العضلات

إيجاد GCD باستخدام الخوارزمية الإقليدية واستخدام التحليل الأولي. إيجاد المضاعف الأقل شيوعاً، طرق، أمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر

يرتبط المضاعف المشترك الأصغر لعددين ارتباطًا مباشرًا بالمقسوم المشترك الأكبر لتلك الأرقام. هذا الاتصال بين GCD و NOCيتم تحديده من خلال النظرية التالية.

نظرية.

المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين موجبين a وb يساوي حاصل ضرب a وb مقسومًا على القاسم المشترك الأكبر لـ a وb، أي: LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب).

دليل.

يترك M هو أحد مضاعفات الأرقام a و b. أي أن M قابل للقسمة على a، ومن خلال تعريف قابلية القسمة، يوجد عدد صحيح k بحيث تكون المساواة M=a·k صحيحة. لكن M قابل للقسمة أيضًا على b، إذن a·k قابل للقسمة على b.

لنشير إلى gcd(a,b) بالرمز d. بعد ذلك يمكننا كتابة المعادلات a=a 1 ·d وb=b 1 ·d، وa 1 =a:d وb 1 =b:d ستكون أعدادًا أولية نسبيًا. وبالتالي، فإن الشرط الذي تم الحصول عليه في الفقرة السابقة وهو أن a · k قابل للقسمة على b يمكن إعادة صياغته على النحو التالي: a 1 · d · k مقسوم على b 1 · d وهذا، بسبب خصائص القسمة، يعادل الشرط أن أ 1 · ك يقبل القسمة على ب 1.

تحتاج أيضًا إلى كتابة نتيجتين طبيعيتين مهمتين من النظرية التي تم النظر فيها.

المضاعفات المشتركة لعددين هي نفس مضاعفات المضاعف المشترك الأصغر لهما.

هذا هو الحال بالفعل، نظرًا لأن أي مضاعف مشترك لـ M للأرقام a وb يتم تحديده من خلال المساواة M=LMK(a, b)·t لبعض القيمة الصحيحة t.

المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الموجبة المتبادلة a وb يساوي حاصل ضربهما.

الأساس المنطقي لهذه الحقيقة واضح تماما. بما أن a وb أوليان نسبيًا، فإن gcd(a, b)=1، وبالتالي، GCD(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر

يمكن اختزال العثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين بشكل تسلسلي. تتم الإشارة إلى كيفية القيام بذلك في النظرية التالية. وبما أن أصغر مضاعف موجب للرقم m k هو الرقم m k نفسه، فإن أصغر مضاعف مشترك للأرقام a 1، a 2، ...، a k هو m k.

مراجع.

فيلينكين ن.يا. والرياضيات. الصف السادس: كتاب مدرسي لمؤسسات التعليم العام.
فينوغرادوف آي إم. أساسيات نظرية الأعداد.
ميخيلوفيتش ش. نظرية الأعداد.
كوليكوف إل. وغيرها مجموعة من المشاكل في الجبر ونظرية الأعداد: كتاب مدرسي لطلاب الفيزياء والرياضيات. تخصصات المعاهد التربوية.

هذه المقالة مخصصة لمسألة إيجاد القاسم المشترك الأكبر. أولاً، سنشرح ما هو ونعطي عدة أمثلة، ونقدم تعريفات القاسم المشترك الأكبر لأرقام 2 أو 3 أو أكثر، وبعد ذلك سنتناول الخصائص العامة لهذا المفهوم ونثبتها.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

ما هي القواسم المشتركة

لفهم القاسم المشترك الأكبر، نقوم أولاً بصياغة القاسم المشترك للأعداد الصحيحة بشكل عام.

في مقالة المضاعفات والمقسومات، قلنا أن العدد الصحيح له دائمًا عدة قواسم. نحن هنا مهتمون بمقسومات عدد معين من الأعداد الصحيحة في وقت واحد، وخاصة تلك المشتركة (المتطابقة) للجميع. دعونا نكتب التعريف الرئيسي.

التعريف 1

القاسم المشترك لعدة أعداد صحيحة هو الرقم الذي يمكن أن يكون مقسومًا على كل رقم من المجموعة المحددة.

مثال 1

فيما يلي أمثلة على هذا المقسوم: ثلاثة سيكون قاسمًا مشتركًا للأرقام - 12 و 9، نظرًا لأن التساويات 9 = 3 · 3 و − 12 = 3 · (− 4) صحيحة. الأعداد 3 و - 12 لهما عوامل مشتركة أخرى، مثل 1، − 1 و − 3. لنأخذ مثالا آخر. الأعداد الصحيحة الأربعة 3 و − 11 و − 8 و 19 سيكون لها عاملان مشتركان: 1 و - 1.

بمعرفة خصائص قابلية القسمة، يمكننا القول إن أي عدد صحيح يمكن قسمته على واحد وسالب واحد، مما يعني أن أي مجموعة من الأعداد الصحيحة سيكون لها قاسمان مشتركان على الأقل.

لاحظ أيضًا أنه إذا كان لدينا مقسوم مشترك b لعدة أرقام، فيمكن قسمة نفس الأرقام على الرقم المقابل، أي على - b. من حيث المبدأ، يمكننا فقط أخذ المقسومات الموجبة، وبالتالي فإن جميع المقسومات المشتركة ستكون أيضًا أكبر من 0. يمكن أيضًا استخدام هذا الأسلوب، ولكن لا ينبغي تجاهل الأرقام السالبة تمامًا.

ما هو القاسم المشترك الأكبر (GCD)

وفقًا لخصائص قابلية القسمة، إذا كان b مقسومًا على عدد صحيح a لا يساوي 0، فإن معامل b لا يمكن أن يكون أكبر من معامل a، وبالتالي، فإن أي رقم لا يساوي 0 له عدد محدود من المقسومات. وهذا يعني أن عدد القواسم المشتركة لعدة أعداد صحيحة، واحد منها على الأقل يختلف عن الصفر، سيكون محدودًا أيضًا، ومن مجموعتها بأكملها يمكننا دائمًا اختيار العدد الأكبر (لقد تحدثنا بالفعل عن مفهوم الأكبر وأصغر عدد صحيح، ننصحك بتكرار هذه المادة).

في مزيد من المناقشات، سنفترض أن واحدًا على الأقل من مجموعة الأرقام التي نحتاج إلى إيجاد القاسم المشترك الأكبر لها سيكون مختلفًا عن 0. إذا كانت جميعها تساوي 0، فيمكن أن يكون المقسوم عليها أي عدد صحيح، وبما أن هناك عددًا لا نهائيًا منها، فلا يمكننا اختيار أكبرها. بمعنى آخر، من المستحيل إيجاد القاسم المشترك الأكبر لمجموعة أرقام تساوي 0.

دعنا ننتقل إلى صياغة التعريف الرئيسي.

التعريف 2

القاسم المشترك الأكبر لعدة أرقام هو أكبر عدد صحيح يقسم كل هذه الأرقام.

في الكتابة، غالبًا ما يُشار إلى القاسم المشترك الأكبر بالاختصار GCD. بالنسبة لعددين يمكن كتابتهما بالشكل gcd (a، b).

مثال 2

ما هو مثال gcd لعددين صحيحين؟ على سبيل المثال، بالنسبة للعددين 6 و-15 سيكون 3. دعونا نبرر هذا. أولاً، نكتب جميع قواسم العدد ستة: ± 6، ± 3، ± 1، ثم جميع قواسم العدد 15: ± 15، ± 5، ± 3 و± 1. بعد ذلك، نختار القيم المشتركة: وهي − 3 و− 1 و1 و3. من بينها، عليك أن تختار أكبر عدد. سيكون هذا 3.

بالنسبة لثلاثة أرقام أو أكثر، سيكون تحديد العامل المشترك الأكبر هو نفسه تقريبًا.

التعريف 3

سيكون القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أرقام أو أكثر هو أكبر عدد صحيح يقسم كل هذه الأرقام في نفس الوقت.

بالنسبة للأرقام a 1، a 2، ...، a n، من المناسب الإشارة إلى المقسوم عليه بـ GCD (a 1، a 2، ...، a n). تتم كتابة قيمة المقسوم عليه كـ GCD (a 1, a 2, ..., a n) = b.

مثال 3

فيما يلي أمثلة على القاسم المشترك الأكبر لعدة أعداد صحيحة: 12، - 8، 52، 16. سيكون مساويًا لأربعة، مما يعني أنه يمكننا كتابة GCD (12، - 8، 52، 16) = 4.

يمكنك التحقق من صحة هذه العبارة من خلال تدوين جميع قواسم هذه الأرقام ثم اختيار أكبرها.

من الناحية العملية، غالبًا ما تكون هناك حالات يكون فيها القاسم المشترك الأكبر مساويًا لأحد الأرقام. يحدث هذا عندما يمكن تقسيم جميع الأرقام الأخرى على رقم معين (في الفقرة الأولى من المقالة قدمنا دليلاً على هذا البيان).

مثال 4

وبالتالي، فإن القاسم المشترك الأكبر للأرقام 60 و 15 و - 45 هو 15، حيث أن خمسة عشر قابل للقسمة ليس فقط على 60 و - 45، ولكن أيضًا على نفسه، ولا يوجد مقسوم أكبر لكل هذه الأرقام.

حالة خاصة تتكون من أرقام coprime. وهي أعداد صحيحة ذات قاسم مشترك أكبر هو 1.

الخصائص الأساسية لخوارزمية GCD والخوارزمية الإقليدية

القاسم المشترك الأكبر له بعض الخصائص المميزة. دعونا نصيغها في شكل نظريات ونثبت كل منها.

لاحظ أن هذه الخصائص تمت صياغتها للأعداد الصحيحة الأكبر من الصفر، وسوف نأخذ في الاعتبار المقسومات الموجبة فقط.

التعريف 4

الأرقام a و b لها القاسم المشترك الأكبر يساوي gcd لـ b و a، أي gcd (a, b) = gcd (b, a). عكس الأرقام لا يؤثر على النتيجة النهائية.

تتبع هذه الخاصية تعريف GCD ذاته ولا تحتاج إلى إثبات.

التعريف 5

إذا كان من الممكن قسمة الرقم a على الرقم b، فإن مجموعة القواسم المشتركة لهذين الرقمين ستكون مشابهة لمجموعة قواسم الرقم b، أي gcd (a, b) = b.

دعونا نثبت هذا البيان.

الدليل 1

إذا كان العددان a وb لهما قواسم مشتركة، فيمكن قسمة أي منهما عليهما. في الوقت نفسه، إذا كان a مضاعفًا لـ b، فإن أي مقسوم على b سيكون أيضًا مقسومًا على a، لأن قابلية القسمة لها خاصية مثل العبور. هذا يعني أن أي مقسوم عليه b سيكون مشتركًا بين العددين a وb. وهذا يثبت أنه إذا تمكنا من قسمة a على b، فإن مجموعة جميع قواسم كلا الرقمين سوف تتطابق مع مجموعة قواسم الرقم الواحد b. وبما أن القاسم الأكبر لأي رقم هو هذا الرقم نفسه، فإن القاسم المشترك الأكبر للرقمين a وb سيكون أيضًا مساويًا لـ b، أي. جي سي دي (أ، ب) = ب . إذا كانت a = b، فإن gcd (a, b) = gcd (a, a) = gcd (b, b) = a = b، على سبيل المثال، gcd (132, 132) = 132.

باستخدام هذه الخاصية، يمكننا إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين إذا أمكن قسمة أحدهما على الآخر. وهذا المقسوم عليه يساوي أحد هذين الرقمين اللذين يمكن قسمة الرقم الثاني عليهما. على سبيل المثال، GCD (8، 24) = 8، حيث أن 24 هو من مضاعفات الثمانية.

التعريف 6 الدليل 2

دعونا نحاول إثبات هذه الخاصية. لدينا في البداية المساواة a = b · q + c، وأي قاسم مشترك لـ a وb سوف يقسم c أيضًا، وهو ما يفسره خاصية قابلية القسمة المقابلة. ولذلك، فإن أي قاسم مشترك لـ b وc سوف يقسم a. وهذا يعني أن مجموعة المقسومات المشتركة a وb سوف تتطابق مع مجموعة المقسومات b وc، بما في ذلك أكبرها، مما يعني أن المساواة gcd (a, b) = gcd (b, c) صحيحة.

التعريف 7

الخاصية التالية تسمى الخوارزمية الإقليدية. بمساعدتها، يمكنك حساب القاسم المشترك الأكبر لعددين، وكذلك إثبات خصائص أخرى لـ GCD.

قبل صياغة الخاصية، ننصحك بتكرار النظرية التي أثبتناها في مقال القسمة على الباقي. وفقًا لها، يمكن تمثيل الرقم القابل للقسمة a على شكل b · q + r، حيث يكون b هنا مقسومًا عليه، وq يمثل عددًا صحيحًا (يُسمى أيضًا حاصل القسمة غير المكتمل)، وr هو الباقي الذي يفي بالشرط 0 ≥ r ≥ ب.

لنفترض أن لدينا عددين صحيحين أكبر من 0، حيث تكون المساواة التالية صحيحة:

أ = ب ف 1 + ص 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

تنتهي هذه المساواة عندما يصبح r k + 1 يساوي 0. سيحدث هذا بالتأكيد، نظرًا لأن التسلسل b > r 1 > r 2 > r 3، ... عبارة عن سلسلة من الأعداد الصحيحة المتناقصة، والتي لا يمكن أن تتضمن سوى عدد محدود منها. هذا يعني أن r k هو القاسم المشترك الأكبر لـ a وb، أي r k = gcd (a, b).

أولًا، نحتاج إلى إثبات أن r k هو قاسم مشترك للرقمين a وb، وبعد ذلك، فإن r k ليس مجرد مقسوم عليه، بل هو القاسم المشترك الأكبر لعددين محددين.

دعونا نلقي نظرة على قائمة المساواة أعلاه، من الأسفل إلى الأعلى. وفقا للمساواة الأخيرة ،
يمكن قسمة r k − 1 على r k . بناءً على هذه الحقيقة، بالإضافة إلى الخاصية المثبتة السابقة للقاسم المشترك الأكبر، يمكن القول بأن r k − 2 يمكن قسمتها على r k ، نظرًا لأن
r k − 1 مقسوم على r k و r k مقسوم على r k .

المساواة الثالثة من الأسفل تسمح لنا باستنتاج أن r k − 3 يمكن قسمتها على r k ، إلخ. والثاني من الأسفل أن b يقبل القسمة على r k، والأول أن a يقبل القسمة على r k. ومن كل هذا نستنتج أن r k هو القاسم المشترك للعددين a وb.

الآن دعونا نثبت أن r k = GCD (a , b) . ما الذي يجب القيام به لهذا؟ أظهر أن أي قاسم مشترك لـ a وb سوف يقسم r k. دعونا نشير إلى ذلك ص 0 .

دعونا ننظر إلى نفس قائمة المساواة، ولكن من الأعلى إلى الأسفل. بناءً على الخاصية السابقة، يمكننا أن نستنتج أن r 1 يقبل القسمة على r 0، مما يعني أنه وفقًا للمساواة الثانية، r 2 مقسوم على r 0. ننزل جميع المعادلات ومن الأخير نستنتج أن r k قابل للقسمة على r 0 . لذلك، r k = gcd (a , b) .

وبعد النظر في هذه الخاصية، نستنتج أن مجموعة القواسم المشتركة a وb تشبه مجموعة قواسم GCD لهذه الأرقام. هذه العبارة، والتي هي نتيجة لخوارزمية إقليديان، ستسمح لنا بحساب جميع المقسومات المشتركة لعددين محددين.

دعنا ننتقل إلى خصائص أخرى.

التعريف 8

إذا كان a وb عددين صحيحين لا يساويان 0، فيجب أن يكون هناك عددان صحيحان آخران u 0 وv 0 حيث تكون المساواة GCD (a, b) = a · u 0 + b · v 0 صالحة.

المساواة الواردة في بيان الخاصية هي تمثيل خطي للقاسم المشترك الأكبر للعددين a وb. وتسمى علاقة بيزوت، ويسمى الرقمان u 0 و v 0 بمعاملات بيزوت.

الدليل 3

دعونا نثبت هذه الخاصية. دعونا نكتب تسلسل المساواة باستخدام الخوارزمية الإقليدية:

تخبرنا المساواة الأولى أن r 1 = a − b · q 1 . دعونا نشير إلى 1 = s 1 و − q 1 = t 1 ونعيد كتابة هذه المساواة بالصيغة r 1 = s 1 · a + t 1 · b. هنا الأرقام s 1 و t 1 ستكون أعدادًا صحيحة. المساواة الثانية تسمح لنا باستنتاج أن r 2 = b − r 1 · q 2 = b − (s 1 · a + t 1 · b) · q 2 = − s 1 · q 2 · a + (1 − t 1 · س2) ب . دعونا نشير إلى − s 1 · q 2 = s 2 و 1 − t 1 · q 2 = t 2 ونعيد كتابة المساواة بالشكل r 2 = s 2 · a + t 2 · b، حيث s 2 و t 2 سيكونان أيضًا الأعداد الصحيحة. وذلك لأن مجموع الأعداد الصحيحة وحاصل ضربها والفرق بينها هي أيضًا أعداد صحيحة. بنفس الطريقة تمامًا نحصل على المساواة الثالثة r 3 = s 3 · a + t 3 · b، ومن المساواة التالية r 4 = s 4 · a + t 4 · b، إلخ. في النهاية نستنتج أن r k = s k · a + t k · b للعدد الصحيح s k و t k . بما أن r k = GCD (a, b)، فإننا نشير إلى s k = u 0 و t k = v 0. ونتيجة لذلك، يمكننا الحصول على تمثيل خطي لـ GCD بالشكل المطلوب: GCD (a, b) = a · u 0 + ب · ت 0.

التعريف 9

GCD (m a, m b) = m GCD (a, b) لأي قيمة طبيعية لـ m.

الدليل 4

يمكن تبرير هذه الخاصية على النحو التالي. دعونا نضرب طرفي كل مساواة في الخوارزمية الإقليدية بالرقم m ونحصل على GCD (m · a, m · b) = m · r k، و r k هو GCD (a, b). وهذا يعني gcd (m a, m b) = m gcd (a, b). إنها خاصية القاسم المشترك الأكبر التي يتم استخدامها عند العثور على GCD باستخدام طريقة التحليل.

التعريف 10

إذا كان الرقمان a و b لهما قاسم مشترك p، فإن gcd (a: p, b: p) = gcd (a, b): p. في الحالة التي يكون فيها p = GCD (a, b) نحصل على GCD (a: GCD (a, b)، b: GCD (a, b) = 1، وبالتالي فإن الأرقام a: GCD (a, b) وb : GCD (a، b) أولية نسبيًا.

بما أن a = p (a: p) و b = p (b: p)، إذن بناءً على الخاصية السابقة، يمكننا إنشاء مساواة بالصيغة gcd (a, b) = gcd (p (a: p), p · (b: p)) = p · GCD (a: p , b: p) ومن بينها سيكون هناك دليل على هذه الخاصية. نستخدم هذه العبارة عندما نقوم بتبسيط الكسور العادية إلى صورة غير قابلة للاختزال.

التعريف 11

القاسم المشترك الأكبر لـ a 1، a 2، …، a k سيكون الرقم d k، والذي يمكن العثور عليه عن طريق حساب GCD (a 1، a 2) = d 2، GCD (d 2، a 3) = d 3 , GCD (د 3 , أ 4) = د 4 , … , GCD (د ك - 1 , أ ك) = د ك .

هذه الخاصية مفيدة عند إيجاد القاسم المشترك الأكبر لثلاثة أرقام أو أكثر. باستخدامه، يمكنك تقليل هذا الإجراء إلى عمليات تحتوي على رقمين. أساسها هو نتيجة طبيعية من الخوارزمية الإقليدية: إذا كانت مجموعة القواسم المشتركة a 1 وa 2 وa 3 تتطابق مع المجموعة d 2 وa 3، فإنها ستتزامن أيضًا مع المقسومات d 3. قواسم الأرقام a 1 وa 2 وa 3 وa 4 ستتطابق مع قواسم d 3، مما يعني أنها ستتطابق أيضًا مع قواسم d 4، وما إلى ذلك. في النهاية، نحصل على أن القواسم المشتركة للأرقام a 1، a 2، ...، a k سوف تتطابق مع المقسومات d k، وبما أن القاسم الأكبر للرقم d k سيكون هذا الرقم نفسه، فإن GCD (a) 1، أ 2، ...، أ ك) = د ك.

هذا كل ما نود أن نخبرك به عن خصائص القاسم المشترك الأكبر.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

الرقم الثاني: ب=

فاصل الألفبدون فاصل مسافة "´

نتيجة:

القاسم المشترك الأكبر gcd( أ,ب)=6

المضاعف المشترك الأصغر لـ LCM( أ,ب)=468

يسمى أكبر عدد طبيعي يمكن قسمته بدون باقي على الرقمين a وb القاسم المشترك الأكبر(GCD) من هذه الأرقام. يُشار إليه بـ gcd(a,b) أو (a,b) أو gcd(a,b) أو hcf(a,b).

المضاعف المشترك الأصغرالمضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين a وb هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على a وb بدون باقي. يُشار إليه بـ LCM(a,b) أو lcm(a,b).

يتم استدعاء الأعداد الصحيحة a و b رئيسي متبادل، إذا لم يكن لديهم قواسم مشتركة غير +1 و −1.

القاسم المشترك الأكبر

دعونا نعطي رقمين موجبين أ 1 و أ 2 1). مطلوب إيجاد القاسم المشترك لهذه الأرقام، أي. العثور على مثل هذا الرقم λ ، الذي يقسم الأرقام أ 1 و أ 2 في نفس الوقت. دعونا نصف الخوارزمية.

1) في هذه المقالة سيتم فهم كلمة رقم على أنها عدد صحيح.

يترك أ 1 ≥ أ 2 ودع

أين م 1 , أ 3 هي بعض الأعداد الصحيحة، أ 3 <أ 2(باقي القسمة أ 1 لكل أ 2 ينبغي أن يكون أقل أ 2).

لنفترض ذلك λ يقسم أ 1 و أ 2 ثم λ يقسم م 1 أ 2 و λ يقسم أ 1 −م 1 أ 2 =أ 3 (البيان 2 من مقال "قابلية قسمة الأعداد. اختبار قابلية القسمة"). ويترتب على ذلك أن كل قاسم مشترك أ 1 و أ 2 هو القاسم المشترك أ 2 و أ 3. والعكس صحيح أيضاً إذا λ القاسم المشترك أ 2 و أ 3 ثم م 1 أ 2 و أ 1 =م 1 أ 2 +أ 3 قابل للقسمة أيضًا λ . وبالتالي القاسم المشترك أ 2 و أ 3 هو أيضًا قاسم مشترك أ 1 و أ 2. لأن أ 3 <أ 2 ≤أ 1، إذن يمكننا القول أن حل مشكلة إيجاد القاسم المشترك للأعداد أ 1 و أ 2 تم اختزالها إلى مشكلة أبسط تتمثل في إيجاد القاسم المشترك للأرقام أ 2 و أ 3 .

لو أ 3 ≠0، ثم يمكننا القسمة أ 2 على أ 3. ثم

أين م 1 و أ 4 هي بعض الأعداد الصحيحة، ( أ 4 باقي من القسمة أ 2 على أ 3 (أ 4 <أ 3)). ومن خلال تفكير مماثل نتوصل إلى استنتاج مفاده أن القواسم المشتركة للأعداد أ 3 و أ 4 يتزامن مع القواسم المشتركة للأرقام أ 2 و أ 3، وأيضا مع القواسم المشتركة أ 1 و أ 2. لأن أ 1 , أ 2 , أ 3 , أ 4، ... هي أعداد تتناقص باستمرار، وبما أن هناك عددًا محدودًا من الأعداد الصحيحة بينها أ 2 و0، ثم في مرحلة ما ن، باقي القسمة أن على أ n+1 ستكون مساوية للصفر ( أن +2 = 0).

كل قاسم مشترك λ أرقام أ 1 و أ 2 هو أيضًا مقسوم على الأرقام أ 2 و أ 3 , أ 3 و أ 4 , .... أن و أن+1 . والعكس صحيح أيضًا، وهو قواسم مشتركة للأعداد أن و أ n+1 هي أيضًا مقسومات للأرقام أن −1 و أن، ....، أ 2 و أ 3 , أ 1 و أ 2. لكن القاسم المشترك للأرقام أن و أ n+1 هو رقم أن+1، لأن أن و أ n+1 قابلة للقسمة على أن+1 (تذكر ذلك أن +2 = 0). لذلك أ n+1 هو أيضًا مقسوم على الأرقام أ 1 و أ 2 .

لاحظ أن الرقم أ n+1 هو المقسوم الأكبر على الأرقام أن و أ n+1 ، منذ المقسوم عليه الأكبر أ n+1 هو نفسه أن+1 . لو أيمكن تمثيل n+1 كحاصل ضرب أعداد صحيحة، فهذه الأرقام هي أيضًا قواسم مشتركة للأرقام أ 1 و أ 2. رقم أيتم استدعاء n+1 القاسم المشترك الأكبرأرقام أ 1 و أ 2 .

أرقام أ 1 و أ 2 يمكن أن تكون أرقامًا موجبة أو سالبة. إذا كان أحد الأرقام يساوي صفرًا، فإن القاسم المشترك الأكبر لهذه الأرقام سيكون مساويًا للقيمة المطلقة للرقم الآخر. القاسم المشترك الأكبر للأعداد الصفرية غير محدد.

تسمى الخوارزمية المذكورة أعلاه الخوارزمية الإقليديةلإيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين صحيحين.

مثال على إيجاد القاسم المشترك الأكبر لعددين

أوجد القاسم المشترك الأكبر لعددين 630 و434.

الخطوة 1. اقسم الرقم 630 على 434. والباقي هو 196.
الخطوة 2. اقسم الرقم 434 على 196. والباقي هو 42.
الخطوة 3. اقسم الرقم 196 على 42. والباقي هو 28.
الخطوة 4. اقسم الرقم 42 على 28. والباقي هو 14.
الخطوة 5. اقسم الرقم 28 على 14. والباقي هو 0.

في الخطوة 5، يكون باقي القسمة هو 0. وبالتالي، فإن القاسم المشترك الأكبر للرقمين 630 و434 هو 14. لاحظ أن الرقمين 2 و7 هما أيضًا قواسم للرقمين 630 و434.

أرقام كوبريم

تعريف 1. دع القاسم المشترك الأكبر للأرقام أ 1 و أ 2 يساوي واحد. ثم يتم استدعاء هذه الأرقام أرقام كوبريم، ليس لها قاسم مشترك.

نظرية 1. لو أ 1 و أ 2 أرقام أولية، و λ رقم ما، ثم أي قاسم مشترك للأرقام LA 1 و أ 2 هو أيضًا قاسم مشترك للأرقام λ و أ 2 .

دليل. خذ بعين الاعتبار الخوارزمية الإقليدية لإيجاد القاسم المشترك الأكبر للأرقام أ 1 و أ 2 (انظر أعلاه).

ويترتب على شروط النظرية أن القاسم المشترك الأكبر للأعداد أ 1 و أ 2 وبالتالي أن و أ n+1 هو 1. هذا هو أن+1 =1.

دعونا نضرب كل هذه المساواة في λ ، ثم

دع القاسم المشترك أ 1 λ و أ 2 نعم δ . ثم δ يتم تضمينه كمضاعف في أ 1 λ , م 1 أ 2 λ وفي أ 1 λ -م 1 أ 2 λ =أ 3 λ (انظر "قابلية تقسيم الأرقام"، البيان 2). التالي δ يتم تضمينه كمضاعف في أ 2 λ و م 2 أ 3 λ ، وبالتالي فهو يدخل ضمن العوامل أ 2 λ -م 2 أ 3 λ =أ 4 λ .

بالتفكير بهذه الطريقة، نحن مقتنعون بذلك δ يتم تضمينه كمضاعف في أن −1 λ و من −1 أن λ ، وبالتالي في أن −1 λ −من −1 أن λ =أن+1 λ . لأن أن+1=1 إذن δ يتم تضمينه كمضاعف في λ . ولذلك الرقم δ هو القاسم المشترك للأرقام λ و أ 2 .

دعونا نفكر في حالات خاصة للنظرية 1.

عاقبة 1. يترك أو جالأعداد الأولية نسبية ب. ثم منتجاتهم تيار مترددهو عدد أولي بالنسبة ل ب.

حقًا. من النظرية 1 تيار مترددو بلها نفس القواسم المشتركة مثل جو ب. لكن الأرقام جو ببسيطة نسبيا، أي. لديك قاسم مشترك واحد 1. ثم تيار مترددو بلدينا أيضًا قاسم مشترك واحد 1. لذلك تيار مترددو ببسيطة بشكل متبادل.

عاقبة 2. يترك أو بأرقام coprim والسماح بيقسم أك. ثم بيقسم و ك.

حقًا. من شرط الموافقة أكو بلها قاسم مشترك ب. بموجب النظرية 1، بيجب أن يكون القاسم المشترك بو ك. لذلك بيقسم ك.

يمكن تعميم النتيجة الطبيعية 1.

عاقبة 3. 1. دع الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 , ..., أم هي أولية بالنسبة للعدد ب. ثم أ 1 أ 2 , أ 1 أ 2 · أ 3 , ..., أ 1 أ 2 أ 3 ··· أم، منتج هذه الأرقام هو أولي بالنسبة إلى الرقم ب.

2. دعونا يكون لدينا صفين من الأرقام

بحيث يكون كل رقم في السلسلة الأولى أوليًا بنسبة كل رقم في السلسلة الثانية. ثم المنتج

تحتاج إلى العثور على أرقام قابلة للقسمة على كل من هذه الأرقام.

إذا كان الرقم يقبل القسمة على أ 1، ففيه الشكل سا 1 حيث قبعض العدد. لو سهو القاسم المشترك الأكبر للأعداد أ 1 و أ 2، ثم

أين ق 1 هو عدد صحيح. ثم

يكون المضاعفات الأقل شيوعا للأرقام أ 1 و أ 2 .

أ 1 و أ 2 أولية نسبيًا، ثم المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 و أ 2:

علينا إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.

ومما سبق يترتب على ذلك أي مضاعف للأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 يجب أن يكون من مضاعفات الأرقام ε و أ 3 والعودة. دع المضاعف المشترك الأصغر للأرقام ε و أ 3 نعم ε 1. التالي، مضاعفات الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 , أ 4 يجب أن يكون من مضاعفات الأرقام ε 1 و أ 4. دع المضاعف المشترك الأصغر للأرقام ε 1 و أ 4 نعم ε 2. وهكذا وجدنا أن جميع الأعداد مضاعفات أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أم تتزامن مع مضاعفات عدد معين ε n، وهو ما يسمى المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة.

في حالة خاصة عندما تكون الأرقام أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أ m أولية نسبيًا، ثم المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 , أ 2 كما هو موضح أعلاه، له الشكل (3). التالي منذ ذلك الحين أ 3 الأولية بالنسبة للأرقام أ 1 , أ 2 ثم أ 3 عدد أولي أ 1 · أ 2 (النتيجة الطبيعية 1). يعني المضاعف المشترك الأصغر للأرقام أ 1 ,أ 2 ,أ 3 هو رقم أ 1 · أ 2 · أ 3. وبالتفكير بطريقة مماثلة، نصل إلى العبارات التالية.

إفادة 1. المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أم يساوي منتجهم أ 1 · أ 2 · أ 3 ··· أم.

إفادة 2. أي رقم يقبل القسمة على كل من الأعداد الأولية أ 1 , أ 2 , أ 3 ,...,أم قابل للقسمة أيضًا على منتجهم أ 1 · أ 2 · أ 3 ··· أم.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCD) والمقسوم المشترك الأكبر (GCD) للأعداد الطبيعية.

	2						5
	2						5
	3						3
	5

60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) لنكتب العوامل المتضمنة في مفكوك الرقم الأول ونضيف إليها العامل المفقود 5 من مفكوك الرقم الثاني. نحصل على: 2*2*3*5*5=300. لقد وجدنا شهادة عدم الممانعة، أي. هذا المبلغ = 300. ولا تنس البعد واكتب الإجابة:
الجواب: أمي تعطي 300 روبل.

تعريف GCD:القاسم المشترك الأكبر (GCD)الأعداد الطبيعية أو Vاستدعاء أكبر عدد طبيعي ج، الذي أ، و بمقسمة بلا باقي. أولئك. جهو أصغر عدد طبيعي له و أو بهي مضاعفات.

مذكرة:هناك طريقتان لتحديد الأعداد الطبيعية

الأرقام المستخدمة في: سرد (ترقيم) الكائنات (الأول، الثاني، الثالث، ...)؛ - في المدارس عادة ما يكون الأمر هكذا.
تحديد عدد العناصر (لا يوجد بوكيمون - صفر، بوكيمون واحد، اثنان بوكيمون، ...).

الأعداد السالبة وغير الصحيحة (العقلانية، الحقيقية، ...) ليست أعدادًا طبيعية. بعض المؤلفين يدرجون الصفر في مجموعة الأعداد الطبيعية، والبعض الآخر لا يفعل ذلك. يُشار عادةً إلى مجموعة الأعداد الطبيعية بالرمز ن

مذكرة:مقسوم على عدد طبيعي أقم بتسمية الرقم ب،الذي أمقسمة بلا باقي. مضاعفات العدد الطبيعي باتصل برقم طبيعي أ، وهو قابل للقسمة على بدون أن يترك أثرا. إذا كان الرقم ب- عدد المقسوم عليه أ، الذي - التي أمتعددة من العدد ب. مثال: 2 هو مقسوم على 4، و 4 هو من مضاعفات العدد اثنين. 3 هو المقسوم على 12، و12 هو من مضاعفات 3.
مذكرة:تسمى الأعداد الطبيعية أولية إذا كانت قابلة للقسمة دون باقي على نفسها وعلى 1 فقط. الأعداد الأولية المشتركة هي تلك التي لها قاسم مشترك واحد فقط يساوي 1.

تعريف كيفية العثور على GCD في الحالة العامة:للعثور على GCD (القاسم المشترك الأكبر)هناك حاجة إلى العديد من الأعداد الطبيعية:
1) تقسيمها إلى عوامل أولية. (يمكن أن يكون جدول الأعداد الأولية مفيدًا جدًا لهذا الغرض.)
2) أكتب العوامل الداخلة في مفكوك أحدها .
3) شطب تلك التي لم تدخل في توسيع الأعداد المتبقية.
4) اضرب العوامل التي تم الحصول عليها في الخطوة 3).

المشكلة 2 على (NOK):في العام الجديد، اشترت كوليا بوزاتوف 48 هامستر و 36 وعاء قهوة في المدينة. تم تكليف Fekla Dormidontova، باعتبارها الفتاة الأكثر صدقًا في الفصل، بمهمة تقسيم هذه الخاصية إلى أكبر عدد ممكن من مجموعات الهدايا للمعلمين. كم عدد المجموعات التي حصلت عليها؟ ما هو محتوى المجموعات؟

مثال 2.1. حل مشكلة العثور على GCD. العثور على GCD عن طريق التحديد.
حل:يجب أن يكون كل رقم من الأرقام 48 و 36 قابلاً للقسمة على عدد الهدايا.
1) اكتب المقسومات 48: 48، 24، 16، 12 , 8, 6, 3, 2, 1
2) اكتب قواسم 36: 36، 18، 12 ، 9، 6، 3، 2، 1 اختر القاسم المشترك الأكبر. واو لا لا! وجدنا أن عدد المجموعات هو 12 قطعة.
3) اقسم 48 على 12 لتحصل على 4، اقسم 36 على 12 لتحصل على 3. لا تنس البعد واكتب الإجابة:
الإجابة: سوف تحصل على 12 مجموعة مكونة من 4 هامستر و3 أواني قهوة في كل مجموعة.

لكن العديد من الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة أيضًا على أعداد طبيعية أخرى.

على سبيل المثال:

الرقم 12 قابل للقسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12؛

الرقم 36 يقبل القسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12، على 18، على 36.

يتم استدعاء الأرقام التي يكون الرقم قابلاً للقسمة على الكل (لـ 12 هذه هي 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 12) مقسومات الأرقام. مقسوم على عدد طبيعي أ- عدد طبيعي يقسم عددا معلوما أدون أن يترك أثرا. يسمى العدد الطبيعي الذي له أكثر من مقسومين مركب. يرجى ملاحظة أن الرقمين 12 و36 لهما عوامل مشتركة. هذه الأرقام هي: 1، 2، 3، 4، 6، 12. القاسم الأكبر لهذه الأرقام هو 12.

القاسم المشترك لعددين محددين أو ب- هذا هو الرقم الذي يتم قسمة كلا الرقمين بدون باقي أو ب. القاسم المشترك لعدة أرقام (GCD)هو الرقم الذي يعمل بمثابة المقسوم عليه لكل منهم.

باختصار القاسم المشترك الأكبر للأرقام أو باكتبها مثل هذا:

مثال: جي سي دي (12، 36) = 12.

تتم الإشارة إلى قواسم الأرقام في سجل الحل بالحرف الكبير "D".

مثال:

جي سي دي (7، 9) = 1

الرقمان 7 و 9 لهما قاسم مشترك واحد فقط - الرقم 1. تسمى هذه الأرقام رئيسي متبادلتشي سلامي.

أرقام كوبريم- هذه أرقام طبيعية لها قاسم مشترك واحد فقط - الرقم 1. gcd الخاص بها هو 1.

خصائص القاسم المشترك الأكبر (GCD).

الخاصية الأساسية: القاسم المشترك الأكبر مو نيقبل القسمة على أي قاسم مشترك لهذه الأرقام. مثال: بالنسبة للرقمين 12 و 18، القاسم المشترك الأكبر هو 6؛ وهي مقسمة على جميع القواسم المشتركة لهذه الأرقام: 1، 2، 3، 6.
النتيجة الطبيعية 1: مجموعة المقسومات المشتركة مو نيتزامن مع مجموعة مقسومات GCD( م, ن).
النتيجة الطبيعية 2: مجموعة من المضاعفات المشتركة مو نيتزامن مع مجموعة LCMs المتعددة ( م, ن).

هذا يعني، على وجه الخصوص، أنه لتبسيط الكسر إلى صورة غير قابلة للاختزال، تحتاج إلى قسمة بسطه ومقامه على gcd.

القاسم المشترك الأكبر للأعداد مو نيمكن تعريفه على أنه أصغر عنصر إيجابي في مجموعة جميع مجموعاتها الخطية:

وبالتالي تمثيلها كمجموعة خطية من الأرقام مو ن:

وتسمى هذه النسبة علاقة بيزوت، والمعاملات شو ضد — معاملات بيزوت. يتم حساب معاملات Bezout بكفاءة من خلال الخوارزمية الإقليدية الموسعة. يعمم هذا البيان على مجموعات من الأعداد الطبيعية - معناه أن المجموعة الفرعية للمجموعة التي تولدها المجموعة هي دورية ويتم إنشاؤها بواسطة عنصر واحد: GCD ( أ 1 , أ 2 , … , ن).

حساب القاسم المشترك الأكبر (GCD).

الطرق الفعالة لحساب GCD لرقمين هي الخوارزمية الإقليديةو ثنائيخوارزمية. بالإضافة إلى ذلك، قيمة gcd ( م,ن) يمكن حسابها بسهولة إذا كان التوسع القانوني للأرقام معروفًا مو نإلى عوامل أولية:

حيث تكون أعداد أولية مميزة، و و هي أعداد صحيحة غير سالبة (يمكن أن تكون أصفارًا إذا لم يكن العدد الأولي المقابل في التوسع). ثم جي سي دي ( م,ن) و NOC ( م,ن) يتم التعبير عنها بواسطة الصيغ:

إذا كان هناك أكثر من رقمين:، فسيتم العثور على gcd الخاص بهم باستخدام الخوارزمية التالية:

- هذا هو GCD المطلوب.

أيضا، من أجل العثور على القاسم المشترك الأكبر، يمكنك تحليل كل رقم من الأرقام المحددة إلى عوامل أولية. ثم اكتب بشكل منفصل فقط تلك العوامل المضمنة في جميع الأرقام المحددة. ثم نضرب الأعداد المكتوبة ببعضها - نتيجة الضرب هي القاسم المشترك الأكبر .

دعونا نلقي نظرة على حساب القاسم المشترك الأكبر خطوة بخطوة:

1. تحليل مقسومات الأعداد إلى عوامل أولية:

من الملائم كتابة العمليات الحسابية باستخدام شريط عمودي. على يسار السطر نكتب أولاً المقسوم، على اليمين - المقسوم عليه. بعد ذلك، في العمود الأيسر نكتب قيم القسمة. دعونا نشرح ذلك على الفور بمثال. دعونا نحلل العددين 28 و64 إلى عوامل أولية.