الكسر والكدمة

كم درجة الزاوية المحيطية؟ الزوايا المركزية والمسجلة

الزاوية المركزيةهي الزاوية التي يقع رأسها في مركز الدائرة.
زاوية مكتوبة- الزاوية التي يقع رأسها على دائرة ويتقاطع ضلعاها.

ويوضح الشكل الزوايا المركزية والزوايا المحيطية وأهم خصائصها.

لذا، مقدار الزاوية المركزية يساوي المقدار الزاوي للقوس الذي تقع عليه. وهذا يعني أن الزاوية المركزية التي قياسها 90 درجة ستستقر على قوس يساوي 90 درجة، أي دائرة. الزاوية المركزية التي قياسها 60 درجة، ترتكز على قوس قياسه 60 درجة، أي على الجزء السادس من الدائرة.

مقدار الزاوية المحيطية أصغر مرتين من الزاوية المركزية المبنية على نفس القوس.

أيضًا لحل المشكلات سنحتاج إلى مفهوم "الوتر".

الزوايا المركزية المتساوية تقابل أوتارًا متساوية.

1. ما هي الزاوية المحيطية المقابلة لقطر الدائرة؟ اكتب إجابتك بالدرجات.

الزاوية المحيطية التي يقابلها القطر هي زاوية قائمة.

2. الزاوية المركزية أكبر بمقدار 36 درجة من الزاوية الحادة المحيطية المقابلة لنفس القوس الدائري. أوجد الزاوية المحيطية. اكتب إجابتك بالدرجات.

دع الزاوية المركزية تكون مساوية لـ x، والزاوية المحيطية المقابلة لنفس القوس تكون مساوية لـ y.

نحن نعلم أن x = 2y.
وبالتالي 2ص = 36 + ص،
ص = 36.

3. نصف قطر الدائرة يساوي 1. أوجد قيمة الزاوية المنفرجة المحيطية المقابلة للوتر والتي تساوي . اكتب إجابتك بالدرجات.

دع الوتر AB يساوي . سيتم الإشارة إلى الزاوية المنفرجة المبنية على هذا الوتر بالرمز α.
في المثلث AOB، الضلعان AO وOB يساويان 1، والضلع AB يساوي . لقد واجهنا بالفعل مثل هذه المثلثات. من الواضح أن المثلث AOB مستطيل ومتساوي الساقين، أي أن زاوية AOB هي 90 درجة.
ثم القوس ACB يساوي 90 درجة، والقوس AKB يساوي 360 درجة - 90 درجة = 270 درجة.
تقع الزاوية المنقوشة α على القوس AKB وتساوي نصف القيمة الزاوية لهذا القوس، أي 135 درجة.

الجواب: 135.

4. يقسم الوتر AB الدائرة إلى قسمين تكون قيم درجاتهما بنسبة 5:7. ما الزاوية التي يظهر بها هذا الوتر من النقطة C التي تنتمي إلى القوس الأصغر للدائرة؟ اكتب إجابتك بالدرجات.

الشيء الرئيسي في هذه المهمة هو الرسم الصحيح وفهم الشروط. كيف تفهم السؤال: "في أي زاوية يكون الوتر مرئيًا من النقطة C؟"
تخيل أنك تجلس عند النقطة C وتحتاج إلى رؤية كل ما يحدث على الوتر AB. يبدو الأمر كما لو أن الوتر AB عبارة عن شاشة في دار سينما :-)
من الواضح أنك بحاجة إلى العثور على الزاوية ACB.
مجموع القوسين اللذين يقسم إليهما الوتر AB الدائرة يساوي 360 درجة، أي
5س + 7س = 360 درجة
ومن ثم فإن x = 30°، ومن ثم فإن الزاوية المحيطية ACB تقع على قوس يساوي 210°.
مقدار الزاوية المحيطية يساوي نصف المقدار الزاوي للقوس الذي ترتكز عليه، مما يعني أن الزاوية ACB تساوي 105°.

الزاوية المحيطية، نظرية المشكلة. أصدقاء! سنتحدث في هذه المقالة عن المهام التي تحتاج من أجلها إلى معرفة خصائص الزاوية المحيطية. هذه مجموعة كاملة من المهام، وهي مدرجة في امتحان الدولة الموحدة. يمكن حل معظمها بكل بساطة، في إجراء واحد.

هناك مسائل أكثر صعوبة، لكنها لن تمثل صعوبة كبيرة بالنسبة لك؛ فأنت بحاجة إلى معرفة خصائص الزاوية المحيطية. سنقوم تدريجيا بتحليل جميع النماذج الأولية للمهام، أدعوك إلى المدونة!

الآن النظرية اللازمة. دعونا نتذكر ما هي الزاوية المركزية والمنقوشة، والوتر، والقوس الذي ترتكز عليه هذه الزوايا:

الزاوية المركزية في الدائرة هي الزاوية المستوية معالقمة في مركزها.
جزء من الدائرة يقع داخل زاوية مستويةيسمى قوس الدائرة .
يسمى قياس درجة قوس الدائرة قياس الدرجةالزاوية المركزية المقابلة.
يقال إن الزاوية محيطة بدائرة إذا كان رأس الزاوية يقععلى دائرة، وأضلاع الزاوية تتقاطع مع هذه الدائرة.

يسمى الجزء الذي يصل بين نقطتين على الدائرةوتر. يمر الوتر الأكبر عبر مركز الدائرة ويسمىالقطر.

لحل المسائل المتعلقة بالزوايا المرسومة في دائرة،عليك أن تعرف الخصائص التالية:

1. الزاوية المحيطية تساوي نصف الزاوية المركزية على نفس القوس.

2. جميع الزوايا المحيطية المقابلة لنفس القوس متساوية.

3. جميع الزوايا المحيطية المبنية على نفس الوتر والتي تقع رؤوسها على نفس الجانب من هذا الوتر متساوية.

4. أي زوج من الزوايا المبنية على نفس الوتر، والتي تقع رءوسها على جانبي الوتر المتقابلين، مجموعهما يصل إلى 180 درجة.

النتيجة الطبيعية: مجموع الزوايا المتقابلة للشكل الرباعي المدرج في دائرة يصل إلى 180 درجة.

5. جميع الزوايا المحيطية المقابلة للقطر هي زوايا قائمة.

وعلى العموم فهذه الخاصية نتيجة للملكية (١)؛ انظر - الزاوية المركزية تساوي 180 درجة (وهذه الزاوية المكشوفة ليست أكثر من قطر)، مما يعني، وفقا للخاصية الأولى، أن الزاوية المنقوشة C تساوي نصفها، أي 90 درجة.

تساعد معرفة هذه الخاصية في حل العديد من المشكلات وتسمح لك غالبًا بتجنب الحسابات غير الضرورية. بعد أن أتقنتها جيدًا، ستتمكن من حل أكثر من نصف المشكلات من هذا النوع شفهيًا. استنتاجان يمكن استخلاصهما:

النتيجة الطبيعية 1: إذا كان هناك مثلث محصور في دائرة وتطابق أحد أضلاعه مع قطر هذه الدائرة، فإن المثلث قائم الزاوية (رأس الزاوية القائمة يقع على الدائرة).

النتيجة الطبيعية 2: مركز الدائرة المحيطة بالمثلث قائم الزاوية يتطابق مع منتصف وترها.

يتم أيضًا حل العديد من النماذج الأولية للمشكلات المجسمة باستخدام هذه الخاصية وهذه العواقب. تذكر الحقيقة نفسها: إذا كان قطر الدائرة هو أحد أضلاع المثلث المدرج، فإن هذا المثلث قائم الزاوية (الزاوية المقابلة للقطر هي 90 درجة). يمكنك استخلاص جميع الاستنتاجات والعواقب الأخرى بنفسك؛

كقاعدة عامة، يتم إعطاء نصف المسائل المتعلقة بالزاوية المحيطية برسم تخطيطي، ولكن بدون رموز. لفهم عملية التفكير عند حل المشكلات (أدناه في المقالة)، تم تقديم رموز القمم (الزوايا). ليس عليك القيام بذلك في امتحان الدولة الموحدة.دعونا نفكر في المهام:

ما قيمة الزاوية المحيطية الحادة المقابلة لوتر يساوي نصف قطر الدائرة؟ اكتب إجابتك بالدرجات.

دعونا نبني زاوية مركزية لزاوية منقوشة معينة ونحدد القمم:

وفقا لخاصية الزاوية الموضحة في الدائرة:

الزاوية AOB تساوي 60 0، بما أن المثلث AOB متساوي الأضلاع، وفي المثلث متساوي الأضلاع جميع الزوايا تساوي 60 0. أضلاع المثلث متساوية، لأن الشرط ينص على أن الوتر يساوي نصف القطر.

وبالتالي فإن الزاوية المحيطية ACB تساوي 30 0.

الجواب: 30

أوجد الوتر الذي تدعمه زاوية قياسها 30 0 محصورة في دائرة نصف قطرها 3.

هذه هي في الأساس المشكلة العكسية (للمشكلة السابقة). دعونا نبني الزاوية المركزية.

وهي ضعف حجم الزاوية المنقوشة، أي أن الزاوية AOB تساوي 60 0. من هذا يمكننا أن نستنتج أن المثلث AOB متساوي الأضلاع. ومن ثم، فإن الوتر يساوي نصف القطر، أي ثلاثة.

الجواب: 3

نصف قطر الدائرة هو 1. أوجد مقدار الزاوية المنفرجة المحيطية المقابلة للوتر التي تساوي جذر اثنين. اكتب إجابتك بالدرجات.

دعونا نبني الزاوية المركزية:

بمعرفة نصف القطر والوتر، يمكننا إيجاد الزاوية المركزية ASV. ويمكن القيام بذلك باستخدام نظرية جيب التمام. بمعرفة الزاوية المركزية، يمكننا بسهولة إيجاد الزاوية المحيطية ACB.

نظرية جيب التمام: مربع أي جانب من أضلاع المثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، دون ضعف حاصل ضرب هذين الجانبين في جيب تمام الزاوية بينهما.

وبالتالي فإن الزاوية المركزية الثانية هي 360 0 – 90 0 = 270 0 .

الزاوية ACB حسب خاصية الزاوية المحيطية تساوي نصفها، أي 135 درجة.

الجواب: 135

أوجد الوتر المقابل بزاوية قياسها ١٢٠ درجة محصورة في دائرة نصف قطرها جذر ثلاثة.

دعونا نربط النقطتين A و B بمركز الدائرة. دعنا نشير إليها بـ O:

نحن نعرف نصف القطر والزاوية المنقوشة ASV. يمكننا إيجاد الزاوية المركزية AOB (أكبر من 180 درجة)، ثم إيجاد الزاوية AOB في المثلث AOB. وبعد ذلك، باستخدام نظرية جيب التمام، احسب AB.

وفقًا لخاصية الزاوية المحيطية، فإن الزاوية المركزية AOB (التي يزيد قياسها عن 180 درجة) ستكون مساوية لضعف الزاوية المحيطية، أي 240 درجة. وهذا يعني أن الزاوية AOB في المثلث AOB تساوي 360 0 – 240 0 = 120 0.

وفقا لنظرية جيب التمام:

الجواب:3

أوجد الزاوية المحيطية المقابلة لقوس يمثل 20% من الدائرة. اكتب إجابتك بالدرجات.

وبحسب خاصية الزاوية المحيطية فهي نصف حجم الزاوية المركزية بناء على نفس القوس، وفي هذه الحالة نتحدث عن القوس AB.

يقال أن القوس AB يساوي 20 بالمائة من المحيط. وهذا يعني أن الزاوية المركزية AOB هي أيضًا 20 بالمائة من 360 0.*الدائرة هي زاوية قياسها 360 درجة. وسائل،

وبالتالي، فإن الزاوية المحيطية ACB هي 36 درجة.

الجواب: 36

قوس الدائرة مكيف الهواء، لا تحتوي على نقطة ب، 200 درجة. وقوس الدائرة BC لا يحتوي على نقطة أ، 80 درجة. أوجد الزاوية المحيطية ACB. اكتب إجابتك بالدرجات.

من أجل الوضوح، دعونا نشير إلى الأقواس التي تم إعطاء قياساتها الزاوية. القوس المقابل لـ 200 درجة باللون الأزرق، والقوس المقابل لـ 80 درجة باللون الأحمر، والجزء المتبقي من الدائرة باللون الأصفر.

وبالتالي فإن درجة قياس القوس AB (أصفر)، وبالتالي فإن الزاوية المركزية AOB هي: 360 0 – 200 0 – 80 0 = 80 0 .

الزاوية المحيطية ACB هي نصف حجم الزاوية المركزية AOB، أي تساوي 40 درجة.

الجواب: 40

ما الزاوية المحيطية المقابلة لقطر الدائرة؟ اكتب إجابتك بالدرجات.

أولا، دعونا نفهم الفرق بين الدائرة والدائرة. ولرؤية هذا الاختلاف، يكفي أن نفكر في ماهية كلا الرقمين. هذه هي عدد لا حصر له من النقاط على المستوى، وتقع على مسافة متساوية من نقطة مركزية واحدة. ولكن، إذا كانت الدائرة تتكون أيضًا من مساحة داخلية، فهي لا تنتمي إلى الدائرة. اتضح أن الدائرة عبارة عن دائرة تحدها (دائرة (ص))، وعدد لا يحصى من النقاط الموجودة داخل الدائرة.

بالنسبة لأي نقطة L تقع على الدائرة، تنطبق المساواة OL=R. (طول القطعة OL يساوي نصف قطر الدائرة).

القطعة التي تصل بين نقطتين على الدائرة هي وتر.

الوتر الذي يمر مباشرة بمركز الدائرة هو القطرهذه الدائرة (د). يمكن حساب القطر باستخدام الصيغة: D=2R

محيطمحسوبة بالصيغة: C=2\pi R

مساحة الدائرة: S=\pi R^(2)

قوس الدائرةويسمى الجزء الذي يقع بين نقطتيه منه. تحدد هاتان النقطتان قوسين من الدائرة. يحمل القرص المضغوط الوتر قوسين: CMD وCLD. الحبال المتطابقة تقابل أقواسًا متساوية.

الزاوية المركزيةتسمى الزاوية التي تقع بين نصفي قطرين .

طول القوسيمكن العثور عليها باستخدام الصيغة:

استخدام مقياس الدرجة: القرص المضغوط = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
باستخدام قياس الراديان: CD = \alpha R

القطر المتعامد على الوتر يقسم الوتر والأقواس المنقبضة به إلى النصف.

إذا تقاطع الأوتار AB و CD للدائرة عند النقطة N، فإن منتجات شرائح الأوتار المفصولة بالنقطة N تكون متساوية مع بعضها البعض.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

مماس لدائرة

مماس لدائرةمن المعتاد تسمية خط مستقيم له نقطة مشتركة مع الدائرة.

إذا كان الخط يحتوي على نقطتين مشتركتين، فإنه يسمى قاطع.

إذا قمت برسم نصف القطر إلى نقطة المماس، فسيكون عموديًا على مماس الدائرة.

لنرسم مماسين من هذه النقطة إلى دائرتنا. اتضح أن شرائح الظل ستكون متساوية، وسيكون مركز الدائرة موجودا على منصف الزاوية مع قمة الرأس عند هذه النقطة.

أس = سي بي

والآن لنرسم مماسًا وقاطعًا للدائرة من النقطة التي لدينا. نحصل على أن مربع طول القطعة المماسية سيكون مساويًا لمنتج القطعة القاطعة بأكملها وجزءها الخارجي.

AC^(2) = CD \cdot BC

يمكننا أن نستنتج: منتج قطعة كاملة من القاطع الأول وجزءه الخارجي يساوي منتج قطعة كاملة من القاطع الثاني وجزءه الخارجي.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

زوايا في دائرة

إن قياسات درجات الزاوية المركزية والقوس الذي تقع عليه متساوية.

\زاوية COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

زاوية مكتوبةهي الزاوية التي رأسها على دائرة، وجوانبها تحتوي على أوتار.

ويمكنك حسابه بمعرفة حجم القوس، فهو يساوي نصف هذا القوس.

\زاوية AOB = 2 \زاوية ADB

بناءً على القطر، الزاوية المحيطية، الزاوية القائمة.

\زاوية CBD = \زاوية CED = \زاوية CAD = 90^ (\circ)

الزوايا المحيطية التي لها نفس القوس متطابقة.

الزوايا المحيطية المرتكزة على وتر واحد متطابقة أو مجموعها يساوي 180^ (\circ) .

\زاوية ADB + \زاوية AKB = 180^ (\circ)

\زاوية ADB = \زاوية AEB = \زاوية AFB

على نفس الدائرة توجد رؤوس المثلثات ذات الزوايا المتطابقة وقاعدة معينة.

الزاوية ذات الرأس داخل الدائرة وتقع بين وترين تساوي نصف مجموع القيم الزاوية لأقواس الدائرة الموجودة ضمن الزوايا المعطاة والرأسية.

\زاوية DMC = \زاوية ADM + \زاوية DAM = \frac(1)(2) \يسار (\cup DmC + \cup AlB \يمين)

الزاوية التي رأسها خارج الدائرة وتقع بين قاطعين تساوي نصف الفرق في القيم الزاوية لأقواس الدائرة الموجودة داخل الزاوية.

\زاوية M = \زاوية CBD - \زاوية ACB = \frac(1)(2) \يسار (\cup DmC - \cup AlB \يمين)

دائرة مكتوبة

دائرة مكتوبةهي دائرة مماسة لجوانب المضلع.

عند النقطة التي تتقاطع فيها منصفات زوايا المضلع يقع مركزه.

لا يجوز إدراج دائرة في كل مضلع.

تم العثور على مساحة المضلع الذي يحتوي على دائرة منقوشة بالصيغة:

س = العلاقات العامة،

p هو نصف محيط المضلع،

r هو نصف قطر الدائرة المنقوشة.

ويترتب على ذلك أن نصف قطر الدائرة المنقوشة يساوي:

ص = \frac(S)(ع)

يكون مجموع أطوال الأضلاع المتقابلة متماثلاً إذا كانت الدائرة مدرجة في شكل رباعي محدب. والعكس صحيح: تدخل الدائرة في شكل رباعي محدب إذا كان مجموع أطوال الأضلاع المتقابلة متطابقًا.

أ ب + تيار مستمر = م + ق.م

من الممكن كتابة دائرة في أي من المثلثات. واحدة فقط . عند النقطة التي تتقاطع فيها منصفات الزوايا الداخلية للشكل، يقع مركز هذه الدائرة المنقوشة.

يتم حساب نصف قطر الدائرة المنقوشة بالصيغة:

ص = \frac(S)(ع) ,

حيث p = \frac(a + b + c)(2)

محيط

إذا مرت دائرة عبر كل قمة من مضلع، فعادة ما تسمى هذه الدائرة وصف حول المضلع.

عند نقطة تقاطع المنصفات المتعامدة لجوانب هذا الشكل سيكون مركز الدائرة المحيطة.

يمكن العثور على نصف القطر عن طريق حسابه على أنه نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث المحدد بواسطة أي رؤوس ثلاثية للمضلع.

هناك الشرط التالي: لا يمكن وصف الدائرة حول شكل رباعي إلا إذا كان مجموع الزوايا المقابلة لها يساوي 180^( \circ) .

\الزاوية A + \الزاوية C = \الزاوية B + \الزاوية D = 180^ (\circ)

حول أي مثلث يمكنك وصف دائرة، واحدة فقط. سيكون مركز هذه الدائرة عند النقطة التي تتقاطع فيها المنصفات المتعامدة لجوانب المثلث.

يمكن حساب نصف قطر الدائرة المحددة باستخدام الصيغ:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4 S)

أ، ب، ج هي أطوال أضلاع المثلث،

S هي مساحة المثلث.

نظرية بطليموس

وأخيرا، النظر في نظرية بطليموس.

تنص نظرية بطليموس على أن حاصل ضرب الأقطار يساوي مجموع حاصل ضرب الأضلاع المتقابلة في الشكل الرباعي الدائري.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD

في أغلب الأحيان، تبدأ عملية التحضير لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات بتكرار التعريفات والصيغ والنظريات الأساسية، بما في ذلك موضوع "الزوايا المركزية والمدرجة في الدائرة". كقاعدة عامة، يتم دراسة هذا القسم من Planimetry في المدرسة الثانوية. ليس من المستغرب أن يواجه العديد من الطلاب الحاجة إلى مراجعة المفاهيم والنظريات الأساسية حول موضوع "الزاوية المركزية للدائرة". بعد فهم الخوارزمية لحل مثل هذه المهام، يمكن لأطفال المدارس الاعتماد على تلقي درجات تنافسية بناء على نتائج اجتياز امتحان الدولة الموحدة.

كيف تستعد بسهولة وفعالية لاجتياز اختبار الشهادة؟

عند الدراسة قبل اجتياز امتحان الدولة الموحدة، يواجه العديد من طلاب المدارس الثانوية مشكلة العثور على المعلومات اللازمة حول موضوع "الزوايا المركزية والمدرجة في الدائرة". ليس الحال دائمًا أن يكون الكتاب المدرسي في متناول اليد. ويستغرق البحث عن الصيغ على الإنترنت أحيانًا الكثير من الوقت.

ستساعدك بوابتنا التعليمية على "زيادة" مهاراتك وتحسين معرفتك في هذا القسم الصعب من الهندسة مثل علم التخطيط. يقدم "شكولكوفو" لطلاب المدارس الثانوية ومعلميهم طريقة جديدة لبناء عملية التحضير لامتحان الدولة الموحد. يتم تقديم جميع المواد الأساسية من قبل المتخصصين لدينا في الشكل الأكثر سهولة. بعد قراءة المعلومات في قسم "الخلفية النظرية"، سيتعلم الطلاب ما هي خصائص الزاوية المركزية للدائرة، وكيفية العثور على قيمتها، وما إلى ذلك.

ومن ثم، لتعزيز المعرفة المكتسبة ومهارات الممارسة، نوصي بإجراء التمارين المناسبة. يتم عرض مجموعة كبيرة من المهام للعثور على حجم الزاوية المدرج في دائرة والمعلمات الأخرى في قسم "الكتالوج". لكل تمرين، كتب خبراؤنا حلاً مفصلاً وأشاروا إلى الإجابة الصحيحة. يتم استكمال وتحديث قائمة المهام الموجودة على الموقع باستمرار.

يمكن لطلاب المدارس الثانوية الاستعداد لامتحان الدولة الموحدة من خلال ممارسة التمارين، على سبيل المثال، العثور على مقدار الزاوية المركزية وطول قوس الدائرة، عبر الإنترنت، من أي منطقة روسية.

إذا لزم الأمر، يمكن حفظ المهمة المكتملة في قسم "المفضلة" للعودة إليها لاحقًا وتحليل مبدأ حلها مرة أخرى.

المستوى المتوسط

الدائرة والزاوية المحيطية. الدليل المرئي (2019)

المصطلحات الأساسية.

ما مدى تذكرك لجميع الأسماء المرتبطة بالدائرة؟ فقط في حالة، دعونا نذكرك - انظر إلى الصور - قم بتحديث معلوماتك.

حسنًا، أولاً وقبل كل شيء - مركز الدائرة هو النقطة التي تكون المسافات بينها وبين جميع نقاط الدائرة متساوية.

ثانيًا - نصف القطر - قطعة مستقيمة تصل المركز بنقطة على الدائرة.

هناك الكثير من أنصاف الأقطار (ما يعادل عدد النقاط الموجودة على الدائرة)، ولكن جميع أنصاف الأقطار لها نفس الطول.

في بعض الأحيان لفترة قصيرة نصف القطريسمونه بالضبط طول الجزء"المركز هو نقطة على الدائرة" وليس القطعة نفسها.

وهذا ما يحدث إذا قمت بتوصيل نقطتين على دائرة؟ أيضا شريحة؟

لذلك، يسمى هذا الجزء "وتر".

كما هو الحال في حالة نصف القطر، غالبًا ما يكون القطر هو طول القطعة التي تربط نقطتين على الدائرة وتمر عبر المركز. بالمناسبة، كيف يرتبط القطر ونصف القطر؟ انظر بعناية. بالطبع نصف القطر يساوي نصف القطر.

بالإضافة إلى الحبال، هناك أيضا قاطعة.

تذكر أبسط شيء؟

الزاوية المركزية هي الزاوية بين نصفي قطرين.

والآن - الزاوية المنقوشة

الزاوية المحيطية - الزاوية المحصورة بين وترين متقاطعين عند نقطة على الدائرة.

في هذه الحالة، يقولون أن الزاوية المحيطية تقع على قوس (أو على وتر).

انظر إلى الصورة:

قياسات الأقواس والزوايا.

محيط. يتم قياس الأقواس والزوايا بالدرجات والراديان. أولا، حول الدرجات. لا توجد مشاكل بالنسبة للزوايا - عليك أن تتعلم كيفية قياس القوس بالدرجات.

قياس الدرجة (حجم القوس) هو القيمة (بالدرجات) للزاوية المركزية المقابلة

ما معنى كلمة "مناسب" هنا؟ دعونا ننظر بعناية:

هل ترى قوسين وزاويتين مركزيتين؟ حسنًا، القوس الأكبر يتوافق مع زاوية أكبر (ولا بأس أن تكون أكبر)، والقوس الأصغر يتوافق مع زاوية أصغر.

لذلك، اتفقنا على أن القوس يحتوي على نفس عدد درجات الزاوية المركزية المقابلة له.

والآن عن الشيء المخيف - حول الراديان!

أي نوع من الوحش هذا "الراديان"؟

يتصور: الراديان هي وسيلة لقياس الزوايا... بنصف القطر!

زاوية الراديان هي زاوية مركزية طول قوسها يساوي نصف قطر الدائرة.

ثم يطرح السؤال: كم عدد الراديان الموجود في الزاوية المستقيمة؟

بمعنى آخر: كم عدد أنصاف الأقطار "الملائمة" في نصف الدائرة؟ أو بطريقة أخرى: كم مرة يكون طول نصف الدائرة أكبر من نصف القطر؟

طرح العلماء هذا السؤال في اليونان القديمة.

وهكذا، وبعد بحث طويل، اكتشفوا أن نسبة المحيط إلى نصف القطر لا ينبغي التعبير عنها بأرقام "بشرية" مثل، وما إلى ذلك.

وليس من الممكن حتى التعبير عن هذا الموقف من خلال الجذور. أي أنه يتبين أنه من المستحيل القول بأن نصف الدائرة أكبر من نصف القطر مرات أو مرات! هل يمكنك أن تتخيل مدى روعة اكتشاف الناس لهذا الأمر لأول مرة؟! بالنسبة لنسبة طول نصف الدائرة إلى نصف القطر، لم تكن الأرقام "العادية" كافية. كان علي أن أدخل رسالة.

إذن - هذا رقم يعبر عن نسبة طول نصف الدائرة إلى نصف القطر.

الآن يمكننا الإجابة على السؤال: كم عدد الراديان الموجود في الزاوية المستقيمة؟ أنه يحتوي على راديان. على وجه التحديد لأن نصف الدائرة أكبر من نصف القطر مرات.

الناس القدماء (وليسوا القدماء) على مر القرون (!) حاولت حساب هذا الرقم الغامض بشكل أكثر دقة، للتعبير عنه بشكل أفضل (على الأقل تقريبًا) من خلال الأرقام "العادية". والآن نحن كسالى بشكل لا يصدق - علامتان بعد يوم حافل تكفيان لنا، لقد اعتدنا على ذلك

فكر في الأمر، فهذا يعني، على سبيل المثال، أن طول الدائرة التي يبلغ قطرها واحدًا متساويًا تقريبًا، ولكن من المستحيل ببساطة تسجيل هذا الطول الدقيق برقم "بشري" - فأنت بحاجة إلى حرف. ومن ثم فإن هذا المحيط سيكون متساويًا. وبالطبع، محيط نصف القطر متساوي.

دعنا نعود إلى الراديان.

لقد اكتشفنا بالفعل أن الزاوية المستقيمة تحتوي على راديان.

ما لدينا:

هذا يعني أنني سعيد، أي أنا سعيد. بنفس الطريقة، يتم الحصول على لوحة ذات الزوايا الأكثر شعبية.

العلاقة بين قيم الزوايا المحيطية والمركزية.

هناك حقيقة مذهلة:

الزاوية المحيطية هي نصف حجم الزاوية المركزية المقابلة لها.

انظر كيف يبدو هذا البيان في الصورة. الزاوية المركزية "المقابلة" هي التي يتطابق طرفاها مع طرفي الزاوية المحيطية، ويكون رأسها في المركز. وفي الوقت نفسه، يجب أن "تنظر" الزاوية المركزية "المقابلة" إلى نفس الوتر () مثل الزاوية المنقوشة.

لماذا هذا؟ دعونا ننظر إلى حالة بسيطة أولا. دع أحد الحبال يمر عبر المركز. يحدث مثل هذا في بعض الأحيان، أليس كذلك؟

ماذا يحدث هنا؟ دعونا نفكر. إنها متساوية الساقين - بعد كل شيء، و- نصف القطر. لذلك (وصفتهم).

الآن دعونا ننظر. هذه هي الزاوية الخارجية ل! ونتذكر أن الزاوية الخارجية تساوي مجموع زاويتين داخليتين غير مجاورتين لها، ونكتب:

إنه! تأثير غير متوقع. ولكن هناك أيضًا زاوية مركزية للنقش.

وهذا يعني أنهم في هذه الحالة أثبتوا أن الزاوية المركزية هي ضعف الزاوية المحيطية. لكنها حالة خاصة مؤلمة: أليس صحيحا أن الوتر لا يمر دائما مباشرة عبر المركز؟ لكن لا بأس، الآن هذه الحالة تحديدًا ستساعدنا كثيرًا. انظر: الحالة الثانية: دع المركز يكمن في الداخل.

دعونا نفعل هذا: ارسم القطر. وبعد ذلك... نرى صورتين تم تحليلهما بالفعل في الحالة الأولى. لذلك لدينا ذلك بالفعل

وهذا يعني (في الرسم، أ)

حسنًا، هذا يترك الحالة الأخيرة: المركز خارج الزاوية.

نحن نفعل نفس الشيء: ارسم القطر من خلال النقطة. كل شيء هو نفسه، ولكن بدلا من المبلغ هناك فرق.

هذا كل شيء!

لنستنتج الآن نتيجتين رئيسيتين وهامتين للغاية من عبارة أن الزاوية المحيطية هي نصف الزاوية المركزية.

النتيجة الطبيعية 1

جميع الزوايا المحيطية المبنية على قوس واحد متساوية مع بعضها البعض.

نوضح:

هناك عدد لا يحصى من الزوايا المحيطية المبنية على نفس القوس (لدينا هذا القوس)، قد تبدو مختلفة تمامًا، لكنها جميعها لها نفس الزاوية المركزية ()، مما يعني أن كل هذه الزوايا المحيطية متساوية فيما بينها.

النتيجة الطبيعية 2

الزاوية المقابلة للقطر هي زاوية قائمة.

انظر: ما هي الزاوية المركزية؟

بالتأكيد، . لكنه متساو! حسنًا، إذن (بالإضافة إلى العديد من الزوايا المنقوشة التي ترتكز عليها) فهي متساوية.

الزاوية بين وترين وقاطعين

ولكن ماذا لو كانت الزاوية التي نهتم بها ليست منقوشة وليست مركزية، ولكن على سبيل المثال، على النحو التالي:

أو مثل هذا؟

هل من الممكن التعبير عنها بطريقة ما من خلال بعض الزوايا المركزية؟ اتضح أن هذا ممكن. انظر: نحن مهتمون.

أ) (كركن خارجي ل). لكن - منقوش، يرتكز على القوس -. - منقوشة ترتكز على القوس - .

للجمال يقولون:

الزاوية بين الأوتار تساوي نصف مجموع القيم الزاوية للأقواس المحاطة بهذه الزاوية.

لقد كتبوا هذا للإيجاز، ولكن بالطبع، عند استخدام هذه الصيغة، عليك أن تضع في اعتبارك الزوايا المركزية

ب) والآن - "في الخارج"! كيف يمكن أن يكون هذا؟ نعم، نفس الشيء تقريبا! الآن فقط (مرة أخرى نطبق خاصية الزاوية الخارجية لـ). هذا هو الآن.

وهذا يعني... دعونا نضفي الجمال والإيجاز على الملاحظات والصياغة:

الزاوية بين القاطعات تساوي نصف الفرق في القيم الزاوية للأقواس المحيطة بهذه الزاوية.

حسنًا، أنت الآن مسلح بكل المعرفة الأساسية حول الزوايا المرتبطة بالدائرة. المضي قدما، واتخاذ التحديات!

دائرة وزاوية داخلية. المستوى المتوسط

حتى الطفل البالغ من العمر خمس سنوات يعرف ما هي الدائرة، أليس كذلك؟ علماء الرياضيات، كما هو الحال دائما، لديهم تعريف غامض في هذا الشأن، لكننا لن نعطيه (انظر)، بل دعونا نتذكر ما تسمى النقاط والخطوط والزوايا المرتبطة بالدائرة.

شروط هامة

حسنًا، أولاً وقبل كل شيء:

مركز الدائرة- النقطة التي تكون جميع نقاط الدائرة على مسافة واحدة منها.

ثانيًا:

هناك تعبير آخر مقبول: "الوتر يتعاقد مع القوس". هنا في الشكل، على سبيل المثال، يقابل الوتر القوس. وإذا مر الوتر فجأة عبر المركز، فسيكون له اسم خاص: "القطر".

بالمناسبة، كيف يرتبط القطر ونصف القطر؟ انظر بعناية. بالطبع

والآن - أسماء الزوايا.

طبيعي، أليس كذلك؟ وتمتد أضلاع الزاوية من المركز - مما يعني أن الزاوية مركزية.

هذا هو المكان الذي تنشأ فيه الصعوبات في بعض الأحيان. انتبه - لا يتم إدراج أي زاوية داخل الدائرة،ولكن فقط الشخص الذي "يقع" رأسه على الدائرة نفسها.

دعونا نرى الفرق في الصور:

ويقولون بطريقة أخرى:

هناك نقطة واحدة صعبة هنا. ما هي الزاوية المركزية "المقابلة" أو "الخاصة"؟ مجرد زاوية رأسها في مركز الدائرة وطرفاها عند طرفي القوس؟ ليس حقيقيًا. انظر إلى الرسم.

ومع ذلك، فإن إحداها لا تبدو وكأنها زاوية، بل إنها أكبر. لكن المثلث لا يمكن أن يحتوي على زوايا أكثر، لكن الدائرة قد تكون كذلك! لذلك: القوس الأصغر AB يتوافق مع زاوية أصغر (برتقالية)، والقوس الأكبر يتوافق مع زاوية أكبر. تماما مثل ذلك، أليس كذلك؟

العلاقة بين قياسات الزوايا المحيطية والمركزية

وتذكر هذا البيان المهم جدا:

في الكتب المدرسية يحبون كتابة هذه الحقيقة نفسها مثل هذا:

أليس صحيحًا أن الصيغة أبسط مع الزاوية المركزية؟

ولكن مع ذلك، دعونا نجد التطابق بين الصيغتين، وفي الوقت نفسه نتعلم كيف نجد في الرسومات الزاوية المركزية "المقابلة" والقوس الذي "ترتكز عليه" الزاوية المنقوشة.

انظر: هذه دائرة وزاوية محيطية:

أين تقع الزاوية المركزية "المقابلة" لها؟

دعونا ننظر مرة أخرى:

ما هي القاعدة؟

لكن! في هذه الحالة، من المهم أن "تنظر" الزوايا المنقوشة والمركزية إلى القوس من جانب واحد. هنا على سبيل المثال:

ومن الغريب أنه أزرق! لأن القوس طويل، أطول من نصف الدائرة! لذلك لا تخلط أبدا!

ما هي النتيجة التي يمكن استخلاصها من "نصف" الزاوية المحيطية؟

لكن على سبيل المثال:

الزاوية المقابلة للقطر

هل لاحظت بالفعل أن علماء الرياضيات يحبون التحدث عن نفس الشيء بكلمات مختلفة؟ لماذا يحتاجون هذا؟ كما ترون، لغة الرياضيات، على الرغم من أنها رسمية، إلا أنها حية، وبالتالي، كما هو الحال في اللغة العادية، في كل مرة تريد أن تقولها بطريقة أكثر ملاءمة. حسنًا، لقد رأينا بالفعل ما تعنيه عبارة "الزاوية التي تقع على قوس". وتخيل أن نفس الصورة تسمى "الزاوية ترتكز على وتر". أيها؟ نعم بالطبع لمن يشد هذا القوس!

متى يكون الاعتماد على الوتر أكثر ملاءمة من الاعتماد على القوس؟

حسنًا، على وجه الخصوص، عندما يكون هذا الوتر عبارة عن قطر.

هناك عبارة بسيطة وجميلة ومفيدة بشكل مدهش لمثل هذه الحالة!

انظر: هذه هي الدائرة والقطر والزاوية التي تقع عليها.