المفاصل

حل معادلات متغير معقد. وظائف متغير معقد. التمايز بين وظائف المتغير المعقد. شروط كوشي ريمان

أين
هي أعداد حقيقية، و - حرف خاص يسمى وحدة خيالية . بالنسبة للوحدة الوهمية، بحكم التعريف يفترض ذلك
.

(4.1) – شكل جبري عدد مركب، و
مُسَمًّى الجزء الحقيقي عدد مركب، و
-الجزء الخيالي .

رقم
مُسَمًّى مترافقة معقدة إلى الرقم
.

دعونا نعطي رقمين معقدين
,
.

1. كمية
أرقام معقدة و يسمى عددا مركبا

2. بالفارق
أرقام معقدة و يسمى عددا مركبا

3. العمل
أرقام معقدة و يسمى عددا مركبا

4. خاص من قسمة عدد مركب إلى عدد معقد
يسمى عددا مركبا

ملاحظة 4.1. أي أن العمليات على الأعداد المركبة يتم تقديمها وفقًا للقواعد المعتادة للعمليات الحسابية على التعبيرات الحرفية في الجبر.

مثال 4.1.يتم إعطاء أرقام معقدة. يجد

حل. 1) .

4) بضرب البسط والمقام في المرافق المركب للمقام نحصل على

شكل مثلثي رقم مركب:

أين
- معامل العدد المركب،
هي حجة عدد مركب. ركن لم يتم تعريفها بشكل فريد، حتى مصطلح
:

,
.

- القيمة الرئيسية للحجة التي يحددها الشرط

، (أو
).

شكل توضيحي رقم مركب:

جذر
قوة العدد لديه قيم مختلفة، والتي تم العثور عليها بواسطة الصيغة

أين
.

النقاط المقابلة للقيم
، هي رؤوس الصحيح
مربع منقوش في دائرة نصف قطرها
مع المركز في الأصل.

مثال 4.2.البحث عن جميع القيم الجذرية
.

حل.دعونا نتخيل عددا معقدا
في الشكل المثلثي:

، أين
.

ثم
. لذلك، وفقا للصيغة (4.2)
له أربعة معاني:

,
.

الاعتقاد
نجد

,
,

, .

هنا قمنا بتحويل قيم الوسيطة إلى قيمتها الأساسية.

مجموعات على المستوى المعقد

رقم معقد
يصور على متن الطائرة
نقطة
مع الإحداثيات
. الوحدة النمطية
والحجة
تتوافق مع الإحداثيات القطبية للنقطة
.

ومن المفيد أن نتذكر عدم المساواة
يحدد دائرة مركزها عند نقطة نصف القطر . عدم المساواة
يحدد نصف المستوى الموجود على يمين الخط المستقيم
، وعدم المساواة
- نصف المستوى يقع فوق الخط المستقيم
. وبالإضافة إلى ذلك، نظام عدم المساواة
يحدد الزاوية بين الأشعة
و
، وترك أصل الإحداثيات.

مثال 4.3.ارسم المساحة المحددة بالمتباينات:
.

حل.المتباينة الأولى تقابل حلقة مركزها عند النقطة
ونصفي القطر 1 و 2، لا يتم تضمين الدوائر في المنطقة (الشكل 4.1).

المتباينة الثانية تقابل الزاوية بين الشعاعين
(منصف زاوية الإحداثيات الرابعة) و
(اتجاه المحور الإيجابي
). الأشعة نفسها لا تدخل المنطقة (الشكل 4.2).

المنطقة المطلوبة هي تقاطع المنطقتين اللتين تم الحصول عليهما (الشكل 4.3)

4.2. وظائف متغير معقد

دع الدالة ذات القيمة الواحدة
محددة ومستمرة في المنطقة
، أ - منحنى موجه سلس ومغلق أو غير مغلق
. دعونا، كالعادة،
،، أين
,
- الوظائف الحقيقية للمتغيرات و .

حساب تكامل الدالة
متغير معقد يقلل من حساب التكاملات المنحنية المعتادة، وهي

إذا كانت الوظيفة
التحليلية في مجال متصل ببساطة
، تحتوي على نقاط و ، فإن صيغة نيوتن-لايبنتز تحمل:

أين
- بعض المشتقات العكسية للوظيفة
، إنه
في المنطقة
.

في تكاملات دوال متغير معقد، يمكن إجراء تغيير في المتغير، والتكامل بالأجزاء يشبه الطريقة التي يتم بها حساب تكاملات دوال متغير حقيقي.

لاحظ أيضًا أنه إذا كان مسار التكامل جزءًا من خط منبثق من نقطة ما أو جزء من دائرة مركزها نقطة ما ، فمن المفيد إجراء استبدال متغير للنموذج
. في الحالة الأولى
، أ - متغير التكامل الحقيقي. في الحالة الثانية
، أ - متغير التكامل الحقيقي.

مثال 4.4.احسب
بواسطة القطع المكافئ
من النقطة
إلى هذه النقطة
(الشكل 4.4).

حل.دعونا نعيد كتابة التكامل في النموذج

ثم
,
.

لنطبق الصيغة (4.3):
لأن
,
، الذي - التي

.لهذا السبب
مثال 4.5. حساب التكامل
,
، أين

حل.- قوس الدائرة
(الشكل 4.5) .
,
,
دعنا نقول

، ثم
.
نحصل على: وظيفة

، ذات قيمة مفردة وتحليلية في الحلقة
مُسَمًّى ، تتحلل في هذه الحلقة إلى سلسلة لوران
مُسَمًّى في الصيغة (4.5) السلسلة الجزء الرئيسي

مسلسل لوران والمسلسل الجزء الصحيح سلسلة لوران.التعريف 4.1. نقطة
مُسَمًّى
نقطة مفردة معزولة .

وظائف
، إذا كان هناك حي لهذه النقطة التي تكون فيها الوظيفة تحليلية في كل مكان باستثناء النقطة نفسها

1) وظيفة
، إنه

في محيط نقطة ما يمكن توسيعها إلى سلسلة لوران. في هذه الحالة، ثلاث حالات مختلفة ممكنة عند سلسلة لوران: لا يحتوي على مصطلحات ذات قوى اختلاف سلبية نقطة
;

2) (سلسلة لوران لا تحتوي على الجزء الرئيسي). في هذه الحالة
، إنه

مُسَمًّى
نقطة مفردة قابلة للإزالة سلسلة لوران. يحتوي على عدد محدود من المصطلحات ذات قوى الاختلاف السلبية نقطة
;

3) و

. في هذه الحالة النقطة يمكن توسيعها إلى سلسلة لوران. في هذه الحالة، ثلاث حالات مختلفة ممكنة عند سلسلة لوران: قطب النظام نقطة
.

يحتوي على عدد لا نهائي من المصطلحات ذات القوى السلبية:

1) في هذه الحالة النقطة
إذا كان هناك حد محدود للدالة
عند هذه النقطة :

2) هو قطب الدالة
، لو

3) هي نقطة فريدة من الدالة
، إذا كان في
الدالة ليس لها حد، لا منتهية ولا لا نهائية.

التعريف 4.2. الجزء الصحيح سلسلة لوران.صفر
النظام الأول (أو التعدد ) نقطة
، إذا تم استيفاء الشروط التالية:

…,

.

ملاحظة 4.2. الجزء الصحيح إذا وفقط إذا كان صفراً
النظام الأول نقطة
، عندما تكون المساواة في بعض الأحياء في هذه النقطة

أين هي الوظيفة
تحليلية عند نقطة ما و

4) نقطة هو قطب النظام (
) وظائف
، إذا كانت هذه النقطة هي صفر النظام للوظيفة
.

5) دع - نقطة مفردة معزولة للدالة
مثال 4.5.
- وظائف تحليلية عند نقطة ما . ودع هذه النقطة هو صفر النظام وظائف
والنظام صفر وظائف
.

في
نقطة هو قطب النظام
وظائف
.

في
نقطة هي نقطة مفردة قابلة للإزالة للوظيفة
.

مثال 4.6.البحث عن النقاط المعزولة وتحديد نوعها لوظيفة ما
.

حل.وظائف
و
- تحليلي في المستوى المعقد بأكمله. وهذا يعني أن النقاط المفردة للوظيفة
هي أصفار المقام، أي النقاط التي
. هناك عدد لا نهائي من هذه النقاط. أولا وقبل كل شيء، هذه هي النقطة
وكذلك النقاط التي تحقق المعادلة
. من هنا
و
.

النظر في هذه النقطة
. عند هذه النقطة نحصل على:

,
,

,
.

ترتيب الصفر هو
.

,
,

,
.

لذا، الفترة
هو قطب من الدرجة الثانية (
).

. ثم

,
.

ترتيب البسط صفر هو
.

,
,
.

ترتيب صفر للمقام هو
. ولذلك النقاط
في
هما أقطاب من الدرجة الأولى ( أقطاب بسيطة ).

نظرية 4.1. (نظرية كوشي على المخلفات ). إذا كانت الوظيفة
هو تحليلي على الحدود منطقة
وفي كل مكان داخل المنطقة، باستثناء عدد محدود من النقاط المفردة
، الذي - التي

عند حساب التكاملات، من المفيد إيجاد جميع النقاط الفردية للدالة بعناية
، ثم ارسم كفافًا ونقاطًا منفردة، وبعد ذلك حدد فقط النقاط التي تقع داخل كفاف التكامل. غالبًا ما يكون اتخاذ القرار الصحيح بدون صورة أمرًا صعبًا.

طريقة حساب الخصم
يعتمد على نوع النقطة المفردة. ولذلك، قبل حساب البقايا، تحتاج إلى تحديد نوع النقطة المفردة.

1) بقية الدالة عند نقطة ما يساوي معامل ناقص الدرجة الأولى في مفكوك لوران
في محيط نقطة ما :

ينطبق هذا البيان على جميع أنواع النقاط المعزولة، وبالتالي ليس من الضروري في هذه الحالة تحديد نوع النقطة المفردة.

2) البقايا عند نقطة مفردة قابلة للإزالة تساوي صفرًا.

3) إذا هو قطب بسيط (قطب من الدرجة الأولى)، والوظيفة
يمكن تمثيلها في النموذج
مثال 4.5.
,
(لاحظ أنه في هذه الحالة
)، ثم الباقي عند هذه النقطة يساوي

على وجه الخصوص، إذا
، الذي - التي
.

4) إذا - قطب بسيط إذن

5) إذا - القطب
وظيفة الترتيب
، الذي - التي

مثال 4.7.لهذا السبب
.

حل.إيجاد النقاط المفردة للتكامل
.
وظيفة
و
لديه نقطتين المفرد
نقطة واحدة فقط تقع داخل الكفاف
- قطب من الدرجة الثانية منذ ذلك الحين
هو صفر من مضاعفات 2 للدالة
.

ثم باستخدام الصيغة (4.7) نجد الباقي عند هذه النقطة:

بواسطة نظرية 4.1 نجد

وظائف متغير معقد.
التمايز بين وظائف المتغير المعقد.

تفتح هذه المقالة سلسلة من الدروس التي سأتناول فيها المشكلات النموذجية المتعلقة بنظرية وظائف المتغير المعقد. لإتقان الأمثلة بنجاح، يجب أن يكون لديك معرفة أساسية بالأعداد المركبة. من أجل توحيد المواد وتكرارها، ما عليك سوى زيارة الصفحة. سوف تحتاج أيضا إلى المهارات اللازمة للعثور عليها المشتقات الجزئية من الدرجة الثانية. ها هي هذه المشتقات الجزئية... حتى الآن كنت مندهشًا قليلاً من عدد مرات حدوثها...

الموضوع الذي بدأنا في فحصه لا يمثل أي صعوبات خاصة، وفي وظائف المتغير المعقد، من حيث المبدأ، كل شيء واضح ويمكن الوصول إليه. الشيء الرئيسي هو الالتزام بالقاعدة الأساسية التي استنتجتها تجريبياً. واصل القراءة!

مفهوم دالة المتغير المعقد

أولاً، دعونا نجدد معرفتنا حول وظيفة المدرسة لمتغير واحد:

دالة متغيرة واحدةهي القاعدة التي بموجبها تتوافق كل قيمة للمتغير المستقل (من مجال التعريف) مع قيمة واحدة فقط للدالة. وبطبيعة الحال، "x" و"y" هي أعداد حقيقية.

في الحالة المعقدة، يتم تحديد الاعتماد الوظيفي بالمثل:

دالة ذات قيمة واحدة لمتغير معقد- هذه هي القاعدة التي يتبعها الجميع شاملقيمة المتغير المستقل (من مجال التعريف) تقابل واحدا فقط شاملقيمة الوظيفة. تأخذ النظرية أيضًا في الاعتبار متعدد القيم وبعض أنواع الوظائف الأخرى، ولكن من أجل التبسيط سأركز على تعريف واحد.

ما هو الفرق بين وظيفة متغيرة معقدة؟

الفرق الرئيسي: الأعداد المركبة. أنا لا أسخر. غالبًا ما تترك مثل هذه الأسئلة الناس في ذهول؛ وفي نهاية المقال سأخبرك بقصة مضحكة. في الصف الأعداد المركبة للدمىلقد نظرنا في عدد مركب في النموذج . ومنذ الآن أصبح الحرف "z". عامل، فسنشير إليها على النحو التالي: بينما يمكن أن يختلف "x" و "y". صالحالمعاني. بشكل تقريبي، تعتمد وظيفة المتغير المعقد على المتغيرات و التي تأخذ قيمًا "عادية". والنقطة التالية تنبع منطقيا من هذه الحقيقة:

يمكن كتابة دالة المتغير المركب على النحو التالي:
، حيث وهما وظيفتان لاثنين صالحالمتغيرات.

يتم استدعاء الدالة الجزء الحقيقيوظائف
يتم استدعاء الدالة الجزء الخياليوظائف

أي أن دالة المتغير المركب تعتمد على وظيفتين حقيقيتين و. لتوضيح كل شيء أخيرًا، دعونا نلقي نظرة على الأمثلة العملية:

مثال 1

حل:كما تتذكرون فإن المتغير المستقل "zet" يُكتب على الصورة:

(١) قمنا بالاستبدال.

(2) بالنسبة للفصل الأول، تم استخدام صيغة الضرب المختصرة. في المصطلح، تم فتح الأقواس.

(٣) أي تربيعه بعناية، دون أن ننسى ذلك

(4) إعادة ترتيب المصطلحات: أولا نعيد كتابة المصطلحات ، حيث لا توجد وحدة وهمية(المجموعة الأولى)، ثم المصطلحات التي توجد بها (المجموعة الثانية). تجدر الإشارة إلى أن خلط المصطلحات ليس ضروريًا، ويمكن تخطي هذه الخطوة (عن طريق القيام بذلك شفهيًا فعليًا).

(5) بالنسبة للمجموعة الثانية نخرجها من الأقواس.

ونتيجة لذلك، أصبحت الدالة ممثلة في النموذج

إجابة:
- الجزء الحقيقي من الوظيفة.
- الجزء التخيلي من الوظيفة .

ما نوع الوظائف التي تحولت إليها هذه؟ الوظائف الأكثر شيوعًا لمتغيرين يمكنك من خلالها العثور على مثل هذه الشعبية المشتقات الجزئية. وبدون رحمة سوف نجدها. ولكن بعد ذلك بقليل.

باختصار، يمكن كتابة خوارزمية المشكلة التي تم حلها على النحو التالي: نستبدل في الوظيفة الأصلية، ونجري التبسيطات ونقسم جميع الحدود إلى مجموعتين - بدون وحدة وهمية (جزء حقيقي) وبوحدة وهمية (جزء وهمي) .

مثال 2

أوجد الجزء الحقيقي والتخيلي من الدالة

هذا مثال عليك حله بنفسك. قبل أن تندفع إلى المعركة على المستوى المعقد مع رسم قطع الداما، دعني أقدم لك أهم نصيحة حول هذا الموضوع:

احرص!عليك أن تكون حذرًا، بالطبع، في كل مكان، ولكن في الأعداد المركبة يجب أن تكون أكثر حذرًا من أي وقت مضى! تذكر أنه، فتح الأقواس بعناية، لا تفقد أي شيء. حسب ملاحظاتي فإن الخطأ الأكثر شيوعاً هو فقدان الإشارة. لا تتعجل!

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

الآن المكعب. باستخدام صيغة الضرب المختصرة نستنتج:
.

الصيغ مريحة للغاية للاستخدام في الممارسة العملية، لأنها تسرع بشكل كبير عملية الحل.

التمايز بين وظائف المتغير المعقد.

لدي خبران: جيد وسيئ. سأبدأ بالفكرة الجيدة. بالنسبة لدالة ذات متغير معقد، تكون قواعد التمايز وجدول مشتقات الوظائف الأولية صالحة. وبالتالي، يتم أخذ المشتقة بنفس الطريقة تمامًا كما في حالة دالة المتغير الحقيقي.

الخبر السيئ هو أنه بالنسبة للعديد من الدوال المتغيرة المعقدة لا يوجد مشتق على الإطلاق، وعليك معرفة ذلك هل هو قابل للتمييزوظيفة واحدة أو أخرى. و"معرفة" ما يشعر به قلبك يرتبط بمشاكل إضافية.

دعونا نفكر في وظيفة المتغير المعقد. لكي تكون هذه الوظيفة قابلة للتفاضل، من الضروري والكافي:

1) وجود مشتقات جزئية من الدرجة الأولى. انسَ هذه الرموز على الفور، لأنه في نظرية وظائف المتغير المعقد يتم استخدام رموز مختلفة بشكل تقليدي: .

2) تنفيذ ما يسمى شروط كوشي ريمان:

فقط في هذه الحالة سيكون المشتق موجودًا!

مثال 3

حلوتنقسم إلى ثلاث مراحل متتالية:

1) دعونا نجد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة. لقد تمت مناقشة هذه المهمة في الأمثلة السابقة، لذا سأكتبها دون تعليق:

منذ ذلك الحين:

هكذا:

- الجزء التخيلي من الوظيفة .

اسمحوا لي أن أتطرق إلى نقطة فنية أخرى: بأي ترتيباكتب المصطلحات في الجزأين الحقيقي والتخيلي؟ نعم، من حيث المبدأ، لا يهم. على سبيل المثال، الجزء الحقيقي يمكن كتابته على النحو التالي: ، والتخيلي – هكذا: .

2) دعونا نتحقق من استيفاء شروط كوشي-ريمان. هناك اثنان منهم.

لنبدأ بالتحقق من الحالة. نجد المشتقات الجزئية:

وبذلك يكون الشرط مكتملاً.

والخبر السار بالطبع هو أن المشتقات الجزئية تكون دائمًا بسيطة جدًا.

ونتحقق من تحقق الشرط الثاني:

والنتيجة واحدة ولكن بإشارات معاكسة، أي أن الشرط قد تحقق أيضاً.

تم استيفاء شروط كوشي-ريمان، وبالتالي فإن الدالة قابلة للاشتقاق.

3) دعونا نجد مشتقة الدالة. المشتق أيضًا بسيط جدًا ويتم العثور عليه وفقًا للقواعد المعتادة:

تعتبر الوحدة التخيلية ثابتة أثناء التمايز.

إجابة: - الجزء الحقيقي، – الجزء الخيالي .
تم استيفاء شروط كوشي-ريمان.

هناك طريقتان أخريان للعثور على المشتقة، بالطبع، يتم استخدامهما بشكل أقل تكرارًا، لكن المعلومات ستكون مفيدة لفهم الدرس الثاني - كيفية العثور على وظيفة لمتغير معقد؟

يمكن العثور على المشتق باستخدام الصيغة:

في هذه الحالة:

هكذا

يتعين علينا حل المشكلة العكسية - في التعبير الناتج نحتاج إلى عزل . وللقيام بذلك لا بد من ما يلي في المصطلحات وخارج القوسين:

الإجراء العكسي، كما لاحظ الكثيرون، هو أكثر صعوبة إلى حد ما في التحقق منه، فمن الأفضل دائمًا أخذ التعبير في مسودة أو فتح الأقواس شفهيًا، والتأكد من أن النتيجة صحيحة؛

صيغة المرآة لإيجاد المشتق:

في هذه الحالة: ، لهذا السبب:

مثال 4

تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة . التحقق من استيفاء شروط كوشي ريمان. إذا تحققت شروط كوشي-ريمان، فأوجد مشتقة الدالة.

حل قصير وعينة تقريبية للتصميم النهائي في نهاية الدرس.

هل شروط كوشي-ريمان مستوفاة دائمًا؟ ومن الناحية النظرية، لا يتم الوفاء بها في كثير من الأحيان أكثر مما يتم الوفاء بها. لكن في الأمثلة العملية، لا أتذكر الحالة التي لم يتم فيها استيفاءها =) وبالتالي، إذا كانت مشتقاتك الجزئية "لا تتقارب"، فمن المحتمل جدًا أن تقول أنك ارتكبت خطأً في مكان ما.

دعونا تعقيد وظائفنا:

مثال 5

تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة . التحقق من استيفاء شروط كوشي ريمان. احسب

حل:تم الحفاظ على خوارزمية الحل بالكامل، ولكن في النهاية ستتم إضافة نقطة جديدة: العثور على المشتق عند نقطة ما. بالنسبة للمكعب، تم بالفعل اشتقاق الصيغة المطلوبة:

دعونا نحدد الأجزاء الحقيقية والتخيلية لهذه الوظيفة:

الاهتمام والاهتمام مرة أخرى!

منذ ذلك الحين:

هكذا:
- الجزء الحقيقي من الوظيفة؛
- الجزء التخيلي من الوظيفة .

التحقق من الشرط الثاني:

والنتيجة واحدة ولكن بإشارات معاكسة، أي أن الشرط قد تحقق أيضاً.

تم استيفاء شروط كوشي-ريمان، وبالتالي فإن الدالة قابلة للاشتقاق:

لنحسب قيمة المشتق عند النقطة المطلوبة:

إجابة:،، تم استيفاء شروط كوشي-ريمان،

تعد الوظائف ذات المكعبات شائعة، لذا إليك مثال لتعزيزها:

مثال 6

تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة . التحقق من استيفاء شروط كوشي ريمان. احسب.

الحل ومثال الانتهاء في نهاية الدرس.

تحدد نظرية التحليل المعقد أيضًا وظائف أخرى للوسيطة المعقدة: الأس، والجيب، وجيب التمام، وما إلى ذلك. تتمتع هذه الوظائف بخصائص غير عادية وحتى غريبة - وهذا مثير للاهتمام حقًا! أريد حقًا أن أخبرك، ولكن هنا، كما يحدث، ليس كتابًا مرجعيًا أو كتابًا مدرسيًا، ولكنه كتاب حلول، لذلك سأفكر في نفس المشكلة مع بعض الوظائف الشائعة.

أولا عن ما يسمى صيغ أويلر:

لأي شخص صالحالأرقام، الصيغ التالية صالحة:

يمكنك أيضًا نسخه إلى دفتر ملاحظاتك كمواد مرجعية.

بالمعنى الدقيق للكلمة، هناك صيغة واحدة فقط، ولكن عادة ما يكتبون حالة خاصة مع ناقص في الأس من أجل الراحة. لا يجب أن تكون المعلمة حرفًا واحدًا؛ يمكن أن تكون تعبيرًا أو وظيفة معقدة، من المهم فقط قبولها صالحة فقطالمعاني. في الواقع سنرى هذا الآن:

مثال 7

أوجد المشتقة.

حل:يظل الخط العام للحزب ثابتًا - من الضروري التمييز بين الأجزاء الحقيقية والخيالية للوظيفة. سأقدم حلاً مفصلاً وأعلق على كل خطوة أدناه:

منذ ذلك الحين:

(1) استبدل "z" بدلاً من ذلك.

(2) بعد الاستبدال، عليك تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية الأول في المؤشرالعارضين. للقيام بذلك، افتح الأقواس.

(3) نقوم بتجميع الجزء التخيلي من المؤشر، مع وضع الوحدة التخيلية خارج القوسين.

(4) نستخدم الفعل المدرسي بالدرجات.

(5) بالنسبة للمضاعف نستخدم صيغة أويلر، و.

(6) افتح القوسين فينتج:

- الجزء الحقيقي من الوظيفة؛
- الجزء التخيلي من الوظيفة .

الإجراءات الإضافية هي المعيارية، فلنتحقق من استيفاء شروط كوشي-ريمان:

مثال 9

تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة . التحقق من استيفاء شروط كوشي ريمان. فليكن، لن نجد المشتقة.

حل:خوارزمية الحل مشابهة جدًا للمثالين السابقين، لكن هناك نقاط مهمة جدًا، لذا سأعلق مرة أخرى على المرحلة الأولية خطوة بخطوة:

منذ ذلك الحين:

1) استبدل "z" بدلاً من ذلك.

(2) أولا نختار الأجزاء الحقيقية والتخيلية داخل الجيوب الأنفية. ولهذه الأغراض، نفتح الأقواس.

(3) نستخدم الصيغة و .

(4) الاستخدام تكافؤ جيب التمام الزائدي: و شذوذ الجيب الزائدي: . القطع الزائد، على الرغم من كونها خارج هذا العالم، إلا أنها تذكرنا من نواحٍ عديدة بالدوال المثلثية المماثلة.

نتيجة ل:
- الجزء الحقيقي من الوظيفة؛
- الجزء التخيلي من الوظيفة .

انتباه!علامة الطرح تشير إلى الجزء التخيلي، ولا يجب أن نفقده تحت أي ظرف من الظروف! للحصول على توضيح واضح، يمكن إعادة كتابة النتيجة التي تم الحصول عليها أعلاه على النحو التالي:

دعونا نتحقق من استيفاء شروط كوشي-ريمان:

تم استيفاء شروط كوشي-ريمان.

إجابة:،، تم استيفاء شروط كوشي-ريمان.

أيها السيدات والسادة، دعونا نكتشف ذلك بأنفسنا:

مثال 10

تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة. التحقق من استيفاء شروط كوشي ريمان.

لقد اخترت عمدا أمثلة أكثر صعوبة، لأنه يبدو أن الجميع قادرون على التعامل مع شيء ما، مثل الفول السوداني المقشر. وفي الوقت نفسه، سوف تدرب انتباهك! كسارة البندق في نهاية الدرس.

حسنًا، في الختام، سأتناول مثالًا آخر مثيرًا للاهتمام عندما تكون هناك سعة معقدة في المقام. لقد حدث ذلك عدة مرات في الممارسة العملية، دعونا نلقي نظرة على شيء بسيط. ها أنا أتقدم في السن..

مثال 11

تحديد الأجزاء الحقيقية والتخيلية للدالة. التحقق من استيفاء شروط كوشي ريمان.

حل:مرة أخرى، من الضروري التمييز بين الأجزاء الحقيقية والخيالية للوظيفة.
إذاً

السؤال الذي يطرح نفسه هو ماذا تفعل عندما يكون "Z" في المقام؟

كل شيء بسيط - المعيار سوف يساعد طريقة ضرب البسط والمقام بالتعبير المرافق، لقد تم استخدامه بالفعل في أمثلة الدرس الأعداد المركبة للدمى. دعونا نتذكر صيغة المدرسة. لدينا بالفعل في المقام، مما يعني أن التعبير المترافق سيكون . وبالتالي، تحتاج إلى ضرب البسط والمقام في:

الوكالة الفيدرالية للتعليم

___________________________________

ولاية سانت بطرسبرغ

الجامعة الكهروتقنية "LETI"

_______________________________________

نظرية وظائف المتغير المعقد

المبادئ التوجيهية

إلى الفصول العملية

في الرياضيات العليا

سانت بطرسبرغ

دار النشر SPbSETU "LETI"

يو دي سي 512.64(07)

TFKP: تعليمات منهجية لحل المشكلات / تم تجميعها بواسطة: V. G. Dyumin، A. M. Kotochigov، N. N. سانت بطرسبرغ: دار النشر بجامعة سانت بطرسبرغ الحكومية الكهروتقنية "LETI"، 2010. 32 ص.

موافقة

مجلس التحرير والنشر بالجامعة

كمبادئ توجيهية

وظائف المتغير المعقد، في الحالة العامة، تختلف عن تعيينات المستوى الحقيقي
في حد ذاته فقط من خلال شكل التسجيل. كائن مهم ومفيد للغاية هو فئة وظائف المتغير المعقد،

لها نفس المشتقة مثل وظائف متغير واحد. من المعروف أن دوال عدة متغيرات يمكن أن يكون لها مشتقات جزئية ومشتقات اتجاهية، ولكن كقاعدة عامة، لا تتطابق المشتقات في اتجاهات مختلفة، ولا يمكن الحديث عن المشتق عند نقطة ما. ومع ذلك، بالنسبة لوظائف المتغير المعقد، من الممكن وصف الظروف التي تسمح فيها بالتمايز. دراسة خصائص الوظائف القابلة للتفاضل لمتغير معقد هي محتوى التعليمات المنهجية. تهدف التعليمات إلى توضيح كيفية استخدام خصائص هذه الوظائف لحل مجموعة متنوعة من المشكلات. إن إتقان المواد المقدمة بنجاح أمر مستحيل دون المهارات الأساسية في العمليات الحسابية ذات الأعداد المركبة والإلمام بأبسط الكائنات الهندسية المحددة من حيث عدم المساواة التي تربط الأجزاء الحقيقية والخيالية للرقم المركب، وكذلك معامله ووسيطه. يمكن العثور على ملخص لجميع المعلومات اللازمة لذلك في الإرشادات.

الجهاز القياسي للتحليل الرياضي: النهايات والمشتقات والتكاملات والمتسلسلات يستخدم على نطاق واسع في نص المبادئ التوجيهية. عندما يكون لهذه المفاهيم تفاصيلها الخاصة، بالمقارنة مع وظائف متغير واحد، يتم تقديم التفسيرات المناسبة، ولكن في معظم الحالات يكفي فصل الأجزاء الحقيقية والخيالية وتطبيق الجهاز القياسي للتحليل الحقيقي عليها.

1. الوظائف الأولية لمتغير معقد

من الطبيعي أن نبدأ مناقشة شروط التمييز بين وظائف المتغير المعقد من خلال معرفة الوظائف الأولية التي تمتلك هذه الخاصية. من العلاقة الواضحة

ويترتب على ذلك أن أي كثيرة الحدود قابلة للاشتقاق. وبما أنه يمكن اشتقاق متسلسلة القوى حدًا بعد حد ضمن دائرة تقاربها،

عندها تكون أي دالة قابلة للاشتقاق عند النقاط المجاورة التي يمكن توسيعها في سلسلة تايلور. وهذا شرط كاف، ولكنه ضروري أيضا، كما سيتضح قريبا. من الملائم دعم دراسة وظائف متغير واحد فيما يتعلق بمشتقاتها من خلال مراقبة سلوك الرسم البياني للوظيفة. هذا غير ممكن لوظائف المتغير المعقد. تقع نقاط الرسم البياني في مساحة البعد 4.

ومع ذلك، يمكن الحصول على بعض التمثيل البياني للدالة من خلال النظر في صور مجموعات بسيطة إلى حد ما في المستوى المعقد
، الناشئة تحت تأثير وظيفة معينة. على سبيل المثال، دعونا نفكر في عدة وظائف بسيطة من وجهة النظر هذه.

وظيفة خطية

هذه الوظيفة البسيطة مهمة جدًا، نظرًا لأن أي دالة قابلة للاشتقاق تشبه محليًا دالة خطية. دعونا نفكر في عمل الوظيفة بأقصى قدر من التفاصيل

هنا
- معامل العدد المركب و - حجته. وبالتالي، فإن الوظيفة الخطية تؤدي التمدد والدوران والترجمة. ولذلك، فإن التعيين الخطي يأخذ أي مجموعة إلى مجموعة مماثلة. على وجه الخصوص، تحت تأثير رسم الخرائط الخطية، تتحول الخطوط المستقيمة إلى خطوط مستقيمة، والدوائر إلى دوائر.

، ثم

هذه الوظيفة هي التالية الأكثر تعقيدًا بعد الخطية. ومن الصعب أن نتوقع أنها ستحول أي خط إلى خط مستقيم، والدائرة إلى دائرة؛ ومن الأمثلة البسيطة أن ذلك لا يحدث، ولكن يمكن إثبات أن هذه الدالة تحول مجموعة جميع الخطوط والدوائر إلى دائرة؛ نفسها. للتحقق من ذلك، من المناسب الانتقال إلى الوصف الحقيقي (الإحداثي) للرسم

يتطلب الدليل وصفًا للرسم العكسي

النظر في المعادلة إذا
، ثم نحصل على المعادلة العامة للخط. لو
، الذي - التي

لذلك متى
يتم الحصول على معادلة الدائرة التعسفية.

لاحظ أنه إذا
و
، ثم تمر الدائرة بنقطة الأصل. لو
و
، ثم تحصل على خط مستقيم يمر عبر نقطة الأصل.

في إطار إجراء الانقلاب، ستتم إعادة كتابة المعادلة قيد النظر في النموذج

, (
)

أو . ويمكن ملاحظة أن هذه أيضًا معادلة تصف الدوائر أو الخطوط المستقيمة. حقيقة المعاملات في المعادلة و
أماكن متبادلة، يعني أنه أثناء الانقلاب، ستتحول الخطوط المستقيمة التي تمر عبر 0 إلى دوائر، والدوائر التي تمر عبر 0 ستتحول إلى خطوط مستقيمة.

وظائف الطاقة

والفرق الرئيسي بين هذه الوظائف وتلك التي تمت مناقشتها سابقًا هو أنها ليست وظائف فردية (
). يمكننا أن نقول أن الوظيفة
يحول مستوى معقدًا إلى نسختين من نفس المستوى. تتطلب المعالجة الدقيقة لهذا الموضوع استخدام جهاز مرهق لأسطح ريمان ويتجاوز نطاق القضايا التي نتناولها هنا. من المهم أن نفهم أن المستوى المعقد يمكن تقسيمه إلى قطاعات، كل منها يتم تعيينه واحدًا لواحد على المستوى المعقد. هذا هو انهيار الوظيفة
يبدو مثل هذا، على سبيل المثال، النصف العلوي من المستوى يتم تعيينه واحدًا لواحد على المستوى المعقد بواسطة الوظيفة
. يصعب وصف التشوهات الهندسية لمثل هذه الصور مقارنة بحالة الانقلاب. كتمرين، يمكنك تتبع ما تتحول إليه شبكة الإحداثيات المستطيلة للنصف العلوي من المستوى عند العرض

يمكن ملاحظة أن شبكة الإحداثيات المستطيلة تتحول إلى عائلة من القطع المكافئة التي تشكل نظامًا من الإحداثيات المنحنية في المستوى
. تقسيم المستوى الموضح أعلاه هو أن الوظيفة
يعرض كل من القطاعات على المستوى بأكمله. يبدو وصف التعيين الأمامي والخلفي هكذا

وبالتالي فإن الوظيفة
لديه وظائف عكسية مختلفة،

محددة في قطاعات مختلفة من الطائرة

في مثل هذه الحالات يقال أن التعيين متعدد الأوراق.

وظيفة جوكوفسكي

الوظيفة لها اسمها الخاص، لأنها شكلت أساس نظرية جناح الطائرة التي أنشأها جوكوفسكي (يمكن العثور على وصف لهذا التصميم في الكتاب). تحتوي الدالة على عدد من الخصائص المثيرة للاهتمام، فلنركز على واحدة منها - اكتشف المجموعات التي تعمل فيها هذه الدالة بشكل فردي. النظر في المساواة

، أين
.

وبالتالي، فإن وظيفة Zhukovsky هي واحد لواحد في أي مجال لأي و منتجهم لا يساوي واحدا. هذه، على سبيل المثال، دائرة الوحدة المفتوحة
ومكمل دائرة الوحدة المغلقة
.

خذ بعين الاعتبار عمل دالة جوكوفسكي على الدائرة

وبفصل الأجزاء الحقيقية والتخيلية، نحصل على المعادلة البارامترية للقطع الناقص

,
.

لو
، فإن هذه الأشكال البيضاوية تملأ المستوى بأكمله. ويمكن التحقق بطريقة مماثلة من أن صور المقاطع هي قطع زائدة

الدالة الأسية

يمكن توسيع الدالة إلى متسلسلة قوى متقاربة تمامًا في المستوى المركب بأكمله، وبالتالي فهي قابلة للاشتقاق في كل مكان. دعونا نصف المجموعات التي تكون فيها الدالة واحدًا لواحد. المساواة الواضحة
يوضح أنه يمكن تقسيم المستوى إلى عائلة من الشرائط، يتم تعيين كل منها واحدًا لواحد بواسطة دالة على المستوى المعقد بأكمله. يعد هذا القسم ضروريًا لفهم كيفية عمل الدالة العكسية، أو بشكل أكثر دقة، الدوال العكسية. يوجد على كل شريط خريطة عكسية محددة بشكل طبيعي

والدالة العكسية في هذه الحالة متعددة التكافؤ أيضًا، وعدد الدوال العكسية لا نهائي.

الوصف الهندسي لرسم الخرائط بسيط للغاية: خطوط مستقيمة
تتحول إلى أشعة
، شرائح

تتحول إلى دوائر
.

محاضرة رقم 4.

هندسيا، دالة لمتغير معقد ث=و(ض) يحدد عرض مجموعة معينة ض- طائرات لمجموعة معينة ث-طائرة. نقطة ثÎ زمُسَمًّى طريق نقاط ضعندما يتم عرضها ث=و(ض)، نقطة ضÎ د – النموذج الأولي نقاط ث.

إذا كان الجميع ضتطابق قيمة واحدة فقط ث=و(ض)، ثم يتم استدعاء الدالة لا لبس فيه (ث=|ض|,ث=,ث=يكرر ضالخ) إذا كان بعض ضيطابق أكثر من قيمة واحدة ث، يتم استدعاء الدالة متعدد الأقدام (ث=أرج ض).

إذا (أي في نقاط مختلفة في المنطقة دتأخذ الدالة قيمًا مختلفة)، ثم الدالة ث=و(ض) يسمى أحادي الورقة في المنطقة د.

وبعبارة أخرى، وظيفة أحادية التكافؤ ث=و(ض) واحد لواحد يرسم المنطقة دعلى ز. مع عرض ورقة واحدة ث=و(ض) صورة معكوسة لأي نقطة ثÎ زيتكون من عنصر واحد : : . لهذا السبب ضيمكن اعتبارها وظيفة للمتغير ث، محدد على ز. تم تعيينه ودعا وظيفة عكسية .

إذا في المنطقة دهناك زوج واحد على الأقل من النقاط، ثم الدالة و(ض) يتم استدعاؤها متعدد الأوراق في المنطقة د.

إذا عرض ث=و(ض) قيد التشغيل د(على سبيل المثال، ث=ض ن)، ثم في هذه الحالة بعض القيم ثÎ زيطابق أكثر من نقطة ضÎ د:و(ض)=ث. ولذلك، فإن التعيين العكسي ليس ذا قيمة مفردة، بل هو دالة متعددة القيم.

رقم واحد على المنطقة دوظيفة ث=و(ض) يسمى فرع من دالة متعددة القيمف، إذا كانت القيمة وفي أي وقت ضÎ ديطابق إحدى القيم فعند هذه النقطة.

من أجل عزل الفروع ذات القيمة الواحدة لدالة متعددة القيم، اتبع ما يلي: المساحة دتقسيم الوظائف إلى مجالات التكافؤ ث=و(ض) بحيث لا يكون لمنطقتين من المناطق نقاط داخلية مشتركة وبحيث تكون كل نقطة ضÎ دتابعة لإحدى هذه المناطق أو حدود بعضها. في كل مجال من مجالات التكافؤ هذه، يتم تعريف وظيفة معكوسة ث=و(ض). إنه فرع ذو قيمة واحدة لدالة متعددة القيم.

مفهوم رسم الخرائط المطابقة

مثال.أوجد عامل التمدد وزاوية الدوران عند نقطة ما ض=2أناعند العرض.

■ العثور على المشتقة وقيمته عند نقطة معينة .

نسبة التمدد كيساوي معامل المشتق: .

زاوية الدوران ييساوي حجة المشتقة. النقطة تكمن في الربع الرابع، لذلك، . ■

مثال 3.5.تحديد أي جزء من الطائرة عند عرضه ث=ض 2 ـ ممدود، وأيهما مضغوط.

■ العثور على المشتقة ث¢ = 2 ض. عامل التوتر في أي لحظة ضيساوي ك=|ث¢( ض)|=2|ض|. مجموعة النقاط في المستوى المركب الذي ك>1، أي 2| ض|>1 أو ، يشكل جزءًا من المستوى، والذي يتم تمديده عند عرضه. ولذلك، عند عرض ث=ض 2، يتم تمديد الجزء الخارجي من الدائرة، ويتم ضغط الجزء الداخلي. ■

عرض ث=و(ض) يسمى امتثالي (أي تحافظ على شكلها) عند نقطة ما إذا حافظت على الزوايا بين المنحنيات ولها خاصية الامتداد المستمر لجوار النقطة.

أي رسم خرائط يتم إنشاؤه عن طريق وظيفة تحليلية و(ض) مطابق في جميع النقاط حيث .

يسمى رسم الخرائط المتوافقة في المنطقة ، إذا كان مطابقًا في كل نقطة من هذه المنطقة.

يسمى التخطيط المطابق الذي يتم فيه الحفاظ على الاتجاه المرجعي للزوايا رسم الخرائط المطابقة من النوع الأول . يسمى التخطيط المطابق الذي يتم فيه عكس اتجاه الزوايا رسم الخرائط المطابقة للجنس ΙΙ (على سبيل المثال، ).

في نظرية وممارسة التعيينات المطابقة، تم طرح مشكلتين وحلهما.

المهمة الأولى هي العثور على صورة خط أو منطقة معينة ضمن خريطة معينة - مهمة مباشرة .

والثاني هو العثور على دالة تقوم بتعيين خط أو منطقة معينة إلى خط أو منطقة معينة أخرى - مشكلة عكسية .

عند حل مسألة مباشرة يراعى أن تكون صورة النقطة ض 0 عند عرضها ث=و(ض) هي نقطة ث 0، هكذا ث 0 =و(ض 0) أي نتيجة الاستبدال ض 0 بوصة و(ض). لذلك، للعثور على صورة مجموعة، تحتاج إلى حل نظام يتكون من علاقتين. واحد منهم يحدد وظيفة رسم الخرائط ث=و(ض)، والأخرى هي معادلة الخط، إذا تم حل مشكلة إيجاد صورة الخط، أو المتباينة التي تحدد مجموعة نقاط الصورة المعكوسة، إذا تم حل مشكلة تعيين المناطق. وفي كلتا الحالتين، يتم تقليل إجراء الحل إلى إزالة المتغير ضمن نسبتين معينتين.

القاعدة 3.3.للعثور على صورة الخط الذي تعطيه المعادلة ف(س,ذ)=0 (أو بشكل صريح ذ=ي(س)) عند العرض ث=و(ض) ضروري:

1. حدد الأجزاء الحقيقية والخيالية للدالة و(ض): ش=إعادة و(ض), ضد= أنا و(ض).

2. استبعاد من النظام Xو ش.العلاقة الناتجة هي معادلة صورة هذا الخط.

القاعدة 3.4.للعثور على صورة سطر معين عند العرض ث=و(ض) ضروري:

1. اكتب معادلة الخط في الصورة البارامترية ض=ض(ر) أو في شكل معقد .

2. اعتمادًا على نوع المعادلة الخطية، فكر في الحالة المقابلة:

إذا تم إعطاء الخط في شكل بارامترية، فاستبدل التعبير ض(ر) خامسا ث=و(ض);

إذا تم إعطاء الخط في شكل معقد، ثم التعبير عنه ضمن ث=و(ض) أي و. ثم يجب عليك استبدال ضوفي معادلة الخط. العلاقة الناتجة هي معادلة صورة هذا الخط.

القاعدة 3.5.للعثور على صورة لمنطقة معينة، يجب عليك استخدام إحدى الطريقتين.

الطريقة الأولى.

1. اكتب معادلة حدود هذه المنطقة. ابحث عن صورة حدود منطقة معينة باستخدام القواعد 3.3 أو 3.4.

2. حدد نقطة داخلية عشوائية لمنطقة معينة وابحث عن صورتها ضمن الخريطة المحددة. المنطقة التي تنتمي إليها النقطة الناتجة هي الصورة المطلوبة للمنطقة المحددة.

الطريقة الثانية.

1. اكسبريس ضمن النسبة ث=و(ض).

2. استبدل ما تلقيته في الخطوة 1. تعبير في عدم المساواة الذي يحدد منطقة معينة. النسبة الناتجة هي الصورة المطلوبة.

مثال.ابحث عن صورة الدائرة | ض|=1 عند عرضها باستخدام دالة ث=ض 2 .

■ 1 طريقة(وفقًا للقاعدة 3.3).

1. دع ض=س+أنا, ث=ش+رابعا. ثم ش + الرابع =س 2 -ذ 2 +أنا 2xy. نحصل على:

2. دعونا نستبعد Xو فيمن هذه المعادلات للقيام بذلك، دعونا نقوم بتربيع المعادلتين الأولى والثانية ونضيف:

ش 2 +ضد 2 =س 4 -2س 2 ذ 2 +ذ 4 +2س 2 ذ 2 =س 4 +2س 2 ذ 2 +ذ 4 =(س 2 +ذ 2) 2 .

وبأخذ المعادلة الثالثة للنظام نحصل على: ش 2 +ضد 2 =1 أو | ث| 2 =1، أي | ث|=1. إذن صورة الدائرة | ض|=1 دائرة | ث|=1، يمكن اجتيازه مرتين. هذا يأتي من حقيقة أنه منذ ذلك الحين ث=ض 2 ثم أرج ث=2Arg ض+2pk. وذلك عندما النقطة ضيصف دائرة كاملة | ض|=1 فصورتها تصف الدائرة | ث|=1 مرتين.

2 طريقة(وفقًا للقاعدة 3.4).

1. دعونا نكتب معادلة دائرة الوحدة في الصورة البارامترية: ض=ه (0£ ر 2 جنيه استرليني ص).

2. دعونا نستبدل ض=هفي النسبة ث=ض 2: ث = ه ط 2 ر=cos2 ر+أناالخطيئة2 ر. ولذلك | ث| 2 = كوس 2 2 ر+الخطيئة 2 2 ر=1، أي | ث|=1 – معادلة الصورة. ■

مثال.أوجد معادلة صورة الخط ص=سعندما يتم عرضها ث=ض 3 .

■ بما أن المنحنى محدد بشكل واضح، فإننا نطبق القاعدة 3.3.

1. ث=ض 3 =(س+iy) 3 =س 3 +3س 2 iy+3س(iy) 2 +(iy) 3 =س 3 - 3xy 2 +أنا(3س 2 ذ-ص 3).

وسائل،

2. في النظام الناتج نستبدل ص=س: باستثناء Xومن هذه المعادلات نحصل على ت=-ش.

لذلك، فإن صورة المنصف I و III تنسق زوايا النظام xOyهو منصف زاويتي الإحداثيات II و IV للنظام uOv. ■

1. وظيفة خطية

وظيفة خطيةتسمى وظيفة النموذج

ث=من الألف إلى الياء+ب, (4.1)

أين أ, ب- الثوابت المعقدة .

يتم تعريف هذه الوظيفة . لذلك، إذا، فإن الدالة الخطية تنتج تعيينًا امتثاليًا للمستوى الكامل للمتغير المعقد. في هذه الحالة، يتم تدوير مماسات جميع المنحنيات بنفس الزاوية Arg أوالتوتر في جميع النقاط متساوي. لو أ= 1، ثم مما يعني عدم وجود تمدد أو دوران. في هذه الحالة نحصل ث=ض+ب. يؤدي هذا التعيين إلى إزاحة المستوى بأكمله بواسطة متجه.

في الحالة العامة، بالانتقال إلى الصيغة الأسية لكتابة عدد مركب، نحصل على. لذلك، فإن التخطيط الخطي عبارة عن تركيبة من ثلاثة تحولات هندسية:

ث 1 =rz- التشابه مع المعامل ص=|أ|;

ث 2 =ه ط ي ث 1 =رزي ط ي- الدوران بزاوية ي=arg أحول هذه النقطة عن;

ث=ث 2 +ب=إعادة ط ي ض+ب- النقل الموازي إلى المتجه.

ولذلك رسم الخرائط ث=من الألف إلى الياء+بيغير الأبعاد الخطية لأي شكل مستوي في | أ| مرة واحدة، يقوم بتدوير هذا الشكل بزاوية ي=arg أحول الأصل ويزيحه في اتجاه المتجه بقيمته.

يحتوي التخطيط الخطي على خاصية دائرية، أي أنه يعين الدوائر ض-طائرات في دائرة ث-الطائرة (والعكس بالعكس)؛ تحويل الخطوط المستقيمة إلى خطوط مستقيمة.

مثال.العثور على صورة المحور أوهعندما يتم عرضها ث=2عز-3i.

■ 1 طريقة(وفقًا للقاعدة 3.4). نختار معادلة المحور في الصورة البارامترية.

1. بما أن معادلة المحور في شكلها الحقيقي أوي: س=0, -¥<ذ<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<ذ<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран في.

2. دعونا نستبدل z=iyفي التعبير ث=2عز-3i: ث=-2ذ-3أنا, -¥<ذ<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (في- المعلمة). وبعد عزل الجزأين الحقيقي والتخيلي نحصل على معادلة الصورة في الصورة الحقيقية: ش=-2ذ, ضد=-3 أو ضد=-3، -¥<ش<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv، موازيا للمحور الحقيقي.

2 طريقة. نستخدم الخاصية الدائرية للتحويل الخطي - صورة الخط المستقيم هي خط مستقيم. وبما أن الخط المستقيم محدد بتحديد نقطتين، فإنه يكفي على المحور أوهحدد أي نقطتين وابحث عن صورهما. سيكون الخط المستقيم الذي يمر عبر النقاط الموجودة هو الخط المطلوب. دعونا نختار النقاط ض 1 =0, ض 2 =أنا، صورهم ث 1 =-3أنا, ث 2 =-2-3أناعند تعيينها، تكمن على الخط ايم ث= -3. وبالتالي صورة المحور أوههو خط مستقيم ضد=-3.

3 طريقة(هندسي). من العلاقة ث=2عز-3iويترتب على ذلك أ=2أنا, ب=-3أنا, |أ|=2، . وهذا يعني أن الخط المستقيم المعطى (المحور أوه) يجب أن يتم تدويره بزاوية بالنسبة إلى نقطة الأصل، ثم يتم إزاحته لأسفل بمقدار 3 وحدات. التمدد مرتين لا يغير المظهر الهندسي للخط الأصلي، لأنه يمر عبر نقطة الأصل. ■

مثال.ابحث عن دالة خطية تمثل دائرة | ض-ط|=1 لكل محيط | ث- 3|=2.

■ المشكلة المطروحة هي المشكلة العكسية لنظرية التعيينات - بالنظر إلى صورة معينة وصورة مسبقة، ابحث عن التعيين المقابل. وبدون شروط إضافية، لن يكون للمشكلة حل فريد. دعونا نقدم الحل الهندسي.

1. انقل مركز الدائرة إلى نقطة الأصل. للقيام بذلك، نقوم بتطبيق الخريطة ث 1 =ض-ط.

2. في الطائرة ث 1 دعونا نطبق خريطة تعطي امتدادًا مزدوجًا، أي ث 2 =2ث 1 .

3. انقل الدائرة 3 وحدات إلى اليمين: ث=ث 2 +3. وأخيرا نحصل على: ث=2(ض-ط)+3, ث= 2ض+3-2أنا– الوظيفة المطلوبة .

يمكنك اختيار ترتيب مختلف لتنفيذ العمليات الهندسية - لا تنتقل أولاً، بل قم بالتدوير أو التمدد. ■

2. دالة خطية كسرية

كسور خطيةتسمى وظيفة النموذج

, (4.2)

أين أ, ب,ج,د-الأعداد المركبة مثل .

خصائص التحول الخطي الكسري

1°المطابقة

عرض ث=ل(ض) يكون مطابقًا عند جميع نقاط النهاية للمستوى المعقد باستثناء .

2° خاصية دائرية

صورة خط مستقيم أو دائرة في رسم خرائط خطي كسري ث=ل(ض) هو خط مستقيم أو دائرة (وصورة الخط المستقيم يمكن أن تكون دائرة أو خطًا مستقيمًا، وصورة الدائرة يمكن أن تكون خطًا مستقيمًا ودائرة). من السهل إثبات ذلك عند العرض ث=ل(ض) جميع الخطوط والدوائر التي تمر عبر النقطة تدخل في مستويات مستقيمة ( ث)، وجميع الخطوط المستقيمة أو الدوائر التي لا تمر بالنقطة د، - في محيط المستوى ( ث).

3°ثبات العلاقة المزدوجة

سلوك يتم حفظه تحت رسم خرائط خطي كسري، أي أنه ثابت. وتسمى هذه العلاقة نسبة مزدوجة من أربع نقاط. وهكذا يتم تحديد التحويل الخطي الكسري بشكل فريد من خلال تحديد ثلاث نقاط وصورها: . باستخدام هذه الأزواج، يمكنك العثور على دالة خطية كسرية باستخدام الصيغة:

. (4.3)

يمكن أيضًا تطبيق هذه الصيغة في حالة وجود بعض الأرقام ض كو ث كيتحول إلى ¥، إذا كنت تستخدم القاعدة: يجب استبدال الفرق الذي يظهر فيه الرمز ¥ بـ 1.

4 درجاتالحفاظ على التماثل

إذا النقاط ض 1 و ض 2 متماثلان حول خط أو دائرة ما ز، ثم لأي تعيين خطي كسري ث=ل(ض) صورهم ث 1 و ث 2 سيكون متناظرًا بالنسبة للصورة ز: .

يُفهم التماثل حول الخط المستقيم بالمعنى المعتاد.

نقاط ضو ض*يتم استدعاؤها متناظرة حول الدائرة |ض-ي 0 |=رإذا كانا يقعان على نفس الشعاع الخارج من مركز الدائرة، وكان حاصل ضرب بعديهما عن مركز الدائرة يساوي مربع نصف قطرها، أي

|ض-ي 0 |×| ض*-ض 0 |=ر 2 . (4.4)

نقطة متناظرة إلى نقطة ض 0 – من الواضح أن مركز الدائرة هو نقطة اللانهاية.

5°مبدأ مطابقة اجتياز الحدود (عرض المناطق المحددة بخطوط أو دوائر)

إذا كان، في رسم الخرائط الخطية الكسرية، خطًا مستقيمًا أو دائرة زيتحول إلى خط مستقيم أو دائرة ز ™، ثم المنطقة د، وهو محدود ز، يتحول إلى إحدى المنطقتين اللتين يحدهما ز ™. في هذه الحالة، يحدث مبدأ مراسلات تجاوز الحدود: إذا كان خلال بعض تجاوز الخط زمنطقة داتضح أنه على اليسار (اليمين)، ثم مع اجتياز الخط المقابل ز ™منطقة د ™يجب أن يكون أيضًا على اليسار (اليمين).