العثور على أمثلة نوك. المضاعف المشترك الأصغر لـ LCM
لكن العديد من الأعداد الطبيعية قابلة للقسمة أيضًا على أعداد طبيعية أخرى.
على سبيل المثال:
الرقم 12 قابل للقسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12؛
الرقم 36 يقبل القسمة على 1، على 2، على 3، على 4، على 6، على 12، على 18، على 36.
يتم استدعاء الأرقام التي يكون الرقم قابلاً للقسمة على الكل (لـ 12 هذه هي 1 و 2 و 3 و 4 و 6 و 12) مقسومات الأرقام. مقسوم على عدد طبيعي أ- عدد طبيعي يقسم عددا معلوما أدون أن يترك أثرا. يسمى العدد الطبيعي الذي له أكثر من مقسومين مركب .
يرجى ملاحظة أن الرقمين 12 و36 لهما عوامل مشتركة. هذه الأرقام هي: 1، 2، 3، 4، 6، 12. القاسم الأكبر لهذه الأرقام هو 12. القاسم المشترك لهذين الرقمين أو ب- هذا هو الرقم الذي يتم قسمة كلا الرقمين بدون باقي أو ب.
مضاعفات مشتركةعدة أرقام هو رقم قابل للقسمة على كل من هذه الأرقام. على سبيل المثال، الأعداد 9 و 18 و 45 لها مضاعف مشترك هو 180. لكن 90 و 360 هي أيضًا مضاعفاتها المشتركة. من بين جميع المضاعفات المشتركة، يوجد دائمًا أصغر واحد، وهو في هذه الحالة هو 90. ويسمى هذا الرقم الأصغرالمضاعف المشترك (CMM).
يكون LCM دائمًا رقمًا طبيعيًا يجب أن يكون أكبر من أكبر الأرقام التي تم تعريفه لها.
المضاعف المشترك الأصغر (LCM). ملكيات.
التبادلية:
الترابط:
على وجه الخصوص، إذا كانت و أعدادًا أولية، فإن:
المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين مو نهو المقسوم على جميع المضاعفات المشتركة الأخرى مو ن. علاوة على ذلك، مجموعة المضاعفات المشتركة م، نيتزامن مع مجموعة مضاعفات LCM( م، ن).
يمكن التعبير عن التقاربات من حيث بعض الوظائف النظرية للأعداد.
لذا، وظيفة تشيبيشيف. وأيضا:
يأتي هذا من تعريف وخصائص وظيفة لانداو ز (ن).
ما يترتب على قانون توزيع الأعداد الأولية.
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM).
شهادة عدم الممانعة( أ، ب) يمكن حسابها بعدة طرق:
1. إذا كان القاسم المشترك الأكبر معروفًا، فيمكنك استخدام اتصاله مع LCM:
2. ليعرف التحلل القانوني لكلا العددين إلى عوامل أولية:
أين ص1 ،...،ص ك- الأعداد الأولية المختلفة، و د 1،...،د كو ه 1،...،ه ك- الأعداد الصحيحة غير السالبة (يمكن أن تكون أصفارًا إذا لم يكن العدد الأولي المقابل في التوسعة).
ثم شهادة عدم الممانعة ( أ,ب) يتم حسابه بواسطة الصيغة:
بمعنى آخر، يحتوي تحليل LCM على جميع العوامل الأولية المضمنة في تحليل واحد على الأقل من الأرقام أ، ب، ويتم أخذ أكبر الأسين لهذا المضاعف.
مثال:
يمكن اختزال حساب المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام إلى عدة حسابات متسلسلة للمضاعف المشترك الأصغر لعددين:
قاعدة.للعثور على LCM لسلسلة من الأرقام، تحتاج إلى:
- تحليل الأرقام إلى عوامل أولية؛
- نقل التحليل الأكبر (حاصل ضرب عوامل العدد الأكبر من المعطاة) إلى عوامل حاصل الضرب المطلوب، ثم إضافة عوامل من التحليل لأرقام أخرى لا تظهر في الرقم الأول أو تظهر فيه مرات أقل؛
— المنتج الناتج للعوامل الأولية سيكون المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة.
أي عددين طبيعيين أو أكثر يكون لهما المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهما. إذا كانت الأرقام ليست مضاعفات بعضها البعض أو ليس لها نفس العوامل في المفكوك، فإن المضاعف المشترك الأصغر الخاص بها يساوي حاصل ضرب هذه الأرقام.
يتم إضافة العوامل الأولية للرقم 28 (2، 2، 7) إلى العامل 3 (الرقم 21)، وسيكون الناتج الناتج (84) هو أصغر رقم يقبل القسمة على 21 و28.
يتم استكمال العوامل الأولية لأكبر عدد 30 بالعامل 5 للرقم 25، ويكون الناتج الناتج 150 أكبر من أكبر عدد 30 ويقبل القسمة على جميع الأرقام المعطاة دون باقي. هذا هو أصغر منتج ممكن (150، 250، 300...) وهو مضاعف لجميع الأرقام المعطاة.
الأعداد 2،3،11،37 هي أعداد أولية، لذا فإن المضاعف المشترك الأصغر لها يساوي حاصل ضرب الأعداد المعطاة.
قاعدة. لحساب المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية، عليك ضرب كل هذه الأرقام معًا.
خيار آخر:
للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لعدة أرقام تحتاج إلى:
1) تمثيل كل عدد كحاصل ضرب عوامله الأولية، على سبيل المثال:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) اكتب قوى جميع العوامل الأولية:
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) اكتب جميع المقسومات الأولية (المضاعفات) لكل من هذه الأرقام؛
4) اختر الدرجة الأكبر لكل منها الموجودة في جميع مفكوك هذه الأعداد؛
5) مضاعفة هذه القوى.
مثال. أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام: 168، 180، 3024.
حل. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1،
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
نكتب القوى العظمى لجميع المقسومات الأولية ونضربها:
عدم الممانعة = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
تتم دراسة موضوع "الأرقام المتعددة" في الصف الخامس الثانوي. هدفها هو تحسين مهارات الحساب الرياضي الكتابية والشفوية. يتم في هذا الدرس تقديم مفاهيم جديدة - "الأعداد المتعددة" و"المقسومات"، والتدرب على تقنية إيجاد المقسومات ومضاعفات الأعداد الطبيعية، والقدرة على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بطرق مختلفة.
هذا الموضوع مهم جدا يمكن تطبيق معرفتها عند حل الأمثلة بالكسور. للقيام بذلك، تحتاج إلى العثور على القاسم المشترك عن طريق حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM).
مضاعف A هو عدد صحيح يقبل القسمة على A بدون باقي.
كل عدد طبيعي له عدد لا نهائي من مضاعفاته. ويعتبر في حد ذاته الأصغر. لا يمكن أن يكون المضاعف أقل من الرقم نفسه.
عليك أن تثبت أن الرقم 125 هو مضاعف للرقم 5. للقيام بذلك، عليك تقسيم الرقم الأول على الثاني. إذا كان العدد 125 يقبل القسمة على 5 بدون باقي، فالإجابة هي نعم.
هذه الطريقة قابلة للتطبيق على الأعداد الصغيرة.
هناك حالات خاصة عند حساب LOC.
1. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد مضاعف مشترك لعددين (على سبيل المثال، 80 و 20)، حيث يكون أحدهما (80) قابلاً للقسمة على الآخر (20)، فإن هذا الرقم (80) هو المضاعف الأصغر بينهما. رقمين.
م م م (80، 20) = 80.
2. إذا لم يكن هناك قاسم مشترك لاثنين، فيمكننا القول أن المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهم هو حاصل ضرب هذين الرقمين.
المضاعف المشترك الأصغر(6، 7) = 42.
دعونا ننظر إلى المثال الأخير. 6 و 7 بالنسبة إلى 42 مقسومتان. يقسمون مضاعف الرقم بدون باقي.
في هذا المثال، 6 و 7 عوامل مقترنة. منتجهم يساوي الرقم الأكثر مضاعفات (42).
يسمى العدد أوليًا إذا كان يقبل القسمة على نفسه فقط أو على 1 (3:1=3; 3:3=1). والباقي يسمى مركب.
يتضمن مثال آخر تحديد ما إذا كان الرقم 9 هو المقسوم على 42.
42:9=4 (الباقي 6)
الإجابة: 9 ليس من المقسوم على 42 لأن الإجابة بها باقي.
ويختلف المقسوم عليه عن المضاعف في أن المقسوم عليه هو الرقم الذي تقسم عليه الأعداد الطبيعية، والمضاعف نفسه يقسم على هذا العدد.
القاسم المشترك الأكبر للأعداد أو ب، مضروبًا في المضاعف الأصغر، سيعطي حاصل ضرب الأرقام نفسها أو ب.
وهي: gcd (a, b) x gcd (a, b) = a x b.
تم العثور على المضاعفات المشتركة للأعداد الأكثر تعقيدًا بالطريقة التالية.
على سبيل المثال، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 168، 180، 3024.
نقوم بتحليل هذه الأرقام إلى عوامل أولية ونكتبها كمنتج للقوى:
168=2³x3¹x7¹
2⁴x3³x5¹x7¹=15120
م م(168، 180، 3024) = 15120.
لفهم كيفية حساب LCM، يجب عليك أولاً تحديد معنى المصطلح "متعدد".
مضاعف A هو عدد طبيعي يقبل القسمة على A بدون باقي، وبالتالي، يمكن اعتبار الأعداد التي تكون من مضاعفات 5 15، 20، 25، وهكذا.
يمكن أن يكون هناك عدد محدود من المقسومات على رقم معين، ولكن هناك عدد لا حصر له من المضاعفات.
المضاعف المشترك للأعداد الطبيعية هو العدد الذي يقبل القسمة عليها دون ترك باقي.
كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام
المضاعف المشترك الأصغر (LCM) للأعداد (اثنان أو ثلاثة أو أكثر) هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة على جميع هذه الأرقام.
للعثور على LOC، يمكنك استخدام عدة طرق.
بالنسبة للأعداد الصغيرة، من المناسب كتابة جميع مضاعفات هذه الأرقام على سطر واحد حتى تجد شيئًا مشتركًا بينها. يُشار إلى المضاعفات بالحرف الكبير K.
على سبيل المثال، يمكن كتابة مضاعفات العدد 4 على النحو التالي:
ك (4) = (8،12، 16، 20، 24، ...)
ك (6) = (12، 18، 24، ...)
وهكذا، يمكنك أن ترى أن المضاعف المشترك الأصغر للرقمين 4 و 6 هو الرقم 24. ويتم هذا الترميز على النحو التالي:
المضاعف المشترك الأصغر(4، 6) = 24
إذا كانت الأرقام كبيرة، ابحث عن المضاعف المشترك لثلاثة أرقام أو أكثر، فمن الأفضل استخدام طريقة أخرى لحساب LCM.
لإكمال المهمة، تحتاج إلى تحليل الأرقام المعطاة إلى عوامل أولية.
تحتاج أولاً إلى كتابة تحليل أكبر رقم على السطر والباقي تحته.
قد يحتوي تحليل كل رقم على عدد مختلف من العوامل.
على سبيل المثال، دعونا نحلل العددين 50 و20 إلى عوامل أولية.
في مفك العدد الأصغر، يجب عليك إبراز العوامل المفقودة في مفك الرقم الأكبر الأول، ثم إضافتها إليه. في المثال المعروض، اثنان مفقود.
يمكنك الآن حساب المضاعف المشترك الأصغر للعددين 20 و50.
م م م (20، 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
وبالتالي، فإن حاصل ضرب العوامل الأولية للعدد الأكبر وعوامل العدد الثاني التي لم تكن متضمنة في مفكوك العدد الأكبر سيكون المضاعف المشترك الأصغر.
للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر، يجب عليك تحليلها كلها إلى عوامل أولية، كما في الحالة السابقة.
على سبيل المثال، يمكنك العثور على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 16، 24، 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
وبالتالي، لم يتم تضمين اثنين فقط من مفك ستة عشر في تحليل عدد أكبر (واحد في مفك أربعة وعشرين).
وبالتالي، فإنها تحتاج إلى إضافتها إلى توسيع عدد أكبر.
م م (12، 16، 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
هناك حالات خاصة لتحديد المضاعف المشترك الأصغر. لذا، إذا كان من الممكن قسمة أحد الأرقام دون باقي على آخر، فإن أكبر هذه الأرقام سيكون المضاعف المشترك الأصغر.
على سبيل المثال، المضاعف المشترك الأصغر للعدد اثني عشر وأربعة وعشرين هو أربعة وعشرون.
إذا كان من الضروري العثور على المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأولية التي ليس لها قواسم متطابقة، فسيكون المضاعف المشترك الأصغر الخاص بها مساويًا لمنتجها.
على سبيل المثال، المضاعف المشترك الأصغر (10، 11) = 110.
المادة المقدمة أدناه هي استمرار منطقي للنظرية من المقالة التي تحمل عنوان LCM - المضاعف الأقل شيوعًا، التعريف، الأمثلة، العلاقة بين LCM وGCD. هنا سوف نتحدث عن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر (LCM)، وسنولي اهتمامًا خاصًا لحل الأمثلة. أولاً، سنوضح كيفية حساب المضاعف المشترك الأصغر لرقمين باستخدام GCD لهذه الأرقام. بعد ذلك، سننظر في إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. بعد ذلك، سوف نركز على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر، وننتبه أيضًا إلى حساب المضاعف المشترك الأصغر للأعداد السالبة.
التنقل في الصفحة.
حساب المضاعف المشترك الأصغر (LCM) عبر GCD
إحدى الطرق للعثور على المضاعف المشترك الأصغر تعتمد على العلاقة بين LCM وGCD. يتيح لنا الاتصال الحالي بين LCM وGCD حساب المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين موجبين من خلال القاسم المشترك الأكبر المعروف. الصيغة المقابلة هي LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب) . دعونا نفكر في أمثلة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام الصيغة المعطاة.
مثال.
أوجد المضاعف المشترك الأصغر لعددين 126 و70.
حل.
في هذا المثال أ=126 , ب=70 . دعونا نستخدم العلاقة بين LCM وGCD، المعبر عنها بالصيغة LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب). أي أنه علينا أولاً إيجاد القاسم المشترك الأكبر للرقمين 70 و126، وبعد ذلك يمكننا حساب المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام باستخدام الصيغة المكتوبة.
دعونا نوجد GCD(126, 70) باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 126=70·1+56، 70=56·1+14، 56=14·4، وبالتالي GCD(126, 70)=14.
الآن نجد المضاعف المشترك الأصغر المطلوب: جي سي دي(126, 70)=126·70:جي سي دي(126, 70)= 126·70:14=630.
إجابة:
م م(126, 70)=630 .
مثال.
ما هو LCM (68، 34) يساوي؟
حل.
لأن 68 يقبل القسمة على 34، ثم GCD(68, 34)=34. الآن نحسب المضاعف المشترك الأصغر: جي سي دي(68, 34)=68·34:جي سي دي(68, 34)= 68·34:34=68.
إجابة:
م م(68, 34)=68 .
لاحظ أن المثال السابق يناسب القاعدة التالية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الصحيحة الموجبة a وb: إذا كان الرقم a يقبل القسمة على b، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام هو a.
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل الأعداد إلى عوامل أولية
هناك طريقة أخرى للعثور على المضاعف المشترك الأصغر وهي تعتمد على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية. إذا قمت بتكوين منتج من جميع العوامل الأولية لأرقام معينة، ثم استبعدت من هذا المنتج جميع العوامل الأولية المشتركة الموجودة في تحليلات الأرقام المحددة، فسيكون المنتج الناتج مساويًا للمضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة .
القاعدة المعلنة لإيجاد LCM تنبع من المساواة LCM(أ، ب)=أ ب:GCD(أ، ب). في الواقع، فإن حاصل ضرب العددين a وb يساوي حاصل ضرب جميع العوامل المشاركة في مفكوك العددين a وb. بدوره، GCD(a, b) يساوي حاصل ضرب جميع العوامل الأولية الموجودة في وقت واحد في توسعات الأعداد a وb (كما هو موضح في القسم الخاص بإيجاد GCD باستخدام توسيع الأرقام إلى عوامل أولية).
دعونا نعطي مثالا. دعنا نعرف أن 75=3·5·5 و210=2·3·5·7. لنؤلف الناتج من جميع عوامل هذه التوسعات: 2·3·3·5·5·5·7 . الآن نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في كل من مفكوك العدد 75 ومفكوك العدد 210 (هذه العوامل هي 3 و 5)، فيأخذ الناتج الشكل 2·3·5·5·7 . قيمة هذا المنتج تساوي المضاعف المشترك الأصغر للعددين 75 و210، أي NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
مثال.
قم بتحليل الرقمين 441 و 700 إلى عوامل أولية وأوجد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.
حل.
دعونا نحلل الرقمين 441 و 700 إلى عوامل أولية:
نحصل على 441=3·3·7·7 و700=2·2·5·5·7.
لنقم الآن بإنشاء منتج من جميع العوامل المشاركة في توسيع هذه الأرقام: 2·2·3·3·5·5·7·7·7. دعونا نستبعد من هذا المنتج جميع العوامل الموجودة في نفس الوقت في كلا التوسعتين (يوجد عامل واحد فقط - وهذا هو الرقم 7): 2·2·3·3·5·5·7·7. هكذا، م م(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
إجابة:
NOC(441, 700)= 44100 .
يمكن صياغة قاعدة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام تحليل الأعداد إلى عوامل أولية بشكل مختلف قليلاً. إذا تمت إضافة العوامل المفقودة من مفك الرقم ب إلى العوامل من مفك الرقم أ، فإن قيمة المنتج الناتج ستكون مساوية للمضاعف المشترك الأصغر للرقمين أ و ب.
على سبيل المثال، لنأخذ نفس الرقمين 75 و210، وتحللهما إلى عوامل أولية كما يلي: 75=3·5·5 و210=2·3·5·7. إلى العوامل 3 و 5 و 5 من مفكوك الرقم 75 نضيف العوامل المفقودة 2 و 7 من مفكوك الرقم 210، نحصل على المنتج 2·3·5·5·7، وقيمته هي يساوي LCM(75، 210).
مثال.
أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 84 و648.
حل.
نحصل أولاً على تحليل الأرقام 84 و648 إلى عوامل أولية. تبدو مثل 84=2·2·3·7 و648=2·2·2·3·3·3·3. إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 من مفكوك الرقم 84 نضيف العوامل المفقودة 2 و 3 و 3 و 3 من مفكوك الرقم 648، نحصل على المنتج 2 2 2 3 3 3 3 7، وهو ما يساوي 4536 . وبالتالي، فإن المضاعف المشترك الأصغر المطلوب للعددين 84 و648 هو 4536.
إجابة:
LCM(84, 648)=4,536 .
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر
يمكن العثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر من خلال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين بشكل تسلسلي. دعونا نتذكر النظرية المقابلة، والتي توفر طريقة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.
نظرية.
دع الأعداد الصحيحة الموجبة a 1 , a 2 , …, a k يتم العثور على المضاعف المشترك الأصغر m k لهذه الأرقام عن طريق الحساب التسلسلي m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , … , م ك = LCM(م ك−1 , أ ك) .
لنفكر في تطبيق هذه النظرية باستخدام مثال إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام.
مثال.
أوجد المضاعف المشترك الأصغر لأربعة أرقام 140، 9، 54، 250.
حل.
في هذا المثال، 1 = 140، 2 = 9، 3 = 54، 4 = 250.
أولا نجد م 2 = LOC(أ 1، أ 2) = LOC(140، 9). للقيام بذلك، باستخدام الخوارزمية الإقليدية، نحدد GCD(140, 9)، لدينا 140=9·15+5، 9=5·1+4، 5=4·1+1، 4=1·4، وبالتالي، GCD(140, 9)=1 ، من أين جي سي دي(140, 9)=140 9:جي سي دي(140, 9)= 140·9:1=1,260. أي أن م2=1260.
الآن نجد م 3 = LOC (م 2 , أ 3) = LOC (1 260, 54). لنحسبها من خلال GCD(1 260, 54)، والتي نحددها أيضًا باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 1 260=54·23+18, 54=18·3. ثم gcd(1,260, 54)=18، ومنها gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. أي أن م 3 = 3 780.
كل ما تبقى هو العثور عليه م 4 = LOC(م 3، أ 4) = LOC(3780، 250). للقيام بذلك، نجد GCD(3,780, 250) باستخدام الخوارزمية الإقليدية: 3,780=250·15+30، 250=30·8+10، 30=10·3. لذلك، GCM(3,780, 250)=10، حيث GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. أي أن م 4 = 94,500.
إذن المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الأربعة الأصلية هو 94500.
إجابة:
م م(140، 9، 54، 250)=94,500.
في كثير من الحالات، يكون من المناسب إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر باستخدام التحليلات الأولية للأرقام المعطاة. وفي هذه الحالة عليك الالتزام بالقاعدة التالية. المضاعف المشترك الأصغر لعدة أرقام يساوي حاصل الضرب الذي يتكون على النحو التالي: العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني تضاف إلى جميع العوامل من مفكوك الرقم الأول، العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الأول ويضاف الرقم الثالث إلى العوامل الناتجة، وهكذا.
دعونا نلقي نظرة على مثال لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام التحليل الأولي.
مثال.
أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد الخمسة 84، 6، 48، 7، 143.
حل.
أولاً، نحصل على تحليل هذه الأرقام إلى عوامل أولية: 84=2·2·3·7، 6=2·3، 48=2·2·2·2·3، 7 (7 هو عدد أولي، وهو يتطابق مع تحللها إلى عوامل أولية) و143=11·13.
للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام، إلى عوامل الرقم الأول 84 (وهي 2 و2 و3 و7)، تحتاج إلى إضافة العوامل المفقودة من مفكوك الرقم الثاني 6. لا يحتوي تحليل الرقم 6 على عوامل مفقودة، حيث أن كلا من 2 و 3 موجودان بالفعل في تحليل الرقم الأول 84. بعد ذلك، إلى العوامل 2 و 2 و 3 و 7 نضيف العوامل المفقودة 2 و 2 من مفكوك الرقم الثالث 48، نحصل على مجموعة من العوامل 2 و 2 و 2 و 2 و 3 و 7. لن تكون هناك حاجة لإضافة مضاعفات إلى هذه المجموعة في الخطوة التالية، نظرًا لأن الرقم 7 موجود فيها بالفعل. أخيرًا، إلى العوامل 2 و2 و2 و2 و3 و7 نضيف العوامل المفقودة 11 و13 من مفكوك العدد 143. نحصل على المنتج 2·2·2·2·3·7·11·13، وهو ما يساوي 48,048.
يتم تكليف تلاميذ المدارس بالكثير من المهام في الرياضيات. من بينها، في كثير من الأحيان هناك مشاكل في الصياغة التالية: هناك معنيان. كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المحددة؟ من الضروري أن تكون قادرا على أداء مثل هذه المهام، حيث يتم استخدام المهارات المكتسبة للعمل مع الكسور ذات القواسم المختلفة. في هذه المقالة سوف ننظر في كيفية العثور على LOC والمفاهيم الأساسية.
قبل العثور على إجابة سؤال كيفية العثور على LCM، تحتاج إلى تحديد المصطلح متعدد. في أغلب الأحيان، تبدو صياغة هذا المفهوم على النحو التالي: مضاعف قيمة معينة A هو رقم طبيعي قابل للقسمة على A بدون باقي، لذلك، بالنسبة لـ 4، ستكون المضاعفات 8، 12، 16، 20،. وهكذا إلى الحد المطلوب.
في هذه الحالة، يمكن أن يكون عدد المقسومات لقيمة معينة محدودا، ولكن المضاعفات كثيرة بلا حدود. هناك أيضًا نفس القيمة للقيم الطبيعية. وهذا مؤشر مقسم إليهم بلا باقي. بعد أن فهمنا مفهوم القيمة الأصغر لمؤشرات معينة، دعنا ننتقل إلى كيفية العثور عليها.
العثور على شهادة عدم الممانعة
أقل مضاعف لاثنين أو أكثر من الأسس هو أصغر عدد طبيعي يقبل القسمة بالكامل على جميع الأرقام المحددة.
هناك عدة طرق للعثور على مثل هذه القيمة، فكر في الطرق التالية:
- إذا كانت الأعداد صغيرة، فاكتب على سطر كل ما يقبل القسمة عليها. استمر في القيام بذلك حتى تجد شيئًا مشتركًا بينهم. في الكتابة، يتم الإشارة إليهما بالحرف K. على سبيل المثال، بالنسبة للعددين 4 و3، أصغر مضاعف هو 12.
- إذا كانت هذه الأرقام كبيرة أو كنت بحاجة إلى إيجاد مضاعفات 3 قيم أو أكثر، فيجب عليك استخدام أسلوب آخر يتضمن تحليل الأرقام إلى عوامل أولية. أولا، ضع أكبر واحد مدرج، ثم كل الآخرين. كل واحد منهم لديه عدد خاص به من المضاعفات. على سبيل المثال، دعونا نحلل 20 (2*2*5) و50 (5*5*2). بالنسبة للعامل الأصغر، ضع خطًا تحت العوامل وأضفها إلى العامل الأكبر. ستكون النتيجة 100، وهو المضاعف المشترك الأصغر للأرقام المذكورة أعلاه.
- عند العثور على 3 أرقام (16 و24 و36) تكون المبادئ هي نفسها بالنسبة للرقمين الآخرين. دعونا نوسع كل واحدة منها: 16 = 2*2*2*2، 24=2*2*2*3، 36=2*2*3*3. اثنان فقط من مفكوك العدد 16 لم يدخلا في مفكوك الأكبر ونجمعهما ونحصل على 144 وهي أصغر نتيجة للقيم العددية المشار إليها سابقا.
الآن أصبحنا نعرف التقنية العامة المتبعة لإيجاد أصغر قيمة لقيمتين أو ثلاث قيم أو أكثر. ومع ذلك، هناك أيضًا طرق خاصة، مما يساعد في البحث عن NOC إذا لم تساعد الإصدارات السابقة.
كيفية العثور على GCD وNOC.
طرق البحث الخاصة
كما هو الحال مع أي قسم رياضي، هناك حالات خاصة لإيجاد LCM تساعد في مواقف محددة:
- إذا كان أحد الأرقام قابلاً للقسمة على الأرقام الأخرى دون باقي، فإن أقل مضاعف لهذه الأرقام يساويه (المضاعف المشترك الأصغر لـ 60 و15 هو 15)؛
- الأعداد الأولية نسبيًا ليس لها عوامل أولية مشتركة. أصغر قيمة لها تساوي منتج هذه الأرقام. وبالتالي، بالنسبة للأرقام 7 و 8 سيكون 56؛
- تنطبق نفس القاعدة على حالات أخرى، بما في ذلك الحالات الخاصة، والتي يمكن قراءتها في الأدبيات المتخصصة. وينبغي أن يشمل ذلك أيضًا حالات تحليل الأعداد المركبة، والتي هي موضوع المقالات الفردية وحتى أطروحات المرشحين.
الحالات الخاصة أقل شيوعًا من الأمثلة القياسية. ولكن بفضلهم، يمكنك تعلم كيفية العمل مع الكسور بدرجات متفاوتة من التعقيد. هذا ينطبق بشكل خاص على الكسورحيث توجد قواسم غير متساوية.
أمثلة قليلة
دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة التي ستساعدك على فهم مبدأ إيجاد المضاعف الأصغر:
- ابحث عن LOC (35، 40). نقوم أولاً بتحليل 35 = 5*7، ثم 40 = 5*8. أضف 8 إلى أصغر رقم واحصل على LOC 280.
- شهادة عدم الممانعة (45 ؛ 54). نقوم بتحليل كل واحد منهم: 45 = 3*3*5 و 54 = 3*3*6. نضيف الرقم 6 إلى 45. نحصل على المضاعف المشترك الأصغر يساوي 270.
- حسنا، المثال الأخير. هناك 5 و4. لا يوجد مضاعفات أولية لهما، لذا فإن المضاعف المشترك الأصغر في هذه الحالة سيكون حاصل ضربهما، ويساوي 20.
بفضل الأمثلة، يمكنك فهم كيفية وجود NOC، وما هي الفروق الدقيقة وما هو معنى هذه التلاعبات.
يعد العثور على شهادة عدم الممانعة أسهل بكثير مما قد يبدو للوهلة الأولى. للقيام بذلك، يتم استخدام كل من التوسع البسيط وضرب القيم البسيطة ببعضها البعض. تساعد القدرة على العمل مع هذا القسم من الرياضيات في مزيد من الدراسة للموضوعات الرياضية، وخاصة الكسور بدرجات متفاوتة من التعقيد.
لا تنس حل الأمثلة بشكل دوري باستخدام طرق مختلفة؛ فهذا يطور جهازك المنطقي ويسمح لك بتذكر العديد من المصطلحات. تعلم كيفية العثور على مثل هذا الأس وستكون قادرًا على القيام بعمل جيد في بقية أقسام الرياضيات. تعلم الرياضيات سعيدة!
فيديو
سيساعدك هذا الفيديو على فهم وتذكر كيفية العثور على المضاعف المشترك الأصغر.
