التناسب المباشر والعكس. التناسب العكسي

تسمى الكميتين متناسب بشكل مباشرفإذا زاد أحدهما عدة مرات زاد الآخر بنفس المقدار. وبناء على ذلك، عندما ينقص أحدهما عدة مرات، ينقص الآخر بنفس المقدار.

والعلاقة بين هذه الكميات هي علاقة تناسب طردي. أمثلة على الاعتماد التناسبي المباشر:

1) بسرعة ثابتة، المسافة المقطوعة تتناسب طرديا مع الزمن؛

2) محيط المربع وضلعه كميات متناسبة طرديا؛

3) تتناسب تكلفة المنتج الذي تم شراؤه بسعر واحد بشكل مباشر مع كميته.

لتمييز علاقة التناسب المباشر عن العلاقة العكسية، يمكنك استخدام المثل: "كلما زاد عمق الغابة، زاد الحطب".

من السهل حل المسائل التي تتضمن كميات متناسبة طرديًا باستخدام النسب.

1) لصنع 10 أجزاء تحتاج إلى 3.5 كجم من المعدن. ما هي كمية المعدن اللازمة لصنع 12 قطعة من هذه الأجزاء؟

(نحن نفكر هكذا:

1. في العمود المملوء، ضع سهمًا في الاتجاه من أكبر رقم إلى الأصغر.

2. كلما زاد عدد الأجزاء، زادت الحاجة إلى المعدن لتصنيعها. وهذا يعني أن هذه علاقة تناسب طردي.

افترض أن هناك حاجة إلى x كجم من المعدن لصنع 12 جزءًا. نقوم بتكوين النسبة (في الاتجاه من بداية السهم إلى نهايته):

12:10=س:3.5

للعثور على , تحتاج إلى قسمة منتج الحدود المتطرفة على الحد الأوسط المعروف:

وهذا يعني أنه ستكون هناك حاجة إلى 4.2 كجم من المعدن.

الجواب: 4.2 كجم.

2) مقابل 15 مترًا من القماش دفعوا 1680 روبل. كم تكلفة 12 مترا من هذا القماش؟

(1. في العمود المملوء، ضع سهمًا في الاتجاه من أكبر رقم إلى الأصغر.

2. كلما قل عدد الأقمشة التي تشتريها، قل المبلغ الذي تدفعه مقابل ذلك. وهذا يعني أن هذه علاقة تناسب طردي.

3. وبالتالي فإن السهم الثاني في نفس اتجاه الأول).

دع x روبل يكلف 12 مترًا من القماش. نصنع نسبة (من بداية السهم إلى نهايته):

15:12=1680:س

للعثور على الحد الأقصى المجهول للنسبة، قم بتقسيم منتج الحدود الوسطى على الحد الأقصى المعروف للنسبة:

وهذا يعني أن 12 مترًا تكلف 1344 روبل.

الجواب: 1344 روبل.

التناسب هو العلاقة بين كميتين، حيث أن التغير في إحداهما يترتب عليه تغير في الأخرى بنفس المقدار.

التناسب يمكن أن يكون مباشرا أو معكوسا. في هذا الدرس سوف ننظر إلى كل واحد منهم.

محتوى الدرس

التناسب المباشر

لنفترض أن السيارة تتحرك بسرعة 50 كم/ساعة. نتذكر أن السرعة هي المسافة المقطوعة لكل وحدة زمنية (ساعة واحدة أو دقيقة واحدة أو ثانية واحدة). في مثالنا، تتحرك السيارة بسرعة 50 كم/ساعة، أي أنها في ساعة واحدة ستقطع مسافة خمسين كيلومترًا.

دعونا نرسم في الشكل المسافة التي قطعتها السيارة خلال ساعة واحدة.

دع السيارة تسير لمدة ساعة أخرى بنفس السرعة البالغة خمسين كيلومتراً في الساعة. ثم يتبين أن السيارة ستقطع مسافة 100 كيلومتر

وكما يتبين من المثال، فإن مضاعفة الزمن أدت إلى زيادة المسافة المقطوعة بنفس المقدار، أي مرتين.

تسمى الكميات مثل الوقت والمسافة بالتناسب المباشر. وتسمى العلاقة بين هذه الكميات التناسب المباشر.

التناسب المباشر هو العلاقة بين كميتين، حيث أن الزيادة في إحداهما يترتب عليها زيادة في الأخرى بنفس المقدار.

والعكس صحيح، إذا نقصت كمية واحدة بعدد معين من المرات، فإن الكمية الأخرى نقصت بنفس عدد المرات.

لنفترض أن الخطة الأصلية كانت قيادة السيارة لمسافة 100 كيلومتر في ساعتين، ولكن بعد القيادة لمسافة 50 كيلومترًا، قرر السائق أن يستريح. ثم يتبين أنه من خلال تقليل المسافة إلى النصف، سينخفض ​​الوقت بنفس المقدار. بمعنى آخر، تقليل المسافة المقطوعة سيؤدي إلى انخفاض الوقت بنفس المقدار.

الميزة المثيرة للاهتمام للكميات المتناسبة طرديًا هي أن نسبتها ثابتة دائمًا. أي أنه عندما تتغير قيم الكميات المتناسبة طرديا فإن نسبتها تبقى دون تغيير.

في المثال قيد النظر، كانت المسافة في البداية 50 كيلومترًا وكان الوقت ساعة واحدة. النسبة بين المسافة والزمن هي الرقم 50.

لكننا قمنا بزيادة وقت السفر مرتين، مما جعله يساوي ساعتين. ونتيجة لذلك زادت المسافة المقطوعة بنفس المقدار أي أصبحت تساوي 100 كيلومتر. ونسبة مائة كيلومتر إلى ساعتين هي مرة أخرى الرقم 50

الرقم 50 يسمى معامل التناسب المباشر. يوضح مقدار المسافة الموجودة في ساعة الحركة. في هذه الحالة، يلعب المعامل دور سرعة الحركة، لأن السرعة هي نسبة المسافة المقطوعة إلى الزمن.

يمكن إجراء النسب من كميات متناسبة مباشرة. على سبيل المثال، تشكل النسب النسبة:

خمسون كيلومترًا تساوي ساعة واحدة، كما تساوي مائة كيلومتر ساعتان.

مثال 2. تكلفة وكمية البضائع المشتراة تتناسب طرديا. إذا كان 1 كجم من الحلويات يكلف 30 روبل، فإن 2 كجم من نفس الحلويات سيكلف 60 روبل، 3 كجم 90 روبل. مع زيادة تكلفة المنتج الذي تم شراؤه، تزيد كميته بنفس المقدار.

وبما أن تكلفة المنتج وكميته تتناسب طرديا مع الكميات، فإن النسبة بينهما تكون ثابتة دائما.

دعونا نكتب ما هي نسبة ثلاثين روبل إلى كيلوغرام واحد

الآن دعونا نكتب ما هي نسبة ستين روبل إلى كيلوغرامين. وستكون هذه النسبة مرة أخرى تساوي ثلاثين:

هنا معامل التناسب المباشر هو الرقم 30. يوضح هذا المعامل عدد الروبلات لكل كيلوغرام من الحلويات. في هذا المثال، يلعب المعامل دور سعر كيلوجرام واحد من البضائع، حيث أن السعر هو نسبة تكلفة البضاعة إلى كميتها.

التناسب العكسي

النظر في المثال التالي. المسافة بين المدينتين 80 كم. غادر سائق الدراجة النارية المدينة الأولى، ووصل بسرعة 20 كم/ساعة إلى المدينة الثانية خلال 4 ساعات.

إذا كانت سرعة سائق الدراجة النارية 20 كم/ساعة، فهذا يعني أنه قطع مسافة عشرين كيلومتراً في كل ساعة. ولنرسم في الشكل المسافة التي قطعها سائق الدراجة النارية وزمن حركته:

وفي طريق العودة، كانت سرعة سائق الدراجة النارية 40 كم/ساعة، وقضى ساعتين في نفس الرحلة.

من السهل ملاحظة أنه عندما تتغير السرعة، يتغير وقت الحركة بنفس المقدار. علاوة على ذلك، فقد تغيرت في الاتجاه المعاكس - أي زادت السرعة، ولكن الوقت، على العكس من ذلك، انخفض.

تسمى الكميات مثل السرعة والزمن بالتناسب العكسي. وتسمى العلاقة بين هذه الكميات التناسب العكسي.

التناسب العكسي هو العلاقة بين كميتين، حيث أن الزيادة في إحداهما يترتب عليها نقصان في الأخرى بنفس المقدار.

والعكس صحيح، إذا نقصت كمية واحدة بعدد معين من المرات، زادت الكمية الأخرى بنفس عدد المرات.

على سبيل المثال، إذا كانت سرعة سائق الدراجة النارية في طريق العودة 10 كم/ساعة، فإنه سيقطع نفس الـ 80 كم في 8 ساعات:

وكما يتبين من المثال، أدى انخفاض السرعة إلى زيادة وقت الحركة بنفس المقدار.

خصوصية الكميات المتناسبة عكسيا هي أن منتجها ثابت دائما. أي أنه عندما تتغير قيم الكميات المتناسبة عكسيا فإن حاصل ضربها يبقى دون تغيير.

في المثال المذكور، كانت المسافة بين المدن 80 كم. عندما تتغير سرعة ووقت حركة سائق الدراجة النارية، تظل هذه المسافة دائمًا دون تغيير

يستطيع سائق دراجة نارية قطع هذه المسافة بسرعة 20 كم/ساعة في 4 ساعات، وبسرعة 40 كم/ساعة في ساعتين، وبسرعة 10 كم/ساعة في 8 ساعات. وفي جميع الأحوال كان حاصل ضرب السرعة والزمن يساوي 80 كيلومترًا

هل أعجبك الدرس؟
انضم إلى مجموعة فكونتاكتي الجديدة وابدأ في تلقي إشعارات حول الدروس الجديدة

أنواع التبعية

دعونا نلقي نظرة على شحن البطارية. كالكمية الأولى، دعونا نأخذ الوقت الذي يستغرقه الشحن. القيمة الثانية هي الوقت الذي سيعمل فيه بعد الشحن. كلما قمت بشحن البطارية لفترة أطول، كلما طال أمدها. ستستمر العملية حتى يتم شحن البطارية بالكامل.

اعتماد وقت تشغيل البطارية على وقت شحنها

ملاحظة 1

ويسمى هذا الاعتماد مباشر:

كلما زادت قيمة واحدة، زادت القيمة الثانية. وكلما انخفضت قيمة واحدة، انخفضت القيمة الثانية أيضًا.

دعونا ننظر إلى مثال آخر.

كلما زاد عدد الكتب التي يقرأها الطالب، قل عدد الأخطاء التي يرتكبها في الإملاء. أو كلما ارتفعت في الجبال، كلما انخفض الضغط الجوي.

الملاحظة 2

ويسمى هذا الاعتماد يعكس:

فكلما زادت قيمة واحدة، انخفضت القيمة الثانية. فكلما نقصت قيمة واحدة، زادت القيمة الثانية.

وهكذا في حالة الاعتماد المباشرفكلا الكميتين تتغيران بالتساوي (سواء الزيادة أو النقصان)، وفي هذه الحالة علاقة عكسية– العكس (أحدهما يزيد والآخر ينقص أو العكس).

تحديد التبعيات بين الكميات

مثال 1

الوقت المستغرق لزيارة صديق هو 20$ دقيقة. إذا زادت السرعة (القيمة الأولى) بمقدار $2$ مرة، فسنجد كيف يتغير الوقت (القيمة الثانية) الذي سيتم إنفاقه في الطريق إلى الصديق.

من الواضح أن الوقت سينخفض ​​بمقدار 2$ مرة.

ملاحظة 3

ويسمى هذا الاعتماد متناسب:

عدد المرات التي تتغير فيها الكمية، وعدد المرات التي تتغير فيها الكمية الثانية.

مثال 2

مقابل رغيف خبز بقيمة دولارين في المتجر، يتعين عليك دفع 80 روبل. إذا كنت بحاجة إلى شراء أرغفة خبز بقيمة 4 دولارات (تزيد كمية الخبز بمقدار 2 دولار مرات)، فكم مرة سيتعين عليك دفعها؟

من الواضح أن التكلفة ستزيد أيضًا بمقدار 2 دولارًا. لدينا مثال على الاعتماد التناسبي.

في كلا المثالين، تم أخذ التبعيات التناسبية بعين الاعتبار. لكن في مثال أرغفة الخبز تتغير الكميات في اتجاه واحد، وبالتالي يكون الاعتماد مباشر. وفي مثال الذهاب إلى منزل أحد الأصدقاء، فإن العلاقة بين السرعة والزمن هي يعكس. هكذا يوجد علاقة تناسبية طرديةو علاقة متناسبة عكسيا.

التناسب المباشر

لنفكر في الكميات التناسبية البالغة دولارين: عدد أرغفة الخبز وتكلفتها. دع رغيف الخبز بقيمة 2 دولار يكلف 80 دولارًا روبل. إذا زاد عدد الكعك بمقدار 4$ مرات (8$ كعك)، فإن تكلفتها الإجمالية ستكون 320$ روبل.

نسبة عدد الكعك: $\frac(8)(2)=4$.

نسبة تكلفة الكعكة: $\frac(320)(80)=4$.

وكما ترون فإن هذه العلاقات متساوية مع بعضها البعض:

$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.

التعريف 1

تسمى المساواة بين النسبتين حَجم.

مع الاعتماد التناسبي المباشر، يتم الحصول على العلاقة عندما يتزامن التغير في الكميتين الأولى والثانية:

$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.

التعريف 2

تسمى الكميتين متناسب بشكل مباشر، إذا تغير أحدهما (بالزيادة أو النقصان)، تتغير القيمة الأخرى أيضًا (بالزيادة أو النقصان، على التوالي) بنفس المقدار.

مثال 3

قطعت السيارة مسافة 180$ كم في 2$ ساعة. أوجد الوقت الذي سيقطع فيه $2$ مضروبًا في المسافة بنفس السرعة.

حل.

الوقت يتناسب طرديا مع المسافة:

$t=\frac(S)(v)$.

كم مرة تزيد المسافة بسرعة ثابتة وبنفس المقدار يزداد الزمن:

$\frac(2S)(v)=2t$;

$\frac(3S)(v)=3t$.

قطعت السيارة مسافة 180$ كم في 2$ ساعة

سوف تقطع السيارة $180 \cdot 2=360$ كم - في $x$ ساعات

كلما سافرت السيارة أبعد، كلما استغرقت وقتًا أطول. وبالتالي فإن العلاقة بين الكميات تتناسب طرديا.

دعونا نجعل نسبة:

$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;

$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;

إجابة: السيارة سوف تحتاج إلى 4$ ساعات.

التناسب العكسي

التعريف 3

حل.

الزمن يتناسب عكسيا مع السرعة:

$t=\frac(S)(v)$.

بكم مرة تزيد السرعة وبنفس المسار يتناقص الزمن بنفس المقدار:

$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;

$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.

لنكتب شرط المشكلة على شكل جدول:

قطعت السيارة مسافة 60 دولارًا أمريكيًا كم - في 6 دولارات أمريكية ساعات

سوف تقطع السيارة مسافة 120$ كم – في $x$ ساعات

كلما زادت سرعة السيارة، قل الوقت الذي ستستغرقه. وبالتالي فإن العلاقة بين الكميات تتناسب عكسيا.

دعونا نجعل نسبة.

لأن التناسب معكوس، والعلاقة الثانية في التناسب معكوسة:

$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;

$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;

إجابة: السيارة سوف تحتاج إلى 3$ ساعات.

إدارة التشكيل البلدي "مدينة ساراتوف"

المؤسسة التعليمية البلدية

"مدرسة التعليم الثانوي رقم 95 مع العمق

دراسة المواد الفردية"

التطوير المنهجي

درس الجبر في الصف السابع

حول الموضوع:

"التناسب المباشر

وجدول أعمالها."

مدرس الرياضيات

1 فئة التأهيل

جوريونوفا إي.في.

العام الدراسي 2014 – 2015

مذكرة توضيحية

إلى الدرس حول الموضوع:

"التناسب المباشر ورسمه البياني."

مدرس الرياضيات ايلينا فيكتوروفنا جوريونوفا.

نقدم انتباهكم إلى درس في الصف السابع. يعمل المعلم وفق برنامج تم تجميعه على أساس البرامج النموذجية للتعليم العام الأساسي وبرنامج المؤلف لمؤسسات التعليم العام Yu.N. ماكاريتشيف. الجبر.7-9 الصفوف // مجموعة برامج الجبر للصفوف 7-9. M. التعليم، 2009 تم تجميعه بواسطة T.A. بورميستروفا. يتوافق البرنامج مع كتاب الجبر المدرسي لـ Yu.N. ماكاريشيف، ن.ج. مينديوك، ك. نيشكوف، إس بي سوفوروفا، حرره س. تيلياكوفسكي "الجبر الصف السابع" (دار نشر بروسفيشتشيني، 2009).

خصص 14 ساعة لدراسة موضوع "الدوال"، منها 6 ساعات لقسم "الدوال ورسومها البيانية"، و 3 ساعات لقسم "التناسب المباشر ورسومها البيانية"، و 4 ساعات لقسم "الدالة الخطية ورسومها البيانية". "وساعة واحدة K/R.

الأهداف:

التعليمية:

التعليمية:

3. تشجيع الطلاب على ضبط النفس والتحكم المتبادل.

التعليمية:

غرس الشعور باحترام زملاء الدراسة والاهتمام بالكلمات وتعزيز الاستقلالية والمسؤولية والدقة عند إنشاء الرسومات

يتم تحقيق هذه الأهداف من خلال سلسلة من المهام:

1. تكوين القدرة على الجمع بين المعرفة والمهارات التي تضمن التنفيذ الناجح للأنشطة؛

   العمل على تنمية الكلام المترابط لدى الطلاب، والقدرة على طرح المشكلات وحلها.

معدات الدرس:

استخدم الدرس بطاقات فردية مع المهام وجهاز عرض الوسائط المتعددة، كل الحقائق حول R. Descartes أخذها المعلم على الإنترنت من مواقع الإعلام الرسمية وتم تنقيحها خصيصًا لهذا الدرس مع مراعاة موضوع الدرس وهو الكتاب المدرسي.

نوع الدرس وبنيته:

هذا الدرس هو درس في إتقان المعرفة والمهارات الجديدة (أنواع الدروس وفقًا لـ V. A. Onishchuk)، لذلك كان من العقلاني تطبيق عناصر النشاط البحثي.

تنفيذ مبادئ التدريب:

تم تطبيق المبادئ التالية في الدرس:

علم التعلم.

تم تطبيق مبدأ التدريس المنهجي والمتسق مع الاعتماد المستمر على المواد التي سبق دراستها.

تم تحقيق الوعي والنشاط والاستقلالية لدى الطلاب في شكل تحفيز النشاط المعرفي بمساعدة التقنيات الفعالة والمساعدات البصرية (مثل عرض الشرائح وتقديم الحقائق التاريخية والمعلومات من حياة عالم الرياضيات والفيلسوف ر. ديكارت، فرد أوراق مطبوعة للطلاب.

تم تطبيق مبدأ الراحة في الدرس.

أشكال وطرق التدريس:

خلال الدرس، تم استخدام أشكال مختلفة من التدريب - العمل الفردي والأمامي، والاختبار المتبادل. مثل هذه الأشكال أكثر عقلانية لهذا النوع من الدرس، لأنها تسمح للطفل بتطوير التفكير المستقل، ونقد الفكر، والقدرة على الدفاع عن وجهة نظره، والقدرة على المقارنة واستخلاص النتائج.

الطريقة الرئيسية لهذا الدرس هي طريقة البحث الجزئي والتي تتميز بعمل الطلاب في حل المشكلات المعرفية.

فيز. كانت اللحظة عبارة عن تمرين بدني وتوحيد المواد التي تعلمتها للتو.

في نهاية الدرس، من المستحسن تلخيص العمل المنجز في الدرس.

النتائج العامة للدرس:

أعتقد أن الأهداف المحددة للدرس قد تحققت، وقد طبق الأطفال معرفتهم في موقف جديد، ويمكن للجميع التعبير عن وجهة نظرهم. يتيح لك استخدام الوسائل المرئية في شكل عروض تقديمية وأوراق مطبوعة فردية للطلاب تحفيز الطلاب في كل مرحلة من مراحل الدرس وتجنب التحميل الزائد والإرهاق على الطلاب.

موضوع الدرس:

المهمة التعليمية:- الإلمام بالتناسب المباشر وبناء الرسم البياني الخاص به.

الأهداف:

التعليمية:

1. تنظيم أنشطة الطلاب لفهم موضوع "التناسب المباشر ورسمه البياني" والدمج في البداية: تعريف التناسب المباشر وبناء الرسم البياني الخاص به، لتطوير المهارات في الرسم البياني المختص

2. تهيئة الظروف لإنشاء نظام من المعرفة والمهارات الأساسية في ذاكرة الطلاب، وتحفيز نشاط البحث

التعليمية:

1. تطوير التفكير التحليلي التوليفي (تعزيز تنمية الملاحظة والقدرة على التحليل وتنمية القدرة على تصنيف الحقائق واستخلاص استنتاجات عامة).

2. تنمية التفكير المجرد (تنمية القدرة على تحديد السمات العامة والأساسية وتمييز السمات غير المهمة والانتباه عنها).

3. تشجيع الطلاب على ضبط النفس والتحكم المتبادل

التعليمية:

غرس الشعور باحترام زملاء الدراسة والاهتمام بالكلمات وتعزيز الاستقلالية والمسؤولية والدقة عند إنشاء الرسومات.

معدات:كمبيوتر، عرض تقديمي، بطاقات مطبوعة بها مهام لكل طالب.

خطة الدرس:

1. اللحظة التنظيمية.

2. دافعية الدرس.

3. تحديث المعرفة.

4. تعلم مواد جديدة.

5. إصلاح المواد.

6. ملخص الدرس.

تقدم الدرس.

1. اللحظة التنظيمية.

صباح الخير يا شباب! أود أن أبدأ الدرس بالكلمات التالية. (الشريحة 1)

قال العالم الفرنسي رينيه ديكارت ذات مرة: "أنا أفكر، إذن أنا موجود".

أعد الرجال تقريرا عن العالم الفرنسي ر. ديكارت.

يُعرف رينيه ديكارت بأنه فيلسوف عظيم وليس عالم رياضيات. لكنه كان رائد الرياضيات الحديثة، وإنجازاته في هذا المجال كبيرة جدًا لدرجة أنه تم إدراجه بحق بين علماء الرياضيات العظماء في عصرنا.

رسالة الطالب:(الشريحة 2)

ولد ديكارت في فرنسا، في بلدة لاي الصغيرة. كان والده محاميا، وتوفيت والدته عندما كان رينيه يبلغ من العمر سنة واحدة. وبعد تخرجه من كلية أبناء الأسر الأرستقراطية، بدأ على غرار أخيه في دراسة الفقه. وفي سن الثانية والعشرين، غادر فرنسا وعمل ضابطًا متطوعًا في قوات مختلف القادة العسكريين الذين شاركوا في الحرب التي استمرت 13 عامًا. طور ديكارت في تعاليمه الفلسفية فكرة القدرة المطلقة للعقل البشري، وبالتالي تعرض للاضطهاد من قبل الكنيسة الكاثوليكية. الرغبة في العثور على ملجأ للعمل الهادئ في الفلسفة والرياضيات، التي كان مهتما بها منذ الطفولة، استقر ديكارت في هولندا في عام 1629، حيث عاش حتى نهاية حياته تقريبا. جميع أعمال ديكارت الرئيسية في الفلسفة والرياضيات والفيزياء وعلم الكونيات وعلم وظائف الأعضاء كتبها في هولندا.

تم جمع أعمال ديكارت الرياضية في كتابه "الهندسة" (1637). في "الهندسة" أعطى ديكارت أسس الهندسة التحليلية والجبر. كان ديكارت أول من أدخل مفهوم الدالة المتغيرة في الرياضيات. ولفت الانتباه إلى حقيقة أن المنحنى على المستوى يتميز بمعادلة لها خاصية أن إحداثيات أي نقطة تقع على هذا الخط تلبي هذه المعادلة. قام بتقسيم المنحنيات المعطاة بواسطة معادلة جبرية إلى فئات اعتمادًا على القوة الأكبر للكمية غير المعروفة في المعادلة. أدخل ديكارت في الرياضيات علامتي الزائد والناقص للدلالة على الكميات الموجبة والسالبة، ورمز الدرجة، والعلامة للدلالة على كمية كبيرة لا نهائية. بالنسبة للمتغيرات والكميات غير المعروفة، اعتمد ديكارت الرموز x، y، z، وبالنسبة للكميات المعروفة والثابتة -a .b .c، وكما هو معروف فإن هذه الرموز تستخدم في الرياضيات حتى يومنا هذا. على الرغم من أن ديكارت لم يتقدم كثيرًا في مجال الهندسة التحليلية، إلا أن أعماله كان لها تأثير حاسم على مواصلة تطوير الرياضيات. لمدة 150 عامًا، تطورت الرياضيات على طول المسارات التي حددها ديكارت.

دعونا نتبع نصيحة العالم. سنكون نشيطين ومنتبهين، وسنفكر ونفكر ونتعلم أشياء جديدة، لأن المعرفة ستكون مفيدة لك في وقت لاحق من الحياة، وأود أن أقترح هذه الكلمات (الشريحة 3) لـ ر. ديكارت لتكون شعار درسنا : "احترام الآخرين يعطي سببا لاحترام الذات."

2. الدافع.

دعونا نتحقق من الحالة المزاجية التي أتيت بها إلى الفصل. ارسم وجهًا مبتسمًا في الهوامش.

خذ البطاقات. كلمات ر. ديكارت مكتوبة هنا أيضًا: " ومن أجل تحسين عقلك، تحتاج إلى التفكير أكثر من الحفظ. هذه الكلمات سوف ترشدنا في عملنا.

المهمة رقم 1 تحتوي على المصطلحات الرياضية التي سنستخدمها في الفصل. قم بتصحيح أي أخطاء حدثت في تهجئة هذه المصطلحات. (الشريحة 4)

تبادل الأوراق والتحقق من تصحيح جميع الأخطاء. (الشريحة 5) -ماذا لاحظت؟ ما هي الكلمة التي لا يوجد بها أخطاء؟ (الوظيفة، الجدول الزمني)

3. تحديث المعرفة.

أ) تعرفنا على مفهوم "الوظيفة" في الدروس السابقة. دعونا نتذكر المفاهيم والتعاريف الأساسية حول هذا الموضوع.

لقد عملنا أيضًا مع الرسوم البيانية الوظيفية. أي من كلمات الإملاء استخدمناها عند العمل على موضوع "الرسوم البيانية للوظائف"؟ ماذا يقصدون؟

في هذه الشريحة، حدد الخط الذي سيكون الرسم البياني للدالة؟ (الشريحة 6)

من يستطيع أن يخبرنا عما سنتحدث عنه في هذا الدرس؟ ما الأهداف التي سنضعها للدرس؟ (الشريحة 7)

اكتب الرقم على أوراق الطالب واكتب موضوع الدرس: "التناسب المباشر ورسمه البياني"

دعونا نتذكر المواد من الدروس السابقة

إنشاء الصيغ لحل المشاكل التالية. (الشريحة 9,10)

ما هي المتغيرات التابعة والمستقلة؟ ماذا يعتمد على ماذا؟ ما الإدمان؟ (الشريحة)

ما هي الصيغة التي تختلف عن غيرها؟ (الشريحة)

ج) كيف يمكنك كتابة الصيغ بشكل عام؟ (الشريحة)

ذ = ك س، ذ - المتغير التابع

س – متغير مستقل

ك – رقم ثابت (معامل)

لقد كتبنا الصيغة، وهذه إحدى طرق تعريف الدالة. الاعتماد النسبي المباشر هو وظيفة.

4. تعلم مواد جديدة.

تعريف. التناسب المباشر هو دالة يمكن تحديدها بالصيغة y=kx، حيث x متغير مستقل، وk عدد معين لا يساوي الصفر، وهو معامل التناسب المباشر (نسبة ثابتة للكميات المتناسبة)

دعونا نقرأ القاعدة في الكتاب المدرسي في الصفحة 65

ما هو نطاق هذه الوظيفة؟ (مجموعة جميع الأرقام)

تحديد المواد.

أكمل المهمة في الورقة رقم 4 (الشريحة) وزع الصيغ إلى مجموعتين حسب موضوع الدرس: (اقرأ القاعدة في الكتاب المدرسي ص65)

ص=2س، ص=3س-7، ص=-0.2س، ص=س، ص=س²، ص=س، ص=-5.8+3س، ص=-س، ص=50س،

المجموعة 1: ________________________________________________

المجموعة 2: ________________________________________________

ضع خطًا تحت معامل التناسب المباشر.

ننفذ رقم 298 في الصفحة 68 (شفهياً)، أملي عليك أن تحدد صيغة التناسب بالأذن وأغمض عينيك، وإذا لم يكن بالتناسب فأدر عينيك من اليسار إلى اليمين.

ابتكر واكتب 4 صيغ لوظيفة التناسب المباشر:

1) ص=__________2) ص=__________3) ص=__________4) ص=__________

تعلم مواد جديدة

ما هو الرسم البياني لهذه الوظيفة؟ تريد أن تعرف؟

لقد قمنا بالفعل بإنشاء رسم بياني للدالة في المهمة رقم 2، هل يمكننا تسمية هذه الدالة بالتناسب؟ وهذا يعني أننا قمنا بالفعل ببناء رسم بياني للتناسب. والقاعدة موجودة في الكتاب المدرسي صفحة 67.

دعونا نرى كيف نبني رسمًا بيانيًا لهذه الوظيفة (شريحة)

تحديد المواد.

لنقم ببناء الرسم البياني رقم 7 على أوراق الطلاب (الشريحة)

ما النقطة التي سنحصل عليها في أي رسم بياني للتناسب؟

نحن نعمل وفق الرسومات الجاهزة. (الشريحة)

الاستنتاج: الرسم البياني عبارة عن خط مستقيم يمر عبر نقطة الأصل.

ت. ك. الرسم البياني عبارة عن خط مستقيم، فما عدد النقاط اللازمة لبنائه؟ يوجد بالفعل واحد (0;0)

نقوم بتنفيذ رقم 300

ملخص الدرس.دعونا نلخص العمل في درس اليوم (الشريحة). تم كل شيء. ماذا خططت؟

انعكاس. (الشريحة)

التحقق من الحالة المزاجية للطلاب في نهاية الدرس (مبتسم) (شريحة)

مفهوم التناسب المباشر

تخيل أنك تخطط لشراء الحلوى المفضلة لديك (أو أي شيء تحبه حقًا). الحلويات في المتجر لها سعرها الخاص. لنفترض 300 روبل للكيلوغرام الواحد. كلما اشتريت المزيد من الحلوى، زادت الأموال التي تدفعها. أي إذا كنت تريد 2 كيلوجرامًا فادفع 600 روبل، وإذا كنت تريد 3 كيلوجرامات فادفع 900 روبل. يبدو أن كل هذا واضح، أليس كذلك؟

إذا كانت الإجابة بنعم، فقد أصبح من الواضح لك الآن ما هو التناسب المباشر - وهذا مفهوم يصف العلاقة بين كميتين تعتمدان على بعضهما البعض. وتبقى نسبة هذه الكميات دون تغيير وثابتة: بكم جزء يزيد أو ينقص أحدها، وبنفس عدد الأجزاء يزيد أو ينقص الجزء الثاني بشكل متناسب.

يمكن وصف التناسب المباشر بالصيغة التالية: f(x) = a*x، وa في هذه الصيغة هي قيمة ثابتة (a = const). في مثالنا عن الحلوى، السعر هو قيمة ثابتة، ثابت. لا يزيد ولا ينقص مهما كان عدد الحلوى التي قررت شراءها. المتغير المستقل (الوسيطة) x هو عدد كيلوجرامات الحلوى التي ستشتريها. والمتغير التابع f(x) (الدالة) هو مقدار المال الذي ستدفعه في نهاية المطاف مقابل عملية الشراء. حتى نتمكن من استبدال الأرقام في الصيغة والحصول على: 600 روبل. = 300 فرك. * 2 كجم.

الاستنتاج الوسيط هو: إذا زاد الوسيط، فإن الدالة تزيد أيضًا، وإذا نقصت الوسيطة، تقل الدالة أيضًا

وظيفتها وخصائصها

دالة التناسب المباشرهي حالة خاصة من وظيفة خطية. إذا كانت الدالة الخطية هي y = k*x + b، فبالنسبة للتناسب المباشر تبدو كما يلي: y = k*x، حيث يسمى k معامل التناسب، وهو دائمًا رقم غير صفري. من السهل حساب k - حيث يتم العثور عليه كحاصل دالة ووسيطة: k = y/x.

ولجعل الأمر أكثر وضوحا، دعونا نأخذ مثالا آخر. تخيل أن السيارة تتحرك من النقطة أ إلى النقطة ب. وسرعتها 60 كم/ساعة. فإذا افترضنا أن سرعة الحركة تظل ثابتة، فيمكن اعتبارها ثابتة. ومن ثم نكتب الشروط على الصورة: S = 60*t، وهذه الصيغة تشبه دالة التناسب المباشر y = k *x. لنرسم موازيًا أكثر: إذا كانت k = y/x، فيمكن حساب سرعة السيارة بمعرفة المسافة بين A وB والوقت الذي تقضيه على الطريق: V = S /t.

والآن، من التطبيق التطبيقي للمعرفة المتعلقة بالتناسب المباشر، دعونا نعود إلى وظيفتها. ومن خصائصها ما يلي:

مجال تعريفها هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية (بالإضافة إلى مجموعاتها الفرعية)؛

الوظيفة غريبة؛

يتناسب التغير في المتغيرات بشكل مباشر على طول خط الأعداد بالكامل.

التناسب المباشر ورسمه البياني

الرسم البياني لدالة التناسب المباشر هو خط مستقيم يتقاطع مع نقطة الأصل. لبناء ذلك، يكفي تحديد نقطة واحدة فقط. وربطها وأصل الإحداثيات بخط مستقيم.

في حالة الرسم البياني، k هو المنحدر. إذا كان الميل أقل من الصفر (ك< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0)، يشكل الرسم البياني والمحور السيني زاوية حادة، وتتزايد الدالة.

وهناك خاصية أخرى للرسم البياني لوظيفة التناسب المباشر ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالمنحدر k. لنفترض أن لدينا وظيفتين غير متطابقتين، وبالتالي، رسمان بيانيان. لذلك، إذا كانت معاملات هذه الوظائف متساوية، فإن الرسوم البيانية الخاصة بها تقع بالتوازي مع محور الإحداثيات. وإذا كانت المعاملات k غير متساوية، فإن الرسوم البيانية تتقاطع.

مشاكل العينة

الآن دعونا نحل زوجين مشاكل التناسب المباشر

لنبدأ بشيء بسيط.

المشكلة 1: تخيل أن 5 دجاجات وضعت 5 بيضات في 5 أيام. وإذا كان هناك 20 دجاجة، فكم بيضة ستضعها خلال 20 يومًا؟

الحل: نرمز للمجهول بالرمز kx. وسوف نفكر على النحو التالي: كم مرة زاد عدد الدجاج؟ اقسم 20 على 5 واكتشف أنها 4 مرات. كم عدد البيض الذي تضعه 20 دجاجة في نفس الخمسة أيام؟ أيضا 4 مرات أكثر. إذن نجد بيضتنا هكذا: 5*4*4 = 80 بيضة ستضعها 20 دجاجة في 20 يومًا.

الآن أصبح المثال أكثر تعقيدًا بعض الشيء، فلنعيد صياغة المشكلة من "الحساب العام" لنيوتن. المشكلة الثانية: يستطيع الكاتب تأليف 14 صفحة من كتاب جديد في 8 أيام. إذا كان لديه مساعدين، فكم عدد الأشخاص الذين سيلزمهم كتابة 420 صفحة في 12 يومًا؟

الحل: نسبب أن عدد الأشخاص (كاتب + مساعدين) يزداد مع حجم العمل إذا تم إنجازه في نفس المقدار من الوقت. ولكن كم مرة؟ بقسمة 420 على 14، نجد أنه يزيد بمقدار 30 مرة. ولكن بما أنه يتم تخصيص المزيد من الوقت للعمل وفقًا لشروط المهمة، فإن عدد المساعدين لا يزيد بمقدار 30 مرة، ولكن بهذه الطريقة: x = 1 (كاتب) * 30 (مرات): 12/8 ( أيام). دعونا نتحول ونكتشف أن x = 20 شخصًا سيكتبون 420 صفحة في 12 يومًا.

دعونا نحل مشكلة أخرى مشابهة لتلك الموجودة في الأمثلة لدينا.

المشكلة 3: انطلقت سيارتان في نفس الرحلة. تحرك أحدهما بسرعة 70 كم/ساعة وقطع نفس المسافة في ساعتين بينما استغرق الآخر 7 ساعات. أوجد سرعة السيارة الثانية.

الحل: كما تتذكر، يتم تحديد المسار من خلال السرعة والزمن - S = V *t. بما أن السيارتين قطعتا نفس المسافة، فيمكننا مساواة التعبيرين: 70*2 = V*7. كيف نجد أن سرعة السيارة الثانية هي V = 70*2/7 = 20 كم/ساعة.

واثنين من الأمثلة الأخرى للمهام ذات وظائف التناسب المباشر. في بعض الأحيان تتطلب المشاكل إيجاد المعامل k.

المهمة 4: بالنظر إلى الدالتين y = - x/16 وy = 5x/2، حدد معاملات التناسب الخاصة بهما.

الحل: كما تتذكر، k = y/x. وهذا يعني أن المعامل للدالة الأولى يساوي -1/16، وللدالة الثانية k = 5/2.

قد تواجه أيضًا مهمة مثل المهمة 5: كتابة التناسب المباشر باستخدام صيغة. يقع الرسم البياني الخاص بها والرسم البياني للدالة y = -5x + 3 بالتوازي.

الحل: الدالة المعطاة لنا في الحالة خطية. نحن نعلم أن التناسب المباشر هو حالة خاصة من الدالة الخطية. ونعلم أيضًا أنه إذا كانت معاملات الدوال k متساوية، فإن تمثيلاتها البيانية تكون متوازية. هذا يعني أن كل ما هو مطلوب هو حساب معامل دالة معروفة وتعيين التناسب المباشر باستخدام الصيغة المألوفة لدينا: y = k *x. المعامل k = -5، التناسب المباشر: y = -5*x.

خاتمة

لقد تعلمت الآن (أو تذكرت، إذا كنت قد تناولت هذا الموضوع بالفعل من قبل) ما يسمى التناسب المباشر، ونظرت إليه أمثلة. تحدثنا أيضًا عن دالة التناسب المباشر ورسمها البياني، وقمنا بحل العديد من الأمثلة على المسائل.

إذا كان هذا المقال مفيدًا وساعدك على فهم الموضوع، أخبرنا عنه في التعليقات. حتى نعرف إذا كان بإمكاننا أن نفيدك.

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.