مستوى الدخول

هرم. الدليل المرئي (2019)

ما هو الهرم؟

كيف تبدو؟

ترى: في أسفل الهرم (يقولون) في القاعدة") بعض المضلعات، وجميع رؤوس هذا المضلع متصلة بنقطة ما في الفضاء (تسمى هذه النقطة "" قمة الرأس»).

هذا الهيكل كله لا يزال لديه وجوه جانبية, الأضلاع الجانبيةو أضلاع القاعدة. مرة أخرى، دعونا نرسم هرما مع كل هذه الأسماء:

قد تبدو بعض الأهرامات غريبة جدًا، لكنها لا تزال أهرامات.

هنا، على سبيل المثال، هو "منحرف" تماما هرم.

والمزيد عن الأسماء: إذا كان هناك مثلث في قاعدة الهرم، فإن الهرم يسمى مثلثًا، وإذا كان رباعيًا، فرباعي الزوايا، وإذا كان مئويًا، ف... خمن بنفسك .

وفي الوقت نفسه، النقطة التي سقط فيها ارتفاع، مُسَمًّى قاعدة الارتفاع. يرجى ملاحظة أنه في الأهرامات "الملتوية". ارتفاعوربما ينتهي بهم الأمر خارج الهرم. مثله:

ولا حرج في ذلك. يبدو وكأنه مثلث منفرج.

الهرم الصحيح .

الكثير من الكلمات المعقدة؟ دعونا نفك الشفرة: "في القاعدة - صحيح" - هذا أمر مفهوم. الآن دعونا نتذكر أن المضلع المنتظم له مركز - نقطة تمثل مركز و و .

حسنًا، عبارة "يتم إسقاط الجزء العلوي في وسط القاعدة" تعني أن قاعدة الارتفاع تقع تمامًا في وسط القاعدة. انظروا كيف تبدو ناعمة ولطيفة الهرم المنتظم.

سداسية: يوجد في القاعدة مسدس منتظم، يتم إسقاط قمة الرأس في وسط القاعدة.

رباعي الزوايا: القاعدة مربعة، والقمة بارزة إلى نقطة تقاطع أقطار هذا المربع.

الثلاثي: يوجد في القاعدة مثلث منتظم، ويتم إسقاط الرأس عند نقطة تقاطع الارتفاعات (وهي أيضًا متوسطات ومنصفات) لهذا المثلث.

جداً خصائص هامة للهرم العادي:

في الهرم الأيمن

• جميع الحواف الجانبية متساوية.
• جميع الوجوه الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين وجميع هذه المثلثات متساوية.

حجم الهرم

الصيغة الرئيسية لحجم الهرم:

من أين أتت بالضبط؟ الأمر ليس بهذه البساطة، وفي البداية عليك فقط أن تتذكر أن الهرم والمخروط لهما حجم في الصيغة، لكن الأسطوانة ليس كذلك.

الآن دعونا نحسب حجم الأهرامات الأكثر شهرة.

اجعل جانب القاعدة متساويًا والحافة الجانبية متساوية. نحن بحاجة للعثور على و.

هذه هي مساحة المثلث المنتظم.

دعونا نتذكر كيف نبحث عن هذه المنطقة. نستخدم صيغة المنطقة:

بالنسبة لنا، "" هي هذه، و "" هي أيضًا هذه، إيه.

الآن دعونا نجده.

وفقا لنظرية فيثاغورس ل

ما الفرق؟ هذا هو محيط دائرة نصف قطرها لأن هرمصحيحوبالتالي المركز.

منذ - نقطة تقاطع المتوسطات أيضًا.

(نظرية فيثاغورس ل)

لنعوض بها في صيغة .

ودعنا نعوض بكل شيء في صيغة الحجم:

انتباه:إذا كان لديك رباعي وجوه منتظم (على سبيل المثال)، فستظهر الصيغة كما يلي:

اجعل جانب القاعدة متساويًا والحافة الجانبية متساوية.

ليست هناك حاجة للنظر هنا؛ بعد كل شيء، القاعدة هي مربع، وبالتالي.

سوف نجد ذلك. وفقا لنظرية فيثاغورس ل

هل نعرف؟ حسنًا تقريبًا. ينظر:

(لقد رأينا هذا من خلال النظر إليه).

استبدل في الصيغة بـ:

والآن نعوض في صيغة الحجم.

اجعل جانب القاعدة متساويًا والحافة الجانبية.

كيف تجد؟ انظر، الشكل السداسي يتكون من ستة مثلثات منتظمة متطابقة تمامًا. لقد بحثنا بالفعل عن مساحة مثلث منتظم عند حساب حجم الهرم الثلاثي المنتظم؛ وهنا نستخدم الصيغة التي وجدناها.

الآن دعونا نجد (ذلك).

وفقا لنظرية فيثاغورس ل

ولكن ما المهم؟ الأمر بسيط لأن (والجميع أيضًا) على حق.

دعونا نستبدل:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

هرم. باختصار عن الأشياء الرئيسية

الهرم هو متعدد السطوح يتكون من أي مضلع مسطح ()، نقطة لا تقع في مستوى القاعدة (أعلى الهرم) وجميع الأجزاء التي تربط قمة الهرم بنقاط القاعدة (الحواف الجانبية).

سقوط عمودي من أعلى الهرم إلى مستوى القاعدة.

الهرم الصحيح- هرم يقع فيه مضلع منتظم عند قاعدته، وتبرز قمة الهرم في وسط القاعدة.

خاصية الهرم المنتظم :

• في الهرم المنتظم، جميع الحواف الجانبية متساوية.
• جميع الوجوه الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين وجميع هذه المثلثات متساوية.

تعريف. حافة جانبية- هذا مثلث تقع فيه إحدى زواياه أعلى الهرم، والضلع المقابل لها يتطابق مع جانب القاعدة (المضلع).

تعريف. الأضلاع الجانبية- هذه هي الجوانب المشتركة للوجوه الجانبية. الهرم له عدد من الحواف مثل زوايا المضلع.

تعريف. ارتفاع الهرم- وهذا عمودي ينزل من أعلى الهرم إلى قاعدة الهرم.

تعريف. أبوثيم- وهذا عمودي على الوجه الجانبي للهرم، ينزل من أعلى الهرم إلى جانب القاعدة.

تعريف. قسم قطري- هذا مقطع من الهرم يمر بمستوى يمر بأعلى الهرم وقطر القاعدة.

تعريف. الهرم الصحيحهو هرم قاعدته مضلعة منتظمة، ويصل ارتفاعه إلى مركز القاعدة.

حجم ومساحة سطح الهرم

صيغة. حجم الهرممن خلال مساحة القاعدة والارتفاع:

خصائص الهرم

إذا كانت جميع الحواف الجانبية متساوية، فيمكن رسم دائرة حول قاعدة الهرم، ويتزامن مركز القاعدة مع مركز الدائرة. وأيضًا، يمر عمودي من الأعلى عبر مركز القاعدة (الدائرة).

إذا كانت جميع الحواف الجانبية متساوية، فإنها تميل إلى مستوى القاعدة بنفس الزوايا.

تكون الحواف الجانبية متساوية عندما تشكل زوايا متساوية مع مستوى القاعدة أو إذا أمكن رسم دائرة حول قاعدة الهرم.

إذا كانت الوجوه الجانبية مائلة إلى مستوى القاعدة بنفس الزاوية، فيمكن إدراج دائرة في قاعدة الهرم، ويتم إسقاط الجزء العلوي من الهرم في مركزه.

إذا كانت الأوجه الجانبية مائلة على مستوى القاعدة بنفس الزاوية، فإن قياسات الأوجه الجانبية متساوية.

خصائص الهرم المنتظم

1. أن تكون قمة الهرم متساوية البعد عن جميع أركان القاعدة.

2. جميع الحواف الجانبية متساوية.

3. جميع الأضلاع الجانبية مائلة بزوايا متساوية للقاعدة.

4. قياسات جميع الوجوه الجانبية متساوية.

5. مساحات جميع الوجوه الجانبية متساوية.

6. جميع الوجوه لها نفس الزوايا ثنائية السطوح (المسطحة).

7. يمكن وصف الكرة حول الهرم. سيكون مركز الكرة المقيدة هو نقطة تقاطع الخطوط العمودية التي تمر عبر منتصف الحواف.

8. يمكنك وضع كرة في الهرم. وسيكون مركز الكرة المنقوشة هو نقطة تقاطع المنصفات الخارجة من الزاوية بين الحافة والقاعدة.

9. إذا تزامن مركز الكرة المحصورة مع مركز الكرة المحصورة، فإن مجموع زوايا المستوى عند الرأس يساوي π أو العكس، زاوية واحدة تساوي π/n، حيث n هو الرقم الزوايا عند قاعدة الهرم .

العلاقة بين الهرم والكرة

يمكن وصف الكرة حول الهرم عندما يوجد في قاعدة الهرم متعدد الوجوه يمكن وصف الدائرة حوله (شرط ضروري وكاف). سيكون مركز الكرة هو نقطة تقاطع المستويات التي تمر بشكل عمودي عبر نقاط منتصف الحواف الجانبية للهرم.

يمكن دائمًا وصف الكرة حول أي هرم ثلاثي أو منتظم.

يمكن إدراج كرة في الهرم إذا تقاطعت المستويات المنصفية للزوايا ثنائية السطوح الداخلية للهرم عند نقطة واحدة (شرط ضروري وكافي). هذه النقطة ستكون مركز الكرة.

العلاقة بين الهرم والمخروط

ويقال إن المخروط منقوش في الهرم إذا تطابقت رؤوسه، وكانت قاعدة المخروط منقوشة في قاعدة الهرم.

يمكن كتابة المخروط في الهرم إذا كانت قياسات الهرم متساوية مع بعضها البعض.

ويقال إن المخروط محصور حول الهرم إذا تطابقت رءوسه وكانت قاعدة المخروط محصورة حول قاعدة الهرم.

يمكن وصف المخروط حول الهرم إذا كانت جميع الحواف الجانبية للهرم متساوية مع بعضها البعض.

العلاقة بين الهرم والأسطوانة

يسمى الهرم منقوشا في اسطوانة إذا كان الجزء العلوي من الهرم يقع على إحدى قواعد الاسطوانة، وقاعدة الهرم منقوشة في قاعدة أخرى من الاسطوانة.

يمكن وصف الأسطوانة حول الهرم إذا أمكن وصف الدائرة حول قاعدة الهرم.

تعريف. الهرم المقطوع (المنشور الهرمي)هو متعدد السطوح يقع بين قاعدة الهرم ومستوى المقطع الموازي للقاعدة. وبذلك يكون للهرم قاعدة كبيرة وقاعدة أصغر تشبه القاعدة الأكبر. الوجوه الجانبية شبه منحرفة.

تعريف. الهرم الثلاثي (رباعي الاسطح)هو هرم فيه ثلاثة وجوه والقاعدة مثلثات عشوائية.

رباعي الأسطح له أربعة وجوه وأربعة رؤوس وستة حواف، حيث لا تحتوي أي حافتين على رؤوس مشتركة ولكن لا تتلامسان.

تتكون كل قمة من ثلاثة وجوه وحواف تتشكل زاوية ثلاثية.

يسمى الجزء الذي يربط قمة رباعي الاسطح بمركز الوجه المقابل متوسط ​​رباعي الاسطح(GM).

بيميديانيسمى الجزء الذي يصل بين نقاط المنتصف للحواف المتقابلة التي لا تمس (KL).

تتقاطع جميع ثنائيات ومتوسطات رباعي السطوح عند نقطة واحدة (S). في هذه الحالة، يتم تقسيم البيميديات إلى نصفين، ويتم تقسيم الوسيطات بنسبة 3:1 بدءًا من الأعلى.

تعريف. الهرم المائلهو هرم تشكل إحدى حوافه زاوية منفرجة (β) مع القاعدة.

تعريف. هرم مستطيلهو هرم يكون أحد أضلاعه متعامداً مع قاعدته.

تعريف. الهرم ذو الزاوية الحادة- هرم يكون فيه الارتفاع أكثر من نصف طول ضلع القاعدة.

تعريف. هرم منفرج- هرم يكون قياسه أقل من نصف طول ضلع القاعدة.

تعريف. رباعي الاسطح منتظم- رباعي السطوح تكون فيه الوجوه الأربعة مثلثات متساوية الأضلاع. وهو أحد المضلعات الخمسة المنتظمة. في رباعي السطوح المنتظم، تكون جميع الزوايا ثنائية السطوح (بين الوجوه) والزوايا ثلاثية السطوح (عند الرأس) متساوية.

تعريف. رباعي الاسطح مستطيلهو رباعي وجوه ذو زاوية قائمة بين ثلاث حواف عند القمة (الحواف متعامدة). شكل ثلاثة وجوه زاوية مثلثة مستطيلةوالأوجه مثلثات قائمة، والقاعدة مثلث اعتباطي. وقياس أي وجه يساوي نصف ضلع القاعدة التي يقع عليها الارتفاع.

تعريف. رباعي السطوح متساوي السطوحيسمى رباعي السطوح أضلاعه متساوية مع بعضها البعض، وقاعدته مثلث منتظم. مثل هذا رباعي السطوح له وجوه مثلثات متساوية الساقين.

تعريف. رباعي السطوح متعامد المركزيسمى رباعي السطوح حيث تتقاطع جميع الارتفاعات (المتعامدة) التي تنخفض من الأعلى إلى الوجه المقابل عند نقطة واحدة.

تعريف. الهرم النجمييسمى متعدد السطوح قاعدته نجم.

تعريف. الهرم المزدوج- متعدد السطوح يتكون من هرمين مختلفين (يمكن أيضًا قطع الأهرامات)، وله قاعدة مشتركة، وتقع القمم على جانبي المستوى الأساسي.

تعريف

هرمهو متعدد السطوح يتكون من مضلع \(A_1A_2...A_n\) و\(n\) مثلثات ذات قمة مشتركة \(P\) (لا تقع في مستوى المضلع) وأضلاع مقابلة لها، تتزامن مع جوانب المضلع.
التعيين: \(PA_1A_2...A_n\) .
مثال: الهرم الخماسي \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

المثلثات \(PA_1A_2, \PA_2A_3\)، إلخ. يتم استدعاؤها وجوه جانبيةالأهرامات، والقطاعات \(PA_1، PA_2\)، وما إلى ذلك. - الأضلاع الجانبية, المضلع \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – أساس، النقطة \(P\) – قمة.

ارتفاعالأهرامات هي خط عمودي ينحدر من أعلى الهرم إلى مستوى القاعدة.

يسمى الهرم الذي في قاعدته مثلث رباعي الاسطح.

الهرم يسمى صحيحإذا كانت قاعدته مضلعًا منتظمًا وتوافر أحد الشروط التالية:

\((أ)\) الحواف الجانبية للهرم متساوية؛

\((ب)\) يمر ارتفاع الهرم بمركز الدائرة المحددة بالقرب من القاعدة؛

\((ج)\) تميل الأضلاع الجانبية إلى مستوى القاعدة بنفس الزاوية.

\((د)\) تميل الوجوه الجانبية إلى مستوى القاعدة بنفس الزاوية.

رباعي الاسطح منتظمهو هرم ثلاثي، جميع وجوهه مثلثات متساوية الأضلاع.

نظرية

الشروط \((أ)، (ب)، (ج)، (د)\) متكافئة.

دليل

دعونا نجد ارتفاع الهرم \(PH\) . اجعل \(\alpha\) هو مستوى قاعدة الهرم.

1) دعونا نثبت أن \((a)\) تعني \((b)\) . دع \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

لأن \(PH\perp \alpha\)، إذن \(PH\) متعامد على أي خط يقع في هذا المستوى، مما يعني أن المثلثات قائمة الزاوية. هذا يعني أن هذين المثلثين متساويان في الساق المشتركة \(PH\) والوتر \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . هذا يعني \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . هذا يعني أن النقاط \(A_1, A_2, ..., A_n\) تقع على نفس المسافة من النقطة \(H\)، وبالتالي فهي تقع على نفس الدائرة التي يبلغ نصف قطرها \(A_1H\) . هذه الدائرة، بحكم تعريفها، محصورة حول المضلع \(A_1A_2...A_n\) .

2) دعونا نثبت أن \((b)\) يعني \((c)\) .

\(PA_1H، PA_2H، PA_3H،...، PA_nH\)مستطيلة ومتساوية على قدمين. وهذا يعني أن زواياهم متساوية أيضًا، وبالتالي، \(\الزاوية PA_1H=\الزاوية PA_2H=...=\الزاوية PA_nH\).

3) دعونا نثبت أن \((ج)\) تتضمن \((a)\) .

على غرار النقطة الأولى، المثلثات \(PA_1H، PA_2H، PA_3H،...، PA_nH\)مستطيلة على طول الساق والزاوية الحادة. وهذا يعني أن الوترين متساويان أيضًا، أي \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) دعونا نثبت أن \((ب)\) يعني \((د)\) .

لأن في المضلع المنتظم، تتطابق مراكز الدوائر المقيدة والدوائر المنقوشة (بشكل عام، تسمى هذه النقطة مركز المضلع المنتظم)، ثم \(H\) هو مركز الدائرة المنقوشة. لنرسم خطوطًا متعامدة من النقطة \(H\) إلى جوانب القاعدة: \(HK_1, HK_2\)، إلخ. هذه هي أنصاف أقطار الدائرة المنقوشة (حسب التعريف). بعد ذلك، وفقًا لـ TTP (\(PH\) عمودي على المستوى، \(HK_1، HK_2\)، وما إلى ذلك هي إسقاطات متعامدة على الجوانب) مائلة \(PK_1، PK_2\)، إلخ. عمودي على الجوانب \(A_1A_2, A_2A_3\)، إلخ. على التوالى. لذلك، بحكم التعريف \(\الزاوية PK_1H، \الزاوية PK_2H\)مساوية للزوايا المحصورة بين الأوجه الجانبية والقاعدة. لأن المثلثات \(PK_1H, PK_2H, ...\) متساوية (كمستطيل من الجانبين)، ثم الزوايا \(\الزاوية PK_1H، \الزاوية PK_2H، ...\)متساوون.

5) دعونا نثبت أن \((د)\) تعني \((ب)\) .

على غرار النقطة الرابعة، المثلثات \(PK_1H, PK_2H, ...\) متساوية (كمستطيل على طول الساق والزاوية الحادة)، مما يعني أن القطع \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) متساوية متساوي. وهذا يعني، بحكم التعريف، \(H\) هو مركز الدائرة المنقوشة في القاعدة. ولكن بسبب بالنسبة للمضلعات المنتظمة، يتطابق مركزا الدائرة المحصورة مع الدائرة المحصورة، فيكون \(H\) مركز الدائرة المحصورة. تشتد.

عاقبة

الوجوه الجانبية للهرم المنتظم هي مثلثات متساوية الساقين.

تعريف

يسمى ارتفاع الوجه الجانبي للهرم المنتظم المرسوم من رأسه apothem.
إن قياسات جميع الوجوه الجانبية للهرم المنتظم متساوية مع بعضها البعض وهي أيضًا متوسطات ومنصفات.

ملاحظات هامة

1. يقع ارتفاع الهرم الثلاثي المنتظم عند نقطة تقاطع ارتفاعات (أو منصفات، أو متوسطات) القاعدة (القاعدة مثلث منتظم).

2. يقع ارتفاع الهرم الرباعي المنتظم عند نقطة تقاطع قطري القاعدة (القاعدة مربعة).

3. يقع ارتفاع الهرم السداسي المنتظم عند نقطة تقاطع أقطار القاعدة (القاعدة مسدس منتظم).

4. يكون ارتفاع الهرم متعامدا مع أي خط مستقيم يقع عند القاعدة.

تعريف

الهرم يسمى مستطيلةإذا كان أحد حوافها الجانبية متعامدًا مع مستوى القاعدة.

ملاحظات هامة

1. في الهرم المستطيل، تكون الحافة المتعامدة مع القاعدة هي ارتفاع الهرم. أي أن \(SR\) هو الارتفاع.

2. لأن \(SR\) عمودي على أي خط من القاعدة، إذن \(\مثلث SRM، \مثلث SRP\)- المثلثات القائمة.

3. المثلثات \(\مثلث SRN، \مثلث SRK\)- مستطيلة أيضًا.
أي أن أي مثلث يتكون من هذه الحافة والقطر الخارج من رأس هذه الحافة الواقع عند القاعدة يكون مستطيلاً.

\[(\Large(\text(حجم الهرم ومساحة سطحه))))\]

نظرية

حجم الهرم يساوي ثلث حاصل ضرب مساحة القاعدة وارتفاع الهرم: \

عواقب

اجعل \(a\) هو جانب القاعدة، \(h\) هو ارتفاع الهرم.

1. حجم الهرم الثلاثي المنتظم هو \(V_(\text(right Triangle.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. حجم الهرم الرباعي المنتظم هو \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. حجم الهرم السداسي المنتظم هو \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. حجم رباعي السطوح المنتظم هو \(V_(\text(tetr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

نظرية

مساحة السطح الجانبي للهرم العادي تساوي نصف منتج محيط القاعدة والارتفاع.

\[(\كبير(\نص(فروستوم)))\]

تعريف

فكر في هرم عشوائي \(PA_1A_2A_3...A_n\) . دعونا نرسم مستوى موازيًا لقاعدة الهرم من خلال نقطة معينة تقع على الحافة الجانبية للهرم. هذا المستوى سيقسم الهرم إلى متعددات وجوه، أحدهما هرم ((\(PB_1B_2...B_n\)) والآخر يسمى الهرم المقطوع(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

يحتوي الهرم المقطوع على قاعدتين - المضلعات \(A_1A_2...A_n\) و \(B_1B_2...B_n\) المتشابهة مع بعضها البعض.

ارتفاع الهرم المقطوع هو خط عمودي مرسوم من نقطة معينة من القاعدة العليا إلى مستوى القاعدة السفلية.

ملاحظات هامة

1. جميع الوجوه الجانبية للهرم المقطوع هي شبه منحرف.

2. الجزء الذي يربط بين مراكز قواعد الهرم المنتظم المقطوع (أي الهرم الناتج عن المقطع العرضي للهرم العادي) هو الارتفاع.

يواجه الطلاب مفهوم الهرم قبل فترة طويلة من دراسة الهندسة. العيب يقع على عاتق العجائب المصرية العظيمة الشهيرة في العالم. لذلك، عند البدء في دراسة هذا متعدد السطوح الرائع، يتخيله معظم الطلاب بوضوح. جميع عوامل الجذب المذكورة أعلاه لها الشكل الصحيح. ماذا حدث الهرم المنتظموما هي خصائصه سيتم مناقشتها بمزيد من التفصيل.

تعريف

هناك الكثير من التعريفات للهرم. منذ العصور القديمة، كانت تحظى بشعبية كبيرة.

على سبيل المثال، عرّفه إقليدس على أنه شكل جسدي يتكون من مستويات تبدأ من مستوى واحد وتتقارب عند نقطة معينة.

قدم مالك الحزين صيغة أكثر دقة. وأصر على أن هذا هو الرقم الذي لها قاعدة ومستويات على شكل مثلثات،تتقارب عند نقطة واحدة.

بناءً على التفسير الحديث، يتم تمثيل الهرم على أنه متعدد السطوح مكاني، يتكون من أشكال مثلثية معينة k-gon و k، لها نقطة مشتركة واحدة.

دعونا ننظر في الأمر بمزيد من التفصيل، ما هي العناصر التي تتكون منها:

• يعتبر k-gon أساس الشكل؛
• 3-أشكال مضلعية تبرز كحواف الجزء الجانبي؛
• ويسمى الجزء العلوي الذي تنشأ منه العناصر الجانبية بالقمة؛
• تسمى جميع الأجزاء التي تربط قمة الرأس بالحواف؛
• إذا تم تخفيض خط مستقيم من قمة الرأس إلى مستوى الشكل بزاوية 90 درجة، فإن الجزء الموجود في الفضاء الداخلي هو ارتفاع الهرم؛
• في أي عنصر جانبي، يمكن رسم عمودي، يسمى apothem، على جانب متعدد السطوح لدينا.

يتم حساب عدد الحواف باستخدام الصيغة 2*k، حيث k هو عدد جوانب k-gon. يمكن تحديد عدد وجوه متعدد السطوح مثل الهرم باستخدام التعبير k+1.

مهم!الهرم ذو الشكل المنتظم هو شكل مجسم مستوي قاعدته هو k-gon ذو الجوانب المتساوية.

الخصائص الأساسية

الهرم الصحيح له خصائص كثيرة،والتي هي فريدة من نوعها لها. دعونا قائمة لهم:

1. الأساس هو شكل الشكل الصحيح.
2. حواف الهرم التي تحد العناصر الجانبية لها قيم عددية متساوية.
3. العناصر الجانبية هي مثلثات متساوية الساقين.
4. تقع قاعدة ارتفاع الشكل عند مركز المضلع، في حين أنها في نفس الوقت النقطة المركزية للمنقوش والمحدود.
5. تميل جميع الأضلاع الجانبية إلى مستوى القاعدة بنفس الزاوية.
6. جميع الأسطح الجانبية لها نفس زاوية الميل بالنسبة للقاعدة.

بفضل جميع الخصائص المدرجة، أصبح إجراء حسابات العناصر أسهل بكثير. وبناء على الخصائص المذكورة أعلاه، فإننا نولي اهتماما ل علامتان:

1. في حالة احتواء المضلع في دائرة، سيكون للأوجه الجانبية زوايا متساوية مع القاعدة.
2. عند وصف دائرة حول مضلع، فإن جميع حواف الهرم الخارجة من الرأس ستكون لها أطوال متساوية وزوايا متساوية مع القاعدة.

الأساس هو مربع

الهرم الرباعي المنتظم - متعدد السطوح قاعدته مربعة.

وله أربعة وجوه جانبية، وهي متساوية الساقين في المظهر.

تم تصوير المربع على المستوى، ولكنه يعتمد على جميع خصائص الشكل الرباعي العادي.

على سبيل المثال، إذا كان من الضروري ربط ضلع المربع بقطره، فاستخدم الصيغة التالية: القطر يساوي حاصل ضرب ضلع المربع والجذر التربيعي لاثنين.

لأنه يقوم على مثلث منتظم

الهرم الثلاثي المنتظم هو متعدد السطوح قاعدته 3 أضلاع منتظمة.

إذا كانت القاعدة مثلثًا منتظمًا وكانت الحواف الجانبية متساوية مع حواف القاعدة، فهذا الشكل يسمى رباعي الاسطح.

جميع وجوه رباعي السطوح متساوية الأضلاع بثلاثة أضلاع. في هذه الحالة عليك معرفة بعض النقاط وعدم إضاعة الوقت عليها عند الحساب:

• زاوية ميل الأضلاع إلى أي قاعدة هي 60 درجة؛
• حجم جميع الوجوه الداخلية هو أيضا 60 درجة؛
• يمكن لأي وجه أن يكون بمثابة قاعدة؛
• المرسومة داخل الشكل، هذه عناصر متساوية.

أقسام متعدد السطوح

في أي متعدد السطوح هناك عدة أنواع من الأقساممستوي. في كثير من الأحيان في دورة الهندسة المدرسية يعملون مع اثنين:

• محوري؛
• موازية للأساس.

يتم الحصول على القسم المحوري عن طريق تقاطع متعدد السطوح مع مستوى يمر عبر القمة والحواف الجانبية والمحور. في هذه الحالة، المحور هو الارتفاع المرسوم من الرأس. يقتصر مستوى القطع على خطوط التقاطع مع جميع الوجوه، مما ينتج عنه مثلث.

انتباه!في الهرم العادي، يكون القسم المحوري مثلثًا متساوي الساقين.

إذا كان مستوى القطع موازيا للقاعدة، فإن النتيجة هي الخيار الثاني. في هذه الحالة، لدينا شكل مقطعي مشابه للقاعدة.

على سبيل المثال، إذا كان هناك مربع عند القاعدة، فإن القسم الموازي للقاعدة سيكون أيضًا مربعًا، بأبعاد أصغر فقط.

عند حل المسائل في ظل هذا الشرط، يتم استخدام علامات وخصائص تشابه الأشكال، بناء على نظرية طاليس. بادئ ذي بدء، من الضروري تحديد معامل التشابه.

إذا تم رسم المستوى بالتوازي مع القاعدة وقطع الجزء العلوي من متعدد السطوح، فسيتم الحصول على هرم مقطوع منتظم في الجزء السفلي. ومن ثم يقال إن قواعد متعدد السطوح المقطوعة هي مضلعات متشابهة. في هذه الحالة، الوجوه الجانبية هي شبه منحرف متساوي الساقين. القسم المحوري هو أيضا متساوي الساقين.

من أجل تحديد ارتفاع متعدد السطوح المقطوع، من الضروري رسم الارتفاع في القسم المحوري، أي في شبه المنحرف.

المساحات السطحية

المشاكل الهندسية الرئيسية التي يجب حلها في دورة الهندسة المدرسية هي العثور على مساحة السطح وحجم الهرم.

هناك نوعان من قيم مساحة السطح:

• مساحة العناصر الجانبية
• مساحة السطح بأكمله.

من الاسم نفسه يتضح ما نتحدث عنه. يشمل السطح الجانبي العناصر الجانبية فقط. ويترتب على ذلك أنه للعثور عليه، ما عليك سوى إضافة مساحات المستويات الجانبية، أي مساحات متساوية الساقين 3 أضلاع. دعونا نحاول استخلاص صيغة مساحة العناصر الجانبية:

1. مساحة 3-gon متساوية الساقين تساوي Str=1/2(aL)، حيث a هو جانب القاعدة، L هو apothem.
2. يعتمد عدد المستويات الجانبية على نوع k-gon الموجود في القاعدة. على سبيل المثال، الهرم الرباعي المنتظم له أربع مستويات جانبية. لذلك، من الضروري إضافة مساحات الأشكال الأربعة Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. تم تبسيط التعبير بهذه الطريقة لأن القيمة 4a = Rosn، حيث Rosn هو محيط القاعدة. والتعبير 1/2*Rosn هو نصف محيطه.
3. إذن نستنتج أن مساحة العناصر الجانبية للهرم المنتظم تساوي حاصل ضرب نصف محيط القاعدة والقياس: Sside = Rosn * L.

تتكون مساحة السطح الكلي للهرم من مجموع مساحات المستويات الجانبية والقاعدة: Sp.p = Sside + Sbas.

أما بالنسبة لمساحة القاعدة، فهنا تستخدم الصيغة حسب نوع المضلع.

حجم الهرم المنتظميساوي حاصل ضرب مساحة المستوى الأساسي والارتفاع مقسومًا على ثلاثة: V=1/3*Sbas*H، حيث H هو ارتفاع متعدد السطوح.

ما هو الهرم العادي في الهندسة

خصائص الهرم الرباعي المنتظم