcť! A dokonca nevyhnutné.

Príklad 11

Nájdite deriváciu funkcie

Nedávno sme sa pozreli na podobné príklady. Čo robiť? Postupne môžete použiť pravidlo diferenciácie kvocientu a potom pravidlo diferenciácie produktu. Nevýhodou tejto metódy je, že skončíte s obrovským trojposchodovým zlomkom, s ktorým sa vôbec nechcete zaoberať.

Ale v teórii a praxi existuje taká úžasná vec ako logaritmická derivácia. Logaritmy možno umelo organizovať ich „zavesením“ na obe strany:

Poznámka : pretože funkcia môže nadobúdať záporné hodnoty, potom vo všeobecnosti musíte použiť moduly: , ktoré v dôsledku diferenciácie zaniknú. Prijateľný je však aj aktuálny dizajn, kde sa s ním štandardne počíta komplexné významy. Ale ak je to všetko prísne, potom v oboch prípadoch by sa mala urobiť výhrada.

Teraz musíte čo najviac „rozbiť“ logaritmus pravej strany (vzorce pred vašimi očami?). Popíšem tento proces veľmi podrobne:

Začnime s diferenciáciou.
Obe časti uzatvárame pod prvočíslom:

Derivát pravej strany je celkom jednoduchý, nebudem to komentovať, pretože ak čítate tento text, mali by ste s ním sebavedomo narábať.

A čo ľavá strana?

Na ľavej strane máme komplexná funkcia. Predpokladám otázku: „Prečo, je pod logaritmom jedno písmeno „Y“?

Faktom je, že táto „hra s jedným písmenom“ - JE SAMA FUNKCIOU(ak to nie je veľmi jasné, pozrite si článok Derivácia implicitne špecifikovanej funkcie). Preto je logaritmus vonkajšia funkcia a „y“ je vnútorná funkcia. A používame pravidlo na diferenciáciu komplexnej funkcie :

Na ľavej strane akoby mávnutím kúzla máme derivát. Ďalej, podľa pravidla proporcie, prenesieme „y“ z menovateľa ľavej strany do hornej časti pravej strany:

A teraz si spomeňme, o akej funkcii „hráča“ sme hovorili pri rozlišovaní? Pozrime sa na stav:

Konečná odpoveď:

Príklad 12

Nájdite deriváciu funkcie

Toto je príklad, ktorý môžete vyriešiť sami. Vzorový návrh príkladu tohto typu je na konci lekcie.

Pomocou logaritmickej derivácie bolo možné vyriešiť ktorýkoľvek z príkladov č. 4-7, ďalšia vec je, že funkcie sú tam jednoduchšie a možno použitie logaritmickej derivácie nie je veľmi opodstatnené.

Derivácia mocninnej exponenciálnej funkcie

O tejto funkcii sme zatiaľ neuvažovali. Mocninno-exponenciálna funkcia je funkcia, pre ktorú stupeň aj základ závisia od „x“. Klasický príklad, ktorý vám bude uvedený v akejkoľvek učebnici alebo prednáške:

Ako nájsť deriváciu mocninno-exponenciálnej funkcie?

Je potrebné použiť práve diskutovanú techniku ​​- logaritmickú deriváciu. Logaritmy zavesíme na obe strany:

Spravidla sa na pravej strane stupeň odoberá spod logaritmu:

Výsledkom je, že na pravej strane máme súčin dvoch funkcií, ktoré budú diferencované podľa štandardného vzorca .

Nájdeme derivát, aby sme to urobili, uzatvoríme obe časti pod ťahy:

Ďalšie akcie sú jednoduché:

Nakoniec:

Ak niektorý prevod nie je úplne jasný, pozorne si prečítajte vysvetlenia k príkladu č. 11.

V praktických úlohách bude mocninno-exponenciálna funkcia vždy komplikovanejšia ako uvažovaný príklad z prednášky.

Príklad 13

Nájdite deriváciu funkcie

Používame logaritmickú deriváciu.

Na pravej strane máme konštantu a súčin dvoch faktorov – „x“ a „logaritmus logaritmu x“ (pod logaritmus je vnorený ďalší logaritmus). Pri diferencovaní, ako si pamätáme, je lepšie okamžite presunúť konštantu z derivačného znamienka, aby neprekážala; a samozrejme uplatňujeme známe pravidlo :

Dôkaz a odvodenie vzorcov pre deriváciu prirodzeného logaritmu a logaritmu so základom a. Príklady výpočtu derivácií ln 2x, ln 3x a ln nx. Dôkaz vzorca pre deriváciu logaritmu n-tého rádu metódou matematickej indukcie.

Obsah

Pozri tiež: Logaritmus - vlastnosti, vzorce, graf
Prirodzený logaritmus - vlastnosti, vzorce, graf

Odvodenie vzorcov pre derivácie prirodzeného logaritmu a logaritmu so základom a

Derivácia prirodzeného logaritmu x sa rovná jednej delenej x:
(1) (ln x)′ =.

Derivácia logaritmu k základu a sa rovná jednej delenej premennou x vynásobenej prirodzeným logaritmom a:
(2) (log a x)′ =.

Dôkaz

Nech existuje nejaké kladné číslo, ktoré sa nerovná jednej. Uvažujme funkciu závislú od premennej x, čo je logaritmus k základu:
.
Táto funkcia je definovaná na . Nájdime jej deriváciu vzhľadom na premennú x. Podľa definície je derivát nasledujúci limit:
(3) .

Transformujme tento výraz, aby sme ho zredukovali na známe matematické vlastnosti a pravidlá. Aby sme to dosiahli, potrebujeme poznať nasledujúce skutočnosti:
A) Vlastnosti logaritmu. Budeme potrebovať nasledujúce vzorce:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Spojitosť logaritmu a vlastnosť limity pre spojitú funkciu:
(7) .
Tu je funkcia, ktorá má limit a tento limit je kladný.
IN) Význam druhej pozoruhodnej hranice:
(8) .

Aplikujme tieto fakty na naše limity. Najprv transformujeme algebraický výraz
.
Na tento účel použijeme vlastnosti (4) a (5).

.

Použime vlastnosť (7) a druhú pozoruhodnú hranicu (8):
.

A nakoniec použijeme vlastnosť (6):
.
Logaritmus na základňu e volal prirodzený logaritmus. Označuje sa takto:
.
Potom ;
.

Takto sme získali vzorec (2) pre deriváciu logaritmu.

Derivácia prirodzeného logaritmu

Ešte raz napíšeme vzorec pre deriváciu logaritmu so základom a:
.
Tento vzorec má najjednoduchší tvar pre prirodzený logaritmus, pre ktorý , . Potom
(1) .

Kvôli tejto jednoduchosti je prirodzený logaritmus veľmi široko používaný v matematickej analýze a v iných odvetviach matematiky súvisiacich s diferenciálnym počtom. Logaritmické funkcie s inými bázami možno vyjadriť prirodzeným logaritmom pomocou vlastnosti (6):
.

Deriváciu logaritmu vzhľadom na základ možno nájsť zo vzorca (1), ak zo znamienka diferenciácie odstránite konštantu:
.

Iné spôsoby, ako dokázať deriváciu logaritmu

Tu predpokladáme, že poznáme vzorec pre deriváciu exponenciály:
(9) .
Potom môžeme odvodiť vzorec pre deriváciu prirodzeného logaritmu za predpokladu, že logaritmus je inverznou funkciou exponenciály.

Dokážme vzorec pre deriváciu prirodzeného logaritmu, použitie vzorca pre deriváciu inverznej funkcie:
.
V našom prípade.
.
Inverzná funkcia k prirodzenému logaritmu je exponenciálna:
.
Jeho derivácia je určená vzorcom (9). Premenné môžu byť označené ľubovoľným písmenom. Vo vzorci (9) nahraďte premennú x za y:
.
Odvtedy
.
Potom

Vzorec je osvedčený. Teraz dokážeme vzorec pre deriváciu prirodzeného logaritmu pomocou pravidlá pre diferenciáciu zložitých funkcií
.
. Pretože funkcie a sú navzájom inverzné
(10) .
Diferencujme túto rovnicu vzhľadom na premennú x:
.
Derivácia x sa rovná jednej:
.
Aplikujeme pravidlo diferenciácie komplexných funkcií:
.
Tu . Nahradíme v (10):
.

Odtiaľ

Príklad Nájdite deriváty 2x, ln 3x A.

lnnx Pôvodné funkcie majú podobnú formu. Preto nájdeme deriváciu funkcie y = log nx . Potom dosadíme n = 2 a n = 3. A tak získame vzorce pre deriváty ln 2x 2x, .

A
Pôvodné funkcie majú podobnú formu. Preto nájdeme deriváciu funkcie .
Hľadáme teda deriváciu funkcie
1) Predstavme si túto funkciu ako komplexnú funkciu pozostávajúcu z dvoch funkcií:
2) Funkcie závislé od premennej: ;
Funkcie závislé od premennej: .
.

Nájdite deriváciu funkcie vzhľadom na premennú x:
.
Nájdite deriváciu funkcie vzhľadom na premennú:
.
Aplikujeme vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie.
.
Tu sme to nastavili.

Tak sme našli:
(11) .
Vidíme, že derivácia nezávisí od n. Tento výsledok je celkom prirodzený, ak transformujeme pôvodnú funkciu pomocou vzorca pre logaritmus súčinu:
.
- toto je konštanta. Jeho derivácia je nulová. Potom, podľa pravidla diferenciácie súčtu, máme:
.

; ; .

Derivácia logaritmu modulu x

Poďme nájsť deriváciu ďalšej veľmi dôležitej funkcie – prirodzeného logaritmu modulu x:
(12) .

Pozrime sa na prípad. Potom funkcia vyzerá takto:
.
Jeho derivát je určený vzorcom (1):
.

Teraz sa pozrime na prípad. Potom funkcia vyzerá takto:
,
Kde .
Vo vyššie uvedenom príklade sme však našli aj deriváciu tejto funkcie. Nezávisí od n a rovná sa
.
Odvtedy
.

Tieto dva prípady spojíme do jedného vzorca:
.

Preto, aby logaritmus mal základ a, máme:
.

Deriváty vyšších rádov prirodzeného logaritmu

Zvážte funkciu
.
Našli sme jeho derivát prvého rádu:
(13) .

Poďme nájsť deriváciu druhého rádu:
.
Poďme nájsť derivát tretieho rádu:
.
Poďme nájsť derivát štvrtého rádu:
.

Môžete si všimnúť, že derivácia n-tého rádu má tvar:
(14) .
Dokážme to matematickou indukciou.

Dôkaz

Dosadíme hodnotu n = 1 do vzorca (14):
.
Od , potom keď n = 1 platí vzorec (14).

Predpokladajme, že vzorec (14) je splnený pre n = k. Dokážme, že to znamená, že vzorec platí pre n = k + 1 .

V skutočnosti pre n = k máme:
.
Diferencujte vzhľadom na premennú x:

.
Takže sme dostali:
.
Tento vzorec sa zhoduje so vzorcom (14) pre n = k + 1 . Z predpokladu, že vzorec (14) platí pre n = k, teda vyplýva, že vzorec (14) platí pre n = k + 1 .

Preto vzorec (14) pre deriváciu n-tého rádu platí pre každé n.

Deriváty vyšších rádov logaritmu k základu a

Ak chcete nájsť deriváciu logaritmu n-tého rádu so základom a, musíte ho vyjadriť prirodzeným logaritmom:
.
Použitím vzorca (14) nájdeme n-tú deriváciu:
.

Pozri tiež:

Operácia nájdenia derivácie sa nazýva diferenciácia.

V dôsledku riešenia problémov hľadania derivácií najjednoduchších (a nie veľmi jednoduchých) funkcií definovaním derivácie ako limity pomeru prírastku k prírastku argumentu sa objavila tabuľka derivácií a presne definované pravidlá diferenciácie. . Prvými, ktorí pracovali v oblasti hľadania derivátov, boli Isaac Newton (1643-1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Preto v našej dobe na nájdenie derivácie akejkoľvek funkcie nepotrebujete vypočítať vyššie uvedenú hranicu pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, ale stačí použiť tabuľku deriváty a pravidlá diferenciácie. Na nájdenie derivácie je vhodný nasledujúci algoritmus.

Ak chcete nájsť derivát, potrebujete výraz pod prvočíslom rozdeliť jednoduché funkcie na komponenty a určiť, aké akcie (produkt, súčet, podiel) tieto funkcie spolu súvisia. Ďalej nájdeme derivácie elementárnych funkcií v tabuľke derivácií a vzorce pre derivácie súčinu, súčtu a kvocientu - v pravidlách diferenciácie. Tabuľka derivácií a pravidlá diferenciácie sú uvedené po prvých dvoch príkladoch.

Príklad 1 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Z pravidiel diferenciácie zistíme, že derivácia súčtu funkcií je súčtom derivácií funkcií, t.j.

Z tabuľky derivácií zistíme, že derivácia „x“ sa rovná jednej a derivácia sínusu sa rovná kosínusu. Tieto hodnoty dosadíme do súčtu derivácií a nájdeme deriváciu požadovanú podmienkou problému:

Príklad 2 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Ako deriváciu súčtu, v ktorom má druhý člen konštantný faktor, možno ho vyňať zo znamienka derivácie:

Ak stále vznikajú otázky o tom, odkiaľ niečo pochádza, zvyčajne sa vyjasnia po oboznámení sa s tabuľkou derivátov a najjednoduchšími pravidlami diferenciácie. Práve k nim prechádzame.

Tabuľka derivácií jednoduchých funkcií

1. Derivácia konštanty (čísla). Akékoľvek číslo (1, 2, 5, 200...), ktoré je vo výraze funkcie. Vždy sa rovná nule. Toto je veľmi dôležité mať na pamäti, pretože sa to vyžaduje veľmi často
2. Derivát nezávisle premennej. Najčastejšie "X". Vždy sa rovná jednej. To je tiež dôležité mať na pamäti na dlhú dobu
3. Derivácia stupňa. Pri riešení problémov musíte premeniť iné ako odmocniny na mocniny.
4. Derivácia premennej k mocnine -1
5. Derivácia odmocniny
6. Derivácia sínusu
7. Derivácia kosínusu
8. Derivácia dotyčnice
9. Derivácia kotangens
10. Derivácia arcsínusu
11. Derivát arkozínu
12. Derivácia arkustangens
13. Derivácia oblúkového kotangensu
14. Derivácia prirodzeného logaritmu
15. Derivácia logaritmickej funkcie
16. Derivácia exponenta
17. Derivácia exponenciálnej funkcie

Pravidlá diferenciácie

1. Derivácia sumy alebo rozdielu
2. Derivát produktu
2a. Derivát výrazu vynásobený konštantným faktorom
3. Derivácia kvocientu
4. Derivácia komplexnej funkcie

Pravidlo 1.Ak funkcie

sú v určitom bode diferencovateľné, potom sú funkcie diferencovateľné v tom istom bode

a

tie. derivácia algebraického súčtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu derivácií týchto funkcií.

Dôsledok. Ak sa dve diferencovateľné funkcie líšia konštantným členom, potom sú ich derivácie rovnaké, t.j.

Pravidlo 2.Ak funkcie

sú v určitom bode diferencovateľné, potom je ich produkt diferencovateľný v rovnakom bode

a

tie. Derivácia súčinu dvoch funkcií sa rovná súčtu súčinov každej z týchto funkcií a derivácie druhej.

Dôsledok 1. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie:

Dôsledok 2. Derivácia súčinu niekoľkých diferencovateľných funkcií sa rovná súčtu súčinov derivácie každého faktora a všetkých ostatných.

Napríklad pre tri multiplikátory:

Pravidlo 3.Ak funkcie

v určitom bode rozlíšiteľné A , potom je v tomto bode ich kvocient tiež diferencovateľnýu/v a

tie. derivácia kvocientu dvoch funkcií sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je rozdielom medzi súčinmi menovateľa a derivácie čitateľa a čitateľa a derivácie menovateľa a menovateľ je druhá mocnina bývalý čitateľ.

Kde hľadať veci na iných stránkach

Pri hľadaní derivátu súčinu a kvocientu v reálnych problémoch je vždy potrebné aplikovať niekoľko pravidiel diferenciácie naraz, preto je v článku viac príkladov na tieto deriváty"Derivát produktu a kvocient funkcií".

Komentujte. Nemali by ste si zamieňať konštantu (čiže číslo) ako člen v súčte a ako konštantný faktor! V prípade členu sa jeho derivácia rovná nule a v prípade konštantného faktora je vyňatá zo znamienka derivácií. Ide o typickú chybu, ktorá sa vyskytuje v počiatočnom štádiu štúdia derivátov, ale keďže bežný študent rieši niekoľko jedno- a dvojdielnych príkladov, už túto chybu nerobí.

A ak pri rozlišovaní produktu alebo kvocientu máte termín u"v, v ktorom u- číslo, napríklad 2 alebo 5, to znamená konštanta, potom sa derivácia tohto čísla bude rovnať nule, a preto sa celý člen bude rovnať nule (tento prípad je diskutovaný v príklade 10).

Ďalšou častou chybou je mechanické riešenie derivácie komplexnej funkcie ako derivácie jednoduchej funkcie. Preto derivácia komplexnej funkcie je venovaný samostatný článok. Najprv sa však naučíme nájsť derivácie jednoduchých funkcií.

Na ceste sa nezaobídete bez transformácie výrazov. Ak to chcete urobiť, možno budete musieť otvoriť príručku v nových oknách. Akcie so silami a koreňmi ln 3x Operácie so zlomkami .

Ak hľadáte riešenia na derivácie zlomkov s mocninou a odmocninou, teda keď funkcia vyzerá a potom postupujte podľa lekcie „Derivácia súčtu zlomkov s mocninami a odmocninami“.

Ak máte úlohu napr , potom absolvujete lekciu „Derivácie jednoduchých goniometrických funkcií“.

Príklady krok za krokom - ako nájsť derivát

Príklad 3 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Definujeme časti funkčného výrazu: celý výraz predstavuje súčin a jeho faktory sú súčty, v druhom z nich jeden z výrazov obsahuje konštantný faktor. Aplikujeme pravidlo diferenciácie produktu: derivácia produktu dvoch funkcií sa rovná súčtu produktov každej z týchto funkcií deriváciou druhej:

Ďalej aplikujeme pravidlo diferenciácie súčtu: derivácia algebraického súčtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu derivácií týchto funkcií. V našom prípade má v každom súčte druhý člen znamienko mínus. V každom súčte vidíme ako nezávislú premennú, ktorej derivácia sa rovná jednej, tak aj konštantu (číslo), ktorej derivácia sa rovná nule. Takže „X“ sa zmení na jednotku a mínus 5 sa zmení na nulu. V druhom výraze sa "x" vynásobí 2, takže dva vynásobíme rovnakou jednotkou ako derivácia "x". Získame nasledujúce derivačné hodnoty:

Nájdené derivácie dosadíme do súčtu produktov a získame deriváciu celej funkcie, ktorú vyžaduje podmienka úlohy:

A môžete skontrolovať riešenie problému s odvodením na.

Príklad 4. Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Musíme nájsť deriváciu kvocientu. Aplikujeme vzorec na derivovanie kvocientu: derivácia kvocientu dvoch funkcií sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je rozdielom medzi súčinmi menovateľa a derivácie čitateľa a čitateľa a deriváciou funkcie menovateľ a menovateľ je druhá mocnina predchádzajúceho čitateľa. Dostaneme:

Deriváciu faktorov v čitateli sme už našli v príklade 2. Nezabúdajme tiež, že súčin, ktorý je v aktuálnom príklade druhým faktorom v čitateli, sa berie so znamienkom mínus:

Ak hľadáte riešenia problémov, v ktorých potrebujete nájsť deriváciu funkcie, kde je súvislá kopa koreňov a mocnín, ako napr. , potom vitajte v triede "Derivácia súčtu zlomkov s mocninou a odmocninou" .

Ak sa potrebujete dozvedieť viac o deriváciách sínusov, kosínusov, dotyčníc a iných goniometrických funkcií, teda keď funkcia vyzerá , potom lekcia pre vás "Derivácie jednoduchých goniometrických funkcií" .

Príklad 5. Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. V tejto funkcii vidíme súčin, ktorého jedným z faktorov je druhá odmocnina nezávisle premennej, s deriváciou ktorej sme sa oboznámili v tabuľke derivácií. Pomocou pravidla pre diferenciáciu súčinu a tabuľkovej hodnoty derivácie odmocniny dostaneme:

Riešenie problému s odvodením môžete skontrolovať na adrese online kalkulačka derivátov .

Príklad 6. Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. V tejto funkcii vidíme kvocient, ktorého dividenda je druhou odmocninou nezávislej premennej. Pomocou pravidla diferenciácie kvocientov, ktoré sme zopakovali a aplikovali v príklade 4, a tabuľkovej hodnoty derivácie odmocniny dostaneme:

Ak sa chcete zbaviť zlomku v čitateli, vynásobte čitateľa a menovateľa číslom .

Veľmi ľahko zapamätateľné.

No, nechoďme ďaleko, okamžite zvážime inverznú funkciu. Ktorá funkcia je inverzná k exponenciálnej funkcii? Logaritmus:

V našom prípade je základom číslo:

Takýto logaritmus (teda logaritmus so základom) sa nazýva „prirodzený“ a používame preň špeciálny zápis: namiesto toho píšeme.

Čomu sa to rovná? Samozrejme, .

Derivácia prirodzeného logaritmu je tiež veľmi jednoduchá:

Príklady:

1. Nájdite deriváciu funkcie.
2. Aká je derivácia funkcie?

Odpovede: Exponenciálny a prirodzený logaritmus sú z derivačnej perspektívy jedinečne jednoduché funkcie. Exponenciálne a logaritmické funkcie s akoukoľvek inou bázou budú mať inú deriváciu, ktorú budeme analyzovať neskôr, keď si prejdeme pravidlá diferenciácie.

Pravidlá diferenciácie

Pravidlá čoho? Opäť nový termín, opäť?!...

Diferenciácia je proces hľadania derivátu.

To je všetko. Ako inak môžete nazvať tento proces jedným slovom? Nie derivácia... Matematici nazývajú diferenciál rovnakým prírastkom funkcie at. Tento výraz pochádza z latinského differentia – rozdiel. Tu.

Pri odvodzovaní všetkých týchto pravidiel použijeme dve funkcie, napríklad a. Budeme tiež potrebovať vzorce pre ich prírastky:

Celkovo existuje 5 pravidiel.

Konštanta je vyňatá z derivačného znamienka.

Ak - nejaké konštantné číslo (konštanta), potom.

Je zrejmé, že toto pravidlo funguje aj pre rozdiel: .

Poďme to dokázať. Nech je to tak, alebo jednoduchšie.

Príklady.

Nájdite derivácie funkcií:

1. v bode;
2. v bode;
3. v bode;
4. v bode.

Riešenia:

1. (derivácia je vo všetkých bodoch rovnaká, keďže ide o lineárnu funkciu, pamätáte?);

Derivát produktu

Všetko je tu podobné: predstavme si novú funkciu a nájdime jej prírastok:

odvodený:

Príklady:

1. Nájdite derivácie funkcií a;
2. Nájdite deriváciu funkcie v bode.

Riešenia:

Derivácia exponenciálnej funkcie

Teraz sú vaše znalosti dostatočné na to, aby ste sa naučili nájsť deriváciu akejkoľvek exponenciálnej funkcie, a nielen exponentov (zabudli ste, čo to je?).

Takže, kde je nejaké číslo.

Deriváciu funkcie už poznáme, takže skúsme našu funkciu zredukovať na nový základ:

Na to použijeme jednoduché pravidlo: . potom:

No podarilo sa. Teraz skúste nájsť deriváciu a nezabudnite, že táto funkcia je zložitá.

Stalo?

Tu sa presvedčte sami:

Ukázalo sa, že vzorec je veľmi podobný derivátu exponentu: ako to bolo, zostáva rovnaký, objavil sa iba faktor, ktorý je len číslom, ale nie premennou.

Príklady:
Nájdite derivácie funkcií:

Odpovede:

To je len číslo, ktoré sa bez kalkulačky nedá vypočítať, teda nedá sa zapísať v jednoduchšej forme. Preto ho v odpovedi necháme v tejto podobe.

Všimnite si, že tu je kvocient dvoch funkcií, takže použijeme zodpovedajúce pravidlo diferenciácie:

V tomto príklade súčin dvoch funkcií:

Derivácia logaritmickej funkcie

Tu je to podobné: deriváciu prirodzeného logaritmu už poznáte:

Preto nájsť ľubovoľný logaritmus s inou základňou, napríklad:

Tento logaritmus musíme zredukovať na základňu. Ako zmeníte základ logaritmu? Dúfam, že si pamätáte tento vzorec:

Len teraz namiesto toho napíšeme:

Menovateľ je jednoducho konštanta (konštantné číslo, bez premennej). Derivát sa získa veľmi jednoducho:

Deriváty exponenciálnych a logaritmických funkcií sa v jednotnej štátnej skúške takmer nikdy nenachádzajú, ale nebude zbytočné ich poznať.

Derivácia komplexnej funkcie.

Čo je to „komplexná funkcia“? Nie, toto nie je logaritmus ani arkustangens. Tieto funkcie môžu byť ťažko pochopiteľné (hoci ak sa vám zdá logaritmus ťažký, prečítajte si tému „Logaritmy“ a budete v poriadku), ale z matematického hľadiska slovo „komplexný“ neznamená „ťažký“.

Predstavte si malý dopravný pás: dvaja ľudia sedia a robia nejaké akcie s nejakými predmetmi. Napríklad prvý zabalí čokoládovú tyčinku do obalu a druhý ju previaže stuhou. Výsledkom je zložený objekt: čokoládová tyčinka zabalená a previazaná stuhou. Ak chcete zjesť čokoládovú tyčinku, musíte urobiť opačné kroky v opačnom poradí.

Vytvorme podobný matematický reťazec: najprv nájdeme kosínus čísla a potom odmocnime výsledné číslo. Takže dostaneme číslo (čokoláda), nájdem jeho kosínus (obal) a potom urovnáte, čo som dostal (previažte to stuhou). Čo sa stalo? Funkcia. Toto je príklad komplexnej funkcie: keď na zistenie jej hodnoty vykonáme prvú akciu priamo s premennou a potom druhú akciu s tým, čo vyplynulo z prvej.

Inými slovami, komplexná funkcia je funkcia, ktorej argumentom je iná funkcia: .

Pre náš príklad, .

Rovnaké kroky môžeme jednoducho urobiť v opačnom poradí: najprv to odmocni a ja potom hľadám kosínus výsledného čísla: . Je ľahké uhádnuť, že výsledok bude takmer vždy iný. Dôležitá vlastnosť komplexných funkcií: keď sa zmení poradie akcií, funkcia sa zmení.

Druhý príklad: (to isté). .

Akcia, ktorú urobíme ako posledná, bude zavolaná „vonkajšia“ funkcia, a akcia vykonaná ako prvá - podľa toho „vnútorná“ funkcia(sú to neformálne názvy, používam ich len na vysvetlenie látky jednoduchým jazykom).

Skúste sami určiť, ktorá funkcia je externá a ktorá interná:

Odpovede: Oddelenie vnútorných a vonkajších funkcií je veľmi podobné zmene premenných: napríklad vo funkcii

1. Akú akciu vykonáme ako prvú? Najprv vypočítame sínus a až potom ho dáme na kocku. To znamená, že ide o vnútornú funkciu, ale vonkajšiu.
   A pôvodnou funkciou je ich zloženie: .
2. Vnútorné: ; externé: .
   Vyšetrenie: .
3. Vnútorné: ; externé: .
   Vyšetrenie: .
4. Vnútorné: ; externé: .
   Vyšetrenie: .
5. Vnútorné: ; externé: .
   Vyšetrenie: .

Zmeníme premenné a dostaneme funkciu.

Teraz vyberieme našu čokoládovú tyčinku a budeme hľadať derivát. Postup je vždy opačný: najprv hľadáme deriváciu vonkajšej funkcie, potom výsledok vynásobíme deriváciou vnútornej funkcie. Vo vzťahu k pôvodnému príkladu to vyzerá takto:

Ďalší príklad:

Takže konečne sformulujme oficiálne pravidlo:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

Zdá sa to jednoduché, však?

Pozrime sa na príklady:

Riešenia:

1) Interné: ;

Vonkajšie: ;

2) Interné: ;

(Len sa to teraz nepokúšajte odstrihnúť! Spod kosínusu nič nevychádza, pamätáte?)

3) Interné: ;

Vonkajšie: ;

Okamžite je jasné, že ide o trojúrovňovú komplexnú funkciu: koniec koncov, toto je už sama o sebe zložitá funkcia a extrahujeme z nej aj koreň, to znamená, že vykonáme tretiu akciu (vložíme čokoládu do obalu a so stuhou v kufríku). Nie je však dôvod na strach: túto funkciu budeme stále „rozbaľovať“ v rovnakom poradí ako obvykle: od konca.

To znamená, že najprv diferencujeme koreň, potom kosínus a až potom výraz v zátvorkách. A potom to všetko vynásobíme.

V takýchto prípadoch je vhodné akcie očíslovať. To znamená, predstavme si, čo vieme. V akom poradí vykonáme akcie na výpočet hodnoty tohto výrazu? Pozrime sa na príklad:

Čím neskôr sa akcia vykoná, tým „externejšia“ bude príslušná funkcia. Postupnosť akcií je rovnaká ako predtým:

Tu je hniezdenie vo všeobecnosti 4-úrovňové. Stanovme si poradie akcie.

1. Radikálny výraz. .

2. Koreň. .

3. Sínus. .

4. Štvorec. .

5. Daj to všetko dokopy:

DERIVÁT. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Derivácia funkcie- pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu pre nekonečne malý prírastok argumentu:

Základné deriváty:

Pravidlá rozlišovania:

Konštanta je vyňatá z derivačného znamienka:

Derivát súčtu:

Derivát produktu:

Derivát kvocientu:

Derivácia komplexnej funkcie:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

1. Definujeme „internú“ funkciu a nájdeme jej deriváciu.
2. Definujeme „vonkajšiu“ funkciu a nájdeme jej deriváciu.
3. Výsledky prvého a druhého bodu vynásobíme.

Máte pocit, že pred skúškou je ešte veľa času? to je mesiac? Dva? rok? Prax ukazuje, že študent najlepšie zvládne skúšku, ak sa na ňu začne pripravovať vopred. V Jednotnej štátnej skúške je veľa ťažkých úloh, ktoré stoja školákom a budúcim uchádzačom v ceste za najvyšším skóre. Musíte sa naučiť prekonávať tieto prekážky a okrem toho to nie je ťažké. Musíte pochopiť princíp práce s rôznymi úlohami z lístkov. Potom s novými nebudú žiadne problémy.

Logaritmy sa na prvý pohľad zdajú neuveriteľne zložité, no s podrobnou analýzou sa situácia oveľa zjednoduší. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s najvyšším skóre, mali by ste rozumieť predmetnému konceptu, čo navrhujeme urobiť v tomto článku.

Najprv oddeľme tieto definície. Čo je to logaritmus (log)? Toto je indikátor výkonu, na ktorý musí byť základňa zdvihnutá, aby sa získal zadaný počet. Ak to nie je jasné, pozrime sa na základný príklad.

V tomto prípade musí byť základňa v spodnej časti zdvihnutá na druhú mocninu, aby ste získali číslo 4.

Teraz sa pozrime na druhý koncept. Derivácia funkcie v akejkoľvek forme je pojem, ktorý charakterizuje zmenu funkcie v danom bode. Ide však o školský vzdelávací program a ak máte s týmito pojmami problémy jednotlivo, oplatí sa tému zopakovať.

Derivácia logaritmu

V zadaniach jednotnej štátnej skúšky na túto tému môžete uviesť niekoľko úloh ako príklad. Na začiatok najjednoduchšia logaritmická derivácia. Je potrebné nájsť deriváciu nasledujúcej funkcie.

Musíme nájsť ďalšiu deriváciu

Existuje špeciálny vzorec.

V tomto prípade x=u, log3x=v. Do vzorca dosadíme hodnoty z našej funkcie.

Derivácia x sa bude rovnať jednej. Logaritmus je trochu zložitejší. Ale princíp pochopíte, ak hodnoty jednoducho dosadíte. Pripomeňme, že derivácia lg x je deriváciou desiatkového logaritmu a derivácia ln x je deriváciou prirodzeného logaritmu (založeného na e).

Teraz jednoducho vložte výsledné hodnoty do vzorca. Skúste to sami, potom skontrolujeme odpoveď.

Čo tu môže byť pre niektorých problém? Zaviedli sme koncept prirodzeného logaritmu. Poďme sa o tom porozprávať a zároveň prísť na to, ako s tým riešiť problémy. Neuvidíte nič zložité, najmä keď pochopíte princíp jeho fungovania. Mali by ste si na to zvyknúť, pretože sa často používa v matematike (ešte viac na vysokých školách).

Derivácia prirodzeného logaritmu

Vo svojom jadre je to derivácia logaritmu so základom e (čo je iracionálne číslo, ktoré je približne 2,7). V skutočnosti je ln veľmi jednoduché, takže sa často používa v matematike všeobecne. Vlastne vyriešiť problém s ním tiež nebude problém. Stojí za to pripomenúť, že derivácia prirodzeného logaritmu so základom e sa bude rovnať jednej delenej x. Najvýraznejšie bude riešenie nasledujúceho príkladu.

Predstavme si to ako komplexnú funkciu pozostávajúcu z dvoch jednoduchých.

Stačí previesť

Hľadáme deriváciu u vzhľadom na x

Pokračujme druhým

Použijeme metódu riešenia derivácie komplexnej funkcie dosadením u=nx.

Čo sa stalo na konci?

Teraz si spomeňme, čo n znamenalo v tomto príklade? Toto je akékoľvek číslo, ktoré sa môže objaviť pred x v prirodzenom logaritme. Je dôležité, aby ste pochopili, že odpoveď nezávisí od nej. Nahraďte čokoľvek chcete, odpoveď bude stále 1/x.

Ako vidíte, nie je tu nič zložité, stačí pochopiť princíp, ako rýchlo a efektívne vyriešiť problémy na túto tému. Teraz už teóriu poznáte, stačí ju len uviesť do praxe. Precvičte si riešenie problémov, aby ste si princíp ich riešenia dlho zapamätali. Po skončení školy tieto vedomosti možno nebudete potrebovať, no na skúške budú relevantnejšie ako kedykoľvek predtým. Veľa šťastia!