الإعلان على البوابة

العمليات مع المتجهات

اجعل $\overrightarrow(a)$ و$\overrightarrow(b)$ متجهين (الشكل 1، أ).

لنأخذ نقطة عشوائية O ونبني المتجه $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a)$ . ثم من النقطة A نرسم المتجه $\overrightarrow(AB) = \overrightarrow(b)$. يسمى المتجه $\overrightarrow(OB)$ الذي يربط بداية الحد الأول من المتجه بنهاية الحد الثاني (الشكل 1، ب) بمجموع هذه المتجهات ويشار إليه بـ $\overrightarrow(a) + \ السهم الأيمن(ب)$$ ( حكم المثلث).

ويمكن الحصول على نفس مجموع المتجهات بطريقة أخرى. دعونا نرسم المتجهات $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a) \,and\, \overrightarrow(OS) = \overrightarrow(b) $ من النقطة O (الشكل 1، ج). دعونا نبني متوازي الأضلاع OABC على هذه المتجهات كما هو الحال على الجوانب. من الواضح أن المتجه $\overrightarrow(OB)$، الذي يعمل كقطر لمتوازي الأضلاع المرسوم من الرأس O، هو مجموع المتجهات $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$ ( قاعدة متوازي الأضلاع). من الشكل 1، فيويترتب على ذلك مباشرة أن مجموع المتجهين له الخاصية التبادلية: $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) = \overrightarrow(b) + \overrightarrow(a)$

في الواقع، كل من المتجهات $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) \,and\, = \overrightarrow(b) + \overrightarrow(a)$ يساوي نفس المتجه $\overrightarrow(OB)$ .

مثال 1.في المثلث ABC AB = 3، BC = 4، ∠ B = 90°. ابحث عن: $a)\,\ \overrightarrow(|AB|) + \overrightarrow(|BC|);\,\,\ b)\,\ |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)|$ .

حل

أ) لدينا: $|\overrightarrow(AB)| = AB,\,\,\ |\overrightarrow(BC)| = BC$ وبالتالي، $|\overrightarrow(AB)| + |\overrightarrow(BC)| = 7 دولارات.

ب) بما أن $\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC) \,\,\,\، ثم\،\، |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)| = |\overrightarrow(AC)| = دولار أمريكي .

الآن، بتطبيق نظرية فيثاغورس، نجد $$ AC = \sqrt(AB^2 + BC^2) = \sqrt(9 + 16) = 5 \\ أي\، |\overrightarrow(AB) + \overrightarrow( Sun )| = 5.$$

يمكن تعميم مفهوم مجموع المتجهات على حالة أي عدد محدود من ناقلات الجمع.

لنفترض، على سبيل المثال، ثلاثة متجهات $\overrightarrow(a)، \overrightarrow(b) \,and\، \overrightarrow(c)$ (الشكل 2).

من خلال إنشاء مجموع المتجهات $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)$ أولاً، ثم إضافة المتجه $\overrightarrow(c)$ إلى هذا المجموع، نحصل على المتجه $(\overrightarrow(a) + \ overrightarrow(b)) + \overrightarrow(c)$ . في الشكل 2 $$ \overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a)\,; \overrightarrow(AB) = ب\,; \overrightarrow(OB) = \overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)\,; \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(c) \\ و \\ \overrightarrow(OS) = \overrightarrow(OB) + \overrightarrow(BC) = (\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)) + \overrightarrow (ج) $$ من الشكل 2، من الواضح أننا سنحصل على نفس المتجه $\overrightarrow(OS)$ إذا أضفنا المتجه $\overrightarrow(АВ) = \إلى المتجه $\overrightarrow(АВ) = \overrightarrow (أ)$ overrightarrow(b) + \overrightarrow(c)$ . وبالتالي، $(\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b)) + \overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) + (\overrightarrow(b) + \overrightarrow(c))$، أي أن مجموع المتجهات لها الجمع بين الممتلكات. ولذلك، فإن مجموع المتجهات الثلاثة $\overrightarrow(a)\,\,\overrightarrow(b)\,\,\overrightarrow(c)$ يتم كتابته ببساطة $\overrightarrow(a) + \overrightarrow(b) + \overrightarrow (ج)$.

بالفارقيسمى المتجهان $\overrightarrow(a) \,and\, \overrightarrow(b)$ بالمتجه الثالث $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)$ ، ومجموعهما مع متجه المطروح $\overrightarrow (b)$ يعطي المتجه $\overrightarrow(a)$. وبالتالي، إذا كان $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b)\,\then\، \overrightarrow(c) + \overrightarrow(b) = \overrightarrow(a)$ .

من تعريف مجموع متجهين، تتبع قاعدة بناء ناقل الفرق (الشكل 3).

نرسم المتجهات $\overrightarrow(OA) = \overrightarrow(a) \,and\, \overrightarrow(OB) = \overrightarrow(b)$ من النقطة المشتركة O. Vector $\overrightarrow(BA)$ يربط الأطراف المتجه المخفض $ \overrightarrow(a)$ ومتجه المطروح $\overrightarrow(b)$ والموجه من المطروح إلى الطرف الطرح هو الفرق $\overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) - \overrightarrow(b) )$ . في الواقع، وفقًا لقاعدة إضافة المتجهات $\overrightarrow(OB) + \overrightarrow(BA) = \overrightarrow(OA) \text( , or ) \overrightarrow(b) + \overrightarrow(c) = \overrightarrow(a) $ .

مثال 2.جانب المثلث متساوي الأضلاع ABC يساوي أ. ابحث عن: $a) |\overrightarrow(BA) - \overrightarrow(BC)|\,;\,\ b)\,\,\ |\overrightarrow(AB) - \overrightarrow(AC)|$ .

حل أ) منذ $\overrightarrow(BA) - \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(CA)\text( , a )|\overrightarrow(CA)| = a\text(، ثم )|\overrightarrow(BA) - \overrightarrow(BC)| = $ .

ب) منذ $\overrightarrow(AB) - \overrightarrow(AC) = \overrightarrow(CB)\text( , a )|\overrightarrow(CB)| = a\text(، ثم )|\overrightarrow(AB) - \overrightarrow(AC)| = $ .

حاصل ضرب المتجه $\overrightarrow(a)$ (يُشار إليه بـ $=\lambda\overrightarrow(a)$ أو $\overrightarrow(a)\lambda$) بالرقم الحقيقي $\lambda$ هو المتجه $\overrightarrow( b)$، المتجه الخطي $\overrightarrow(a)$ له طول يساوي $|\lambda||\overrightarrow(a)|$ وبنفس اتجاه المتجه $\overrightarrow(a)$ إذا $\lambda > 0$ ، والاتجاه المعاكس لاتجاه المتجه $\overrightarrow(a)$، إذا $\lambda< 0$ . Так, например, $2\overrightarrow{a}$ есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор $\overrightarrow{a}$ , а длину, вдвое большую, чем вектор $\overrightarrow{a}$ (рис.4).

في الحالة التي يكون فيها $\lambda = 0$ أو $\overrightarrow(a) = 0$، فإن المنتج $\lambda\overrightarrow(a)$ يمثل المتجه الفارغ. يمكن اعتبار المتجه المعاكس $-\overrightarrow(a)$ نتيجة لضرب المتجه $\overrightarrow(a)$ في $\lambda = -1$ (انظر الشكل 4): $$ -\overrightarrow(a) ) = \ ( -1)\overrightarrow(a) $$ من الواضح أن $\overrightarrow(a) + (-\overrightarrow(a)) = \overrightarrow(0)$ .

مثال 3.أثبت أنه إذا كانت O و A و B و C عبارة عن نقاط عشوائية، فإن $\overrightarrow(OA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(СО) = 0$ .

حل. مجموع المتجهات $\overrightarrow(OA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(CB) = \overrightarrow(OS)$، المتجه $\overrightarrow(CO)$ هو عكس المتجه $\overrightarrow(OS)$ . لذلك $\overrightarrow(OS) + \overrightarrow(СО) = \overrightarrow(0)$ .

دع المتجه $\overrightarrow(a)$ يُعطى. خذ بعين الاعتبار متجه الوحدة $\overrightarrow(a_0)$ ، على خط مستقيم مع المتجه $\overrightarrow(a)$ وبنفس الاتجاه. من تعريف ضرب المتجه برقم، يترتب على ذلك $$ \overrightarrow(a) = |\overrightarrow(a)|\,\ \overrightarrow(a_0) $$ ، أي كل متجه يساوي حاصل ضرب معامله ومتجه الوحدة في نفس الاتجاه. علاوة على ذلك، من نفس التعريف يترتب على ذلك أنه إذا كان $\overrightarrow(b) = \lambda\overrightarrow(a)$ ، حيث $\overrightarrow(a)$ هو متجه غير صفري، فإن المتجهات $\overrightarrow(a) \, و\، \overrightarrow(b)$ على خط واحد. من الواضح، على العكس من ذلك، من العلاقة الخطية المتداخلة بين المتجهات $\overrightarrow(a) \,and\, \overrightarrow(b)$ يترتب على ذلك $\overrightarrow(b) = \lambda\overrightarrow(a)$.

مثال 4.طول المتجه AB هو 3، وطول المتجه AC هو 5. جيب تمام الزاوية بين هذه المتجهات هو 1/15. أوجد طول المتجه AB + AC.

حل الفيديو.


في هذه المقالة سوف نلقي نظرة على العمليات التي يمكن إجراؤها باستخدام المتجهات على المستوى وفي الفضاء. بعد ذلك، ندرج خصائص العمليات على المتجهات ونبررها باستخدام الإنشاءات الهندسية. سنوضح أيضًا استخدام خصائص العمليات على المتجهات عند تبسيط العبارات التي تحتوي على متجهات.

لاستيعاب المادة بشكل أفضل، نوصي بتحديث ذاكرتك للمفاهيم الواردة في المقالة، المتجهات - التعريفات الأساسية.

التنقل في الصفحة.

عملية إضافة متجهين هي قاعدة المثلث.

دعونا نظهر لكم كيف يحدث ذلك إضافة اثنين من المتجهات.

تتم عملية إضافة المتجهات على النحو التالي: من النقطة الاختيارية A يتم ترسيب متجه يساوي، ثم من النقطة B يتم ترسيب متجه يساوي، ويكون المتجه مجموع المتجهات و. تسمى هذه الطريقة لإضافة متجهين حكم المثلث.

دعونا نوضح جمع المتجهات غير الخطية على المستوى وفقًا لقاعدة المثلث.

ويوضح الرسم أدناه جمع المتجهات المشتركة الاتجاه والمتجهات المعاكسة.


إضافة عدة ناقلات - قاعدة المضلع.

بناءً على العملية المدروسة لإضافة متجهين، يمكننا إضافة ثلاثة متجهات أو أكثر. في هذه الحالة، يتم إضافة المتجهين الأولين، ويضاف المتجه الثالث إلى النتيجة الناتجة، ويضاف المتجه الرابع إلى النتيجة الناتجة، وهكذا.

يتم تنفيذ إضافة العديد من المتجهات من خلال البناء التالي. من نقطة اعتباطية A من المستوى أو الفضاء، يتم تسريح متجه يساوي الحد الأول، ويتم تسريح متجه يساوي الحد الثاني من نهايته، ويتم تسريح متجه يساوي الحد الثاني من نهايته، و قريباً. لتكن النقطة B هي نهاية المتجه المؤجل الأخير. مجموع كل هذه المتجهات سيكون المتجه .

تسمى إضافة عدة نواقل على المستوى بهذه الطريقة قاعدة المضلع. هنا مثال توضيحي لقاعدة المضلع.

تتم إضافة عدة نواقل في الفضاء بنفس الطريقة تمامًا.

عملية ضرب المتجه بعدد.

الآن دعونا معرفة كيف يحدث ذلك ضرب المتجه برقم.

ضرب المتجه بالرقم kيتوافق مع تمدد المتجهات بعامل k لـ k > 1 أو الضغط بعامل 0< k < 1 , при k = 1 вектор остается прежним (для отрицательных k еще изменяется направление на противоположное). Если произвольный вектор умножить на ноль, то получим нулевой вектор. Произведение нулевого вектора и произвольного числа есть нулевой вектор.

على سبيل المثال، عند ضرب متجه في الرقم 2، يجب أن نضاعف طوله ونحافظ على نفس الاتجاه، وعند ضرب متجه في سالب الثلث، يجب أن نقلل طوله ثلاث مرات ونغير الاتجاه إلى العكس. دعونا نعطي مثالا على هذه الحالة من أجل الوضوح.

خصائص العمليات على المتجهات.

لذلك، قمنا بتعريف عملية جمع المتجهات وعملية ضرب المتجه في عدد. علاوة على ذلك، بالنسبة لأي متجهات وأعداد حقيقية اعتباطية، يمكن تبرير ما يلي باستخدام الإنشاءات الهندسية: خصائص العمليات على المتجهات. بعضها واضح.

تتيح لنا الخصائص المدروسة الفرصة لتحويل التعبيرات المتجهة.

تتيح لك الخصائص التبادلية والترابطية لعملية إضافة المتجهات إضافة ناقلات بأي ترتيب.

لا توجد عملية لطرح المتجهات في حد ذاتها، لأن الفرق بين المتجهات هو مجموع المتجهات و.

مع الأخذ في الاعتبار الخصائص المدروسة للعمليات على المتجهات، يمكننا إجراء تحويلات في التعبيرات التي تحتوي على مجاميع واختلافات في المتجهات وحاصل ضرب المتجهات بالأرقام بنفس الطريقة كما في التعبيرات الرقمية.

دعونا ننظر إليها مع مثال.

تعريف

تتم إضافة المتجهات وفقًا لـ حكم المثلث.

كمية اثنين من المتجهاتيسمون مثل هذا المتجه الثالث، الذي تتزامن بدايته مع البداية، ونهايته مع النهاية، بشرط أن تتطابق نهاية المتجه وبداية المتجه (الشكل 1).

للإضافة ثلاثة أبعادتنطبق أيضًا قاعدة متوازي الأضلاع.

تعريف

قاعدة متوازي الأضلاع- إذا تم إحضار متجهين غير خطيين إلى أصل مشترك، فإن المتجه يتزامن مع قطري متوازي الأضلاع المبني على المتجهات (الشكل 2). علاوة على ذلك، فإن بداية المتجه تتزامن مع بداية المتجهات المعطاة.

تعريف

يسمى المتجه ناقلات المعاكسإلى المتجه إذا كان خطيةالمتجه، يساوي طوله، ولكنه موجه في الاتجاه المعاكس للمتجه.

تتميز عملية إضافة المتجهات بالخصائص التالية:

تعريف

بالفارق ثلاثة أبعادويسمى متجهًا بحيث يتحقق الشرط: (الشكل 3).

ضرب المتجه بعدد

تعريف

العمل المتجه لكل رقمهو ناقل يحقق الشروط:

خصائص ضرب المتجه بعدد:

هنا و هي متجهات عشوائية، وأرقام عشوائية.

الفضاء الإقليدي(أيضًا الفضاء الإقليدي) - بالمعنى الأصلي الفضاء الذي وصفت خصائصه البديهيات الهندسة الإقليدية. في هذه الحالة، من المفترض أن الفضاء لديه البعديساوي 3.

بالمعنى الحديث، وبمعنى أكثر عمومية، يمكن أن يعني أحد الأشياء المتشابهة والمرتبطة ارتباطًا وثيقًا: محدودة الأبعاد حقيقي مساحة المتجهاتمع تقديم تعريف إيجابي عليه المنتج العددي، أو الفضاء المتري، المقابلة لمثل هذه المساحة المتجهة. في هذه المقالة، سيتم اتخاذ التعريف الأول كنقطة انطلاق.

غالبًا ما يُشار إلى الفضاء الإقليدي الأبعاد أيضًا بالترميز (إذا كان واضحًا من السياق أن الفضاء له بنية إقليدية).

لتعريف الفضاء الإقليدي، من الأسهل اعتباره المفهوم الأساسي المنتج نقطة. يتم تعريف الفضاء المتجه الإقليدي بأنه محدودة الأبعاد مساحة المتجهاتفوق مجال أرقام حقيقية، على ناقلاتها يتم تقديمها دالة ذات قيمة حقيقيةلها الخصائص الثلاثة التالية:

مساحة أفينيةيُطلق على الفضاء المتجه المطابق لمثل هذا الفضاء المتجه اسم الفضاء الإقليدي، أو ببساطة الفضاء الإقليدي .

مثال على الفضاء الإقليدي هو الفضاء الإحداثي الذي يتكون من كل ما هو ممكن ن-أعداد حقيقية، المنتج العددي الذي يتم تحديده بواسطة الصيغة

    إحداثيات الأساس والمتجه

أساس (اليونانية القديمةβασις، أساس) - مجموعة من هذا القبيل ثلاثة أبعادالخامس مساحة المتجهاتأن أي متجه لهذا الفضاء يمكن تمثيله بشكل فريد في النموذج تركيبة خطيةالمتجهات من هذه المجموعة - ناقلات الأساس.

وفي الحالة التي يكون فيها الأساس لا نهائيا، فإن مفهوم "التركيب الخطي" يحتاج إلى توضيح. وهذا يؤدي إلى نوعين رئيسيين من التعريف:

    أساس هامل، الذي يأخذ تعريفه بعين الاعتبار المجموعات الخطية المحدودة فقط. يستخدم أساس هامل بشكل رئيسي في الجبر المجرد (على وجه الخصوص، الجبر الخطي).

    أساس شودر، والذي يأخذ تعريفه أيضًا في الاعتبار مجموعات خطية لا حصر لها، أي التوسع في صفوف. يستخدم هذا التعريف بشكل رئيسي في التحليل الوظيفي، على وجه الخصوص مساحة هيلبرت,

في الفضاءات ذات الأبعاد المحدودة، يتطابق كلا النوعين من الأساس.

إحداثيات المتجهات— معاملات الممكن الوحيد تركيبة خطية أساسي ثلاثة أبعادفي المختارة نظام الإحداثيات، يساوي هذا المتجه.

أين هي إحداثيات المتجه.

    المنتج العددي.

عملية جراحية على اثنين ثلاثة أبعاد، والنتيجة هي رقم[عند النظر إلى المتجهات، غالبًا ما يتم استدعاء الأرقام العددية]، مستقل عن نظام الإحداثيات ويميز أطوال ناقلات العوامل و ركنبينهم. هذه العملية تتوافق مع الضرب طولالمتجه سعلى تنبؤالمتجه ذإلى المتجه س. عادة ما تعتبر هذه العملية تبادليو خطيلكل عامل.

المنتج العدديمتجهان يساوي مجموع منتجات الإحداثيات المقابلة لهما:

    ناقلات العمل الفني

هذا طبيب كاذب, عموديالطائرة مبنية من عاملين، وهي النتيجة عملية ثنائية"الضرب ناقلات" أكثر ثلاثة أبعادفي ثلاثة أبعاد الفضاء الإقليدي. المنتج المتقاطع ليس له خصائص التبادليةو الترابط(يكون مضاد للتبديل) وعلى عكس المنتج العددي للمتجهات، هو ناقل. تستخدم على نطاق واسع في العديد من التطبيقات الهندسية والفيزيائية. على سبيل المثال، الزخم الزاويو قوة لورنتزمكتوبة رياضيا كمنتج متجه. يعتبر الضرب الاتجاهي مفيدًا في "قياس" عمودي المتجهات - معامل الضرب الاتجاهي لمتجهين يساوي منتج معامليهما إذا كانا متعامدين، وينخفض ​​إلى الصفر إذا كانت المتجهات متوازية أو غير متوازية.

    ناقلات العمل الفنييمكن حساب متجهين باستخدام المحدد المصفوفات

    قطعة مختلطة

منتج مختلط ثلاثة أبعاد -المنتج العددي المتجهعلى منتج ناقلات ثلاثة أبعادو:

في بعض الأحيان يطلق عليه المنتج العددي الثلاثيالمتجهات، على ما يبدو يرجع ذلك إلى حقيقة أن النتيجة العددية(أكثر دقة - العددية الزائفة).

المعنى الهندسي:معامل المنتج المختلط يساوي عدديا الحجم متوازي السطوح، متعلم ثلاثة أبعاد .عمل مختلطيمكن العثور على ثلاثة نواقل من خلال المحدد

    الطائرة في الفضاء

طائرة - سطح جبريالطلب الأول: في نظام الإحداثيات الديكارتيةيمكن تحديد الطائرة معادلةالدرجة الأولى.

بعض الخصائص المميزة للطائرة

    طائرة - سطح، تحتوي على كل منها بالكامل مباشر، ربط أي منها نقاط;

    المستويان إما متوازيان أو متقاطعان في خط مستقيم.

    الخط المستقيم إما أن يكون موازيا للمستوى، أو يتقاطع معه في نقطة واحدة، أو يكون على المستوى.

    خطان متعامدان على نفس المستوى متوازيان مع بعضهما البعض.

    طائرتان متعامدتان على نفس الخط متوازيتان مع بعضهما البعض.

على نفس المنوال شريحةو فاصلة، يمكن تسمية المستوى الذي لا يتضمن نقاطًا متطرفة بالمستوى الفاصل أو المستوى المفتوح.

    المعادلة العامة (الكاملة) للطائرة

حيث و هي ثوابت، وفي نفس الوقت لا تساوي الصفر؛ الخامس المتجهاستمارة:

أين هو ناقل نصف القطر للنقطة، المتجه عمودي على الطائرة (ناقل عادي). خطوط إرشادجيب التمام المتجه:

ولنلاحظ أن تكوين القرون مؤيد للشرج، لكن البلا نيمتري، فقط كل الأفعال نصفها في الفضاء.

فلنفترض إذن وجود قرنين حرين في الفضاء (الشكل 1):

أرز. 1. قرون مؤيدة للحرية في الفضاء

دعونا نحدد ما يسمى مجموع هذين القرنين.

تمامًا كما هو الحال في Pla-ni-metry، من أي نقطة مناسبة، دعنا نسميها النقطة A، يمكنك بالطريقة الوحيدة أن تعيش قرنًا من الزمان، أي ما يعادل قرنًا إلى رو. دعونا نذكرك بأن المتجهات المعطاة، مثل أي ناقلات أخرى، تكون مجانية، فقط الاتجاه والطول مهمان، ويمكن تغيير المتجه نفسه ولكن يمكن نقله إلى أي مكان على المستوى وفي الفضاء. لذلك، حصلنا على المتجه - نتيجة لفعل القرن، انتقلت النقطة A إلى النقطة B. الآن من النقطة في de-cla-dy-va-em، بالطريقة الوحيدة الممكنة، المتجه-tor، في ناقل-lu-cha-em - لذا، في نتيجة-ta-te لهذا القرن، انتقلت النقطة B إلى النقطة C. ونتيجة لذلك، انتقلت النقطة A إلى النقطة C، متجه نصف تشين، والذي يُطلق عليه مجموع القرن إلى الخندق (الشكل 2).

أرز. 2. مجموع قرنين من الزمان في الفضاء

إذن، بالطريقة الصحيحة، المثلث مناسب لتكوين القرون في الفضاء.

الزاوية اليمنى الثلاثية

من أي نقطة في الفضاء (النقطة أ) من المتجه الأول، من نهاية القرن الأول (النقطة ب) من المتجه الأول نأكل المتجه الثاني ونحصل على النقطة ج. المتجه الذي يوحد القرن الأول (النقطة أ) ونهاية الثانية (النقطة ج) وستكون إعادة زول تي رو يو يو.

ونلاحظ أن نتيجة تكوين القرون لا تعتمد على اختيار نقطة البداية، فهناك تعايش ردا على ثيو-ري-ما، الذي يقوم على حقيقة أنه يمكنك العيش من نقطة ما إلى الأبد -tor، يساوي المعطى، بالطريقة الوحيدة.

تعريف

إن الفرق بين الجفنين يستدعي وجود مثل هذا الجفن الثالث، والذي، كونه معقدًا مع الجفن الثاني، الروم، سوف يعطي المتجه الأول.

دعونا نقدم الفرق بين المتجهات، وللقيام بذلك، دعونا نضيف المتجه مع المتجه المؤيد للخطأ:

لذلك، من النقطة العشوائية A، نحصل على متجه، نحصل على نقطة B. للحصول على متجه، نبني متجهًا طاريًا، يساوي القرن في الطول، ولكن مؤيد لليمين. المتجه الناتج من النقطة B هو نتيجة النقطة D. سيكون المتجه بالحجم المطلوب ولكن.

Pro-il-lu-stri-ru-em (الشكل 3):

أرز. 3. حساب قرنين في الفضاء

قم ببناءها على جفون معينة و par-ral-le-lo-grams (الشكل 4):

أرز. 4. Par-ral-le-lo-gram على جفنين معينين

لأن ناقلات ; مماثل .

وفقا للقاعدة ثلاثية الزاوية:

لذا، فإن أحد dia-go-na-lei pa-ral-le-lo-gram-ma، المبني على جفنين، يتوافق مع مجموع هذه القرون.

النظر في الفرق بين القرون. وفقا للقاعدة ثلاثية الزاوية:

لذلك، فإن dia-go-nal pa-ral-le-lo-gram-ma الثاني، المبني على جفنين، يتوافق مع هذه القرون.

لتكوين وحساب عدة قرون، يتم استخدام الكثير من الفحم. دعونا لقرون و:

أرز. 5. ثلاثة قرون في الفضاء

من الضروري بناء ناقل .

نرى أنه أمام بعض القرون هناك أرقام عديدة. دعونا نتذكر أننا عندما نضرب متجهًا في عدد، نحصل على متجه قائم على اليمين، طوله يساوي طول القرن المستخدم، مضروبًا في عدد معين. دعونا نحصل على الجفون و... المتجه على الجانب الأيمن من الجفن، طوله أطول بثلاث مرات. المتجه على اليمين تقريبًا، وطوله ضعف طوله. Pro-il-lu-stri-ru-em (الشكل 6):

أرز. 6. ضرب القرن برقم

دعونا نصل إلى المجمع. من النقطة العشوائية A، نحصل على أفضل ناقل - نحصل على النقطة B. من النقطة B، نحصل على المتجه -eat a Vector-tor - نحصل على النقطة C. من النقطة C من Vector-tor - نحصل على النقطة D على اليمين - هناك الكثير من الفحم، يتم استخدام المتجه لقرني: .

أرز. 7. تكوين القرون حسب قاعدة الكثير من الفحم

زا دا تشا 1:

يتم إعطاء tet-ra-hedron ABCD (ri-su-nok 8). يثبت:

أرز. 8. تيت را هيدرون، فور دا تشا 1

حل:

وفقا للقاعدة ثلاثية الزاوية:

عند تدريس الرياضيات والفيزياء في المدرسة الثانوية، وكذلك في مؤسسات التعليم العالي، يتعين عليك التعامل معها باستمرار مفهوم المتجهات. يجب أن يكون التلاميذ والطلاب قادرين على إجراء عمليات حسابية بسيطة باستخدام المتجهات.

ستوضح لك هذه المقالة كيفية ضربها بأرقام ثابتة.

المفاهيم والتعاريف الأساسية

لتبسيط العمل مع المقالة بشكل أكبر، سنقدم بعض الصياغة والاتفاقيات:

  1. ثابت- أي عدد عادي يمكن أن يأخذ قيماً ثابتة معينة، موجبة أو سالبة أو صفراً. سنشير إليه بالحرف اللاتيني C (من الكلمة اليونانية Constanta، أي ثابت).
  2. المتجه- قطعة من خط مستقيم محدد بنقطتين وله اتجاه محدد. وسوف نرمز لها بالرمز (AB). علاوة على ذلك، فإن النقطة (أ) هي بدايتها، و(ب) هي نهايتها. سننظر في الاتجاه من النقطة أ إلى النقطة ب. الاستبدال بـ (CD) مقبول.
  3. تسمى المتجهات بالتوازي(على خط واحد) إذا كانت تقع على خطوط مستقيمة أو على نفس الخط.
  4. ناقل صفرويسمى من تتطابق نهايته مع بدايته. وهذا ما يسمى ناقل فارغ ويشار إليه بالرمز (0).
  5. الإحداثيات(AB) هي أرقام تساوي مداها بالنسبة لكل محور إحداثي في ​​النظام الديكارتي. يتم العثور عليها عن طريق طرح إحداثيات بدايتها من إحداثيات متجه النهاية. علامة الطرح الموجودة أمام هذا الرقم تعني أن المتجه موجه عكس اتجاه هذا المحور.
  6. وحدة(AB) هو طول القطعة AB.
  7. الجذر التربيعي لعددأو التعبيرات التي نتفق على الإشارة إليها من خلال مجموعة الحروف اللاتينية SQRT.
  8. (AB) بالإحداثيات (x; y; z) سيتم الإشارة إليها بالرمز (AB) (x; y; z).

دعونا نلقي نظرة على كيفية ضرب المتجه برقم:

المعنى الجبري والهندسي للفعل

أي عملية رياضية لها معنى معين، ويختلف باختلاف العلوم. دعونا نلقي نظرة على ما يعطينا هذا النوع من الضرب:

  1. معنى هندسي: (AB)*C هو متجه على خط واحد مع المعطى، وتختلف وحدته بعامل C عن المتجه الأصلي، ويمكن أن يتطابق الاتجاه أو يتغير إلى الاتجاه المعاكس اعتمادًا على إشارة الثابت.
  2. معنى جبري: (AB) (x; y; z)*C هو (A1B1) جديد بإحداثيات تساوي (C*x; C*y; C*z).
  3. المعنى الجسدي: نقصان أو زيادة بمقدار C مرات في القوة المؤثرة على جسم أو نقطة مادية.

صيغ الضرب

عند الضرب، أسهل طريقة هي استخدام الصيغ المحفوظة مسبقًا، والتي يمكن تطبيقها وفقًا لقالب، وتنفيذ الإجراءات بشكل تلقائي بالكامل:

  • C*(AB) (x; y; z) = (A1B1) (C*x; C*y; C*z).
  • 0*(أ ب) = (0).

في البداية، دعونا نأخذ المشكلة الفيزيائية المتعلقة بتأثير القوة على نقطة مادية. لتؤثر عليه القوة التي وصفها (AB) (57؛63؛28). كيف ستتغير إحداثيات هذه القوة عندما تزيد بمقدار عشرة أضعاف؟

بداية، تجدر الإشارة إلى أن اتجاه القوة لن يتغير، بل القوة نفسها ستزداد بمقدار عشرة أضعاف. عند وضع الإحداثيات نحصل على ما يلي:

10*(AB) (57;63;28) = (A1B1) (10*57;10*63;10*28) = (A1B1) (570;630;280).

لنأخذ مشكلة ثانية مشابهة: كيف ستتغير القوة المؤثرة على جسم مادي، والتي وصفها (AB) (46;59;-43)، عندما تزيد بمقدار -0.5 مرة.

أولًا، نلاحظ أن إشارة الثابت سالبة، وبالتالي فإن اتجاه القوة نفسها سيتغير إلى الاتجاه المعاكس. دعونا نستخدم النقطة 2 من قواعد الضرب المذكورة أعلاه، وسيصبح من الواضح على الفور أن التعبير العددي للقوة سينخفض ​​إلى النصف. لنجري العمليات الحسابية باستخدام القالب:

0.5*(AB) (46;59;-43) = (A1B1) (-0.5*46;-0.5*59;-0.5*(-43)) = (A1B1) (- 23;-29.5;21.5).

تجدر الإشارة إلى أن المسائل المذكورة أعلاه قد تم حلها للمتجهات الموجودة في الفضاء والتي لها ثلاثة إحداثيات. في حالة الوضع المستوي، يتم تقليل عدد الإحداثيات إلى اثنين، وفي حالة الوضع الخطي، إلى واحد. دعونا نلقي نظرة على الأمثلة الرياضية لهذه الحالات:

  • 33*(CD) (11;10) = (C1D1) (33*11;33*10) = (C1D1) (363;330).
  • -0.2*(AB) (-0.3;25) = (A1B1) (-0.2*(-0.3); -0.2*25) = (A1B1) (0.06; - 5).
  • 67*(CD) (2) = (C1D1) (67*2) = (C1D1) (134).
  • 0*(AB) (65;-87) = (0).

الإجراءات الممكنة مع المتجهات

لا ينبغي أن تعتقد أن جميع الإجراءات الممكنة تقتصر على الضرب برقم. بادئ ذي بدء، يمكنك تحديد الطول (AB) - الوحدة النمطية. سيكون مساوياً لـ SQRT من مجموع مربعات الإحداثيات. دعونا نوضح ذلك بمثال:

  • الوحدة (AB) (3;4) = SQRT (3 2 + 4 2) = SQRT (9 + 16) = SQRT25 = 5.

بالإضافة إلى ذلك، من خلال مسار الرياضيات والفيزياء المدرسية، من المعروف أنه يمكن إضافة المتجهات إلى بعضها البعض وطرحها من بعضها البعض. في هذه الحالة، يتم إضافة وطرح الإحداثيات المقابلة.

أخيرًا، تقدم الرياضيات العليا مفاهيم الضرب العددي (العددي) والمتجه لمتجهين. في الحالة الأولى، سيتم الحصول على عدد معين، في الثانية - متجه ثالث موجه عموديا على الطائرة التي تحتوي على الأولين.

توفر هذه المقالة أساسيات ضرب المتجه برقم. واستنادا إلى مادته، يمكن القول بأن هذا الإجراء بسيط ويمكن لأي طالب ذو أداء أكاديمي مرضي الوصول إليه. يوصى بدراسة الصيغ والتصرف في حساباتك وفقًا للقالب الموضح في النص.