العضلات

حل عدم المساواة الأسية: الطرق الأساسية. نظام عدم المساواة هو الحل. نظام عدم المساواة الخطية

يمكنك الآن فهم كيفية حل المتباينات الخطية a x + b<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

الطريقة الرئيسية لحلها هي استخدام التحويلات المكافئة التي تسمح للشخص بالوصول إلى ≠0 إلى عدم المساواة الأوليةاكتب س

، ≥)، p - رقم معين، وهو الحل المطلوب، و ل=0 - للمتباينات العددية للنموذج أ

، ≥) ، والتي يتم من خلالها استخلاص استنتاج حول حل المتراجحة الأصلية. سنقوم بتحليلها أولا.

كما أنه لا يضر النظر إلى حل المتباينات الخطية في متغير واحد من وجهات نظر أخرى. ولذلك، سنوضح أيضًا كيف يمكن حل المتباينة الخطية بيانيًا وباستخدام طريقة الفترات.

باستخدام التحويلات المكافئة

دعونا نحتاج إلى حل المتباينة الخطية a x+b<0 (≤, >، ≥). دعونا نوضح كيفية القيام بذلك باستخدام تحويلات المتباينة المكافئة.

تختلف الطرق اعتمادًا على ما إذا كان المعامل a للمتغير x يساوي الصفر أم لا. دعونا ننظر إليهم واحدا تلو الآخر. علاوة على ذلك، عند النظر في ذلك، سنلتزم بمخطط من ثلاث نقاط: أولا سنقدم جوهر العملية، ثم سنقدم خوارزمية لحل عدم المساواة الخطية، وأخيرا، سنقدم حلولا للأمثلة النموذجية.

لنبدأ مع خوارزمية لحل المتباينة الخطية a x+b<0 (≤, >، ≥) لـ ≠0.

أولاً، يتم نقل الرقم b إلى الجانب الأيمن من المتراجحة بإشارة معاكسة. هذا يسمح لنا بتمرير عدم المساواة المكافئة x<−b (≤, >, ≥).
ثانيًا، يتم قسمة طرفي المتباينة الناتجة على عدد غير الصفر أ. علاوة على ذلك، إذا كان a رقمًا موجبًا، فسيتم الاحتفاظ بعلامة عدم المساواة، وإذا كان a رقمًا سالبًا، فسيتم عكس علامة عدم المساواة. والنتيجة هي متباينة أولية تعادل المتباينة الخطية الأصلية، وهذا هو الجواب.

يبقى أن نفهم تطبيق الخوارزمية المعلنة باستخدام الأمثلة. دعونا نفكر في كيفية استخدامها لحل المتباينات الخطية لـ a≠0.

مثال.

حل المتراجحة 3·x+12≥0.

حل.

بالنسبة لمتباينة خطية معينة، لدينا a=3 وb=12. ومن الواضح أن المعامل a للمتغير x يختلف عن الصفر. دعونا نستخدم خوارزمية الحل المقابلة المذكورة أعلاه.

أولًا، ننقل الحد 12 إلى الجانب الأيمن من المتراجحة، دون أن ننسى تغيير إشارته، أي أن −12 سيظهر على الجانب الأيمن. ونتيجة لذلك، نصل إلى عدم المساواة المكافئة 3·x≥−12.

وثانيًا، نقسم طرفي المتباينة الناتجة على 3، نظرًا لأن 3 عدد موجب، فإننا لا نغير إشارة المتباينة. لدينا (3 x):3≥(−12):3، وهو نفس x≥−4.

إن عدم المساواة الأولية الناتجة x −−4 تعادل عدم المساواة الخطية الأصلية وهي الحل المطلوب.

إذن، حل المتباينة الخطية 3 x + 12≥0 هو أي عدد حقيقي أقل من أو يساوي سالب أربعة. يمكن أيضًا كتابة الإجابة على شكل فاصل عددي يتوافق مع المتباينة x≥−4، أي كـ (−∞, −4] .

بعد أن اكتسبت مهارة في العمل مع عدم المساواة الخطية، يمكن كتابة حلولها لفترة وجيزة دون تفسير. في هذه الحالة، اكتب أولاً عدم المساواة الخطية الأصلية، وأدناه - عدم المساواة المكافئة التي تم الحصول عليها في كل خطوة من خطوات الحل:
3 × + 12 ≥0؛
3 × ≥−12 ؛
س ≥−4 .

إجابة:

x≤−4 أو (−∞, −4] .

مثال.

أدرج جميع الحلول للمتباينة الخطية −2.7·z>0.

حل.

هنا المعامل a للمتغير z يساوي −2.7. والمعامل b غائب بالصورة الصريحة، أي أنه يساوي صفرًا. لذلك، لا يلزم تنفيذ الخطوة الأولى من خوارزمية حل المتباينة الخطية بمتغير واحد، لأن نقل الصفر من الجانب الأيسر إلى اليمين لن يغير شكل المتباينة الأصلية.

يبقى قسمة طرفي المتراجحة على −2.7، دون أن ننسى تغيير إشارة المتراجحة إلى الجهة المقابلة، لأن −2.7 عدد سالب. لدينا (−2.7 ض):(−2.7)<0:(−2,7) ، ثم ض<0 .

والآن باختصار:
−2.7·z>0;
ض<0 .

إجابة:

ض<0 или (−∞, 0) .

مثال.

حل عدم المساواة .

حل.

نحتاج إلى حل متباينة خطية باستخدام المعامل a للمتغير x الذي يساوي −5، والمعامل b الذي يتوافق مع الكسر −15/22. نمضي وفقًا للمخطط المعروف: أولاً ننقل −15/22 إلى الجانب الأيمن بعلامة معاكسة، وبعد ذلك نقسم طرفي المتباينة على الرقم السالب −5، مع تغيير علامة المتباينة:

يستخدم الانتقال الأخير على الجانب الأيمن ، ثم أعدم .

إجابة:

الآن دعنا ننتقل إلى الحالة عندما يكون a=0. مبدأ حل عدم المساواة الخطية أ س + ب<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0 , то есть, неравенства 0·x+b<0 , заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

على ماذا يعتمد هذا؟ بسيط جدًا: تحديد حل عدم المساواة. كيف؟ نعم، إليك الطريقة: بغض النظر عن قيمة المتغير x الذي نعوض به في المتباينة الخطية الأصلية، فسوف نحصل على متباينة عددية على الشكل b<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0 , откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

دعونا صياغة الحجج المذكورة أعلاه في النموذج خوارزمية لحل المتباينات الخطية 0 x+b<0 (≤, >, ≥) :

النظر في عدم المساواة العددية ب<0 (≤, >، ≥) و

إذا كان صحيحا، فإن حل المتراجحة الأصلية هو أي عدد؛
إذا كانت خاطئة، فإن المتباينة الخطية الأصلية ليس لها حلول.

الآن دعونا نفهم هذا مع الأمثلة.

مثال.

حل المتراجحة 0·x+7>0.

حل.

بالنسبة لأي قيمة للمتغير x، فإن المتباينة الخطية 0 x+7>0 ستتحول إلى المتباينة العددية 7>0. المتباينة الأخيرة صحيحة، وبالتالي فإن أي عدد هو حل للمتباينة الأصلية.

إجابة:

الحل هو أي رقم أو (−∞, +∞) .

مثال.

هل المتباينة الخطية 0·x−12.7≥0 لها حلول؟

حل.

إذا قمنا باستبدال أي رقم بدلاً من المتغير x، فإن المتباينة الأصلية تتحول إلى متباينة عددية −12.7≥0، وهذا غير صحيح. هذا يعني أنه لا يوجد رقم واحد يمثل حلاً للمتباينة الخطية 0·x−12.7≥0.

إجابة:

لا، لا.

في ختام هذا القسم، سنحلل حلول متباينتين خطيتين، معاملاهما يساوي صفرًا.

مثال.

أي من المتباينات الخطية 0·x+0>0 و 0·x+0≥0 ليس لها حلول، وأيها لها عدد لا نهائي من الحلول؟

حل.

إذا قمت باستبدال أي رقم بدلاً من المتغير x، فستأخذ المتباينة الأولى الشكل 0>0، والثانية - 0≥0. فالأول منهما غير صحيح، والثاني هو الصحيح. وبالتالي، فإن المتباينة الخطية 0·x+0>0 ليس لها حلول، والمتباينة 0·x+0≥0 لها عدد لا نهائي من الحلول، أي أن حلها هو أي رقم.

إجابة:

المتباينة 0 x+0>0 ليس لها حلول، والمتباينة 0 x+0≥0 لها عدد لا نهائي من الحلول.

طريقة الفاصل

بشكل عام، يتم دراسة طريقة الفترات في مقرر الجبر المدرسي بعد موضوع حل المتباينات الخطية في متغير واحد. لكن الطريقة الفاصلة تسمح لك بحل مجموعة متنوعة من المتباينات، بما في ذلك المتباينات الخطية. لذلك، دعونا نتناولها.

دعونا نلاحظ على الفور أنه من المستحسن استخدام طريقة الفاصل لحل المتباينات الخطية ذات معامل غير الصفر للمتغير x. في خلاف ذلكمن الأسرع والأكثر ملاءمة استخلاص استنتاج حول حل المتباينة باستخدام الطريقة التي تمت مناقشتها في نهاية الفقرة السابقة.

تتضمن طريقة الفاصل

تقديم دالة مقابلة للجانب الأيسر من المتباينة، في حالتنا - وظيفة خطيةص=أ س+ب ,
العثور على أصفارها، التي تقسم مجال التعريف إلى فترات،
تحديد العلامات التي لها قيم دالة على هذه الفترات، والتي على أساسها يتم التوصل إلى نتيجة حول حل عدم المساواة الخطية.

دعونا نجمع هذه اللحظات في خوارزمية، ويكشف عن كيفية حل المتباينات الخطية a x+b<0 (≤, >، ≥) لـ a≠0 باستخدام طريقة الفاصل:

تم العثور على أصفار الدالة y=a·x+b، والتي تم حل a·x+b=0 من أجلها. كما هو معروف، لـ a≠0 له جذر واحد، والذي نشير إليه بـ x 0 .
لقد تم بناؤه، وتم تصوير نقطة ذات إحداثيات × 0. علاوة على ذلك، إذا تم حل متباينة صارمة (مع الإشارة< или >)، فتوضع هذه النقطة متقطعة (بمركز فارغ)، وإذا لم تكن صارمة (بعلامة ≥ أو ≥)، فتوضع نقطة منتظمة. تقسم هذه النقطة خط الإحداثيات إلى فترتين (−∞, x 0) و (x 0, +∞).
يتم تحديد علامات الدالة y=a·x+b على هذه الفترات. للقيام بذلك، يتم حساب قيمة هذه الدالة عند أي نقطة في الفترة (−∞، x 0)، وستكون إشارة هذه القيمة هي الإشارة المطلوبة على الفترة (−∞، x 0). وبالمثل، فإن الإشارة الموجودة على الفترة (x 0 , +∞) تتزامن مع إشارة قيمة الدالة y=a·x+b عند أي نقطة في هذه الفترة. لكن يمكنك الاستغناء عن هذه الحسابات واستخلاص استنتاجات حول العلامات بناءً على قيمة المعامل a: إذا كانت a>0، فسيكون هناك على الفترات (−∞، x 0) و (x 0، +∞) العلامات - و +، على التوالي، وإذا كان a >0، ثم + و -.
إذا تم حل المتباينات ذات العلامات > أو ≥، فسيتم وضع فتحة فوق الفجوة مع علامة زائد، وإذا تم حل المتباينات ذات العلامات< или ≤, то – со знаком минус. В результате получается , которое и является искомым решением линейного неравенства.

لنفكر في مثال لحل المتباينة الخطية باستخدام طريقة الفاصل.

مثال.

حل المتراجحة −3·x+12>0.

حل.

وبما أننا نقوم بتحليل طريقة الفاصل، فسوف نستخدمها. وفقًا للخوارزمية، نجد أولاً جذر المعادلة −3·x+12=0, −3·x=−12, x=4. بعد ذلك، نرسم خطًا إحداثيًا ونحدد نقطة عليه بالإحداثيات 4، ونجعل هذه النقطة مثقوبة، لأننا نحل متباينة صارمة:

الآن نحدد العلامات على الفواصل الزمنية. لتحديد الإشارة على الفترة (−∞, 4)، يمكنك حساب قيمة الدالة y=−3·x+12، على سبيل المثال، عند x=3. لدينا −3·3+12=3>0، مما يعني وجود علامة + في هذه الفترة. لتحديد الإشارة على فترة أخرى (4، +∞)، يمكنك حساب قيمة الدالة y=−3 x+12، على سبيل المثال، عند النقطة x=5. لدينا −3·5+12=−3<0 , значит, на этом промежутке знак −. Эти же выводы можно было сделать на основании значения коэффициента при x : так как он равен −3 , то есть, он отрицательный, то на промежутке (−∞, 4) будет знак +, а на промежутке (4, +∞) знак −. Проставляем определенные знаки над соответствующими промежутками:

بما أننا نحل المتباينة بعلامة >، فإننا نرسم تظليلًا فوق الفجوة بعلامة +، فيأخذ الرسم الشكل

وبناء على الصورة الناتجة نستنتج أن الحل المطلوب هو (−∞, 4) أو برمز آخر x<4 .

إجابة:

(−∞, 4) أو س<4 .

بيانيا

ومن المفيد أن يكون لديك فهم للتفسير الهندسي لحل المتباينات الخطية في متغير واحد. للحصول على ذلك، دعونا نفكر في أربع متباينات خطية لها نفس الطرف الأيسر: 0.5 x−1<0 , 0,5·x−1≤0 , 0,5·x−1>0 و 0.5 x−1≥0 حلولهما هي x<2 , x≤2 , x>2 وx≥2، وارسم أيضًا رسمًا بيانيًا للدالة الخطية y=0.5 x−1.

من السهل ملاحظة ذلك

حل للمتباينة 0.5 x−1<0 представляет собой промежуток, на котором график функции y=0,5·x−1 располагается ниже оси абсцисс (эта часть графика изображена синим цветом),
يمثل حل المتباينة 0.5 x−1≥0 الفاصل الزمني الذي يكون فيه الرسم البياني للدالة y=0.5 x−1 أسفل محور الثور أو يتزامن معه (بمعنى آخر، ليس فوق محور الإحداثي السيني)،
وبالمثل، فإن حل المتباينة 0.5 x−1>0 هو الفاصل الزمني الذي يكون فيه الرسم البياني للدالة أعلى محور الثور (يظهر هذا الجزء من الرسم البياني باللون الأحمر)،
وحل المتباينة 0.5·x−1≥0 هو الفاصل الزمني الذي يكون فيه الرسم البياني للدالة أعلى أو يتزامن مع محور الإحداثي السيني.

طريقة رسومية لحل عدم المساواة، على وجه الخصوص الخطي، ويعني إيجاد الفواصل الزمنية التي يقع فيها الرسم البياني للدالة المقابلة للجانب الأيسر من عدم المساواة أعلى أو أسفل أو ليس أسفل أو ليس فوق الرسم البياني للوظيفة المقابلة للجانب الأيمن من عدم المساواة. في حالتنا من عدم المساواة الخطية، الدالة المقابلة للجانب الأيسر هي y=a·x+b، والجانب الأيمن هو y=0، بالتزامن مع محور الثور.

وبالنظر إلى المعلومات المقدمة، فمن السهل صياغتها خوارزمية لحل عدم المساواة الخطية بيانيا:

تم إنشاء رسم بياني للدالة y=a x+b (ممكن تخطيطيًا) و

عند حل المتراجحة a x+b<0 определяется промежуток, на котором график ниже оси Ox ,
عند حل المتراجحة a x+b≥0، يتم تحديد الفاصل الزمني الذي يكون فيه الرسم البياني أقل أو يتزامن مع محور الثور،
عند حل المتراجحة a x+b>0، يتم تحديد الفاصل الزمني الذي يكون فيه الرسم البياني أعلى محور الثور،
عند حل المتراجحة a·x+b≥0، يتم تحديد الفاصل الزمني الذي يكون فيه الرسم البياني أعلى أو يتزامن مع محور الثور.

مثال.

حل عدم المساواة بيانيا.

حل.

لنرسم رسمًا بيانيًا للدالة الخطية . هذا خط مستقيم متناقص، لأن معامل x سالب. ونحتاج أيضًا إلى إحداثيات نقطة تقاطعها مع المحور السيني، فهي جذر المعادلة ، وهو ما يعادل . لتلبية احتياجاتنا، لا نحتاج حتى إلى تصوير محور أوي. لذلك سيبدو رسمنا التخطيطي هكذا

بما أننا نحل متباينة بعلامة >، فنحن مهتمون بالفترة التي يكون فيها الرسم البياني للدالة أعلى محور الثور. من أجل الوضوح، دعونا نسلط الضوء على هذا الجزء من الرسم البياني باللون الأحمر، ومن أجل تحديد الفاصل الزمني المقابل لهذا الجزء بسهولة، نسلط الضوء باللون الأحمر على جزء المستوى الإحداثي الذي يقع فيه الجزء المحدد من الرسم البياني، كما في الشكل أدناه:

الفجوة التي نهتم بها هي جزء محور الثور المميز باللون الأحمر. ومن الواضح أن هذا هو شعاع رقم مفتوح . هذا هو الحل الذي نبحث عنه. لاحظ أننا إذا كنا نحل المتباينة ليس باستخدام الإشارة >، ولكن باستخدام إشارة المتباينة غير الصارمة ≥، فسيتعين علينا إضافة الإجابة، لأنه في هذه المرحلة الرسم البياني للدالة يتزامن مع محور الثور .y=0·x+7، وهو نفس المحور y=7، ويحدد خطًا مستقيمًا على المستوى الإحداثي الموازي لمحور الثور ويقع فوقه. وبالتالي فإن المتباينة 0x+7<=0 не имеет решений, так как нет промежутков, на которых график функции y=0·x+7 ниже оси абсцисс.

والرسم البياني للدالة y=0·x+0، وهو نفس y=0، هو خط مستقيم يتطابق مع محور الثور. ولذلك، فإن حل المتراجحة 0·x+0≥0 هو مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.

إجابة:

المتباينة الثانية حلها هو أي عدد حقيقي.

عدم المساواة التي تقلل إلى الخطية

يمكن استبدال عدد كبير من المتباينات بمتباينات خطية مكافئة باستخدام تحويلات مكافئة، وبعبارة أخرى، اختزالها إلى متباينة خطية. تسمى هذه التفاوتات عدم المساواة التي تقلل إلى الخطية.

في المدرسة، في نفس الوقت تقريبًا مع حل عدم المساواة الخطية، يتم أيضًا أخذ عدم المساواة البسيطة التي تتحول إلى عدم المساواة الخطية في الاعتبار. وهي حالات خاصة عدم المساواة بأكملهاأي في جزئها الأيمن والأيسر هناك تعبيرات كاملة تمثل أو ذوات الحدين الخطية، أو يتم تحويلها إليهم بواسطة و . من أجل الوضوح، نعطي عدة أمثلة على هذه المتباينات: 5−2·x>0, 7·(x−1)+3≥4·x−2+x, .

يمكن دائمًا اختزال أوجه عدم المساواة المشابهة في الشكل لتلك المذكورة أعلاه إلى حالات عدم المساواة الخطية. ويمكن القيام بذلك عن طريق فتح القوسين، وإحضار الحدود المتشابهة، وإعادة ترتيب الحدود، ونقل الحدود من أحد طرفي المتباينة إلى الطرف الآخر بالإشارة المعاكسة.

على سبيل المثال، لتقليل المتباينة 5−2 x>0 إلى خطية، يكفي إعادة ترتيب الحدود على الجانب الأيسر، لدينا −2 x+5>0. لتقليل المتباينة الثانية 7·(x−1)+3≥4·x−2+x إلى خطية، تحتاج إلى المزيد من الخطوات: على الجانب الأيسر نفتح الأقواس 7·x−7+3≥4· x−2+x ، بعد لتحقيق ذلك، نقدم حدود متشابهة في كلا الجانبين 7 x−4≥5 x−2 ، ثم ننقل الحدود من الجانب الأيمن إلى الجانب الأيسر 7 x−4−5 x+2 ≥0 وأخيرًا، نقدم مصطلحات مماثلة في الجانب الأيسر 2 ·x−2≥0 . وبالمثل، يمكن اختزال المتباينة الثالثة إلى متباينة خطية.

ونظرًا لحقيقة أن مثل هذه التفاوتات يمكن دائمًا اختزالها إلى تفاوتات خطية، فإن بعض المؤلفين يطلقون عليها اسم "خطية" أيضًا. لكننا سنظل نعتبرها قابلة للاختزال إلى خطية.

أصبح من الواضح الآن سبب اعتبار هذه المتباينات مع المتباينات الخطية. ومبدأ حلها هو نفسه تمامًا: من خلال إجراء تحويلات مكافئة، يمكن اختزالها إلى المتباينات الأولية، وهي الحلول المطلوبة.

لحل متباينة من هذا النوع، يمكنك أولًا تحويلها إلى متباينة خطية، ثم حل هذه المتباينة الخطية. ولكن من الأكثر عقلانية وملاءمة القيام بذلك:

بعد فتح القوسين، اجمع كل الحدود مع المتغير الموجود على الجانب الأيسر من المتراجحة، وجميع الأرقام الموجودة على اليمين،
ثم أحضر مصطلحات مماثلة،
ثم قسّم طرفي عدم المساواة الناتجة على معامل x (إذا كان بالطبع مختلفًا عن الصفر). هذا سوف يعطي الجواب.

مثال.

حل المتراجحة 5·(x+3)+x≥6·(x−3)+1.

حل.

أولاً، دعونا نفتح الأقواس، ونتيجة لذلك نصل إلى المتراجحة 5 x + 15 + x ≥ 6 x − 18 + 1 . الآن دعونا نعطي مصطلحات مماثلة: 6 x+15≤6 x−17 . ثم ننقل الحدود من الجانب الأيسر، فنحصل على 6 x+15−6 x+17<0، ومرة أخرى نأتي بحدود مماثلة (مما يقودنا إلى المتباينة الخطية 0 x+32<0) ولدينا 32< 0. وهكذا توصلنا إلى متباينة عددية غير صحيحة، ونستنتج منها أن المتباينة الأصلية ليس لها حلول.

إجابة:

لا توجد حلول.

وفي الختام، نلاحظ أن هناك الكثير من المتباينات الأخرى التي يمكن اختزالها إلى متباينات خطية، أو إلى متباينات من النوع المذكور أعلاه. على سبيل المثال الحل عدم المساواة الأسية 5 2 x−1 ≥1 يختزل لحل المتراجحة الخطية 2 x−1≥0 . لكننا سنتحدث عن هذا عند تحليل حلول المتباينات ذات الشكل المقابل.

مراجع.

الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. التعليم العام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ تم تحريره بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
الجبر:الصف التاسع: تعليمي. للتعليم العام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ تم تحريره بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2009. - 271 ص. : سوف. -ردمك 978-5-09-021134-5.
موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف الثامن. في ساعتين الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام / أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة الحادية عشرة، محذوفة. - م: منيموسين، 2009. - 215 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01155-2.
موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف التاسع. في ساعتين الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام / A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة 13، محذوفة. - م: منيموسين، 2011. - 222 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01752-3.
موردكوفيتش أ.ج.الجبر وبدايات التحليل الرياضي. الصف الحادي عشر. في ساعتين الجزء الأول. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام (مستوى الملف الشخصي) / A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة الثانية، محذوفة. - م: منيموسين، 2008. - 287 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01027-2.

تعد المتباينات وأنظمة عدم المساواة أحد الموضوعات التي يتم تناولها في الجبر في المدرسة الثانوية. من حيث مستوى الصعوبة، فهو ليس الأصعب، لأنه يحتوي على قواعد بسيطة (المزيد عنها لاحقًا). كقاعدة عامة، يتعلم تلاميذ المدارس حل أنظمة عدم المساواة بسهولة تامة. ويرجع ذلك أيضًا إلى حقيقة أن المعلمين يقومون ببساطة "بتدريب" طلابهم على هذا الموضوع. ولا يمكنهم إلا أن يفعلوا ذلك، لأنه يتم دراسته في المستقبل باستخدام كميات رياضية أخرى، ويتم اختباره أيضًا في امتحان الدولة الموحدة وامتحان الدولة الموحدة. في الكتب المدرسية، يتم تناول موضوع عدم المساواة وأنظمة عدم المساواة بتفصيل كبير، لذلك إذا كنت ستدرسه، فمن الأفضل اللجوء إليها. تلخص هذه المقالة فقط المواد الأكبر حجمًا وقد يكون هناك بعض الإغفالات.

مفهوم نظام عدم المساواة

إذا انتقلنا إلى اللغة العلمية، يمكننا تحديد مفهوم "نظام عدم المساواة". هذا نموذج رياضي يمثل العديد من عدم المساواة. هذا النموذج، بالطبع، يتطلب حلا، وسيكون هذا هو الجواب العام لجميع متباينات النظام المقترح في المهمة (عادة ما يتم كتابته بهذه الطريقة، على سبيل المثال: “حل نظام المتباينات 4 x + 1 >” 2 و 30 - س > 6... "). ومع ذلك، قبل الانتقال إلى أنواع وطرق الحلول، عليك أن تفهم شيئا آخر.

أنظمة عدم المساواة وأنظمة المعادلات

عند تعلم موضوع جديد، غالبا ما تنشأ سوء الفهم. من ناحية، كل شيء واضح وتريد البدء في حل المهام في أقرب وقت ممكن، ولكن من ناحية أخرى، تظل بعض اللحظات في "الظل" وغير مفهومة بالكامل. كما أن بعض عناصر المعرفة المكتسبة بالفعل قد تتشابك مع عناصر جديدة. ونتيجة لهذا "التداخل" تحدث الأخطاء غالبًا.

لذلك، قبل أن نبدأ في تحليل موضوعنا، يجب أن نتذكر الاختلافات بين المعادلات والمتباينات وأنظمتها. للقيام بذلك، نحتاج مرة أخرى إلى شرح ما تمثله هذه المفاهيم الرياضية. المعادلة دائمًا مساواة، وهي دائمًا تساوي شيئًا ما (في الرياضيات يُشار إلى هذه الكلمة بالعلامة "="). عدم المساواة هو نموذج تكون فيه إحدى القيم إما أكبر أو أقل من قيمة أخرى، أو تحتوي على بيان بأنها ليست متماثلة. وبالتالي، في الحالة الأولى، من المناسب الحديث عن المساواة، وفي الثانية، بغض النظر عن مدى وضوح ذلك من الاسم نفسه، حول عدم المساواة في البيانات الأولية. أنظمة المعادلات والمتباينات لا تختلف عمليا عن بعضها البعض وطرق حلها هي نفسها. والفرق الوحيد هو أنه في الحالة الأولى يتم استخدام المتباينات، وفي الحالة الثانية يتم استخدام المتباينات.

أنواع عدم المساواة

هناك نوعان من المتباينات: رقمية ومتباينة ذات متغير غير معروف. يمثل النوع الأول الكميات (الأرقام) المتوفرة غير المتساوية مع بعضها البعض، على سبيل المثال، 8 > 10. أما النوع الثاني فهو المتباينات التي تحتوي على متغير غير معروف (يُشار إليه بحرف من الأبجدية اللاتينية، غالبًا X). يجب العثور على هذا المتغير. اعتمادًا على عدد المتباينات، يميز النموذج الرياضي بين المتباينات ذات متباينة واحدة (تشكل نظامًا من المتباينات بمتغير واحد) أو عدة متغيرات (تشكل نظامًا من المتباينات بمتغيرات متعددة).

وينقسم النوعان الأخيران حسب درجة بنائهما ومستوى تعقيد الحل إلى بسيط ومعقد. وتسمى تلك البسيطة أيضًا بعدم المساواة الخطية. وهم بدورهم ينقسمون إلى صارمين وغير صارمين. "يقول" المتشددون على وجه التحديد أن الكمية الواحدة يجب بالضرورة أن تكون أقل أو أكثر، وبالتالي فهذه متباينة محضة. يمكن إعطاء عدة أمثلة: 8 x + 9 > 2، 100 - 3 x > 5، إلخ. تتضمن الأمثلة غير الصارمة أيضًا المساواة. أي أن إحدى القيم يمكن أن تكون أكبر من أو تساوي قيمة أخرى (علامة "≥") أو أقل من أو تساوي قيمة أخرى (علامة "≥"). حتى في المتباينات الخطية، لا يكون المتغير عند الجذر أو التربيع أو قابلاً للقسمة على أي شيء، ولهذا السبب يطلق عليه "بسيط". تتضمن المتغيرات المعقدة متغيرات غير معروفة تتطلب المزيد من الرياضيات للعثور عليها. غالبًا ما تكون موجودة في مربع أو مكعب أو تحت جذر، ويمكن أن تكون معيارية أو لوغاريتمية أو كسرية، وما إلى ذلك. ولكن نظرًا لأن مهمتنا هي الحاجة إلى فهم حل أنظمة عدم المساواة، فسنتحدث عن نظام عدم المساواة الخطية . ومع ذلك، قبل ذلك، ينبغي أن يقال بضع كلمات عن خصائصها.

خصائص عدم المساواة

تشمل خصائص عدم المساواة ما يلي:

يتم عكس علامة المتباينة إذا تم استخدام عملية لتغيير ترتيب الجوانب (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2، ثم t 2 ≥ t 1).
يتيح لك كلا طرفي المتراجحة إضافة نفس الرقم إلى نفسه (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2، فإن t 1 + رقم ≥ t 2 + رقم).
تسمح متباينتان أو أكثر بإشارة في نفس الاتجاه بإضافة ضلعيهما الأيسر والأيمن (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2، t 3 ≥ t 4، ثم t 1 + t 3 ≥ t 2 + t 4) .
يمكن ضرب طرفي المتراجحة أو قسمتهما على نفس الرقم الموجب (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2 ورقم ≥ 0، فإن الرقم · t 1 ≥ الرقم · t 2).
تسمح متباينتان أو أكثر لها حدود موجبة وإشارة في نفس الاتجاه بضرب بعضها البعض (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2، t 3 ≥ t 4، t 1، t 2، t 3، t 4 ≥ 0 ثم ر 1 · ر 3 ≥ ر 2 · ر 4).
يسمح كلا جزأي المتراجحة بأن يتم ضربهما أو قسمتهما على نفس الرقم السالب، ولكن في هذه الحالة تتغير علامة المتراجحة (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2 ورقم ≥ 0، فإن الرقم · t 1 ≥ رقم · ر 2).
جميع المتباينات لها خاصية العبور (على سبيل المثال، إذا كان t 1 ≥ t 2 و t 2 ≥ t 3، فإن t 1 ≥ t 3).

والآن، وبعد دراسة المبادئ الأساسية للنظرية المتعلقة بالمتباينات، يمكننا أن ننتقل مباشرة إلى النظر في قواعد حل أنظمتها.

حل أنظمة عدم المساواة. معلومات عامة. الحلول

وكما ذكرنا أعلاه فإن الحل هو قيم المتغير المناسبة لجميع متباينات النظام المعطى. حل أنظمة المتباينات هو تنفيذ عمليات رياضية تؤدي في النهاية إلى حل النظام بأكمله أو إثبات عدم وجود حلول له. في هذه الحالة، يقال أن المتغير ينتمي إلى مجموعة رقمية فارغة (مكتوبة على النحو التالي: حرف يدل على متغير∈ (علامة "ينتمي") ø (علامة "مجموعة فارغة")، على سبيل المثال، x ∈ ø (اقرأ: "المتغير "x" ينتمي إلى المجموعة الفارغة"). هناك عدة طرق لحل أنظمة المتباينات: طريقة الرسم، والجبر، والاستبدال. ومن الجدير بالذكر أنها تشير إلى تلك النماذج الرياضية التي تحتوي على عدة متغيرات غير معروفة. وفي حالة وجود واحد فقط، تكون طريقة الفاصل مناسبة.

الطريقة الرسومية

يسمح لك بحل نظام من المتباينات بعدة كميات غير معروفة (من اثنين فما فوق). بفضل هذه الطريقة، يمكن حل نظام من المتباينات الخطية بسهولة وسرعة، لذا فهي الطريقة الأكثر شيوعًا. ويفسر ذلك حقيقة أن رسم الرسم البياني يقلل من كمية العمليات الحسابية المكتوبة. يصبح من الممتع بشكل خاص أخذ استراحة قصيرة من القلم والتقاط قلم رصاص باستخدام المسطرة والبدء في المزيد من الإجراءات بمساعدتهم عندما يتم إنجاز الكثير من العمل وتريد القليل من التنوع. ومع ذلك، فإن بعض الأشخاص لا يحبون هذه الطريقة لأنه يتعين عليهم الابتعاد عن المهمة وتحويل نشاطهم العقلي إلى الرسم. ومع ذلك، هذه طريقة فعالة للغاية.

لحل نظام من المتباينات باستخدام طريقة رسومية، من الضروري نقل جميع حدود كل متباينة إلى جانبها الأيسر. سيتم عكس العلامات، ويجب كتابة الصفر على اليمين، ثم يجب كتابة كل متباينة على حدة. ونتيجة لذلك، سيتم الحصول على الوظائف من عدم المساواة. بعد ذلك، يمكنك إخراج قلم رصاص ومسطرة: الآن تحتاج إلى رسم رسم بياني لكل دالة تم الحصول عليها. ستكون مجموعة الأرقام الكاملة التي ستكون في فترة تقاطعها بمثابة حل لنظام المتباينات.

الطريقة الجبرية

يسمح لك بحل نظام من عدم المساواة بمتغيرين غير معروفين. كما يجب أن تحتوي المتباينات على نفس علامة المتباينة (أي أنها يجب أن تحتوي إما على علامة "أكبر من" فقط، أو علامة "أقل من" فقط، وما إلى ذلك). وعلى الرغم من قيودها، إلا أن هذه الطريقة أكثر تعقيدًا أيضًا. يتم تطبيقه على مرحلتين.

الأول يتضمن إجراءات للتخلص من أحد المتغيرات غير المعروفة. تحتاج أولا إلى تحديده، ثم التحقق من وجود أرقام أمام هذا المتغير. إذا لم تكن موجودة (سيبدو المتغير كحرف واحد)، فإننا لا نغير أي شيء، إذا كانت موجودة (سيكون نوع المتغير، على سبيل المثال، 5y أو 12y)، فمن الضروري إجراء التأكد من أن الرقم الموجود أمام المتغير المحدد هو نفسه في كل متباينة. للقيام بذلك، تحتاج إلى ضرب كل حد من المتباينات في عامل مشترك، على سبيل المثال، إذا تم كتابة 3y في المتباينة الأولى، و5y في الثانية، فأنت بحاجة إلى ضرب جميع حدود المتباينة الأولى في 5 والثاني بمقدار 3. تحصل على 15y و15y على التوالي.

المرحلة الثانية من الحل. ومن الضروري نقل الطرف الأيسر من كل متباينة إلى طرفها الأيمن، مع تغيير إشارة كل حد إلى عكسها، وكتابة صفر على اليمين. ثم يأتي الجزء الممتع: التخلص من المتغير المحدد (المعروف أيضًا باسم "التخفيض") مع إضافة المتباينات. وينتج عن هذا عدم المساواة بمتغير واحد يحتاج إلى حل. بعد ذلك، عليك أن تفعل الشيء نفسه، فقط مع متغير آخر غير معروف. النتائج التي تم الحصول عليها ستكون حل النظام.

طريقة الاستبدال

يسمح لك بحل نظام من عدم المساواة إذا كان من الممكن إدخال متغير جديد. عادةً، يتم استخدام هذه الطريقة عندما يتم رفع المتغير المجهول في أحد حدود المتراجحة إلى القوة الرابعة، ويتم تربيعه في الحد الآخر. وبالتالي، تهدف هذه الطريقة إلى تقليل درجة عدم المساواة في النظام. يتم حل متباينة العينة x 4 - x 2 - 1 ≥ 0 بهذه الطريقة. تم تقديم متغير جديد، على سبيل المثال t. يكتبون: "Let t = x 2"، ثم تتم إعادة كتابة النموذج بشكل جديد. في حالتنا، نحصل على t 2 - t - 1 ≥0. يجب حل هذه المتباينة باستخدام طريقة الفاصل (سنتحدث عن ذلك لاحقًا)، ثم العودة إلى المتغير X، ثم فعل الشيء نفسه مع المتباينة الأخرى. الإجابات المستلمة ستكون حل النظام.

طريقة الفاصل

هذه هي أبسط طريقة لحل أنظمة عدم المساواة، وهي في نفس الوقت عالمية وواسعة الانتشار. يتم استخدامه في المدارس الثانوية وحتى في المدارس العليا. يكمن جوهرها في حقيقة أن الطالب يبحث عن فترات عدم المساواة على خط الأعداد، والذي يتم رسمه في دفتر ملاحظات (هذا ليس رسمًا بيانيًا، ولكنه مجرد خط عادي به أرقام). حيثما تتقاطع فترات المتباينات، يتم إيجاد حل النظام. لاستخدام طريقة الفاصل الزمني، عليك اتباع الخطوات التالية:

يتم نقل جميع حدود كل متباينة إلى الجانب الأيسر مع تغيير الإشارة إلى العكس (يكتب الصفر على اليمين).
تتم كتابة المتباينات بشكل منفصل ويتم تحديد حل كل منها.
تم العثور على تقاطعات المتباينات على خط الأعداد. جميع الأرقام الموجودة في هذه التقاطعات ستكون حلاً.

ما هي الطريقة التي يجب أن أستخدمها؟

من الواضح أنه يبدو الأسهل والأكثر ملاءمة، ولكن هناك حالات تتطلب فيها المهام طريقة معينة. غالبًا ما يقولون أنك بحاجة إلى الحل إما باستخدام الرسم البياني أو طريقة الفاصل الزمني. نادرًا ما يتم استخدام الطريقة الجبرية والاستبدال أو لا يتم استخدامها على الإطلاق، نظرًا لأنها معقدة ومربكة للغاية، بالإضافة إلى أنها تستخدم أكثر لحل أنظمة المعادلات بدلاً من عدم المساواة، لذلك يجب عليك اللجوء إلى رسم الرسوم البيانية والفواصل الزمنية. إنها توفر الوضوح الذي لا يمكن إلا أن يساهم في التنفيذ الفعال والسريع للعمليات الرياضية.

إذا لم ينجح شيء ما

أثناء دراسة موضوع معين في الجبر، بطبيعة الحال، قد تنشأ مشاكل في فهمه. وهذا أمر طبيعي، لأن دماغنا مصمم بطريقة تجعله غير قادر على فهم المواد المعقدة دفعة واحدة. غالبًا ما تحتاج إلى إعادة قراءة فقرة ما، أو طلب المساعدة من المعلم، أو التدرب على حل المهام القياسية. في حالتنا، تبدو على سبيل المثال كما يلي: "حل نظام المتباينات 3 x + 1 ≥ 0 و2 x - 1 > 3". وبالتالي، فإن الرغبة الشخصية والمساعدة من الغرباء والممارسة تساعد في فهم أي موضوع معقد.

حلالا؟

كتاب الحلول مناسب جدًا أيضًا، ليس لنسخ الواجبات المنزلية، بل للمساعدة الذاتية. يمكنك العثور فيها على أنظمة عدم المساواة مع الحل، والنظر إليها (كقوالب)، وحاول أن تفهم بالضبط كيف تعامل مؤلف الحل مع المهمة، ثم حاول أن تفعل الشيء نفسه بنفسك.

الاستنتاجات

يعد الجبر من أصعب المواد في المدرسة. حسنا، ماذا يمكنك أن تفعل؟ لقد كانت الرياضيات دائمًا على هذا النحو: بالنسبة للبعض فهي سهلة، ولكنها صعبة بالنسبة للبعض الآخر. ولكن على أي حال، يجب أن نتذكر أن برنامج التعليم العام منظم بحيث يمكن لأي طالب التعامل معه. وبالإضافة إلى ذلك، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار العدد الهائل من المساعدين. وقد ذكر البعض منهم أعلاه.

تسمى أي متباينة تتضمن دالة تحت الجذر غير عقلاني. هناك نوعان من عدم المساواة هذه:

في الحالة الأولى، يكون الجذر أقل من الدالة g(x)، وفي الحالة الثانية يكون أكبر. إذا ز (خ) - ثابت، تم تبسيط عدم المساواة إلى حد كبير. يرجى ملاحظة: ظاهريًا، تكون حالات عدم المساواة هذه متشابهة جدًا، لكن مخططات حلها مختلفة بشكل أساسي.

سنتعلم اليوم كيفية حل المتباينات غير العقلانية من النوع الأول - فهي الأبسط والأكثر قابلية للفهم. يمكن أن تكون علامة عدم المساواة صارمة أو غير صارمة. العبارة التالية صحيحة بالنسبة لهم:

نظرية. أي عدم مساواة غير عقلانية في النموذج

أي ما يعادل نظام عدم المساواة:

ليس ضعيفا؟ دعونا ننظر من أين يأتي هذا النظام:

f (x) ≥ g 2 (x) - كل شيء واضح هنا. هذه هي المتباينة الأصلية تربيع؛
f (x) ≥ 0 هو ODZ للجذر. دعني أذكرك: الجذر التربيعي الحسابي موجود فقط من غير سلبيأرقام؛
g(x) ≥ 0 هو نطاق الجذر. ومن خلال تربيع عدم المساواة، فإننا نحرق السلبيات. ونتيجة لذلك، قد تظهر جذور إضافية. المتباينة g(x) ≥ 0 تقطعها.

"يتعلق" العديد من الطلاب بعدم المساواة الأولى في النظام: f (x) ≥ g 2 (x) - وينسون تمامًا الاثنين الآخرين. والنتيجة متوقعة: قرار خاطئ ونقاط ضائعة.

نظرًا لأن المتباينات غير المنطقية موضوع معقد نوعًا ما، فلنلق نظرة على 4 أمثلة في وقت واحد. من الأساسي إلى المعقد حقًا. جميع المشاكل مأخوذة من امتحانات القبول بجامعة موسكو الحكومية. إم في لومونوسوف.

أمثلة على حل المشكلات

مهمة. حل عدم المساواة:

أمامنا كلاسيكي عدم المساواة غير العقلانية: و(س) = 2س + 3؛ ز(خ) = 2 - ثابت. لدينا:

ومن بين المتباينات الثلاثة، لم يبق إلا اثنتان فقط في نهاية الحل. لأن المتباينة 2 ≥0 تظل ثابتة دائمًا. دعونا نعبر أوجه عدم المساواة المتبقية:

لذا، x ∈ [−1.5; 0.5]. جميع النقاط مظللة بسبب عدم المساواة ليست صارمة.

مهمة. حل عدم المساواة:

نحن نطبق النظرية:

دعونا نحل المتباينة الأولى. للقيام بذلك، سوف نكشف عن مربع الفرق. لدينا:

2س 2 − 18س + 16< (x − 4) 2 ;
2س 2 − 18س + 16< x 2 − 8x + 16:
س 2 - 10س< 0;
س (س - 10)< 0;
س ∈ (0; 10).

الآن دعونا نحل المتباينة الثانية. هناك أيضا ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية:

2x 2 − 18x + 16 ≥ 0؛
س 2 − 9س + 8 ≥ 0؛
(س − 8)(س − 1) ≥ 0؛
س ∈ (−∞; 1]∪∪∪∪.

المثال الثالث. |1 - س| > 2 |س - 1|.

حل. الخطوة الأولى هي تحديد النقاط التي تختفي عندها الوظائف. بالنسبة للرقم الأيسر سيكون هذا الرقم 2، للرقم الأيمن - 1. يجب وضع علامة عليهم على الشعاع وتحديد فترات ثبات الإشارة.

في الفترة الأولى، من ناقص ما لا نهاية إلى 1، تأخذ الدالة على الجانب الأيسر من المتراجحة قيمًا موجبة، والدالة على الجانب الأيمن تأخذ قيمًا سالبة. تحت القوس تحتاج إلى كتابة علامتين "+" و "-" جنبًا إلى جنب.

الفاصل الزمني التالي هو من 1 إلى 2. فيه، تأخذ كلتا الدالتين قيمًا موجبة. وهذا يعني أن هناك إيجابيتين تحت القوس.

الفترة الثالثة من 2 إلى ما لا نهاية ستعطي النتيجة التالية: الدالة اليسرى سالبة، والدالة اليمنى موجبة.

مع الأخذ في الاعتبار العلامات الناتجة، تحتاج إلى حساب قيم عدم المساواة لجميع الفواصل الزمنية.

في البداية، نحصل على المتباينة التالية: 2 - x > - 2 (x - 1). والطرح الذي قبل الاثنين في المتباينة الثانية يرجع إلى أن هذه الدالة سالبة.

بعد التحويل، تبدو عدم المساواة كما يلي: x > 0. وتعطي على الفور قيم المتغير. أي أنه من هذا الفاصل الزمني سيتم الرد على الفاصل الزمني من 0 إلى 1 فقط.

وفي الثاني: 2 - س > 2 (س - 1). ستعطي التحويلات المتباينة التالية: -3x + 4 أكبر من الصفر. صفرها سيكون x = 4/3. مع الأخذ بعين الاعتبار علامة عدم المساواة، اتضح أن x يجب أن يكون أقل من هذا الرقم. وهذا يعني أن هذا الفاصل الزمني قد تم تقليله إلى فاصل زمني من 1 إلى 4/3.

الأخير يعطي المتباينة التالية: - (2 - x) > 2 (x - 1). ويؤدي تحويلها إلى ما يلي: -x > 0. أي أن المعادلة تكون صحيحة عندما تكون x أقل من الصفر. وهذا يعني أن المتباينة لا توفر الحلول في الفترة المطلوبة.

في الفترتين الأوليين، تبين أن رقم الحد هو 1. ويجب التحقق منه بشكل منفصل. أي أنه يمكنك التعويض بها في المتباينة الأصلية. اتضح: |2 - 1| > 2 |1 - 1|. يُظهر العد أن 1 أكبر من 0. هذه عبارة صحيحة، لذا يتم تضمين واحد في الإجابة.

الإجابة: x تقع في الفترة (0؛ 4/3).

يتم عرض الأنواع الرئيسية من عدم المساواة، بما في ذلك عدم المساواة برنولي، كوشي - بونياكوفسكي، مينكوفسكي، تشيبيشيف. النظر في خصائص المتباينات والأفعال عليها. وترد الطرق الأساسية لحل عدم المساواة.

صيغ عدم المساواة الأساسية

صيغ عدم المساواة العالمية

يتم استيفاء المتباينات العالمية لأي قيم للكميات المدرجة فيها. الأنواع الرئيسية لعدم المساواة العالمية مذكورة أدناه.

1) | أ ب | ≥ |أ| + |ب| ; | أ 1 أ 2 ... أ ن | ≥ |أ 1 | + |أ 2 | + ... + |أ ن |

2) |أ| + |ب| ≥ | أ - ب | ≥ | |أ| - |ب| |

3)
تحدث المساواة فقط عندما يكون a 1 = a 2 = ... = a n.

4) عدم المساواة بين كوشي وبونياكوفسكي

تتحقق المساواة إذا وفقط إذا كان α a k = β b k لجميع k = 1, 2, ..., n وبعض α, β, |α| + |β| > 0 .

5) متباينة مينكوفسكي، ل ع ≥ 1

صيغ عدم المساواة المرضية

يتم استيفاء المتباينات المرضية لقيم معينة للكميات المدرجة فيها.

1) متباينة برنولي:
.
بشكل أعم:
,
حيث ، أرقام لها نفس العلامة وأكبر من -1 : .
برنولي ليما:
.
انظر "أدلة عدم المساواة ومبدأ برنولي".

2)
لـ i ≥ 0 (i = 1, 2, ..., n) .

3) عدم المساواة في تشيبيشيف
في 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n و 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n
.
في 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n و ب 1 ≥ ب 2 ≥ ... ≥ ب ن > 0
.

4) عدم المساواة المعممة في تشيبيشيف
في 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n و 0 < b 1 ≤ b 2 ≤ ... ≤ b n و ك طبيعي
.
في 0 < a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n و ب 1 ≥ ب 2 ≥ ... ≥ ب ن > 0
.

خصائص عدم المساواة

خصائص عدم المساواة هي مجموعة من تلك القواعد التي يتم استيفاءها عند تحويلها. فيما يلي خصائص عدم المساواة. من المفهوم أن المتباينات الأصلية تتحقق لقيم x i (i = 1, 2, 3, 4) التي تنتمي إلى فترة زمنية محددة مسبقًا.

1) عندما يتغير ترتيب الأضلاع تتغير إشارة المتباينة إلى العكس.
إذا × 1< x 2 , то x 2 >× 1 .
إذا كان x 1 ≥ x 2، فإن x 2 ≥ x 1.
إذا كان x 1 ≥ x 2، فإن x 2 ≥ x 1.
إذا كان x 1> x 2 ثم x 2< x 1 .

2) المساواة الواحدة تعادل متباينتين غير صارمتين لهما علامات مختلفة.
إذا كان x 1 = x 2، فإن x 1 ≥ x 2 و x 1 ≥ x 2.
إذا كان x 1 ≥ x 2 و x 1 ≥ x 2، فإن x 1 = x 2.

3) خاصية العبور
إذا × 1< x 2 и x 2 < x 3 , то x 1 < x 3 .
إذا × 1< x 2 и x 2 ≤ x 3 , то x 1 < x 3 .
إذا كان x 1 ≥ x 2 و x 2< x 3 , то x 1 < x 3 .
إذا كان x 1 ≥ x 2 و x 2 ≥ x 3، فإن x 1 ≥ x 3.

4) يمكن إضافة (طرح) نفس العدد إلى طرفي المتراجحة.
إذا × 1< x 2 , то x 1 + A < x 2 + A .
إذا كان x 1 ≥ x 2، فإن x 1 + A ≥ x 2 + A.
إذا كان x 1 ≥ x 2، فإن x 1 + A ≥ x 2 + A.
إذا كان x 1 > x 2، فإن x 1 + A > x 2 + A.

5) إذا كانت هناك متباينتان أو أكثر لهما إشارة واحدة في الاتجاه فيمكن جمع ضلعيهما الأيسر والأيمن.
إذا × 1< x 2 , x 3 < x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
إذا × 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
إذا كان x 1 ≥ x 2 , x 3< x 4 , то x 1 + x 3 < x 2 + x 4 .
إذا كان x 1 ≥ x 2، x 3 ≥ x 4، فإن x 1 + x 3 ≥ x 2 + x 4.
تنطبق تعبيرات مماثلة على العلامات ≥، >.
إذا كانت المتباينات الأصلية تحتوي على علامات متباينات غير تامة ومتباينة تامة واحدة على الأقل (ولكن جميع العلامات لها نفس الاتجاه)، فإن عملية الإضافة تؤدي إلى متباينة تامة.

6) يمكن ضرب طرفي المتراجحة (قسمتها) على عدد موجب.
إذا × 1< x 2 и A >0، ثم أ × 1< A · x 2 .
إذا كان x 1 ≥ x 2 و A > 0، فإن A x 1 ≥ A x 2.
إذا كان x 1 ≥ x 2 و A > 0، فإن A x 1 ≥ A x 2.
إذا كان x 1 > x 2 و A > 0، فإن A · x 1 > A · x 2.

7) يمكن ضرب طرفي المتراجحة (قسمتها) على عدد سالب. وفي هذه الحالة تتغير إشارة المتباينة إلى العكس.
إذا × 1< x 2 и A < 0 , то A · x 1 >أ × 2.
إذا كان x 1 ≥ x 2 و A< 0 , то A · x 1 ≥ A · x 2 .
إذا كان x 1 ≥ x 2 و A< 0 , то A · x 1 ≤ A · x 2 .
إذا كان x 1> x 2 و A< 0 , то A · x 1 < A · x 2 .

8) إذا كان هناك متباينتان أو أكثر ذات حدود موجبة، وإشارة نفس الاتجاه، فيمكن ضرب ضلعيهما الأيسر والأيمن في بعضهما البعض.
إذا × 1< x 2 , x 3 < x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ثم × 1 × 3< x 2 · x 4 .
إذا × 1< x 2 , x 3 ≤ x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ثم × 1 × 3< x 2 · x 4 .
إذا كان x 1 ≥ x 2 , x 3< x 4 , x 1 , x 2 , x 3 , x 4 >0 ثم × 1 × 3< x 2 · x 4 .
إذا كان x 1 ≥ x 2، x 3 ≥ x 4، x 1، x 2، x 3، x 4 > 0 ثم x 1 x 3 ≥ x 2 x 4.
تنطبق تعبيرات مماثلة على العلامات ≥، >.
إذا كانت المتباينات الأصلية تحتوي على علامات متباينات غير تامة ومتباينة تامة واحدة على الأقل (ولكن جميع العلامات لها نفس الاتجاه)، فإن الضرب يؤدي إلى متباينة تامة.

9) اجعل f(x) دالة متزايدة بشكل رتيب. أي أنه لأي x 1 > x 2، f(x 1) > f(x 2).
إذا × 1< x 2 , то f(x 1) < f(x 2) .
إذا كان x 1 ≥ x 2 ثم f(x 1) ≥ f(x 2) .
إذا كان x 1 ≥ x 2 ثم f(x 1) ≥ f(x 2) .
إذا كان x 1 > x 2، فإن f(x 1) > f(x 2).

10) اجعل f(x) دالة تناقصية رتيبة، أي لأي x 1 > x 2، f(x 1)< f(x 2) . Тогда к обеим частям неравенства можно применить эту функцию, от чего знак неравенства изменится на противоположный.
إذا × 1< x 2 , то f(x 1) >و(× 2) .
إذا كان x 1 ≥ x 2 ثم f(x 1) ≥ f(x 2) .
إذا كان x 1 ≥ x 2 ثم f(x 1) ≥ f(x 2) .
إذا كان x 1 > x 2 ثم f(x 1)< f(x 2) .

طرق حل عدم المساواة

حل المتباينات باستخدام طريقة الفترات

تكون طريقة الفاصل قابلة للتطبيق إذا كانت المتراجحة تتضمن متغيرًا واحدًا، نشير إليه بالرمز x، وله الصيغة:
و(خ) > 0
حيث f(x) هي دالة مستمرة ذات عدد محدود من نقاط التوقف. علامة المتباينة يمكن أن تكون أي شيء: >، ≥،<, ≤ .

طريقة الفاصل الزمني هي كما يلي.

1) ابحث عن مجال تعريف الدالة f(x) وقم بتمييزه بفواصل على محور الرقم.

2) أوجد نقاط انقطاع الدالة f(x).

على سبيل المثال، إذا كان هذا كسرًا، فسنجد النقاط التي يصبح عندها المقام صفرًا. نحدد هذه النقاط على محور الأعداد.
3) حل المعادلة
و(خ) = 0 .

نحدد جذور هذه المعادلة على محور الأعداد.

4) ونتيجة لذلك، سيتم تقسيم محور الرقم إلى فترات (مقاطع) بالنقاط. ضمن كل فترة مدرجة في مجال التعريف، نختار أي نقطة وعند هذه النقطة نحسب قيمة الدالة. إذا كانت هذه القيمة أكبر من الصفر، فإننا نضع علامة "+" فوق المقطع (الفاصل الزمني).
إذا كانت هذه القيمة أقل من الصفر، فإننا نضع علامة "-" فوق المقطع (الفاصل الزمني).
5) إذا كانت المتراجحة بالشكل: f(x) > 0، فاختر الفواصل الزمنية التي تحمل علامة "+".< 0 , то выбираем интервалы с знаком „-“ . Решением неравенства будет объединение этих интервалов, в которые не входят их границы.
حل المتباينة هو جمع هذه الفترات التي لا تتضمن حدودها.

إذا كانت المتراجحة بالشكل: f(x) ≥ 0، فإننا نضيف إلى الحل نقاطًا يكون عندها f(x) = 0.

أي أن بعض الفواصل الزمنية قد تكون لها حدود مغلقة (تنتمي الحدود إلى الفاصل الزمني). قد يكون للجزء الآخر حدود مفتوحة (الحدود لا تنتمي إلى الفاصل الزمني).

وبالمثل، إذا كانت المتراجحة بالشكل: f(x)
إذا كانت المتراجحة بالشكل: f(x) ≥ 0، فإننا نضيف إلى الحل نقاطًا يكون عندها f(x) = 0.