هل من الممكن طرح المصفوفات؟ الإجراءات مع المصفوفات
السنة الأولى، الرياضيات العليا، دراسة المصفوفاتوالإجراءات الأساسية عليها. نحن هنا ننظم العمليات الأساسية التي يمكن إجراؤها باستخدام المصفوفات. من أين تبدأ التعرف على المصفوفات؟ بالطبع من أبسط الأشياء - التعاريف والمفاهيم الأساسية والعمليات البسيطة. نؤكد لك أن المصفوفات سوف يفهمها كل من يخصص لها القليل من الوقت على الأقل!
تعريف المصفوفة
مصفوفةهو جدول مستطيل من العناصر. حسنا، بعبارات بسيطة – جدول الأرقام.
عادة، يتم الإشارة إلى المصفوفات بأحرف لاتينية كبيرة. على سبيل المثال، مصفوفة أ ، مصفوفة ب وما إلى ذلك وهلم جرا. يمكن أن تكون المصفوفات بأحجام مختلفة: مستطيلة ومربعة، وهناك أيضًا مصفوفات صفوف وأعمدة تسمى المتجهات. يتم تحديد حجم المصفوفة من خلال عدد الصفوف والأعمدة. على سبيل المثال، لنكتب مصفوفة مستطيلة الحجم م على ن ، أين م - عدد الأسطر، و ن - عدد الأعمدة.
العناصر التي ط=ي (a11، a22، .. ) تشكل القطر الرئيسي للمصفوفة وتسمى قطري.
ماذا يمكنك أن تفعل بالمصفوفات؟ إضافة/طرح, اضرب برقم, تتكاثر فيما بينها, تبديل موضع. الآن عن كل هذه العمليات الأساسية على المصفوفات بالترتيب.
عمليات الجمع والطرح للمصفوفات
دعنا نحذرك على الفور أنه لا يمكنك سوى إضافة مصفوفات من نفس الحجم. وستكون النتيجة مصفوفة من نفس الحجم. إن إضافة (أو طرح) المصفوفات أمر بسيط - تحتاج فقط إلى إضافة العناصر المقابلة لها . دعونا نعطي مثالا. لنجري عملية جمع مصفوفتين A وB بحجم اثنين في اثنين.
يتم إجراء الطرح عن طريق القياس، فقط مع الإشارة المعاكسة.
يمكن ضرب أي مصفوفة برقم عشوائي. لفعل هذا، تحتاج إلى مضاعفة كل عنصر من عناصره بهذا الرقم. على سبيل المثال، لنضرب المصفوفة A من المثال الأول بالرقم 5:
عملية ضرب المصفوفة
لا يمكن ضرب كل المصفوفات معًا. على سبيل المثال، لدينا مصفوفتان - A وB. ويمكن ضربهما في بعضهما البعض فقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة A يساوي عدد صفوف المصفوفة B. في هذه الحالة سيكون كل عنصر من عناصر المصفوفة الناتجة، الموجود في الصف الأول والعمود j، مساويًا لمجموع منتجات العناصر المقابلة في الصف الأول من العامل الأول والعمود j من الثاني. لفهم هذه الخوارزمية، دعونا نكتب كيفية ضرب مصفوفتين مربعتين:
ومثال مع الأعداد الحقيقية. دعونا نضرب المصفوفات:
عملية تبديل المصفوفة
تبديل المصفوفة هو عملية يتم فيها تبديل الصفوف والأعمدة المقابلة. على سبيل المثال، لننقل المصفوفة A من المثال الأول:
محدد المصفوفة
المحدد أو المحدد هو أحد المفاهيم الأساسية للجبر الخطي. ذات مرة، توصل الناس إلى معادلات خطية، وبعدها كان عليهم أن يتوصلوا إلى محدد. في النهاية، الأمر متروك لك للتعامل مع كل هذا، لذا، الدفعة الأخيرة!
المحدد هو خاصية عددية للمصفوفة المربعة، وهي ضرورية لحل العديد من المسائل.
لحساب محدد أبسط مصفوفة مربعة، تحتاج إلى حساب الفرق بين منتجات عناصر الأقطار الرئيسية والثانوية.
محدد المصفوفة من الدرجة الأولى، أي التي تتكون من عنصر واحد، يساوي هذا العنصر.
ماذا لو كانت المصفوفة ثلاثة في ثلاثة؟ وهذا أكثر صعوبة، ولكن يمكنك التعامل معه.
بالنسبة لمثل هذه المصفوفة، تكون قيمة المحدد تساوي مجموع منتجات عناصر القطر الرئيسي ومنتجات العناصر الموجودة على المثلثات ذات الوجه الموازي للقطر الرئيسي، والتي منها منتج القطر الرئيسي يتم طرح عناصر القطر الثانوي وحاصل ضرب العناصر الموجودة على المثلثات ذات وجه القطر الثانوي الموازي.
ولحسن الحظ، نادرا ما يكون من الضروري حساب محددات المصفوفات ذات الأحجام الكبيرة.
لقد نظرنا هنا إلى العمليات الأساسية على المصفوفات. بالطبع، في الحياة الواقعية، قد لا تواجه أبدًا حتى تلميحًا لنظام مصفوفة من المعادلات، أو على العكس من ذلك، قد تواجه حالات أكثر تعقيدًا عندما تضطر حقًا إلى إرهاق عقلك. في مثل هذه الحالات توجد خدمات طلابية محترفة. اطلب المساعدة، واحصل على حل مفصل وعالي الجودة، واستمتع بالنجاح الأكاديمي ووقت الفراغ.
الغرض من الخدمة. حاسبة المصفوفةمصممة لحل تعبيرات المصفوفات، مثل 3A-CB 2 أو A -1 +B T .تعليمات. للحصول على حل عبر الإنترنت، تحتاج إلى تحديد تعبير مصفوفة. وفي المرحلة الثانية، سيكون من الضروري توضيح أبعاد المصفوفات.
العمليات الصالحة: الضرب (*)، الجمع (+)، الطرح (-)، المصفوفة العكسية A^(-1)، الأسي (A^2، B^3)، تبديل المصفوفة (A^T).العمليات الصالحة: الضرب (*)، الجمع (+)، الطرح (-)، المصفوفة العكسية A^(-1)، الأسي (A^2، B^3)، تبديل المصفوفة (A^T).
لتنفيذ قائمة العمليات، استخدم فاصلة منقوطة (;). على سبيل المثال، لإجراء ثلاث عمليات:
أ) 3أ+4ب
ب) أب-VA
ج) (أ-ب) -1
ستحتاج إلى كتابتها على النحو التالي: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)
المصفوفة عبارة عن جدول عددي مستطيل يحتوي على عدد m من الصفوف وn من الأعمدة، لذا يمكن تمثيل المصفوفة بشكل تخطيطي على شكل مستطيل.
مصفوفة صفرية (مصفوفة فارغة)هي مصفوفة جميع عناصرها تساوي الصفر ويرمز لها بالصفر.
مصفوفة الهويةتسمى مصفوفة مربعة الشكل
مصفوفتان A و B متساويتانإذا كانت بنفس الحجم وكانت العناصر المقابلة لها متساوية.
مصفوفة فريدةهي مصفوفة محددها يساوي الصفر (Δ = 0).
دعونا نحدد العمليات الأساسية على المصفوفات.
إضافة مصفوفة
تعريف . مجموع مصفوفتين لهما نفس الحجم هو مصفوفة لها نفس الأبعاد، ويتم العثور على عناصرها وفقا للصيغة
. يُشار إليه بـ C = A+B. مثال 6. .
تمتد عملية إضافة المصفوفة إلى حالة أي عدد من المصطلحات. من الواضح أن A+0=A .
دعونا نؤكد مرة أخرى أنه لا يمكن إضافة سوى المصفوفات ذات الحجم نفسه؛ بالنسبة للمصفوفات ذات الأحجام المختلفة، لم يتم تعريف عملية الجمع.
طرح المصفوفات
تعريف . الفرق B-A بين المصفوفتين B وA اللتين لهما نفس الحجم هو مصفوفة C بحيث A+ C = B.ضرب المصفوفة
تعريف . حاصل ضرب مصفوفة بالرقم α هي مصفوفة تم الحصول عليها من A بضرب جميع عناصرها في α، .تعريف . دعونا نعطي مصفوفتين
و ، وعدد أعمدة A يساوي عدد صفوف B. حاصل ضرب A في B عبارة عن مصفوفة يتم العثور على عناصرها وفقًا للصيغة 
.
يُشار إليه بـ C = A·B.
من الناحية التخطيطية، يمكن تصوير عملية ضرب المصفوفات على النحو التالي:
وقاعدة حساب عنصر في المنتج:
دعونا نؤكد مرة أخرى أن المنتج A·B يكون منطقيًا إذا وفقط إذا كان عدد أعمدة العامل الأول يساوي عدد صفوف العامل الثاني، وينتج المنتج مصفوفة عدد صفوفها يساوي عدد صفوف العامل الثاني عدد صفوف العامل الأول، وعدد الأعمدة يساوي عدد أعمدة العامل الثاني. يمكنك التحقق من نتيجة الضرب باستخدام آلة حاسبة خاصة عبر الإنترنت.
مثال 7. المصفوفات المعطاة 
و 
. أوجد المصفوفات C = A·B وD = B·A.
حل.
أولًا، لاحظ أن المنتج A·B موجود لأن عدد أعمدة A يساوي عدد صفوف B.
لاحظ أنه في الحالة العامة A·B≠B·A، أي. منتج المصفوفات مضاد للتبادل.
لنجد B·A (الضرب ممكن).
مثال 8. نظرا للمصفوفة 
. ابحث عن 3أ 2 - 2أ.
حل.
.
; 
.
.
دعونا نلاحظ الحقيقة المثيرة للاهتمام التالية.
كما تعلم، فإن حاصل ضرب رقمين غير الصفر لا يساوي صفرًا. بالنسبة للمصفوفات، قد لا يحدث ظرف مماثل، أي أن منتج المصفوفات غير الصفرية قد يكون مساويا للمصفوفة الخالية.
تجدر الإشارة إلى أنه يمكن استخدام المصفوفات ذات الحجم نفسه فقط في هذه العملية. عند إضافة مصفوفتين، يتم جمع كل عناصرهما في أزواج، وعند الطرح، فإننا نتعامل وفقًا لذلك مع الفرق الزوجي بينهما. بعد حصولك على حل مفصل وخطوة بخطوة، ستتمكن من فهم عملية إيجاد مجموع المصفوفات والفرق بينها بشكل أفضل.
إذن، لديك مصفوفتان أمامك، وعليك معرفة مجموعهما أو الفرق بينهما. يمكنك القيام بالأمرين بسهولة وسرعة إذا كنت تستخدم الآلة الحاسبة الخاصة بنا على الإنترنت. سيكون مفيدًا جدًا لك إذا كنت تريد فهم خوارزمية هذه العمليات. النظرية ليست قادرة دائمًا على تقديم إجابة واضحة لجميع الأسئلة؛ فالحسابات العملية تتعامل مع هذه المهمة بشكل أفضل. باستخدام الآلة الحاسبة عبر الإنترنت، سوف تتلقى رسمًا تخطيطيًا تفصيليًا لكيفية طرح المصفوفات أو إضافتها. بالإضافة إلى ذلك، يمكنك أولاً محاولة حساب كل شيء بنفسك، ثم التحقق مرة أخرى من نفسك هنا.
تحتوي هذه الآلة الحاسبة المتوفرة على الإنترنت على تعليمات بسيطة للغاية. يمكنك الإشارة إلى أبعاد كل من المصفوفات من خلال الضغط على أيقونة "+" أو "-" الموجودة على يسار المصفوفات وأسفلها. بعد ذلك، سوف تحتاج إلى إدخال كافة العناصر. وبعد ذلك، بالنقر فوق الزر "احسب"، يمكنك الحصول بسرعة على القيمة المطلوبة بالإضافة إلى خوارزمية حسابية مفصلة.
سيساعدك هذا الدليل على تعلم كيفية الأداء العمليات مع المصفوفات: جمع (طرح) المصفوفات، تبديل المصفوفات، ضرب المصفوفات، إيجاد المصفوفة العكسية. يتم تقديم جميع المواد في شكل بسيط وسهل الوصول إليه، ويتم تقديم الأمثلة ذات الصلة، لذلك حتى الشخص غير المستعد يمكنه تعلم كيفية تنفيذ الإجراءات باستخدام المصفوفات. للمراقبة الذاتية والاختبار الذاتي، يمكنك تنزيل حاسبة المصفوفات مجانًا >>>.
سأحاول التقليل من الحسابات النظرية؛ في بعض الأماكن، من الممكن تقديم تفسيرات "على الأصابع" واستخدام مصطلحات غير علمية. عشاق النظرية الصلبة، يرجى عدم الانخراط في النقد، مهمتنا هي تعلم كيفية إجراء العمليات مع المصفوفات.
للتحضير بسرعة فائقة حول موضوع (من "يشتعل")، توجد دورة تدريبية مكثفة بتنسيق pdf مصفوفة ومحددة واختبار!
المصفوفة عبارة عن جدول مستطيل للبعض عناصر. مثل عناصرسننظر في الأرقام، أي المصفوفات العددية. عنصرهو مصطلح. من المستحسن أن تتذكر هذا المصطلح، فهو سيظهر كثيرًا، وليس من قبيل الصدفة أنني استخدمت الخط العريض لتسليط الضوء عليه.
تعيين:يُشار إلى المصفوفات عادةً بأحرف لاتينية كبيرة
مثال:النظر في مصفوفة اثنين في ثلاثة:
تتكون هذه المصفوفة من ستة عناصر:
جميع الأرقام (العناصر) الموجودة داخل المصفوفة موجودة من تلقاء نفسها، أي أنه ليس هناك شك في أي طرح: 
إنه مجرد جدول (مجموعة) من الأرقام!
سوف نتفق أيضا لا إعادة ترتيبالأرقام، ما لم ينص على خلاف ذلك في التوضيحات. كل رقم له موقعه الخاص ولا يمكن خلطه!
تحتوي المصفوفة المعنية على صفين: 
وثلاثة أعمدة: 
معيار: عند الحديث عن أحجام المصفوفة، إذن في البدايهتشير إلى عدد الصفوف، وبعد ذلك فقط عدد الأعمدة. لقد قمنا للتو بتفكيك المصفوفة التي تساوي اثنين في ثلاثة.
إذا كان عدد صفوف وأعمدة المصفوفة هو نفسه، يتم استدعاء المصفوفة مربع، على سبيل المثال: 
- مصفوفة ثلاثة في ثلاثة.
إذا كانت المصفوفة تحتوي على عمود واحد أو صف واحد، فإن هذه المصفوفات تسمى أيضًا ثلاثة أبعاد.
في الواقع، لقد عرفنا مفهوم المصفوفة منذ المدرسة؛ لنأخذ على سبيل المثال نقطة ذات إحداثيات "x" و"y": . بشكل أساسي، تتم كتابة إحداثيات النقطة في مصفوفة واحدة تلو الأخرى. بالمناسبة، هنا مثال على أهمية ترتيب الأرقام: وهما نقطتان مختلفتان تمامًا على المستوى.
الآن دعنا ننتقل إلى الدراسة العمليات مع المصفوفات:
1) الفعل الأول. إزالة علامة ناقص من المصفوفة (إدخال علامة ناقص في المصفوفة).
دعنا نعود إلى المصفوفة لدينا 
. كما لاحظت على الأرجح، يوجد عدد كبير جدًا من الأرقام السالبة في هذه المصفوفة. هذا غير مريح للغاية من وجهة نظر تنفيذ إجراءات مختلفة باستخدام المصفوفة، ومن غير الملائم كتابة الكثير من السلبيات، وهو ببساطة يبدو قبيحًا في التصميم.
دعونا ننقل الطرح خارج المصفوفة، مع تغيير إشارة كل عنصر من عناصر المصفوفة:
عند الصفر، كما تفهم، فإن العلامة لا تتغير؛ الصفر هو أيضًا صفر في أفريقيا.
مثال عكسي: 
. يبدو قبيحا.
دعونا نقدم علامة ناقص في المصفوفة عن طريق تغيير إشارة كل عنصر من عناصر المصفوفة:
حسنا، اتضح أجمل بكثير. والأهم من ذلك أنه سيكون من الأسهل تنفيذ أي إجراءات باستخدام المصفوفة. لأن هناك مثل هذه العلامة الشعبية الرياضية: والمزيد من السلبيات، والمزيد من الارتباك والأخطاء.
2) الفعل الثاني. ضرب مصفوفة بعدد.
مثال:
الأمر بسيط، من أجل ضرب مصفوفة برقم، تحتاج كلعنصر المصفوفة مضروبا في عدد معين. في هذه الحالة - ثلاثة.
مثال مفيد آخر:
- ضرب المصفوفة بكسر
أولا دعونا ننظر إلى ما يجب القيام به لا حاجة:
ليست هناك حاجة لإدخال كسر في المصفوفة، أولاً، فهو يزيد الأمر تعقيدًا مزيد من الإجراءاتباستخدام المصفوفة، ثانيًا، يجعل من الصعب على المعلم التحقق من الحل (خاصة إذا كان 
- الإجابة النهائية للمهمة).
وخاصة، لا حاجةقسّم كل عنصر من عناصر المصفوفة على ناقص سبعة:
من المقال الرياضيات للدمى أو من أين تبدأنتذكر أنه في الرياضيات العليا يحاولون تجنب الكسور العشرية بفواصل بكل طريقة ممكنة.
الشيء الوحيد هو ويفضلما يجب فعله في هذا المثال هو إضافة علامة ناقص إلى المصفوفة:
ولكن إذا فقط الجميعتم تقسيم عناصر المصفوفة على 7 دون أن يترك أثرا، فسيكون من الممكن (والضروري!) التقسيم.
مثال:
في هذه الحالة، يمكنك بحاجة لاضرب جميع عناصر المصفوفة في، حيث أن جميع أرقام المصفوفات قابلة للقسمة على 2 دون أن يترك أثرا.
ملاحظة: في نظرية الرياضيات في المدارس العليا لا يوجد مفهوم "القسمة". بدلًا من قول "هذا مقسومًا على ذاك"، يمكنك دائمًا أن تقول "هذا مضروبًا في كسر". أي أن القسمة هي حالة خاصة من الضرب.
3) الفعل الثالث. تبديل المصفوفة.
من أجل تبديل مصفوفة، تحتاج إلى كتابة صفوفها في أعمدة المصفوفة المنقولة.
مثال:
تبديل المصفوفة
يوجد سطر واحد فقط هنا، ووفقًا للقاعدة، يجب كتابته في عمود:
- مصفوفة منقولة.
يُشار عادةً إلى المصفوفة المنقولة بحرف مرتفع أو أولي في أعلى اليمين.
مثال خطوة بخطوة:
تبديل المصفوفة 
أولاً نعيد كتابة الصف الأول في العمود الأول:
ثم نعيد كتابة السطر الثاني في العمود الثاني: 
وأخيرًا، نعيد كتابة الصف الثالث في العمود الثالث:
مستعد. بشكل تقريبي، النقل يعني قلب المصفوفة على جانبها.
4) الفصل الرابع. مجموع (الفرق) من المصفوفات.
مجموع المصفوفات عملية بسيطة
لا يمكن طي جميع المصفوفات. لإجراء عملية الجمع (الطرح) للمصفوفات، من الضروري أن تكون بنفس الحجم.
على سبيل المثال، إذا تم إعطاء مصفوفة اثنين في اثنين، فلا يمكن إضافتها إلا بمصفوفة اثنين في اثنين وليس غيرها! 
مثال:
إضافة المصفوفات 
و 
من أجل إضافة المصفوفات، تحتاج إلى إضافة العناصر المقابلة لها:
بالنسبة لاختلاف المصفوفات فإن القاعدة متشابهة، من الضروري إيجاد الفرق بين العناصر المقابلة.
مثال:
أوجد اختلاف المصفوفة 
, 
كيف يمكنك حل هذا المثال بسهولة أكبر حتى لا تتشوش؟ يُنصح بالتخلص من السلبيات غير الضرورية؛ للقيام بذلك، أضف علامة ناقص إلى المصفوفة:
ملاحظة: في نظرية الرياضيات في المدارس العليا لا يوجد مفهوم "الطرح". بدلًا من قول "اطرح هذا من هذا"، يمكنك دائمًا أن تقول "أضف عددًا سالبًا إلى هذا". أي أن الطرح هو حالة خاصة من عمليات الجمع.
5) الفعل الخامس. ضرب المصفوفة.
ما المصفوفات التي يمكن ضربها؟
من أجل ضرب المصفوفة بمصفوفة، فمن الضروري بحيث يكون عدد أعمدة المصفوفة مساوياً لعدد صفوف المصفوفة.
مثال:
هل من الممكن ضرب مصفوفة بمصفوفة؟
وهذا يعني أنه يمكن ضرب بيانات المصفوفة.
ولكن إذا تم إعادة ترتيب المصفوفات، ففي هذه الحالة، لم يعد الضرب ممكنًا!
ولذلك فإن الضرب غير ممكن:
ليس من النادر أن تواجه المهام بخدعة، عندما يُطلب من الطالب ضرب المصفوفات، ومن الواضح أن ضربها مستحيل.
وتجدر الإشارة إلى أنه في بعض الحالات يمكن ضرب المصفوفات في كلا الاتجاهين.
على سبيل المثال، بالنسبة للمصفوفات، وكل من الضرب والضرب ممكنان
إضافة مصفوفة$ A $ و $ B $ هي عملية حسابية، ونتيجة لذلك يجب الحصول على المصفوفة $ C $، كل عنصر منها يساوي مجموع العناصر المقابلة للمصفوفات المضافة:
$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$
بالتفصيل تبدو صيغة إضافة مصفوفتين كما يلي:
$$ A + B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ ب_(31) & ب_(32) & ب_(33) \end(pmatrix) = $$
$$ = \begin(pmatrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+ب_(22) & أ_(23)+ب_(23) \\ أ_(31)+ب_(31) & أ_(32)+ب_(32) & أ_(33)+ب_(33) \ النهاية (بماتريكس) = C$$
يرجى ملاحظة أنه يمكنك فقط جمع وطرح المصفوفات ذات البعد نفسه. مع المجموع أو الفرق، ستكون النتيجة مصفوفة $ C $ لها نفس البعد مثل الحدود (المطروحة) للمصفوفات $ A $ و $ B $. إذا كانت المصفوفات $ A $ و $ B $ تختلف عن بعضها البعض في الحجم، فإن إضافة (طرح) هذه المصفوفات سيكون خطأ!
تضيف الصيغة مصفوفات 3 × 3، مما يعني أن النتيجة يجب أن تكون مصفوفة 3 × 3.
طرح المصفوفاتتشبه تمامًا خوارزمية الجمع، مع وجود علامة الطرح فقط. يتم الحصول على كل عنصر من عناصر المصفوفة المطلوبة $C$ عن طريق طرح العناصر المقابلة للمصفوفات $A$ و$B$:
$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$
دعونا نكتب التفاصيل صيغة لطرح مصفوفتين:
$$ A - B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) - \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ ب_(31) & ب_(32) & ب_(33) \end(pmatrix) = $$
$$ = \begin(pmatrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-ب_(22) & أ_(23)-ب_(23) \\ أ_(31)-ب_(31) & أ_(32)-ب_(32) & أ_(33)-ب_(33) \ النهاية (بماتريكس) = C$$
ومن الجدير بالذكر أيضًا أنه لا يمكنك جمع وطرح المصفوفات ذات الأعداد العادية، وكذلك مع بعض العناصر الأخرى
سيكون من المفيد معرفة خصائص الجمع (الطرح) لمزيد من الحلول لمشاكل المصفوفات.
ملكيات
- إذا كانت المصفوفات $ A,B,C $ متساوية في الحجم، فإن خاصية الترابط تنطبق عليها: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
- لكل مصفوفة هناك مصفوفة صفرية، يُشار إليها بـ $O $، عند الجمع (الطرح) والتي لا تتغير بها المصفوفة الأصلية: $$ A \pm O = A $$
- لكل مصفوفة غير الصفر $ A $ هناك مصفوفة معاكسة $ (-A) $ يختفي مجموعها: $ $ A + (-A) = 0 $ $
- عند إضافة (طرح) المصفوفات، يُسمح بخاصية التبادلية، أي أنه يمكن تبديل المصفوفات $ A $ و $ B $: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$
أمثلة على الحلول
| مثال 1 |
|
المصفوفات المعطاة $ A = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) $ و $ B = \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) $. إجراء عملية جمع المصفوفات ثم الطرح. |
| حل |
|
أولًا، نتحقق من المصفوفات للتأكد من أبعادها. المصفوفة $ A $ لها البعد $ 2 × 2 $، والمصفوفة الثانية $ B $ لها البعد $ 2 × 2 $. وهذا يعني أنه باستخدام هذه المصفوفات من الممكن إجراء عملية جمع وطرح مشتركة. تذكر أنه بالنسبة للمجموع، من الضروري إجراء عملية إضافة زوجية للعناصر المقابلة للمصفوفات $ A \text( and ) B $. $$ A + B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 + 1 & 3 + (-3) \\ -1 + 2 & 4 + 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end( بماتريكس) $$ وبالمثل، يمكننا إيجاد الفرق بين المصفوفات عن طريق استبدال علامة "الزائد" بعلامة "الطرح": $$ A - B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 - 1 & 3 - (-3) \\ -1 - 2 & 4 - 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \ نهاية (بماتريكس) $$ إذا لم تتمكن من حل مشكلتك، أرسلها إلينا. وسوف نقدم حلا مفصلا. سوف تكون قادرا على عرض التقدم المحرز في الحساب والحصول على المعلومات. سيساعدك هذا في الحصول على درجتك من معلمك في الوقت المناسب! |
| إجابة |
|
$$ A + B = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end(pmatrix); أ - ب = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \end(pmatrix) $$ |
في المقال: تم تقديم التعاريف والقواعد والتعليقات وخصائص العمليات وأمثلة عملية للحلول في "جمع وطرح المصفوفات".
