أقراص، حقن

العثور على أمثلة مشتقة وظيفة معقدة مع الحل. مشتق من وظيفة. الدليل النهائي (2019)

بعد إعداد المدفعية الأولي، ستكون الأمثلة ذات التعشيش 3-4-5 أقل مخيفة. قد يبدو المثالان التاليان معقدين بالنسبة للبعض، ولكن إذا فهمتهما (سيعاني شخص ما)، فإن كل شيء آخر تقريبًا في حساب التفاضل والتكامل سيبدو وكأنه مزحة طفل.

مثال 2

أوجد مشتقة الدالة

كما ذكرنا سابقًا، عند العثور على مشتق دالة معقدة، فمن الضروري أولاً وقبل كل شيء يمينفهم استثماراتك. في الحالات التي توجد فيها شكوك، أذكرك بتقنية مفيدة: نأخذ القيمة التجريبية لـ "x"، على سبيل المثال، ونحاول (ذهنيًا أو في مسودة) استبدال هذه القيمة في "التعبير الرهيب".

1) نحتاج أولاً إلى حساب التعبير، مما يعني أن المجموع هو التضمين الأعمق.

2) فأنت بحاجة إلى حساب اللوغاريتم:

4) ثم مكعب جيب التمام:

5) في الخطوة الخامسة الفرق هو:

6) وأخيرًا، الدالة الخارجية هي الجذر التربيعي:

صيغة للتمييز بين وظيفة معقدة يتم تطبيقها بترتيب عكسي، من الوظيفة الخارجية إلى الوظيفة الأعمق. نحن نقرر:

يبدو بدون أخطاء:

1) خذ مشتقة الجذر التربيعي.

2) أوجد مشتقة الفرق باستخدام القاعدة

3) مشتقة الثلاثي هي صفر. وفي الفصل الثاني نأخذ مشتقة الدرجة (المكعب).

4) خذ مشتق جيب التمام.

6) وأخيرا، نأخذ مشتقة التضمين الأعمق.

قد يبدو الأمر صعبا للغاية، ولكن هذا ليس المثال الأكثر وحشية. خذ على سبيل المثال مجموعة كوزنتسوف وسوف تقدر كل جمال وبساطة المشتق الذي تم تحليله. لقد لاحظت أنهم يحبون تقديم شيء مماثل في الاختبار للتحقق مما إذا كان الطالب يفهم كيفية العثور على مشتق دالة معقدة أم لا.

المثال التالي هو الحل بنفسك.

مثال 3

أوجد مشتقة الدالة

تلميح: أولاً، نطبق القواعد الخطية وقاعدة تمايز المنتجات

الحل الكامل والإجابة في نهاية الدرس.

حان الوقت للانتقال إلى شيء أصغر وأجمل.
ليس من غير المألوف أن يُظهر المثال منتجًا ليس وظيفتين، بل ثلاث وظائف. كيفية العثور على مشتق المنتج من ثلاثة عوامل؟

مثال 4

أوجد مشتقة الدالة

لننظر أولاً، هل من الممكن تحويل منتج ثلاث وظائف إلى منتج دالتين؟ على سبيل المثال، إذا كان لدينا كثيرتا الحدود في حاصل الضرب، فيمكننا فتح الأقواس. ولكن في المثال قيد النظر، جميع الوظائف مختلفة: الدرجة والأس واللوغاريتم.

في مثل هذه الحالات فمن الضروري بالتتابعتطبيق قاعدة تمايز المنتج مرتين

الحيلة هي أننا نشير بالحرف "y" إلى حاصل ضرب وظيفتين: وبالحرف "ve" نشير إلى اللوغاريتم: . لماذا يمكن القيام بذلك؟ هل هو حقا - هذا ليس نتاج عاملين والقاعدة لا تعمل؟! لا يوجد شيء معقد:

الآن يبقى تطبيق القاعدة مرة ثانية بين قوسين:

لا يزال بإمكانك أن تكون منحرفًا وتخرج شيئًا ما بين قوسين، ولكن في في هذه الحالةمن الأفضل ترك الإجابة في هذا النموذج - سيكون من الأسهل التحقق منها.

يمكن حل المثال المدروس بالطريقة الثانية:

كلا الحلين متكافئان تمامًا.

مثال 5

أوجد مشتقة الدالة

هذا مثال للحل المستقل؛ في العينة تم حله باستخدام الطريقة الأولى.

دعونا نلقي نظرة على أمثلة مماثلة مع الكسور.

مثال 6

أوجد مشتقة الدالة

هناك عدة طرق يمكنك الذهاب إليها هنا:

أو مثل هذا:

لكن الحل سيكون مكتوبًا بشكل أكثر إحكامًا إذا استخدمنا قاعدة اشتقاق خارج القسمة أولًا ، مع الأخذ في الاعتبار البسط بأكمله:

ومن حيث المبدأ فالمثال محلول، وإذا ترك كما هو فلا يكون خطأ. ولكن إذا كان لديك الوقت، فمن المستحسن دائمًا التحقق من المسودة لمعرفة ما إذا كان من الممكن تبسيط الإجابة؟

دعونا نختصر تعبير البسط إلى قاسم مشترك ونتخلص من بنية الكسر المكونة من ثلاثة طوابق:

عيب التبسيط الإضافي هو أن هناك خطر ارتكاب خطأ ليس عند العثور على المشتق، ولكن أثناء التحولات المدرسية المبتذلة. من ناحية أخرى، غالبًا ما يرفض المعلمون المهمة ويطلبون "إحضارها إلى الذهن" المشتقة.

مثال أبسط لحلها بنفسك:

مثال 7

أوجد مشتقة الدالة

نواصل إتقان طرق العثور على المشتق، والآن سننظر في حالة نموذجية عندما يتم اقتراح لوغاريتم "فظيع" للتمايز

لا تتناسب الوظائف ذات النوع المعقد دائمًا مع تعريف الوظيفة المعقدة. إذا كانت هناك دالة بالشكل y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11، فلا يمكن اعتبارها معقدة، على عكس y = sin 2 x.

ستوضح هذه المقالة مفهوم الوظيفة المعقدة وتحديدها. دعونا نتعامل مع الصيغ لإيجاد المشتقة مع أمثلة للحلول في الاستنتاج. إن استخدام جدول المشتقات وقواعد التمايز يقلل بشكل كبير من الوقت اللازم للعثور على المشتق.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

التعريفات الأساسية

التعريف 1

الدالة المعقدة هي التي تكون حجتها دالة أيضًا.

يشار إلى ذلك بهذه الطريقة: f (g (x)). لدينا أن الدالة g (x) تعتبر وسيطة f (g (x)).

التعريف 2

إذا كانت هناك دالة f وكانت دالة ظل التمام، فإن g(x) = ln x هي دالة اللوغاريتم الطبيعي. نجد أن الدالة المعقدة f (g (x)) ستكتب بالشكل arctg(lnx). أو الدالة f وهي دالة مرفوعة للقوة الرابعة حيث g (x) = x 2 + 2 x - 3 تعتبر دالة كسرية كاملة، نحصل على أن f (g (x)) = (x 2 + 2 س - 3) 4 .

من الواضح أن g(x) يمكن أن تكون معقدة. من المثال y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 يتضح أن قيمة g لها الجذر التكعيبي للكسر. يمكن الإشارة إلى هذا التعبير كـ y = f (f 1 (f 2 (x))). من هنا نجد أن f هي دالة جيبية، وf 1 هي دالة تقع تحت الجذر التربيعي، f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 هي دالة كسرية.

التعريف 3

يتم تحديد درجة التداخل بأي عدد طبيعي وتكتب بالشكل y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

التعريف 4

يشير مفهوم تكوين الوظيفة إلى عدد الوظائف المتداخلة وفقًا لظروف المشكلة. لحل هذه المشكلة، استخدم صيغة إيجاد مشتقة دالة معقدة في النموذج

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

أمثلة

مثال 1

أوجد مشتقة دالة مركبة بالصيغة y = (2 x + 1) 2.

حل

يوضح الشرط أن f هي دالة تربيعية، وأن g(x) = 2 x + 1 تعتبر دالة خطية.

دعونا نطبق الصيغة المشتقة لدالة معقدة ونكتب:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (ز (س)) ز " (س) = 2 (2 س + 1) 2 = 8 س + 4

من الضروري العثور على المشتق بشكل أصلي مبسط للدالة. نحصل على:

ص = (2 س + 1) 2 = 4 × 2 + 4 × + 1

من هنا لدينا ذلك

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · س 2 - 1 + 4 · 1 · س 1 - 1 = 8 س + 4

وكانت النتائج هي نفسها.

عند حل مشاكل من هذا النوع، من المهم أن نفهم أين ستكون وظيفة النموذج f و g (x).

مثال 2

يجب أن تجد مشتقات الدوال المعقدة بالشكل y = sin 2 x و y = sin x 2.

حل

ينص تدوين الدالة الأول على أن f هي دالة التربيع وg(x) هي دالة الجيب. ثم حصلنا على ذلك

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

يُظهر الإدخال الثاني أن f هي دالة جيبية، وg(x) = x 2 تشير إلى دالة طاقة. ويترتب على ذلك أننا نكتب منتج دالة معقدة كـ

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

صيغة المشتق y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) ستكتب بالشكل y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. ( و ن (خ)))) · و ١ " (ف ٢ (ف ٣ (. . . (ف ن (خ)))) · · و ٢ " (ف ٣ (. . . (و ن (خ) . )) )) · . . . الجبهة الوطنية "(خ)

مثال 3

أوجد مشتقة الدالة y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

حل

يوضح هذا المثال صعوبة الكتابة وتحديد مكان الدوال. ثم y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) تشير إلى حيث f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) هي دالة الجيب، دالة الرفع إلى 3 درجات، وظيفة مع اللوغاريتم والقاعدة e، والدالة الظلية والدالة الخطية.

من صيغة تحديد دالة معقدة لدينا ذلك

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) و 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

نحصل على ما نحتاج إلى العثور عليه

f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) كمشتقة الجيب وفقًا لجدول المشتقات، ثم f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) كمشتق لدالة القدرة، ثم f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
f 2 " (f 3 (f 4 (x))) كمشتق لوغاريتمي، ثم f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
f 3 " (f 4 (x)) كمشتقة ظل قوسي، ثم f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
عند إيجاد المشتقة f 4 (x) = 2 x، قم بإزالة 2 من إشارة المشتقة باستخدام صيغة مشتقة دالة قوة ذات أس يساوي 1، ثم f 4 " (x) = (2 x) " = 2 × " = 2 · 1 · × 1 - 1 = 2 .

نحن نجمع بين النتائج المتوسطة ونحصل على ذلك

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

إن تحليل مثل هذه الوظائف يذكرنا بدمى التعشيش. لا يمكن دائمًا تطبيق قواعد التفاضل بشكل صريح باستخدام جدول مشتق. غالبًا ما تحتاج إلى استخدام صيغة للعثور على مشتقات الدوال المعقدة.

هناك بعض الاختلافات بين المظهر المعقد والوظائف المعقدة. مع القدرة الواضحة على التمييز بين ذلك، سيكون العثور على المشتقات أمرًا سهلاً بشكل خاص.

مثال 4

ومن الضروري النظر في إعطاء مثل هذا المثال. إذا كانت هناك دالة بالشكل y = t g 2 x + 3 t g x + 1، فيمكن اعتبارها دالة معقدة بالصيغة g (x) = t g x، f (g) = g 2 + 3 g + 1 . من الواضح أنه من الضروري استخدام الصيغة لمشتق معقد:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = 2 · ز 2 - 1 (س) + 3 جم " (س) + 0 = 2 جم (س) + 3 1 جم 1 - 1 (س) = = 2 جم (س) + 3 = 2 ر ز x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 كوس 2 س = 2 ر ج س + 3 كوس 2 س

دالة من الصيغة y = t g x 2 + 3 t g x + 1 لا تعتبر معقدة، لأنها تحتوي على مجموع t g x 2، 3 t g x و 1. ومع ذلك، t g x 2 تعتبر دالة معقدة، ثم نحصل على دالة قوة بالصيغة g (x) = x 2 و f، وهي دالة ظل. للقيام بذلك، قم بالتمييز حسب المبلغ. لقد حصلنا على ذلك

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 كوس 2 س

دعنا ننتقل إلى إيجاد مشتق دالة معقدة (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

نحصل على y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

يمكن تضمين الوظائف من النوع المعقد في الوظائف المعقدة، ويمكن أن تكون الوظائف المعقدة نفسها مكونات لوظائف من النوع المعقد.

مثال 5

على سبيل المثال، فكر في دالة معقدة على الصورة y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

يمكن تمثيل هذه الدالة بالشكل y = f (g (x))، حيث قيمة f هي دالة للوغاريتم ذو الأساس 3، ويعتبر g (x) مجموع وظيفتين من النموذج h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 و k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . من الواضح أن y = f (h (x) + k (x)).

خذ بعين الاعتبار الدالة h(x). هذه هي النسبة l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 إلى m (x) = e x 2 + 3 3

لدينا أن l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) هو مجموع الدالتين n (x) = x 2 + 7 و p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , حيث p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) هي دالة معقدة ذات معامل عددي 3، وp 1 هي دالة مكعبة، p 2 بواسطة دالة جيب التمام، p 3 (x) = 2 x + 1 بواسطة دالة خطية.

وجدنا أن m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) هو مجموع الدالتين q (x) = e x 2 و r (x) = 3 3، حيث q (x) = q 1 (q 2 (x)) هي دالة معقدة، q 1 هي دالة ذات أسية، q 2 (x) = x 2 هي دالة قوة.

هذا يوضح أن h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (خ))) ف 1 (ف 2 (س)) + ص (س)

عند الانتقال إلى تعبير بالشكل k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) فمن الواضح أن الدالة مقدمة في شكل s معقد ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) بعدد صحيح نسبي t (x) = x 2 + 1، حيث s 1 هي دالة تربيعية، وs 2 (x) = ln x لوغاريتمية قاعدة ه.

ويترتب على ذلك أن التعبير سوف يأخذ الشكل k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

ثم حصلنا على ذلك

y = سجل 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( س))) ف 1 (ف 2 (س)) = ص (س) + ق 1 (ق 2 (س)) ر (س)

بناءً على هياكل الدالة، أصبح من الواضح كيف وما هي الصيغ التي يجب استخدامها لتبسيط التعبير عند التمييز بينه. للتعرف على مثل هذه المشاكل ومفهوم حلها، من الضروري أن ننتقل إلى نقطة اشتقاق دالة، أي إيجاد مشتقتها.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

سنتحدث في هذه المقالة عن مفهوم رياضي مهم كدالة معقدة، وسنتعلم كيفية العثور على مشتقة دالة معقدة.

قبل أن نتعلم كيفية العثور على مشتقة دالة معقدة، دعونا نفهم مفهوم الوظيفة المعقدة، وما هي، "وماذا تؤكل"، و"كيفية طهيها بشكل صحيح".

النظر في وظيفة تعسفية، على سبيل المثال، هذه:

لاحظ أن الوسيطة الموجودة على الجانبين الأيمن والأيسر من معادلة الدالة هي نفس الرقم أو التعبير.

وبدلا من المتغير يمكننا أن نضع مثلا التعبير التالي: . وبعد ذلك نحصل على الدالة

لنسمي التعبير وسيطة وسيطة، والدالة وظيفة خارجية. هذه ليست مفاهيم رياضية صارمة، ولكنها تساعد على فهم معنى مفهوم الدالة المعقدة.

التعريف الصارم لمفهوم الوظيفة المعقدة هو:

دع الوظيفة يتم تعريفها على مجموعة وتكون مجموعة قيم هذه الوظيفة. دع المجموعة (أو مجموعتها الفرعية) تكون مجال تعريف الوظيفة. دعونا نخصص رقمًا لكل منهم. وبالتالي، سيتم تعريف الوظيفة على المجموعة. يطلق عليه تكوين الوظيفة أو الوظيفة المعقدة.

في هذا التعريف، إذا استخدمنا مصطلحاتنا، فإن الدالة الخارجية هي وسيطة وسيطة.

يتم العثور على مشتق دالة معقدة وفقًا للقاعدة التالية:

ولتوضيح الأمر أكثر، أحب أن أكتب هذه القاعدة على النحو التالي:

في هذا التعبير، يشير الاستخدام إلى وظيفة وسيطة.

لذا. للعثور على مشتق دالة معقدة، تحتاج

1. تحديد الوظيفة الخارجية والعثور على المشتقة المقابلة من جدول المشتقات.

2. تحديد وسيطة وسيطة.

الصعوبة الأكبر في هذا الإجراء هي العثور على الوظيفة الخارجية. يتم استخدام خوارزمية بسيطة لهذا:

أ. اكتب معادلة الدالة.

ب. تخيل أنك بحاجة إلى حساب قيمة دالة لبعض قيم x. للقيام بذلك، يمكنك استبدال قيمة x هذه في معادلة الدالة وإجراء العمليات الحسابية. الإجراء الأخير الذي تقوم به هو الوظيفة الخارجية.

على سبيل المثال، في الدالة

الإجراء الأخير هو الأسي.

دعونا نجد مشتقة هذه الوظيفة. للقيام بذلك، نكتب حجة وسيطة

مستوى الدخول

مشتق من وظيفة. الدليل النهائي (2019)

لنتخيل طريقًا مستقيمًا يمر عبر منطقة جبلية. أي أنه يصعد ويهبط، لكنه لا يلتفت يمينًا أو يسارًا. إذا تم توجيه المحور أفقيًا على طول الطريق وعموديًا، فسيكون خط الطريق مشابهًا جدًا للرسم البياني لبعض الوظائف المستمرة:

المحور هو مستوى معين من الارتفاع صفر؛ في الحياة نستخدم مستوى سطح البحر كما هو.

وبينما نتحرك للأمام على طول هذا الطريق، فإننا نتحرك أيضًا لأعلى أو لأسفل. يمكننا أن نقول أيضًا: عندما يتغير الوسيط (الحركة على طول محور الإحداثي) تتغير قيمة الدالة (الحركة على طول المحور الإحداثي). الآن دعونا نفكر في كيفية تحديد "انحدار" طريقنا؟ أي نوع من القيمة يمكن أن يكون هذا؟ الأمر بسيط للغاية: ما مدى تغير الارتفاع عند المضي قدمًا لمسافة معينة. في الواقع، في أجزاء مختلفة من الطريق، عند التحرك للأمام (على طول المحور السيني) بمقدار كيلومتر واحد، سنرتفع أو ننخفض بعدد مختلف من الأمتار نسبة إلى مستوى سطح البحر (على طول المحور الصادي).

دعونا نشير إلى التقدم (اقرأ "دلتا x").

يُستخدم الحرف اليوناني (دلتا) بشكل شائع في الرياضيات كبادئة تعني "التغيير". وهذا هو - هذا تغيير في الكمية، - التغيير؛ ثم ما هو؟ هذا صحيح، تغيير في الحجم.

هام: التعبير هو كل واحد ومتغير واحد. لا تفصل أبدًا "دلتا" عن "x" أو أي حرف آخر!

وهذا هو، على سبيل المثال،.

القيمة سهلة الحساب: إذا كنا في البداية على ارتفاع، وبعد التحرك وجدنا أنفسنا على ارتفاع، إذن. إذا كانت نقطة النهاية أقل من نقطة البداية، فستكون سلبية - وهذا يعني أننا لا نصعد، بل ننزل.

دعنا نعود إلى "الانحدار": هذه قيمة توضح مدى زيادة الارتفاع (بشكل حاد) عند التحرك للأمام بوحدة مسافة واحدة:

لنفترض أنه في جزء ما من الطريق، عند التحرك للأمام بمقدار كيلومتر، يرتفع الطريق بمقدار كيلومتر. إذن الميل عند هذا المكان متساوي. وإذا كان الطريق أثناء التقدم بمقدار متر انخفض بمقدار كيلومتر؟ ثم الميل متساوي.

الآن دعونا ننظر إلى أعلى التل. إذا أخذت بداية المقطع قبل القمة بنصف كيلومتر، والنهاية بعد نصف كيلومتر منها، يمكنك أن ترى أن الارتفاع هو نفسه تقريبًا.

وهذا يعني أنه وفقًا لمنطقنا، يتبين أن الميل هنا يساوي الصفر تقريبًا، وهو ما من الواضح أنه غير صحيح. على مسافة كيلومترات قليلة يمكن أن يتغير الكثير. من الضروري النظر في مناطق أصغر لإجراء تقييم أكثر دقة ودقة للانحدار. على سبيل المثال، إذا قمت بقياس التغير في الارتفاع أثناء تحركك مترًا واحدًا، فستكون النتيجة أكثر دقة. ولكن حتى هذه الدقة قد لا تكون كافية بالنسبة لنا - لأنه إذا كان هناك عمود في منتصف الطريق، فيمكننا ببساطة تجاوزه. ما المسافة التي يجب أن نختارها إذن؟ سنتيمتر؟ ملليمتر؟ أقل هو أكثر!

في الحياة الواقعية، يعد قياس المسافات إلى أقرب ملليمتر أكثر من كافي. لكن علماء الرياضيات يسعون دائمًا إلى الكمال. ولذلك، تم اختراع هذا المفهوم متناهية الصغرأي أن القيمة المطلقة أقل من أي رقم يمكننا تسميته. مثلاً تقول: واحد على تريليون! كم أقل؟ وقمت بتقسيم هذا الرقم على - وسيكون أقل. وهكذا. إذا أردنا أن نكتب أن الكمية متناهية الصغر، نكتب هكذا: (نقرأ "x تميل إلى الصفر"). من المهم جدا أن نفهم أن هذا الرقم لا يساوي الصفر!ولكن قريبة جدا منه. هذا يعني أنه يمكنك القسمة عليه.

المفهوم المعاكس لل متناهية الصغر هو كبير بلا حدود (). من المحتمل أنك صادفت هذا بالفعل عندما كنت تعمل على المتباينات: هذا الرقم أكبر بمقياس من أي رقم يمكن أن يخطر ببالك. إذا حصلت على أكبر عدد ممكن، فما عليك سوى ضربه في اثنين وستحصل على رقم أكبر. واللانهاية أعظم مما يحدث. في الواقع، الكبير بلا حدود والصغير بلا حدود هما عكس بعضهما البعض، أي عند، والعكس صحيح: عند.

الآن دعونا نعود إلى طريقنا. الميل المحسوب بشكل مثالي هو الميل المحسوب لجزء متناهٍ في الصغر من المسار، وهو:

وألاحظ أنه مع الإزاحة المتناهية الصغر، فإن التغير في الارتفاع سيكون أيضًا متناهيًا في الصغر. ولكن اسمحوا لي أن أذكركم أن متناهية الصغر لا تعني يساوي الصفر. إذا قمت بقسمة أعداد متناهية الصغر على بعضها البعض، فيمكنك الحصول على رقم عادي تمامًا، على سبيل المثال، . وهذا يعني أن قيمة صغيرة واحدة يمكن أن تكون أكبر من الأخرى تمامًا.

لماذا كل هذا؟ الطريق والانحدار... لن نشارك في مسيرة بالسيارات، ولكننا نقوم بتدريس الرياضيات. وفي الرياضيات، كل شيء هو نفسه تمامًا، ولكن يُسمى بشكل مختلف.

مفهوم المشتق

مشتق الدالة هو نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة لزيادة متناهية الصغر في الوسيطة.

تدريجيافي الرياضيات يسمونه التغيير. يسمى المدى الذي تتغير به الوسيطة () أثناء تحركها على طول المحور زيادة الحجةويتم تحديد مقدار تغير الوظيفة (الارتفاع) عند التحرك للأمام على طول المحور بمسافة زيادة الوظيفةويتم تعيينه.

إذن، مشتقة الدالة هي النسبة إلى متى. نشير إلى المشتق بنفس حرف الدالة، فقط برمز أولي في أعلى اليمين: أو ببساطة. لذلك، دعونا نكتب الصيغة المشتقة باستخدام هذه الرموز:

وكما في التشبيه بالطريق، هنا عندما تزيد الدالة تكون المشتقة موجبة، وعندما تنقص تكون سالبة.

هل يمكن أن تكون المشتقة مساوية للصفر؟ بالتأكيد. على سبيل المثال، إذا كنا نسير على طريق أفقي مسطح، فإن درجة الانحدار تكون صفرًا. وهذا صحيح، الارتفاع لا يتغير على الإطلاق. وهكذا الحال مع المشتقة: مشتقة دالة ثابتة (ثابتة) تساوي صفرًا:

حيث أن زيادة هذه الدالة تساوي صفرًا لأي.

دعونا نتذكر مثال قمة التل. اتضح أنه من الممكن ترتيب نهايات المقطع على جوانب متقابلة من الرأس بحيث يكون الارتفاع عند الأطراف هو نفسه، أي أن المقطع موازي للمحور:

لكن الأجزاء الكبيرة هي علامة على قياس غير دقيق. سنرفع القطعة موازية لنفسها، ثم سينخفض طولها.

في النهاية، عندما نقترب بشكل لا نهائي من القمة، سيصبح طول القطعة متناهية الصغر. لكنه بقي في نفس الوقت موازيا للمحور، أي أن فرق الارتفاع عند طرفيه يساوي الصفر (لا يميل إلى بل يساوي). لذلك المشتقة

يمكن فهم ذلك بهذه الطريقة: عندما نقف في القمة، فإن التحول البسيط إلى اليسار أو اليمين يغير ارتفاعنا بشكل ضئيل.

يوجد أيضًا تفسير جبري بحت: تزداد الوظيفة على يسار الرأس، وتتناقص إلى اليمين. كما عرفنا سابقًا، عندما تزيد الدالة، تكون المشتقة موجبة، وعندما تقل تكون سالبة. لكنه يتغير بسلاسة، دون قفزات (لأن الطريق لا يغير منحدره بشكل حاد في أي مكان). ولذلك يجب أن يكون هناك بين القيم السلبية والإيجابية. سيكون حيث لا تزيد الدالة ولا تنقص - عند نقطة القمة.

وينطبق الشيء نفسه على الحوض الصغير (المنطقة التي تقل فيها الدالة على اليسار وتزداد على اليمين):

المزيد عن الزيادات.

لذلك نغير الحجة إلى الحجم. نتغير من أي قيمة؟ ماذا أصبحت (الحجة) الآن؟ يمكننا اختيار أي نقطة، والآن سوف نرقص منها.

النظر في نقطة مع الإحداثيات. قيمة الدالة فيه متساوية. ثم نقوم بنفس الزيادة: نزيد الإحداثيات بمقدار. ما هي الحجة الآن؟ سهل جدا : . ما هي قيمة الدالة الآن؟ أينما تذهب الوسيطة، تذهب الدالة أيضًا: . ماذا عن زيادة الوظيفة؟ لا شيء جديد: لا يزال هذا هو المقدار الذي تغيرت به الوظيفة:

ممارسة العثور على الزيادات:

أوجد زيادة الدالة عند نقطة تكون فيها زيادة الوسيطة مساوية.
وينطبق الشيء نفسه على الوظيفة عند نقطة ما.

الحلول:

في نقاط مختلفة بنفس زيادة الوسيطة، ستكون زيادة الوظيفة مختلفة. هذا يعني أن المشتق عند كل نقطة يختلف (ناقشنا هذا في البداية - يختلف انحدار الطريق عند نقاط مختلفة). لذلك، عندما نكتب مشتقًا، يجب أن نشير إلى أي نقطة:

وظيفة الطاقة.

دالة القوة هي دالة يكون فيها الوسيط إلى حد ما (منطقي، أليس كذلك؟).

علاوة على ذلك - إلى أي حد: .

أبسط حالة هي عندما يكون الأس:

دعونا نجد مشتقتها عند نقطة ما. لنتذكر تعريف المشتق:

لذلك تتغير الحجة من إلى. ما هي الزيادة في الدالة؟

الزيادة هي هذه. لكن الدالة عند أي نقطة تساوي حجتها. لهذا السبب:

المشتق يساوي:

مشتق يساوي:

ب) الآن فكر في الدالة التربيعية (): .

الآن دعونا نتذكر ذلك. وهذا يعني أنه يمكن إهمال قيمة الزيادة، لأنها متناهية الصغر، وبالتالي غير ذات أهمية على خلفية المصطلح الآخر:

لذلك توصلنا إلى قاعدة أخرى:

ج) نواصل السلسلة المنطقية : .

يمكن تبسيط هذا التعبير بطرق مختلفة: افتح القوس الأول باستخدام صيغة الضرب المختصر لمكعب المجموع، أو قم بتحليل التعبير بالكامل باستخدام صيغة فرق المكعبات. حاول أن تفعل ذلك بنفسك باستخدام أي من الطرق المقترحة.

لذلك حصلت على ما يلي:

ومرة أخرى دعونا نتذكر ذلك. وهذا يعني أنه يمكننا إهمال جميع المصطلحات التي تحتوي على:

نحصل على : .

د) يمكن الحصول على قواعد مماثلة للقوى الكبرى:

هـ) اتضح أنه يمكن تعميم هذه القاعدة على دالة قوى ذات أس اعتباطي، ولا حتى عددًا صحيحًا:

(2)

يمكن صياغة القاعدة بالكلمات التالية: "يتم تقديم الدرجة كمعامل، ثم يتم تخفيضها بمقدار".

سنثبت هذه القاعدة لاحقًا (في النهاية تقريبًا). الآن دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة. أوجد مشتقة الدوال:

(بطريقتين: بالصيغة وباستخدام تعريف المشتق - بحساب زيادة الدالة)؛

. صدق أو لا تصدق، هذه وظيفة قوة. إذا كانت لديك أسئلة مثل "كيف يتم ذلك؟ أين الدرجة؟"، تذكروا موضوع ""!
نعم، نعم، الجذر أيضًا درجة، كسري فقط: .
هذا يعني أن الجذر التربيعي لدينا هو مجرد قوة لها أس:
.
نحن نبحث عن المشتق باستخدام الصيغة التي تعلمناها مؤخرًا:
إذا أصبح الأمر غير واضح في هذه المرحلة مرة أخرى، أعيدوا الموضوع “”!!! (حوالي درجة ذات أس سلبي)
. الآن الأس:
والآن من خلال التعريف (هل نسيت بعد؟):
;
.
والآن كالعادة نهمل المصطلح الذي يحتوي على:
.
. الجمع بين الحالات السابقة : .

الدوال المثلثية.

هنا سوف نستخدم حقيقة واحدة من الرياضيات العليا:

مع التعبير.

سوف تتعلم الدليل في السنة الأولى من المعهد (وللوصول إلى هناك، تحتاج إلى اجتياز اختبار الدولة الموحدة جيدًا). والآن سأعرضها بيانيًا فقط:

نرى أنه في حالة عدم وجود الدالة، يتم قطع النقطة الموجودة على الرسم البياني. ولكن كلما اقتربت من القيمة، كلما اقتربت الوظيفة من هذا "الأهداف".

بالإضافة إلى ذلك، يمكنك التحقق من هذه القاعدة باستخدام الآلة الحاسبة. نعم، نعم، لا تخجل، استخدم الآلة الحاسبة، فنحن لم نصل إلى امتحان الدولة الموحدة بعد.

لذلك، دعونا نحاول: ;

لا تنس تحويل الآلة الحاسبة إلى وضع الراديان!

إلخ. نرى أنه كلما كانت النسبة أصغر، كلما اقتربت قيمة النسبة منها.

أ) النظر في الوظيفة. كالعادة، لنجد زيادتها:

دعونا نحول فرق الجيوب إلى منتج. للقيام بذلك نستخدم الصيغة (تذكر الموضوع ""): .

الآن المشتقة:

فلنقم بالاستبدال : . ثم بالنسبة إلى متناهية الصغر فهي أيضًا متناهية الصغر: . التعبير لـ يأخذ الشكل:

والآن نتذكر ذلك بالتعبير. وأيضًا، ماذا لو كان من الممكن إهمال كمية متناهية الصغر في المجموع (أي في).

وبذلك نحصل على القاعدة التالية: مشتق الجيب يساوي جيب التمام:

هذه هي المشتقات الأساسية ("الجدولية"). وهنا هم في قائمة واحدة:

سنضيف إليها لاحقًا بعضًا منها، لكن هذه هي الأهم، حيث يتم استخدامها في أغلب الأحيان.

يمارس:

أوجد مشتقة الدالة عند نقطة ما؛
أوجد مشتقة الدالة.

الحلول:

أولًا، دعونا نوجد المشتقة في الصورة العامة، ثم نعوض بقيمتها:
;
.
لدينا هنا شيء مشابه لدالة القدرة. دعونا نحاول إحضارها إلى
عرض عادي:
.
عظيم، الآن يمكنك استخدام الصيغة:
.
.
. اييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييييي��ئ هؤلاء ما هذا ؟؟؟؟

حسنًا، أنت على حق، فنحن لا نعرف بعد كيفية العثور على مثل هذه المشتقات. هنا لدينا مجموعة من عدة أنواع من الوظائف. للعمل معهم، عليك أن تتعلم بعض القواعد الإضافية:

الأس واللوغاريتم الطبيعي.

هناك دالة في الرياضيات مشتقتها لأي قيمة تساوي قيمة الدالة نفسها في نفس الوقت. وتسمى "الأس"، وهي دالة أسية

أساس هذه الدالة - الثابت - هو كسر عشري لا نهائي، أي عدد غير نسبي (مثل). يُسمى "رقم أويلر"، ولهذا يُشار إليه بالحرف.

إذن القاعدة:

من السهل جدًا تذكرها.

حسنًا، دعونا لا نذهب بعيدًا، فلنفكر فورًا في الدالة العكسية. ما هي الدالة المعكوسة للدالة الأسية؟ اللوغاريتم:

في حالتنا، الأساس هو الرقم:

يُطلق على مثل هذا اللوغاريتم (أي اللوغاريتم ذو الأساس) اسم "طبيعي" ، ونستخدم له رمزًا خاصًا: نكتب بدلاً من ذلك.

ما هو يساوي؟ بالطبع.

مشتق اللوغاريتم الطبيعي بسيط جدًا أيضًا:

أمثلة:

أوجد مشتقة الدالة.
ما هو مشتق الدالة؟

الإجابات: اللوغاريتم الأسي والطبيعي هما دالتان بسيطتان بشكل فريد من منظور مشتق. إن الدوال الأسية واللوغاريتمية مع أي أساس آخر سيكون لها مشتق مختلف، وهو ما سنحلله لاحقا، بعد أن نتعرف على قواعد الاشتقاق.

قواعد التمايز

قواعد ماذا؟ مرة أخرى مصطلح جديد، مرة أخرى؟!...

التمايزهي عملية العثور على المشتق.

هذا كل شيء. ماذا يمكنك أن تسمي هذه العملية في كلمة واحدة؟ ليست مشتقة... يطلق علماء الرياضيات على التفاضل نفس زيادة الدالة عند. يأتي هذا المصطلح من التمايز اللاتيني - الاختلاف. هنا.

عند استخلاص كل هذه القواعد، سنستخدم دالتين، على سبيل المثال، و. سنحتاج أيضًا إلى صيغ لزياداتها:

هناك 5 قواعد في المجموع.

يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة.

إذا - بعض العدد الثابت (ثابت)، إذن.

من الواضح أن هذه القاعدة تعمل أيضًا على الاختلاف: .

دعونا نثبت ذلك. فليكن، أو أبسط.

أمثلة.

أوجد مشتقات الدوال:

عند نقطة؛
عند نقطة؛
عند نقطة؛
عند هذه النقطة.

الحلول:

(المشتق هو نفسه في جميع النقاط، لأنه دالة خطية، تذكر؟)؛

مشتق من المنتج

كل شيء مشابه هنا: دعنا نقدم دالة جديدة ونجد زيادتها:

المشتق:

أمثلة:

أوجد مشتقات الدوال و؛
أوجد مشتقة الدالة عند نقطة ما.

الحلول:

مشتق من الدالة الأسية

الآن معرفتك كافية لتتعلم كيفية العثور على مشتقة أي دالة أسية، وليس فقط الأسس (هل نسيت ما هو حتى الآن؟).

لذلك، أين هو بعض العدد.

نحن نعرف بالفعل مشتقة الدالة، لذا دعونا نحاول اختزال الدالة إلى أساس جديد:

للقيام بذلك، سوف نستخدم قاعدة بسيطة: . ثم:

حسنًا، لقد نجحت. حاول الآن إيجاد المشتقة، ولا تنس أن هذه الدالة معقدة.

هل نجحت؟

وهنا راجع نفسك:

تبين أن الصيغة مشابهة جدًا لمشتقة الأس: كما كانت، ظلت كما هي، ولم يظهر سوى عامل، وهو مجرد رقم، ولكنه ليس متغيرًا.

أمثلة:
أوجد مشتقات الدوال:

الإجابات:

هذا مجرد رقم لا يمكن حسابه بدون آلة حاسبة، أي أنه لا يمكن تدوينه بشكل أبسط. ولذلك نتركها على هذه الصورة في الجواب.

مشتق من دالة لوغاريتمية

الأمر مشابه هنا: أنت تعرف بالفعل مشتقة اللوغاريتم الطبيعي:

ولذلك، للعثور على لوغاريتم اختياري مع قاعدة مختلفة، على سبيل المثال:

علينا اختزال هذا اللوغاريتم إلى الأساس. كيف يمكنك تغيير قاعدة اللوغاريتم؟ أتمنى أن تتذكر هذه الصيغة:

الآن فقط سنكتب بدلاً من ذلك:

المقام هو ببساطة ثابت (رقم ثابت، بدون متغير). يتم الحصول على المشتق بكل بساطة:

لا يتم العثور على مشتقات الوظائف الأسية واللوغاريتمية أبدًا في امتحان الدولة الموحدة، لكن معرفتها لن تكون زائدة عن الحاجة.

مشتق من وظيفة معقدة.

ما هي "الوظيفة المعقدة"؟ لا، هذا ليس لوغاريتمًا، وليس ظلًا قوسيًا. يمكن أن يكون من الصعب فهم هذه الوظائف (على الرغم من أنك إذا وجدت اللوغاريتمات صعبة، فاقرأ موضوع "اللوغاريتمات" وستكون بخير)، ولكن من وجهة نظر رياضية، فإن كلمة "معقدة" لا تعني "صعبة".

تخيل حزامًا ناقلًا صغيرًا: شخصان يجلسان ويقومان ببعض الإجراءات باستخدام بعض الأشياء. على سبيل المثال، يقوم الأول بتغليف قطعة من الشوكولاتة في غلاف، والثاني يربطها بشريط. والنتيجة هي كائن مركب: قطعة من الشوكولاتة ملفوفة ومربوطة بشريط. لتناول قطعة من الشوكولاتة، عليك القيام بالخطوات العكسية بترتيب عكسي.

لنقم بإنشاء مسار رياضي مماثل: أولاً سنجد جيب تمام الرقم، ثم نقوم بتربيع الرقم الناتج. لذلك، حصلنا على رقم (الشوكولاتة)، وأجد جيب تمامها (الغلاف)، ثم قمت بتربيع ما حصلت عليه (اربطه بشريط). ماذا حدث؟ وظيفة. هذا مثال على دالة معقدة: للعثور على قيمتها، نقوم بالإجراء الأول مباشرة مع المتغير، ثم الإجراء الثاني بما نتج عن الأول.

يمكننا بسهولة القيام بنفس الخطوات بترتيب عكسي: أولاً تقوم بتربيعه، ثم أبحث عن جيب التمام للرقم الناتج: . من السهل تخمين أن النتيجة ستكون مختلفة دائمًا تقريبًا. من السمات المهمة للوظائف المعقدة: عندما يتغير ترتيب الإجراءات، تتغير الوظيفة.

بعبارة أخرى، الدالة المعقدة هي دالة تكون حجتها دالة أخرى: .

بالنسبة للمثال الأول، .

المثال الثاني: (نفس الشيء). .

سيتم استدعاء الإجراء الذي قمنا به أخيرًا وظيفة "خارجية".، ويتم تنفيذ الإجراء أولاً - وفقًا لذلك وظيفة "داخلية".(هذه أسماء غير رسمية، أستخدمها فقط لشرح المادة بلغة بسيطة).

حاول أن تحدد بنفسك أي وظيفة خارجية وأي وظيفة داخلية:

الإجابات:إن فصل الوظائف الداخلية والخارجية يشبه إلى حد كبير تغيير المتغيرات: على سبيل المثال، في دالة

ما الإجراء الذي سنقوم به أولاً؟ أولاً، دعونا نحسب جيب الجيب، وبعد ذلك فقط نقوم بتكعيبه. وهذا يعني أنها وظيفة داخلية، ولكنها وظيفة خارجية.
والوظيفة الأصلية هي تركيبها : .
داخلي: ؛ خارجي: .
فحص: .
داخلي: ؛ خارجي: .
فحص: .
داخلي: ؛ خارجي: .
فحص: .
داخلي: ؛ خارجي: .
فحص: .

نغير المتغيرات ونحصل على دالة.

حسنًا، الآن سوف نستخرج لوح الشوكولاتة الخاص بنا ونبحث عن المشتق. يتم دائمًا عكس الإجراء: أولاً نبحث عن مشتقة الدالة الخارجية، ثم نضرب النتيجة في مشتقة الدالة الداخلية. بالنسبة للمثال الأصلي، يبدو كما يلي:

مثال آخر:

لذا، دعونا أخيرًا صياغة القاعدة الرسمية:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

يبدو الأمر بسيطا، أليس كذلك؟

دعونا نتحقق من الأمثلة:

الحلول:

1) داخلي: ;

خارجي: ؛

2) داخلي: ;

(فقط لا تحاول قطعها الآن! لا شيء يخرج من تحت جيب التمام، تذكر؟)

3) داخلي: ;

خارجي: ؛

من الواضح على الفور أن هذه وظيفة معقدة من ثلاثة مستويات: فهي بالفعل وظيفة معقدة في حد ذاتها، ونقوم أيضًا باستخراج الجذر منها، أي أننا نقوم بالإجراء الثالث (وضع الشوكولاتة في غلاف) ومع شريط في الحقيبة). ولكن لا يوجد سبب للخوف: مازلنا "نفك" هذه الوظيفة بنفس الترتيب المعتاد: من النهاية.

وهذا يعني أننا نفرق أولاً بين الجذر، ثم جيب التمام، وعندها فقط التعبير بين قوسين. وبعد ذلك نضرب كل شيء.

في مثل هذه الحالات، يكون من المناسب ترقيم الإجراءات. وهذا هو، دعونا نتخيل ما نعرفه. بأي ترتيب سننفذ الإجراءات لحساب قيمة هذا التعبير؟ دعونا نلقي نظرة على مثال:

كلما تم تنفيذ الإجراء لاحقًا، أصبحت الوظيفة المقابلة أكثر "خارجية". تسلسل الإجراءات هو نفسه كما كان من قبل:

هنا يكون التعشيش بشكل عام على مستوى 4. دعونا نحدد مسار العمل.

1. التعبير الراديكالي. .

2. الجذر. .

3. جيب. .

4. ساحة. .

5. تجميع كل ذلك معًا:

المشتق. باختصار عن الأشياء الرئيسية

مشتق من وظيفة- نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة لزيادة متناهية الصغر في الوسيطة:

المشتقات الأساسية:

قواعد التمايز:

يتم إخراج الثابت من علامة المشتقة:

مشتق من المبلغ:

مشتق من المنتج:

مشتق الحاصل:

مشتق من وظيفة معقدة:

خوارزمية لإيجاد مشتق دالة معقدة:

نحدد الدالة "الداخلية" ونجد مشتقتها.
نحدد الدالة "الخارجية" ونجد مشتقتها.
نضرب نتائج النقطتين الأولى والثانية.

يتم إعطاء أمثلة لحساب المشتقات باستخدام صيغة مشتقة دالة معقدة.

نعطي هنا أمثلة لحساب مشتقات الوظائف التالية:
; ; ; ; .

إذا كان من الممكن تمثيل الدالة كدالة معقدة بالشكل التالي:
,
ثم يتم تحديد مشتقه بالصيغة:
.
وفي الأمثلة أدناه سنكتب هذه الصيغة على النحو التالي:
.
أين .
هنا، تشير الحروف السفلية أو الموجودة تحت علامة المشتقة إلى المتغيرات التي يتم من خلالها إجراء التمايز.

عادة، في جداول المشتقات، يتم إعطاء مشتقات الوظائف من المتغير x.

ومع ذلك، x هي معلمة رسمية. يمكن استبدال المتغير x بأي متغير آخر. لذلك، عند تمييز دالة من متغير، نقوم ببساطة بتغيير المتغير x إلى المتغير u في جدول المشتقات.

أمثلة بسيطة

مثال 1
.

أوجد مشتقة دالة معقدة

حل
.
لنكتب الدالة المعطاة بصيغة مكافئة:
;
.

في جدول المشتقات نجد:
.
وفقًا لصيغة مشتقة دالة معقدة، لدينا:

هنا .

إجابة

مثال 2
.

أوجد مشتقة دالة معقدة

نخرج الثابت 5 من إشارة المشتقة ومن جدول المشتقات نجد:
.

.
وفقًا لصيغة مشتقة دالة معقدة، لدينا:

هنا .

مثال 3

أوجد المشتقة
.

أوجد مشتقة دالة معقدة

نحن نخرج ثابتا -1 من أجل علامة المشتقة ومن جدول المشتقات نجد:
;
من جدول المشتقات نجد:
.

نطبق صيغة مشتقة دالة معقدة:
.
وفقًا لصيغة مشتقة دالة معقدة، لدينا:

هنا .

أمثلة أكثر تعقيدا

في الأمثلة الأكثر تعقيدًا، نطبق قاعدة اشتقاق دالة معقدة عدة مرات. في هذه الحالة، نحسب المشتقة من النهاية. أي أننا نقوم بتقسيم الدالة إلى الأجزاء المكونة لها وإيجاد مشتقات أبسط الأجزاء باستخدام جدول المشتقات. نحن نستخدم أيضا قواعد التمييز بين المبالغوالمنتجات والكسور. ثم نقوم بإجراء البدائل وتطبيق صيغة مشتقة دالة معقدة.