ما هو د في التقدم. التقدم الحسابي
ما هو الجوهر الرئيسي للصيغة؟
هذه الصيغة تسمح لك بالعثور على أي برقمه" ن" .
وبطبيعة الحال، تحتاج أيضا إلى معرفة الفصل الأول أ 1وفارق التقدم دحسنًا، بدون هذه المعلمات، لا يمكنك كتابة تقدم معين.
إن حفظ (أو حفظ) هذه الصيغة ليس كافيًا. أنت بحاجة إلى فهم جوهرها وتطبيق الصيغة في مختلف المشاكل. وأيضا لا ننسى في اللحظة المناسبة، نعم...) كيف لا تنسى- لا أعرف. لكن كيف تتذكرإذا لزم الأمر، سأنصحك بالتأكيد. لمن أكمل الدرس حتى النهاية.)
لذا، دعونا نلقي نظرة على صيغة الحد النوني للتقدم الحسابي.
ما هي الصيغة بشكل عام؟ بالمناسبة، ألق نظرة إذا لم تكن قد قرأته. كل شيء بسيط هناك. يبقى لمعرفة ما هو عليه الفصل الدراسي التاسع.
التقدم بشكل عام يمكن كتابته كسلسلة من الأرقام:
أ 1، أ 2، أ 3، أ 4، أ 5، .....
أ 1- يشير إلى الحد الأول من التقدم الحسابي، أ 3- العضو الثالث، أ 4- الرابع وهكذا. إذا كنا مهتمين بالفصل الخامس، فلنفترض أننا نعمل مع 5إذا مائة وعشرون ق 120.
وكيف يمكننا تعريفه بعبارات عامة؟ أيمصطلح التقدم الحسابي، مع أيرقم؟ بسيط جدا! مثله:
ن
هذا كل شيء الحد n من التقدم الحسابي.يخفي الحرف n جميع أرقام الأعضاء مرة واحدة: 1، 2، 3، 4، وهكذا.
وماذا يعطينا هذا السجل؟ فكر فقط، بدلاً من الرقم، كتبوا رسالة...
يمنحنا هذا الترميز أداة قوية للتعامل مع التقدم الحسابي. باستخدام التدوين ن، يمكننا أن نجد بسرعة أيعضو أيالتقدم الحسابي. وحل مجموعة من مشاكل التقدم الأخرى. سترى بنفسك أبعد من ذلك.
في صيغة الحد n من التقدم الحسابي:
| أ ن = أ 1 + (ن-1)د |
أ 1- الحد الأول من التقدم الحسابي؛
ن- رقم العضو .
تربط الصيغة المعلمات الرئيسية لأي تقدم: ن ; أ 1 ؛ دو ن. جميع مشاكل التقدم تدور حول هذه المعلمات.
يمكن أيضًا استخدام صيغة المصطلح n لكتابة تقدم محدد. على سبيل المثال، قد تقول المشكلة أن التقدم محدد بالشرط:
أ ن = 5 + (ن-1) 2.
يمكن أن تكون مثل هذه المشكلة طريقًا مسدودًا... لا يوجد سلسلة ولا فرق... ولكن بمقارنة الحالة بالصيغة، من السهل أن نفهم أنه في هذا التقدم 1 = 5، و د = 2.
ويمكن أن يكون الأمر أسوأ!) إذا أخذنا نفس الشرط: أ ن = 5 + (ن-1) 2،نعم، افتح القوسين وأعطي ما يشبههما؟ نحصل على صيغة جديدة:
ن = 3 + 2ن.
هذا ليس عامًا فحسب، بل لتقدم محدد. وهنا يكمن المأزق. يعتقد بعض الناس أن الحد الأول هو ثلاثة. على الرغم من أن الحد الأول في الواقع هو خمسة... أقل قليلاً سنعمل بمثل هذه الصيغة المعدلة.
في مشاكل التقدم هناك تدوين آخر - ن+1. هذا، كما خمنت، هو مصطلح "n plus first" للتقدم. معناه بسيط وغير ضار.) هذا عضو في التقدم الذي عدده أكبر من الرقم n بواحد. على سبيل المثال، إذا كنا في بعض المشاكل نأخذ نالولاية الخامسة إذن ن+1سيكون العضو السادس. وما شابه ذلك.
في أغلب الأحيان التعيين ن+1وجدت في صيغ التكرار. لا تخف من هذه الكلمة المخيفة!) هذه مجرد وسيلة للتعبير عن عضو في التقدم الحسابي من خلال السابق.لنفترض أننا حصلنا على تقدم حسابي في هذا النموذج، باستخدام صيغة متكررة:
ن+1 = ن+3
أ 2 = أ 1 + 3 = 5+3 = 8
أ 3 = أ 2 + 3 = 8+3 = 11
الرابع - حتى الثالث، والخامس - حتى الرابع، وهكذا. كيف يمكننا أن نحسب على الفور، على سبيل المثال، الحد العشرين؟ 20؟ ولكن لا توجد طريقة!) وإلى أن نكتشف الحد التاسع عشر، لا يمكننا عد الحد العشرين. هذا هو الفرق الأساسي بين الصيغة المتكررة وصيغة الحد النوني. المتكررة تعمل فقط من خلال سابقالحد، وصيغة الحد n من خلال أولاًويسمح حالاالعثور على أي عضو عن طريق رقمه. دون حساب سلسلة الأرقام بأكملها بالترتيب.
في التقدم الحسابي، من السهل تحويل الصيغة المتكررة إلى صيغة عادية. عد زوجا من الحدود المتتالية، وحساب الفرق د،ابحث، إذا لزم الأمر، عن الفصل الأول أ 1، اكتب الصيغة بشكلها المعتاد، واعمل بها. غالبًا ما تتم مواجهة مثل هذه المهام في أكاديمية الدولة للعلوم.
تطبيق صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية.
أولاً، دعونا نلقي نظرة على التطبيق المباشر للصيغة. في نهاية الدرس السابق حدثت مشكلة:
يتم إعطاء التقدم الحسابي (ن). أوجد 121 إذا كان 1 = 3 و d = 1/6.
يمكن حل هذه المشكلة بدون أي صيغ، وذلك ببساطة بناءً على معنى التقدم الحسابي. أضف وأضف... ساعة أو ساعتين.)
ووفقا للصيغة، سيستغرق الحل أقل من دقيقة. يمكنك تحديد الوقت.) فلنقرر.
توفر الشروط جميع البيانات لاستخدام الصيغة: أ 1 = 3، د = 1/6.يبقى لمعرفة ما هو متساو ن.لا شك! نحن بحاجة الى العثور عليها 121. لذلك نكتب:
يرجى الانتباه! بدلا من الفهرس نظهر رقم محدد: 121. وهو أمر منطقي تمامًا.) نحن مهتمون بعضو التقدم الحسابي العدد مائة وواحد وعشرون.هذا سيكون لنا ن.هذا هو المعنى ن= 121 سوف نعوض أكثر في الصيغة، بين قوسين. نستبدل جميع الأرقام في الصيغة ونحسب:
أ 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23
هذا كل شيء. وبنفس السرعة يمكن العثور على الحد الخمسمائة والعاشر، والألف والثالث، أي واحد. نضع بدلا من ذلك نالرقم المطلوب في فهرس الحرف " أ"وبين قوسين، ونحن نعول.
اسمحوا لي أن أذكرك بنقطة: هذه الصيغة تسمح لك بالعثور عليها أيمصطلح التقدم الحسابي برقمه" ن" .
دعونا نحل المشكلة بطريقة أكثر دهاءً. دعونا نواجه المشكلة التالية:
أوجد الحد الأول من المتوالية الحسابية (a n)، إذا كان a 17 = -2؛ د=-0.5.
لو واجهتك أي صعوبات سأخبرك بالخطوة الأولى. اكتب صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية!نعم نعم. اكتب بيديك مباشرة في دفترك:
| أ ن = أ 1 + (ن-1)د |
والآن، بالنظر إلى أحرف الصيغة، نفهم ما هي البيانات التي لدينا وما هي البيانات المفقودة؟ متاح د=-0.5،هناك عضو السابع عشر...هل هذا هو؟ إذا كنت تعتقد أن هذا هو الحال، فلن تحل المشكلة، نعم...
لا يزال لدينا رقم ن! في حالة أ 17 = -2مختفي معلمتين.وهذه هي قيمة الحد السابع عشر (-2) ورقمه (17). أولئك. ن = 17.غالبًا ما ينزلق هذا "التافه" من الرأس، وبدونه (بدون "التافه"، وليس الرأس!) لا يمكن حل المشكلة. على الرغم من ... وبدون رأس أيضًا.)
الآن يمكننا ببساطة استبدال بياناتنا بغباء في الصيغة:
أ 17 = أ 1 + (17-1)·(-0.5)
أوه نعم، 17ونحن نعلم أنه -2. حسنًا، لنستبدل:
-2 = أ 1 + (17-1)·(-0.5)
هذا كل شيء في الأساس. يبقى التعبير عن الحد الأول للتقدم الحسابي من الصيغة وحسابه. الجواب سيكون: أ 1 = 6.
تعد هذه التقنية - كتابة صيغة واستبدال البيانات المعروفة ببساطة - مساعدة كبيرة في المهام البسيطة. حسنًا، بالطبع، يجب أن تكون قادرًا على التعبير عن متغير من صيغة، ولكن ماذا تفعل!؟ وبدون هذه المهارة لا يمكن دراسة الرياضيات على الإطلاق...
لغز شعبي آخر:
أوجد فرق المتتابعة الحسابية (a n)، إذا كانت a 1 = 2؛ أ 15 = 12.
ماذا نفعل؟ سوف تتفاجأ، نحن نكتب الصيغة!)
| أ ن = أ 1 + (ن-1)د |
لنتأمل فيما نعرفه: 1 =2؛ 15 = 12؛ و (سأسلط الضوء بشكل خاص!) ن = 15. لا تتردد في استبدال هذا في الصيغة:
12=2 + (15-1)د
نحن نفعل الحساب.)
12=2 + 14د
د=10/14 = 5/7
هذه هي الإجابة الصحيحة.
لذلك، المهام ل أ ن، أ 1و دمقرر. كل ما تبقى هو معرفة كيفية العثور على الرقم:
الرقم 99 هو عضو في المتتابعة الحسابية (a n)، حيث 1 = 12؛ د = 3. ابحث عن رقم هذا العضو
نعوض بالكميات المعروفة لدينا في صيغة الحد n:
أ ن = 12 + (ن-1) 3
للوهلة الأولى، هناك كميتين غير معروفتين هنا: ن و ن.لكن ن- هذا عضو في التقدم برقم ن...ونحن نعرف هذا العضو من التقدم! إنه 99. لا نعرف رقمه. ن،إذن هذا الرقم هو ما تحتاج إلى إيجاده. نستبدل مصطلح التقدم 99 في الصيغة:
99 = 12 + (ن-1) 3
نعبر عن الصيغة ننعتقد. نحصل على الجواب: ن = 30.
والآن مشكلة حول نفس الموضوع، ولكن أكثر إبداعا):
تحديد ما إذا كان الرقم 117 عضوًا في المتوالية الحسابية (أ ن):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
دعونا نكتب الصيغة مرة أخرى. ماذا، لا توجد معلمات؟ حسنًا... لماذا أُعطينا عيونًا؟) هل نرى الفصل الأول من التقدم؟ نحن نرى. هذا هو -3.6. يمكنك الكتابة بأمان: أ 1 = -3.6.اختلاف دهل يمكنك معرفة ذلك من المسلسل؟ الأمر سهل إذا كنت تعرف ما هو الفرق بين التقدم الحسابي:
د = -2.4 - (-3.6) = 1.2
لذلك، قمنا بأبسط شيء. يبقى التعامل مع الرقم المجهول نوالعدد غير المفهوم 117. وفي المشكلة السابقة على الأقل كان معروفا أن مصطلح التتابع هو الذي ورد. لكننا هنا لا نعرف حتى... ماذا نفعل!؟ حسنًا، كيف تكون، كيف تكون... قم بتشغيل قدراتك الإبداعية!)
نحن يفترضأن 117 هو، بعد كل شيء، عضو في تقدمنا. مع عدد غير معروف ن. وكما في المسألة السابقة، فلنحاول العثور على هذا الرقم. أولئك. نكتب الصيغة (نعم، نعم!)) ونستبدل أرقامنا:
117 = -3.6 + (ن-1) 1.2
مرة أخرى نعبر من الصيغةن، نحسب ونحصل على:
أُووبس! تبين الرقم كسور!مائة وواحد ونصف. والأعداد الكسرية في التقدم لا يحدث.ما هو الاستنتاج الذي يمكننا استخلاصه؟ نعم! رقم 117 ليس كذلكعضو في تقدمنا. وهو يقع في مكان ما بين الحدين المئة والأولى والمائة والثانية. إذا تبين أن العدد طبيعي، أي. هو عدد صحيح موجب، فإن الرقم سيكون عضوًا في التقدم مع الرقم الموجود. وفي حالتنا سيكون جواب المشكلة: لا.
مهمة مبنية على نسخة حقيقية من GIA:
يتم إعطاء التقدم الحسابي بالشرط:
ن = -4 + 6.8ن
أوجد الحدين الأول والعاشر من التقدم.
هنا يتم تعيين التقدم بطريقة غير عادية. نوع من الصيغة... يحدث ذلك.) ومع ذلك، هذه الصيغة (كما كتبت أعلاه) - وأيضا صيغة الحد النوني للتقدم الحسابي!كما أنها تسمح العثور على أي عضو في التقدم من خلال رقمه.
نحن نبحث عن العضو الأول. الشخص الذي يفكر. أن الحد الأول هو ناقص أربعة خطأ فادح!) لأن الصيغة في المشكلة تم تعديلها. الفصل الأول من المتوالية الحسابية فيه مختفي.لا بأس، سنجده الآن.)
كما في المسائل السابقة، نستبدل ن = 1في هذه الصيغة:
أ 1 = -4 + 6.8 1 = 2.8
هنا! الحد الأول هو 2.8، وليس -4!
ونبحث عن الحد العاشر بنفس الطريقة:
أ 10 = -4 + 6.8 10 = 64
هذا كل شيء.
والآن، بالنسبة لأولئك الذين قرأوا هذه السطور، المكافأة الموعودة.)
لنفترض، في موقف قتالي صعب في امتحان الدولة أو امتحان الدولة الموحد، أنك نسيت الصيغة المفيدة للحد التاسع من التقدم الحسابي. أتذكر شيئا، ولكن بطريقة غير مؤكدة إلى حد ما... أو نهناك، أو ن+1، أو ن-1...كيف تكون!؟
هادئ! من السهل استخلاص هذه الصيغة. إنها ليست صارمة للغاية، ولكنها بالتأكيد كافية للثقة واتخاذ القرار الصحيح!) للتوصل إلى نتيجة، يكفي أن تتذكر المعنى الأولي للتقدم الحسابي وأن يكون لديك بضع دقائق من الوقت. تحتاج فقط إلى رسم صورة. من أجل الوضوح.
ارسم خط أرقام وضع علامة على الرقم الأول عليه. الثانية والثالثة وما إلى ذلك. أعضاء. ونلاحظ الفرق دبين الأعضاء. مثله:
ننظر إلى الصورة ونفكر: ماذا يساوي الحد الثاني؟ ثانية واحد د:
أ 2 =أ1+ 1 د
ما هو المصطلح الثالث؟ ثالثالحد يساوي الحد الأول زائد اثنين د.
أ 3 =أ1+ 2 د
هل فهمت؟ ليس من قبيل الصدفة أن أسلط الضوء على بعض الكلمات بالخط العريض. حسنًا، خطوة أخرى).
ما هو الحد الرابع؟ الرابعالحد يساوي الحد الأول زائد ثلاثة د.
أ 4 =أ1+ 3 د
لقد حان الوقت لندرك أن عدد الفجوات، أي. د، دائماً واحد أقل من عدد العضو الذي تبحث عنه ن. أي إلى العدد ن، عدد المسافاتسوف ن-1.لذلك ستكون الصيغة (بدون اختلافات!):
| أ ن = أ 1 + (ن-1)د |
بشكل عام، الصور المرئية مفيدة جدًا في حل العديد من المشكلات في الرياضيات. لا تهمل الصور. ولكن إذا كان من الصعب رسم صورة، إذن... مجرد صيغة!) بالإضافة إلى ذلك، تتيح لك صيغة الحد n ربط ترسانة الرياضيات القوية بأكملها بالحل - المعادلات والمتباينات والأنظمة وما إلى ذلك. لا يمكنك إدراج صورة في المعادلة...
مهام الحل المستقل.
للإحماء:
1. في التقدم الحسابي (أ ن) أ 2 =3؛ أ 5 =5.1. العثور على 3.
تلميح: حسب الصورة، يمكن حل المشكلة في 20 ثانية... حسب الصيغة، يبدو الأمر أكثر صعوبة. ولكن لإتقان الصيغة، فهو أكثر فائدة.) في المادة 555، تم حل هذه المشكلة باستخدام كل من الصورة والصيغة. اشعر بالفرق!)
وهذا لم يعد الاحماء.)
2. في المتوالية الحسابية (أ ن) أ 85 = 19.1؛ أ 236 = 49, 3. أوجد أ 3 .
ماذا، ألا تريد رسم صورة؟) بالطبع! أفضل وفقا للصيغة، نعم ...
3. يتم إعطاء التقدم الحسابي بالشرط:أ 1 = -5.5؛ ن+1 = ن +0.5. أوجد الحد المائة والخامس والعشرين من هذا التقدم.
في هذه المهمة، يتم تحديد التقدم بطريقة متكررة. لكن العد حتى الحد المائة والخامس والعشرين... ليس كل شخص قادر على القيام بمثل هذا العمل الفذ.) لكن صيغة الحد التاسع في متناول الجميع!
4. بالنظر إلى التقدم الحسابي (أ ن):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
أوجد رقم أصغر حد موجب للتقدم.
5. وفقًا لشروط المهمة 4، ابحث عن مجموع أصغر الحدود الإيجابية وأكبر الحدود السلبية للتقدم.
6. حاصل ضرب الحدين الخامس والثاني عشر من التقدم الحسابي المتزايد هو -2.5، ومجموع الحدين الثالث والحادي عشر هو صفر. العثور على 14 .
ليست المهمة الأسهل، نعم...) لن تعمل طريقة "أطراف الإصبع" هنا. سيكون عليك كتابة الصيغ وحل المعادلات.
الإجابات (في حالة من الفوضى):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
هل نجحت؟ إنه لطيف!)
ليس كل شيء يعمل؟ يحدث. بالمناسبة، هناك لحظة واحدة خفية في المهمة الأخيرة. ستكون هناك حاجة إلى الحذر عند قراءة المشكلة. والمنطق.
تمت مناقشة حل كل هذه المشكلات بالتفصيل في القسم 555. وعنصر الخيال للنقطة الرابعة، والنقطة الدقيقة للسادس، والأساليب العامة لحل أي مشاكل تتعلق بصيغة الحد النوني - تم وصف كل شيء. أنا أوصي به.
إذا أعجبك هذا الموقع...
بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)
يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)
يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.
آلة حاسبة على الانترنت.
حل المتتابعة الحسابية.
نظرا: ن، د، ن
البحث عن: أ1
يعثر هذا البرنامج الرياضي على \(a_1\) للتقدم الحسابي استنادًا إلى الأرقام المحددة بواسطة المستخدم \(a_n, d\) و\(n\).
يمكن تحديد الأرقام \(a_n\) و \(d\) ليس فقط كأعداد صحيحة، ولكن أيضًا ككسور. علاوة على ذلك، يمكن إدخال الرقم الكسري على شكل كسر عشري (\(2.5\)) وعلى شكل كسر عادي (\(-5\frac(2)(7)\)).
لا يقدم البرنامج إجابة للمشكلة فحسب، بل يعرض أيضًا عملية البحث عن حل.
يمكن أن تكون هذه الآلة الحاسبة عبر الإنترنت مفيدة لطلاب المدارس الثانوية في المدارس الثانوية عند التحضير للاختبارات والامتحانات، عند اختبار المعرفة قبل امتحان الدولة الموحدة، وللآباء والأمهات للتحكم في حل العديد من المشكلات في الرياضيات والجبر.
أو ربما يكون استئجار مدرس أو شراء كتب مدرسية جديدة مكلفًا للغاية؟ أم أنك ترغب فقط في إنجاز واجباتك المنزلية في الرياضيات أو الجبر في أسرع وقت ممكن؟ وفي هذه الحالة، يمكنك أيضًا استخدام برامجنا مع الحلول التفصيلية.
بهذه الطريقة، يمكنك إجراء التدريب الخاص بك و/أو تدريب إخوتك أو أخواتك الأصغر سنًا، بينما يرتفع مستوى التعليم في مجال حل المشكلات.
إذا لم تكن على دراية بقواعد إدخال الأرقام، فنوصيك بالتعرف عليها.
قواعد إدخال الأرقام
يمكن تحديد الأرقام \(a_n\) و \(d\) ليس فقط كأعداد صحيحة، ولكن أيضًا ككسور.
يمكن أن يكون الرقم \(n\) عددًا صحيحًا موجبًا فقط.
قواعد إدخال الكسور العشرية.
يمكن فصل الأعداد الصحيحة والأجزاء الكسرية في الكسور العشرية إما بنقطة أو بفاصلة.
على سبيل المثال، يمكنك إدخال الكسور العشرية مثل 2.5 أو 2.5
قواعد إدخال الكسور العادية.
لا يمكن أن يكون المقام سالبًا.
عند إدخال كسر رقمي، يتم فصل البسط عن المقام بعلامة القسمة: /
مدخل:
النتيجة: \(-\frac(2)(3)\)
يتم فصل الجزء بأكمله عن الكسر بواسطة علامة العطف: &
مدخل:
النتيجة: \(-1\frac(2)(3)\)
تم اكتشاف أن بعض البرامج النصية اللازمة لحل هذه المشكلة لم يتم تحميلها، وقد لا يعمل البرنامج.
ربما قمت بتمكين AdBlock.
وفي هذه الحالة، قم بتعطيله وتحديث الصفحة.
لكي يظهر الحل، تحتاج إلى تمكين JavaScript.
فيما يلي إرشادات حول كيفية تمكين JavaScript في متصفحك.
لأن هناك الكثير من الأشخاص الراغبين في حل المشكلة، وقد تم وضع طلبك في قائمة الانتظار.
في بضع ثوان سوف يظهر الحل أدناه.
انتظر من فضلك ثانية...
إذا كنت لاحظت خطأ في الحل، فيمكنك الكتابة عن هذا في نموذج الملاحظات.
لا تنسى تشير إلى المهمةعليك أن تقرر ما أدخل في الحقول.
ألعابنا وألغازنا ومحاكياتنا:
القليل من النظرية.
تسلسل رقمي
في الممارسة اليومية، غالبًا ما يُستخدم ترقيم الكائنات المختلفة للإشارة إلى الترتيب الذي تم ترتيبها به. على سبيل المثال، يتم ترقيم المنازل في كل شارع. في المكتبة، يتم ترقيم اشتراكات القراء ثم ترتيبها حسب الأرقام المخصصة في ملفات بطاقات خاصة.
في بنك التوفير، باستخدام رقم الحساب الشخصي للمودع، يمكنك بسهولة العثور على هذا الحساب ومعرفة الإيداع الموجود فيه. لنفترض أن الحساب رقم 1 يحتوي على إيداع بمبلغ a1 روبل، والحساب رقم 2 يحتوي على إيداع بمبلغ a2 روبل، وما إلى ذلك. تسلسل رقمي
أ 1، أ 2، أ 3، ...، ن
حيث N هو عدد كافة الحسابات. هنا، كل عدد طبيعي n من 1 إلى N يرتبط برقم a n.
درست أيضا في الرياضيات تسلسل عدد لا نهائي:
أ 1، أ 2، أ 3، ...، أ ن، ... .
يتم استدعاء الرقم 1 الحد الأول من المتتابعةرقم أ 2 - الحد الثاني من المتتابعةرقم أ 3 - الحد الثالث من المتتابعةإلخ.
يسمى الرقم n العضو n (n) في التسلسل، والعدد الطبيعي n هو رقم.
على سبيل المثال، في تسلسل مربعات الأعداد الطبيعية 1، 4، 9، 16، 25، ...، ن 2، (ن + 1) 2، ... و 1 = 1 هو الحد الأول من التسلسل؛ و n = n 2 هو الحد النوني من المتتابعة؛ a n+1 = (n + 1) 2 هو الحد (n + 1) (n زائد الأول) من المتتابعة. في كثير من الأحيان يمكن تحديد التسلسل من خلال صيغة الحد النوني له. على سبيل المثال، تحدد الصيغة \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) التسلسل \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)
التقدم الحسابي
ويبلغ طول السنة حوالي 365 يوما. القيمة الأكثر دقة هي \(365\frac(1)(4)\) من الأيام، لذلك يتراكم خطأ قدره يوم واحد كل أربع سنوات.
ولمراعاة هذا الخطأ، تتم إضافة يوم إلى كل سنة رابعة، وتسمى السنة الممتدة بالسنة الكبيسة.
على سبيل المثال، في الألفية الثالثة، السنوات الكبيسة هي الأعوام 2004، 2008، 2012، 2016، ....
في هذا التسلسل كل عضو ابتداء من الثاني يساوي الذي قبله مضافا إليه نفس الرقم 4. وتسمى مثل هذه التسلسلات التقدم الحسابي.
تعريف.
التسلسل الرقمي a 1، a 2، a 3، ...، a n، ... يسمى التقدم الحسابي، إذا كان لجميع الطبيعي ن المساواة
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
حيث d هو عدد ما.
ويترتب على هذه الصيغة أن n+1 - a n = d. الرقم د يسمى الفرق التقدم الحسابي.
من خلال تعريف التقدم الحسابي لدينا:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
أين
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \)، حيث \(n>1 \)
وهكذا فإن كل حد من المتتابعة الحسابية، ابتداء من الثاني، يساوي الوسط الحسابي للحدين المتجاورين. وهذا ما يفسر اسم التقدم "الحسابي".
لاحظ أنه إذا تم إعطاء 1 وd، فيمكن حساب الحدود المتبقية للتقدم الحسابي باستخدام الصيغة المتكررة a n+1 = a n + d. بهذه الطريقة، ليس من الصعب حساب الحدود القليلة الأولى للتقدم، ولكن على سبيل المثال، الرقم 100 سيتطلب بالفعل الكثير من الحسابات. عادة، يتم استخدام صيغة الحد n لهذا الغرض. حسب تعريف التقدم الحسابي
\(a_2=a_1+د، \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+د=a_1+3d \)
إلخ.
على الاطلاق،
\(a_n=a_1+(n-1)د، \)
حيث أن الحد النوني للمتوالية الحسابية يتم الحصول عليه من الحد الأول بإضافة (ن-1) ضرب الرقم د.
هذه الصيغة تسمى صيغة الحد n من التقدم الحسابي.
مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي
أوجد مجموع الأعداد الطبيعية من 1 إلى 100.
لنكتب هذا المبلغ بطريقتين:
ق = ل + 2 + 3 + ... + 99 + 100،
س = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
دعونا نضيف هذه المساواة مصطلحًا تلو الآخر:
2س = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
يحتوي هذا المجموع على 100 مصطلح
ولذلك، 2S = 101 * 100، وبالتالي S = 101 * 50 = 5050.
دعونا الآن ننظر في التقدم الحسابي التعسفي
أ 1، أ 2، أ 3، ...، أ ن، ...
دع S n يكون مجموع الحدود n الأولى لهذا التقدم:
S n = أ 1 , أ 2 , أ 3 , ..., أ ن
ثم مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي يساوي
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
بما أن \(a_n=a_1+(n-1)d\)، فعند استبدال n في هذه الصيغة نحصل على صيغة أخرى للبحث مجموع الحدود n الأولى للتقدم الحسابي:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
يتعامل بعض الناس مع كلمة "التقدم" بحذر، باعتبارها مصطلحًا معقدًا جدًا من فروع الرياضيات العليا. وفي الوقت نفسه، فإن أبسط تقدم حسابي هو عمل عداد سيارات الأجرة (حيث لا يزال موجودا). وفهم الجوهر (وفي الرياضيات لا يوجد شيء أكثر أهمية من "الحصول على الجوهر") للتسلسل الحسابي ليس بالأمر الصعب، بعد تحليل بعض المفاهيم الأولية.
تسلسل الأرقام الرياضية
عادة ما يسمى التسلسل الرقمي بسلسلة من الأرقام، كل منها له رقم خاص به.
1 هو العضو الأول في التسلسل؛
و2 هو الحد الثاني من المتتابعة؛
و7 هو العضو السابع في التسلسل؛
و n هو العضو n في التسلسل؛
ومع ذلك، ليست أي مجموعة عشوائية من الأرقام والأعداد تهمنا. وسوف نركز اهتمامنا على المتتابعة العددية التي ترتبط فيها قيمة الحد النوني بعدده الترتيبي بعلاقة يمكن صياغتها رياضيا بشكل واضح. بمعنى آخر: القيمة العددية للرقم n هي إحدى وظائف n.
a هي قيمة عضو في التسلسل العددي؛
n هو رقمه التسلسلي؛
f(n) هي دالة، حيث الرقم الترتيبي في التسلسل الرقمي n هو الوسيطة.
تعريف
عادةً ما يُطلق على التقدم الحسابي اسم التسلسل العددي الذي يكون فيه كل حد لاحق أكبر (أقل) من الحد السابق بنفس الرقم. صيغة الحد النوني للمتتابعة الحسابية هي كما يلي:
أ ن - قيمة العضو الحالي في التقدم الحسابي؛
ن+1 - صيغة الرقم التالي؛
د - الفرق (عدد معين).
من السهل تحديد أنه إذا كان الفرق موجبًا (d>0)، فإن كل عضو لاحق في السلسلة قيد النظر سيكون أكبر من العضو السابق، وسوف يتزايد هذا التقدم الحسابي.
في الرسم البياني أدناه، من السهل معرفة سبب تسمية التسلسل الرقمي بـ "تزايد".
وفي الحالات التي يكون فيها الفرق سلبيا (د<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
قيمة العضو المحددة
في بعض الأحيان يكون من الضروري تحديد قيمة أي حد تعسفي n للتقدم الحسابي. ويمكن القيام بذلك عن طريق حساب قيم جميع أعضاء المتوالية الحسابية بشكل تسلسلي، بدءاً من الأول إلى المطلوب. ومع ذلك، فإن هذا المسار ليس مقبولًا دائمًا، إذا كان من الضروري، على سبيل المثال، العثور على قيمة الحد خمسة آلاف أو ثمانية ملايين. سوف تستغرق الحسابات التقليدية الكثير من الوقت. ومع ذلك، يمكن دراسة تقدم حسابي محدد باستخدام صيغ معينة. هناك أيضًا صيغة للحد النوني: يمكن تحديد قيمة أي حد من المتوالية الحسابية على أنها مجموع الحد الأول من المتتابعة مع فرق المتتابعة مضروبًا في عدد الحد المطلوب مختزلًا بمقدار واحد.
الصيغة عالمية لزيادة وخفض التقدم.
مثال لحساب قيمة مصطلح معين
دعونا نحل المشكلة التالية لإيجاد قيمة الحد النوني للتقدم الحسابي.
الحالة: يوجد تقدم حسابي مع المعلمات:
الحد الأول من التسلسل هو 3؛
الفرق في سلسلة الأرقام هو 1.2.
المهمة: تحتاج إلى إيجاد قيمة 214 مصطلحًا
الحل: لتحديد قيمة حد معين، نستخدم الصيغة:
أ(ن) = أ1 + د(ن-1)
باستبدال البيانات من بيان المشكلة في التعبير، لدينا:
أ(214) = أ1 + د(ن-1)
أ(214) = 3 + 1.2 (214-1) = 258.6
الإجابة: الحد 214 من المتتابعة يساوي 258.6.
مزايا طريقة الحساب هذه واضحة - الحل بأكمله لا يستغرق أكثر من سطرين.
مجموع عدد معين من المصطلحات
في كثير من الأحيان، في سلسلة حسابية معينة، من الضروري تحديد مجموع قيم بعض قطاعاتها. للقيام بذلك، ليست هناك حاجة أيضًا لحساب قيم كل مصطلح ثم جمعها. تنطبق هذه الطريقة إذا كان عدد المصطلحات التي يجب العثور على مجموعها صغيرًا. وفي حالات أخرى، يكون من الملائم أكثر استخدام الصيغة التالية.
مجموع حدود المتتابعة الحسابية من 1 إلى n يساوي مجموع الحدين الأول والنوني مضروبًا في عدد الحد n مقسومًا على اثنين. إذا تم استبدال قيمة الحد n في الصيغة بالتعبير من الفقرة السابقة من المقالة، نحصل على:
مثال للحساب
على سبيل المثال، دعونا نحل مشكلة بالشروط التالية:
الحد الأول من المتتابعة هو صفر؛
الفرق هو 0.5.
تتطلب المشكلة تحديد مجموع حدود المتسلسلة من 56 إلى 101.
حل. دعنا نستخدم الصيغة لتحديد مقدار التقدم:
ق(ن) = (2∙أ1 + د∙(ن-1))∙ن/2
أولاً، نحدد مجموع قيم 101 حدًا للتقدم عن طريق استبدال الشروط المعطاة لمشكلتنا في الصيغة:
ق 101 = (2∙0 + 0.5∙(101-1))∙101/2 = 2,525
من الواضح أنه من أجل معرفة مجموع شروط التقدم من 56 إلى 101، من الضروري طرح S 55 من S 101.
ق 55 = (2∙0 + 0.5∙(55-1))∙55/2 = 742.5
وبالتالي فإن مجموع التقدم الحسابي لهذا المثال هو:
ق 101 - ق 55 = 2,525 - 742,5 = 1,782,5
مثال على التطبيق العملي للتقدم الحسابي
في نهاية المقال، نعود إلى مثال التسلسل الحسابي الوارد في الفقرة الأولى - عداد التاكسي (عداد سيارة الأجرة). دعونا نفكر في هذا المثال.
تبلغ تكلفة ركوب سيارة الأجرة (التي تشمل مسافة 3 كيلومترات) 50 روبل. يتم دفع كل كيلومتر لاحق بمعدل 22 روبل / كم. مسافة السفر 30 كم. احسب تكلفة الرحلة.
1. دعونا نتخلص من أول 3 كيلومترات، والتي يتم تضمين سعرها في تكلفة الهبوط.
30 - 3 = 27 كم.
2. الحساب الإضافي ليس أكثر من تحليل سلسلة أرقام حسابية.
رقم العضو - عدد الكيلومترات المقطوعة (مطروحًا منها الثلاثة الأولى).
قيمة العضو هو المبلغ.
الحد الأول في هذه المسألة سيكون مساوياً لـ 1 = 50 روبل.
فرق التقدم د = 22 ص.
الرقم الذي يهمنا هو قيمة الحد (27+1) من المتتابعة الحسابية - قراءة العداد في نهاية الكيلومتر السابع والعشرين هي 27.999... = 28 كم.
أ 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
تعتمد حسابات بيانات التقويم لفترة طويلة بشكل عشوائي على صيغ تصف تسلسلات رقمية معينة. في علم الفلك، يعتمد طول المدار هندسيًا على مسافة الجسم السماوي إلى النجم. بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدام سلاسل الأرقام المختلفة بنجاح في الإحصاء والمجالات التطبيقية الأخرى في الرياضيات.
نوع آخر من التسلسل الرقمي هو هندسي
يتميز التقدم الهندسي بمعدلات تغيير أكبر مقارنة بالتقدم الحسابي. ليس من قبيل المصادفة أنه في السياسة وعلم الاجتماع والطب، من أجل إظهار السرعة العالية لانتشار ظاهرة معينة، على سبيل المثال، مرض أثناء الوباء، غالبًا ما يقولون إن العملية تتطور في تقدم هندسي.
يختلف الحد N من سلسلة الأرقام الهندسية عن الحد السابق من حيث أنه مضروب في بعض الأرقام الثابتة - المقام، على سبيل المثال، الحد الأول هو 1، والمقام يساوي 2، ثم:
ن=1: 1 ∙ 2 = 2
ن=2: 2 ∙ 2 = 4
ن=3: 4 ∙ 2 = 8
ن=4: 8 ∙ 2 = 16
ن=5: 16 ∙ 2 = 32،
ب ن - قيمة الحد الحالي للتقدم الهندسي؛
ب ن+1 - صيغة الحد التالي من التقدم الهندسي؛
q هو مقام التقدم الهندسي (رقم ثابت).
إذا كان الرسم البياني للتقدم الحسابي عبارة عن خط مستقيم، فإن التقدم الهندسي يرسم صورة مختلفة قليلاً:
كما هو الحال في الحساب، فإن التقدم الهندسي له صيغة لقيمة حد عشوائي. أي حد نوني من التقدم الهندسي يساوي حاصل ضرب الحد الأول ومقام التقدم إلى قوة n مخصومًا بواحد:
مثال. لدينا تقدم هندسي حيث الحد الأول يساوي 3 ومقام التقدم يساوي 1.5. دعونا نجد الحد الخامس للتقدم
ب 5 = ب 1 ∙ ف (5-1) = 3 ∙ 1.5 4 = 15.1875
يتم أيضًا حساب مجموع عدد معين من المصطلحات باستخدام صيغة خاصة. مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسي يساوي الفرق بين منتج الحد n للتقدم ومقامه والحد الأول للتقدم، مقسومًا على المقام مخفضًا بواحد:
إذا تم استبدال b n باستخدام الصيغة التي تمت مناقشتها أعلاه، فإن قيمة مجموع حدود n الأولى من سلسلة الأرقام قيد النظر سوف تأخذ الشكل:
مثال. يبدأ التقدم الهندسي بالحد الأول الذي يساوي 1. والمقام مضبوط على 3. فلنوجد مجموع الحدود الثمانية الأولى.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3280
على سبيل المثال، التسلسل \(2\); \(5\); \(8\); \(11\); \(14\)... هي متوالية حسابية، لأن كل عنصر لاحق يختلف عن العنصر السابق بثلاثة (يمكن الحصول على العنصر السابق بإضافة ثلاثة):
في هذا التقدم، يكون الفرق \(d\) موجبًا (يساوي \(3\)) وبالتالي فإن كل حد تالٍ أكبر من الحد السابق. تسمى مثل هذه التقدمات زيادة.
ومع ذلك، يمكن أن يكون \(d\) أيضًا رقمًا سالبًا. على سبيل المثال، في التقدم الحسابي \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... فرق التقدم \(d\) يساوي سالب ستة.
وفي هذه الحالة، سيكون كل عنصر تالي أصغر من العنصر السابق. وتسمى هذه التقدمات متناقص.
تدوين التقدم الحسابي
تتم الإشارة إلى التقدم بحرف لاتيني صغير.
يتم استدعاء الأرقام التي تشكل تقدمًا أعضاء(أو العناصر).
يتم الإشارة إليها بنفس الحرف كمتتالية حسابية، ولكن بمؤشر رقمي يساوي رقم العنصر بالترتيب.
على سبيل المثال، يتكون التقدم الحسابي \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) من العناصر \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) وهكذا.
بمعنى آخر، بالنسبة للتقدم \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
حل مسائل التقدم الحسابي
من حيث المبدأ، فإن المعلومات المقدمة أعلاه كافية بالفعل لحل أي مشكلة تقدم حسابي تقريبًا (بما في ذلك تلك المقدمة في OGE).
مثال (أوجي).
يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط \(b_1=7; d=4\). ابحث عن \(b_5\).
حل:
إجابة: \(b_5=23\)
مثال (أوجي).
معطاة الحدود الثلاثة الأولى للمتتابعة الحسابية: \(62; 49; 36…\) أوجد قيمة الحد السالب الأول من هذه المتوالية..
حل:
|
لقد حصلنا على العناصر الأولى من المتتابعة ونعلم أنها متوالية حسابية. أي أن كل عنصر يختلف عن جاره بنفس العدد. دعنا نكتشف أي منها عن طريق طرح العنصر السابق من العنصر التالي: \(d=49-62=-13\). |
|
|
الآن يمكننا استعادة تقدمنا إلى العنصر (السلبي الأول) الذي نحتاجه. |
|
|
مستعد. يمكنك كتابة إجابة. |
إجابة: \(-3\)
مثال (أوجي).
بمعرفة عدة عناصر متتالية للتقدم الحسابي: \(...5; x; 10; 12.5...\) أوجد قيمة العنصر المحدد بالحرف \(x\).
حل:
|
|
للعثور على \(x\)، نحتاج إلى معرفة مدى اختلاف العنصر التالي عن العنصر السابق، بمعنى آخر، اختلاف التقدم. لنجدها من عنصرين متجاورين معروفين: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
والآن يمكننا بسهولة العثور على ما نبحث عنه: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
مستعد. يمكنك كتابة إجابة. |
إجابة: \(7,5\).
مثال (أوجي).
يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط التالية: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) أوجد مجموع الحدود الستة الأولى من هذا التقدم.
حل:
|
علينا إيجاد مجموع الحدود الستة الأولى للتقدم. ولكننا لا نعرف معانيها؛ فلدينا العنصر الأول فقط. لذلك نقوم أولاً بحساب القيم واحدة تلو الأخرى باستخدام ما هو معطى لنا: \(ن=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
تم العثور على المبلغ المطلوب. |
إجابة: \(S_6=9\).
مثال (أوجي).
في التقدم الحسابي \(a_(12)=23\); \(أ_(16)=51\). أوجد الفرق في هذا التقدم.
حل:
إجابة: \(د=7\).
صيغ مهمة للتقدم الحسابي
كما ترون، يمكن حل العديد من المسائل المتعلقة بالتقدم الحسابي ببساطة عن طريق فهم الشيء الرئيسي - وهو أن التقدم الحسابي عبارة عن سلسلة من الأرقام، ويتم الحصول على كل عنصر لاحق في هذه السلسلة عن طريق إضافة نفس الرقم إلى العنصر السابق (الرقم اختلاف التقدم).
ومع ذلك، في بعض الأحيان تكون هناك مواقف يكون فيها اتخاذ القرار "المباشر" غير مريح للغاية. على سبيل المثال، تخيل أننا في المثال الأول لا نحتاج إلى العثور على العنصر الخامس \(b_5\)، ولكن العنصر الثلاثمائة والسادس والثمانين \(b_(386)\). هل يجب أن نضيف أربع \(385\) مرات؟ أو تخيل أنك تحتاج في المثال قبل الأخير إلى إيجاد مجموع العناصر الثلاثة والسبعين الأولى. سوف تتعب من العد..
لذلك، في مثل هذه الحالات، لا يقومون بحل الأمور "مباشرة"، بل يستخدمون صيغًا خاصة مشتقة من التقدم الحسابي. وأهمها هي صيغة الحد n من التقدم وصيغة مجموع \(n\) الحدود الأولى.
صيغة الحد \(n\)الثالث: \(a_n=a_1+(n-1)d\)، حيث \(a_1\) هو الحد الأول من التقدم؛
\(n\) – عدد العنصر المطلوب;
\(a_n\) – مدة التقدم بالرقم \(n\).
تسمح لنا هذه الصيغة بالعثور بسرعة على العنصر الثلاثمائة أو العنصر المليون، بمعرفة العنصر الأول فقط والفرق في التقدم.
مثال.
يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط: \(b_1=-159\); \(د=8.2\). ابحث عن \(b_(246)\).
حل:
إجابة: \(ب_(246)=1850\).
صيغة مجموع الحدود n الأولى: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\)، حيث
\(a_n\) – الحد الأخير الملخص؛
مثال (أوجي).
يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط \(a_n=3.4n-0.6\). أوجد مجموع الحدود \(25\) الأولى لهذا التقدم.
حل:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
لحساب مجموع أول خمسة وعشرين حدًا، علينا معرفة قيمة الحدين الأول والخامس والعشرين. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\) |
والآن دعونا نوجد الحد الخامس والعشرين بالتعويض بخمسة وعشرين بدلاً من \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\) |
حسنًا، يمكننا الآن حساب المبلغ المطلوب بسهولة. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
الجواب جاهز. |
إجابة: \(س_(25)=1090\).
بالنسبة لمجموع \(n\) الحدود الأولى، يمكنك الحصول على صيغة أخرى: تحتاج فقط إلى \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) بدلاً من \(a_n\) استبدل الصيغة \(a_n=a_1+(n-1)d\). نحصل على:
صيغة مجموع حدود n الأولى: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)، حيث
\(S_n\) – المبلغ المطلوب لعناصر \(n\) الأولى؛
\(a_1\) – الحد الأول المجمع؛
\(د\) - فرق التقدم؛
\(n\) – عدد العناصر في المجموع.
مثال.
أوجد مجموع الحدود \(33\)-ex الأولى للتقدم الحسابي: \(17\); \(15.5\); \(14\)…
حل:
إجابة: \(S_(33)=-231\).
مشاكل التقدم الحسابي الأكثر تعقيدًا
الآن لديك كل المعلومات التي تحتاجها لحل أي مسألة تقدم حسابي تقريبًا. دعونا ننهي الموضوع من خلال النظر في المسائل التي لا تحتاج فيها إلى تطبيق الصيغ فحسب، بل تحتاج أيضًا إلى التفكير قليلاً (قد يكون هذا مفيدًا في الرياضيات ☺)
مثال (أوجي).
أوجد مجموع كل الحدود السلبية للتقدم: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
حل:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
المهمة مشابهة جدًا للمهمة السابقة. نبدأ في حل نفس الشيء: أولاً نجد \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
الآن نود استبدال \(d\) في صيغة المجموع... وهنا يظهر فارق بسيط - نحن لا نعرف \(n\). بعبارة أخرى، لا نعرف عدد الحدود التي يجب إضافتها. كيفية معرفة ذلك؟ دعونا نفكر. سوف نتوقف عن إضافة العناصر عندما نصل إلى العنصر الإيجابي الأول. أي أنك بحاجة إلى معرفة عدد هذا العنصر. كيف؟ دعونا نكتب الصيغة لحساب أي عنصر من عناصر التقدم الحسابي: \(a_n=a_1+(n-1)d\) في حالتنا. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)د\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\) |
نحتاج أن يصبح \(a_n\) أكبر من الصفر. دعونا نكتشف ماذا سيحدث \(n\) هذا. |
|
|
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\) |
||
|
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
نقسم طرفي المتراجحة على \(0.3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) |
ننقل ناقص واحد، دون أن ننسى تغيير العلامات |
|
|
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\) |
دعونا نحسب... |
|
|
\(ن>65,333…\) |
...ويتضح أن العنصر الموجب الأول سيكون له الرقم \(66\). وبناء على ذلك، فإن آخر سالب له \(n=65\). فقط في حالة، دعونا التحقق من هذا. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) |
لذلك نحن بحاجة إلى إضافة العناصر \(65\) الأولى. |
|
|
\(س_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) |
الجواب جاهز. |
إجابة: \(S_(65)=-630.5\).
مثال (أوجي).
يتم تحديد التقدم الحسابي بالشروط: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). أوجد المجموع من \(26\)العنصر \(42\) شاملاً.
حل:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
في هذه المشكلة، تحتاج أيضًا إلى إيجاد مجموع العناصر، ولكن ليس بدءًا من العنصر الأول، بل من \(26\)الرقم. لمثل هذه الحالة ليس لدينا صيغة. كيف تقرر؟ |
|
|
بالنسبة لتقدمنا \(a_1=-33\)، والفرق \(d=4\) (بعد كل شيء، الأربعة هي التي نضيفها إلى العنصر السابق للعثور على العنصر التالي). بمعرفة ذلك، نجد مجموع عناصر \(42\)-y الأولى. |
|
\(س_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
الآن مجموع العناصر \(25\) الأولى. |
|
\(س_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
وأخيرًا، نحسب الإجابة. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
إجابة: \(س=1683\).
بالنسبة للتقدم الحسابي، هناك العديد من الصيغ الأخرى التي لم نأخذها في الاعتبار في هذه المقالة بسبب فائدتها العملية المنخفضة. ومع ذلك، يمكنك العثور عليها بسهولة.
كانت المشاكل المتعلقة بالتقدم الحسابي موجودة بالفعل في العصور القديمة. لقد حضروا وطالبوا بالحل لأن لديهم حاجة عملية.
وهكذا فإن إحدى برديات مصر القديمة ذات المحتوى الرياضي، وهي بردية ريند (القرن التاسع عشر قبل الميلاد)، تحتوي على المهمة التالية: تقسيم عشرة أكيال من الخبز على عشرة أشخاص، على أن يكون الفرق بين كل منهم ثمن الخبز. يقيس."
وفي الأعمال الرياضية لليونانيين القدماء هناك نظريات أنيقة تتعلق بالتقدم الحسابي. وهكذا، صاغ هيبسكل الإسكندرية (القرن الثاني، الذي جمع العديد من المسائل المثيرة للاهتمام وأضاف الكتاب الرابع عشر إلى عناصر إقليدس)، الفكرة: "في التقدم الحسابي الذي يحتوي على عدد زوجي من الحدود، مجموع حدود النصف الثاني أكبر من مجموع حدود الأول في المربع 1/2 عدد الأعضاء."
يتم الإشارة إلى التسلسل بواسطة. تسمى أرقام التسلسل أعضائه وعادة ما يتم تحديدها بأحرف ذات مؤشرات تشير إلى الرقم التسلسلي لهذا العضو (a1، a2، a3 ... اقرأ: "a 1st"، "a 2nd"، "a 3rd" وهكذا).
يمكن أن يكون التسلسل لا نهائيًا أو محدودًا.
ما هو التقدم الحسابي؟ ونعني به الذي تم الحصول عليه بإضافة الحد السابق (ن) بنفس الرقم د، وهو فرق التتابع.
إذا د<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0، فإن هذا التقدم يعتبر متزايدا.
يسمى التقدم الحسابي محدودًا إذا تم أخذ حدوده القليلة الأولى في الاعتبار. مع وجود عدد كبير جدًا من الأعضاء، يعد هذا بالفعل تقدمًا لا نهاية له.
يتم تعريف أي تقدم حسابي بالصيغة التالية:
an =kn+b، بينما b وk عبارة عن بعض الأرقام.
العبارة المعاكسة صحيحة تمامًا: إذا تم إعطاء تسلسل بصيغة مماثلة، فهو بالضبط تقدم حسابي له الخصائص:
- كل حد من المتتابعة هو الوسط الحسابي للحد السابق واللاحق.
- العكس: إذا كان كل حد ابتداء من الثاني هو الوسط الحسابي للحد السابق والحد اللاحق، أي. فإذا تحقق الشرط، فإن هذه المتوالية تعتبر متوالية حسابية. هذه المساواة هي أيضا علامة على التقدم، ولهذا السبب يطلق عليها عادة خاصية مميزة للتقدم.
وبنفس الطريقة، فإن النظرية التي تعكس هذه الخاصية صحيحة: فالمتتابعة تكون تقدمًا حسابيًا فقط إذا كانت هذه المساواة صحيحة لأي من حدود المتتابعة، بدءًا من الحد الثاني.
يمكن التعبير عن الخاصية المميزة لأي أربعة أرقام من التقدم الحسابي بالصيغة an + am = ak + al، إذا كانت n + m = k + l (m، n، k هي أرقام متتالية).
في المتتابعة الحسابية، يمكن العثور على أي حد ضروري (Nth) باستخدام الصيغة التالية:
على سبيل المثال: الحد الأول (أ1) في المتتابعة الحسابية معطى ويساوي ثلاثة، والفرق (د) يساوي أربعة. أنت بحاجة إلى العثور على الفصل الخامس والأربعين لهذا التقدم. أ45 = 1+4(45-1)=177
تسمح لك الصيغة an = ak + d(n - k) بتحديد الحد n للتقدم الحسابي من خلال أي من حدوده k، بشرط أن يكون معروفًا.
يتم حساب مجموع شروط التقدم الحسابي (بمعنى الحدود n الأولى للتقدم المحدود) على النحو التالي:
القص = (أ1+أن) ن/2.
إذا كان الحد الأول معروفًا أيضًا، فستكون هناك صيغة أخرى ملائمة للحساب:
Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.
يتم حساب مجموع التقدم الحسابي الذي يحتوي على n من الحدود على النحو التالي:
يعتمد اختيار الصيغ للحسابات على ظروف المشكلات والبيانات الأولية.
المتسلسلة الطبيعية لأية أرقام، مثل 1،2،3،...،ن،...، هي أبسط مثال على التقدم الحسابي.
بالإضافة إلى التقدم الحسابي، هناك أيضًا تقدم هندسي له خصائصه وخصائصه.
