العضلات

الاعتماد النسبي المباشر. التناسب المباشر والعكس

سننظر اليوم إلى الكميات التي تسمى متناسبة عكسيًا، وكيف يبدو الرسم البياني للتناسب العكسي، وكيف يمكن أن يكون كل هذا مفيدًا لك ليس فقط في دروس الرياضيات، ولكن أيضًا خارج المدرسة.

هذه النسب المختلفة

التناسباذكر كميتين تعتمدان على بعضهما البعض.

يمكن أن يكون الاعتماد مباشرًا وعكسيًا. وبالتالي، يتم وصف العلاقات بين الكميات بالتناسب المباشر والعكسي.

التناسب المباشر- هذه العلاقة بين كميتين تؤدي فيها الزيادة أو النقصان في إحداهما إلى زيادة أو نقصان في الأخرى. أولئك. موقفهم لا يتغير.

على سبيل المثال، كلما بذلت المزيد من الجهد في الدراسة للامتحانات، زادت درجاتك. أو كلما زاد عدد الأشياء التي تأخذها معك في نزهة على الأقدام، أصبحت حقيبة ظهرك أثقل. أولئك. يتناسب مقدار الجهد المبذول في التحضير للامتحانات بشكل مباشر مع الدرجات التي تم الحصول عليها. ويتناسب عدد الأشياء المعبأة في حقيبة الظهر بشكل مباشر مع وزنها.

التناسب العكسي- هذا اعتماد وظيفي يؤدي فيه النقصان أو الزيادة عدة مرات في قيمة مستقلة (يسمى وسيطة) إلى زيادة أو نقصان متناسب (أي نفس عدد المرات) في قيمة تابعة (يسمى وظيفة).

دعونا نوضح مع مثال بسيط. تريد شراء التفاح في السوق. التفاح الموجود على المنضدة ومبلغ المال الموجود في محفظتك يتناسبان عكسيًا. أولئك. كلما اشتريت المزيد من التفاح، قل المال المتبقي لديك.

الدالة والرسم البياني لها

يمكن وصف وظيفة التناسب العكسي بأنها ص = ك/س. فيها س≠ 0 و ك≠ 0.

هذه الوظيفة لها الخصائص التالية:

مجال تعريفها هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية باستثناء س = 0. د(ذ): (-∞; 0) U (0; +∞).
النطاق هو كل الأعداد الحقيقية ما عدا ذ= 0. ه(ص): (-∞; 0) ش (0; +∞) .
ليس لديها الحد الأقصى أو الحد الأدنى من القيم.
إنه أمر غريب ورسمه البياني متماثل بالنسبة للأصل.
غير دورية.
الرسم البياني الخاص به لا يتقاطع مع محاور الإحداثيات.
ليس لديه أصفار.
لو ك> 0 (أي تزيد الوسيطة)، تتناقص الدالة بشكل متناسب على كل فترة من فتراتها. لو ك< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
كلما زادت الحجة ( ك> 0) القيم السالبة للدالة موجودة في الفترة (-∞; 0)، والقيم الموجبة موجودة في الفترة (0; +∞). عندما تنخفض الحجة ( ك< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

الرسم البياني لدالة التناسب العكسي يسمى القطع الزائد. تظهر على النحو التالي:

مشاكل التناسب العكسي

لجعل الأمر أكثر وضوحا، دعونا نلقي نظرة على عدة مهام. إنها ليست معقدة للغاية، وحلها سيساعدك على تصور ماهية التناسب العكسي وكيف يمكن أن تكون هذه المعرفة مفيدة في حياتك اليومية.

المهمة رقم 1. تتحرك سيارة بسرعة 60 كم/ساعة. استغرق الأمر منه 6 ساعات للوصول إلى وجهته. ما المدة التي سيستغرقها لقطع نفس المسافة إذا تحرك بسرعة مضاعفة؟

يمكننا البدء بكتابة معادلة تصف العلاقة بين الوقت والمسافة والسرعة: t = S/V. أوافق على ذلك، فهو يذكرنا كثيرًا بدالة التناسب العكسي. ويشير إلى أن الوقت الذي تقضيه السيارة على الطريق والسرعة التي تتحرك بها يتناسبان عكسيا.

للتحقق من ذلك، لنجد V 2، والتي حسب الشرط أعلى بمرتين: V 2 = 60 * 2 = 120 كم/ساعة. ثم نحسب المسافة باستخدام الصيغة S = V * t = 60 * 6 = 360 كم. الآن ليس من الصعب معرفة الوقت t 2 المطلوب منا حسب شروط المشكلة: t 2 = 360/120 = 3 ساعات.

كما ترون، فإن وقت السفر والسرعة يتناسبان عكسيا بالفعل: بسرعة أعلى مرتين من السرعة الأصلية، ستقضي السيارة وقتًا أقل مرتين على الطريق.

يمكن أيضًا كتابة حل هذه المشكلة كنسبة. لذلك دعونا أولا نصنع هذا المخطط:

↓ 60 كم/ساعة – 6 ساعات

↓120 كم/ساعة – × ح

تشير الأسهم إلى علاقة متناسبة عكسيا. ويقترحون أيضًا أنه عند رسم النسبة، يجب قلب الجانب الأيمن من السجل: 60/120 = x/6. من أين نحصل على x = 60 * 6/120 = 3 ساعات.

المهمة رقم 2. توظف الورشة 6 عمال يمكنهم إكمال قدر معين من العمل في 4 ساعات. إذا انخفض عدد العمال إلى النصف، فكم من الوقت سيستغرق العمال المتبقين لإكمال نفس المقدار من العمل؟

دعونا نكتب شروط المشكلة في شكل رسم تخطيطي مرئي:

↓ 6 عمال – 4 ساعات

↓ 3 عمال – س ح

لنكتب هذا كنسبة: 6/3 = x/4. ونحصل على x = 6 * 4/3 = 8 ساعات. إذا كان عدد العمال أقل بمرتين، فإن الباقين سيقضون وقتًا أطول بمرتين في إنجاز العمل بأكمله.

المهمة رقم 3. يوجد أنبوبان يؤديان إلى المسبح. من خلال أنبوب واحد، يتدفق الماء بسرعة 2 لتر/ ثانية ويملأ حوض السباحة خلال 45 دقيقة. من خلال أنبوب آخر، سيتم ملء المسبح خلال 75 دقيقة. ما السرعة التي يدخل بها الماء إلى حوض السباحة عبر هذا الأنبوب؟

في البداية، دعونا نقلل جميع الكميات المعطاة لنا وفقًا لشروط المشكلة إلى نفس وحدات القياس. للقيام بذلك، نعبر عن سرعة ملء حوض السباحة باللتر في الدقيقة: 2 لتر/ثانية = 2 * 60 = 120 لتر/دقيقة.

نظرًا لأنه ينشأ من شرط أن يتم ملء المسبح بشكل أبطأ من خلال الأنبوب الثاني، فهذا يعني أن معدل تدفق المياه أقل. التناسب معكوس. دعونا نعبر عن السرعة المجهولة من خلال x ونرسم الشكل التالي:

↓ 120 لتر/دقيقة – 45 دقيقة

↓ × لتر/دقيقة – 75 دقيقة

ومن ثم نقوم بتكوين النسبة: 120/x = 75/45، حيث x = 120 * 45/75 = 72 لتر/دقيقة.

في المسألة، يتم التعبير عن معدل ملء حوض السباحة باللتر في الثانية؛ فلنختصر الإجابة التي تلقيناها إلى نفس الصيغة: 72/60 = 1.2 لتر/ثانية.

المهمة رقم 4. تقوم دار طباعة خاصة صغيرة بطباعة بطاقات العمل. يعمل موظف دار الطباعة بسرعة 42 بطاقة عمل في الساعة ويعمل يومًا كاملاً - 8 ساعات. إذا عمل بشكل أسرع وطبع 48 بطاقة عمل في ساعة واحدة، فكم من الوقت يمكنه العودة إلى المنزل؟

نتبع المسار المثبت ونرسم مخططًا وفقًا لشروط المشكلة، مع تحديد القيمة المطلوبة بـ x:

↓ 42 بطاقة عمل/ساعة – 8 ساعات

↓ 48 بطاقة عمل/ساعة – × ح

لدينا علاقة تناسب عكسيًا: عدد المرات التي يطبع فيها موظف في مطبعة بطاقات عمل أكثر في الساعة، وهو نفس عدد المرات التي سيحتاج فيها إلى وقت أقل لإكمال نفس العمل. بمعرفة ذلك، دعونا ننشئ نسبة:

42/48 = س/8، س = 42 * 8/48 = 7 ساعات.

وبالتالي، بعد الانتهاء من العمل في 7 ساعات، يمكن لموظف المطبعة العودة إلى المنزل قبل ساعة.

خاتمة

يبدو لنا أن مسائل التناسب العكسي هذه بسيطة جدًا. نأمل أن تفكر بهم الآن أيضًا بهذه الطريقة. والشيء الرئيسي هو أن المعرفة حول الاعتماد المتناسب عكسيا للكميات يمكن أن تكون مفيدة لك أكثر من مرة.

ليس فقط في دروس الرياضيات والامتحانات. ولكن حتى ذلك الحين، عندما تستعد للذهاب في رحلة، أو الذهاب للتسوق، أو اتخاذ قرار بكسب القليل من المال الإضافي خلال العطلات، وما إلى ذلك.

أخبرنا في التعليقات ما هي الأمثلة على علاقات التناسب العكسي والمباشر التي تلاحظها من حولك. فليكن مثل هذه اللعبة. سترى كم هو مثير. لا تنس مشاركة هذه المقالة على الشبكات الاجتماعية حتى يتمكن أصدقائك وزملائك من اللعب أيضًا.

blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.

مثال

1.6 / 2 = 0.8؛

4 / 5 = 0.8؛

5.6 / 7 = 0.8، الخ. عامل التناسب. يوضح معامل التناسب عدد وحدات كمية واحدة لكل وحدة أخرى.

التناسب المباشر

التناسب المباشر- الاعتماد الوظيفي، حيث تعتمد كمية معينة على كمية أخرى بحيث تظل نسبتها ثابتة. وبعبارة أخرى، تتغير هذه المتغيرات بشكل متناسب، بحصص متساوية، أي إذا تغيرت الوسيطة مرتين في أي اتجاه، فإن الدالة تتغير أيضًا مرتين في نفس الاتجاه.

رياضياً، يتم كتابة التناسب المباشر كصيغة:

و(س) = أس,أ = جسنقر

التناسب العكسي

التناسب العكسي- هذا اعتماد وظيفي، حيث تؤدي الزيادة في القيمة المستقلة (الوسيطة) إلى انخفاض متناسب في القيمة التابعة (الدالة).

رياضياً، يتم كتابة التناسب العكسي كصيغة:

خصائص الوظيفة:

مصادر

مؤسسة ويكيميديا.

2010.

انظر ما هو "التناسب المباشر" في القواميس الأخرى:التناسب المباشر - - [أ.س. غولدبرغ. قاموس الطاقة الإنجليزي الروسي. 2006] موضوعات الطاقة بشكل عام النسبة المباشرة EN ...

انظر ما هو "التناسب المباشر" في القواميس الأخرى:دليل المترجم الفني

- Tiesioginis proorcingumas Statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. التناسب المباشر vok. direkte Proportionalität, f rus. التناسب المباشر، و prank. التناسب المباشر، f … Fizikos terminų žodynas - (من اللاتينية التناسبية التناسبية، التناسبية). التناسب. قاموس الكلمات الأجنبية المدرجة في اللغة الروسية. Chudinov A.N.، 1910. التناسبية. متناسب، متناسب. التناسب. الشرح 25000... ...

قاموس الكلمات الأجنبية للغة الروسية التناسب، التناسب، الجمع. لا يا انثى (كتاب). 1. مجردة اسم إلى النسبي. التناسب بين الأجزاء. تناسب الجسم. 2. مثل هذه العلاقة بين الكميات عندما تكون متناسبة (انظر التناسب ...

قاموس أوشاكوف التوضيحي

تسمى الكميتان المعتمدتان على بعضهما البعض بالتناسب إذا ظلت نسبة قيمهما دون تغيير المحتويات 1 مثال 2 معامل التناسب ... ويكيبيديا التناسب، والأنثى. 1. انظر النسبي. 2. في الرياضيات: العلاقة بين الكميات التي فيها زيادة في إحداهما يترتب عليها تغير في الأخرى بنفس المقدار. خط مستقيم (مع قطع مع زيادة في قيمة واحدة... ...

و؛ و. 1. إلى النسبي (قيمة واحدة)؛ التناسب. أجزاء P. P. اللياقة البدنية. ع. التمثيل في البرلمان. 2. الرياضيات. الاعتماد بين الكميات المتغيرة نسبيا. عامل التناسب. الخط المباشر (الذي مع ... ... القاموس الموسوعي

وظيفة خطية

وظيفة خطيةهي دالة يمكن تحديدها بالصيغة y = kx + b،

حيث x هو المتغير المستقل، وk وb بعض الأرقام.

الرسم البياني للدالة الخطية هو خط مستقيم.

يسمى الرقم ك منحدر الخط المستقيم– رسم بياني للدالة y = kx + b.

إذا كان k > 0، فإن زاوية ميل الخط المستقيم y = kx + b على المحور Xحار؛ إذا ك< 0, то этот угол тупой.

إذا كانت منحدرات الخطوط التي تمثل رسومًا بيانية لوظيفتين خطيتين مختلفة، فإن هذه الخطوط تتقاطع. وإذا كانت معاملات الزوايا متساوية، فإن المستقيمين متوازيان.

رسم بياني للدالة ص =ك س +ب، حيث k ≠ 0، هو خط موازي للخط y = kx.

التناسب المباشر.

التناسب المباشرهي دالة يمكن تحديدها بالصيغة y = kx، حيث x هو متغير مستقل، وk هو رقم غير الصفر. يسمى الرقم ك معامل التناسب المباشر.

الرسم البياني للتناسب المباشر هو خط مستقيم يمر عبر أصل الإحداثيات (انظر الشكل).

التناسب المباشر هو حالة خاصة للدالة الخطية.

خصائص الوظيفةص =ك س:

التناسب العكسي

التناسب العكسيتسمى دالة يمكن تحديدها بالصيغة:

ك
ص = -
س

أين سهو المتغير المستقل و ك– رقم غير الصفر .

الرسم البياني للتناسب العكسي هو منحنى يسمى غلو(انظر الصورة).

بالنسبة للمنحنى الذي يمثل الرسم البياني لهذه الدالة، فهو المحور سو ذبمثابة الخطوط المقاربة. الخط المقارب- هذا هو الخط المستقيم الذي تقترب منه نقاط المنحنى عندما تبتعد إلى ما لا نهاية.

ك
خصائص الوظيفةص = -:
س

هذه النسب المختلفة

التناسباذكر كميتين تعتمدان على بعضهما البعض.

يمكن أن يكون الاعتماد مباشرًا وعكسيًا. وبالتالي، يتم وصف العلاقات بين الكميات بالتناسب المباشر والعكسي.

الدالة والرسم البياني لها

يمكن وصف وظيفة التناسب العكسي بأنها ص = ك/س. فيها س≠ 0 و ك≠ 0.

هذه الوظيفة لها الخصائص التالية:

مجال تعريفها هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية باستثناء س = 0. د(ذ): (-∞; 0) U (0; +∞).
النطاق هو كل الأعداد الحقيقية ما عدا ذ= 0. ه(ص): (-∞; 0) ش (0; +∞) .
ليس لديها الحد الأقصى أو الحد الأدنى من القيم.
إنه أمر غريب ورسمه البياني متماثل بالنسبة للأصل.
غير دورية.
الرسم البياني الخاص به لا يتقاطع مع محاور الإحداثيات.
ليس لديه أصفار.
لو ك> 0 (أي تزيد الوسيطة)، تتناقص الدالة بشكل متناسب على كل فترة من فتراتها. لو ك< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
كلما زادت الحجة ( ك> 0) القيم السالبة للدالة موجودة في الفترة (-∞; 0)، والقيم الموجبة موجودة في الفترة (0; +∞). عندما تنخفض الحجة ( ك< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

الرسم البياني لدالة التناسب العكسي يسمى القطع الزائد. تظهر على النحو التالي:

مشاكل التناسب العكسي

يمكن أيضًا كتابة حل هذه المشكلة كنسبة. لذلك دعونا أولا نصنع هذا المخطط:

↓ 60 كم/ساعة – 6 ساعات

↓120 كم/ساعة – × ح

دعونا نكتب شروط المشكلة في شكل رسم تخطيطي مرئي:

↓ 6 عمال – 4 ساعات

↓ 3 عمال – س ح

↓ 120 لتر/دقيقة – 45 دقيقة

↓ × لتر/دقيقة – 75 دقيقة

ومن ثم نقوم بتكوين النسبة: 120/x = 75/45، حيث x = 120 * 45/75 = 72 لتر/دقيقة.

نتبع المسار المثبت ونرسم مخططًا وفقًا لشروط المشكلة، مع تحديد القيمة المطلوبة بـ x:

↓ 42 بطاقة عمل/ساعة – 8 ساعات

↓ 48 بطاقة عمل/ساعة – × ح

42/48 = س/8، س = 42 * 8/48 = 7 ساعات.

وبالتالي، بعد الانتهاء من العمل في 7 ساعات، يمكن لموظف المطبعة العودة إلى المنزل قبل ساعة.

خاتمة

موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.

§ 129. توضيحات أولية.

يتعامل الشخص باستمرار مع مجموعة واسعة من الكميات. يحاول موظف وعامل الوصول إلى العمل في وقت معين، ويكون أحد المشاة في عجلة من أمره للوصول إلى مكان معين بأقصر طريق، ويشعر موقد التدفئة بالبخار بالقلق من ارتفاع درجة الحرارة في المرجل ببطء، يقوم مدير الأعمال بوضع خطط لتقليل تكلفة الإنتاج، وما إلى ذلك.

ويمكن للمرء أن يعطي أي عدد من هذه الأمثلة. الوقت والمسافة ودرجة الحرارة والتكلفة - كل هذه كميات مختلفة. في الجزأين الأول والثاني من هذا الكتاب، تعرفنا على بعض الكميات الشائعة بشكل خاص: المساحة والحجم والوزن. نواجه كميات كثيرة عند دراسة الفيزياء والعلوم الأخرى.

تخيل أنك مسافر في القطار. بين الحين والآخر تنظر إلى ساعتك وتلاحظ المدة التي قضيتها على الطريق. لنفترض، على سبيل المثال، أنه قد مرت 2، 3، 5، 10، 15 ساعة منذ مغادرة القطار، وما إلى ذلك. تمثل هذه الأرقام فترات زمنية مختلفة؛ وتسمى قيم هذه الكمية (الزمن). أو تنظر من النافذة وتتابع أعمدة الطريق لترى المسافة التي يقطعها قطارك. الأرقام 110، 111، 112، 113، 114 كم تومض أمامك. تمثل هذه الأرقام المسافات المختلفة التي قطعها القطار من نقطة انطلاقه. وتسمى أيضًا القيم، ولكن هذه المرة بحجم مختلف (المسار أو المسافة بين نقطتين). وبالتالي، فإن كمية واحدة، على سبيل المثال، الوقت والمسافة ودرجة الحرارة، يمكن أن تأخذ نفس الكمية معاني مختلفة.

يرجى ملاحظة أن الشخص لا يفكر أبدًا في كمية واحدة فقط، ولكنه يربطها دائمًا ببعض الكميات الأخرى. عليه أن يتعامل في وقت واحد مع كميتين أو ثلاث أو أكثر. تخيل أنك بحاجة للوصول إلى المدرسة بحلول الساعة 9 صباحًا. تنظر إلى ساعتك وترى أن لديك 20 دقيقة. ثم تكتشف بسرعة ما إذا كان يجب عليك ركوب الترام أو ما إذا كان يمكنك الذهاب إلى المدرسة سيرًا على الأقدام. بعد التفكير قررت المشي. لاحظ أنه أثناء تفكيرك، كنت تحل مشكلة ما. أصبحت هذه المهمة بسيطة ومألوفة، لأنك تحل مثل هذه المشاكل كل يوم. في ذلك قمت بسرعة بمقارنة عدة كميات. أنت الذي نظرت إلى الساعة، مما يعني أنك أخذت الوقت في الاعتبار، ثم تخيلت عقليًا المسافة من منزلك إلى المدرسة؛ أخيرًا، قمت بمقارنة قيمتين: سرعة خطوتك وسرعة الترام، وخلصت إلى أنه في وقت معين (20 دقيقة) سيكون لديك وقت للمشي. من هذا المثال البسيط، يمكنك أن ترى أنه في ممارستنا، تكون بعض الكميات مترابطة، أي أنها تعتمد على بعضها البعض

أما الفصل الثاني عشر فقد تحدث عن العلاقة بين الكميات المتجانسة. على سبيل المثال، إذا كان طول أحد القطع 12 م والآخر 4 م، فإن نسبة هذه القطع ستكون 12: 4.

قلنا أن هذه هي النسبة بين كميتين متجانستين. هناك طريقة أخرى لقول ذلك وهي أنها النسبة بين رقمين اسم واحد.

الآن بعد أن أصبحنا أكثر دراية بالكميات وأدخلنا مفهوم قيمة الكمية، يمكننا التعبير عن تعريف النسبة بطريقة جديدة. في الواقع، عندما نظرنا إلى قطعتين من 12 م و 4 م، كنا نتحدث عن قيمة واحدة - الطول، و 12 م و 4 م كانتا قيمتين مختلفتين فقط لهذه القيمة.

لذلك، في المستقبل، عندما نبدأ الحديث عن النسب، سنأخذ في الاعتبار قيمتين لكمية واحدة، وستسمى نسبة قيمة واحدة لكمية إلى قيمة أخرى لنفس الكمية بحاصل قسمة القيمة الأولى بالثانية.

§ 130. القيم متناسبة طرديا.

لنفكر في مسألة تشتمل حالتها على كميتين: المسافة والزمن.

المهمة 1.جسم يتحرك بشكل مستقيم ومنتظم يقطع مسافة 12 سم في الثانية أوجد المسافة التي يقطعها الجسم في 2، 3، 4، ...، 10 ثواني.

لنقم بإنشاء جدول يمكن استخدامه لتتبع التغييرات في الوقت والمسافة.

يتيح لنا الجدول الفرصة لمقارنة هاتين السلسلتين من القيم. ونرى منه أنه عندما تزيد قيم الكمية الأولى (الزمن) تدريجياً بمقدار 2، 3،...، 10 مرات فإن قيم الكمية الثانية (المسافة) تزيد أيضاً بمقدار 2، 3، ...، 10 مرات. وهكذا، عندما تزيد قيم كمية واحدة عدة مرات، فإن قيم كمية أخرى تزيد بنفس المقدار، وعندما تنخفض قيم كمية واحدة عدة مرات، تنخفض قيم كمية أخرى بمقدار نفس العدد.

دعونا الآن نفكر في مشكلة تتضمن كميتين من هذا القبيل: كمية المادة وتكلفتها.

المهمة 2. 15 م من القماش يكلف 120 روبل. احسب تكلفة هذا القماش لعدة كميات أخرى من الأمتار المبينة في الجدول.

باستخدام هذا الجدول، يمكننا تتبع كيفية زيادة تكلفة المنتج تدريجيًا اعتمادًا على الزيادة في كميته. على الرغم من أن هذه المشكلة تنطوي على كميات مختلفة تماما (في المشكلة الأولى - الوقت والمسافة، وهنا - كمية البضائع وقيمتها)، ومع ذلك، يمكن العثور على أوجه تشابه كبيرة في سلوك هذه الكميات.

في الواقع، يوجد في السطر العلوي من الجدول أرقام تشير إلى عدد أمتار القماش؛ وتحت كل منها يوجد رقم يعبر عن تكلفة الكمية المقابلة من البضائع. حتى نظرة سريعة على هذا الجدول تظهر أن الأعداد في كل من الصفين العلوي والسفلي آخذة في التزايد؛ وعند الفحص الدقيق للجدول وعند مقارنة الأعمدة الفردية يتبين أنه في جميع الأحوال تزداد قيم الكمية الثانية بنفس عدد مرات زيادة قيم الزيادة الأولى، أي إذا كانت قيمة الكمية الثانية الكمية الأولى تزيد مثلًا 10 مرات، ثم تزيد قيمة الكمية الثانية أيضًا 10 مرات.

وإذا نظرنا إلى الجدول من اليمين إلى اليسار نجد أن قيم الكميات المشار إليها ستنخفض بنفس عدد المرات. وبهذا المعنى، هناك تشابه غير مشروط بين المهمة الأولى والثانية.

تسمى أزواج الكميات التي واجهناها في المسألتين الأولى والثانية متناسب بشكل مباشر.

وبالتالي، إذا كانت كميتان مرتبطتان ببعضهما البعض بطريقة بحيث كلما زادت (تناقصت) قيمة إحداهما عدة مرات، زادت (تناقصت) قيمة الأخرى بنفس المقدار، ثم تسمى هذه الكميات متناسبة طرديًا .

ويقال أيضًا أن هذه الكميات مرتبطة ببعضها البعض من خلال علاقة تناسب طردية.

وتوجد العديد من الكميات المماثلة في الطبيعة وفي الحياة من حولنا. فيما يلي بعض الأمثلة:

1. وقتالعمل (يوم، يومين، ثلاثة أيام، وما إلى ذلك) و الأرباح، يتم استلامها خلال هذا الوقت بأجور يومية.

2. مقدارأي جسم مصنوع من مادة متجانسة، و وزنهذا البند.

§ 131. خاصية الكميات المتناسبة طرديا.

لنأخذ مسألة تتضمن الكميتين التاليتين: وقت العمل والأرباح. إذا كانت الأرباح اليومية 20 روبل، فستكون الأرباح لمدة يومين 40 روبل، وما إلى ذلك. من الأكثر ملاءمة إنشاء جدول يتوافق فيه عدد معين من الأيام مع أرباح معينة.

بالنظر إلى هذا الجدول، نلاحظ أن كلا الكميتين تأخذان 10 قيم مختلفة. تتوافق كل قيمة من القيمة الأولى مع قيمة معينة من القيمة الثانية، على سبيل المثال، يومين يتوافقان مع 40 روبل؛ 5 أيام تتوافق مع 100 روبل. في الجدول، يتم كتابة هذه الأرقام واحدة تحت الأخرى.

نحن نعلم بالفعل أنه إذا كانت الكميتين متناسبتين بشكل مباشر، فإن كل منهما في عملية تغييرها يزيد عدة مرات مع زيادة الآخر. ويترتب على ذلك مباشرة: إذا أخذنا النسبة بين أي قيمتين للكمية الأولى، فإنها ستكون مساوية للنسبة بين القيمتين المتقابلتين للكمية الثانية. في الحقيقة:

لماذا يحدث هذا؟ ولكن لأن هذه القيم متناسبة طرديا، أي أنه عندما يزيد أحدهما (الزمن) بمقدار 3 مرات، فإن الآخر (الأرباح) يزيد بمقدار 3 مرات.

ولذلك توصلنا إلى النتيجة التالية: إذا أخذنا قيمتين للكمية الأولى وقسمناهما الواحدة على الأخرى، ثم قسمنا على إحداهما القيم المقابلة للكمية الثانية، ففي كلتا الحالتين سنحصل على نفس العدد، أي نفس العلاقة. وهذا يعني أن العلاقتين اللتين كتبناهما أعلاه يمكن ربطهما بإشارة يساوي، أي.

ليس هناك شك في أننا إذا أخذنا ليس هذه العلاقات، بل علاقات أخرى، وليس بهذا الترتيب، بل بالترتيب المعاكس، فسنحصل أيضًا على مساواة في العلاقات. في الواقع، سننظر إلى قيم الكميات لدينا من اليسار إلى اليمين ونأخذ القيمتين الثالثة والتاسعة:

60:180 = 1 / 3 .

لذلك يمكننا أن نكتب:

وهذا يؤدي إلى الاستنتاج التالي: إذا كانت كميتان متناسبتان طرديا، فإن نسبة القيمتين المأخوذتين اعتباطيا من الكمية الأولى تساوي نسبة القيمتين المتناظرتين من الكمية الثانية.

§ 132. صيغة التناسب المباشر.

لنقم بعمل جدول بتكلفة الكميات المختلفة من الحلويات، إذا كان 1 كجم منها يكلف 10.4 روبل.

الآن دعونا نفعل ذلك بهذه الطريقة. خذ أي رقم في السطر الثاني واقسمه على الرقم المقابل في السطر الأول. على سبيل المثال:

ترى أنه في الحاصل يتم الحصول على نفس الرقم طوال الوقت. وبالتالي، بالنسبة لزوج معين من الكميات المتناسبة طرديًا، فإن حاصل قسمة أي قيمة لكمية ما على القيمة المقابلة لكمية أخرى هو رقم ثابت (أي لا يتغير). في مثالنا، هذا الحاصل هو 10.4. ويسمى هذا الرقم الثابت عامل التناسب. وهو يعبر في هذه الحالة عن سعر وحدة القياس، أي كيلوغرام واحد من البضاعة.

كيفية العثور على أو حساب معامل التناسب؟ للقيام بذلك، عليك أن تأخذ أي قيمة لكمية واحدة وتقسمها على القيمة المقابلة للكمية الأخرى.

دعونا نشير إلى هذه القيمة التعسفية لكمية واحدة بالحرف في والقيمة المقابلة لكمية أخرى - الحرف X ثم معامل التناسب (نشير إليه ل) نجد بالقسمة :

في هذه المساواة في - للقسمة، X - المقسوم عليه و ل- خارج القسمة، وبما أن المقسوم بخاصية القسمة يساوي المقسوم عليه مضروبا في حاصل القسمة، فيمكننا أن نكتب:

ص =ك س

وتسمى المساواة الناتجة صيغة التناسب المباشر.باستخدام هذه الصيغة يمكننا حساب أي عدد من قيم إحدى الكميات المتناسبة طرديا إذا عرفنا القيم المقابلة للكمية الأخرى ومعامل التناسب.

مثال.من الفيزياء نعرف هذا الوزن رلأي جسم تساوي جاذبيته النوعية د مضروبة في حجم هذا الجسم V، أي. ر = د V.

لنأخذ خمسة قضبان حديدية بأحجام مختلفة؛ بمعرفة الوزن النوعي للحديد (7.8)، يمكننا حساب أوزان هذه السبائك باستخدام الصيغة:

ر = 7,8 V.

مقارنة هذه الصيغة مع الصيغة في = ل X ، نرى ذلك ص = ر, س = V، ومعامل التناسب ل= 7.8. الصيغة هي نفسها، فقط الحروف مختلفة.

باستخدام هذه الصيغة، لنقم بعمل جدول: دع حجم الفراغ الأول يساوي 8 أمتار مكعبة. سم فيكون وزنه 7.8 8 = 62.4 (جم). حجم الفراغ الثاني 27 متر مكعب. وزنها 7.8 27 = 210.6 (جم). سيبدو الجدول كالتالي:

احسب الأعداد المفقودة في هذا الجدول باستخدام الصيغة ر= د V.

§ 133. طرق أخرى لحل المسائل ذات الكميات المتناسبة طرديا.

في الفقرة السابقة قمنا بحل مسألة تضمنت حالتها كميات متناسبة طرديا. ولهذا الغرض، اشتقنا أولاً صيغة التناسب المباشر ثم طبقنا هذه الصيغة. سنعرض الآن طريقتين أخريين لحل المشكلات المشابهة.

لنقم بإنشاء مسألة باستخدام البيانات الرقمية الواردة في الجدول في الفقرة السابقة.

مهمة.فارغة بحجم 8 متر مكعب. سم يزن 62.4 جم. كم يبلغ وزن قطعة فارغة حجمها 64 مترًا مكعبًا؟ سم؟

حل.ووزن الحديد، كما هو معروف، يتناسب مع حجمه. إذا 8 متر مكعب. سم تزن 62.4 جرام، ثم 1 متر مكعب. سم سوف يزن 8 مرات أقل، أي.

62.4:8 = 7.8 (ز).

فارغة بحجم 64 متر مكعب. سم سوف يزن 64 مرة أكثر من 1 متر مكعب فارغ. سم، أي

7.8 64 = 499.2(ز).

لقد حللنا مشكلتنا بالاختزال إلى الوحدة. يتم تبرير معنى هذا الاسم من خلال حقيقة أنه لحل هذه المشكلة كان علينا إيجاد وزن وحدة الحجم في السؤال الأول.

2. طريقة التناسب.دعونا نحل نفس المشكلة باستخدام طريقة التناسب.

وبما أن وزن الحديد وحجمه هما كميتان متناسبتان طرديا، فإن نسبة قيمتين لكمية واحدة (حجم) تساوي نسبة قيمتين متناظرتين لكمية أخرى (وزن)، أي.

(خطاب رلقد حددنا الوزن غير المعروف للفراغ). من هنا:

(ز).

تم حل المشكلة باستخدام طريقة النسب. وهذا يعني أنه لحلها، تم تجميع نسبة من الأرقام المدرجة في الشرط.

§ 134. القيم متناسبة عكسيا.

تأمل في المشكلة التالية: «يستطيع خمسة عمال بناء وضع جدران منزل من الطوب في 168 يومًا. حدد عدد الأيام التي يمكن لـ 10، 8، 6، وما إلى ذلك أن يكملها البناءون نفس العمل.

إذا قام 5 بنائين بوضع جدران المنزل في 168 يومًا، فيمكن لـ 10 بنائين (بنفس إنتاجية العمل) القيام بذلك في نصف الوقت، حيث أن 10 أشخاص في المتوسط يقومون بضعف العمل الذي يقوم به 5 أشخاص.

دعونا نرسم جدولاً يمكننا من خلاله رصد التغيرات في عدد العمال وساعات العمل.

على سبيل المثال، لمعرفة عدد الأيام التي يستغرقها 6 عمال، يجب عليك أولاً حساب عدد الأيام التي يستغرقها عامل واحد (5 168 = 840)، ثم عدد الأيام التي يستغرقها ستة عمال (840: 6 = 140). بالنظر إلى هذا الجدول، نلاحظ أن كلا الكميتين لهما ست قيم مختلفة. كل قيمة من الكمية الأولى تتوافق مع قيمة محددة؛ قيمة القيمة الثانية، على سبيل المثال، 10 يقابل 84، الرقم 8 يقابل الرقم 105، إلخ.

وإذا نظرنا إلى قيم الكميتين من اليسار إلى اليمين، فسنرى أن قيم الكمية العليا تزداد، وقيم الكمية الأقل تتناقص. وتخضع الزيادة والنقصان للقانون التالي: تزيد قيم عدد العمال بنفس مرات انخفاض قيم وقت العمل المنقضي. ويمكن التعبير عن هذه الفكرة بشكل أكثر بساطة على النحو التالي: كلما زاد عدد العمال الذين يشاركون في أي مهمة، قل الوقت الذي يحتاجونه لإكمال وظيفة معينة. الكميتان اللتان واجهناهما في هذه المشكلة تسمى متناسب عكسيا.

وبالتالي، إذا كانت كميتان مرتبطتان ببعضهما البعض بطريقة بحيث كلما زادت (تناقصت) قيمة إحداهما عدة مرات، انخفضت (تزيد) قيمة الأخرى بنفس المقدار، تسمى هذه الكميات متناسبة عكسيًا .

هناك العديد من الكميات المماثلة في الحياة. دعونا نعطي أمثلة.

1. إذا كان مقابل 150 روبل. إذا كنت بحاجة لشراء عدة كيلوغرامات من الحلويات، فإن عدد الحلويات سيعتمد على سعر الكيلوغرام الواحد. كلما ارتفع السعر، قلت السلع التي يمكنك شراؤها بهذه الأموال؛ يمكن ملاحظة ذلك من الجدول:

مع ارتفاع سعر الحلوى عدة مرات، فإن عدد كيلوغرامات الحلوى التي يمكن شراؤها مقابل 150 روبل ينخفض بنفس المقدار. وفي هذه الحالة فإن الكميتين (وزن المنتج وسعره) تتناسب عكسيا.

2. إذا كانت المسافة بين مدينتين 1200 كيلومتر فيمكن قطعها في أوقات مختلفة حسب سرعة الحركة. هناك طرق مختلفة للسفر: سيرًا على الأقدام، على ظهور الخيل، بالدراجة، بالقارب، في السيارة، بالقطار، بالطائرة. كلما انخفضت السرعة، زاد الوقت الذي يستغرقه التحرك. ويمكن ملاحظة ذلك من الجدول:

مع زيادة السرعة عدة مرات، ينخفض \u200b\u200bوقت السفر بنفس المقدار. وهذا يعني أنه في ظل هذه الظروف، تكون السرعة والزمن كميتين متناسبتين عكسيًا.

§ 135. خاصية الكميات المتناسبة عكسيا.

ولنأخذ المثال الثاني الذي تناولناه في الفقرة السابقة. هناك تعاملنا مع كميتين - السرعة والوقت. وإذا نظرنا إلى قيم هذه الكميات من اليسار إلى اليمين في الجدول، سنرى أن قيم الكمية الأولى (السرعة) تزداد، وقيم الثانية (الزمن) تتناقص، و وتزداد السرعة بنفس المقدار مع انخفاض الوقت.ليس من الصعب أن نفهم أنه إذا كتبت نسبة بعض القيم لكمية واحدة، فلن تكون مساوية لنسبة القيم المقابلة لكمية أخرى. وفي الواقع، إذا أخذنا نسبة القيمة الرابعة للقيمة العليا إلى القيمة السابعة (40: 80)، فإنها لن تساوي نسبة القيمة الرابعة والسابعة للقيمة الأدنى (30: 15). يمكن كتابتها على النحو التالي:

40:80 لا تساوي 30:15، أو 40:80 =/=30:15.

ولكن إذا أخذنا العكس بدلاً من إحدى هذه العلاقات، فسنحصل على المساواة، أي أنه من هذه العلاقات سيكون من الممكن إنشاء نسبة. على سبيل المثال:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

وبناء على ما سبق، يمكننا استخلاص النتيجة التالية: إذا كانت الكميتين متناسبتين عكسيا، فإن نسبة قيمتين مأخوذتين تعسفيا لكمية واحدة تساوي النسبة العكسية للقيم المقابلة لكمية أخرى.

§ 136. صيغة التناسب العكسي.

خذ بعين الاعتبار المشكلة: "هناك 6 قطع من القماش الحريري بأحجام مختلفة ودرجات مختلفة. جميع القطع بنفس التكلفة. قطعة واحدة تحتوي على 100 متر من القماش بسعر 20 روبل. لكل متر كم مترًا في كل قطعة من القطع الخمس الأخرى، إذا كان متر القماش في هذه القطع يكلف 25، 40، 50، 80، 100 روبل، على التوالي؟ لحل هذه المشكلة لنقم بإنشاء جدول:

نحن بحاجة لملء الخلايا الفارغة في الصف العلوي من هذا الجدول. دعونا نحاول أولاً تحديد عدد الأمتار الموجودة في القطعة الثانية. يمكن القيام بذلك على النحو التالي. ومن ظروف المشكلة يعرف أن تكلفة جميع القطع واحدة. من السهل تحديد تكلفة القطعة الأولى: فهي تحتوي على 100 متر وكل متر يكلف 20 روبل، مما يعني أن أول قطعة من الحرير تبلغ قيمتها 2000 روبل. بما أن القطعة الثانية من الحرير تحتوي على نفس الكمية من الروبل، إذن، تقسيم 2000 روبل. ولسعر المتر الواحد أي 25 نجد حجم القطعة الثانية: 2000: 25 = 80 (م). وبنفس الطريقة سوف نجد حجم جميع القطع الأخرى. سيبدو الجدول كالتالي:

ومن السهل أن نرى أن هناك علاقة عكسية بين عدد الأمتار والسعر.

إذا قمت بالحسابات اللازمة بنفسك، ستلاحظ أنه في كل مرة عليك قسمة الرقم 2000 على سعر 1م، وعلى العكس، إذا بدأت الآن بضرب حجم القطعة بالمتر على سعر 1م ، سوف تحصل دائمًا على الرقم 2000، وكان من الضروري الانتظار، لأن كل قطعة تكلف 2000 روبل.

من هنا يمكننا استخلاص الاستنتاج التالي: بالنسبة لزوج معين من الكميات المتناسبة عكسيا، فإن منتج أي قيمة لكمية واحدة بالقيمة المقابلة لكمية أخرى هو رقم ثابت (أي لا يتغير).

في مشكلتنا هذا المنتج يساوي 2000، تأكد أنه في المشكلة السابقة التي تحدثت عن سرعة الحركة والوقت اللازم للانتقال من مدينة إلى أخرى، كان هناك أيضًا رقم ثابت لتلك المشكلة (1200).

مع الأخذ في الاعتبار كل ما سبق، فمن السهل استخلاص صيغة التناسب العكسي. دعونا نشير إلى قيمة معينة لكمية واحدة بالحرف X ، ويتم تمثيل القيمة المقابلة لكمية أخرى بالحرف في . ثم بناء على ما سبق العمل X على في يجب أن تكون مساوية لبعض القيمة الثابتة، والتي نشير إليها بالحرف ل، أي.

س ص = ل.

في هذه المساواة X - الضرب في - المضاعف و ك- عمل. وفقا لخاصية الضرب، فإن المضاعف يساوي حاصل قسمة المضاعف. وسائل،

هذه هي صيغة التناسب العكسي. وبواسطته يمكننا حساب أي عدد من قيم إحدى الكميتين المتناسبتين عكسيا، ومعرفة قيم الأخرى والعدد الثابت ل.

دعونا نفكر في مشكلة أخرى: "حسب مؤلف أحد المقالات أنه إذا كان كتابه بتنسيق عادي، فسيحتوي على 96 صفحة، ولكن إذا كان بتنسيق جيب، فسيكون به 300 صفحة. " لقد جرب خيارات مختلفة، بدأ بـ 96 صفحة، ثم انتهى بـ 2500 حرف في كل صفحة. ثم أخذ أرقام الصفحات المبينة في الجدول أدناه وقام مرة أخرى بحساب عدد الحروف التي ستكون في الصفحة.

دعونا نحاول حساب عدد الحروف الموجودة في الصفحة إذا كان الكتاب يحتوي على 100 صفحة.

يوجد 240.000 حرف في الكتاب بأكمله، حيث أن 2500 96 = 240.000.

ومع أخذ ذلك في الاعتبار، نستخدم صيغة التناسب العكسي ( في - عدد الحروف في الصفحة، X - عدد الصفحات):

في مثالنا ل= 240,000 إذن

إذن هناك 2400 حرف على الصفحة.

وبالمثل نتعلم أنه إذا كان الكتاب يحتوي على 120 صفحة، فإن عدد الحروف في الصفحة سيكون:

سيبدو جدولنا كالتالي:

املأ الخلايا المتبقية بنفسك.

§ 137. طرق أخرى لحل المسائل ذات الكميات المتناسبة عكسيا.

في الفقرة السابقة قمنا بحل المسائل التي تضمنت شروطها الكميات المتناسبة عكسيا. لقد استنتجنا أولاً صيغة التناسب العكسي ثم طبقنا هذه الصيغة. سنعرض الآن حلين آخرين لمثل هذه المشاكل.

1. طريقة الاختزال إلى الوحدة.

مهمة.يمكن لـ 5 عمال خراطة القيام ببعض الأعمال خلال 16 يومًا. في كم يوم يستطيع 8 عمال خراطة إكمال هذا العمل؟

حل.هناك علاقة عكسية بين عدد الخراطين وساعات العمل. إذا قام 5 عمال بالمهمة في 16 يومًا، فسيحتاج شخص واحد إلى 5 أضعاف الوقت للقيام بذلك، أي.

5 عمال ينهون المهمة في 16 يومًا

سوف يكمله 1 تيرنر في 16 5 = 80 يومًا.

تسأل المشكلة عن عدد الأيام التي سيستغرقها 8 عمال خراطة لإكمال المهمة. من الواضح أنهم سوف يتعاملون مع العمل بشكل أسرع 8 مرات من 1 تيرنر، أي

80: 8 = 10 (أيام).

وهذا هو حل المشكلة من خلال اختزالها إلى الوحدة. هنا كان من الضروري أولاً تحديد الوقت اللازم لإنجاز العمل بواسطة عامل واحد.

2. طريقة التناسب.دعونا نحل نفس المشكلة بالطريقة الثانية.

وبما أن هناك علاقة عكسية بين عدد العمال ووقت العمل فيمكننا أن نكتب: مدة عمل 5 خراطة عدد جديد من الخراطة (8) مدة عمل 8 خراطة عدد الخراطة السابق (5) دعونا نشير إلى المدة المطلوبة للعمل بالرسالة X واستبدل الأرقام الضرورية بالنسبة المعبر عنها بالكلمات:

يتم حل نفس المشكلة بطريقة النسب. لحلها، كان علينا إنشاء نسبة من الأرقام المدرجة في بيان المشكلة.

ملحوظة.تناولنا في الفقرات السابقة مسألة التناسب المباشر والعكسي. تعطينا الطبيعة والحياة العديد من الأمثلة على الاعتماد التناسبي المباشر والعكسي للكميات. ومع ذلك، تجدر الإشارة إلى أن هذين النوعين من الاعتماد هما الأبسط فقط. وإلى جانبهم، هناك تبعيات أخرى أكثر تعقيدًا بين الكميات. بالإضافة إلى ذلك، لا ينبغي للمرء أن يعتقد أنه إذا زادت كميتان في وقت واحد، فمن الضروري أن يكون هناك تناسب طردي بينهما. وهذا بعيد كل البعد عن الحقيقة. على سبيل المثال، تزيد أسعار تذاكر السكك الحديدية تبعا للمسافة: كلما سافرنا أبعد، كلما دفعنا أكثر، ولكن هذا لا يعني أن الأجرة تتناسب مع المسافة.