تحديد المسافة إلى الخط المستقيم. تحديد المسافات

مطلوب تحديد المسافة من نقطة إلى خط. الخطة العامة لحل المشكلة:

- من خلال نقطة معينة ، نرسم مستوى عموديًا على خط مستقيم معين ؛

- ابحث عن نقطة التقاء الخط

بطائرة

- تحديد القيمة الطبيعية للمسافة.

من خلال نقطة معينة ، نرسم مستوى عموديًا على الخط AB. يتم ضبط المستوى من خلال تقاطع الأفقي والأمامي ، حيث يتم بناء الإسقاطات وفقًا لخوارزمية العمودية (مشكلة عكسية).

أوجد نقطة التقاء المستقيم AB مع المستوى. هذه مشكلة نموذجية تتعلق بتقاطع خط مع مستوى (راجع قسم "تقاطع خط مع مستوى").

عمودي الطائرة

تكون المستويات متعامدة بشكل متبادل إذا احتوت إحداها على خط عمودي على المستوى الآخر. لذلك ، لرسم مستوى عموديًا على مستوى آخر ، يجب عليك أولاً رسم عمودي على المستوى ، ثم رسم المستوى المطلوب من خلاله. في الرسم التخطيطي ، يُعطى المستوى من خلال خطين مستقيمين متقاطعين ، أحدهما متعامد مع المستوى ABC.

إذا تم إعطاء الطائرات عن طريق الآثار ، فإن الحالات التالية ممكنة:

- إذا تم إسقاط مستويين متعامدين ، فإن آثارهما الجماعية تكون متعامدة بشكل متبادل ؛

- يكون المستوى في الوضع العام ومستوى الإسقاط متعامدين إذا كان التتبع الجماعي لمستوى الإسقاط متعامدًا مع نفس اسم المستوى في الوضع العام ؛

- إذا كانت آثار طائرتين في الوضع العام متعامدة ، فإن الطائرات ليست متعامدة مع بعضها البعض.

طريقة لاستبدال طائرات الإسقاط

	بدائل طائرة الإسقاط
تكمن في حقيقة أن الطائرات
يتم استبدال المقاطع بأخرى مسطحة
	لهذا السبب.	هندسي
كائن في نظام الطائرات الجديد
بدأت الإسقاطات في اتخاذ خاص -بواسطة
الموضع ، مما يجعل من الممكن تبسيط إعادة
حل المشاكل. على نطاق مكاني
يظهر ket استبدال الطائرة V بـ
جديد V 1. يظهر أيضا
النقطة أ على الطائرات الأصلية
الإسقاطات وطائرة الإسقاط الجديدة
V1. عند استبدال طائرات الإسقاط
يتم الحفاظ على تعامد النظام.

دعنا نحول التخطيط المكاني إلى تخطيط مستوٍ عن طريق تدوير المستويات على طول الأسهم. نحصل على ثلاث طائرات إسقاط مدمجة في مستوى واحد.

ثم نقوم بإزالة طائرات الإسقاط و
		التوقعات
من مؤامرة النقطة تتبع القاعدة: متى
استبدال V بـ V 1 من أجل
		أمامي
نقطة ، من الضروري من المحور الجديد
ضع جانبا نقطة التطبيق المأخوذة من
نظام الطائرات السابق
تشارك. وبالمثل ، يمكن للمرء أن يثبت
	استبدال H بـ H 1 ضروري
ضبط احداثية النقطة.

المشكلة النموذجية الأولى لطريقة استبدال طائرات الإسقاط

تتمثل المهمة النموذجية الأولى لطريقة استبدال مستويات الإسقاط في تحويل الخط في الوضع العام ، أولاً إلى خط المستوى ، ثم إلى خط الإسقاط. هذه المشكلة هي واحدة من المشاكل الرئيسية ، حيث يتم استخدامها في حل المشكلات الأخرى ، على سبيل المثال ، في تحديد المسافة بين الخطوط المتوازية والميل ، في تحديد الزاوية ثنائية السطوح ، إلخ.

نجعل التغيير V → V 1.
يتم رسم المحور بالتوازي مع الأفقي
		التوقعات.
الإسقاط الأمامي مباشرة ، ل
				يؤجل
تطبيقات النقطة. أمامي جديد
إسقاط الخط المستقيم هو خط مستقيم HB.
يصبح الخط المستقيم نفسه أماميًا.
يتم تحديد الزاوية α °.

نجعل الاستبدال H → H 1. يتم رسم المحور الجديد بشكل عمودي على الإسقاط الأمامي للخط المستقيم. نقوم ببناء إسقاط أفقي جديد للخط المستقيم ، والذي وضعنا جانباً إحداثيات الخط المستقيم المأخوذ من النظام السابق لمستويات الإسقاط من المحور الجديد. يصبح الخط خط إسقاط أفقيًا و "يتدهور" إلى نقطة.

تحديد المسافات

المسافات من نقطة إلى نقطة ومن نقطة إلى أخرى

المسافة من نقطة إلى أخرىيتم تحديده من خلال طول المقطع المستقيم الذي يربط بين هذه النقاط. كما هو موضح أعلاه ، يمكن حل هذه المشكلة إما بطريقة المثلث القائم الزاوية ، أو عن طريق استبدال مستويات الإسقاط بتحريك المقطع إلى موضع خط المستوى.

المسافة من نقطة إلى خطيقاس بقطعة من عمودي مرسوم من نقطة إلى خط. يتم تصوير جزء من هذا العمودي بالحجم الكامل على مستوى الإسقاط إذا تم رسمه على خط الإسقاط. وبالتالي ، يجب أولاً نقل الخط المستقيم إلى موضع الإسقاط ، ثم يجب إنزال الخط العمودي عليه من نقطة معينة. على التين. يوضح الشكل 1 الحل لهذه المشكلة. لنقل خط الموضع العام AB إلى موضع خط المستوى ، يتم تنفيذ x14 IIA1 B1. ثم يتم نقل AB إلى موضع الإسقاط عن طريق إدخال مستوى إسقاط إضافي P5 ، حيث يتم تنفيذ محور إسقاط جديد x45 \ A4 B4.

الصورة 1

على غرار النقطتين A و B ، يتم إسقاط النقطة M على مستوى الإسقاط P5.

الإسقاط K5 للقاعدة K للعمودي الذي تم إسقاطه من النقطة M إلى الخط AB ، على مستوى الإسقاط P5 ، سيتزامن مع الإسقاطات المقابلة للنقاط

A و B. الإسقاط M5 K5 للخط العمودي MK هو القيمة الطبيعية للمسافة من النقطة M إلى الخط AB.

في نظام طائرات الإسقاط P4 / P5 ، سيكون MK العمودي خطًا مستويًا ، لأنه يقع في مستوى موازٍ لمستوى الإسقاطات P5. لذلك ، فإن إسقاطه M4 K4 على المستوى P4 يوازي x45 ، أي عمودي على الإسقاط A4 B4. تحدد هذه الشروط موضع الإسقاط K4 لقاعدة العمود العمودي K ، والذي يتم العثور عليه برسم خط مستقيم من M4 موازيًا لـ x45 حتى يتقاطع مع الإسقاط A4 B4. تم العثور على الإسقاطات المتبقية للعمودي عن طريق إسقاط النقطة K على مستوى الإسقاطات P1 و P2.

المسافة من نقطة إلى طائرة

يظهر حل هذه المشكلة في الشكل. 2. تقاس المسافة من النقطة M إلى المستوي (ABC) بقطعة من الخط العمودي تم إسقاطه من النقطة إلى المستوى.

الشكل 2

نظرًا لأن المستوى العمودي على مستوى الإسقاط هو خط مستوي ، فإننا ننقل المستوى المحدد إلى هذا الموضع ، ونتيجة لذلك نحصل على إسقاط متدهور C4 B4 للمستوى ABC على مستوى الإسقاط الجديد المقدم P4. بعد ذلك ، نقوم بإسقاط النقطة M على P4. يتم تحديد القيمة الطبيعية للمسافة من النقطة M إلى المستوى من خلال مقطع العمود العمودي

[MK] = [M4 K4]. يتم إنشاء الإسقاطات العمودية المتبقية بنفس الطريقة كما في المشكلة السابقة ، أي مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن الجزء MK في نظام طائرات الإسقاط P1 / P4 هو خط مستوى وإسقاطه M1 K1 موازي للمحور

× 14.

المسافة بين خطين مستقيمين

يتم قياس أقصر مسافة بين خطوط الانحراف بواسطة جزء من الخط المتعامد المشترك بينهما ، المقطوع بواسطة هذه الخطوط. تم حل المشكلة باختيار (نتيجة لتغييرين متتاليين) مستوى الإسقاط عموديًا على أحد الخطوط المتقاطعة. في هذه الحالة ، سيكون المقطع العمودي المطلوب موازياً لمستوى الإسقاط المحدد وسيتم عرضه عليه بدون تشويه. على التين. يوضح الشكل 3 خطين مستقيمين متقاطعين يحددهما المقطعان AB و CD.

الشكل 3

يتم إسقاط الخطوط المستقيمة في البداية على مستوى الإسقاط P4 ، بالتوازي مع واحد (أي منها) ، على سبيل المثال ، AB ، وعمودي على P1.

على مستوى الإسقاطات P4 ، سيتم عرض المقطع AB بدون تشويه. ثم تُسقط المقاطع على مستوى جديد P5 عمودي على نفس الخط المستقيم AB والمستوى P4. على مستوى الإسقاطات P5 ، يتدهور إسقاط الجزء AB عموديًا إلى النقطة A5 = B5 ، وتكون القيمة المطلوبة N5 M5 للجزء NM متعامدة مع C5 D5 ويتم تصويرها بالحجم الكامل. باستخدام خطوط الاتصال المناسبة ، يتم بناء إسقاطات المقطع MN على الأولي

رسم. كما هو موضح سابقًا ، يكون الإسقاط N4 M4 للجزء المطلوب على المستوى P4 موازيًا لمحور الإسقاط x45 ، نظرًا لأنه يمثل خطًا مستويًا في نظام طائرات الإسقاط P4 / P5.

مهمة تحديد المسافة D بين خطين متوازيين AB و CD هي حالة خاصة للخط السابق (الشكل 4).

الشكل 4

من خلال الاستبدال المزدوج لمستويات الإسقاط ، يتم نقل الخطوط المتوازية إلى موضع الإسقاط ، ونتيجة لذلك على مستوى الإسقاط P5 سيكون لدينا إسقاطان متدهوران A5 = B5 و C5 = D5 للخطين AB و CD. المسافة بينهما D ستكون مساوية لقيمتها الطبيعية.

المسافة من الخط المستقيم إلى المستوى الموازي له تُقاس بقطعة من العمود العمودي تسقط من أي نقطة على الخط المستقيم إلى المستوى. لذلك ، يكفي تحويل مستوى الموضع العام إلى موضع مستوى الإسقاط ، واتخاذ نقطة مباشرة ، وسيتم تقليل حل المشكلة إلى تحديد المسافة من النقطة إلى المستوى.

لتحديد المسافة بين المستويات المتوازية ، من الضروري ترجمتها إلى موضع إسقاط وإنشاء عمودي على الإسقاطات المتدهورة للطائرات ، حيث سيكون الجزء بينهما هو المسافة المطلوبة.

تتضمن هذه المهام: مهام لتحديد المسافات من نقطة إلى خط مستقيم ، إلى مستوى ، إلى سطح ؛ بين الخطوط المتوازية والمتقاطعة ؛ بين الطائرات المتوازية ، إلخ.

توحد كل هذه المهام ثلاث ظروف:

أولاًنظرًا لأن أقصر مسافة بين هذه الأشكال متعامدة ، فإنهم جميعًا يتحولون إلى خطوط وطائرات متعامدة بشكل متبادل.

ثانيًا، في كل من هذه المشاكل ، من الضروري تحديد الطول الطبيعي للمقطع ، أي حل المشكلة المترية الرئيسية الثانية.

ثالثا، هذه مهام معقدة ، يتم حلها على عدة مراحل ، وفي كل مرحلة يتم حل مهمة محددة صغيرة منفصلة.

لنفكر في حل إحدى هذه المشكلات.

مهمة:حدد المسافة من النقطة متصل إلى الموقف العام أ(الشكل 4-26).

الخوارزمية:

المرحلة 1: المسافة من نقطة إلى خط عمودي. منذ المباشر أ- الوضع العام ، ثم لبناء عمودي عليه ، من الضروري حل مشكلة مماثلة لتلك الواردة في الصفحات M4-4 من هذه الوحدة ، أي أولاً من خلال النقطة معقد طائرة س، عمودي أ. نضع هذه الطائرة كالعادة حÇ F، حيث h1^ أ 1، أ f2^ أ 2

المرحلة الثانية: لبناء عمودي ، تحتاج إلى إيجاد نقطة ثانية له. ستكون هذه هي النقطة لينتمون إلى الخط أ. للعثور عليه ، تحتاج إلى حل مشكلة الموضع ، أي إيجاد نقطة تقاطع الخط المستقيم أبالطائرة س. نحل 1GPZ وفقًا للخوارزمية الثالثة (الشكل 4-28):

نقدم طائرة - وسيط جي, جي^ ^ ف 1 ، زÉ أÞ Г 1 = أ 1;

- جيÇ S = ب ، ز^ ^ ص 1Þ ب 1 (1 1 2 1) = 1 ، بÌ سÞ ب 2 (1 2 2 2)Ì S2.

- ب 2З أ 2 = ك 2Þ ك 1.

المرحلة 3: إيجاد الحجم الفعلي عضو الكنيستطريقة المثلث الأيمن

يظهر الحل الكامل للمشكلة في الشكل. 4-30.

تدوين الخوارزمية للحل:

1. س^ أ ،S = حЗ و = م ، ح 1^ أ 1 ، ص 2^ أ 2.

2. نقدم طائرة - وسيط جي,

- جي^ ^ ف 1 ، زÉ أÞ Г 1 = أ 1 ؛

- جيÇ S = ب ، ز^ ^ ص 1Þ ب 1 (1 1 2 1) = 1 ، بÌ سÞ ب 2 (1 2 2 2)Ì S2.

- ب 2З أ 2 = ك 2Þ ك 1.

3. إيجاد الحجم الفعلي عضو الكنيست.

الاستنتاجات:

1. يتم تقليل حل جميع المشكلات المترية إلى حل أول مشكلة مترية أساسية - على العمودية المتبادلة للخط والمستوى.

2. عند تحديد المسافات بين الأشكال الهندسية ، يتم دائمًا استخدام المشكلة المترية الرئيسية الثانية - لتحديد الحجم الطبيعي للقطاع.

3. يمكن تحديد المماس المستوي لسطح عند نقطة ما بخطين متقاطعين ، يكون كل منهما مماسًا للسطح المحدد.

أسئلة التحكم

1. ما المهام التي تسمى متري؟

2. ما المهمتان المترية الرئيسية التي تعرفها؟

3. أيهما أكثر فائدة عندما يكون مستوى عموديًا على خط مستقيم في الوضع العام؟

4. ما اسم المستوى العمودي على أحد خطوط المستوى؟

5. ما اسم المستوى العمودي على أحد خطوط الإسقاط؟

6. ما يسمى المستوى المماس للسطح؟

155 *. أوجد الحجم الفعلي للمقطع AB لخط مستقيم في الوضع العام (الشكل 153 ، أ).

حل. كما تعلم ، فإن إسقاط قطعة مستقيمة على أي مستوى يساوي المقطع نفسه (مع مراعاة مقياس الرسم) ، إذا كان موازٍ لهذا المستوى

(الشكل 153 ، ب). ويترتب على ذلك أنه من خلال تحويل الرسم ، من الضروري تحقيق التوازي في هذا المقطع. V أو pl. H أو يكمل النظام V ، H بمستوى آخر عمودي على المربع. الخامس أو رر. H وفي نفس الوقت موازية لقطعة معينة.

على التين. يُظهر 153 ، c إدخال مستوى إضافي S ​​متعامد مع المربع. H وبالتوازي مع القطعة المعطاة AB.

الإسقاط a s b s يساوي القيمة الطبيعية للمقطع AB.

على التين. يُظهر 153 ، d طريقة أخرى: يتم تدوير الجزء AB حول خط مستقيم يمر بالنقطة B وعمودي على المربع. H إلى موضع موازٍ

قدم مربع V. في هذه الحالة ، تظل النقطة B في مكانها ، وتحتل النقطة A موقعًا جديدًا A 1. الأفق في موقع جديد. الإسقاط أ 1 ب || المحور س. الإسقاط "1 ب" يساوي القيمة الطبيعية للمقطع AB.

156. الهرم SABCD معطى (الشكل 154). تحديد الحجم الطبيعي لحواف الهرم AS و CS باستخدام طريقة تغيير مستويات الإسقاط ، والحواف BS و DS باستخدام طريقة الدوران ، واتخاذ محور الدوران عموديًا على المربع. ح.

157 *. أوجد المسافة من النقطة أ إلى الخط المستقيم BC (الشكل 155 ، أ).

حل. المسافة من نقطة إلى خط تقاس بقطعة من عمودي مرسوم من نقطة إلى خط.

إذا كان الخط عموديًا على أي مستوى (الشكل 155.6) ، فإن المسافة من النقطة إلى الخط تقاس بالمسافة بين إسقاط النقطة ونقطة الإسقاط للخط على هذا المستوى. إذا كان الخط المستقيم يحتل موقعًا عامًا في نظام V ، H ، فمن أجل تحديد المسافة من نقطة إلى خط مستقيم عن طريق تغيير مستويات الإسقاط ، يجب إدخال طائرتين إضافيتين في نظام V ، H.

أولاً (الشكل 155 ، ج) ندخل المربع. S ، بالتوازي مع القطعة BC (المحور الجديد S / H موازٍ للإسقاط bс) ، ونحن نبني الإسقاطات b s c s و a s. ثم (الشكل 155 ، د) نقدم مربعًا آخر. T عمودي على الخط BC (محور T / S جديد متعامد على b s c s). نبني إسقاطات لخط مستقيم ونقطة - باستخدام t (b t) و a t. المسافة بين النقطتين a t و c t (b t) تساوي المسافة l من النقطة A إلى الخط BC.

على التين. 155e ، يتم إنجاز نفس المهمة بطريقة الدوران في شكلها ، والتي تسمى طريقة الحركة المتوازية. أولاً ، الخط BC والنقطة A ، مع الحفاظ على موقعهما المتبادل دون تغيير ، يستديران بعض الخطوط (غير المشار إليها في الرسم) عموديًا على المربع. H ، بحيث يكون الخط المستقيم BC موازيًا للمربع. V. هذا يعادل تحريك النقاط A ، B ، C في المستويات الموازية للمربع. H. وفي نفس الوقت الأفق. لا يتغير إسقاط نظام معين (BC + A) سواء من حيث الحجم أو في التكوين ، فقط موضعه بالنسبة إلى المحور x يتغير. ضع أفقًا. إسقاط الخط المستقيم BC بالتوازي مع المحور x (الموضع b 1 c 1) وتحديد الإسقاط أ 1 ، ووضع جانبًا c 1 1 1 \ u003d c-1 و 1 1 1 \ u003d a-1 ، و 1 1 1 ص 1 1 1. رسم خطوط مستقيمة ب "ب" 1 ، أ "أ" 1 ، ج "ج" 1 موازية للمحور س ، نجد الجبهة عليها. الإسقاطات ب "1 ، أ" 1 ، ج "1. بعد ذلك ، نحرك النقاط B 1 و C 1 و A 1 في مستويات موازية للمربع V (أيضًا بدون تغيير موضعها النسبي) ، وذلك للحصول على B 2 C 2 ⊥ مربع H. في هذه الحالة ، سيكون إسقاط الخط المستقيم إلى الأمام عموديًا على المحور x ، b 2 c "2 = b" 1 c "1 ، ولإنشاء الإسقاط a" 2 ، تحتاج إلى خذ b "2 2" 2 = b "1 2" 1 ، ارسم 2 "a" 2 ⊥ b "2 c" 2 وقم بتأجيل a "2 2" 2 \ u003d a "1 2" 1. الآن ، بعد إنفاق c 1 c 2 و a 1 a 2 || x 1 ، نحصل على الإسقاطات b 2 s 2 و a 2 والمسافة المطلوبة l من النقطة A إلى الخط BC. يمكنك تحديد المسافة من A إلى BC عن طريق قلب المستوى المحدد بالنقطة A والخط BC حول أفقي هذا المستوى إلى الموضع T || pl. H (الشكل 155 ، هـ).

في المستوى المعطى بالنقطة A والخط المستقيم BC ، نرسم خطًا أفقيًا A-1 (الشكل 155 ، ز) وندير النقطة B حوله ، وتتحرك النقطة B إلى المربع. R (الواردة في الرسم التالي R h) ، عموديًا على A-1 ؛ عند النقطة O هي مركز دوران النقطة B. الآن نحدد القيمة الطبيعية لنصف قطر دوران VO (الشكل 155 ، ج). في المنصب المطلوب ، أي عندما رر. يتم تعريف T بالنقطة A والخط BC ليصبح || قدم مربع H ، النقطة B سوف تتحول على R h على مسافة Ob 1 من النقطة O (قد يكون هناك موقع آخر على نفس المسار R h ، ولكن على الجانب الآخر من O). النقطة ب 1 هي الأفق. إسقاط النقطة B بعد نقلها إلى الموضع B 1 في الفضاء ، عندما يكون المستوى المحدد بالنقطة A والخط المستقيم BC يتخذ الموضع T.

برسم (الشكل 155 ، و) الخط المستقيم ب 1 1 ، نحصل على الأفق. إسقاط الخط المستقيم BC الموجود بالفعل || قدم مربع H في نفس مستوى A. في هذا الموضع ، المسافة من a إلى b 1 1 تساوي المسافة المطلوبة l. يمكن دمج المستوى P ، الذي تكمن فيه العناصر المحددة ، مع المربع. ح (الشكل 155 ، ي) ، قلب المربع. ف حول أفقها. يتعقب. بعد الانتقال من ضبط المستوى بالنقطة A والخط BC لتحديد الخطين BC و A-1 (الشكل 155 ، ل) ، نجد آثار هذه الخطوط ونرسم آثار P و P h من خلالها. نحن نبني (الشكل 155 ، م) مع المربع. H الموقف الأمامي. تتبع - P ϑ0.

ارسم الأفق من خلال النقطة أ. الإسقاط الأمامي يمر الجبهة المدمجة من خلال النقطة 2 على التتبع Р h موازية لـ Р ϑ0. النقطة أ 0 - مجتمعة مع رر. H هو موضع النقطة A. وبالمثل ، نجد النقطة B 0. أشعة الشمس المباشرة مع رر. يمر الموضع H بالنقطة B 0 والنقطة m (تتبع أفقي لخط مستقيم).

المسافة من النقطة A 0 إلى الخط المستقيم B 0 C 0 تساوي المسافة المطلوبة l.

من الممكن تنفيذ البناء المشار إليه من خلال إيجاد أثر واحد فقط P h (الشكل 155 و n و o). الهيكل بأكمله يشبه الدوران حول الأفقي (انظر الشكل 155 ، f ، c ، i): التتبع P h هو أحد الخطوط الأفقية للمربع. تم العثور على R.

من بين طرق تحويل الرسم المعطى لحل هذه المشكلة ، يفضل أسلوب الدوران حول أفقي أو أمامي.

158. الهرم SABC معطى (الشكل 156). تحديد المسافات:

أ) من أعلى B للقاعدة إلى جانبها AC بطريقة الحركة المتوازية ؛

ب) من أعلى الهرم S إلى الجانبين BC و AB للقاعدة عن طريق الدوران حول الأفقي ؛

ج) من أعلى S إلى جانب AC للقاعدة عن طريق تغيير مستويات الإسقاط.

159. نظرا للمنشور (الشكل 157). تحديد المسافات:

أ) بين الحواف AD و CF بتغيير مستويات الإسقاط ؛

ب) بين الضلوع BE و CF بالتناوب حول الجبهة ؛

ج) بين الحواف AD و BE بطريقة الحركة المتوازية.

160. حدد الحجم الفعلي للشكل الرباعي ABCD (الشكل 158) عن طريق الدمج مع المربع. N. استخدم فقط التتبع الأفقي للمستوى.

161 *. حدد المسافة بين المستقيمات المتقاطعة AB و CD (الشكل 159 ، أ) وقم بإنشاء إسقاطات للخط العمودي المشترك بينهما.

حل. المسافة بين خطوط العبور تقاس بقطعة (MN) من العمودي على كلا الخطين (الشكل 159 ، ب). من الواضح ، إذا تم وضع أحد الخطوط بشكل عمودي على أي مربع. ثم تي

سيكون الجزء MN من الخط العمودي على كلا الخطين موازٍ للمربع. سيعرض إسقاطه على هذا المستوى المسافة المطلوبة. إسقاط الزاوية اليمنى للميناد MN n AB على المربع. تبين أيضًا أن T زاوية قائمة بين m t n t و a t b t ، نظرًا لأن أحد جانبي الزاوية اليمنى AMN ، وهو MN. بالتوازي مع المربع. ت.

على التين. 159 و c و d ، يتم تحديد المسافة المطلوبة l بطريقة تغيير مستويات الإسقاط. أولاً ، نقدم مربعًا إضافيًا. الإسقاطات S عمودية على المربع. H وموازية للخط المستقيم CD (الشكل 159 ، ج). ثم نقدم مربعًا إضافيًا آخر. T عمودي على المربع. S وعمودي على نفس الخط CD (الشكل 159 ، د). يمكنك الآن بناء إسقاط للعمودي المشترك برسم m t n t من النقطة c t (d t) المتعامدة مع الإسقاط a t b t. النقطتان m t و n t عبارة عن إسقاطات لنقاط تقاطع هذا العمودي مع الخطين AB و CD. من النقطة m t (الشكل 159 ، هـ) نجد m s على a s b s: يجب أن يكون الإسقاط m s n s موازيًا لمحور T / S. علاوة على ذلك ، من m s و n s نجد m و n على ab و cd ، ومنهما m "و n" على "b" و c "d".

على التين. 159 ، يظهر حل هذه المشكلة بطريقة الحركات المتوازية. أولًا ، نضع القرص المستقيم CD موازيًا للمربع. الخامس: الإسقاط ج 1 د 1 || X. بعد ذلك ، ننقل الخطين CD و AB من الموضعين C 1 D 1 و A 1 B 1 إلى الموضعين C 2 B 2 و A 2 B 2 بحيث يكون C 2 D 2 عموديًا على H: الإسقاط c "2 d" 2 ⊥ x. يقع الجزء العمودي المطلوب || قدم مربع H ، وبالتالي ، m 2 n 2 تعبر عن المسافة المرغوبة l بين AB و CD. نجد موضع الإسقاطات م "2 ، ون" 2 على "2 ب" 2 و ج "2 د" 2 ، ثم الإسقاطات و م 1 و م "1 ، ن 1 و ن" 1 ، أخيرًا ، الإسقاطات m "و n" و m و n.

162- تم إعطاء الهرم SABC (الشكل 160). حدد المسافة بين الحافة SB والجانب AC لقاعدة الهرم وقم ببناء الإسقاطات العمودية المشتركة على SB و AC ، باستخدام طريقة تغيير مستويات الإسقاط.

163. الهرم SABC معطى (الشكل 161). أوجد المسافة بين الحافة SH والضلع BC من قاعدة الهرم ، وقم ببناء إسقاطات العمود العمودي المشترك على SX و BC باستخدام طريقة الإزاحة المتوازية.

164 *. حدد المسافة من النقطة A إلى المستوى في الحالات التي يُعطى فيها المستوى: أ) بالمثلث BCD (الشكل 162 ، أ) ؛ ب) آثار (الشكل 162 ، ب).

حل. كما تعلم ، تقاس المسافة من نقطة إلى مستو بمقدار الخط العمودي المرسوم من النقطة إلى المستوى. هذه المسافة مسقطة على أي مربع. إسقاط بالحجم الطبيعي ، إذا كان المستوى المعطى عموديًا على المربع. الإسقاطات (الشكل 162 ، ج). يمكن تحقيق هذا الموقف عن طريق تحويل الرسم ، على سبيل المثال ، عن طريق تغيير المربع. التوقعات. دعنا نقدم المربع. S (الشكل 16 ت ، د) ، عمودي على المربع. المثلث بى سى دى. للقيام بذلك ، نقضي في المربع. المثلث الأفقي B-1 وضع محور الإسقاطات S عموديًا على الإسقاط b-1 أفقيًا. نبني إسقاطات لنقطة ومستوى - a s ومقطع c s d s. المسافة من a s إلى c s d s تساوي المسافة المطلوبة l من النقطة إلى المستوي.

في ريو. 162 ، د يتم تطبيق طريقة الحركة المتوازية. نقوم بتحريك النظام بأكمله حتى يصبح أفقي B-1 للمستوى عموديًا على المستوى V: يجب أن يكون الإسقاط b 1 1 1 عموديًا على المحور x. في هذا الموضع ، سيصبح مستوى المثلث إسقاطًا أماميًا ، وستكون المسافة l من النقطة A إليه مربعة. الخامس بدون تشويه.

على التين. 162 ب الطائرة مُعطاة بآثار. نقدم (الشكل 162 ، هـ) مربع إضافي. S عمودي على المربع. P: محور S / H عمودي على P h. الباقي واضح من الرسم. على التين. 162 ، حسنًا ، تم حل المشكلة بمساعدة إزاحة واحدة: رر. ينتقل P إلى الموضع P 1 ، أي يصبح إسقاطًا أماميًا. مسار. P 1h عمودي على المحور x. نبني جبهة في هذا الموضع من الطائرة. تتبع الأفقي هو النقطة n "1 ، n 1. سوف يمر التتبع P 1ϑ عبر P 1x و n 1. المسافة من a" 1 إلى P 1ϑ تساوي المسافة المطلوبة l.

165. الهرم SABC معطى (انظر الشكل 160). حدد المسافة من النقطة أ إلى الوجه SBC للهرم باستخدام طريقة الإزاحة المتوازية.

166- يرد ذكر الهرم SABC (انظر الشكل 161). أوجد ارتفاع الهرم باستخدام طريقة الإزاحة المتوازية.

167 *. أوجد المسافة بين المستويين المتقاطعين AB و CD (انظر الشكل 159 ، أ) كمسافة بين المستويين المتوازيين المرسومة عبر هذين المستقيمين.

حل. على التين. 163 ، والمستويات P و Q موضحة بالتوازي مع بعضها البعض ، منها pl. يتم رسم Q من خلال CD موازٍ لـ AB ، و pl. P - خلال AB موازية للمربع. Q. تعتبر المسافة بين هذه المستويات هي المسافة بين خطوط الانحراف AB و CD. ومع ذلك ، يمكنك تقييد نفسك ببناء مستوى واحد فقط ، على سبيل المثال Q ، بالتوازي مع AB ، ثم تحديد المسافة على الأقل من النقطة A إلى هذا المستوى.

على التين. يُظهر 163c المستوى Q عبر القرص المضغوط الموازي لـ AB ؛ في الإسقاطات التي عقدت مع "e" || أ "ب" و حد ذاته || أب. باستخدام طريقة تغيير المربع. الإسقاطات (الشكل 163 ، ج) ، نقدم مربعًا إضافيًا. S عمودي على المربع. الخامس وفي نفس الوقت

عمودي على المربع. س: لرسم محور S / V ، نأخذ الجبهة D-1 في هذا المستوى. نرسم الآن S / V عموديًا على d "1" (الشكل 163 ، ج). رر سيتم عرض Q على الساحة. S كخط مستقيم مع s d s. الباقي واضح من الرسم.

168. الهرم SABC معطى (انظر الشكل 160). تحديد المسافة بين الحواف SC و AB تطبيق: 1) طريقة تغيير المنطقة. الإسقاطات ، 2) طريقة الحركة المتوازية.

169 *. أوجد المسافة بين المستويين المتوازيين ، أحدهما يُعطى بخطوط مستقيمة AB و AC ، والآخر بخطوط مستقيمة DE و DF (الشكل 164 ، أ). قم أيضًا بإجراء بناء للحالة عندما يتم إعطاء الطائرات بآثار (الشكل 164 ، ب).

حل. يمكن تحديد المسافة (الشكل 164 ، ج) بين المستويات المتوازية عن طريق رسم عمودي من أي نقطة في مستوى إلى مستوى آخر. على التين. 164 ، قدم مربع إضافي. S عمودي على المربع. H ولكلا الطائرات المعطاة. محور SH عمودي على الأفق. إسقاط لخط أفقي مرسوم في إحدى المستويات. نبني إسقاطًا لهذا المستوى ونشير إلى مستوى آخر على Sq. 5. مسافة النقطة d s إلى الخط l s a s تساوي المسافة المطلوبة بين المستويات المتوازية.

على التين. 164 ، د تم إعطاء بناء آخر (وفقًا لطريقة الحركة الموازية). لكي يكون المستوى الذي يعبر عنه الخطان المتقاطعان AB و AC متعامدين مع المربع. الخامس ، الأفق. وضعنا الإسقاط الأفقي لهذا المستوى عموديًا على المحور x: 1 1 2 1 ⊥ x. المسافة بين الجبهة. الإسقاط d "1 للنقطة D والخط المستقيم" 1 2 "1 (الإسقاط الأمامي للمستوى) يساوي المسافة المرغوبة بين المستويين.

على التين. يُظهر 164 ، البريد إدخال مربع إضافي. S ، عمودي على pl H وعلى المستويين المعينين P و Q (محور S / H عمودي على الآثار P h و Q h). نقوم ببناء آثار Р s و Q s. المسافة بينهما (انظر الشكل 164 ، ج) تساوي المسافة المطلوبة l بين المستويين P و Q.

على التين. 164 ، g تُظهر حركة الطائرات P 1 n Q 1 ، إلى الموضع P 1 و Q 1 عند الأفق. تبين أن الآثار تكون عمودية على المحور x. المسافة بين الجبهة الجديدة. تتبع P 1ϑ و Q 1ϑ تساوي المسافة المرغوبة l.

170. إعطاء ABCDEFGH متوازي السطوح (الشكل 165). تحديد المسافات: أ) بين قواعد خط الموازي - ل 1 ؛ ب) بين الوجوه ABFE و DCGH - l 2 ؛ ج) بين ADHE و BCGF-l 3 وجوه.

المسافة من نقطة إلى خط هي طول العمود العمودي من النقطة إلى الخط. في الهندسة الوصفية ، يتم تحديدها بيانياً وفقًا للخوارزمية أدناه.

الخوارزمية

1. يتم نقل الخط المستقيم إلى موضع يكون فيه موازٍ لأي مستوى إسقاط. للقيام بذلك ، قم بتطبيق طرق تحويل الإسقاطات المتعامدة.
2. ارسم عموديًا من نقطة إلى خط. يعتمد هذا البناء على نظرية إسقاط الزاوية اليمنى.
3. يتم تحديد طول العمود العمودي عن طريق تحويل إسقاطاته أو باستخدام طريقة المثلث الأيمن.

يوضح الشكل التالي رسمًا معقدًا للنقطة M والخط b المحدد بواسطة قرص مضغوط للمقطع الخطي. تحتاج إلى إيجاد المسافة بينهما.

وفقًا للخوارزمية الخاصة بنا ، فإن أول شيء يجب فعله هو تحريك الخط إلى موضع موازٍ لمستوى الإسقاط. من المهم أن نفهم أنه بعد التحويلات ، يجب ألا تتغير المسافة الفعلية بين النقطة والخط. هذا هو السبب في أنه من الملائم استخدام طريقة استبدال الطائرة هنا ، والتي لا تتضمن تحريك الأشكال في الفضاء.

فيما يلي نتائج المرحلة الأولى من الإنشاءات. يوضح الشكل كيف يتم إدخال مستوى أمامي إضافي P 4 بالتوازي مع b. في النظام الجديد (P 1، P 4) النقاط C "" 1، D "" 1، M "" 1 على نفس المسافة من المحور X 1 مثل C "" ، D "" ، M "" من المحور س.

تنفيذ الجزء الثاني من الخوارزمية ، بدءًا من M "1" ، نخفض الخط العمودي M "" 1 N "" 1 إلى الخط المستقيم b "" 1 ، نظرًا لأن الزاوية اليمنى MND بين b و MN مسقطة على المستوى P 4 بالحجم الكامل. نحدد موضع النقطة N على طول خط الاتصال ونرسم الإسقاط M "N" للجزء MN.

في المرحلة النهائية ، من الضروري تحديد قيمة القطعة MN من خلال إسقاطاتها M "N" و M "" 1 N "" 1. للقيام بذلك ، نقوم ببناء مثلث قائم الزاوية M "" 1 N "" 1 N 0 ، حيث تكون الضلع N "" 1 N 0 مساوية للفرق (Y M 1 - Y N 1) لإزالة النقاط M "و N" من المحور X 1. طول الوتر M "" 1 N 0 للمثلث M "" 1 N "" 1 N 0 يتوافق مع المسافة المرغوبة من M إلى b.

الطريقة الثانية لحلها

• بالتوازي مع القرص المضغوط نقدم مستوى أمامي جديد П 4. يتقاطع P 1 على طول المحور X 1 ، و X 1 درجة مئوية "D". وفقًا لطريقة استبدال المستويات ، نحدد إسقاطات النقاط C "" 1 ، D "" 1 و M "" 1 ، كما هو موضح في الشكل.
• عموديًا على C "" 1 D "" 1 ، نبني مستوى أفقيًا إضافيًا P 5 يُسقط عليه الخط المستقيم b إلى النقطة C "2 \ u003d b" 2.
• يتم تحديد المسافة بين النقطة M والخط المستقيم ب بطول المقطع M "2 C" 2 المميز باللون الأحمر.

المهام ذات الصلة: