يتم حساب عدد المجموعات باستخدام الصيغة. عناصر التوافقيات

تجدر الإشارة إلى أن التوافقيات هي فرع مستقل من الرياضيات العليا (وليست جزءًا من terver) وقد تمت كتابة كتب مدرسية ذات ثقل حول هذا التخصص، والتي لا يكون محتواها في بعض الأحيان أسهل من الجبر المجرد. ومع ذلك، فإن جزء صغير من المعرفة النظرية سيكون كافيا بالنسبة لنا، وفي هذه المقالة سأحاول تحليل أساسيات الموضوع في شكل يسهل الوصول إليه مع مشاكل اندماجية نموذجية. والكثير منكم سوف يساعدني ;-)

ماذا علينا ان نفعل؟ بالمعنى الضيق، التوافقيات هي حساب مجموعات مختلفة يمكن إجراؤها من مجموعة معينة منفصلةأشياء. تُفهم الأشياء على أنها أي كائنات معزولة أو كائنات حية - الأشخاص والحيوانات والفطر والنباتات والحشرات وما إلى ذلك. في الوقت نفسه، لا تهتم التوافقيات على الإطلاق بأن المجموعة تتكون من طبق من عصيدة السميد ومكواة لحام وضفدع مستنقع. من المهم بشكل أساسي أن يتم تعداد هذه الأشياء - هناك ثلاثة منها (التحفظ)والشيء المهم هو أن لا أحد منهم متطابق.

لقد تعاملنا مع الكثير، الآن عن المجموعات. أكثر أنواع المجموعات شيوعًا هي التباديل للكائنات واختيارها من مجموعة (مجموعة) وتوزيعها (وضعها). دعونا نرى كيف يحدث هذا الآن:

التباديل والتركيبات والمواضع دون تكرار

لا تخف من المصطلحات الغامضة، خاصة وأن بعضها ليس جيدًا حقًا. لنبدأ بذيل العنوان - ماذا يعني " لا التكرار"؟ هذا يعني أننا في هذا القسم سننظر في المجموعات التي تتكون من متنوعأشياء. على سبيل المثال، ... لا، لن أقدم عصيدة مع مكواة لحام وضفدع، من الأفضل أن يكون لديك شيء ألذ =) تخيل أن تفاحة وكمثرى وموزة قد تجسدت على الطاولة أمامك ( إذا كان لديك، يمكن محاكاة الوضع في الواقع). نضع الثمار من اليسار إلى اليمين بالترتيب التالي:

تفاح / كمثرى / موز

سؤال واحد: بكم طريقة يمكن إعادة ترتيبها؟

تمت بالفعل كتابة مجموعة واحدة أعلاه ولا توجد مشاكل مع الباقي:

تفاح / موز / كمثرى
الكمثرى / التفاح / الموز
الكمثرى / الموز / التفاح
موز / تفاح / كمثرى
موز / كمثرى / تفاح

المجموع: 6 مجموعات أو 6 التباديل.

حسنًا، لم يكن من الصعب سرد جميع الحالات المحتملة، ولكن ماذا لو كان هناك المزيد من الأشياء؟ مع أربع فواكه مختلفة فقط، سيزيد عدد المجموعات بشكل ملحوظ!

يرجى فتح المواد المرجعية (من الملائم طباعة الدليل)وفي النقطة رقم 2، ابحث عن صيغة عدد التباديل.

لا توجد متاعب - يمكن إعادة ترتيب 3 كائنات بطرق مختلفة.

السؤال الثاني: بكم طريقة يمكنك اختيار أ) فاكهة واحدة، ب) ثمرتان، ج) ثلاث فواكه، د) فاكهة واحدة على الأقل؟

لماذا الاختيار؟ لذلك عملنا على فتح الشهية في النقطة السابقة – من أجل تناول الطعام! =)

أ) من الواضح أنه يمكن اختيار فاكهة واحدة بثلاث طرق - خذ إما تفاحة أو كمثرى أو موزة. يتم إجراء الحساب الرسمي وفقًا لـ صيغة لعدد المجموعات:

يجب أن يُفهم الإدخال في هذه الحالة على النحو التالي: "بكم طريقة يمكنك اختيار فاكهة واحدة من أصل ثلاثة؟"

ب) دعونا ندرج جميع المجموعات الممكنة من فاكهتين:

التفاح والكمثرى.
التفاح والموز.
الكمثرى والموز.

يمكن التحقق من عدد المجموعات بسهولة باستخدام نفس الصيغة:

يُفهم الإدخال بطريقة مماثلة: "بكم طريقة يمكنك اختيار ثمرتين من أصل ثلاث؟"

ج) وأخيرًا، هناك طريقة واحدة فقط لاختيار ثلاث فواكه:

بالمناسبة، تظل صيغة عدد المجموعات ذات معنى بالنسبة للعينة الفارغة:
بهذه الطريقة، لا يمكنك اختيار فاكهة واحدة - في الواقع، لا تأخذ شيئًا وهذا كل شيء.

د) بكم الطرق التي يمكنك اتخاذها؟ مرة على الأقلفاكهة؟ الشرط "واحد على الأقل" يعني أننا نكتفي بفاكهة واحدة (أي) أو أي ثمرتين أو جميع الفواكه الثلاثة:
باستخدام هذه الطرق يمكنك اختيار فاكهة واحدة على الأقل.

القراء الذين درسوا الدرس التمهيدي بعناية نظرية الاحتمالات، لقد خمننا شيئًا ما بالفعل. ولكن المزيد عن معنى علامة الزائد لاحقًا.

للإجابة على السؤال التالي، أحتاج إلى متطوعين اثنين... ...حسنًا، بما أنه لا أحد يريد ذلك، فسأدعوك إلى المجلس =)

السؤال الثالث: بكم طريقة يمكنك توزيع فاكهة واحدة على داشا وناتاشا؟

لتوزيع ثمرتين، عليك أولاً اختيارهما. وفقًا للفقرة "يكون" من السؤال السابق، يمكن القيام بذلك بطرق سأعيد كتابتها:

التفاح والكمثرى.
التفاح والموز.
الكمثرى والموز.

ولكن الآن سيكون هناك ضعف عدد المجموعات. لنأخذ على سبيل المثال الزوج الأول من الفاكهة:
يمكنك علاج داشا بالتفاحة وناتاشا بالكمثرى.
أو العكس - ستحصل داشا على الكمثرى، وستحصل ناتاشا على التفاحة.

ومثل هذا التقليب ممكن لكل زوج من الفاكهة.

خذ بعين الاعتبار نفس مجموعة الطلاب التي ذهبت إلى الحفل الراقص. بكم طريقة يمكن الجمع بين الولد والفتاة؟

بطرق يمكنك اختيار شاب واحد;
طرق يمكنك من خلالها اختيار فتاة واحدة.

وهكذا شاب واحد ويمكنك اختيار فتاة واحدة: طرق.

عند اختيار كائن واحد من كل مجموعة، يكون المبدأ التالي لحساب المجموعات صالحًا: " كليمكن لكائن من مجموعة واحدة أن يشكل زوجًا مع كلكائن من مجموعة أخرى."

أي أن أوليغ يمكنه دعوة أي من الفتيات الـ 13 للرقص، ويمكن لإيفجيني أيضًا دعوة أي من الفتيات الثلاثة عشر، وبقية الشباب لديهم خيار مماثل. المجموع: الأزواج الممكنة.

تجدر الإشارة إلى أنه في هذا المثال، لا يهم "تاريخ" تكوين الزوج؛ ومع ذلك، إذا أخذنا المبادرة في الاعتبار، فيجب مضاعفة عدد المجموعات، حيث يمكن لكل فتاة من الفتيات الـ 13 أيضًا دعوة أي صبي للرقص. كل هذا يتوقف على ظروف مهمة معينة!

ينطبق مبدأ مماثل على مجموعات أكثر تعقيدا، على سبيل المثال: كم عدد الطرق التي يمكنك من خلالها اختيار شابين؟ وفتاتان للمشاركة في مسرحية هزلية KVN؟

اتحاد ويشير بوضوح إلى ضرورة مضاعفة المجموعات:

مجموعات محتملة من الفنانين.

بعبارة أخرى، كليمكن لزوج من الأولاد (45 زوجًا فريدًا) الأداء معهم أيزوج من الفتيات (78 زوجًا فريدًا). وإذا أخذنا في الاعتبار توزيع الأدوار بين المشاركين، فسيكون هناك المزيد من المجموعات. ...أريد ذلك حقًا، لكنني سأمتنع عن الاستمرار حتى لا أغرس فيك النفور من الحياة الطلابية =).

تنطبق قاعدة ضرب المجموعات أيضًا على عدد أكبر من المضاعفات:

المشكلة 8

كم عدد الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام والتي تقبل القسمة على 5؟

حل: للتوضيح، دعنا نشير إلى هذا الرقم بثلاث نجوم: ***

في مكان مئاتيمكنك كتابة أي من الأرقام (1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8 أو 9). الصفر غير مناسب، لأنه في هذه الحالة يتوقف الرقم عن أن يكون مكونًا من ثلاثة أرقام.

ولكن في مكان العشرات("في المنتصف") يمكنك اختيار أي من الأرقام العشرة: .

وفقًا للشرط، يجب أن يكون الرقم قابلاً للقسمة على 5. يكون الرقم قابلاً للقسمة على 5 إذا انتهى بـ 5 أو 0. وبالتالي، فإننا نكتفي برقمين في الرقم الأقل أهمية.

في المجمل، هناك: الأعداد المكونة من ثلاثة أرقام والتي تقبل القسمة على 5.

في هذه الحالة يتم فك تشفير العمل على النحو التالي: “9 طرق يمكنك من خلالها اختيار رقم مكان مئات و 10 طرق لاختيار رقم في مكان العشرات و 2 طرق في وحدات الارقام»

أو حتى أبسط: " كلمن 9 أرقام إلى مكان مئاتيجمع مع كلمن 10 أرقام مكان العشرات ومع كلمن رقمين إلى وحدات الارقام».

إجابة: 180

و الأن…

نعم، لقد نسيت تقريبًا التعليق الموعود على المشكلة رقم 5، حيث يمكن توزيع بطاقة واحدة لكل من بور وديما وفولوديا بطرق مختلفة. الضرب هنا له نفس المعنى: طرق إزالة 3 بطاقات من المجموعة و في كلعينة إعادة ترتيبها بطرق.

والآن عليك حل المشكلة بنفسك... الآن سأتوصل إلى شيء أكثر إثارة للاهتمام... فليكن حول نفس النسخة الروسية من لعبة البلاك جاك:

المشكلة 9

كم عدد المجموعات الفائزة المكونة من ورقتين عند لعب "النقطة"؟

بالنسبة لأولئك الذين لا يعرفون: المجموعة الفائزة هي 10 + الآس (11 نقطة) = 21 نقطة، ولنفكر في المجموعة الفائزة المكونة من إرسالين ساحقتين.

(ترتيب البطاقات في أي زوج لا يهم)

حل قصير وإجابة في نهاية الدرس.

بالمناسبة، لا تعتبر المثال بدائيا. تعد لعبة البلاك جاك هي اللعبة الوحيدة التي تحتوي على خوارزمية رياضية تسمح لك بالتغلب على الكازينو. يمكن للمهتمين بسهولة العثور على ثروة من المعلومات حول الإستراتيجية والتكتيكات المثالية. صحيح أن هؤلاء الأساتذة ينتهي بهم الأمر بسرعة كبيرة في القائمة السوداء لجميع المؤسسات =)

حان الوقت لدمج المواد المغطاة بمهمتين قويتين:

المشكلة 10

لدى فاسيا 4 قطط في المنزل.

أ) بكم طريقة يمكن جلوس القطط في زوايا الغرفة؟
ب) بكم طريقة يمكنك السماح للقطط بالذهاب للنزهة؟
ج) بكم طريقة يستطيع فاسيا التقاط قطتين (واحدة على يساره والأخرى على يمينه)؟

دعونا نقرر: أولا، يجب عليك الانتباه مرة أخرى إلى حقيقة أن المشكلة تتعامل معها مختلفالأشياء (حتى لو كانت القطط توأمان متماثلان). هذا شرط مهم جدا!

أ) صمت القطط. تخضع لهذا التنفيذ جميع القطط في وقت واحد
+ موقعهم مهم، لذلك هناك التباديل هنا:
باستخدام هذه الطرق يمكنك وضع القطط في زوايا الغرفة.

وأكرر أنه عند التبديل، فإن عدد الكائنات المختلفة ومواقعها النسبية هو المهم فقط. اعتمادًا على الحالة المزاجية لفاسيا، يمكنها أن تضع الحيوانات في نصف دائرة على الأريكة، أو في صف واحد على حافة النافذة، وما إلى ذلك. – في جميع الحالات سيكون هناك 24 تباديلاً، من أجل الراحة، يمكن للمهتمين أن يتخيلوا أن القطط متعددة الألوان (على سبيل المثال، الأبيض والأسود والأحمر والعنبي) وإدراج جميع المجموعات الممكنة.

ب) بكم طريقة يمكنك السماح للقطط بالذهاب للنزهة؟

من المفترض أن القطط تذهب للمشي فقط من خلال الباب، والسؤال يعني اللامبالاة فيما يتعلق بعدد الحيوانات - يمكن لقطط واحدة أو 2 أو 3 أو جميع القطط الأربعة الذهاب للنزهة.

نحن نحسب جميع المجموعات الممكنة:

بهذه الطرق يمكنك السماح لقط واحد (أي من الأربعة) بالذهاب في نزهة على الأقدام؛
طرق يمكنك من خلالها السماح لقطتين بالذهاب في نزهة على الأقدام (اذكر الخيارات بنفسك)؛
بطرق يمكنك من خلالها السماح لثلاث قطط بالذهاب في نزهة على الأقدام (واحدة من القطط الأربعة تجلس في المنزل)؛
بهذه الطريقة يمكنك إطلاق سراح جميع القطط.

ربما خمنت أنه ينبغي تلخيص القيم الناتجة:
طرق يمكنك من خلالها السماح للقطط بالذهاب للتنزه.

بالنسبة إلى المتحمسين، أقدم نسخة معقدة من المشكلة - عندما تتمكن أي قطة في أي عينة من الخروج بشكل عشوائي، سواء من خلال الباب أو من خلال النافذة في الطابق العاشر. ستكون هناك زيادة ملحوظة في المجموعات!

ج) بكم طريقة يستطيع فاسيا التقاط قطتين؟

لا يقتصر الوضع على اختيار حيوانين فحسب، بل يتضمن أيضًا وضعهما في كل يد:
بهذه الطرق يمكنك التقاط قطتين.

الحل الثاني: يمكنك اختيار قطتين باستخدام الطرق وطرق للزراعة كلزوجان في متناول اليد:

إجابة: أ) 24، ب) 15، ج) 12

حسنًا، لإراحة ضميرك، شيء أكثر تحديدًا حول ضرب المجموعات... اسمح لفاسيا أن يكون لديه 5 قطط إضافية =) بكم طريقة يمكنك السماح لقطتين بالذهاب في نزهة على الأقدام؟ و 1 قطة؟

وهذا هو، مع كليمكن إطلاق سراح زوجين من القطط كلقطة.

زر أكورديون آخر لحل مستقل:

المشكلة 11

استقل ثلاثة ركاب مصعد مبنى مكون من 12 طابقا. يمكن للجميع، بغض النظر عن الآخرين، الخروج من أي طابق (بدءًا من الطابق الثاني) باحتمال متساوٍ. في كم طريقة:

1) يمكن للركاب النزول في نفس الطابق (أمر الخروج لا يهم);
2) يمكن لشخصين النزول في طابق واحد والثالث في الطابق الآخر.
3) يمكن للأشخاص الخروج من طوابق مختلفة؛
4) هل يستطيع الركاب الخروج من المصعد؟

وهنا غالبا ما يسألون مرة أخرى، أوضح: إذا خرج 2 أو 3 أشخاص في نفس الطابق، فإن ترتيب الخروج لا يهم. فكر، استخدم الصيغ والقواعد لإضافة/ضرب المجموعات. في حالة وجود صعوبات، من المفيد للركاب إعطاء الأسماء والتكهن بالمجموعات التي يمكنهم الخروج من المصعد بها. لا داعي للانزعاج إذا لم ينجح شيء ما، على سبيل المثال، النقطة رقم 2 ماكرة تمامًا.

الحل الكامل مع التعليقات التفصيلية في نهاية الدرس.

الفقرة الأخيرة مخصصة للمجموعات التي تحدث أيضًا في كثير من الأحيان - وفقًا لتقييمي الشخصي، في حوالي 20-30٪ من المشكلات التوافقية:

التباديل والتركيبات والمواضع مع التكرار

تم توضيح أنواع المجموعات المدرجة في الفقرة رقم 5 من المادة المرجعية الصيغ الأساسية للتوافقياتومع ذلك، قد لا يكون بعضها واضحًا جدًا عند القراءة الأولى. في هذه الحالة، يُنصح أولاً بالتعرف على الأمثلة العملية، وعندها فقط فهم الصياغة العامة. يذهب:

التباديل مع التكرار

في التباديل مع التكرار، كما في التباديل "العادية"، جميع الكائنات العديدة في وقت واحدولكن هناك شيء واحد: في هذه المجموعة يتم تكرار عنصر واحد أو أكثر (كائنات). تلبية المعيار التالي:

المشكلة 12

كم عدد مجموعات الحروف المختلفة التي يمكن الحصول عليها من خلال إعادة ترتيب البطاقات التي تحتوي على الحروف التالية: K، O، L، O، K، O، L، b، Ch، I، K؟

حل: في حالة اختلاف جميع الحروف، فسيتعين تطبيق صيغة تافهة، ولكن من الواضح تمامًا أنه بالنسبة لمجموعة البطاقات المقترحة، ستعمل بعض عمليات التلاعب "بشكل خامل"، على سبيل المثال، إذا قمت بتبديل أي بطاقتين بالحرفين "K" في أي كلمة تحصل على نفس الكلمة. علاوة على ذلك، يمكن أن تكون البطاقات مختلفة تمامًا: يمكن أن تكون إحداهما مستديرة وعليها الحرف "K"، والأخرى يمكن أن تكون مربعة وعليها الحرف "K". ولكن حسب معنى المهمة، حتى هذه البطاقات تعتبر نفسها، لأن الحالة تسأل عن تركيبات الحروف.

كل شيء بسيط للغاية - 11 بطاقة فقط، بما في ذلك الرسالة:

ك – تكرر 3 مرات؛
س – تكرر 3 مرات؛
ل – تكرر مرتين؛
ب – تكرر مرة واحدة؛
ح - تكرر مرة واحدة؛
و- تكرر مرة واحدة.

تحقق: 3 + 3 + 2 + 1 + 1 + 1 = 11، وهو ما يجب التحقق منه.

وفقا للصيغة عدد التباديل مع التكرار:
يمكن الحصول على مجموعات حروف مختلفة. أكثر من نصف مليون!

لحساب قيمة عاملية كبيرة بسرعة، من الملائم استخدام وظيفة Excel القياسية: أدخل في أي خلية = حقيقة (11)و اضغط يدخل.

من الناحية العملية، من المقبول تمامًا عدم كتابة الصيغة العامة، بالإضافة إلى حذف مضروب الوحدة:

لكن التعليقات الأولية حول الرسائل المتكررة مطلوبة!

إجابة: 554400

مثال نموذجي آخر للتباديل مع التكرار يحدث في مسألة وضع قطع الشطرنج، والتي يمكن العثور عليها في المستودع حلول جاهزةفي قوات الدفاع الشعبي المقابلة. وللحصول على حل مستقل، توصلت إلى مهمة أقل صيغة:

المشكلة 13

يمارس أليكسي الرياضة، و4 أيام في الأسبوع - ألعاب القوى، ويومين - تمارين القوة ويوم واحد من الراحة. بكم طريقة يمكنه إنشاء جدول أسبوعي لنفسه؟

لا تعمل الصيغة هنا لأنها تأخذ في الاعتبار المقايضة العرضية (على سبيل المثال، مبادلة تمارين القوة يوم الأربعاء مع تمارين القوة يوم الخميس). ومرة أخرى - في الواقع، يمكن أن تكون نفس الدورات التدريبية للقوة مختلفة تماما عن بعضها البعض، ولكن في سياق المهمة (من وجهة نظر الجدول الزمني) تعتبر نفس العناصر.

حل سطرين والإجابة في نهاية الدرس.

مجموعات مع التكرار

ومن السمات المميزة لهذا النوع من التركيبات أن العينة مأخوذة من عدة مجموعات، تتكون كل منها من كائنات متطابقة.

لقد عمل الجميع بجد اليوم، لذا حان الوقت لتحديث نفسك:

المشكلة 14

يبيع مقصف الطلاب النقانق بالعجين والجبن والكعك. بكم طريقة يمكنك شراء خمس فطائر؟

حل: انتبه على الفور إلى المعيار النموذجي للمجموعات مع التكرار - وفقًا للشرط، ليست مجموعة من الكائنات في حد ذاتها هي التي يتم عرضها للاختيار، ولكن أنواع مختلفةأشياء؛ من المفترض أن يكون هناك ما لا يقل عن خمسة نقانق و 5 كعكات تشيز و 5 دونات معروضة للبيع. تختلف الفطائر في كل مجموعة بالطبع - لأنه لا يمكن محاكاة الكعك المتطابق تمامًا إلا على الكمبيوتر =) ومع ذلك، فإن الخصائص الفيزيائية للفطائر ليست مهمة لغرض المشكلة، والنقانق / كعك الجبن / تعتبر الكعك في مجموعاتهم هي نفسها.

ماذا يمكن أن يكون في العينة؟ بادئ ذي بدء، تجدر الإشارة إلى أنه سيكون هناك بالتأكيد فطائر متطابقة في العينة (نظرا لأننا نختار 5 قطع، وهناك 3 أنواع للاختيار من بينها). هناك خيارات لكل الأذواق: 5 هوت دوج، 5 تشيز كيك، 5 دونات، 3 هوت دوج + 2 تشيز كيك، 1 هوت دوج + 2 تشيز كيك + 2 دونات، إلخ.

كما هو الحال مع المجموعات "العادية"، فإن ترتيب الاختيار ووضع الفطائر في التحديد لا يهم - لقد اخترت للتو 5 قطع وهذا كل شيء.

نحن نستخدم الصيغة عدد المجموعات مع التكرار:
يمكنك شراء 5 فطائر باستخدام هذه الطريقة.

بالعافية!

إجابة: 21

ما هي النتيجة التي يمكن استخلاصها من العديد من المشاكل التوافقية؟

في بعض الأحيان يكون أصعب شيء هو فهم الحالة.

مثال مماثل لحل مستقل:

المشكلة 15

تحتوي المحفظة على عدد كبير إلى حد ما من العملات المعدنية من فئة 1 و2 و5 و10 روبل. بكم طريقة يمكن إزالة ثلاث عملات معدنية من المحفظة؟

لأغراض ضبط النفس، أجب عن بعض الأسئلة البسيطة:

1) هل يمكن أن تكون جميع العملات المعدنية في العينة مختلفة؟
2) قم بتسمية المجموعة "الأرخص" والأكثر "تكلفة" من العملات المعدنية.

الحل والإجابات في نهاية الدرس.

من تجربتي الشخصية أستطيع أن أقول إن المجموعات مع التكرار هي أندر الضيف في الممارسة العملية، وهو ما لا يمكن قوله عن النوع التالي من المجموعات:

المواضع مع التكرار

من مجموعة مكونة من عناصر، يتم اختيار العناصر، ويكون ترتيب العناصر في كل اختيار مهمًا. وسيكون كل شيء على ما يرام، لكن النكتة غير المتوقعة إلى حد ما هي أنه يمكننا اختيار أي كائن من المجموعة الأصلية عدة مرات كما نريد. وبالمعنى المجازي، «الجمع لا ينقص».

متى يحدث هذا؟ والمثال النموذجي هو القفل المختلط الذي يحتوي على عدة أقراص، ولكن نظرًا للتطورات التكنولوجية، فمن الأكثر أهمية النظر في السليل الرقمي الخاص به:

المشكلة 16

كم عدد رموز PIN المكونة من أربعة أرقام؟

حل: في الواقع، لحل المشكلة، معرفة قواعد التوافقيات كافية: يمكنك من خلال الطرق تحديد الرقم الأول من رمز PIN والطرق - الرقم الثاني من رمز PIN وبعدة طرق - ثالثًا ونفس الرقم - الرابع. وبالتالي، وفقًا لقاعدة ضرب المجموعات، يمكن تكوين رمز سري مكون من أربعة أرقام بالطرق التالية:

والآن باستخدام الصيغة. وحسب الشرط يعرض علينا مجموعة من الأرقام يتم اختيار الأرقام منها وترتيبها بترتيب معينبينما قد تتكرر الأرقام الموجودة في العينة (أي يمكن استخدام أي رقم من المجموعة الأصلية لعدد عشوائي من المرات). وفقًا لصيغة عدد المواضع مع التكرار:

إجابة: 10000

ما يتبادر إلى الذهن هنا... ...إذا "أكل" جهاز الصراف الآلي البطاقة بعد المحاولة الثالثة غير الناجحة لإدخال رمز PIN، فإن فرص التقاطها بشكل عشوائي ضئيلة للغاية.

ومن قال أن التوافقيات ليس لها معنى عملي؟ مهمة معرفية لجميع قراء الموقع:

المشكلة 17

وفقًا لمعايير الدولة، تتكون لوحة ترخيص السيارة من 3 أرقام و3 أحرف. في هذه الحالة يعتبر الرقم الذي يحتوي على ثلاثة أصفار غير مقبول، ويتم اختيار الحروف من المجموعة A، B، E، K، M، N، O، P، S، T، U، X (يتم استخدام الحروف السيريلية فقط التي تتطابق هجاءها مع الحروف اللاتينية).

كم عدد لوحات الترخيص المختلفة التي يمكن إنشاؤها لمنطقة ما؟

بالمناسبة، ليس الكثير منهم. في مناطق كبيرة، لا يوجد ما يكفي من هذه الكمية، وبالتالي هناك العديد من رموز النقش RUS.

الحل والجواب في نهاية الدرس . لا تنس استخدام قواعد التوافقيات ;-) ...أردت أن أعرض ما هو حصري، ولكن اتضح أنه ليس حصريًا =) نظرت إلى ويكيبيديا - هناك حسابات، على الرغم من أنها بدون تعليقات. على الرغم من أنه لأغراض تعليمية، ربما حلها عدد قليل من الناس.

لقد انتهى درسنا المثير، وأخيرًا أريد أن أقول إنك لم تضيع وقتك - لأن الصيغ التوافقية تجد تطبيقًا عمليًا حيويًا آخر: فهي موجودة في مسائل مختلفة في نظرية الاحتمالات,
و في المشاكل التي تنطوي على التحديد الكلاسيكي للاحتمال– وخاصة في كثير من الأحيان =)

شكرا لكم جميعا على مشاركتكم النشطة ونراكم قريبا!

الحلول والأجوبة:

المهمة 2: حل: أوجد عدد جميع التباديل الممكنة لأربع بطاقات:

عندما يتم وضع بطاقة بها صفر في المركز الأول، يصبح الرقم مكونًا من ثلاثة أرقام، لذلك يجب استبعاد هذه المجموعات. دع الصفر في المركز الأول، ثم يمكن إعادة ترتيب الأرقام الثلاثة المتبقية في الأرقام السفلية بطرق مختلفة.

ملحوظة : لأن نظرًا لوجود عدد قليل فقط من البطاقات، فمن السهل إدراج جميع الخيارات هنا:
0579
0597
0759
0795
0957
0975

وهكذا من المجموعة المقترحة يمكننا أن نستنتج:
24 - 6 = 18 رقمًا مكونًا من أربعة أرقام
إجابة : 18

المهمة 4: حل: بطرق يمكنك اختيار 3 بطاقات من أصل 36.
إجابة : 7140

المهمة 6: حل: طرق.
حل آخر : طرق يمكنك من خلالها اختيار شخصين من المجموعة و
2) المجموعة "الأرخص" تحتوي على 3 عملات روبل، والأكثر "أغلى" - 3 عملات معدنية بقيمة عشرة روبل.

المشكلة 17: حل: باستخدام هذه الطرق، يمكنك إنشاء مجموعة رقمية من لوحة ترخيص السيارة، ويجب استبعاد واحد منها (000): .
باستخدام هذه الطرق، يمكنك إنشاء مجموعة أحرف من رقم لوحة الترخيص.
وفقا لقاعدة ضرب المجموعات، يمكن إجراء المجموع:
لوحات ترخيص
(كليتم الجمع بين التركيبة الرقمية مع كلمزيج الحروف).
إجابة : 1726272

دعونا نحسب في برنامج MS EXCEL عدد مجموعات العناصر n بمقدار k. باستخدام الصيغ، سنعرض على الورقة جميع أنواع المجموعات (الترجمة الإنجليزية للمصطلح: مجموعات بدون تكرار).

مجموعات n من العناصر المختلفة لعناصر k هي مجموعات تختلف في عنصر واحد على الأقل. على سبيل المثال، فيما يلي جميع مجموعات العناصر الثلاثة المأخوذة من مجموعة مكونة من 5 عناصر (1؛ 2؛ 3؛ 4؛ 5):

(1; 2; 3); (1; 2; 4); (1; 2; 5); (1; 3; 4); (1; 3; 5); (1; 4; 5); (2; 3; 4); (2; 3; 5); (2; 4; 5); (3; 4; 5)

ملحوظة: هذه مقالة حول حساب عدد المجموعات باستخدام MS EXCEL. نوصي بقراءة الأسس النظرية في كتاب مدرسي متخصص. مجموعات التعلم من هذه المقالة فكرة سيئة.

الفرق بين المجموعات والمواضع

عرض جميع مجموعات المجموعات

في ملف المثال، يتم إنشاء الصيغ لعرض كافة المجموعات الخاصة بـ n وk المعطاة.

من خلال تحديد عدد عناصر المجموعة (ن) وعدد العناصر التي نختارها منها (ك)، باستخدام الصيغ يمكننا عرض جميع المجموعات.

مهمة

يمكن لناقل السيارات نقل 4 سيارات. من الضروري نقل 7 سيارات مختلفة (LADA Granta، Hyundai Solaris، KIA Rio، Renault Duster، Lada Kalina، Volkswagen Polo، Lada Largus). بكم طريقة مختلفة يمكن ملء ناقلة السيارات الأولى؟ المكان المحدد للسيارة في ناقلة السيارات ليس مهما.

نحن بحاجة إلى تحديد العدد مجموعات 7 سيارات على 4 أماكن لنقل السيارات. أولئك. ن = 7، و ك = 4. وتبين أن هناك 35 خيارًا =NUMCOMB(7,4).

في بعض الأحيان نختار من بين الكثيرين دون النظر إلى النظام. ويسمى هذا الاختيار مزيج . إذا كنت تلعب الورق، على سبيل المثال، فأنت تعلم أنه في معظم المواقف لا يهم الترتيب الذي تحمل به البطاقات.

مثال 1ابحث عن جميع المجموعات المكونة من 3 أحرف مأخوذة من مجموعة مكونة من 5 أحرف (A، B، C، D، E).

حلهذه المجموعات هي كما يلي:
(أ، ب، ج)، (أ، ب، د)،
(أ، ب، ه)، (أ، ج، د)،
(أ، ج، ه)، (أ، د، ه)،
(ب، ج، د)، (ب، ج، ه)،
(ب، د، ه)، (ج، د، ه).
هناك 10 مجموعات من ثلاثة أحرف مختارة من خمسة أحرف.

عندما نجد جميع المجموعات من مجموعة مكونة من 5 كائنات، إذا أخذنا 3 كائنات في المرة الواحدة، فسنجد جميع المجموعات الفرعية المكونة من 3 عناصر. في هذه الحالة، لا يؤخذ ترتيب الأشياء في الاعتبار. ثم،
(أ، ج، ب) تسمى نفس المجموعة مثل (أ، ب، ج).

مجموعة فرعية
المجموعة A هي مجموعة فرعية من B، مما يعني أن A هي مجموعة فرعية من و/أو نفس المجموعة B إذا كان كل عنصر من عناصر A عنصرًا من عناصر B.

لم يتم ترتيب عناصر المجموعة الفرعية. عندما يتم النظر في المجموعات، لا يتم النظر في النظام!

مزيج
مزيج، تحتوي على كائنات k هي مجموعة فرعية تتكون من كائنات k.

نريد كتابة صيغة لحساب عدد مجموعات العناصر n إذا تم أخذ الكائنات k في نفس الوقت.

تسميات الجمع
عدد مجموعات n من الكائنات، إذا تم أخذ كائنات k في وقت واحد، يُشار إليه بـ n C k .

نحن نسمي ن ج ك عدد المجموعات . نريد كتابة صيغة عامة لـ n C k لأي k ≥ n. أولاً، صحيح أن n C n = 1، لأن المجموعة التي تحتوي على n من العناصر تحتوي على مجموعة فرعية واحدة فقط تحتوي على n من العناصر، وهي المجموعة نفسها. ثانيًا، n C 1 = n لأن المجموعة التي تحتوي على n من العناصر تحتوي فقط على n مجموعات فرعية تحتوي كل منها على عنصر واحد. أخيرًا، n C 0 = 1 لأن المجموعة التي تحتوي على n من العناصر تحتوي على مجموعة فرعية واحدة فقط بها 0 عنصر، وهي المجموعة الفارغة ∅. لإلقاء نظرة على مجموعات أخرى، دعونا نعود إلى المثال 1 ونقارن عدد المجموعات مع عدد التباديل.

يرجى ملاحظة أن كل مجموعة مكونة من 3 عناصر لها 6 أو 3!، التباديل.
3! . 5 ج3 = 60 = 5 ف3 = 5. 4 . 3،
لذا
.
بشكل عام، عدد مجموعات عناصر k المختارة من n كائنات، n C k مضروبًا في تباديل هذه العناصر k!، يجب أن يكون مساويًا لعدد تباديل n من العناصر بواسطة k من العناصر:
ك!. ن ج ك = ن ف ك
ن ج ك = ن ف ك /ك!
ن ج ك = (1/ك!). ن ف ك
ن ج ك =

مجموعات من الكائنات k من الكائنات n
يُشار إلى العدد الإجمالي لمجموعات عناصر k من كائنات n بواسطة n C k، ويتم تحديده بواسطة
(1) ن ج ك =،
أو
(2) ن ج ك =

نوع آخر من الرموز لـ n C k هو معامل ذو الحدين . وسيصبح سبب استخدام هذا المصطلح واضحًا أدناه.

معامل ذو الاسمين

مثال 2احسب باستخدام الصيغتين (1) و (2).

حل
أ) وفقا ل(1)،
.
ب) وفقا ل(2)،

ضع في اعتبارك أن n/k لا يعني.

مثال 3احسب و.

حلنستخدم الصيغة (1) للتعبير الأول والصيغة (2) للتعبير الثاني. ثم
,
باستخدام (1)، و
,
باستخدام الصيغة (2).

.لاحظ أن
,
وباستخدام نتيجة المثال 2 يعطينا
.
ويترتب على ذلك أن عدد المجموعة الفرعية المكونة من 5 عناصر من مجموعة مكونة من 7 عناصر هو نفس عدد المجموعة الفرعية المكونة من عنصرين من مجموعة مكونة من 7 عناصر. عند اختيار 5 عناصر من مجموعة، فإنها لا تتضمن عنصرين. ولرؤية ذلك، فكر في المجموعة (A، B، C، D، E، F، G):


بشكل عام، لدينا ما يلي. توفر هذه النتيجة طريقة بديلة لحساب المجموعة.

مجموعات فرعية من الحجم ك والحجم
و ن C ك = ن C ن-ك
عدد المجموعات الفرعية بالحجم k لمجموعة ذات كائنات n هو نفس عدد المجموعات الفرعية بالحجم n - k. عدد مجموعات كائنات k من مجموعة كائنات n هو نفس عدد مجموعات n الأشياء التي تم التقاطها في نفس الوقت.

الآن سوف نقوم بحل المشاكل مع المجموعات.

مثال 4 يانصيب ميشيغان. يانصيب WINFALL الذي يتم إجراؤه مرتين أسبوعيًا في ميشيغان، تبلغ قيمة الجائزة الكبرى فيه 2 مليون دولار على الأقل. مقابل دولار واحد، يمكن للاعب شطب أي 6 أرقام من 1 إلى 49. إذا تطابقت هذه الأرقام مع تلك التي تم سحبها في اليانصيب، يفوز اللاعب. (