تشكلت الهندسة كعلم في مصر القديمة ووصلت إلى مستوى عالٍ من التطور. أسس الفيلسوف الشهير أفلاطون الأكاديمية، حيث تم إيلاء اهتمام وثيق لتنظيم المعرفة الموجودة. تم ذكر المخروط كأحد الأشكال الهندسية لأول مرة في أطروحة إقليدس الشهيرة "العناصر". كان إقليدس على دراية بأعمال أفلاطون. في الوقت الحاضر، قليل من الناس يعرفون أن كلمة "مخروط" المترجمة من اليونانية تعني "مخروط الصنوبر". يعتبر عالم الرياضيات اليوناني إقليدس، الذي عاش في الإسكندرية، مؤسس الجبر الهندسي. لم يصبح الإغريق القدماء خلفاء لمعرفة المصريين فحسب، بل قاموا أيضًا بتوسيع النظرية بشكل كبير.

تاريخ تعريف المخروط

الهندسة كعلم انبثقت من المتطلبات العملية للبناء وملاحظات الطبيعة. وتدريجيًا تم تعميم المعرفة التجريبية، وإثبات خواص بعض الأجسام من خلال أخرى. قدم اليونانيون القدماء مفهوم البديهيات والبراهين. البديهية هي عبارة تم الحصول عليها من خلال الوسائل العملية ولا تحتاج إلى دليل.

وقد قدم إقليدس في كتابه تعريفا للمخروط بأنه شكل يتم الحصول عليه بتدوير مثلث قائم الزاوية حول إحدى قوائمه. كما أنه يمتلك النظرية الرئيسية التي تحدد حجم المخروط. تم إثبات هذه النظرية من قبل عالم الرياضيات اليوناني القديم Eudoxus of Cnidus.

عالم رياضيات آخر من اليونان القديمة، أبولونيوس من بيرغا، الذي كان تلميذاً لإقليدس، قام بتطوير وشرح نظرية الأسطح المخروطية في كتبه. فهو يملك تعريف السطح المخروطي والقاطع له. يدرس تلاميذ المدارس اليوم الهندسة الإقليدية، التي حافظت على النظريات والتعاريف الأساسية منذ العصور القديمة.

التعريفات الأساسية

يتم تشكيل مخروط دائري قائم عن طريق تدوير مثلث قائم حول ساق واحدة. كما ترون، فإن مفهوم المخروط لم يتغير منذ زمن إقليدس.

يشكل الوتر AS للمثلث الأيمن AOS، عند تدويره حول الساق OS، السطح الجانبي للمخروط، لذلك يطلق عليه المولد. يتحول ساق المثلث في نفس الوقت إلى ارتفاع المخروط ومحوره. النقطة S تصبح قمة المخروط. تحولت الساق AO، بعد أن وصفت الدائرة (القاعدة)، إلى نصف قطر مخروطي.

إذا قمت برسم مستوى من الأعلى عبر قمة المخروط ومحوره، فيمكنك أن ترى أن القسم المحوري الناتج هو مثلث متساوي الساقين، حيث يكون المحور هو ارتفاع المثلث.

أين ج- محيط القاعدة، ل- طول المولد المخروط، ر- نصف قطر القاعدة.

صيغة لحساب حجم المخروط

لحساب حجم المخروط، استخدم الصيغة التالية:

حيث S هي مساحة قاعدة المخروط. وبما أن القاعدة عبارة عن دائرة، فإن مساحتها تحسب على النحو التالي:

ويترتب على ذلك:

حيث V هو حجم المخروط؛

n هو رقم يساوي 3.14؛

R هو نصف قطر القاعدة المقابل للقطعة AO في الشكل 1؛

H هو الارتفاع الذي يساوي الجزء OS.

مخروط مقطوع، الحجم

هناك مخروط دائري مستقيم. إذا قمت بقطع الجزء العلوي بمستوى عمودي على الارتفاع، فستحصل على مخروط مقطوع. قاعدتاها على شكل دائرة نصف قطرها R1 و R2.

إذا تم تشكيل مخروط قائم عن طريق تدوير مثلث قائم، فسيتم تشكيل مخروط مقطوع عن طريق تدوير شبه منحرف مستطيل حول جانب مستقيم.

يتم حساب حجم المخروط المقطوع باستخدام الصيغة التالية:

V=n*(ر 1 2 +ر 2 2 +ر 1 *ر 2)*ح/3.

المخروط وقسمه بالطائرة

كتب عالم الرياضيات اليوناني القديم أبولونيوس من برجا العمل النظري "الأقسام المخروطية". بفضل عمله في الهندسة، ظهرت تعريفات المنحنيات: القطع المكافئ، القطع الناقص، القطع الزائد. دعونا نلقي نظرة على ما علاقة المخروط به.

لنأخذ مخروطًا دائريًا مستقيمًا. وإذا تقاطع المستوي بشكل عمودي على المحور، تتشكل دائرة في المقطع. عندما يتقاطع القاطع مع مخروط بزاوية مع المحور، يتم الحصول على القطع الناقص في القسم.

تشكل طائرة القطع المتعامدة مع القاعدة والموازية لمحور المخروط قطعًا زائدًا على السطح. المستوى الذي يقطع المخروط بزاوية مع القاعدة وبالتوازي مع مماس المخروط يخلق منحنى على السطح، وهو ما يسمى القطع المكافئ.

حل المشكلة

حتى المهمة البسيطة المتمثلة في كيفية صنع دلو بحجم معين تتطلب المعرفة. على سبيل المثال، تحتاج إلى حساب أبعاد الدلو بحيث يبلغ حجمه 10 لترات.

V=10 ل=10 دسم 3 ;

تطور المخروط له الشكل الموضح تخطيطيًا في الشكل 3.

L هو المولد للمخروط.

لمعرفة مساحة سطح الدلو والتي يتم حسابها باستخدام الصيغة التالية:

ق=ن*(ص 1 +ص 2)*ل،

فمن الضروري حساب المولد. نجدها من قيمة الحجم V=n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2)*H/3.

وبالتالي H=3V/n*(R 1 2 +R 2 2 +R 1 *R 2).

يتم تشكيل المخروط المقطوع عن طريق تدوير شبه منحرف مستطيل، حيث يكون الجانب هو مولد المخروط.

ل2 =(ر2- ر1)2 +ح2.

الآن لدينا جميع البيانات اللازمة لبناء رسم الدلو.

لماذا يكون شكل دلاء النار مخروطيا؟

من منا تساءل يومًا لماذا يبدو لدلاء النار شكل مخروطي غريب؟ وهذا ليس هكذا. اتضح أن الدلو المخروطي عند إطفاء الحريق له العديد من المزايا مقارنة بالدلو العادي الذي يشبه المخروط المقطوع.

أولاً، كما تبين، يمتلئ دلو النار بالماء بشكل أسرع ولا ينسكب عند حمله. يتيح لك المخروط ذو الحجم الأكبر من الدلو العادي نقل المزيد من الماء في المرة الواحدة.

ثانيا، يمكن إلقاء الماء منه على مسافة أكبر من الدلو العادي.

ثالثاً: إذا سقط الدلو المخروطي من يديك وسقط في النار، فإن الماء كله يصب على مصدر النار.

كل هذه العوامل توفر الوقت – وهو العامل الرئيسي عند إطفاء الحريق.

التطبيق العملي

غالبًا ما يكون لدى تلاميذ المدارس أسئلة حول سبب حاجتهم إلى تعلم كيفية حساب حجم الأجسام الهندسية المختلفة، بما في ذلك المخروط.

ويواجه مهندسو التصميم باستمرار الحاجة إلى حساب حجم الأجزاء المخروطية من أجزاء الماكينة. هذه هي نصائح الحفر وأجزاء المخارط وآلات الطحن. سيسمح الشكل المخروطي للمثاقب بدخول المادة بسهولة دون الحاجة إلى وضع علامات أولية باستخدام أداة خاصة.

حجم المخروط هو كومة من الرمل أو التراب المسكوبة على الأرض. إذا لزم الأمر، من خلال إجراء قياسات بسيطة، يمكنك حساب حجمه. قد يرتبك البعض عند سؤال كيفية معرفة نصف قطر وارتفاع كومة الرمل. مسلحين بشريط قياس، نقيس محيط الكومة C. باستخدام الصيغة R=C/2n نكتشف نصف القطر. برمي حبل (شريط قياس) فوق الرأس، نجد طول المولد. وحساب الارتفاع باستخدام نظرية فيثاغورس والحجم ليس بالأمر الصعب. بالطبع، هذا الحساب تقريبي، لكنه يسمح لك بتحديد ما إذا كنت قد خدعت بإحضار طن من الرمل بدلاً من المكعب.

بعض المباني على شكل مخروط مقطوع. على سبيل المثال، يقترب برج تلفزيون أوستانكينو من شكل مخروطي. ويمكن تصوره على أنه يتكون من مخروطين موضوعين فوق بعضهما البعض. تمثل قباب القلاع والكاتدرائيات القديمة مخروطًا قام المهندسون المعماريون القدماء بحساب حجمه بدقة مذهلة.

إذا نظرت عن كثب إلى الأشياء المحيطة، فإن الكثير منها عبارة عن مخاريط:

• قمع لصب السوائل؛
• مكبر الصوت
• مخاريط وقوف السيارات
• عاكس الضوء لمصباح الكلمة.
• شجرة عيد الميلاد المعتادة.
• آلات موسيقية الرياح.

كما يتبين من الأمثلة المقدمة، فإن القدرة على حساب حجم المخروط ومساحة سطحه أمر ضروري في الحياة المهنية واليومية. نأمل أن يأتي المقال لمساعدتكم.

أجسام الثورة التي تدرس في المدرسة هي الاسطوانة والمخروط والكرة.

إذا كنت في مشكلة في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، فأنت بحاجة إلى حساب حجم المخروط أو مساحة الكرة، فاعتبر نفسك محظوظًا.

تطبيق الصيغ للحجم ومساحة السطح للأسطوانة والمخروط والكرة. كل منهم في طاولتنا. تعلم عن ظهر قلب. هذا هو المكان الذي تبدأ فيه معرفة القياس المجسم.

في بعض الأحيان يكون من الجيد رسم المنظر من الأعلى. أو، كما في هذه المشكلة، من الأسفل.

2. بكم مرة يكون حجم المخروط المحيط بهرم رباعي منتظم أكبر من حجم المخروط المحيط بهذا الهرم؟

الأمر بسيط - ارسم المنظر من الأسفل. نلاحظ أن نصف قطر الدائرة الكبرى أكبر من نصف قطر الدائرة الأصغر بأضعاف. ارتفاعات كلا المخاريط هي نفسها. وبالتالي، فإن حجم المخروط الأكبر سيكون ضعف حجمه.

نقطة أخرى مهمة. نتذكر أنه في مسائل الجزء ب من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، تتم كتابة الإجابة كعدد صحيح أو كسر عشري نهائي. ولذلك، لا ينبغي أن يكون هناك أي أو في إجابتك في الجزء ب. ليست هناك حاجة لاستبدال القيمة التقريبية للرقم أيضًا! يجب أن يتقلص بالتأكيد! ولهذا الغرض يتم صياغة المهمة في بعض المسائل، على سبيل المثال، على النحو التالي: "إيجاد مساحة السطح الجانبي للأسطوانة مقسومة على".

في أي مكان آخر يتم استخدام صيغ الحجم والمساحة السطحية لأجسام الثورة؟ بالطبع في المشكلة C2 (16). سنخبرك أيضًا بذلك.

كرة حجمها 8π منقوشة في مكعب. أوجد حجم المكعب.

حل

دع يكون جانب المكعب. إذن حجم المكعب هو V=a3.

بما أن الكرة محفورة في مكعب، فإن نصف قطر الكرة يساوي نصف حافة المكعب، أي R = a/2 (انظر الشكل).

حجم الكرة يساوي V w = (4/3)πR 3 ويساوي 8π، وبالتالي

(4/3)πR 3 = 8π،

وحجم المكعب يساوي V = a 3 = (2R) 3 = 8R 3 = 8*6 = 48.

المهمة B9 (الخيارات النموذجية 2015)

حجم المخروط هو 32. من خلال منتصف الارتفاع، بالتوازي مع قاعدة المخروط، يتم رسم قسم، وهو قاعدة مخروط أصغر مع نفس الرأس. أوجد حجم المخروط الأصغر.

حل

دعونا نفكر في المهام:

72353. حجم المخروط هو 10. يتم رسم مقطع من منتصف الارتفاع موازيًا لقاعدة المخروط، وهي قاعدة مخروط أصغر له نفس الرأس. أوجد حجم المخروط الأصغر.

ولنلاحظ على الفور أن المخروط الأصلي والمخروط المقطوع متشابهان، وإذا نظرنا إلى المخروط المقطوع بالنسبة إلى المخروط الأصلي، يمكننا أن نقول هذا: المخروط الأصغر يشبه المخروط الأكبر بمعامل يساوي النصف أو 0.5 . يمكننا أن نكتب:

يمكن للمرء أن يكتب:

يمكن للمرء أن يعتقد ذلك!

دعونا نفكر في المخروط الأصلي بالنسبة للمخروط المقطوع. يمكننا القول أن المخروط الأكبر يشبه المخروط المقطوع ومعامله يساوي اثنين، فلنكتب:

انظر الآن إلى الحل دون استخدام خصائص التشابه.

حجم المخروط يساوي ثلث حاصل ضرب مساحة قاعدته وارتفاعه:

خذ بعين الاعتبار الإسقاط الجانبي (المنظر الجانبي) مع المقطع العرضي المشار إليه:

وليكن نصف قطر المخروط الأكبر مساويًا لـ R، والارتفاع يساوي H. ويمر القسم (قاعدة المخروط الأصغر) بمنتصف الارتفاع، مما يعني أن ارتفاعه سيكون مساويًا لـ H/2. ونصف قطر القاعدة يساوي R/2، وهذا ناتج عن تشابه المثلثات.

لنكتب حجم المخروط الأصلي:

سيكون حجم المخروط المقطوع مساوياً لـ:

يتم تقديم هذه الحلول التفصيلية حتى تتمكن من رؤية كيفية بناء المنطق. التصرف بأي شكل من الأشكال - الشيء الرئيسي هو أن تفهم جوهر القرار. حتى لو كان المسار الذي اخترته غير عقلاني، فإن النتيجة (النتيجة الصحيحة) مهمة.

الجواب: 1.25

318145. في الإناء المخروطي الشكل يصل مستوى السائل إلى نصف ارتفاعه. حجم السائل 70 مل. ما عدد المليليترات من السائل التي يجب إضافتها لملء الوعاء بالكامل؟

هذه المهمة مشابهة للمهمة السابقة. على الرغم من أننا نتحدث عن سائل هنا، إلا أن مبدأ الحل هو نفسه.

لدينا مخروطان - هذا هو الوعاء نفسه والمخروط "الصغير" (المملوء بالسائل)، وهما متشابهان. ومن المعلوم أن أحجام هذه الأجسام مرتبطة على النحو التالي:

يشبه المخروط الأولي (الوعاء) مخروطًا مملوءًا بسائل معامله 2، حيث يقال أن مستوى السائل يصل إلى نصف الارتفاع. يمكنك الكتابة بمزيد من التفاصيل:

نحسب:

وبالتالي، تحتاج إلى إضافة:

مشاكل أخرى مع السوائل.

74257. أوجد الحجم V لمخروط، مولده يساوي 44 ويميل إلى مستوى القاعدة بزاوية 30 0. يرجى الإشارة إلى V/Pi في إجابتك.

حجم المخروط:

نوجد ارتفاع المخروط باستخدام خاصية المثلث القائم الزاوية.

الساق المقابلة للزاوية 30 درجة تساوي نصف الوتر. الوتر، في في هذه الحالة، هو مولد المخروط. وبالتالي فإن ارتفاع المخروط هو 22.

نجد مربع نصف قطر القاعدة باستخدام نظرية فيثاغورس:

*نحتاج إلى مربع نصف القطر، وليس نصف القطر نفسه.

1. حساب حجم المكعب

أ- جانب المكعب

صيغة حجم المكعب ( V ):

2. أوجد بالصيغة حجم متوازي السطوح المستطيل

أ، ب، ج- جوانب متوازية

في بعض الأحيان يُطلق على جانب متوازي السطوح اسم الحافة.

صيغة حجم متوازي السطوح ( V):

3. صيغة لحساب حجم الكرة، المجال

ر — نصف قطر الكرة

باستخدام الصيغة، إذا تم تحديد نصف القطر، يمكنك العثور على حجم الكرة، ( V):

4. كيفية حساب حجم الاسطوانة؟

ح- ارتفاع الاسطوانة

ص- نصف القطر الأساسي

باستخدام الصيغة، أوجد حجم الأسطوانة إذا كان نصف قطر قاعدتها وارتفاعها معلومين ( V):

5. كيفية العثور على حجم المخروط؟

ص-نصف القطر الأساسي

ح—ارتفاع المخروط

صيغة حجم المخروط إذا كان نصف القطر والارتفاع معروفين ( V):

7. صيغة لحجم المخروط المقطوع

ص —نصف قطر القاعدة العلوي

ص-نصف القطر السفلي

ح -ارتفاع المخروط

صيغة حجم المخروط المقطوع، إذا كانت معروفة - نصف قطر القاعدة السفلية ونصف قطر القاعدة العلوية وارتفاع المخروط ( V):

8. حجم رباعي السطوح المنتظم

رباعي السطوح المنتظم هو هرم جميع وجوهه عبارة عن مثلثات متساوية الأضلاع.

أ- حافة رباعي الاسطح

صيغة لحساب حجم رباعي الاسطح العادي ( V):

9. حجم الهرم الرباعي المنتظم

يسمى الهرم ذو القاعدة المربعة والأضلاع المثلثة المتساوية الساقين بالهرم الرباعي المنتظم.

أ- الجانب الأساسي

ح- ارتفاع الهرم

صيغة لحساب حجم الهرم الرباعي المنتظم ( V):

10. حجم الهرم الثلاثي المنتظم

الهرم الذي قاعدته مثلث متساوي الأضلاع وأضلاعه متساوية ومثلثات متساوية الساقين يسمى الهرم الثلاثي المنتظم.

أ- الجانب الأساسي

ح- ارتفاع الهرم

صيغة حجم الهرم الثلاثي المنتظم، بمعلومية ارتفاع القاعدة وضلعها ( V):

11. أوجد حجم الهرم المنتظم

يسمى الهرم ذو المضلع المنتظم والمثلثات المتساوية في قاعدته منتظمًا.

ح- ارتفاع الهرم

أ- جانب قاعدة الهرم

ن- عدد أضلاع المضلع عند القاعدة

صيغة حجم الهرم المنتظم مع معرفة الارتفاع وضلع القاعدة وعدد هذه الأضلاع ( V):

جميع الصيغ لأحجام الأجسام الهندسية
الهندسة والجبر والفيزياء

صيغ الحجم

حجم الشكل الهندسي- خاصية كمية للمساحة التي يشغلها جسم أو مادة. في أبسط الحالات، يتم قياس الحجم بعدد مكعبات الوحدة التي تناسب الجسم، أي مكعبات ذات حافة تساوي وحدة الطول. يتم تحديد حجم الجسم أو سعة الوعاء من خلال شكله وأبعاده الخطية.

صيغة لحجم المكعب

1) حجم المكعب يساوي مكعب حافته.

V- حجم المكعب

ح- ارتفاع حافة المكعب

صيغة لحجم الهرم

1) حجم الهرم يساوي ثلث حاصل ضرب مساحة القاعدة S (ABCD) والارتفاع h (OS).

V- حجم الهرم

س- مساحة قاعدة الهرم

ح- ارتفاع الهرم

صيغ لحجم المخروط

1) حجم المخروط يساوي ثلث حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع.

2) حجم المخروط يساوي ثلث حاصل ضرب باي (3.1415) في مربع نصف قطر القاعدة والارتفاع.

V- حجم المخروط

س- مساحة قاعدة المخروط

ح- ارتفاع المخروط

π — رقم باي (3.1415)

ص- نصف قطر المخروط

صيغ حجم الاسطوانة

1) حجم الاسطوانة يساوي حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع.

2) حجم الاسطوانة يساوي حاصل ضرب باي (3.1415) في مربع نصف قطر القاعدة والارتفاع.

V- حجم الاسطوانة

س- مساحة قاعدة الاسطوانة

ح- ارتفاع الاسطوانة

π — رقم باي (3.1415)

ص- نصف قطر الاسطوانة

صيغة لحجم الكرة

1) يتم حساب حجم الكرة باستخدام الصيغة أدناه.

V- حجم الكرة

π — رقم باي (3.1415)

ر- نصف قطر الكرة

صيغة لحجم رباعي الاسطح

1) حجم رباعي السطوح يساوي الكسر في البسط الذي يكون الجذر التربيعي لاثنين مضروبًا في مكعب طول حافة رباعي السطوح، وفي المقام اثني عشر.

صيغ الحجم
صيغ الحجم والبرامج عبر الإنترنت لحساب الحجم

صيغة الحجم.

صيغة الحجماللازمة لحساب المعلمات وخصائص الشكل الهندسي.

حجم الشكلهي خاصية كمية للمساحة التي يشغلها جسم أو مادة. في أبسط الحالات، يتم قياس الحجم بعدد مكعبات الوحدة التي تناسب الجسم، أي مكعبات ذات حافة تساوي وحدة الطول. يتم تحديد حجم الجسم أو سعة الوعاء من خلال شكله وأبعاده الخطية.

متوازي الأضلاع.

حجم متوازي السطوح المستطيل يساوي منتج مساحة القاعدة والارتفاع.

اسطوانة.

حجم الاسطوانة يساوي منتج مساحة القاعدة والارتفاع.

حجم الأسطوانة يساوي حاصل ضرب pi (3.1415) في مربع نصف قطر القاعدة والارتفاع.

هرم.

حجم الهرم يساوي ثلث حاصل ضرب مساحة القاعدة S (ABCDE) والارتفاع h (OS).

الهرم الصحيح- وهو هرم، في قاعدته مضلع منتظم، ويمر ارتفاعه بمركز الدائرة المنقوشة عند القاعدة.

الهرم الثلاثي المنتظمهو هرم قاعدته مثلث متساوي الأضلاع وأضلاعه مثلثات متساوية الساقين.

هرم رباعي منتظموهو هرم قاعدته مربعة وأضلاعه مثلثات متساوية الساقين.

رباعي الاسطحهو هرم جميع وجوهه مثلثات متساوية الأضلاع.

الهرم المقطوع.

حجم الهرم المقطوع يساوي ثلث ناتج الارتفاع h (OS) بمجموع مساحات القاعدة العلوية S 1 (abcde)، والقاعدة السفلية للهرم المقطوع S 2 (ABCDE) و المتوسط ​​المتناسب بينهما.

من السهل حساب حجم المكعب - تحتاج إلى ضرب الطول والعرض والارتفاع. بما أن طول المكعب يساوي عرضه ويساوي ارتفاعه، فإن حجم المكعب يساوي s 3 .

مخروطهو جسم في الفضاء الإقليدي يتم الحصول عليه من خلال تجميع جميع الأشعة الصادرة من نقطة واحدة (رأس المخروط) والمارة عبر سطح مستو.

مخروط مقطوعسيعمل إذا قمت برسم قسم في المخروط موازٍ للقاعدة.

V = 1/3 πh (R 2 + Rr + r 2)

حجم الكرة أقل بمرة ونصف من حجم الأسطوانة المحيطة بها.

موشور.

حجم المنشور يساوي منتج مساحة قاعدة المنشور وارتفاعه.

قطاع الكرة.

حجم القطاع الكروي يساوي حجم الهرم الذي قاعدته لها نفس مساحة الجزء المقطوع من القطاع من السطح الكروي، والارتفاع يساوي نصف قطر الكرة.

طبقة الكرة- هذا هو الجزء من الكرة المحصور بين مستويين متوازيين قاطعين.

شريحة الكرة- يُسمى هذا الجزء من الكرة، المقطوع عنها بواسطة مستوى ما، بالجزء الكروي أو الكروي

صيغة الحجم
صيغة لحجم المكعب والكرة والهرم ومتوازي الأضلاع والأسطوانة ورباعي الأسطح والمخروط والمنشور وأحجام الأشكال الهندسية الأخرى.

في دورة القياس الفراغي، أحد الأسئلة الرئيسية هو كيفية حساب حجم جسم هندسي معين. يبدأ كل شيء بمتوازي بسيط وينتهي بالكرة.

في الحياة أيضًا، غالبًا ما يتعين عليك مواجهة مشكلات مماثلة. على سبيل المثال، لحساب حجم الماء الذي يمكن وضعه في دلو أو برميل.

الخصائص صالحة لحجم كل جسم

1. هذه القيمة هي دائمًا رقم موجب.
2. إذا كان من الممكن تقسيم الجسم إلى أجزاء بحيث لا توجد تقاطعات، فإن الحجم الإجمالي يساوي مجموع أحجام الأجزاء.
3. الأجسام المتساوية لها أحجام متساوية.
4. إذا كان الجسم الأصغر موجودًا بالكامل في جسم أكبر، فإن حجم الأول يكون أقل من حجم الثاني.

التسميات العامة لجميع الهيئات

ولكل منها حواف وقواعد، ويتم بناء الارتفاعات فيها. ولذلك، يتم تعيين هذه العناصر لهم على قدم المساواة. هذا هو بالضبط كيف يتم كتابتها في الصيغ. وسوف نتعلم كذلك كيفية حساب حجم كل جسم وتطبيق مهارات جديدة في الممارسة العملية.

بعض الصيغ لها كميات أخرى. وستتم مناقشة تعيينهم عندما تنشأ مثل هذه الحاجة.

المنشور، متوازي السطوح (مستقيم ومائل) ومكعب

يتم دمج هذه الأجسام لأنها تبدو متشابهة جدًا، كما أن صيغ كيفية حساب الحجم متطابقة:

الخامس = س * ح.

فقط S سوف يختلف. وفي حالة متوازي السطوح، يتم حسابه على أنه مستطيل أو مربع. في المنشور، يمكن أن تكون القاعدة مثلثًا، أو متوازي أضلاع، أو رباعيًا عشوائيًا، أو مضلعًا آخر.

بالنسبة للمكعب، تم تبسيط الصيغة بشكل كبير لأن جميع أبعاده متساوية:

الخامس = أ 3.

الهرم، رباعي الاسطح، الهرم المقطوع

بالنسبة للأجسام الأولى، هناك صيغة لحساب الحجم:

الخامس = 1/3 * ق * ن.

رباعي الاسطح هو حالة خاصة من الهرم الثلاثي. جميع الحواف فيه متساوية. ولذلك، يتم الحصول على صيغة مبسطة مرة أخرى:

V = (أ 3 * √2) / 12، أو V = 1/ 3 S h

يصبح الهرم مقطوعًا عندما يتم قطع الجزء العلوي منه. ولذلك فإن حجمه يساوي الفرق بين الهرمين: الهرم الذي سيكون سليمًا والقمة المنزوعة. إذا كان من الممكن معرفة قاعدتي هذا الهرم (S 1 - الأكبر و S 2 - الأصغر)، فمن الملائم استخدام هذه الصيغة لحساب الحجم:

اسطوانة ومخروط ومخروط مقطوع

الخامس =π * ص 2 * ح.

الوضع مع المخروط أكثر تعقيدًا إلى حد ما. هناك صيغة لذلك:

الخامس = 1/3 π * ص 2 * ح.إنه مشابه جدًا لتلك المحددة للأسطوانة، فقط يتم تقليل القيمة بمقدار ثلاث مرات.

كما هو الحال مع الهرم المقطوع، فإن الوضع ليس سهلاً مع المخروط الذي له قاعدتان. تبدو صيغة حساب حجم المخروط المقطوع كما يلي:

V = 1/3 π * ح * (ص 1 2 + ص 1 ص 2 + ص 2 2).هنا r 1 هو نصف قطر القاعدة السفلية، r 2 هو نصف قطر القاعدة العلوية (الأصغر).

الكرة وقطاعات الكرة والقطاع

هذه هي الصيغ الأكثر صعوبة في التذكر. بالنسبة لحجم الكرة فيبدو كما يلي:

V = 4/3 π *ص 3 .

غالبًا ما يكون هناك سؤال في المشكلات حول كيفية حساب حجم القطعة الكروية - جزء من الكرة الذي يتم قطعه بالتوازي مع القطر. في هذه الحالة، سوف تأتي الصيغة التالية للإنقاذ:

V = π ح 2 * (ص - ح/3).في ذلك، يتم أخذ ارتفاع الجزء كـ h، أي الجزء الذي يمتد على طول نصف قطر الكرة.

وينقسم القطاع إلى قسمين: مخروطي وقطعة كروية. ولذلك، يتم تعريف حجمه على أنه مجموع هذه الهيئات. تبدو الصيغة بعد التحويلات كما يلي:

V = 2/3 πr 2 * h.هنا h هو أيضًا ارتفاع القطعة.

مشاكل العينة

حول أحجام الاسطوانة والكرة والمخروط

حالة:قطر الاسطوانة (الجسم الأول) يساوي ارتفاعها، قطر الكرة (الجسم الثاني) وارتفاع المخروط (الجسم الثالث)، تحقق من تناسب الأحجام V 1: V 2: V 3 = 3:2:1

حل.تحتاج أولاً إلى كتابة ثلاث صيغ للمجلدات. ثم اعتبر أن نصف القطر يساوي نصف القطر. أي أن الارتفاع سيكون مساوياً لنصف قطرين: h = 2r. من خلال إجراء استبدال بسيط، يتبين أن صيغ الأحجام ستبدو كما يلي:

V 1 = 2 π r 3، V 3 = 2/3 π r 3. لا تتغير صيغة حجم الكرة لأن الارتفاع لا يظهر فيها.

الآن يبقى كتابة نسب الحجم وإجراء التخفيض 2π و r 3. اتضح أن V 1: V 2: V 3 = 1: 2/3: 1/3. يمكن بسهولة كتابة هذه الأرقام بالشكل 3:2:1.

حول حجم الكرة

حالة:هناك بطيختان نصف قطرهما 15 و 20 سم، أيهما أكثر فائدة لتناولهما: الأولى مع أربعة أشخاص أم الثانية مع ثمانية؟

حل.للإجابة على هذا السؤال، ستحتاج إلى إيجاد نسبة أحجام الأجزاء التي ستأتي من كل بطيخة. مع الأخذ في الاعتبار أنها مجالات، نحتاج إلى كتابة صيغتين للحجم. ثم ضع في اعتبارك أنه من الأول سيحصل الجميع على الجزء الرابع فقط، ومن الثاني - الثامن.

يبقى أن نكتب نسبة أحجام الأجزاء. سوف يبدو مثل هذا:

(ف1: 4) / (ف2: 8) = (1/3 π ص 1 3) / (1/6 π ص 2 3). بعد التحويل، يبقى الكسر فقط: (2 ص 1 3) / ص 2 3. وبعد استبدال القيم والحساب يتم الحصول على الكسر 6750/8000. ويتبين منه أن حصة البطيخة الأولى ستكون أقل من حصة الثانية.

إجابة.ومن الأفضل تناول ثُمن البطيخة التي يبلغ قطرها 20 سم.

حول أحجام الهرم والمكعب

حالة:يوجد هرم مصنوع من الطين قاعدته مستطيلة 8X9 سم وارتفاعه 9 سم، مصنوع من نفس قطعة الطين مكعب، ما حافته؟

حل.إذا قمنا بتعيين جوانب المستطيل بالحرفين b و c، فسيتم حساب مساحة قاعدة الهرم كمنتجهما. ثم صيغة حجمه هي:

صيغة حجم المكعب مكتوبة في المقالة أعلاه. هاتان القيمتان متساويتان: V 1 = V 2 . كل ما تبقى هو مساواة الجوانب اليمنى من الصيغ وإجراء الحسابات اللازمة. اتضح أن حافة المكعب ستكون 6 سم.

حول حجم متوازي السطوح

حالة:تحتاج إلى صنع صندوق بسعة 0.96 م 3 وعرضه وطوله معروفان - 1.2 و 0.8 متر فماذا يجب أن يكون ارتفاعه؟

حل.بما أن قاعدة متوازي السطوح مستطيلة، فإن مساحته تعرف بأنها حاصل ضرب الطول (أ) والعرض (ب). لذلك، تبدو صيغة الحجم كما يلي:

من السهل تحديد الارتفاع عن طريق تقسيم الحجم على المساحة. اتضح أن الارتفاع يجب أن يكون 1 متر.

إجابة.ارتفاع الصندوق متر واحد.

كيفية حساب حجم الأجسام الهندسية المختلفة؟
في دورة القياس الفراغي، إحدى المهام الرئيسية هي كيفية حساب حجم جسم هندسي معين. يبدأ كل شيء بمتوازي بسيط وينتهي بالكرة.

يتم التعبير عن حجم المخروط بنفس صيغة حجم الهرم: V = 1/3 S ح,

حيث V هو حجم المخروط، S هي مساحة قاعدة المخروط، ح- ارتفاعه.

أخيرًا V = 1 / 3 πR 2 ح، حيث R هو نصف قطر قاعدة المخروط.

يمكن تفسير الحصول على صيغة حجم المخروط من خلال المنطق التالي:

دع المخروط يعطى (الشكل). لنكتب فيه هرمًا منتظمًا، أي أننا سنبني هرمًا داخل المخروط الذي يتطابق رأسه مع قمة المخروط، وقاعدته مضلع منتظم منقوش في قاعدة المخروط.

يتم التعبير عن حجم هذا الهرم بالصيغة: V' = 1 / 3 S' ححيث V هو حجم الهرم

S’ هي مساحة قاعدته، ح- ارتفاع الهرم .

إذا أخذنا مضلعًا به عدد كبير جدًا من الأضلاع كقاعدة للهرم، فإن مساحة قاعدة الهرم ستختلف قليلًا جدًا عن مساحة الدائرة، وسيصبح حجم الهرم تختلف قليلاً عن حجم المخروط. وإذا أهملنا هذه الاختلافات في الحجم، فإنه يتم التعبير عن حجم المخروط بالصيغة التالية:

الخامس = 1/3S ححيث V هو حجم المخروط، S هي مساحة قاعدة المخروط، ح- ارتفاع المخروط .

بالتعويض عن S خلال πR 2، حيث R هو نصف قطر الدائرة، نحصل على الصيغة: V = 1 / 3 πR 2 ح، معبرا عن حجم المخروط.

ملحوظة.في الصيغة V = 1 / 3 S حيتم وضع علامة على المساواة الدقيقة وغير التقريبية، على الرغم من أننا يمكن أن نعتبرها تقريبية بناءً على المنطق الذي تم تنفيذه، ولكن في المدرسة الثانوية العليا ثبت أن المساواة

الخامس = 1/3S حدقيق وليس تقريبي

حجم المخروط التعسفي

نظرية. حجم المخروط التعسفي يساوي ثلث حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع، أولئك.

الخامس = 1/3 QH، (1)

حيث Q هي مساحة القاعدة، و H هو ارتفاع المخروط.

خذ بعين الاعتبار مخروطًا رأسه S وقاعدته F (الشكل).

دع مساحة القاعدة Φ تساوي Q، وارتفاع المخروط يساوي H. ثم هناك تسلسلات من المضلعات Φ نو ف' نمع المناطق س نو س' نمثل هذا

ف ن⊂ ف ن⊂ ف' نو \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) س’ ن= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) س ن= س.

من الواضح أن الهرم ذو قمته S وقاعدته F' نسيتم نقشه في مخروط معين، وهرم رأسه S وقاعدته F ن- الموصوفة حول المخروط.

أحجام هذه الأهرامات متساوية على التوالي

V ن= 1 / 3 س نح، الخامس' ن= 1 / 3 س' نح

\(\lim_(n \rightarrow \infty)\) V ن= \(\lim_(n \rightarrow \infty)\) V’ ن= 1 / 3 س

ثم ثبت الصيغة (1).

عاقبة. يتم حساب حجم المخروط، الذي قاعدته عبارة عن قطع ناقص بنصف المحورين a وb، بالصيغة

الخامس = 1/3π أبح (2)

بخاصة، حجم المخروط الذي قاعدته دائرة نصف قطرهاص، تحسب بواسطة الصيغة

V = 1 / 3 π R 2 H (3)

حيث H هو ارتفاع المخروط.

وكما هو معروف مساحة القطع الناقص بأنصاف المحاور أو بيساوي π أبوبالتالي يتم الحصول على الصيغة (2) من (1) مع Q = π أب. لو أ = ب= R، ثم يتم الحصول على الصيغة (3).

حجم المخروط الدائري القائم

النظرية 1. يتم حساب حجم المخروط الدائري القائم الذي يبلغ ارتفاعه H ونصف قطر قاعدته R بواسطة الصيغة

V = 1 / 3 π R 2 H

يمكن اعتبار هذا المخروط بمثابة جسم تم الحصول عليه عن طريق تدوير مثلث ذو رؤوس عند النقاط O(0; 0)، B(H; 0)، A(H; R) حول المحور أوه(أرز.).

المثلث OAB هو شبه منحرف منحني الأضلاع يتوافق مع الوظيفة

ص = ص / ح X, X∈ . لذلك، باستخدام الصيغة المعروفة، نحصل على

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R)(H)x)^2dx=\\=\frac(\pi R^2)(H^2)\cdot\frac (x^3)(3)\left|\begin(array)(c)H\\\\ 0\end(array)\right.=\\=\frac(1)(3)\pi R^2H $$

عاقبة. حجم المخروط الدائري القائم يساوي ثلث حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع، أي.

حيث س - منطقة القاعدة، و ح - ارتفاع المخروط.

النظرية 2. يتم حساب حجم المخروط المقطوع مع نصف قطر القاعدة r و R والارتفاع H بواسطة الصيغة

الخامس = 1/3 πH( ص 2 + ر 2 + صص).

يمكن الحصول على المخروط المقطوع بالتدوير حول محور أوهشبه منحرف O ABC (الشكل).

يمر الخط المستقيم AB بالنقاط (0؛ ص) و (H;R) إذن لها المعادلة

$$ y=\frac(R-r)(H)x + r $$

نحصل عليها

$$ V=\pi\int_(0)^(H)(\frac(R-r)(H)x + r)^2dx $$

لحساب التكامل، نقوم بالتعويض

$$ u=\frac(R-r)(H)x + r، du=\frac(R-r)(H)dx $$

من الواضح متى Xيختلف من 0 إلى H، متغير ويختلف من صإلى R، وبالتالي

$$ V=\pi\int_(r)^(R)u^2\frac(H)(R-r)du=\\=\frac(\pi H)(R-r)\cdot\frac(u^3) (3)\left|\begin(array)(c)R\\\\ r\end(array)\right.=\\=\frac(\pi H)(3(R-r))(R^3- ص ^ 3) =\\=\frac(1)(3)\pi H(R^2 + r^2 + Rr) $$