معادلة الطائرة. كيف تكتب معادلة الطائرة؟
الترتيب المتبادل للطائرات. المهام

الهندسة المكانية ليست أكثر تعقيدًا من الهندسة "المسطحة"، ورحلاتنا في الفضاء تبدأ بهذا المقال. لإتقان الموضوع، يجب أن يكون لديك فهم جيد له ناقلاتبالإضافة إلى ذلك، من المستحسن أن تكون على دراية بهندسة الطائرة - سيكون هناك الكثير من أوجه التشابه، والعديد من القياسات، لذلك سيتم هضم المعلومات بشكل أفضل بكثير. في سلسلة دروسي، يبدأ العالم ثنائي الأبعاد بمقالة معادلة الخط المستقيم على المستوى. ولكن الآن غادر باتمان شاشة التلفزيون المسطحة وانطلق من قاعدة بايكونور الفضائية.

لنبدأ بالرسومات والرموز. من الناحية التخطيطية، يمكن رسم المستوى على شكل متوازي أضلاع، مما يخلق انطباعًا بالمساحة:

الطائرة لا حصر لها، ولكن لدينا الفرصة لتصوير قطعة منها فقط. في الممارسة العملية، بالإضافة إلى متوازي الأضلاع، يتم رسم شكل بيضاوي أو حتى سحابة. لأسباب فنية، من الملائم بالنسبة لي أن أصور الطائرة بهذه الطريقة وفي هذا الموضع بالضبط. يمكن تحديد موقع الطائرات الحقيقية، التي سننظر فيها في الأمثلة العملية، بأي شكل من الأشكال - خذ الرسم بين يديك عقليًا وقم بتدويره في الفضاء، مما يمنح الطائرة أي ميل وأي زاوية.

التسميات: يُشار إلى المستويات عادةً بأحرف يونانية صغيرة، وذلك على ما يبدو حتى لا يتم الخلط بينها خط مستقيم على متن الطائرةأو مع خط مستقيم في الفضاء. أنا معتاد على استخدام الرسالة . في الرسم هو حرف "سيجما"، وليس ثقبا على الإطلاق. على الرغم من أن الطائرة هولي هي بالتأكيد مضحكة للغاية.

في بعض الحالات، يكون من المناسب استخدام نفس الحروف اليونانية ذات الحروف السفلية لتعيين المستويات، على سبيل المثال، .

ومن الواضح أن المستوى يتم تعريفه بشكل فريد من خلال ثلاث نقاط مختلفة لا تقع على نفس الخط. لذلك، تحظى تسميات الطائرات المكونة من ثلاثة أحرف بشعبية كبيرة - حسب النقاط التي تنتمي إليها، على سبيل المثال، وما إلى ذلك. في كثير من الأحيان يتم وضع الحروف بين قوسين: حتى لا يتم الخلط بين المستوى وشكل هندسي آخر.

للقراء ذوي الخبرة سأقدم قائمة الوصول السريع:

• كيفية إنشاء معادلة المستوى باستخدام نقطة ومتجهين؟
• كيفية إنشاء معادلة المستوى باستخدام نقطة ومتجه عادي؟

ولن نطيل الانتظار:

معادلة المستوى العام

المعادلة العامة للمستوى لها الشكل حيث المعاملات لا تساوي الصفر في نفس الوقت.

هناك عدد من الحسابات النظرية والمسائل العملية صالحة لكل من الأساس المتعامد المعتاد والأساس المتقارب للمكان (إذا كان الزيت زيتًا، فارجع إلى الدرس الاعتماد الخطي (غير) للمتجهات. أساس المتجهات). من أجل التبسيط، سنفترض أن جميع الأحداث تحدث على أساس متعامد ونظام إحداثيات مستطيل ديكارتي.

والآن دعونا نتدرب على خيالنا المكاني قليلًا. لا بأس إذا كان جهازك سيئًا، الآن سنقوم بتطويره قليلاً. حتى اللعب على الأعصاب يحتاج إلى تدريب.

في الحالة الأكثر عمومية، عندما لا تساوي الأرقام الصفر، يتقاطع المستوى مع محاور الإحداثيات الثلاثة. على سبيل المثال، مثل هذا:

وأكرر مرة أخرى أن الطائرة تستمر إلى ما لا نهاية في كل الاتجاهات، ولدينا الفرصة لتصوير جزء منها فقط.

دعونا نفكر في أبسط معادلات المستويات:

كيف نفهم هذه المعادلة؟ فكر في الأمر: "Z" يساوي دائمًا الصفر، لأي قيم "X" و"Y". هذه هي معادلة المستوى الإحداثي "الأصلي". في الواقع، يمكن إعادة كتابة المعادلة رسميًا على النحو التالي: ، حيث يمكنك أن ترى بوضوح أننا لا نهتم بالقيمتين "x" و"y"، فمن المهم أن يكون "z" يساوي الصفر.

على نفس المنوال:
- معادلة المستوى الإحداثي؛
- معادلة المستوى الإحداثي.

دعونا نعقد المشكلة قليلاً، ونفكر في المستوى (هنا وفي الفقرة نفترض أن المعاملات العددية لا تساوي الصفر). لنعيد كتابة المعادلة على الصورة: . كيف نفهم ذلك؟ "X" دائمًا، لأي قيم "y" و"z"، تساوي رقمًا معينًا. هذا المستوى موازي للمستوى الإحداثي. على سبيل المثال، المستوى يوازي المستوى ويمر عبر نقطة.

على نفس المنوال:
- معادلة المستوى الموازي للمستوى الإحداثي؛
- معادلة المستوى الموازي للمستوى الإحداثي.

دعونا نضيف أعضاء: . يمكن إعادة كتابة المعادلة على النحو التالي: أي أن "zet" يمكن أن يكون أي شيء. ماذا يعني ذلك؟ يرتبط "X" و"Y" بالعلاقة التي ترسم خطًا مستقيمًا معينًا في المستوى (سوف تكتشف ذلك معادلة الخط في الطائرة؟). وبما أن "z" يمكن أن يكون أي شيء، فإن هذا الخط المستقيم "يتكرر" عند أي ارتفاع. وبالتالي، تحدد المعادلة مستوى موازيًا لمحور الإحداثيات

على نفس المنوال:
- معادلة المستوى الموازي لمحور الإحداثيات؛
- معادلة المستوى الموازي لمحور الإحداثيات.

إذا كانت الحدود الحرة صفرًا، فسوف تمر المستويات مباشرة عبر المحاور المقابلة. على سبيل المثال، "التناسب المباشر" الكلاسيكي: . ارسم خطًا مستقيمًا في المستوى واضربه ذهنيًا لأعلى ولأسفل (نظرًا لأن "Z" موجود). الخلاصة: المستوى المحدد بالمعادلة يمر عبر محور الإحداثيات.

نكمل المراجعة: معادلة الطائرة يمر عبر الأصل. حسنًا، من الواضح هنا أن هذه النقطة تحقق هذه المعادلة.

وأخيرًا، الحالة الموضحة في الرسم: - المستوى صديق لجميع محاور الإحداثيات، بينما "يقطع" دائمًا مثلثًا يمكن أن يقع في أي من الثماني الثمانية.

عدم المساواة الخطية في الفضاء

لفهم المعلومات تحتاج إلى دراسة جيدة عدم المساواة الخطية في الطائرةلأن أشياء كثيرة ستكون متشابهة. ستكون الفقرة ذات طبيعة عامة موجزة مع عدة أمثلة، حيث أن المادة نادرة جدًا في الممارسة العملية.

إذا كانت المعادلة تحدد المستوى، فإن المتباينات
بسأل أنصاف المساحات. إذا لم تكن المتباينة صارمة (الأخيران في القائمة)، فإن حل المتباينة، بالإضافة إلى نصف المساحة، يشمل أيضًا المستوى نفسه.

مثال 5

أوجد وحدة المتجه الطبيعي للطائرة .

حل: متجه الوحدة هو متجه طوله واحد. دعونا نشير إلى هذا المتجه بواسطة . من الواضح تمامًا أن المتجهات على خط واحد:

أولاً، نحذف المتجه العادي من معادلة المستوى: .

كيفية العثور على ناقل الوحدة؟ من أجل العثور على متجه الوحدة، تحتاج كلاقسم إحداثيات المتجه على طول المتجه.

دعونا نعيد كتابة المتجه العادي في النموذج ونجد طوله:

وفقا لما سبق:

إجابة:

التحقق: ما يجب التحقق منه.

ربما لاحظ ذلك القراء الذين درسوا الفقرة الأخيرة من الدرس بعناية إحداثيات متجه الوحدة هي بالضبط جيب التمام لاتجاه المتجه:

لنأخذ استراحة من المشكلة المطروحة: عندما يتم إعطاؤك متجهًا تعسفيًا غير صفري، وحسب الشرط يجب إيجاد جيب تمام الاتجاه (راجع المسائل الأخيرة من الدرس المنتج النقطي للمتجهات)، فإنك في الواقع تجد متجه وحدة على خط مستقيم مع هذا المتجه. في الواقع مهمتان في زجاجة واحدة.

تنشأ الحاجة إلى إيجاد المتجه الطبيعي للوحدة في بعض مشاكل التحليل الرياضي.

لقد اكتشفنا كيفية صيد ناقل عادي، والآن دعونا نجيب على السؤال المعاكس:

كيفية إنشاء معادلة المستوى باستخدام نقطة ومتجه عادي؟

هذا البناء الصارم للمتجه العادي والنقطة معروف جيدًا على لوحة السهام. يرجى مد يدك للأمام واختيار نقطة تعسفية في الفضاء عقليًا، على سبيل المثال، قطة صغيرة في الخزانة الجانبية. من الواضح أنه من خلال هذه النقطة يمكنك رسم مستوى واحد عمودي على يدك.

يتم التعبير عن معادلة المستوى الذي يمر عبر نقطة عمودية على المتجه بالصيغة:

تعطي هذه المقالة فكرة عن كيفية إنشاء معادلة لمستوى يمر عبر نقطة معينة في فضاء ثلاثي الأبعاد عمودي على خط معين. دعونا نحلل الخوارزمية المحددة باستخدام مثال حل المشكلات النموذجية.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

إيجاد معادلة مستوى يمر بنقطة معينة في الفضاء عمودي على مستقيم معين

دع فيه مساحة ثلاثية الأبعاد ونظام إحداثيات مستطيل O x y z. يتم أيضًا إعطاء النقطة M 1 (x 1، y 1، z 1) والخط a والمستوى α الذي يمر عبر النقطة M 1 المتعامدة مع الخط a. من الضروري كتابة معادلة المستوى α.

قبل أن نبدأ في حل هذه المشكلة، دعونا نتذكر نظرية الهندسة من المنهج للصفوف 10-11، والتي تقول:

التعريف 1

يمر مستوى واحد عمودي على خط معين عبر نقطة معينة في الفضاء ثلاثي الأبعاد.

الآن دعونا نلقي نظرة على كيفية إيجاد معادلة هذا المستوى الفردي الذي يمر بنقطة البداية ويكون متعامدًا على الخط المعطى.

من الممكن كتابة المعادلة العامة للمستوى إذا كانت إحداثيات نقطة تنتمي إلى هذا المستوى معروفة، وكذلك إحداثيات المتجه العمودي للمستوى.

شروط المشكلة تعطينا إحداثيات x 1، y 1، z 1 للنقطة M 1 التي يمر عبرها المستوى α. إذا حددنا إحداثيات المتجه الطبيعي للمستوى α، فسنكون قادرين على كتابة المعادلة المطلوبة.

المتجه العادي للمستوى α، نظرًا لأنه غير صفر ويقع على الخط a، المتعامد على المستوى α، سيكون أي متجه اتجاه للخط a. وهكذا تتحول مشكلة إيجاد إحداثيات المتجه العادي للمستوى α إلى مشكلة تحديد إحداثيات المتجه الموجه للخط المستقيم أ.

يمكن تحديد إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم a باستخدام طرق مختلفة: يعتمد ذلك على خيار تحديد الخط المستقيم a في الظروف الأولية. على سبيل المثال، إذا تم إعطاء الخط المستقيم أ في بيان المشكلة بواسطة المعادلات الأساسية للنموذج

س - س 1 أ س = ص - ص 1 أ ص = ض - ض 1 أ ض

أو المعادلات البارامترية من النموذج:

س = س 1 + أ س · ẫ y = y 1 + a y · ẫ z = z 1 + a z · lect

عندها سيكون لمتجه الاتجاه للخط المستقيم إحداثيات x وy وa. في حالة تمثيل الخط المستقيم a بنقطتين M 2 (x 2, y 2, z 2) و M 3 (x 3, y 3, z 3) ، فسيتم تحديد إحداثيات متجه الاتجاه كـ ( x3 - x2، y3 - y2، z3 - z2).

التعريف 2

خوارزمية لإيجاد معادلة المستوى الذي يمر عبر نقطة معينة عموديًا على خط معين:

نحدد إحداثيات متجه الاتجاه للخط المستقيم a: أ → = (أ س، أ ص، أ ض) ;

نحدد إحداثيات المتجه الطبيعي للمستوى α بإحداثيات المتجه الموجه للخط المستقيم a:

ن → = (أ، ب، ج) حيث أ = أ س، ب = أ ص، ج = أ ض;

نكتب معادلة المستوى الذي يمر بالنقطة M 1 (x 1, y 1, z 1) وله متجه عادي ن → = (أ، ب، ج) بالشكل A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0. ستكون هذه هي المعادلة المطلوبة للمستوى الذي يمر عبر نقطة معينة في الفضاء ويكون عموديًا على خط معين.

المعادلة العامة الناتجة للطائرة هي: A (x – x 1) + B (y – y 1) + C (z – z 1) = 0 يجعل من الممكن الحصول على معادلة المستوى في المقاطع أو المعادلة العادية للمستوى.

دعونا نحل عدة أمثلة باستخدام الخوارزمية التي تم الحصول عليها أعلاه.

مثال 1

يتم إعطاء النقطة M 1 (3، - 4، 5) التي يمر من خلالها المستوى، وهذا المستوى عمودي على خط الإحداثيات O z.

حل

متجه الاتجاه لخط الإحداثيات O z سيكون متجه الإحداثيات k ⇀ = (0, 0, 1). لذلك، فإن المتجه الطبيعي للمستوى له إحداثيات (0، 0، 1). دعونا نكتب معادلة المستوى الذي يمر عبر نقطة معينة M 1 (3, - 4, 5)، المتجه العادي له إحداثيات (0، 0، 1):

أ (س - س 1) + ب (ص - ص 1) + ج (ض - ض 1) = 0 ⇔ ⇔ 0 (س - 3) + 0 (ص - (- 4)) + 1 (ض - 5) = 0 ⇔ ض - 5 = 0

إجابة:ض – 5 = 0 .

دعونا نفكر في طريقة أخرى لحل هذه المشكلة:

مثال 2

المستوى المتعامد مع الخط O z سيتم الحصول عليه من خلال معادلة مستوية عامة غير مكتملة بالصيغة C z + D = 0, C ≠ 0. دعونا نحدد قيم C و D: تلك التي يمر عندها المستوى عبر نقطة معينة. لنعوض بإحداثيات هذه النقطة في المعادلة C z + D = 0، نحصل على: C · 5 + D = 0. أولئك. الأرقام، C وD مرتبطة بالعلاقة - D C = 5. بأخذ C = 1، نحصل على D = - 5.

لنعوض بهذه القيم في المعادلة C z + D = 0 ونحصل على المعادلة المطلوبة لمستوى عمودي على الخط المستقيم O z ويمر بالنقطة M 1 (3, - 4, 5).

سيبدو كما يلي: ض - 5 = 0.

إجابة:ض – 5 = 0 .

مثال 3

اكتب معادلة للمستوى المار بنقطة الأصل والعمودي على الخط x - 3 = y + 1 - 7 = z + 5 2

حل

بناءً على شروط المشكلة، يمكن القول بأن متجه الاتجاه لخط مستقيم معين يمكن اعتباره المتجه العادي n → لمستوى معين. وبالتالي: n → = (- 3 , - 7 , 2) . دعونا نكتب معادلة المستوى الذي يمر عبر النقطة O (0، 0، 0) وله متجه عادي n → = (- 3، - 7، 2):

3 (س - 0) - 7 (ص - 0) + 2 (ض - 0) = 0 ⇔ - 3 س - 7 ص + 2 ض = 0

لقد حصلنا على المعادلة المطلوبة للمستوى الذي يمر عبر أصل الإحداثيات المتعامدة مع خط معين.

إجابة:- 3 س - 7 ص + 2 ض = 0

مثال 4

يتم إعطاء نظام الإحداثيات المستطيل O x y z في مساحة ثلاثية الأبعاد، حيث يوجد نقطتان A (2، - 1، - 2) و B (3، - 2، 4). يمر المستوى α عبر النقطة A عموديًا على الخط A B. ومن الضروري إنشاء معادلة للمستوى α في المقاطع.

حل

المستوى α عمودي على الخط A B، ثم المتجه A B → سيكون المتجه الطبيعي للمستوى α. يتم تعريف إحداثيات هذا المتجه على أنها الفرق بين الإحداثيات المقابلة للنقاط B (3، - 2، 4) و A (2، - 1، - 2):

أ ب → = (3 - 2 ، - 2 - (- 1) ، 4 - (- 2)) ⇔ أ ب → = (1 ، - 1 ، 6)

سيتم كتابة المعادلة العامة للطائرة على النحو التالي:

1 س - 2 - 1 ص - (- 1 + 6 (ض - (- 2)) = 0 ⇔ س - ص + 6 ض + 9 = 0

الآن لنقم بتكوين المعادلة المطلوبة للمستوى في المقاطع:

س - ص + 6 ض + 9 = 0 ⇔ س - ص + 6 ض = - 9 ⇔ س - 9 + ص 9 + ض - 3 2 = 1

إجابة:س - 9 + ص 9 + ض - 3 2 = 1

وتجدر الإشارة أيضًا إلى أن هناك مسائل تتطلب كتابة معادلة لمستوى يمر بنقطة معينة وعمودي على مستويين محددين. بشكل عام، حل هذه المشكلة هو بناء معادلة لمستوى يمر بنقطة معينة عمودي على خط معين، لأن طائرتان متقاطعتان تحددان خطًا مستقيمًا.

مثال 5

يتم إعطاء نظام إحداثيات مستطيل O x y z، حيث توجد نقطة M 1 (2، 0، - 5). كما تم إعطاء معادلات المستويين 3 x + 2 y + 1 = 0 و x + 2 z – 1 = 0، اللذين يتقاطعان على طول الخط المستقيم a. من الضروري إنشاء معادلة لمستوى يمر عبر النقطة M 1 عموديًا على الخط المستقيم a.

حل

لنحدد إحداثيات المتجه الموجه للخط المستقيم أ. وهو عمودي على كل من المتجه العادي n 1 → (3, 2, 0) للمستوى n → (1, 0, 2) والمتجه العادي 3 x + 2 y + 1 = 0 للمستوى x + 2 z - 1 = 0 مستوى.

بعد ذلك، باعتباره المتجه الموجه α → الخط a، نأخذ المنتج المتجه للمتجهين n 1 → و n 2 →:

أ → = ن 1 → × ن 2 → = i → j → ك → 3 2 0 1 0 2 = 4 i → - 6 j → - 2 ك → ⇒ أ → = (4 , - 6 , - 2 )

وبالتالي، فإن المتجه n → = (4, - 6, - 2) سيكون المتجه الطبيعي للمستوى المتعامد مع الخط a. دعونا نكتب المعادلة المطلوبة للطائرة:

4 (س - 2) - 6 (ص - 0) - 2 (ض - (- 5)) = 0 ⇔ 4 س - 6 ص - 2 ض - 18 = 0 ⇔ ⇔ 2 س - 3 ص - ض - 9 = 0

إجابة: 2 س - 3 ص - ض - 9 = 0

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

سنتناول في هذا الدرس كيفية استخدام المحدد للإنشاء معادلة الطائرة. إذا كنت لا تعرف ما هو المحدد، فانتقل إلى الجزء الأول من الدرس - "المصفوفات والمحددات". وإلا فإنك تخاطر بعدم فهم أي شيء في مادة اليوم.

معادلة الطائرة باستخدام ثلاث نقاط

لماذا نحتاج إلى معادلة مستوية على الإطلاق؟ الأمر بسيط: بمعرفة ذلك، يمكننا بسهولة حساب الزوايا والمسافات وغيرها من الأشياء في المسألة C2. بشكل عام، لا يمكنك الاستغناء عن هذه المعادلة. لذلك نقوم بصياغة المشكلة:

مهمة. يتم إعطاء ثلاث نقاط في الفضاء لا تقع على نفس الخط. إحداثياتهم:

م = (س 1، ص 1، ض 1)؛
ن = (س 2، ص 2، ض 2)؛
ك = (س 3، ص 3، ض 3)؛

تحتاج إلى إنشاء معادلة للطائرة التي تمر عبر هذه النقاط الثلاث. علاوة على ذلك، يجب أن تبدو المعادلة كما يلي:

الفأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0

حيث الأرقام A وB وC وD هي المعاملات التي يجب إيجادها في الواقع.

حسنًا، كيف يمكن الحصول على معادلة المستوى إذا كانت إحداثيات النقاط فقط معروفة؟ أسهل طريقة هي استبدال الإحداثيات في المعادلة Ax + By + Cz + D = 0. وستحصل على نظام من ثلاث معادلات يمكن حلها بسهولة.

يجد العديد من الطلاب هذا الحل مملاً للغاية وغير موثوق به. أظهر امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات العام الماضي أن احتمال ارتكاب خطأ حسابي مرتفع حقًا.

ولذلك، بدأ المعلمون الأكثر تقدما في البحث عن حلول أبسط وأكثر أناقة. ووجدوها! صحيح أن التقنية التي تم الحصول عليها تتعلق إلى حد ما بالرياضيات العليا. شخصيًا، اضطررت إلى البحث في القائمة الفيدرالية للكتب المدرسية بأكملها للتأكد من أن لدينا الحق في استخدام هذه التقنية دون أي مبرر أو دليل.

معادلة المستوى من خلال المحدد

كفى من الكلمات، فلنبدأ العمل. لنبدأ بنظرية حول كيفية ارتباط محدد المصفوفة ومعادلة المستوى.

نظرية. دع إحداثيات النقاط الثلاث التي يجب رسم المستوى من خلالها: M = (x 1، y 1، z 1)؛ ن = (س 2، ص 2، ض 2)؛ ك = (س 3، ص 3، ض 3). ومن ثم يمكن كتابة معادلة هذا المستوى من خلال المحدد:

على سبيل المثال، دعونا نحاول العثور على زوج من المستويات التي تحدث بالفعل في المسائل C2. انظر إلى مدى سرعة حساب كل شيء:

أ 1 = (0، 0، 1)؛
ب = (1، 0، 0)؛
ج 1 = (1، 1، 1)؛

نؤلف محددًا ونساويه بالصفر:

نقوم بتوسيع المحدد:

أ = 1 1 (ض − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
ب = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
د = أ − ب = ض − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
د = 0 ⇒ س − ص + ض − 1 = 0;

كما ترون، عند حساب الرقم d، قمت "بتمشيط" المعادلة قليلاً حتى تكون المتغيرات x وy وz بالتسلسل الصحيح. هذا كل شيء! المعادلة المستوية جاهزة!

مهمة. اكتب معادلة المستوى الذي يمر بالنقاط:

أ = (0، 0، 0)؛
ب 1 = (1، 0، 1)؛
د 1 = (0، 1، 1)؛

نستبدل على الفور إحداثيات النقاط في المحدد:

نقوم بتوسيع المحدد مرة أخرى:

أ = 1 1 ض + 0 1 س + 1 0 ص = ض؛
ب = 1 1 س + 0 0 ض + 1 1 ص = س + ص;
د = أ − ب = ض − (x + y ) = ض − x − y;
د = 0 ⇒ ض − س − ص = 0 ⇒ س + ص − ض = 0;

وبذلك يتم الحصول على معادلة المستوى مرة أخرى! مرة أخرى، في الخطوة الأخيرة كان علينا تغيير العلامات الموجودة فيه للحصول على صيغة أكثر "جمالاً". ليس من الضروري على الإطلاق القيام بذلك في هذا الحل، ولكن لا يزال يوصى به - لتبسيط الحل الإضافي للمشكلة.

كما ترون، أصبح الآن تكوين معادلة المستوى أسهل بكثير. نعوض بالنقاط في المصفوفة، ونحسب المحدد - وكل شيء، المعادلة جاهزة.

هذا يمكن أن ينهي الدرس. ومع ذلك، ينسى العديد من الطلاب باستمرار ما هو موجود داخل المحدد. على سبيل المثال، أي سطر يحتوي على x 2 أو x 3، وأي سطر يحتوي على x فقط. لتوضيح هذا الأمر حقًا، دعونا ننظر إلى مصدر كل رقم.

من أين تأتي الصيغة مع المحدد؟

لذا، دعونا نكتشف من أين تأتي هذه المعادلة الصعبة مع المحدد. سيساعدك هذا على تذكرها وتطبيقها بنجاح.

يتم تعريف جميع المستويات التي تظهر في المشكلة C2 بثلاث نقاط. يتم دائمًا تحديد هذه النقاط على الرسم، أو حتى الإشارة إليها مباشرة في نص المشكلة. على أية حال، لإنشاء معادلة سنحتاج إلى كتابة إحداثياتها:

م = (س 1، ص 1، ض 1)؛
ن = (س 2، ص 2، ض 2)؛
ك = (س 3، ص 3، ض 3).

لنفكر في نقطة أخرى على المستوى بإحداثيات عشوائية:

تي = (س، ص، ض)

خذ أي نقطة من النقاط الثلاث الأولى (على سبيل المثال، النقطة M) وارسم متجهات منها إلى كل نقطة من النقاط الثلاث المتبقية. نحصل على ثلاثة ناقلات:

MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).

والآن لنصنع مصفوفة مربعة من هذه المتجهات ونساوي محددها بالصفر. ستصبح إحداثيات المتجهات صفوفًا من المصفوفة - وسنحصل على المحدد المحدد في النظرية:

تعني هذه الصيغة أن حجم متوازي السطوح المبني على المتجهات MN وMK وMT يساوي صفرًا. وبالتالي، فإن المتجهات الثلاثة جميعها تقع في نفس المستوى. على وجه الخصوص، النقطة العشوائية T = (x, y, z) هي بالضبط ما كنا نبحث عنه.

استبدال نقاط وخطوط المحدد

تتمتع المحددات بالعديد من الخصائص الرائعة التي تجعل الأمر أسهل حل المشكلة C2. على سبيل المثال، لا يهمنا من أي نقطة نرسم المتجهات. ولذلك، فإن المحددات التالية تعطي نفس المعادلة المستوية المذكورة أعلاه:

يمكنك أيضًا تبديل خطوط المحدد. وستبقى المعادلة دون تغيير. على سبيل المثال، يحب العديد من الأشخاص كتابة سطر بإحداثيات النقطة T = (x; y; z) في الأعلى. من فضلك، إذا كان ذلك مناسبًا لك:

يرتبك بعض الناس أنه يوجد في أحد الأسطر متغيرات x و y و z لا تختفي عند استبدال النقاط. لكن لا ينبغي أن يختفوا! استبدال الأرقام في المحدد، يجب أن تحصل على هذا البناء:

ثم يتم توسيع المحدد حسب الرسم البياني الموضح في بداية الدرس ويتم الحصول على المعادلة القياسية للمستوى:

الفأس + بواسطة + تشيكوسلوفاكيا + د = 0

نلقي نظرة على مثال. إنها الأخيرة في درس اليوم. سأقوم بتبديل الخطوط عمدًا للتأكد من أن الإجابة ستعطي نفس معادلة المستوى.

مهمة. اكتب معادلة المستوى الذي يمر بالنقاط:

ب 1 = (1، 0، 1)؛
ج = (1، 1، 0)؛
د 1 = (0، 1، 1).

ولذلك، فإننا نعتبر 4 نقاط:

ب 1 = (1، 0، 1)؛
ج = (1، 1، 0)؛
د 1 = (0، 1، 1)؛
تي = (س، ص، ض).

أولاً، لننشئ محددًا قياسيًا ونساويه بالصفر:

نقوم بتوسيع المحدد:

أ = 0 1 (ض − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
ب = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
د = أ − ب = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
د = 0 ⇒ س + ص + ض − 2 = 0;

هذا كل شيء، لقد حصلنا على الإجابة: x + y + z − 2 = 0.

الآن دعونا نعيد ترتيب سطرين في المحدد ونرى ما سيحدث. على سبيل المثال، لنكتب سطرًا يحتوي على المتغيرات x، y، z ليس في الأسفل، بل في الأعلى:

نقوم مرة أخرى بتوسيع المحدد الناتج:

أ = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
ب = (ض − 1) 1 0 + ص (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = ص;
د = أ − ب = 2 − س − ض − ص;
د = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;

لقد حصلنا على نفس المعادلة المستوية تمامًا: x + y + z − 2 = 0. وهذا يعني أنها لا تعتمد حقًا على ترتيب الصفوف. كل ما تبقى هو كتابة الجواب.

إذن نحن مقتنعون بأن معادلة المستوى لا تعتمد على تسلسل الخطوط. يمكننا إجراء حسابات مماثلة وإثبات أن معادلة المستوى لا تعتمد على النقطة التي نطرح إحداثياتها من النقاط الأخرى.

في المشكلة المذكورة أعلاه، استخدمنا النقطة B 1 = (1، 0، 1)، ولكن كان من الممكن أن نأخذ C = (1، 1، 0) أو D 1 = (0، 1، 1). بشكل عام، أي نقطة ذات إحداثيات معروفة تقع على المستوى المطلوب.

لكي يمكن رسم مستوى واحد عبر أي ثلاث نقاط في الفضاء، من الضروري ألا تقع هذه النقاط على خط مستقيم واحد.

خذ بعين الاعتبار النقاط M 1 (x 1، y 1، z 1)، M 2 (x 2، y 2، z 2)، M 3 (x 3، y 3، z 3) في نظام الإحداثيات الديكارتية العام.

من أجل أن تقع نقطة تعسفية M(x، y، z) في نفس المستوى مع النقاط M 1، M 2، M 3، من الضروري أن تكون المتجهات متحدة المستوى.

التعريف 2.1.

يسمى الخطان الموجودان في الفضاء متوازيين إذا كانا يقعان في نفس المستوى وليس لهما نقاط مشتركة.

إذا كان الخطان a وb متوازيين، فاكتب || كما في علم القياس ب. وفي الفضاء يمكن وضع الخطوط بحيث لا تتقاطع أو تكون متوازية. هذه الحالة خاصة بالقياس المجسم.

التعريف 2.2.

تسمى الخطوط التي ليس لها نقاط مشتركة وليست متوازية متقاطعة.

نظرية 2.1.

من خلال نقطة خارج خط معين يمكن رسم خط موازي للخط المعطى، وواحد فقط.

علامة الخطوط المتوازية

يسمى المستقيمان في الفضاء متوازيين إذا كانا يقعان في نفس المستوى ولا يتقاطعان. من خلال نقطة خارج خط معين يمكنك رسم خط موازي لهذا الخط المستقيم، وواحد فقط.

25.هذا البيان يختزل إلى بديهية المتوازيات في المستوى.

نظرية. خطان موازيان لخط ثالث متوازيان.

اجعل الخطين b و c موازيين للخط a. فلنثبت أن ب || مع. الحالة عندما تكون الخطوط المستقيمة أ، ب وتقع على نفس المستوى، يتم أخذها في الاعتبار في قياس التخطيط؛ لنفترض أن أ، ب، ج لا تقع في نفس المستوى. ولكن بما أن خطين متوازيين يقعان في نفس المستوى، فيمكننا أن نفترض أن a و b موجودان في المستوى، وأن a b و c موجودان في المستوى (الشكل 61). على الخط المستقيم c نحدد نقطة (أي) M ومن خلال الخط المستقيم b والنقطة M نرسم مستوى . هي،، تتقاطع في خط مستقيم l. لا يتقاطع الخط المستقيم l مع المستوى، لأنه إذا تقاطع l، فيجب أن تقع نقطة تقاطعهما على a (a و l في نفس المستوى) وعلى b (b و l في نفس المستوى). وبالتالي، نقطة تقاطع واحدة l ويجب أن تقع على كلا الخطين a والخط b، وهو أمر مستحيل: a || ب. لذلك || , ل || أ، ل || ب. نظرًا لأن a وl يقعان في نفس المستوى، فإن l يتزامن مع السطر c (بواسطة بديهية التوازي)، وبالتالي مع || ب. لقد تم إثبات النظرية.

علامة التوازي بين الخط والمستوى

نظرية

27.إذا كان المستقيم الذي لا ينتمي إلى مستوى يوازي خطًا ما في هذا المستوى، فهو موازي للمستوى نفسه.

نظرية. خطان موازيان لخط ثالث متوازيان.

دليل

علامة التوازي بين الخط والمستوى

لتكن α مستوى، وخطًا لا يقع فيه، وa1 خطًا في المستوى α موازيًا للخط a. دعونا نرسم المستوى α1 عبر الخطين a وa1. يتقاطع المستويان α و α1 على طول الخط المستقيم a1. إذا كان الخط مستويًا متقاطعًا α، فإن نقطة التقاطع ستنتمي إلى الخط a1. لكن هذا مستحيل، لأن الخطين a وa1 متوازيان. وبالتالي، فإن الخط a لا يتقاطع مع المستوى α، وبالتالي فهو موازي للمستوى α. لقد تم إثبات النظرية.

لنفترض أن مستوى آخر β1 يمر عبر النقطة A، موازيًا أيضًا للمستوى α. دعونا نحدد نقطة ما C على المستوى β1 والتي لا تقع في المستوى β. دعونا نرسم المستوى γ عبر النقاط A وC ونقطة ما B من المستوى α. سوف يتقاطع هذا المستوى مع المستويات α و β و β1 على طول الخطوط المستقيمة b وa وc. لا يتقاطع الخطان a وc مع الخط b، لأنهما لا يتقاطعان مع المستوى α. وبالتالي، فهي موازية للخط ب. لكن في المستوى γ، يمكن لخط واحد فقط موازٍ للخط b أن يمر عبر النقطة A. مما يناقض الافتراض. لقد تم إثبات النظرية.

28.خصائص الطائرات المتوازيةذ

29.

الخطوط المتعامدة في الفضاء. يسمى خطان في الفضاء متعامدين إذا كانت الزاوية بينهما 90 درجة. ج. م. ك. ك. م. ج. ك. متقاطعة. تهجين.

النظرية 1 إشارة العمودية للخط والمستوى. إذا كان الخط الذي يقطع المستوى عموديًا على خطين في هذا المستوى ويمر بنقطة تقاطع هذا الخط مع المستوى، فإنه يكون عموديًا على المستوى.

البرهان: ليكن a خطًا متعامدًا مع الخطين b وc في المستوى. ثم يمر الخط أ عبر النقطة أ عند تقاطع الخطين ب و ج. دعونا نثبت أن الخط المستقيم أ عمودي على المستوى. دعونا نرسم خطًا عشوائيًا x عبر النقطة A في المستوى ونبين أنه عمودي على الخط a. لنرسم خطًا عشوائيًا في المستوى لا يمر بالنقطة A ويتقاطع مع الخطوط b وc وx. دع نقاط التقاطع هي B وC وX. دعونا نرسم القطع المتساوية AA 1 وAA 2 على الخط a من النقطة A في اتجاهات مختلفة. المثلث A 1 CA 2 متساوي الساقين، حيث أن القطعة AC هي الارتفاع وفقا للنظرية والوسيط حسب البناء (AA 1 = AA 2) لنفس السبب، المثلث A 1 BA 2 متساوي الساقين أيضا. ولذلك فإن المثلثين أ1 ق، أ2 ق متساويان من ثلاثة أضلاع. ومن تساوي المثلثين أ 1 ق و أ 2 ق يترتب على ذلك أن الزاويتين أ 1 ق و أ 2 ق متساويتان وبالتالي فإن المثلثين أ 1 ق و أ 2 ق متساويان في الضلعين والزاوية بينهما . ومن تساوي الضلعين A 1 X و A 2 X لهذه المثلثات نستنتج أن المثلث A 1 XA 2 متساوي الساقين. وبالتالي فإن متوسط ​​XA هو أيضًا ارتفاعه. وهذا يعني أن الخط x عمودي على a. بحكم التعريف، الخط المستقيم عمودي على المستوى. لقد تم إثبات النظرية.

النظرية 2 الخاصية الأولى للخطوط المتعامدة والمستويات. إذا كان المستوى عموديًا على أحد المستقيمين المتوازيين، فهو أيضًا عمودي على الآخر.
البرهان: ليكن a 1 و a 2 - 2 خطين متوازيين ومستوى متعامداً على الخط a 1. دعونا نثبت أن هذا المستوى عمودي على الخط 2. دعونا نرسم خطًا عشوائيًا × 2 في المستوى عبر النقطة A 2 من تقاطع الخط المستقيم a 2 مع المستوى. دعونا نرسم في المستوى عبر النقطة A 1 تقاطع الخط a 1 مع الخط x 1 الموازي للخط x 2. بما أن الخط a 1 عمودي على المستوى، فإن الخطين a 1 وx 1 متعامدان. وبموجب النظرية 1، فإن الخطين المستقيمين المتقاطعين a 2 وx 2 الموازيين لهما متعامدان أيضًا. وبالتالي، فإن الخط a 2 عمودي على أي خط x 2 في المستوى. وهذا (حسب التعريف) يعني أن الخط المستقيم أ2 عمودي على المستوى. لقد تم إثبات النظرية. انظر أيضًا مهمة الدعم رقم 2.
النظرية 3 الخاصية الثانية للخطوط المتعامدة والمستويات. خطان متعامدان على نفس المستوى متوازيان.
البرهان: ليكن a وb خطين مستقيمين متعامدين على المستوى. لنفترض أن الخطين a وb ليسا متوازيين. دعونا نختار النقطة C على الخط b التي لا تقع في المستوى. لنرسم خطًا ب 1 عبر النقطة ج، موازيًا للخط أ. الخط b 1 عمودي على المستوى وفقًا للنظرية 2. دع B و B 1 هما نقطتا تقاطع الخطين b و b 1 مع المستوى. ثم يكون الخط المستقيم BB 1 عموديًا على الخطين المتقاطعين b و b 1. وهذا مستحيل. لقد وصلنا إلى التناقض. لقد تم إثبات النظرية.

33.عمودي، التي يتم إنزالها من نقطة معينة على مستوى معين، هي القطعة التي تصل نقطة معينة بنقطة على المستوى وتقع على خط مستقيم عمودي على المستوى. تسمى نهاية هذا الجزء الموجود في المستوى قاعدة المتعامدة.
يميلمن نقطة معينة إلى مستوى معين هو أي قطعة تصل نقطة معينة بنقطة على المستوى غير عمودي على المستوى. تسمى نهاية القطعة الموجودة في المستوى قاعدة مائلة. يسمى الجزء الذي يربط قاعدتي عمودي بآخر مائل مرسوم من نفس النقطة الإسقاط المائل.

AB عمودي على المستوى α.
AC - المائل، CB - الإسقاط.

بيان النظرية

إذا كان الخط المستقيم المرسوم على المستوى الذي يمر بقاعدة الخط المائل عمودياً على مسقطه، فهو عمودي على الخط المائل.

علامة التوازي بين الخط والمستوى

يترك أ.ب- عمودي على الطائرة α، مكيف الهواء- يميل و ج- خط مستقيم في المستوى α يمر بالنقطة جوعمودي على الإسقاط قبل الميلاد. دعونا نجعل مباشرة سي كيهبالتوازي مع الخط أ.ب. مستقيم سي كيهعمودي على المستوى α (لأنه موازي أ.ب) ، وبالتالي أي خط مستقيم من هذا المستوى، وبالتالي، سي كيهعمودي على خط مستقيم ج. دعونا نرسم من خلال خطوط متوازية أ.بو سي كيهالمستوى β (الخطوط المتوازية تحدد المستوى، وواحد فقط). مستقيم جعمودي على خطين متقاطعين يقعان في المستوى β، هذا هو قبل الميلادحسب الحالة و سي كيهبالبناء يعني أنه عمودي على أي خط ينتمي إلى هذا المستوى، مما يعني أنه عمودي على الخط مكيف الهواء.

يمكن تحديدها بطرق مختلفة (نقطة واحدة ومتجه، نقطتان ومتجه، ثلاث نقاط، وما إلى ذلك). مع أخذ هذا في الاعتبار، يمكن أن يكون للمعادلة المستوية أشكال مختلفة. أيضًا، وفقًا لشروط معينة، يمكن أن تكون المستويات متوازية، أو متعامدة، أو متقاطعة، وما إلى ذلك. سنتحدث عن هذا في هذا المقال. وسوف نتعلم كيفية إنشاء معادلة عامة للمستوى والمزيد.

الشكل الطبيعي للمعادلة

لنفترض أن هناك مساحة R 3 تحتوي على نظام إحداثيات XYZ مستطيل. دعونا نحدد المتجه α، الذي سيتم إطلاقه من النقطة الأولية O. ومن خلال نهاية المتجه α، نرسم مستوى P، والذي سيكون متعامدًا عليه.

دعونا نشير إلى نقطة اعتباطية على P كـ Q = (x، y، z). لنوقع على متجه نصف القطر للنقطة Q بالحرف p. في هذه الحالة، طول المتجه α يساوي χ=IαI و Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

هذا هو متجه الوحدة الموجه إلى الجانب، مثل المتجه α. α و β و γ هي الزوايا التي تتشكل بين المتجه Ʋ والاتجاهات الإيجابية لمحاور الفضاء x و y و z على التوالي. إن إسقاط أي نقطة QϵП على المتجه Ʋ هو قيمة ثابتة تساوي p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

المعادلة أعلاه منطقية عندما تكون p=0. الشيء الوحيد هو أن المستوى P في هذه الحالة سوف يتقاطع مع النقطة O (α = 0) التي هي أصل الإحداثيات، ومتجه الوحدة Ʋ المنطلق من النقطة O سيكون عموديًا على P، على الرغم من اتجاهه، والذي يعني أن المتجه Ʋ يتم تحديده بدقة للإشارة. المعادلة السابقة هي معادلة المستوي P، معبرًا عنها بالشكل المتجه. لكن في الإحداثيات سيبدو هكذا:

P هنا أكبر من أو يساوي 0. لقد وجدنا معادلة المستوى في الفضاء في الصورة العادية.

المعادلة العامة

إذا ضربنا المعادلة في الإحداثيات بأي رقم لا يساوي الصفر، فسنحصل على معادلة مكافئة لهذه المعادلة، تحدد هذا المستوى بالذات. سوف يبدو مثل هذا:

هنا A، B، C هي أرقام تختلف عن الصفر في نفس الوقت. وتسمى هذه المعادلة معادلة المستوى العام.

معادلات الطائرات. حالات خاصة

يمكن تعديل المعادلة بشكلها العام في ظل وجود شروط إضافية. دعونا ننظر إلى بعض منهم.

لنفترض أن المعامل A هو 0. وهذا يعني أن هذا المستوى يوازي محور الثور المحدد. في هذه الحالة سيتغير شكل المعادلة: Ву+Cz+D=0.

وبالمثل، فإن شكل المعادلة سوف يتغير في ظل الظروف التالية:

• أولاً، إذا كانت B = 0، فستتغير المعادلة إلى Ax + Cz + D = 0، مما يشير إلى التوازي مع محور Oy.
• ثانيًا، إذا كانت C=0، فسيتم تحويل المعادلة إلى Ax+By+D=0، مما يشير إلى التوازي مع محور Oz المحدد.
• ثالثًا، إذا كانت D=0، فستبدو المعادلة Ax+By+Cz=0، مما يعني أن المستوى يتقاطع مع O (نقطة الأصل).
• رابعاً، إذا كانت A=B=0، فستتغير المعادلة إلى Cz+D=0، والتي ستكون موازية لـ Oxy.
• خامساً، إذا كانت B=C=0، تصبح المعادلة Ax+D=0، مما يعني أن المستوى إلى Oyz موازي.
• سادسا، إذا كانت A=C=0، فستأخذ المعادلة الشكل Ву+D=0، أي أنها ستبلغ عن التوازي إلى Oxz.

نوع المعادلة في القطاعات

في حالة اختلاف الأرقام A، B، C، D عن الصفر، يمكن أن يكون شكل المعادلة (0) على النحو التالي:

س/أ + ص/ب + ض/ج = 1،

حيث أ = -D/A، ب = -D/B، ج = -D/C.

نحصل على نتيجة لذلك تجدر الإشارة إلى أن هذا المستوى سوف يتقاطع مع محور الثور عند نقطة ذات إحداثيات (أ،0،0)، أوي - (0، ب،0)، وأوز - (0،0، ج). ).

مع الأخذ في الاعتبار المعادلة x/a + y/b + z/c = 1، ليس من الصعب تخيل موضع المستوى بصريًا بالنسبة لنظام إحداثي معين.

إحداثيات المتجهات العادية

المتجه العادي n للمستوى P له إحداثيات هي معاملات المعادلة العامة لهذا المستوى، أي n (A، B، C).

من أجل تحديد إحداثيات المستوى n الطبيعي، يكفي معرفة المعادلة العامة لمستوى معين.

عند استخدام معادلة مقطعية، والتي لها الشكل x/a + y/b + z/c = 1، كما هو الحال عند استخدام معادلة عامة، يمكنك كتابة إحداثيات أي متجه عادي لمستوى معين: (1/a + 1/ب + 1/ مع).

ومن الجدير بالذكر أن المتجه العادي يساعد في حل مجموعة متنوعة من المشاكل. تشمل المشاكل الأكثر شيوعًا المشكلات التي تتضمن إثبات التعامد أو التوازي للمستويات، ومشاكل إيجاد الزوايا بين المستويات أو الزوايا بين المستويات والخطوط المستقيمة.

نوع المعادلة المستوية حسب إحداثيات النقطة والمتجه العادي

يسمى المتجه غير الصفري n المتعامد على مستوى معين بالطبيعي لمستوى معين.

لنفترض أنه في الفضاء الإحداثي (نظام الإحداثيات المستطيل) يتم إعطاء Oxyz:

• النقطة Mₒ بالإحداثيات (xₒ,yₒ,zₒ);
• ناقل صفر n=A*i+B*j+C*k.

من الضروري إنشاء معادلة للمستوى الذي سيمر عبر النقطة Mₒ المتعامدة مع الوضع الطبيعي n.

نختار أي نقطة عشوائية في الفضاء ونشير إليها M (x y، z). دع متجه نصف القطر لأي نقطة M (x,y,z) يكون r=x*i+y*j+z*k، ومتجه نصف القطر للنقطة Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* ط+صₒ *ي+ضₒ*ك. ستنتمي النقطة M إلى مستوى معين إذا كان المتجه MₒM متعامدًا مع المتجه n. دعونا نكتب شرط التعامد باستخدام المنتج العددي:

[MₒM، n] = 0.

بما أن MₒM = r-rₒ، فإن المعادلة المتجهة للمستوى ستبدو كما يلي:

هذه المعادلة يمكن أن يكون لها شكل آخر. للقيام بذلك، يتم استخدام خصائص المنتج العددي، ويتم تحويل الجانب الأيسر من المعادلة.

= - . إذا أشرنا إليها بـ c، نحصل على المعادلة التالية: - c = 0 أو = c، والتي تعبر عن ثبات الإسقاطات على المتجه الطبيعي لمتجهات نصف القطر لنقاط معينة تنتمي إلى المستوى.

يمكننا الآن الحصول على الصيغة الإحداثية لكتابة المعادلة المتجهة للمستوى = 0. بما أن r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k، وn = A*i+B *j+С*k، لدينا:

اتضح أن لدينا معادلة لمستوى يمر عبر نقطة عمودية على n العادي:

أ*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

نوع المعادلة المستوية حسب إحداثيات نقطتين ومتجه على خط مستقيم مع المستوي

دعونا نحدد نقطتين عشوائيتين M′ (x′,y′,z′) وM″ (x″,y″,z″) بالإضافة إلى المتجه a (a′,a″,a‴).

الآن يمكننا إنشاء معادلة لمستوى معين سيمر عبر النقطتين الموجودتين M′ وM″، بالإضافة إلى أي نقطة M ذات إحداثيات (x، y، z) موازية للمتجه المحدد a.

في هذه الحالة، يجب أن يكون المتجهان M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) وM″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) مستويين مع المتجه a=(a′,a″,a‴)، مما يعني أن (M′M, M″M, a)=0.

إذن، ستكون معادلة المستوى في الفضاء كما يلي:

نوع معادلة المستوى الذي يتقاطع مع ثلاث نقاط

لنفترض أن لدينا ثلاث نقاط: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) والتي لا تنتمي إلى نفس الخط. من الضروري كتابة معادلة المستوى الذي يمر عبر ثلاث نقاط. وتزعم نظرية الهندسة أن هذا النوع من المستويات موجود بالفعل، لكنه الوحيد والفريد من نوعه. وبما أن هذا المستوى يتقاطع مع النقطة (x′,y′,z′) فإن شكل معادلته سيكون كما يلي:

هنا A، B، C تختلف عن الصفر في نفس الوقت. أيضًا، المستوى المعطى يتقاطع مع نقطتين إضافيتين: (x″,y″,z″) و (x‴,y‴,z‴). وفي هذا الصدد يجب استيفاء الشروط التالية:

في حالتنا، x أو y أو z هي نقطة عشوائية تحقق المعادلة (1). بالنظر إلى المعادلة (1) ونظام المعادلات (2) و (3)، فإن نظام المعادلات المشار إليه في الشكل أعلاه يتم استيفاءه بواسطة المتجه N (A,B,C)، وهو غير تافه. ولهذا فإن محدد هذا النظام يساوي صفرًا.

المعادلة (1) التي حصلنا عليها هي معادلة المستوى. فهو يمر عبر 3 نقاط بالضبط، وهذا أمر سهل التحقق. للقيام بذلك، علينا فك المحدد ليشمل العناصر الموجودة في الصف الأول. من الخصائص الحالية للمحدد، يترتب على ذلك أن مستوانا يتقاطع في نفس الوقت مع ثلاث نقاط محددة في البداية (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . أي أننا قمنا بحل المهمة الموكلة إلينا.

زاوية ثنائي السطوح بين الطائرات

الزاوية ثنائية السطوح هي شكل هندسي مكاني يتكون من نصفي مستويين ينبثقان من خط مستقيم واحد. بمعنى آخر، هذا هو الجزء من الفضاء المحدود بهذه المستويات النصفية.

لنفترض أن لدينا طائرتين مع المعادلات التالية:

نحن نعلم أن المتجهين N=(A,B,C) وN¹=(A¹,B¹,C¹) متعامدان وفقًا للمستويات المعطاة. في هذا الصدد، الزاوية φ بين المتجهين N وN¹ تساوي الزاوية (ثنائي السطوح) التي تقع بين هذه المستويات. المنتج النقطي له الشكل:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

على وجه التحديد لأنه

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

يكفي أن نأخذ في الاعتبار أن 0 φ π.

في الواقع، المستويان المتقاطعان يشكلان زاويتين (ثنائية السطوح): φ 1 و φ 2. مجموعهم يساوي π (φ 1 + φ 2 = π). أما جيب التمام بينهما فإن قيمهما المطلقة متساوية، لكنهما تختلفان في الإشارة، أي cos φ 1 = -cos φ 2. إذا استبدلنا في المعادلة (0) A وB وC بالأرقام -A و-B و-C، على التوالي، فإن المعادلة التي نحصل عليها ستحدد نفس المستوى، الوحيد، الزاوية φ في المعادلة cos φ= ن 1 /|ن||ن 1 | سيتم استبداله بـ π-φ.

معادلة المستوى المتعامد

تسمى المستويات التي تكون الزاوية بينها 90 درجة متعامدة. باستخدام المواد المذكورة أعلاه، يمكننا إيجاد معادلة مستوى عمودي على آخر. لنفترض أن لدينا مستويين: Ax+By+Cz+D=0 وA¹x+B¹y+C¹z+D=0. يمكننا القول أنهما سيكونان متعامدين إذا كان cosφ=0. وهذا يعني أن NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

معادلة الطائرة الموازية

تسمى المستويتان اللتان لا تحتويان على نقاط مشتركة بالتوازي.

الشرط (معادلاتها هي نفسها كما في الفقرة السابقة) هو أن المتجهين N وN¹، المتعامدين عليهما، متعامدان على خط واحد. وهذا يعني استيفاء شروط التناسب التالية:

أ/أ¹=ب/ب¹=ج/ج¹.

إذا تم تمديد شروط التناسب - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹،

وهذا يدل على أن هذه الطائرات متطابقة. هذا يعني أن المعادلتين Ax+By+Cz+D=0 وA¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 تصفان مستوى واحدًا.

المسافة إلى الطائرة من النقطة

لنفترض أن لدينا مستوى P، والذي يُعطى بالمعادلة (0). من الضروري إيجاد المسافة إليه من نقطة بإحداثيات (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. للقيام بذلك، تحتاج إلى إعادة معادلة المستوى P إلى وضعها الطبيعي:

(ρ,v)=ص (ر≥0).

في في هذه الحالةρ (x,y,z) هو متجه نصف القطر لنقطة Q الموجودة على P، p هو طول العمود P الذي تم تحريره من نقطة الصفر، v هو متجه الوحدة، والذي يقع في الاتجاه a.

الفرق ρ-ρº متجه نصف القطر لنقطة ما Q = (x، y، z)، التي تنتمي إلى P، وكذلك متجه نصف القطر لنقطة معينة Q 0 = (xₒ، уₒ، zₒ) هو مثل هذا المتجه، القيمة المطلقة للإسقاط على v تساوي المسافة d التي يجب إيجادها من Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) إلى P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|، لكن

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =Р-(ρ 0 ,v).

لذلك اتضح

د=|(ρ 0 ,v)-ص|.

وهكذا سنجد القيمة المطلقة للتعبير الناتج، أي d المطلوب.

باستخدام لغة المعلمة، نحصل على ما هو واضح:

د=|Аkhₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

إذا كانت نقطة معينة Q 0 على الجانب الآخر من المستوى P، مثل أصل الإحداثيات، فبين المتجه ρ-ρ 0 و v يوجد بالتالي:

د=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-ph>0.

في الحالة التي تكون فيها النقطة Q 0، مع أصل الإحداثيات، على نفس الجانب من P، فإن الزاوية التي تم إنشاؤها تكون حادة، أي:

د=(ρ-ρ 0 ,v)=hr - (ρ 0 , v)>0.

ونتيجة لذلك، اتضح أنه في الحالة الأولى (ρ 0 ,v)>ص، في الحالة الثانية (ρ 0 ,v)<р.

مستوى الظل ومعادلته

المستوى المماس للسطح عند نقطة التلامس M هو مستوى يحتوي على جميع المماسات الممكنة للمنحنيات المرسومة عبر هذه النقطة على السطح.

مع هذا النوع من المعادلات السطحية F(x,y,z)=0، فإن معادلة مستوى المماس عند نقطة الظل M°(x°,y°,z°) ستبدو كما يلي:

F x (x°,y°,z°)(x- x°)+ F x (x°, y°, z°)(y- y°)+ F x (x°, y°,z°)(z-z°)=0.

إذا حددت السطح بشكل صريح z=f (x,y)، فسيتم وصف مستوى الظل بالمعادلة:

ض-ض = و(سْ، صْ)(س- xْ)+f(سْ، صْ)(ص- صْ).

تقاطع طائرتين

في نظام الإحداثيات (المستطيل) يقع Oxyz، ويتم إعطاء طائرتين П′ و П″، تتقاطعان ولا تتطابقان. نظرًا لأن أي مستوى يقع في نظام إحداثيات مستطيل يتم تحديده بواسطة معادلة عامة، فسوف نفترض أن P′ وP″ يتم الحصول عليهما من خلال المعادلتين A′x+B′y+C′z+D′=0 وA″x +B″y+ С″z+D″=0. في هذه الحالة، لدينا n ′ (A′، B′، C′) العادي للمستوى P′ و n العادي ″ (A″، B″، C″) للمستوى P″. وبما أن المستويين غير متوازيين وغير متطابقين، فإن هذه المتجهات ليست على خط مستقيم. باستخدام لغة الرياضيات، يمكننا كتابة هذا الشرط على النحو التالي: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (α*A″,×*B″,×*C″), αϵR. دع الخط المستقيم الذي يقع عند تقاطع P′ وP″ يُشار إليه بالحرف a، في هذه الحالة a = P′ ∩ P″.

a هو خط مستقيم يتكون من مجموعة جميع نقاط المستويين (المشتركين) P′ وP″. هذا يعني أن إحداثيات أي نقطة تنتمي إلى الخط a يجب أن تحقق في نفس الوقت المعادلتين A′x+B′y+C′z+D′=0 وA″x+B″y+C″z+D″=0 . وهذا يعني أن إحداثيات النقطة ستكون حلاً جزئيًا لنظام المعادلات التالي:

ونتيجة لذلك، يتبين أن الحل (العام) لهذا النظام من المعادلات سيحدد إحداثيات كل نقطة من نقاط الخط، والتي ستكون بمثابة نقطة تقاطع P′ وP″، ويحدد الخط المستقيم a في نظام الإحداثيات Oxyz (المستطيل) في الفضاء.