أبسط المتباينات الأسية هي أمثلة على الحلول. حل عدم المساواة الأسية: الطرق الأساسية
المعادلات والمتباينات الأسية هي تلك التي يوجد فيها المجهول في الأس.
غالبًا ما يتلخص حل المعادلات الأسية في حل المعادلة a x = a b، حيث a > 0، a ≠ 1، x مجهول. هذه المعادلة لها جذر واحد x = b، لأن النظرية التالية صحيحة:
نظرية. إذا كان a > 0، وa ≠ 1، وa x 1 = a x 2، فإن x 1 = x 2.
دعونا نؤيد البيان المدروس.
لنفترض أن المساواة x 1 = x 2 لا تصمد، أي. × 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1، فإن الدالة الأسية y = a x تزداد وبالتالي يجب استيفاء المتباينة a x 1< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >أ × 2. في كلتا الحالتين حصلنا على تناقض للشرط a x 1 = a x 2.
دعونا ننظر في العديد من المشاكل.
حل المعادلة 4 ∙ 2 x = 1.
حل.
لنكتب المعادلة على الصورة 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0، ومنها نحصل على x + 2 = 0، أي. س = -2.
إجابة. س = -2.
حل المعادلة 2 3x ∙ 3 x = 576.
حل.
بما أن 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2، فيمكن كتابة المعادلة على الصورة 8 x ∙ 3 x = 24 2 أو 24 x = 24 2.
ومن هنا نحصل على س = 2.
إجابة. س = 2.
حل المعادلة 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.
حل.
بأخذ العامل المشترك 3 x - 2 من القوسين على الجانب الأيسر، نحصل على 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 ∙ 25 = 25،
حيث 3 س - 2 = 1، أي. س – 2 = 0، س = 2.
إجابة. س = 2.
حل المعادلة 3 س = 7 س.
حل.
بما أن 7 x ≠ 0، يمكن كتابة المعادلة بالشكل 3 x /7 x = 1، حيث (3/7) x = 1، x = 0.
إجابة. س = 0.
حل المعادلة 9 س – 4 ∙ 3 س – 45 = 0.
حل.
بالاستبدال 3 x = a، يتم اختزال هذه المعادلة إلى المعادلة التربيعية a 2 - 4a - 45 = 0.
لحل هذه المعادلة نجد جذورها: أ 1 = 9، و 2 = -5، حيث 3 × = 9، 3 × = -5.
المعادلة 3 x = 9 لها جذر 2، والمعادلة 3 x = -5 ليس لها جذور، لأن الدالة الأسية لا يمكنها أن تأخذ قيمًا سالبة.
إجابة. س = 2.
غالبًا ما يتلخص حل المتباينات الأسية في حل المتباينات a x > a b أو a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
دعونا ننظر إلى بعض المشاكل.
حل عدم المساواة 3 س< 81.
حل.
لنكتب المتباينة على الصورة 3x< 3 4 . Так как 3 >1، فإن الدالة y = 3 x آخذة في التزايد.
لذلك، لx< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
وهكذا، في العاشر< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 ×< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
إجابة. X< 4.
حل المتراجحة 16 x +4 x – 2 > 0.
حل.
دعونا نشير إلى 4 x = t، ثم نحصل على المتباينة التربيعية t2 + t – 2 > 0.
هذا عدم المساواة يحمل ل ر< -2 и при t > 1.
بما أن t = 4 x، نحصل على متباينتين 4 x< -2, 4 х > 1.
المتباينة الأولى ليس لها حلول، حيث أن 4 x > 0 للجميع x € R.
نكتب المتباينة الثانية على الصورة 4 x > 4 0، حيث x > 0.
إجابة. س> 0.
حل المعادلة بيانياً (1/3) x = x – 2/3.
حل.
1) لنقم ببناء رسوم بيانية للدوال y = (1/3) x و y = x - 2/3.
2) بناءً على الشكل الذي لدينا، يمكننا أن نستنتج أن الرسوم البيانية للدوال المدروسة تتقاطع عند النقطة مع الإحداثي المحوري x ≈ 1. والتحقق يثبت ذلك
س = 1 هو جذر هذه المعادلة:
(1/3) 1 = 1/3 و1 - 2/3 = 1/3.
بمعنى آخر، وجدنا أحد جذور المعادلة. 
3) دعونا نجد جذور أخرى أو نثبت عدم وجودها. الدالة (1/3) x آخذة في التناقص، والدالة y = x – 2/3 آخذة في الزيادة. لذلك، بالنسبة لـ x > 1، تكون قيم الدالة الأولى أقل من 1/3، والثانية - أكثر من 1/3؛ في العاشر< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 وx< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
إجابة. س = 1.
لاحظ أنه من حل هذه المشكلة على وجه الخصوص، يترتب على ذلك أن المتباينة (1/3) x > x – 2/3 محققة لـ x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.
درس وعرض حول موضوع: "المعادلات الأسية والمتباينات الأسية"
مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.
الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف الحادي عشر
الدليل التفاعلي للصفوف 9-11 "علم المثلثات"
الدليل التفاعلي للصفوف 10-11 "اللوغاريتمات"
تعريف المعادلات الأسية
يا رفاق، لقد درسنا الدوال الأسية، وتعلمنا خصائصها وقمنا ببناء الرسوم البيانية، وقمنا بتحليل أمثلة للمعادلات التي تم العثور فيها على الدوال الأسية. اليوم سوف ندرس المعادلات الأسية والمتباينات.تعريف. معادلات النموذج: $a^(f(x))=a^(g(x))$، حيث تسمى $a>0$، $a≠1$ بالمعادلات الأسية.
وبالرجوع إلى النظريات التي درسناها في موضوع "الدالة الأسية" يمكننا تقديم نظرية جديدة:
نظرية. المعادلة الأسية $a^(f(x))=a^(g(x))$، حيث $a>0$، $a≠1$ يعادل المعادلة $f(x)=g(x) $.
أمثلة على المعادلات الأسية
مثال.حل المعادلات:
أ) $3^(3x-3)=27$.
ب) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
ج) $5^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
حل.
أ) نحن نعلم جيدًا أن $27=3^3$.
لنعيد كتابة المعادلة: $3^(3x-3)=3^3$.
باستخدام النظرية أعلاه، نجد أن معادلتنا تختصر إلى المعادلة $3x-3=3$؛ وبحل هذه المعادلة نحصل على $x=2$.
الجواب: $x=2$.
ب) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$.
ومن ثم يمكن إعادة كتابة المعادلة: $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5)) ) =((\frac(2)(3)))^(0.2)$.
$2x+0.2=0.2$.
$س=0$.
الجواب: $x=0$.
ج) المعادلة الأصلية تعادل المعادلة: $x^2-6x=-3x+18$.
$x^2-3x-18=0$.
$(س-6)(س+3)=0$.
$x_1=6$ و$x_2=-3$.
الإجابة: $x_1=6$ و$x_2=-3$.
مثال.
حل المعادلة: $\frac(((0.25))^(x-0.5))(\sqrt(4))=16*((0.0625))^(x+1)$.
حل:
دعونا ننفذ سلسلة من الإجراءات بالتتابع ونجعل طرفي المعادلة لدينا على نفس الأساس.
لنقم بعدد من العمليات على الجانب الأيسر:
1) $((0.25))^(x-0.5)=((\frac(1)(4)))^(x-0.5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((\frac(1)(4))^(x-0.5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0 ,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
دعنا ننتقل إلى الجانب الأيمن:
4) $16=4^2$.
5) $((0.0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0.0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
المعادلة الأصلية تعادل المعادلة:
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$س=0$.
الجواب: $x=0$.
مثال.
حل المعادلة: $9^x+3^(x+2)-36=0$.
حل:
لنعيد كتابة المعادلة: $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
لنقم بتغيير المتغيرات، دع $a=3^x$.
في المتغيرات الجديدة، المعادلة سوف تأخذ الشكل: $a^2+9a-36=0$.
$(أ+12)(أ-3)=0$.
$a_1=-12$ و$a_2=3$.
لنقم بإجراء التغيير العكسي للمتغيرات: $3^x=-12$ و$3^x=3$.
تعلمنا في الدرس الأخير أن التعبيرات الأسية يمكن أن تأخذ قيمًا موجبة فقط، تذكر الرسم البياني. هذا يعني أن المعادلة الأولى ليس لها حلول، والمعادلة الثانية لها حل واحد: $x=1$.
الجواب: $x=1$.
لنتذكر كيفية حل المعادلات الأسية:
1. الطريقة الرسومية.نحن نمثل طرفي المعادلة في شكل وظائف ونبني الرسوم البيانية الخاصة بهم، ونجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية. (استخدمنا هذه الطريقة في الدرس الأخير).
2. مبدأ المساواة في المؤشرات.يعتمد المبدأ على حقيقة أن التعبيرين لهما نفس الأساس يكونان متساويين فقط إذا كانت درجات (أسس) هذه الأساسات متساوية. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. طريقة الاستبدال المتغيرةيجب استخدام هذه الطريقة إذا كانت المعادلة، عند استبدال المتغيرات، تبسط شكلها ويكون حلها أسهل بكثير.
مثال.
حل نظام المعادلات: $\begin (الحالات) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \النهاية (الحالات)$.
حل.
دعونا نفكر في معادلتي النظام بشكل منفصل:
$27^ص*3^س=1$.
$3^(3y)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
خذ المعادلة الثانية:
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
دعونا نستخدم طريقة تغيير المتغيرات، دع $y=2^(x+y)$.
عندها ستأخذ المعادلة الشكل:
$y^2-y-12=0$.
$(ص-4)(ص+3)=0$.
$y_1=4$ و$y_2=-3$.
دعنا ننتقل إلى المتغيرات الأولية، من المعادلة الأولى نحصل على $x+y=2$. المعادلة الثانية ليس لها حلول إذن نظام المعادلات الأولي الخاص بنا يعادل النظام: $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \النهاية (الحالات)$.
بطرح الثانية من المعادلة الأولى نحصل على: $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \النهاية (الحالات)$.
$\begin (الحالات) y=-1, \\ x=3. \النهاية (الحالات)$.
الجواب: $(3;-1)$.
عدم المساواة الأسية
دعنا ننتقل إلى عدم المساواة. عند حل عدم المساواة، فمن الضروري الانتباه إلى أساس الدرجة. هناك سيناريوهان محتملان لتطور الأحداث عند حل المتباينات.نظرية. إذا كان $a>1$، فإن المتباينة الأسية $a^(f(x))>a^(g(x))$ تعادل المتباينة $f(x)>g(x)$.
إذا 0 دولار
مثال.
حل عدم المساواة:
أ) $3^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0.3)^(x^2+6x)≥(0.3)^(4x+15)$ .
حل.
أ) $3^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
عدم المساواة لدينا يعادل عدم المساواة:
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0.5$.
B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) في معادلتنا، الأساس هو عندما تكون الدرجة أقل من 1، فعند استبدال المتباينة بمتباينة مكافئة، من الضروري تغيير الإشارة.
$2x-4>2$.
$x>3$.
ج) عدم المساواة لدينا يعادل عدم المساواة:
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
لنستخدم طريقة الحل الفاصل:
الإجابة: $(-∞;-5]U)
