اللوغاريتم الطبيعي للـ 1 2 متساوي. اللوغاريتمات: الأمثلة والحلول

كما تعلم، عند ضرب التعبيرات بالقوى، فإن أسسها دائمًا ما تكون مجمعة (a b *a c = a b+c). اشتق هذا القانون الرياضي من قبل أرخميدس، وفي وقت لاحق، في القرن الثامن، قام عالم الرياضيات فيراسين بإنشاء جدول من الأسس الصحيحة. لقد كانوا هم الذين خدموا في اكتشاف المزيد من اللوغاريتمات. يمكن العثور على أمثلة لاستخدام هذه الوظيفة في كل مكان تقريبًا حيث تحتاج إلى تبسيط الضرب المرهق عن طريق الجمع البسيط. إذا أمضيت 10 دقائق في قراءة هذا المقال، فسنشرح لك ما هي اللوغاريتمات وكيفية التعامل معها. بلغة بسيطة وسهلة المنال.

التعريف في الرياضيات

اللوغاريتم هو تعبير بالشكل التالي: log a b=c، أي لوغاريتم أي رقم غير سالب (أي أي موجب) "b" إلى قاعدته "a" يعتبر أس "c" " والتي من الضروري رفع القاعدة "أ" إليها من أجل الحصول على القيمة "ب" في النهاية. دعونا نحلل اللوغاريتم باستخدام الأمثلة، لنفترض أن هناك سجل تعبير 2 8. كيف تجد الإجابة؟ الأمر بسيط للغاية، تحتاج إلى العثور على قوة بحيث تحصل على 8 من 2 إلى القوة المطلوبة. وبعد إجراء بعض الحسابات في رأسك، نحصل على الرقم 3! وهذا صحيح، لأن 2 أس 3 يعطي الإجابة 8.

أنواع اللوغاريتمات

بالنسبة للعديد من التلاميذ والطلاب، يبدو هذا الموضوع معقدا وغير مفهوم، ولكن في الواقع اللوغاريتمات ليست مخيفة للغاية، والشيء الرئيسي هو فهم معناها العام وتذكر خصائصها وبعض القواعد. هناك ثلاثة أنواع منفصلة من التعبيرات اللوغاريتمية:

  1. اللوغاريتم الطبيعي ln a، حيث الأساس هو رقم أويلر (e = 2.7).
  2. العشري أ، حيث الأساس هو 10.
  3. لوغاريتم أي رقم ب للأساس أ> 1.

يتم حل كل منها بطريقة قياسية، بما في ذلك التبسيط والاختزال والاختزال اللاحق إلى لوغاريتم واحد باستخدام النظريات اللوغاريتمية. للحصول على القيم الصحيحة للوغاريتمات، يجب أن تتذكر خصائصها وتسلسل الإجراءات عند حلها.

القواعد وبعض القيود

في الرياضيات، هناك العديد من القيود والقواعد التي يتم قبولها كبديهية، أي أنها لا تخضع للمناقشة وهي الحقيقة. على سبيل المثال، من المستحيل قسمة الأعداد على صفر، ومن المستحيل أيضًا استخراج الجذر الزوجي للأعداد السالبة. تحتوي اللوغاريتمات أيضًا على قواعدها الخاصة، والتي يمكنك من خلالها تعلم كيفية العمل بسهولة حتى مع التعبيرات اللوغاريتمية الطويلة والواسعة:

  • يجب أن يكون الأساس "أ" دائمًا أكبر من الصفر، ولا يساوي 1، وإلا فسيفقد التعبير معناه، لأن "1" و"0" بأي درجة متساويان دائمًا لقيمتهما؛
  • إذا كانت a > 0، ثم b >0، يتبين أن "c" يجب أن تكون أيضًا أكبر من الصفر.

كيفية حل اللوغاريتمات؟

على سبيل المثال، تم تكليفك بمهمة العثور على إجابة المعادلة 10 × = 100. هذا سهل للغاية، تحتاج إلى اختيار قوة عن طريق رفع الرقم عشرة الذي نحصل عليه 100. وهذا بالطبع هو 10 2 = 100.

الآن دعونا نمثل هذا التعبير في صورة لوغاريتمية. نحصل على سجل 10 100 = 2. عند حل اللوغاريتمات، تتلاقى جميع الإجراءات عمليا للعثور على القوة التي من الضروري إدخال قاعدة اللوغاريتم من أجل الحصول على رقم معين.

لتحديد قيمة درجة غير معروفة بدقة، عليك أن تتعلم كيفية العمل مع جدول الدرجات. يبدو مثل هذا:

كما ترون، يمكن تخمين بعض الأسس بشكل حدسي إذا كان لديك عقل تقني ومعرفة بجدول الضرب. ومع ذلك، لقيم أكبر سوف تحتاج إلى جدول الطاقة. يمكن استخدامه حتى من قبل أولئك الذين لا يعرفون شيئًا على الإطلاق عن الموضوعات الرياضية المعقدة. يحتوي العمود الأيسر على أرقام (الأساس أ)، والصف العلوي من الأرقام هو قيمة القوة ج التي يرتفع إليها الرقم أ. عند التقاطع تحتوي الخلايا على القيم الرقمية التي هي الجواب (أ ج = ب). لنأخذ، على سبيل المثال، الخلية الأولى التي تحتوي على الرقم 10 ونقوم بتربيعها، نحصل على القيمة 100، والتي تتم الإشارة إليها عند تقاطع الخليتين لدينا. كل شيء بسيط وسهل لدرجة أن حتى أكثر الإنسانيين صدقًا سوف يفهمونه!

المعادلات والمتباينات

اتضح أنه في ظل ظروف معينة يكون الأس هو اللوغاريتم. لذلك، يمكن كتابة أي تعبيرات عددية رياضية على هيئة مساواة لوغاريتمية. على سبيل المثال، يمكن كتابة 3 4 = 81 على هيئة لوغاريتم ذو أساس 3 للرقم 81 يساوي أربعة (log 3 81 = 4). القواعد هي نفسها بالنسبة للقوى السالبة: 2 -5 = 1/32 نكتبها على شكل لوغاريتم، ونحصل على log 2 (1/32) = -5. أحد أروع أقسام الرياضيات هو موضوع "اللوغاريتمات". سننظر في أمثلة وحلول المعادلات أدناه مباشرة بعد دراسة خصائصها. الآن دعونا نلقي نظرة على الشكل الذي تبدو عليه المتباينات وكيفية تمييزها عن المعادلات.

يتم إعطاء التعبير التالي: log 2 (x-1) > 3 - وهي متباينة لوغاريتمية، لأن القيمة غير المعروفة "x" تقع تحت العلامة اللوغاريتمية. وأيضًا في التعبير تتم مقارنة كميتين: لوغاريتم الرقم المطلوب للأساس اثنين أكبر من الرقم ثلاثة.

الفرق الأكثر أهمية بين المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات هو أن المعادلات ذات اللوغاريتمات (على سبيل المثال، اللوغاريتم 2 x = √9) تتضمن قيمة عددية واحدة أو أكثر محددة في الإجابة، بينما عند حل المتراجحة، يكون كل من نطاق المقبول يتم تحديد القيم والنقاط بكسر هذه الوظيفة. ونتيجة لذلك، فإن الإجابة ليست مجموعة بسيطة من الأرقام الفردية، كما هو الحال في الإجابة على المعادلة، ولكن سلسلة مستمرة أو مجموعة من الأرقام.

النظريات الأساسية حول اللوغاريتمات

عند حل المهام البدائية لإيجاد قيم اللوغاريتم، قد لا تكون خصائصه معروفة. ومع ذلك، عندما يتعلق الأمر بالمعادلات اللوغاريتمية أو عدم المساواة، أولا وقبل كل شيء، من الضروري أن نفهم بوضوح ونطبق في الممارسة العملية جميع الخصائص الأساسية لللوغاريتمات. سننظر في أمثلة المعادلات لاحقًا، فلننظر أولاً إلى كل خاصية بمزيد من التفصيل.

  1. الهوية الرئيسية تبدو كالتالي: a logaB =B. وينطبق هذا فقط عندما تكون a أكبر من 0، ولا تساوي واحدًا، وتكون B أكبر من الصفر.
  2. يمكن تمثيل لوغاريتم المنتج بالصيغة التالية: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. الشرط الإلزامي في هذه الحالة هو: d, s 1 and s 2 > 0; أ≠1. يمكنك تقديم دليل على هذه الصيغة اللوغاريتمية، مع الأمثلة والحل. دعنا نسجل a s 1 = f 1 ونسجل a s 2 = f 2، ثم a f1 = s 1، a f2 = s 2. نحصل على أن s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (خصائص درجات )، ومن ثم بحكم التعريف: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2، وهو ما يحتاج إلى إثبات.
  3. يبدو لوغاريتم الحاصل كما يلي: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
  4. تأخذ النظرية في شكل صيغة الشكل التالي: log a q b n = n/q log a b.

تسمى هذه الصيغة "خاصية درجة اللوغاريتم". إنها تشبه خصائص الدرجات العادية، وهذا ليس مفاجئا، لأن كل الرياضيات مبنية على مسلمات طبيعية. دعونا ننظر إلى الدليل.

دعونا سجل أ ب = ر، اتضح أن ر = ب. إذا رفعنا كلا الجزأين للأس m: a tn = b n ;

ولكن بما أن a tn = (a q) nt/q = b n، لذلك سجل a q b n = (n*t)/t، ثم سجل a q b n = n/q سجل a b. لقد تم إثبات النظرية.

أمثلة على المشاكل وعدم المساواة

أكثر أنواع المسائل شيوعًا في اللوغاريتمات هي أمثلة المعادلات والمتباينات. وهي موجودة في جميع كتب المسائل تقريبًا، وهي أيضًا جزء مطلوب من اختبارات الرياضيات. للدخول إلى الجامعة أو اجتياز امتحانات القبول في الرياضيات، عليك أن تعرف كيفية حل هذه المهام بشكل صحيح.

لسوء الحظ، لا توجد خطة أو مخطط واحد لحل وتحديد القيمة المجهولة للوغاريتم، ولكن يمكن تطبيق قواعد معينة على كل متباينة رياضية أو معادلة لوغاريتمية. أولًا، يجب عليك معرفة ما إذا كان من الممكن تبسيط التعبير أو اختزاله إلى صيغة عامة. يمكنك تبسيط التعبيرات اللوغاريتمية الطويلة إذا كنت تستخدم خصائصها بشكل صحيح. دعونا نتعرف عليهم بسرعة.

عند حل المعادلات اللوغاريتمية، يجب علينا تحديد نوع اللوغاريتم الذي لدينا: قد يحتوي تعبير المثال على لوغاريتم طبيعي أو عشري.

وفيما يلي أمثلة ln100، ln1026. يتلخص حلهم في حقيقة أنهم بحاجة إلى تحديد القدرة التي سيكون لها الأساس 10 مساويًا لـ 100 و1026 على التوالي. لحل اللوغاريتمات الطبيعية، تحتاج إلى تطبيق الهويات اللوغاريتمية أو خصائصها. دعونا نلقي نظرة على أمثلة لحل المشاكل اللوغاريتمية بأنواعها المختلفة.

كيفية استخدام صيغ اللوغاريتم: مع الأمثلة والحلول

لذلك، دعونا نلقي نظرة على أمثلة لاستخدام النظريات الأساسية حول اللوغاريتمات.

  1. يمكن استخدام خاصية لوغاريتم المنتج في المهام التي يكون فيها من الضروري تحليل قيمة كبيرة للرقم b إلى عوامل أبسط. على سبيل المثال، سجل 2 4 + سجل 2 128 = سجل 2 (4*128) = سجل 2 512. الإجابة هي 9.
  2. سجل 4 8 = سجل 2 2 2 3 = 3/2 سجل 2 2 = 1.5 - كما ترون، باستخدام الخاصية الرابعة لقوة اللوغاريتم، تمكنا من حل تعبير يبدو معقدًا وغير قابل للحل. كل ما عليك فعله هو تحليل الأساس ثم إخراج القيم الأسية من علامة اللوغاريتم.

واجبات من امتحان الدولة الموحدة

غالبا ما توجد اللوغاريتمات في امتحانات القبول، وخاصة العديد من المسائل اللوغاريتمية في امتحان الدولة الموحدة (امتحان الدولة لجميع خريجي المدارس). عادةً ما تكون هذه المهام موجودة ليس فقط في الجزء أ (أسهل جزء اختبار من الامتحان)، ولكن أيضًا في الجزء ج (المهام الأكثر تعقيدًا وحجمًا). يتطلب الامتحان معرفة دقيقة وكاملة بموضوع "اللوغاريتمات الطبيعية".

يتم أخذ الأمثلة والحلول للمشاكل من الإصدارات الرسمية لامتحان الدولة الموحدة. دعونا نرى كيف يتم حل هذه المهام.

بالنظر إلى السجل 2 (2x-1) = 4. الحل:
دعونا نعيد كتابة التعبير، ونبسطه قليلًا log 2 (2x-1) = 2 2، ومن خلال تعريف اللوغاريتم نحصل على 2x-1 = 2 4، وبالتالي 2x = 17؛ س = 8.5.

  • من الأفضل اختزال جميع اللوغاريتمات إلى نفس الأساس حتى لا يكون الحل مرهقًا ومربكًا.
  • تتم الإشارة إلى جميع التعبيرات الموجودة تحت علامة اللوغاريتم على أنها إيجابية، لذلك، عندما يتم إخراج أس التعبير الموجود تحت علامة اللوغاريتم وقاعدته كمضاعف، يجب أن يكون التعبير المتبقي تحت اللوغاريتم موجبًا.

ما هو اللوغاريتم؟

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

ما هو اللوغاريتم؟ كيفية حل اللوغاريتمات؟ هذه الأسئلة تربك العديد من الخريجين. تقليديا، يعتبر موضوع اللوغاريتمات معقدا وغير مفهوم ومخيف. وخاصة المعادلات مع اللوغاريتمات.

هذا ليس صحيحا على الاطلاق. قطعاً! لا تصدقني؟ بخير. الآن، في 10 - 20 دقيقة فقط يمكنك:

1. سوف تفهم ما هو اللوغاريتم.

2. تعلم كيفية حل فئة كاملة من المعادلات الأسية. حتى لو لم تسمع أي شيء عنهم.

3. تعلم كيفية حساب اللوغاريتمات البسيطة.

علاوة على ذلك، لهذا ستحتاج فقط إلى معرفة جدول الضرب وكيفية رفع الرقم إلى قوة...

أشعر أن لديك شكوك... حسنًا، حسنًا، حدد الوقت! دعنا نذهب!

أولاً، حل هذه المعادلة في رأسك:

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

رسم بياني لوظيفة اللوغاريتم الطبيعي. تقترب الدالة ببطء من اللانهاية الإيجابية مع زيادة سويقترب بسرعة من اللانهاية السلبية عندما سيميل إلى 0 ("بطيء" و"سريع" مقارنة بأي وظيفة طاقة س).

اللوغاريتم الطبيعيهو اللوغاريتم للقاعدة ، أين ه (\displaystyle e)- ثابت غير منطقي يساوي 2.72 تقريبًا. ويشار إليه بـ ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), سجل ه ⁡ س (\displaystyle \log _(e)x)أو في بعض الأحيان فقط سجل ⁡ س (\displaystyle \log x)، إذا كانت القاعدة ه (\displaystyle e)ضمني. وبعبارة أخرى، اللوغاريتم الطبيعي لعدد س- هذا هو الأس الذي يجب رفع الرقم إليه هللحصول على س. يمكن توسيع هذا التعريف ليشمل الأعداد المركبة.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1)، لأن ه 1 = ه (\displaystyle e^(1)=e); ln ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0)، لأن ه 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

يمكن أيضًا تعريف اللوغاريتم الطبيعي هندسيًا لأي رقم حقيقي موجب أكالمساحة تحت المنحنى ص = 1 س (\displaystyle y=(\frac (1)(x)))بينهما [ 1 ; أ ] (\displaystyle ). إن بساطة هذا التعريف، والذي يتوافق مع العديد من الصيغ الأخرى التي تستخدم هذا اللوغاريتم، تفسر أصل الاسم "طبيعي".

إذا اعتبرنا اللوغاريتم الطبيعي دالة حقيقية لمتغير حقيقي، فهي الدالة العكسية للدالة الأسية التي تؤدي إلى المتطابقات:

ه ln ⁡ ل = أ (أ > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) ln ⁡ e a = أ (أ > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

مثل كل اللوغاريتمات، يقوم اللوغاريتم الطبيعي بتعيين الضرب إلى الجمع:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

اللوغاريتم الطبيعي

رسم بياني لوظيفة اللوغاريتم الطبيعي. تقترب الدالة ببطء من اللانهاية الإيجابية مع زيادة سويقترب بسرعة من اللانهاية السلبية عندما سيميل إلى 0 ("بطيء" و"سريع" مقارنة بأي وظيفة طاقة س).

اللوغاريتم الطبيعيهو اللوغاريتم للقاعدة ، أين ه- ثابت غير نسبي يساوي تقريباً 2.718281 828. عادة ما تتم كتابة اللوغاريتم الطبيعي كـ ln( س)، سجل ه (س) أو في بعض الأحيان قم فقط بتسجيل الدخول( س)، إذا كانت القاعدة هضمني.

اللوغاريتم الطبيعي لعدد س(مكتوب ك قانون الجنسية (خ)) هو الأس الذي يجب رفع الرقم إليه هللحصول على س. على سبيل المثال، قانون الجنسية (7,389...)يساوي 2 لأن ه 2 =7,389... . اللوغاريتم الطبيعي للرقم نفسه ه (قانون الجنسية (ه)) يساوي 1 لأن ه 1 = هواللوغاريتم الطبيعي هو 1 ( قانون الجنسية(1)) يساوي 0 لأن ه 0 = 1.

يمكن تعريف اللوغاريتم الطبيعي لأي عدد حقيقي موجب أكالمساحة تحت المنحنى ذ = 1/سمن 1 إلى أ. إن بساطة هذا التعريف، والذي يتوافق مع العديد من الصيغ الأخرى التي تستخدم اللوغاريتم الطبيعي، أدت إلى ظهور اسم "طبيعي". يمكن توسيع هذا التعريف ليشمل الأعداد المركبة، كما هو موضح أدناه.

إذا اعتبرنا اللوغاريتم الطبيعي دالة حقيقية لمتغير حقيقي، فهي الدالة العكسية للدالة الأسية التي تؤدي إلى المتطابقات:

مثل كل اللوغاريتمات، يقوم اللوغاريتم الطبيعي بتعيين الضرب إلى الجمع:

وبالتالي فإن الدالة اللوغاريتمية هي تماثل لمجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة بالنسبة للضرب بمجموعة الأعداد الحقيقية بالنسبة للجمع، والتي يمكن تمثيلها كدالة:

يمكن تعريف اللوغاريتم لأي قاعدة موجبة غير 1، وليس فقط هلكن اللوغاريتمات للقواعد الأخرى تختلف عن اللوغاريتم الطبيعي فقط بعامل ثابت، وعادة ما يتم تعريفها من حيث اللوغاريتم الطبيعي. اللوغاريتمات مفيدة في حل المعادلات التي تتضمن مجهولات كأسس. على سبيل المثال، تُستخدم اللوغاريتمات للعثور على ثابت الاضمحلال لنصف عمر معروف، أو للعثور على وقت الاضمحلال في حل مسائل النشاط الإشعاعي. وهي تلعب دورًا مهمًا في العديد من مجالات الرياضيات والعلوم التطبيقية، وتستخدم في التمويل لحل العديد من المشكلات، بما في ذلك إيجاد الفائدة المركبة.

قصة

تم ذكر اللوغاريتم الطبيعي لأول مرة بواسطة نيكولاس مركاتور في عمله اللوغاريتمات الآلية، تم نشره في عام 1668، على الرغم من أن مدرس الرياضيات جون سبايدل قام بتجميع جدول اللوغاريتمات الطبيعية في عام 1619. كان يُطلق عليه سابقًا اسم اللوغاريتم الزائدي لأنه يتوافق مع المساحة الواقعة تحت القطع الزائد. يُطلق عليه أحيانًا اسم لوغاريتم نابير، على الرغم من أن المعنى الأصلي لهذا المصطلح كان مختلفًا بعض الشيء.

اتفاقيات التعيين

عادةً ما يُشار إلى اللوغاريتم الطبيعي بـ "ln( س)"، اللوغاريتم للأساس 10 - عبر "lg( س)"، وأسباب أخرى يُشار إليها عادةً بشكل صريح بالرمز "log".

في العديد من الأعمال المتعلقة بالرياضيات المنفصلة وعلم التحكم الآلي وعلوم الكمبيوتر، يستخدم المؤلفون الرمز "log( س)" للوغاريتمات للأساس 2، ولكن هذه الاتفاقية غير مقبولة بشكل عام وتتطلب توضيحًا إما في قائمة الرموز المستخدمة أو (في حالة عدم وجود مثل هذه القائمة) عن طريق حاشية سفلية أو تعليق عند استخدامها لأول مرة.

عادة ما يتم حذف الأقواس حول حجة اللوغاريتمات (إذا لم يؤدي ذلك إلى قراءة خاطئة للصيغة)، وعند رفع اللوغاريتم إلى قوة، يتم تعيين الأس مباشرة إلى علامة اللوغاريتم: ln 2 ln 3 4 س 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

النظام الأنجلوأمريكي

عادةً ما يستخدم علماء الرياضيات والإحصائيون وبعض المهندسين مصطلح “اللوغاريتم الطبيعي” أو “log( س)" أو "ln( س)"، وللإشارة إلى اللوغاريتم ذو الأساس 10 - "سجل 10 ( س)».

يكتب بعض المهندسين وعلماء الأحياء وغيرهم من المتخصصين دائمًا "ln( س)" (أو في بعض الأحيان "log e ( س)") عندما يقصدون اللوغاريتم الطبيعي، والرمز "log( س)" يقصدون سجل 10 ( س).

سجل ههو لوغاريتم "طبيعي" لأنه يحدث تلقائيًا ويظهر كثيرًا في الرياضيات. على سبيل المثال، النظر في مشكلة مشتقة دالة لوغاريتمية:

إذا كانت القاعدة بيساوي ه، فإن المشتق هو ببساطة 1/ س، ومتى س= 1 هذا المشتق يساوي 1. سبب آخر لوجود الأساس هالشيء الأكثر طبيعية في اللوغاريتم هو أنه يمكن تعريفه بكل بساطة من خلال تكامل بسيط أو متسلسلة تايلور، وهو ما لا يمكن قوله عن اللوغاريتمات الأخرى.

لا ترتبط المبررات الإضافية للطبيعية بالتدوين. على سبيل المثال، هناك العديد من المتسلسلة البسيطة ذات اللوغاريتمات الطبيعية. اتصل بهم بيترو منغولي ونيكولاس مركاتور اللوغاريتم الطبيعيعدة عقود حتى قام نيوتن ولايبنتز بتطوير حساب التفاضل والتكامل.

تعريف

رسميا ln( أ) يمكن تعريفها على أنها المنطقة الواقعة أسفل منحنى الرسم البياني 1/ سمن 1 إلى أ، أي كجزء لا يتجزأ:

إنه حقًا لوغاريتم لأنه يلبي الخاصية الأساسية للوغاريتم:

ويمكن إثبات ذلك بافتراض ما يلي:

القيمة العددية

لحساب القيمة العددية للوغاريتم الطبيعي لرقم ما، يمكنك استخدام سلسلة تايلور الموسعة في النموذج:

للحصول على معدل تقارب أفضل، يمكنك استخدام الهوية التالية:

بشرط ذلك ذ = (س−1)/(س+1) و س > 0.

ل ln( س)، أين س> 1، كلما كانت القيمة أقرب سإلى 1، كلما كان معدل التقارب أسرع. يمكن استخدام الهويات المرتبطة باللوغاريتم لتحقيق الهدف:

تم استخدام هذه الأساليب حتى قبل ظهور الآلات الحاسبة، حيث تم استخدام الجداول الرقمية وإجراء عمليات معالجة مماثلة لتلك الموصوفة أعلاه.

دقة عالية

لحساب اللوغاريتم الطبيعي بعدد كبير من الأرقام الدقيقة، فإن متسلسلة تايلور ليست فعالة لأن تقاربها بطيء. البديل هو استخدام طريقة نيوتن للتحويل إلى دالة أسية تتقارب متسلسلاتها بسرعة أكبر.

البديل للحصول على دقة حسابية عالية جدًا هو الصيغة:

أين ميدل على المتوسط ​​الحسابي والهندسي 1 و4/ث، و

ماختار ذلك صيتم تحقيق علامات الدقة. (في معظم الحالات، تكون قيمة 8 لـ m كافية.) في الواقع، إذا تم استخدام هذه الطريقة، يمكن تطبيق معكوس نيوتن للوغاريتم الطبيعي لحساب الدالة الأسية بكفاءة. (يمكن حساب الثوابت ln 2 وpi مسبقًا بالدقة المطلوبة باستخدام أي من السلاسل المعروفة المتقاربة بسرعة.)

التعقيد الحسابي

التعقيد الحسابي للوغاريتمات الطبيعية (باستخدام الوسط الحسابي الهندسي) هو O( م(ن) في ن). هنا نهو عدد أرقام الدقة التي يجب تقييم اللوغاريتم الطبيعي لها م(ن) هو التعقيد الحسابي لضرب اثنين ن-أرقام الأرقام.

استمرار الكسور

على الرغم من عدم وجود كسور مستمرة بسيطة لتمثيل اللوغاريتم، إلا أنه يمكن استخدام العديد من الكسور المستمرة المعممة، بما في ذلك:

اللوغاريتمات المعقدة

يمكن توسيع الدالة الأسية إلى دالة تعطي عددًا مركبًا من النموذج ه سلأي عدد مركب تعسفي س، في هذه الحالة سلسلة لا نهائية معقدة س. يمكن قلب هذه الدالة الأسية لتكوين لوغاريتم معقد، والذي سيكون له معظم خصائص اللوغاريتمات العادية. ومع ذلك، هناك صعوبتان: لا يوجد س، من أجلها ه س= 0، واتضح ذلك ه 2πi = 1 = ه 0 . بما أن خاصية الضرب صالحة للدالة الأسية المعقدة، إذن ه ض = ه ض+2nπiلجميع المعقدة ضوكلها ن.

لا يمكن تعريف اللوغاريتم على المستوى المعقد بأكمله، ومع ذلك فهو متعدد القيم - يمكن استبدال أي لوغاريتم مركب بلوغاريتم "مكافئ" عن طريق إضافة أي عدد صحيح مضاعف لـ 2 πi. يمكن أن يكون اللوغاريتم المركب ذو قيمة فردية فقط على شريحة من المستوى المركب. على سبيل المثال، إل إن أنا = 1/2 πiأو 5/2 πiأو -3/2 πiالخ، وعلى الرغم من ذلك أنا 4 = 1.4 سجل أنايمكن تعريفها على أنها 2 πi، أو 10 πiأو -6 πi، وما إلى ذلك.

انظر أيضا

  • جون نابير - مخترع اللوغاريتمات

ملحوظات

  1. الرياضيات للكيمياء الفيزيائية. - الثالث. - الصحافة الأكاديمية، 2005. - ص 9. - ISBN 0-125-08347-5، مقتطف من الصفحة 9
  2. جي جي أو كونور وإي إف روبرتسونالرقم ه. أرشيف تاريخ الرياضيات في MacTutor (سبتمبر 2001). مؤرشف
  3. كاجوري فلوريانتاريخ الرياضيات، الطبعة الخامسة. - مكتبة AMS، 1991. - ص 152. - ISBN 0821821024
  4. فلاشمان، مارتنتقدير التكاملات باستخدام كثيرات الحدود. مؤرشفة من الأصلي في 12 شباط (فبراير) 2012.

لذلك، لدينا قوى اثنين. إذا أخذت الرقم من السطر السفلي، فيمكنك بسهولة العثور على القوة التي سيتعين عليك رفع اثنين إليها للحصول على هذا الرقم. على سبيل المثال، للحصول على 16، عليك رفع اثنين إلى القوة الرابعة. وللحصول على 64، عليك رفع اثنين إلى القوة السادسة. ويمكن ملاحظة ذلك من الجدول.

والآن - في الواقع، تعريف اللوغاريتم:

لوغاريتم x الأساسي هو القوة التي يجب رفع a إليها للحصول على x.

التعيين: log a x = b، حيث a هي القاعدة، x هي الوسيطة، b هو ما يساوي اللوغاريتم فعليًا.

على سبيل المثال، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (اللوغاريتم ذو الأساس 2 للرقم 8 هو ثلاثة لأن 2 3 = 8). بنفس سجل النجاح 2 64 = 6، حيث أن 2 6 = 64.

تسمى عملية إيجاد لوغاريتم رقم لقاعدة معينة باللوغاريتم. لذا، دعونا نضيف سطرًا جديدًا إلى جدولنا:

2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6
2 4 8 16 32 64
سجل 2 2 = 1سجل 2 4 = 2 سجل 2 8 = 3سجل 2 16 = 4 سجل 2 32 = 5سجل 2 64 = 6

لسوء الحظ، لا يتم حساب جميع اللوغاريتمات بهذه السهولة. على سبيل المثال، حاول العثور على السجل 2 5 . الرقم 5 غير موجود في الجدول، لكن المنطق يفرض أن اللوغاريتم سيكون موجودًا في مكان ما على القطعة. لأن 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

تسمى هذه الأرقام غير عقلانية: يمكن كتابة الأرقام بعد العلامة العشرية إلى ما لا نهاية، ولا تتكرر أبدًا. إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي، فمن الأفضل ترك الأمر على هذا النحو: سجل 2 5، سجل 3 8، سجل 5 100.

من المهم أن نفهم أن اللوغاريتم هو تعبير ذو متغيرين (الأساس والوسيطة). في البداية، يخلط الكثير من الناس بين مكان الأساس ومكان الحجة. لتجنب سوء الفهم المزعج، ما عليك سوى إلقاء نظرة على الصورة:

أمامنا ليس أكثر من تعريف اللوغاريتم. يتذكر: اللوغاريتم هو القوة، والتي يجب بناء القاعدة فيها من أجل الحصول على وسيطة. هي القاعدة المرفوعة إلى قوة - وهي مظللة باللون الأحمر في الصورة. اتضح أن القاعدة تكون دائمًا في الأسفل! أخبر طلابي بهذه القاعدة الرائعة في الدرس الأول - ولا ينشأ أي ارتباك.

لقد اكتشفنا التعريف - كل ما تبقى هو معرفة كيفية حساب اللوغاريتمات، أي. تخلص من علامة "السجل". في البداية، نلاحظ أن حقيقتين مهمتين تنبثق من التعريف:

  1. يجب أن تكون الحجة والقاعدة دائمًا أكبر من الصفر. يأتي هذا من تعريف الدرجة بواسطة الأس العقلاني، والذي يتم تقليل تعريف اللوغاريتم إليه.
  2. يجب أن تكون القاعدة مختلفة عن الواحد، حيث أن الواحد يظل واحدًا بأي درجة. ولهذا السبب، فإن السؤال "إلى أي قوة يجب أن يرتفع الإنسان للحصول على اثنين" لا معنى له. لا يوجد مثل هذه الدرجة!

تسمى هذه القيود نطاق القيم المقبولة(ODZ). اتضح أن ODZ للوغاريتم يبدو كما يلي: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

لاحظ أنه لا توجد قيود على الرقم ب (قيمة اللوغاريتم). على سبيل المثال، قد يكون اللوغاريتم سالبًا: log 2 0.5 = −1، لأن 0.5 = 2 −1.

ومع ذلك، نحن الآن نفكر فقط في التعبيرات الرقمية، حيث ليس من الضروري معرفة قيمة VA للوغاريتم. لقد تم بالفعل أخذ جميع القيود في الاعتبار من قبل مؤلفي المهام. ولكن عندما تدخل المعادلات اللوغاريتمية والمتباينات حيز التنفيذ، ستصبح متطلبات DL إلزامية. بعد كل شيء، قد يحتوي الأساس والحجة على إنشاءات قوية جدًا لا تتوافق بالضرورة مع القيود المذكورة أعلاه.

الآن دعونا نلقي نظرة على المخطط العام لحساب اللوغاريتمات. يتكون من ثلاث خطوات:

  1. عبر عن الأساس a والوسيطة x كقوة بأقل قاعدة ممكنة أكبر من الواحد. على طول الطريق، من الأفضل التخلص من الكسور العشرية؛
  2. حل معادلة المتغير b: x = a b ;
  3. سيكون الرقم الناتج ب هو الجواب.

هذا كل شيء! إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي، فسيكون هذا مرئيًا بالفعل في الخطوة الأولى. يعد شرط أن يكون الأساس أكبر من واحد أمرًا مهمًا للغاية: فهذا يقلل من احتمالية الخطأ ويبسط الحسابات إلى حد كبير. الأمر نفسه ينطبق على الكسور العشرية: إذا قمت بتحويلها على الفور إلى كسور عادية، فسيكون هناك عدد أقل من الأخطاء.

دعونا نرى كيف يعمل هذا المخطط باستخدام أمثلة محددة:

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 5 25

  1. دعونا نتخيل القاعدة والحجة كقوة خمسة: 5 = 5 1 ؛ 25 = 5 2 ;
  2. لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
    سجل 5 25 = ب ⇒ (5 1) ب = 5 2 ⇒ 5 ب = 5 2 ⇒ ب = 2 ;

  3. تلقينا الجواب: 2.

مهمة. احسب اللوغاريتم:

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 4 64

  1. دعونا نتخيل القاعدة والحجة كقوة اثنين: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
  2. لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
    سجل 4 64 = ب ⇒ (2 2) ب = 2 6 ⇒ 2 2ب = 2 6 ⇒ 2ب = 6 ⇒ ب = 3 ;
  3. تلقينا الجواب: 3.

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 16 1

  1. لنتخيل القاعدة والوسيطة كقوة لاثنين: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
  2. لنقم بإنشاء المعادلة وحلها:
    سجل 16 1 = ب ⇒ (2 4) ب = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ ب = 0 ;
  3. لقد تلقينا الجواب: 0.

مهمة. احسب اللوغاريتم: سجل 7 14

  1. لنتخيل القاعدة والحجة كقوة لسبعة: 7 = 7 1 ؛ لا يمكن تمثيل 14 كقوة لسبعة، لأن 7 1< 14 < 7 2 ;
  2. ويترتب على الفقرة السابقة أن اللوغاريتم لا يحسب؛
  3. الجواب هو لا تغيير: سجل 7 14.

ملاحظة صغيرة على المثال الأخير. كيف يمكنك التأكد من أن الرقم ليس قوة دقيقة لرقم آخر؟ الأمر بسيط جدًا، ما عليك سوى تحليله إلى عوامل أولية. إذا كان للتوسع عاملين مختلفين على الأقل، فإن الرقم ليس قوة محددة.

مهمة. معرفة ما إذا كانت الأرقام هي القوى الدقيقة: 8؛ 48؛ 81؛ 35؛ 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - الدرجة الدقيقة، لأن هناك مضاعف واحد فقط؛
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ليست قوة دقيقة، حيث أن هناك عاملين: 3 و 2؛
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - الدرجة الدقيقة؛
35 = 7 · 5 - مرة أخرى ليست قوة محددة؛
14 = 7 · 2 - مرة أخرى ليست درجة محددة؛

لاحظ أيضًا أن الأعداد الأولية نفسها هي دائمًا قوى دقيقة لذاتها.

اللوغاريتم العشري

بعض اللوغاريتمات شائعة جدًا بحيث يكون لها اسم ورمز خاصان.

اللوغاريتم العشري لـ x هو اللوغاريتم للأساس 10، أي. القوة التي يجب رفع الرقم 10 إليها للحصول على الرقم x. التسمية: إل جي إكس.

على سبيل المثال، سجل 10 = 1؛ إل جي 100 = 2; إل جي 1000 = 3 - إلخ.

من الآن فصاعدًا، عندما تظهر عبارة مثل "Find lg 0.01" في كتاب مدرسي، فاعلم أن هذا ليس خطأ مطبعي. هذا هو اللوغاريتم العشري. ومع ذلك، إذا لم تكن على دراية بهذا الترميز، فيمكنك دائمًا إعادة كتابته:
سجل س = سجل 10 س

كل ما ينطبق على اللوغاريتمات العادية ينطبق أيضًا على اللوغاريتمات العشرية.

اللوغاريتم الطبيعي

هناك لوغاريتم آخر له تسمية خاصة به. في بعض النواحي، يكون أكثر أهمية من العلامة العشرية. نحن نتحدث عن اللوغاريتم الطبيعي.

اللوغاريتم الطبيعي لـ x هو اللوغاريتم للأساس e، أي. القوة التي يجب رفع الرقم e إليها للحصول على الرقم x. التعيين: ln x .

سيسأل الكثير: ما هو الرقم ه؟ هذا رقم غير نسبي، ولا يمكن العثور على قيمته الدقيقة وكتابتها. سأقدم الأرقام الأولى فقط:
ه = 2.718281828459...

لن نخوض في التفاصيل حول ماهية هذا الرقم وسبب الحاجة إليه. فقط تذكر أن e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي:
ln x = سجل e x

وبالتالي ln e = 1 ; لن ه 2 = 2؛ لن ه 16 = 16 - الخ ومن ناحية أخرى، ln 2 هو عدد غير نسبي. بشكل عام، اللوغاريتم الطبيعي لأي رقم نسبي هو غير منطقي. باستثناء الوحدة بالطبع: ln 1 = 0.

بالنسبة للوغاريتمات الطبيعية، فإن جميع القواعد الصحيحة للوغاريتمات العادية صالحة.