التعبيرات الرياضية (الصيغ) الضرب المختصر(مربع المجموع والفرق، مكعب المجموع والفرق، فرق المربعات، مجموع وفرق المكعبات) لا يمكن الاستغناء عنها للغاية في العديد من مجالات العلوم الدقيقة. هذه الرموز الرمزية السبعة لا تقدر بثمن لتبسيط التعبيرات، وحل المعادلات، وضرب كثيرات الحدود، وتقليل الكسور، وحل التكاملات، وأكثر من ذلك بكثير. وهذا يعني أنه سيكون من المفيد جدًا فهم كيفية الحصول عليها، وسبب الحاجة إليها، والأهم من ذلك، كيفية تذكرها ثم تطبيقها. ثم التقديم صيغ الضرب المختصرةفي الممارسة العملية، سيكون أصعب شيء هو معرفة ما هو كائن Xوماذا لديك. من الواضح أنه لا توجد قيود على أو بلا، مما يعني أنه يمكن أن يكون أي تعبير رقمي أو أبجدي.

وهنا هم:

أولاً × 2 - عند 2 = (س - ص) (س+ص).لحساب اختلاف المربعاتتعبيرين، تحتاج إلى ضرب الاختلافات في هذه التعبيرات بمجموعها.

ثانية (س + ص) 2 = × 2 + 2xy + ص 2. للعثور على مربع المبلغتعبيرين، تحتاج إلى إضافة إلى مربع التعبير الأول المنتج المزدوج للتعبير الأول والثاني بالإضافة إلى مربع التعبير الثاني.

ثالث (س - ص) 2 = × 2 - 2س ص + ص 2. لحساب الفرق التربيعيتعبيرين، تحتاج إلى طرح من مربع التعبير الأول ضعف ناتج التعبير الأول في الثاني بالإضافة إلى مربع التعبير الثاني.

الرابع (س + ص) 3 = × 3 + 3x 2 ص + 3 س ص 2 + عند 3.لحساب مكعب المبلغتعبيرين، تحتاج إلى إضافة إلى مكعب التعبير الأول المنتج الثلاثي لمربع التعبير الأول في الثاني بالإضافة إلى المنتج الثلاثي للتعبير الأول في مربع الثاني بالإضافة إلى مكعب التعبير الثاني.

الخامس (س - ص) 3 = × 3 - 3x 2 ص + 3 س ص 2 - عند 3. لحساب مكعب الفرقتعبيرين، من الضروري طرح من مكعب التعبير الأول المنتج الثلاثي لمربع التعبير الأول في الثاني بالإضافة إلى المنتج الثلاثي للتعبير الأول في مربع الثاني ناقص مكعب التعبير الثاني.

السادس × 3 + ص 3 = (س + ص) (س 2 - س ص + ص 2)لحساب مجموع المكعباتتعبيرين، تحتاج إلى ضرب مجموع التعبيرين الأول والثاني في المربع غير المكتمل للفرق بين هذه التعبيرات.

سابعا × 3 - عند 3 = (س - ص) (س 2 + س ص + ص 2)لإجراء الحساب اختلافات المكعباتتعبيرين، تحتاج إلى ضرب الفرق بين التعبيرين الأول والثاني في المربع غير المكتمل لمجموع هذه التعبيرات.

ليس من الصعب أن نتذكر أن جميع الصيغ تستخدم لإجراء العمليات الحسابية في الاتجاه المعاكس (من اليمين إلى اليسار).

كان وجود هذه الأنماط معروفًا منذ حوالي 4 آلاف عام. كانت تستخدم على نطاق واسع من قبل سكان بابل القديمة ومصر. لكن في تلك العصور كان يتم التعبير عنها لفظيا أو هندسيا ولم تستخدم الحروف في الحسابات.

دعونا فرزها إثبات المجموع المربع(أ + ب) 2 = أ 2 +2أ +ب 2.

أولا هذا النمط الرياضيوقد أثبت العالم اليوناني القديم إقليدس الذي عمل في الإسكندرية في القرن الثالث قبل الميلاد أنه استخدم طريقة هندسية لإثبات الصيغة، إذ لم يستخدم علماء هيلاس القديمة الحروف للدلالة على الأرقام. لقد استخدموا في كل مكان ليس "a 2"، ولكن "مربع على قطعة a"، وليس "ab"، ولكن "مستطيل محاط بين القطعتين a وb".

في هذا الدرس سوف نتعرف على صيغ مربع المجموع ومربع الفرق ونشتقهما. دعونا نثبت صيغة مربع المجموع هندسيا. بالإضافة إلى ذلك، سوف نقوم بحل العديد من الأمثلة المختلفة باستخدام هذه الصيغ.

خذ بعين الاعتبار صيغة مربع المجموع:

وبذلك نكون قد استنتجنا صيغة مربع المجموع:

لفظيا، يتم التعبير عن هذه الصيغة على النحو التالي: مربع المجموع يساوي مربع الرقم الأول بالإضافة إلى ضعف منتج الرقم الأول في الثاني بالإضافة إلى مربع الرقم الثاني.

من السهل تمثيل هذه الصيغة هندسيًا.

النظر في مربع مع الجانب:

مساحة المربع.

من ناحية أخرى، يمكن تمثيل نفس المربع بشكل مختلف عن طريق تقسيم الجانب إلى أ وب (الشكل 1).

أرز. 1. مربع

ثم يمكن تمثيل مساحة المربع كمجموع المساحات:

وبما أن المربعين متساويان فإن مساحتهما متساوية، وهذا يعني:

إذن، أثبتنا هندسيًا صيغة مربع المجموع.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

تعليق:تم حل المثال باستخدام صيغة المجموع التربيعي.

دعونا نستنتج صيغة الفرق التربيعي:

لذلك، قمنا باشتقاق صيغة الفرق التربيعي:

لفظيا، يتم التعبير عن هذه الصيغة على النحو التالي: مربع الفرق يساوي مربع الرقم الأول ناقص ضعف منتج الرقم الأول في الثاني بالإضافة إلى مربع الرقم الثاني.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة:

يمكن أن تعمل صيغ المجموع التربيعي والفرق التربيعي من اليسار إلى اليمين ومن اليمين إلى اليسار. عند استخدامها من اليسار إلى اليمين، ستكون هذه صيغ ضرب مختصرة وتستخدم عند حساب الأمثلة وتحويلها. وعند استخدامها من اليمين إلى اليسار - صيغ التحليل.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة التي تحتاج فيها إلى تحليل كثيرة حدود معينة باستخدام صيغتي المجموع التربيعي والفرق التربيعي. للقيام بذلك، تحتاج إلى النظر بعناية شديدة في كثير الحدود وتحديد كيفية توسيعه بشكل صحيح.

تعليق:من أجل تحليل كثيرة الحدود، تحتاج إلى تحديد ما يتم تمثيله في التعبير المعطى. إذن نرى المربع ومربع الواحد. الآن نحن بحاجة إلى إيجاد المنتج المزدوج - وهذا هو . إذن، كل العناصر الضرورية موجودة، ما عليك سوى تحديد ما إذا كان هو مربع المجموع أم الفرق. توجد علامة زائد أمام حاصل الضرب المزدوج، مما يعني أن لدينا مربع المجموع.

في أصول هذا المشروع تكمن صيغة صغيرة لاحظتها هذا العام. بتعبير أدق، هذا نمط بين الأرقام. لفترة طويلة كنت مهتما بما هي هذه الصيغة، لكن أشخاص مختلفين اقترحوا خيارات مختلفة تماما. نظرًا لأن هذه الصيغة بالطبع مرتبطة بمربعات الأرقام ولا أعرف ما إذا كان أي شخص قد توصل إليها قبلي، فقد قررت تقديم عرض تقديمي يتحدث، بالإضافة إلى هذا النمط، عن بعض المواضيع المثيرة للاهتمام. لذلك قررت إنشاء هذا المشروع البحثي.

مربع المبلغ

لنبدأ بالأساسيات. من المؤكد أن كل طالب في الصف السابع (ناهيك عن تلاميذ المدارس الأكبر سنًا) يعرف هذه الصيغة. ولكن لا يزال، لتعزيز المواد، فإن الأمر يستحق التحقق من هذه المعرفة.

(x+y)²=x²+2xy+y²

والذي يُقرأ كـ >.

الفرق التربيعي

لكن الصعوبات بدأت تظهر بالفعل حول هذا الموضوع. لسوء الحظ، ليس كل الطلاب يتذكرون هذه الصيغة، والبعض يشعر بالارتباك، لكن أتمنى ألا يخطئ أحد في صفنا سواء في التسجيل أو في الصياغة.

(س-ص)²=س²-2xy+y²

وهذه الصيغة تقول: >.

قليلا من التاريخ. لذلك تذكرنا أول صيغتين للضرب المختصر. وكما تبين، لا يوجد شيء خاطئ في ذلك!

هل سبق لك أن تساءلت من الذي ابتكر هاتين الصيغتين: مربع المجموع ومربع الفرق؟ تقول بعض المصادر أنه كان عالم الرياضيات اليوناني القديم إقليدس. لقد كان هذا اكتشافًا فريدًا حقًا، لأننا نعلم أنه عاش في القرن الثالث قبل الميلاد.

فرق المربعات

لقد وصلنا الآن إلى الصيغة الأخيرة المتعلقة بمربعات الأعداد. في الشريحة التالية سأثبت لماذا هي الأخيرة. في غضون ذلك، دعونا نحاول أن نتذكر الفرق بين المربعات.

س²-ص²=(س+ص)(س-ص)

يجب أن نتذكر أنه يمكن تبديل المضاعفات.

الفرق بين مربعي رقمين يساوي حاصل ضرب مجموع هذين الرقمين والفرق بينهما.

مجموع المربعات

لكن الدورة المدرسية لا تعلم مفهوم صيغة الضرب المختصرة هذه، لأنها ببساطة غير موجودة. الآن سوف ننظر في السبب.

• يمكن توسيع مربع المجموع ومربع الفرق ليس فقط وفقًا للصيغة المذكورة سابقًا. ويمكن تمثيلها على النحو التالي: (x+y)²=(x+y)(x+y) و (x-y)²=(x-y)(x-y).
• استنادًا إلى حقيقة أن صيغ الضرب الثلاثة المختصرة الأولى يمكن تمثيلها كمنتج لاثنين من كثيرات الحدود، يمكن القول أنه يمكن تمثيل مجموع المربعات كمنتج لاثنين من كثيرات الحدود.
• ولكن تم بالفعل استخدام جميع المجموعات الممكنة. مربع المجموع هو حاصل ضرب مجموع هذه الأعداد، ومربع الفرق هو حاصل ضرب الفروق بين هذه الأعداد، وفرق المربعات هو حاصل ضرب المجموع والفرق. وهذا يعني أنه لا يمكن تمثيل مجموع المربعات كصيغة ضرب مختصرة.

ساحة غير مكتملة

لمزيد من التكرار لصيغ الضرب المختصرة، يجب علينا أيضًا أن نتذكر مصطلحًا آخر. لقد نظرنا إلى مفاهيم المجموع التربيعي والفرق التربيعي ((x+y)²=x²+2xy+y² و (x-y)²=x²-2xy+y²). إذًا ما هو المربع غير المكتمل؟ سنحتاج إلى المربع غير الكامل للمجموع والمربع غير الكامل للفرق. المربع غير الكامل للمجموع هو x²+xy+y² (مجموع مربع الرقم الأول، حاصل ضرب الرقم الأول في الرقم الثاني والرقم الثاني)، والمربع غير الكامل للفرق هو x²-xy+ y² (مربع الرقم الأول ناقص حاصل ضرب الرقم الأول في الثاني بالإضافة إلى مربع الرقم الثاني). وكما نرى، في كلتا الحالتين، بدلا من المنتج المزدوج للرقم الأول والثاني، يظهر منتج العدد الأول والثاني.

مجموع المكعبات

لقد وصلنا هنا إلى لحظة أعتقد أن القليل من الناس يتذكرونها. الوقت لاختبار معلوماتك.

x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²)

مجموع مكعبات رقمين يساوي حاصل ضرب هذه الأرقام والمربع الجزئي لمجموعها.

اختلاف المكعبات

والآن نتذكر صيغة أخرى، مشابهة جدا للصيغة السابقة.

x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²)

يقرأ: >.

مكعب المبلغ

من الصعب بعض الشيء تذكر هذه الصيغة وتلك التي تليها، لكنني ما زلت آمل أن يكون هناك طلاب في صفنا يتمتعون بذاكرة جيدة، وهو ما سنتحقق منه الآن.

(س+ص)³=س³+3x²y+3xy²+y³

مكعب مجموع رقمين يساوي مجموع مربع الرقم الأول، ثلاثة أضعاف منتج مربع الرقم الأول والثاني، ثلاثة أضعاف منتج الرقم الأول ومربع الثاني ومكعب العدد الثاني.

مكعب الفرق

وأخيرا وصلنا إلى الصيغة الأخيرة، التي درسناها في الصف السابع.

(س-ص)³=س³-3x²y+3xy²-y³

مكعب الفرق بين رقمين يساوي مكعب الرقم الأول ناقص ثلاثة أضعاف منتج مربع الرقم الأول والثاني زائد ثلاثة أضعاف منتج الرقم الأول ومربع الثاني ناقص المكعب من الرقم الثاني.

عند حساب كثيرات الحدود الجبرية، لتبسيط العمليات الحسابية، استخدم صيغ الضرب المختصرة . هناك سبع صيغ من هذا القبيل في المجموع. عليك أن تعرفهم جميعًا عن ظهر قلب.

يجب أن نتذكر أيضًا أنه بدلاً من a وb في الصيغ، يمكن أن يكون هناك أرقام أو أي كثيرات حدود جبرية أخرى.

فرق المربعات

الفرق بين مربعي رقمين يساوي حاصل ضرب الفرق بين هذين الرقمين ومجموعهما.

أ 2 - ب 2 = (أ - ب)(أ + ب)

مربع المبلغ

مربع مجموع رقمين يساوي مربع الرقم الأول زائد ضعف ناتج الرقم الأول والثاني زائد مربع الرقم الثاني.

(أ + ب) 2 = أ 2 + 2أ + ب 2

يرجى ملاحظة أنه مع صيغة الضرب المختصرة هذه يكون الأمر سهلاً العثور على مربعات أعداد كبيرةدون استخدام الآلة الحاسبة أو الضرب الطويل. دعونا نوضح بمثال:

البحث عن 1122

دعونا نحلل 112 إلى مجموع الأرقام التي نتذكر مربعاتها جيدًا.2
112 = 100 + 1

لنكتب مجموع الأعداد الموجودة بين قوسين ونضع مربعاً فوق القوسين.
112 2 = (100 + 12) 2

دعنا نستخدم صيغة مربع المجموع:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 × 100 × 12 + 12 2 = 10,000 + 2,400 + 144 = 12,544

تذكر أن صيغة المجموع المربع صالحة أيضًا لأي كثيرات حدود جبرية.

(8 أ + ج) 2 = 64 أ 2 + 16 أ + ج 2

تحذير!!!

(أ + ب) 2 لا يساوي أ2+ب2

الفرق التربيعي

مربع الفرق بين رقمين يساوي مربع الرقم الأول ناقص مرتين منتج الأول والثاني بالإضافة إلى مربع الرقم الثاني.

(أ - ب) 2 = أ 2 - 2أ + ب 2

ومن الجدير أيضًا أن نتذكر تحولًا مفيدًا جدًا:

(أ - ب) 2 = (ب - أ) 2
يمكن إثبات الصيغة أعلاه بمجرد فتح القوسين:

(أ - ب) 2 = أ 2 - 2أ + ب 2 = ب 2 - 2أ + أ 2 = (ب - أ) 2

مكعب المبلغ

مكعب مجموع رقمين يساوي مكعب الرقم الأول بالإضافة إلى ثلاثة أضعاف ناتج مربع الرقم الأول والثاني بالإضافة إلى ثلاثة أضعاف ناتج الأول في مربع الثاني بالإضافة إلى مكعب الثاني .

(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3

من السهل جدًا أن تتذكر هذه الصيغة ذات المظهر "المخيف".

تعلم أن الرقم 3 يأتي في البداية.

كثيرات الحدود في المنتصف لها معاملات 3.

فيتذكر أن أي رقم أس صفر هو 1. (أ 0 = 1، ب 0 = 1). من السهل ملاحظة أنه يوجد في الصيغة انخفاض في الدرجة أ وزيادة في الدرجة ب. يمكنك التحقق من ذلك:
(أ + ب) 3 = أ 3 ب 0 + 3 أ 2 ب 1 + 3 أ 1 ب 2 + ب 3 أ 0 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ 2 + ب 3

تحذير!!!

(أ + ب) 3 لا يساوي أ 3 + ب 3

مكعب الفرق

مكعب الفرق بين رقمين يساوي مكعب الرقم الأول ناقص ثلاثة أضعاف منتج مربع الرقم الأول والثاني زائد ثلاثة أضعاف منتج الرقم الأول ومربع الثاني ناقص المكعب من الثانية.

(أ - ب) 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 - ب 3

يتم تذكر هذه الصيغة مثل الصيغة السابقة، ولكن فقط مع الأخذ بعين الاعتبار تناوب علامتي "+" و "-". الحد الأول a 3 يسبقه "+" (حسب قواعد الرياضيات، لا نكتبه). وهذا يعني أن الحد التالي سيسبقه "-"، ثم مرة أخرى "+"، وما إلى ذلك.

(أ - ب) 3 = + أ 3 - 3أ 2 ب + 3أ ب 2 - ب 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 - ب 3

مجموع المكعبات ( لا ينبغي الخلط بينه وبين مجموع المكعب!)

مجموع المكعبات يساوي حاصل ضرب مجموع رقمين والمربع الجزئي للفرق.

أ 3 + ب 3 = (أ + ب)(أ 2 - أ ب + ب 2)

مجموع المكعبات هو حاصل ضرب قوسين.

القوس الأول هو مجموع رقمين.

القوس الثاني هو المربع غير الكامل للفرق بين الأرقام. المربع غير الكامل للفرق هو التعبير:

أ 2 - أ ب + ب 2
هذا المربع غير مكتمل، لأنه في المنتصف، بدلاً من المنتج المزدوج، يوجد المنتج المعتاد للأرقام.

اختلاف المكعبات (يجب عدم الخلط بينه وبين مكعب الفرق!!!)

الفرق بين المكعبات يساوي حاصل ضرب الفرق بين رقمين والمربع الجزئي للمجموع.

أ 3 - ب 3 = (أ - ب)(أ 2 + أ ب + ب 2)

كن حذرا عند كتابة العلامات.يجب أن نتذكر أن جميع الصيغ المذكورة أعلاه تُستخدم أيضًا من اليمين إلى اليسار.

طريقة سهلة لتذكر صيغ الضرب المختصرة، أو... مثلث باسكال.

هل تواجه مشكلة في تذكر صيغ الضرب المختصرة؟ السبب سهل المساعدة. كل ما عليك فعله هو أن تتذكر كيف تم تصوير شيء بسيط مثل مثلث باسكال. عندها ستتذكر هذه الصيغ دائمًا وفي كل مكان، أو بالأحرى لا تتذكرها، بل تستعيدها.

ما هو مثلث باسكال؟ يتكون هذا المثلث من معاملات تدخل في توسيع أي درجة من ذات الحدين من النموذج إلى كثيرة الحدود.

دعونا نتوسع، على سبيل المثال:

من السهل في هذا الإدخال أن نتذكر أن مكعب الرقم الأول موجود في البداية، ومكعب الرقم الثاني موجود في النهاية. لكن ما يوجد في المنتصف يصعب تذكره. وحتى حقيقة أنه في كل مصطلح لاحق، تنخفض درجة عامل واحد طوال الوقت، ويزيد الثاني - ليس من الصعب ملاحظة وتذكر الوضع أكثر صعوبة مع تذكر المعاملات والعلامات (هل هو زائد أو ناقص ؟).

لذا أولاً، الاحتمالات. لا حاجة لحفظها! نرسم بسرعة مثلث باسكال على هوامش الدفتر، وها هي المعاملات الموجودة أمامنا بالفعل. نبدأ الرسم بثلاث وحدات، واحدة في الأعلى، واثنتان في الأسفل، إلى اليمين وإلى اليسار - نعم، إنه مثلث بالفعل:

السطر الأول، مع واحد، هو صفر. ثم يأتي الأول والثاني والثالث وهكذا. للحصول على السطر الثاني، تحتاج إلى تعيين الحواف مرة أخرى، وفي المنتصف اكتب الرقم الذي تم الحصول عليه عن طريق إضافة الرقمين فوقه:

نكتب السطر الثالث: مرة أخرى على طول حواف الوحدة، ومرة ​​أخرى للحصول على الرقم التالي في السطر الجديد، نضيف الأرقام الموجودة فوقه في الرقم السابق:

كما كنت قد خمنت، نحصل في كل سطر على المعاملات من مفكوك ذات الحدين إلى كثيرة الحدود:

حسنًا، من الأسهل تذكر العلامات: العلامة الأولى هي نفسها كما في ذات الحدين الموسع (نقوم بتوسيع المبلغ - وهذا يعني زائد، والفرق - وهذا يعني ناقص)، ثم تتناوب العلامات!

هذا شيء مفيد - مثلث باسكال. استخدمه!

تُستخدم صيغ الضرب المختصرة (MMF) لمضاعفة الأرقام والتعبيرات وضربها. غالبًا ما تسمح لك هذه الصيغ بإجراء العمليات الحسابية بشكل أكثر إحكاما وسرعة.

في هذه المقالة، سنقوم بإدراج الصيغ الرئيسية للضرب المختصر، وتجميعها في جدول، والنظر في أمثلة لاستخدام هذه الصيغ، وكذلك التركيز على مبادئ إثبات صيغ الضرب المختصر.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

لأول مرة يتم مناقشة موضوع FSU في إطار مقرر الجبر للصف السابع. فيما يلي 7 صيغ أساسية.

صيغ الضرب المختصرة

1. صيغة مربع المجموع: أ + ب 2 = أ 2 + 2 أ ب + ب 2
2. صيغة فرق المربع: أ - ب 2 = أ 2 - 2 أ ب + ب 2
3. صيغة المجموع المكعب: أ + ب 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3
4. صيغة مكعب الفرق: أ - ب 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 - ب 3
5. صيغة فرق المربع: أ 2 - ب 2 = أ - ب أ + ب
6. صيغة مجموع المكعبات: أ 3 + ب 3 = أ + ب أ 2 - أ ب + ب 2
7. صيغة الفرق بين المكعبات: أ 3 - ب 3 = أ - ب أ 2 + أ ب + ب 2

يمكن أن تكون الحروف a، b، c في هذه التعبيرات أي أرقام أو متغيرات أو تعبيرات. لسهولة الاستخدام، من الأفضل حفظ الصيغ السبعة الأساسية عن ظهر قلب. دعونا نضعهم في طاولة ونعرضهم أدناه، ونحيطهم بإطار.

تسمح لك الصيغ الأربع الأولى بحساب المربع أو المكعب لمجموع أو الفرق بين تعبيرين، على التوالي.

الصيغة الخامسة تحسب الفرق بين مربعات التعبيرات بضرب مجموعها والفرق.

تقوم الصيغتان السادسة والسابعة، على التوالي، بضرب مجموع التعبيرات وفرقها في المربع غير الكامل للفرق والمربع غير الكامل للمجموع.

تسمى صيغة الضرب المختصرة أحيانًا بمعرفات الضرب المختصرة. وهذا ليس بغريب، فكل مساواة هي هوية.

عند حل الأمثلة العملية، غالبًا ما يتم استخدام صيغ الضرب المختصرة مع تبديل الجانبين الأيسر والأيمن. وهذا مناسب بشكل خاص عند تحليل كثيرة الحدود.

صيغ الضرب المختصرة الإضافية

دعونا لا نقتصر على دورة الجبر للصف السابع ونضيف بعض الصيغ الأخرى إلى جدول FSU الخاص بنا.

أولاً، دعونا نلقي نظرة على صيغة نيوتن ذات الحدين.

أ + ب ن = ج ن 0 · أ ن + ج ن 1 · أ ن - 1 · ب + ج ن 2 · أ ن - 2 · ب 2 + . . + ج ن ن - 1 · أ · ب ن - 1 + ج ن ن · ب ن

هنا C n k هي المعاملات ذات الحدين التي تظهر في السطر رقم n في مثلث باسكال. يتم حساب المعاملات ذات الحدين باستخدام الصيغة:

ج ن ك = ن ! ك! · (ن - ك) ! = ن (ن - 1) (ن - 2) . . (ن - (ك - 1)) ك !

كما نرى، فإن FSF لمربع ومكعب الفرق والمجموع هو حالة خاصة من صيغة نيوتن ذات الحدين لـ n=2 وn=3 على التوالي.

ولكن ماذا لو كان هناك أكثر من حدين في المجموع الذي يجب رفعه إلى قوة؟ ستكون صيغة مربع مجموع ثلاثة أو أربعة حدود أو أكثر مفيدة.

أ 1 + أ 2 + . . + أ ن 2 = أ 1 2 + أ 2 2 + . . + أ ن 2 + 2 أ 1 أ 2 + 2 أ 1 أ 3 + . . + 2 أ 1 أ ن + 2 أ 2 أ 3 + 2 أ 2 أ 4 + . . + 2 أ 2 أ ن + 2 أ ن - 1 أ ن

هناك صيغة أخرى قد تكون مفيدة وهي صيغة الفرق بين القوى العددية لفترين.

أ ن - ب ن = أ - ب أ ن - 1 + أ ن - 2 ب + أ ن - 3 ب 2 + . . + أ 2 ب ن - 2 + ب ن - 1

تنقسم هذه الصيغة عادة إلى صيغتين - للقوى الزوجية والفردية، على التوالي.

حتى بالنسبة للمؤشرات التي يبلغ طولها 2 متر:

أ 2 م - ب 2 م = أ 2 - ب 2 أ 2 م - 2 + أ 2 م - 4 ب 2 + أ 2 م - 6 ب 4 + . . + ب 2 م - 2

بالنسبة للأسس الفردية 2m+1:

أ 2 م + 1 - ب 2 م + 1 = أ 2 - ب 2 أ 2 م + أ 2 م - 1 ب + أ 2 م - 2 ب 2 + . . + ب 2 م

صيغ الفرق بين المربعات والفرق بين المكعبات، كما خمنت، هي حالات خاصة لهذه الصيغة لـ n = 2 وn = 3، على التوالي. لاختلاف المكعبات، يتم استبدال b أيضًا بـ - b.

كيفية قراءة صيغ الضرب المختصرة؟

سنقدم الصيغ المناسبة لكل صيغة، ولكن أولا سوف نفهم مبدأ قراءة الصيغ. الطريقة الأكثر ملاءمة للقيام بذلك هي باستخدام مثال. لنأخذ الصيغة الأولى لمربع مجموع رقمين.

أ + ب 2 = أ 2 + 2 أ ب + ب 2 .

يقولون: مربع مجموع التعبيرين a و b يساوي مجموع مربع التعبير الأول، ضعف حاصل ضرب التعبيرين ومربع التعبير الثاني.

تتم قراءة كافة الصيغ الأخرى بالمثل. لمربع الفرق أ - ب 2 = أ 2 - 2 أ ب + ب 2 نكتب:

مربع الفرق بين تعبيرين a وb يساوي مجموع مربعات هذه التعبيرات مطروحًا منه ضعف حاصل ضرب التعبيرين الأول والثاني.

دعونا نقرأ الصيغة أ + ب 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3. مكعب مجموع تعبيرين a وb يساوي مجموع مكعبات هذين التعبيرين، ثلاثة أضعاف منتج مربع التعبير الأول في الثاني، وثلاثة أضعاف منتج مربع التعبير الثاني في التعبير الأول.

لننتقل إلى قراءة صيغة الفرق بين المكعبات أ - ب 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 - ب 3. مكعب الفرق بين تعبيرين a وb يساوي مكعب التعبير الأول ناقص المنتج الثلاثي لمربع التعبير الأول والثاني، بالإضافة إلى المنتج الثلاثي لمربع التعبير الثاني والتعبير الأول ، ناقص مكعب التعبير الثاني.

الصيغة الخامسة a 2 - b 2 = a - b a + b (فرق المربعات) تقرأ هكذا: الفرق بين مربعي التعبيرين يساوي حاصل ضرب الفرق ومجموع التعبيرين.

للراحة، تسمى التعبيرات مثل a 2 + a b + b 2 و a 2 - a b + b 2، على التوالي، المربع غير الكامل للمجموع والمربع غير الكامل للفرق.

مع أخذ ذلك في الاعتبار، يمكن قراءة صيغ مجموع المكعبات والفرق بينها كما يلي:

مجموع مكعبات تعبيرين يساوي حاصل ضرب مجموع هذين التعبيرين والمربع الجزئي للفرق بينهما.

الفرق بين مكعبي تعبيرين يساوي حاصل ضرب الفرق بين هذين التعبيرين والمربع الجزئي لمجموعهما.

دليل على FSU

إثبات FSU أمر بسيط للغاية. بناءً على خصائص الضرب، سنضرب أجزاء الصيغ الموجودة بين قوسين.

على سبيل المثال، النظر في صيغة الفرق التربيعي.

أ - ب 2 = أ 2 - 2 أ ب + ب 2 .

لرفع تعبير إلى القوة الثانية، عليك ضرب هذا التعبير بنفسه.

أ - ب 2 = أ - ب أ - ب .

دعونا نوسع الأقواس:

أ - ب أ - ب = أ 2 - أ ب - ب أ + ب 2 = أ 2 - 2 أ ب + ب 2 .

تم إثبات الصيغة. تم إثبات وحدات FSU المتبقية بالمثل.

أمثلة على تطبيق FSU

الغرض من استخدام صيغ الضرب المختصرة هو الضرب بسرعة وإيجاز ورفع التعبيرات إلى القوى. ومع ذلك، هذا ليس النطاق الكامل لتطبيق FSU. يتم استخدامها على نطاق واسع في تقليل التعبيرات، وتقليل الكسور، وتحليل كثيرات الحدود. دعونا نعطي أمثلة.

مثال 1. الاتحاد الفيدرالي لكرة القدم

لنبسط التعبير 9 y - (1 + 3 y) 2.

دعونا نطبق صيغة مجموع المربعات ونحصل على:

9 ص - (1 + 3 ص) 2 = 9 ص - (1 + 6 ص + 9 ص 2) = 9 ص - 1 - 6 ص - 9 ص 2 = 3 ص - 1 - 9 ص 2

مثال 2. الاتحاد الفيدرالي لكرة القدم

دعونا نبسط الكسر 8 × 3 - ض 6 4 × 2 - ض 4.

نلاحظ أن التعبير في البسط هو فرق المكعبات، وفي المقام هو فرق المربعات.

8 x 3 - ض 6 4 x 2 - ض 4 = 2 س - ض (4 x 2 + 2 x ض + ض 4) 2 x - ض 2 x + ض .

نحن نخفض ونحصل على:

8 × 3 - ض 6 4 × 2 - ض 4 = (4 × 2 + 2 × ض + ض 4) 2 س + ض 4

تساعد وحدات FSU أيضًا في حساب قيم التعبيرات. الشيء الرئيسي هو أن تكون قادرًا على ملاحظة مكان تطبيق الصيغة. دعونا نعرض هذا مع مثال.

دعونا نقوم بتربيع الرقم 79. بدلا من الحسابات المرهقة، دعونا نكتب:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

يبدو أنه يتم إجراء عملية حسابية معقدة بسرعة فقط باستخدام صيغ الضرب المختصرة وجدول الضرب.

نقطة أخرى مهمة هي اختيار مربع ذات الحدين. يمكن تحويل التعبير 4 x 2 + 4 x - 3 إلى 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . وتستخدم هذه التحولات على نطاق واسع في التكامل.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter