فقط. وفق صيغ وقواعد واضحة وبسيطة. في المرحلة الأولى

من الضروري إحضار المعادلة المعطاة إلى شكل قياسي، أي. إلى النموذج:

إذا كانت المعادلة معطاة لك بالفعل بهذا النموذج، فلن تحتاج إلى القيام بالمرحلة الأولى. الشيء الأكثر أهمية هو أن تفعل ذلك بشكل صحيح

تحديد جميع المعاملات ، أ, بو ج.

صيغة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية.

يسمى التعبير الموجود تحت علامة الجذر تمييزي . كما ترون، للعثور على X، نحن

نحن نستخدم فقط أ، ب، ج. أولئك. معاملات من معادلة من الدرجة الثانية. فقط أدخل بعناية

قيم أ، ب، جنحن نحسب في هذه الصيغة. نستبدل ب هُمعلامات!

على سبيل المثال، في المعادلة:

أ =1; ب = 3; ج = -4.

نستبدل القيم ونكتب:

المثال تم حله تقريبا:

هذا هو الجواب.

الأخطاء الأكثر شيوعًا هي الخلط بين قيم الإشارة أ، بو مع. أو بالأحرى مع الاستبدال

القيم السلبية في صيغة حساب الجذور. يأتي التسجيل التفصيلي للصيغة للإنقاذ هنا

بأرقام محددة. إذا كان لديك مشاكل مع الحسابات، افعلها!

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المثال التالي:

هنا أ = -6; ب = -5; ج = -1

نحن نصف كل شيء بالتفصيل، بعناية، دون فقدان أي شيء بكل العلامات والأقواس:

غالبًا ما تبدو المعادلات التربيعية مختلفة قليلًا. على سبيل المثال، مثل هذا:

الآن لاحظ التقنيات العملية التي تقلل بشكل كبير من عدد الأخطاء.

الموعد الأول. لا تكن كسولًا من قبل حل معادلة تربيعيةإحضاره إلى النموذج القياسي.

ماذا يعني هذا؟

لنفترض أنه بعد كل التحويلات تحصل على المعادلة التالية:

لا تتعجل في كتابة صيغة الجذر! من المؤكد أنك سوف تختلط الاحتمالات أ، ب، ج.

بناء المثال بشكل صحيح. أولاً، X مربع، ثم بدون مربع، ثم الحد الحر. مثله:

تخلص من الطرح. كيف؟ نحن بحاجة إلى ضرب المعادلة بأكملها في -1. نحن نحصل:

لكن يمكنك الآن كتابة صيغة الجذور بأمان وحساب المميز والانتهاء من حل المثال.

تقرر لنفسك. يجب أن يكون لديك الآن جذور 2 و-1.

الاستقبال ثانياتحقق من الجذور! بواسطة نظرية فييتا.

لحل المعادلات التربيعية المعطاة، أي. إذا كان المعامل

س 2 + ب س + ج = 0،

ثم× 1 × 2 = ج

س 1 + س 2 =−ب

للحصول على معادلة تربيعية كاملة فيها أ≠1:

× 2+بس+ج=0,

قسّم المعادلة بأكملها على أ:

→ →

أين × 1و س 2- جذور المعادلة .

الاستقبال ثالثا. إذا كانت معادلتك تحتوي على معاملات كسرية، فتخلص من الكسور! تتضاعف

معادلة ذات قاسم مشترك.

خاتمة. نصائح عملية:

1. قبل الحل، نأتي بالمعادلة التربيعية إلى الصورة القياسية ونبنيها يمين.

2. إذا كان هناك معامل سالب أمام مربع X، فإننا نحذفه بضرب كل شيء

المعادلات بواسطة -1.

3. إذا كانت المعاملات كسرية، فإننا نحذف الكسور بضرب المعادلة بأكملها في المقابل

عامل.

4. إذا كانت x تربيع نقية، فإن معاملها يساوي واحد، ويمكن التحقق من الحل بسهولة عن طريق

مدرسة كوبيفسكايا الريفية الثانوية

10 طرق لحل المعادلات التربيعية

الرئيس: باتريكيفا جالينا أناتوليفنا،

مدرس رياضيات

قرية كوبيفو، 2007

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

1.4 المعادلات التربيعية للخوارزمي

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا الثالث عشر - القرن السابع عشر

1.6 حول نظرية فييتا

2. طرق حل المعادلات التربيعية

خاتمة

الأدب

1. تاريخ تطور المعادلات التربيعية

1.1 المعادلات التربيعية في بابل القديمة

إن الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى، بل أيضًا من الدرجة الثانية، حتى في العصور القديمة، كانت ناجمة عن الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحات قطع الأراضي وأعمال التنقيب ذات الطبيعة العسكرية أيضًا كما هو الحال مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها. يمكن حل المعادلات التربيعية حوالي عام 2000 قبل الميلاد. ه. البابليون.

باستخدام التدوين الجبري الحديث، يمكننا القول أنه في نصوصهم المسمارية، بالإضافة إلى النصوص غير الكاملة، مثل، على سبيل المثال، المعادلات التربيعية الكاملة:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

وقاعدة حل هذه المعادلات الواردة في النصوص البابلية تتطابق بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة، لكن من غير المعروف كيف وصل البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا جميع النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن تقدم فقط مشاكل مع حلول موضوعة في شكل وصفات، دون أي إشارة إلى كيفية العثور عليها.

على الرغم من التطور الكبير في علم الجبر في بابل، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم العدد السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

1.2 كيف قام ديوفانتوس بتأليف وحل المعادلات التربيعية.

لا يحتوي كتاب ديوفانتوس الحسابي على عرض منهجي للجبر، ولكنه يحتوي على سلسلة منهجية من المسائل، مصحوبة بتفسيرات ويتم حلها عن طريق بناء معادلات بدرجات مختلفة.

عند إنشاء المعادلات، يختار ديوفانتوس بمهارة المجهول لتبسيط الحل.

وهنا، على سبيل المثال، إحدى مهامه.

المشكلة 11."أوجد رقمين مع العلم أن مجموعهما 20 وحاصل ضربهما 96"

يبرر ديوفانتوس ما يلي: من شروط المشكلة يترتب على أن الأعداد المطلوبة غير متساوية، لأنها إذا كانت متساوية، فلن يكون ناتجها يساوي 96، بل 100. وبالتالي، سيكون واحد منهم أكثر من نصف مجموعهم، أي. 10 + سوالآخر أقل، أي. 10. الفرق بينهما 2x .

ومن هنا المعادلة:

(10 + س)(10 - س) = 96

100 - × 2 = 96

× 2 - 4 = 0 (1)

من هنا س = 2. أحد الأرقام المطلوبة يساوي 12 ، آخر 8 . حل س = -2لأن ديوفانتوس غير موجود، لأن الرياضيات اليونانية كانت تعرف الأعداد الموجبة فقط.

إذا حللنا هذه المشكلة باختيار أحد الأعداد المطلوبة كمجهول، فسنصل إلى حل للمعادلة

ص(20 - ص) = 96,

ص 2 - 20ص + 96 = 0. (2)

ومن الواضح أنه باختيار نصف الفرق بين الأعداد المطلوبة باعتبارها المجهولة، يبسط ديوفانتوس الحل؛ تمكن من تقليل المشكلة إلى حل معادلة تربيعية غير مكتملة (1).

1.3 المعادلات التربيعية في الهند

تم العثور على مشاكل المعادلات التربيعية بالفعل في الأطروحة الفلكية "Aryabhattiam"، التي جمعها عالم الرياضيات والفلكي الهندي Aryabhatta في عام 499. عالم هندي آخر، براهماجوبتا (القرن السابع)، أوجز قاعدة عامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:

اه 2+ ب س = ج، أ > 0. (1)

في المعادلة (1)، المعاملات، باستثناء أ، يمكن أن تكون سلبية أيضًا. قاعدة براهماجوبتا هي في الأساس نفس حكمنا.

في الهند القديمة، كانت المسابقات العامة في حل المشكلات الصعبة شائعة. يقول أحد الكتب الهندية القديمة عن مثل هذه المسابقات ما يلي: "كما تضيء الشمس النجوم ببريقها، كذلك يتفوق العالم على مجد غيره في المجالس العامة، في اقتراح المسائل الجبرية وحلها". غالبًا ما يتم تقديم المشكلات في شكل شعري.

هذه إحدى مشاكل عالم الرياضيات الهندي الشهير في القرن الثاني عشر. باسكارز.

المشكلة 13.

"قطيع من القرود المرحة واثني عشر على طول الكروم...

السلطات، بعد أن أكلت، استمتعت. بدأوا بالقفز والتعليق..

هناك هم في الساحة، الجزء الثامن كم عدد القرود هناك؟

لقد كنت أستمتع في المقاصة. قل لي، في هذه الحزمة؟

يشير حل بهاسكارا إلى أنه كان يعلم أن جذور المعادلات التربيعية ذات قيمتين (الشكل 3).

المعادلة المقابلة للمشكلة 13 هي:

( س /8) 2 + 12 = س

يكتب بهاسكارا تحت ستار:

× 2 - 64س = -768

ولإكمال الجانب الأيسر من هذه المعادلة إلى مربع، نضيف إلى كلا الطرفين 32 2 ، ثم الحصول على:

× 2 - 64س + 32 2 = -768 + 1024،

(س - 32) 2 = 256،

س - 32 = ± 16،

× 1 = 16، × 2 = 48.

1.4 المعادلات التربيعية في الخوارزمي

وقد ورد في رسالة الخوارزمي الجبرية تصنيف للمعادلات الخطية والتربيعية. أحصى المؤلف 6 أنواع من المعادلات، معبراً عنها كما يلي:

1) "المربعات تساوي الجذور" أي: الفأس 2 + ج = ب X.

2) "المربعات تساوي أرقاماً" أي: الفأس 2 = ج.

3) "الجذور تساوي العدد" أي. آه = س.

4) "المربعات والأعداد تساوي الجذور" أي: الفأس 2 + ج = ب X.

5) "المربعات والجذور تساوي الأعداد" أي: اه 2+ bx = س.

6) "الجذور والأعداد تساوي مربعات" أي: bx + ج = الفأس 2 .

وبالنسبة للخوارزمي، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة، فإن حدود كل من هذه المعادلات هي جمع وليست قابلة للطرح. في هذه الحالة، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول موجبة لا تؤخذ في الاعتبار. ويحدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام تقنيات الجبر والمقابلة. قراراته، بالطبع، لا تتزامن تماما مع قراراتنا. ناهيك عن أنها بلاغية بحتة، تجدر الإشارة، على سبيل المثال، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير كاملة من النوع الأول

الخوارزمي، مثل كل علماء الرياضيات قبل القرن السابع عشر، لا يأخذ في الاعتبار الحل الصفري، ربما لأنه في مسائل عملية محددة لا يهم. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة، يحدد الخوارزمي قواعد حلها باستخدام أمثلة عددية معينة، ثم البراهين الهندسية.

المشكلة 14."المربع والعدد 21 يساويان 10 جذور. العثور على الجذر" (مما يعني جذر المعادلة x 2 + 21 = 10x).

يبدو حل المؤلف كالتالي: اقسم عدد الجذور على النصف، ستحصل على 5، اضرب 5 في نفسه، اطرح 21 من الناتج، ما يتبقى هو 4. خذ الجذر من 4، تحصل على 2. اطرح 2 من 5 ، تحصل على 3، سيكون هذا هو الجذر المطلوب. أو أضف 2 إلى 5، لتحصل على 7، وهذا أيضًا جذر.

إن أطروحة الخوارزمي هي أول كتاب وصل إلينا، والذي يحدد بشكل منهجي تصنيف المعادلات التربيعية ويعطي صيغ لحلها.

1.5 المعادلات التربيعية في أوروبا الثالث عشر - السابع عشر ب

تم توضيح صيغ حل المعادلات التربيعية على غرار الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في كتاب العداد، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. يتميز هذا العمل الضخم، الذي يعكس تأثير الرياضيات، سواء من بلاد الإسلام أو من اليونان القديمة، بشموليته ووضوح عرضه. قام المؤلف بشكل مستقل بتطوير بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان الأول في أوروبا الذي اقترب من إدخال الأرقام السالبة. ساهم كتابه في نشر المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا، بل أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم استخدام العديد من المسائل من كتاب العداد في جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين السادس عشر والسابع عشر. والثامن عشر جزئيًا.

القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:

× 2+ bx = ج،

لجميع المجموعات الممكنة من علامات المعاملات ب , معتمت صياغته في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

اشتقاق صيغة حل المعادلة التربيعية بشكل عام متاح من Viète، لكن Viète تعرف على الجذور الإيجابية فقط. كان علماء الرياضيات الإيطاليون تارتاليا وكاردانو وبومبيلي من بين الأوائل في القرن السادس عشر. بالإضافة إلى الجذور الإيجابية، يتم أخذ الجذور السلبية في الاعتبار. فقط في القرن السابع عشر. بفضل عمل جيرارد، ديكارت، نيوتن وغيرهم من العلماء، تأخذ طريقة حل المعادلات التربيعية شكلا حديثا.

1.6 حول نظرية فييتا

النظرية التي تعبر عن العلاقة بين معاملات المعادلة التربيعية وجذورها، والتي سميت باسم فييتا، صاغها لأول مرة في عام 1591 على النحو التالي: "إذا ب + د، مضروبا أ - أ 2 ، يساوي دينار بحريني، الذي - التي أيساوي فيوعلى قدم المساواة د ».

لكي نفهم فييتا، علينا أن نتذكر ذلك أ، مثل أي حرف علة، يعني المجهول (لدينا X)، الحروف المتحركة في، د- معاملات المجهول. في لغة الجبر الحديث، تعني صيغة فييتا المذكورة أعلاه: إذا كان هناك

(أ+ ب )س - س 2 = أب ,

× 2 - (أ + ب )س + أ ب = 0,

س 1 = أ، س 2 = ب .

من خلال التعبير عن العلاقة بين جذور ومعاملات المعادلات باستخدام صيغ عامة مكتوبة باستخدام الرموز، أثبت فييت التوحيد في طرق حل المعادلات. ومع ذلك، فإن رمزية فيتنام لا تزال بعيدة عن شكلها الحديث. لم يتعرف على الأعداد السالبة، وبالتالي، عند حل المعادلات، أخذ في الاعتبار فقط الحالات التي تكون فيها جميع الجذور موجبة.

2. طرق حل المعادلات التربيعية

المعادلات التربيعية هي الأساس الذي يقوم عليه صرح الجبر المهيب. تستخدم المعادلات التربيعية على نطاق واسع في حل المعادلات والمتباينات المثلثية والأسية واللوغاريتمية وغير العقلانية والمتعالية. نعلم جميعًا كيفية حل المعادلات التربيعية من المدرسة (الصف الثامن) حتى التخرج.

الوصف الببليوغرافي: Gasanov A. R.، Kuramshin A. A.، Elkov A. A.، Shilnenkov N. V.، Ulanov D. D.، Shmeleva O. V. طرق حل المعادلات التربيعية // عالم شاب. 2016. رقم 6.1. ص17-20.02.2019).



يدور مشروعنا حول طرق حل المعادلات التربيعية. هدف المشروع: تعلم حل المعادلات التربيعية بطرق غير مدرجة في المنهج المدرسي. المهمة: ابحث عن جميع الطرق الممكنة لحل المعادلات التربيعية وتعلم كيفية استخدامها بنفسك وقدم هذه الطرق لزملائك في الفصل.

ما هي "المعادلات التربيعية"؟

معادلة من الدرجة الثانية- معادلة النموذج فأس2 + ب س + ج = 0، أين أ, ب, ج- بعض الأرقام ( أ ≠ 0), س- مجهول.

تسمى الأرقام أ، ب، ج معاملات المعادلة التربيعية.

• ويسمى المعامل الأول.
• ب يسمى المعامل الثاني.
• ج - عضو حر.

من هو أول من "اخترع" المعادلات التربيعية؟

كانت بعض التقنيات الجبرية لحل المعادلات الخطية والتربيعية معروفة منذ 4000 عام في بابل القديمة. إن اكتشاف الألواح الطينية البابلية القديمة، التي يعود تاريخها إلى ما بين 1800 و 1600 قبل الميلاد، يقدم أول دليل على دراسة المعادلات التربيعية. تحتوي نفس الأجهزة اللوحية على طرق لحل أنواع معينة من المعادلات التربيعية.

إن الحاجة إلى حل المعادلات ليس فقط من الدرجة الأولى ولكن أيضًا من الدرجة الثانية حتى في العصور القديمة كانت ناجمة عن الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد مساحات قطع الأراضي وأعمال الحفر ذات الطبيعة العسكرية أيضًا كما هو الحال مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها.

وقاعدة حل هذه المعادلات الواردة في النصوص البابلية تتطابق بشكل أساسي مع القاعدة الحديثة، لكن من غير المعروف كيف وصل البابليون إلى هذه القاعدة. تقريبًا جميع النصوص المسمارية التي تم العثور عليها حتى الآن تقدم فقط مشاكل مع حلول موضوعة في شكل وصفات، دون أي إشارة إلى كيفية العثور عليها. على الرغم من التطور الكبير في علم الجبر في بابل، إلا أن النصوص المسمارية تفتقر إلى مفهوم العدد السالب والطرق العامة لحل المعادلات التربيعية.

علماء الرياضيات البابليين من حوالي القرن الرابع قبل الميلاد. استخدم طريقة تكملة المربع لحل المعادلات ذات الجذور الموجبة. حوالي 300 قبل الميلاد توصل إقليدس إلى طريقة حل هندسية أكثر عمومية. أول عالم رياضيات وجد حلولاً للمعادلات ذات الجذور السالبة على شكل صيغة جبرية كان عالماً هندياً براهماجوبتا(الهند، القرن السابع الميلادي).

وضع براهماجوبتا قاعدة عامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد:

ax2 + بكس = ج، أ>0

يمكن أن تكون المعاملات في هذه المعادلة سلبية أيضًا. قاعدة براهماجوبتا هي في الأساس نفس حكمنا.

كانت المسابقات العامة لحل المشكلات الصعبة شائعة في الهند. يقول أحد الكتب الهندية القديمة عن مثل هذه المسابقات ما يلي: «كما تضيء الشمس النجوم ببريقها، كذلك يتألق العالم بمجده في المجالس العامة باقتراح المسائل الجبرية وحلها». غالبًا ما يتم تقديم المشكلات في شكل شعري.

في رسالة جبرية الخوارزميويرد تصنيف للمعادلات الخطية والتربيعية. أحصى المؤلف 6 أنواع من المعادلات، معبراً عنها كما يلي:

1) "المربعات تساوي الجذور" أي ax2 = bx.

2) "المربعات تساوي أرقامًا" أي ax2 = c.

3) "الجذور تساوي العدد" أي ax2 = c.

4) "المربعات والأعداد تساوي الجذور" أي ax2 + c = bx.

5) "المربعات والجذور تساوي العدد" أي ax2 + bx = c.

6) "الجذور والأعداد تساوي مربعات"، أي bx + c == ax2.

وبالنسبة للخوارزمي، الذي تجنب استخدام الأعداد السالبة، فإن حدود كل من هذه المعادلات هي جمع وليست قابلة للطرح. في هذه الحالة، من الواضح أن المعادلات التي ليس لها حلول موجبة لا تؤخذ في الاعتبار. ويحدد المؤلف طرق حل هذه المعادلات باستخدام تقنيات الجبر والمقبل. قراره بالطبع لا يتطابق تمامًا مع قرارنا. ناهيك عن أنها بلاغية بحتة، تجدر الإشارة، على سبيل المثال، إلى أنه عند حل معادلة تربيعية غير كاملة من النوع الأول، فإن الخوارزمي، مثل جميع علماء الرياضيات حتى القرن السابع عشر، لا يأخذ في الاعتبار الحل الصفري، ربما لأنه في عملية محددة لا يهم في المهام. عند حل المعادلات التربيعية الكاملة، يحدد الخوارزمي قواعد الحل باستخدام أمثلة عددية معينة، ثم براهينها الهندسية.

تم توضيح نماذج حل المعادلات التربيعية على غرار نموذج الخوارزمي في أوروبا لأول مرة في "كتاب العداد" الذي كتب عام 1202. عالم الرياضيات الإيطالي ليونارد فيبوناتشي. قام المؤلف بشكل مستقل بتطوير بعض الأمثلة الجبرية الجديدة لحل المشكلات وكان الأول في أوروبا الذي اقترب من إدخال الأرقام السالبة.

ساهم هذا الكتاب في نشر المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا، بل أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى. تم استخدام العديد من المشكلات الواردة في هذا الكتاب في جميع الكتب المدرسية الأوروبية تقريبًا في القرنين الرابع عشر والسابع عشر. القاعدة العامة لحل المعادلات التربيعية المختزلة إلى شكل قانوني واحد x2 + bx = с لجميع المجموعات الممكنة من العلامات والمعاملات b,c تمت صياغتها في أوروبا عام 1544. م. ستيفل.

اشتقاق صيغة حل المعادلة التربيعية بشكل عام متاح من Viète، لكن Viète تعرف على الجذور الإيجابية فقط. علماء رياضيات إيطاليون تارتاليا، كاردانو، بومبيليمن بين الأوائل في القرن السادس عشر. بالإضافة إلى الجذور الإيجابية، يتم أخذ الجذور السلبية في الاعتبار. فقط في القرن السابع عشر. بفضل الجهود جيرارد، ديكارت، نيوتنوعلماء آخرون، فإن طريقة حل المعادلات التربيعية تأخذ شكلا حديثا.

دعونا نلقي نظرة على عدة طرق لحل المعادلات التربيعية.

الطرق القياسية لحل المعادلات التربيعية من المنهج المدرسي:

1. تحليل الجانب الأيسر من المعادلة.
2. طريقة اختيار مربع كامل
3. حل المعادلات التربيعية باستخدام الصيغة.
4. الحل الرسومي للمعادلة التربيعية.
5. حل المعادلات باستخدام نظرية فييتا.

دعونا نتناول المزيد من التفاصيل حول حل المعادلات التربيعية المختزلة وغير المختزلة باستخدام نظرية فييتا.

تذكر أنه لحل المعادلات التربيعية المذكورة أعلاه، يكفي العثور على رقمين حاصل ضربهما يساوي الحد الحر، ومجموعهما يساوي المعامل الثاني بالإشارة المعاكسة.

مثال.س 2 -5س+6=0

أنت بحاجة إلى العثور على أرقام حاصل ضربها 6 ومجموعها 5. هذه الأرقام ستكون 3 و2.

الجواب: × 1 =2، س 2 =3.

لكن يمكنك أيضًا استخدام هذه الطريقة للمعادلات التي معاملها الأول لا يساوي واحدًا.

مثال.3x 2 +2س-5=0

خذ المعامل الأول واضربه في الحد الحر: x 2 +2x-15=0

جذور هذه المعادلة ستكون أرقام حاصل ضربها يساوي - 15، ومجموعها يساوي - 2. هذه الأرقام هي 5 و3. للعثور على جذور المعادلة الأصلية، قم بقسمة الجذور الناتجة على المعامل الأول.

الجواب: × 1 =-5/3، س 2 =1

6. حل المعادلات بطريقة الرمي.

خذ بعين الاعتبار المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0، حيث a≠0.

بضرب الطرفين في a نحصل على المعادلة a 2 x 2 + abx + ac = 0.

دع الفأس = ص، حيث س = ص / أ؛ ثم نصل إلى المعادلة y 2 + by + ac = 0، أي ما يعادل المعادلة المعطاة. نجد جذور العددين 1 و2 باستخدام نظرية فيتا.

وأخيرا نحصل على x 1 = y 1 /a و x 2 = y 2 /a.

وبهذه الطريقة يتم ضرب المعامل a بالحد الحر، كما لو "ألقيت" إليه، ولهذا سميت بطريقة "الرمي". يتم استخدام هذه الطريقة عندما يكون من السهل العثور على جذور المعادلة باستخدام نظرية فييتا، والأهم من ذلك، عندما يكون المميز مربعًا دقيقًا.

مثال.2x 2 - 11س + 15 = 0.

دعونا "نرمي" المعامل 2 إلى الحد الحر ونقوم بالتعويض ونحصل على المعادلة y 2 - 11y + 30 = 0.

وفقا لنظرية فييتا العكسية

ص 1 = 5، × 1 = 5/2، × 1 = 2.5؛ ص 2 = 6، × 2 = 6/2، × 2 = 3.

الجواب: × 1 =2.5؛ X 2 = 3.

7. خصائص معاملات المعادلة التربيعية.

دع المعادلة التربيعية ax 2 + bx + c = 0، a ≠ 0 تعطى.

1. إذا كان a+ b + c = 0 (أي مجموع معاملات المعادلة صفر)، فإن x 1 = 1.

2. إذا كان أ - ب + ج = 0، أو ب = أ + ج، فإن س 1 = - 1.

مثال.345x 2 - 137س - 208 = 0.

بما أن a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0)، إذن x 1 = 1، x 2 = -208/345.

الجواب: × 1 =1; X 2 = -208/345 .

مثال.132x 2 + 247س + 115 = 0

لأن أ-ب+ج = 0 (132 - 247 +115=0)، ثم x 1 = - 1، x 2 = - 115/132

الجواب: × 1 = - 1؛ X 2 =- 115/132

هناك خصائص أخرى لمعاملات المعادلة التربيعية. لكن استخدامها أكثر تعقيدًا.

8. حل المعادلات التربيعية باستخدام الرسم البياني.

الشكل 1. الرسم البياني

وهذه طريقة قديمة ومنسية حاليًا لحل المعادلات التربيعية، موضوعة في ص 83 من المجموعة: Bradis V.M. جداول الرياضيات المكونة من أربعة أرقام. - م. تربية، 1990.

الجدول الثاني والعشرون. Nomogram لحل المعادلة ض 2 + pz + ف = 0. يسمح هذا الرسم البياني، دون حل معادلة تربيعية، بتحديد جذور المعادلة من خلال معاملاتها.

تم بناء المقياس المنحني للرسم البياني وفقًا للصيغ (الشكل 1):

الاعتقاد نظام التشغيل = ع، إد = ف، عمر الفاروق = أ(الكل في سم)، من الشكل 1 أوجه التشابه في المثلثات سانو سي دي إفنحصل على النسبة

والتي، بعد الاستبدال والتبسيط، تنتج المعادلة ض 2 + pz + ف = 0،والرسالة ضيعني علامة أي نقطة على مقياس منحني.

أرز. 2 حل المعادلات التربيعية باستخدام الرسم البياني

أمثلة.

1) للمعادلة ض 2 - 9ز + 8 = 0يعطي الرسم البياني الجذور z 1 = 8.0 و z 2 = 1.0

الجواب:8.0؛ 1.0.

2) باستخدام الرسم البياني، نحل المعادلة

2z 2 - 9ز + 2 = 0.

بقسمة معاملات هذه المعادلة على 2 نحصل على المعادلة z 2 - 4.5z + 1 = 0.

يعطي الرسم البياني الجذور z 1 = 4 و z 2 = 0.5.

الجواب: 4؛ 0.5.

9. الطريقة الهندسية لحل المعادلات التربيعية.

مثال.X 2 + 10س = 39.

في الأصل، تمت صياغة هذه المشكلة على النحو التالي: "التربيع والجذور العشرة يساويان 39".

لنفترض مربعًا ضلعه x، تم إنشاء مستطيلات على جوانبه بحيث يكون الضلع الآخر لكل منها 2.5، وبالتالي تكون مساحة كل منها 2.5x. يتم بعد ذلك إضافة الشكل الناتج إلى مربع جديد ABCD، وبناء أربعة مربعات متساوية في الزوايا، طول ضلع كل منها 2.5، والمساحة 6.25

أرز. 3 طريقة رسومية لحل المعادلة x 2 + 10x = 39

يمكن تمثيل المساحة S للمربع ABCD كمجموع مساحات: المربع الأصلي × 2، وأربعة مستطيلات (4∙2.5x = 10x) وأربعة مربعات إضافية (6.25∙4 = 25)، أي. S = x 2 + 10x = 25. وباستبدال x 2 + 10x بالرقم 39، نحصل على S = 39 + 25 = 64، مما يعني أن ضلع المربع هو ABCD، أي. القطعة AB = 8. بالنسبة للجانب المطلوب x من المربع الأصلي نحصل عليه

10. حل المعادلات باستخدام نظرية بيزوت.

نظرية بيزوت. ما تبقى من قسمة كثيرة الحدود P(x) على ذات الحدين x - α يساوي P(α) (أي قيمة P(x) عند x = α).

إذا كان الرقم α هو جذر كثير الحدود P(x)، فإن كثير الحدود هذا قابل للقسمة على x -α بدون باقي.

مثال.س²-4س+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. اقسم P(x) على (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

س²-4س+3=(س-1)(س-3)، (س-1)(س-3)=0

س-1=0; س=1، أو س-3=0، س=3؛ الجواب: ×1 =2، س2 =3.

خاتمة:تعد القدرة على حل المعادلات التربيعية بسرعة وعقلانية أمرًا ضروريًا لحل المعادلات الأكثر تعقيدًا، مثل المعادلات الكسرية، ومعادلات الطاقة الأعلى، والمعادلات التربيعية، وفي المدرسة الثانوية، المعادلات المثلثية والأسية واللوغاريتمية. بعد دراسة جميع الطرق الموجودة لحل المعادلات التربيعية، يمكننا أن ننصح زملائنا، بالإضافة إلى الطرق القياسية، بحل طريقة النقل (6) وحل المعادلات باستخدام خاصية المعاملات (7)، لأنها أكثر سهولة إلى الفهم.

الأدب:

1. براديس ف.م. جداول الرياضيات المكونة من أربعة أرقام. - م. تربية، 1990.
2. الجبر الصف الثامن: كتاب مدرسي للصف الثامن. تعليم عام المؤسسات Makarychev Yu.، Mindyuk N. G.، Neshkov K. I.، Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky الطبعة الخامسة عشرة، المنقحة. - م: التربية، 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. جليزر جي. تاريخ الرياضيات في المدرسة. دليل للمعلمين. / إد. ف.ن. اصغر سنا. - م: التربية، 1964.

المعادلات التربيعية. مميز. الحل، الأمثلة.

انتباه!
هناك اضافية
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا..."
ولأولئك الذين "كثيرا ...")

أنواع المعادلات التربيعية

ما هي المعادلة التربيعية؟ كيف تبدو؟ في فترة معادلة من الدرجة الثانيةالكلمة الأساسية هي "مربع".وهذا يعني أنه في المعادلة بالضرورةيجب أن يكون هناك مربع x. بالإضافة إلى ذلك، قد تحتوي المعادلة (أو لا!) على X فقط (للأس الأول) ورقم فقط (عضو مجاني).ويجب ألا يكون هناك علامة X للأس الأكبر من اثنين.

من الناحية الرياضية، المعادلة التربيعية هي معادلة من الشكل:

هنا أ، ب، ج- بعض الأرقام. ب و ج- على الاطلاق، ولكن أ– أي شيء آخر غير الصفر. على سبيل المثال:

هنا أ =1; ب = 3; ج = -4

هنا أ =2; ب = -0,5; ج = 2,2

هنا أ =-3; ب = 6; ج = -18

حسنا، أنت تفهم...

في هذه المعادلات التربيعية على اليسار يوجد طقم كاملأعضاء. X تربيع بمعامل أ، x للقوة الأولى مع المعامل بو عضو حر س.

تسمى هذه المعادلات التربيعية ممتلىء.

و إذا ب= 0، ماذا نحصل؟ لدينا سيتم فقدان X للقوة الأولى.يحدث هذا عند الضرب في الصفر.) ويتبين على سبيل المثال:

5×2 -25 = 0،

2س 2 -6س=0،

-س 2 +4س=0

وما إلى ذلك وهلم جرا. وإذا كان كلا المعاملات بو جتساوي صفرًا، فالأمر أبسط:

2×2 =0،

-0.3×2 =0

تسمى هذه المعادلات التي يوجد فيها شيء مفقود المعادلات التربيعية غير كاملة.وهو أمر منطقي تمامًا.) يرجى ملاحظة أن x تربيع موجود في جميع المعادلات.

بالمناسبة لماذا ألا يمكن أن يساوي الصفر؟ وأنت بديل بدلا من ذلك أصفر.) سوف يختفي مربع X الخاص بنا! ستصبح المعادلة خطية. والحل مختلف تماما..

هذه هي جميع الأنواع الرئيسية للمعادلات التربيعية. كاملة وغير كاملة.

حل المعادلات التربيعية.

حل المعادلات التربيعية الكاملة.

المعادلات التربيعية سهلة الحل. وفق صيغ وقواعد واضحة وبسيطة. في المرحلة الأولى، من الضروري تحويل المعادلة المعطاة إلى شكل قياسي، أي. إلى النموذج:

إذا كانت المعادلة معطاة لك بالفعل في هذا النموذج، فلن تحتاج إلى القيام بالمرحلة الأولى.) الشيء الرئيسي هو تحديد جميع المعاملات بشكل صحيح، أ, بو ج.

تبدو صيغة إيجاد جذور المعادلة التربيعية كما يلي:

يسمى التعبير الموجود تحت علامة الجذر تمييزي. لكن المزيد عنه أدناه. كما ترون، للعثور على X، نستخدم فقط أ، ب، ج. أولئك. معاملات من المعادلة التربيعية. فقط استبدل القيم بعناية أ، ب، جنحن نحسب في هذه الصيغة. دعونا نستبدل مع علاماتك الخاصة! على سبيل المثال، في المعادلة:

أ =1; ب = 3; ج= -4. وهنا نكتبها:

المثال تم حله تقريبا:

هذا هو الجواب.

كل شيء بسيط جدا. وماذا تعتقد أنه من المستحيل ارتكاب خطأ؟ حسنًا، نعم، كيف...

الأخطاء الأكثر شيوعًا هي الخلط بين قيم الإشارة أ، ب، ج. أو بالأحرى، ليس مع علاماتهم (أين يمكن الخلط؟)، ولكن مع استبدال القيم السالبة في صيغة حساب الجذور. ما يساعد هنا هو التسجيل التفصيلي للصيغة بأرقام محددة. إذا كانت هناك مشاكل في الحسابات، إفعل ذلك!

لنفترض أننا بحاجة إلى حل المثال التالي:

هنا أ = -6; ب = -5; ج = -1

لنفترض أنك تعلم أنك نادرًا ما تحصل على إجابات في المرة الأولى.

حسنًا، لا تكن كسولًا. سيستغرق الأمر حوالي 30 ثانية لكتابة سطر إضافي وعدد الأخطاء سوف تنخفض بشكل حاد. لذلك نكتب بالتفصيل مع جميع الأقواس والعلامات:

يبدو من الصعب جدًا الكتابة بعناية شديدة. ولكن يبدو الأمر كذلك. جربها. حسنا، أو اختر. ما هو الأفضل، سريع أم صحيح؟ علاوة على ذلك، سأجعلك سعيدًا. بعد فترة من الوقت، لن تكون هناك حاجة لكتابة كل شيء بعناية. وسوف تعمل بشكل صحيح من تلقاء نفسها. خاصة إذا كنت تستخدم التقنيات العملية الموضحة أدناه. هذا المثال الشرير مع مجموعة من السلبيات يمكن حله بسهولة وبدون أخطاء!

لكن، في كثير من الأحيان، تبدو المعادلات التربيعية مختلفة قليلًا. على سبيل المثال، مثل هذا:

هل تعرفت عليه؟) نعم! هذا المعادلات التربيعية غير كاملة.

حل المعادلات التربيعية غير الكاملة.

ويمكن أيضًا حلها باستخدام صيغة عامة. كل ما عليك فعله هو أن تفهم بشكل صحيح ما يساويهم هنا. أ، ب، ج.

هل عرفت ما هو؟ في المثال الأول أ = 1؛ ب = -4؛أ ج؟ انها ليست هناك على الاطلاق! حسنا نعم، هذا صحيح. في الرياضيات هذا يعني ذلك ج = 0 ! هذا كل شئ. عوّض بالصفر في الصيغة بدلاً من ذلك ج،وسوف ننجح. نفس الشيء مع المثال الثاني فقط ليس لدينا صفر هنا مع، أ ب !

ولكن يمكن حل المعادلات التربيعية غير المكتملة بطريقة أكثر بساطة. بدون أي صيغ. لنفكر في المعادلة الأولى غير الكاملة. ماذا يمكنك أن تفعل على الجانب الأيسر؟ يمكنك إخراج X من الأقواس! دعونا نخرجه.

وماذا من هذا؟ والحقيقة أن الناتج يساوي صفرًا إذا وفقط إذا كان أحد العوامل يساوي صفرًا! لا تصدقني؟ حسنًا، إذن توصل إلى رقمين غير الصفر، وعند ضربهما يعطيان صفرًا!
لا يعمل؟ هذا كل شيء...
لذلك يمكننا أن نكتب بثقة: × 1 = 0, × 2 = 4.

الجميع. ستكون هذه جذور المعادلة. كلاهما مناسب. عند استبدال أي منها في المعادلة الأصلية، نحصل على الهوية الصحيحة 0 = 0. كما ترون، الحل أبسط بكثير من استخدام الصيغة العامة. اسمحوا لي أن أشير، بالمناسبة، إلى أي X سيكون الأول وأيهما سيكون الثاني - غير مبال تمامًا. أنها مريحة للكتابة بالترتيب ، × 1- ما هو أصغر و × 2- ما هو أعظم.

ويمكن أيضًا حل المعادلة الثانية ببساطة. تحرك 9 إلى الجانب الأيمن. نحن نحصل:

كل ما تبقى هو استخراج الجذر من 9، وهذا كل شيء. سوف يتحول:

وأيضا جذوران . × 1 = -3, × 2 = 3.

هذه هي الطريقة التي يتم بها حل جميع المعادلات التربيعية غير الكاملة. إما عن طريق وضع X خارج الأقواس، أو ببساطة عن طريق تحريك الرقم إلى اليمين ثم استخراج الجذر.
من الصعب للغاية الخلط بين هذه التقنيات. ببساطة لأنه في الحالة الأولى سيتعين عليك استخراج جذر X، وهو أمر غير مفهوم إلى حد ما، وفي الحالة الثانية لا يوجد شيء يمكن إخراجه من الأقواس...

مميز. صيغة التمييز.

كلمة سحرية تمييزي ! نادرا ما لم يسمع طالب في المدرسة الثانوية هذه الكلمة! إن عبارة "نحل بالمتميز" توحي بالثقة والطمأنينة. لأنه ليست هناك حاجة لتوقع الحيل من المُميز! إنه سهل الاستخدام وخالي من المتاعب.) أذكرك بالصيغة الأكثر عمومية للحل أيالمعادلات التربيعية:

ويسمى التعبير الموجود تحت علامة الجذر بالمتميز. عادة يتم الإشارة إلى المميز بالحرف د. صيغة التمييز:

د = ب 2 - 4أ

وما هو اللافت للنظر في هذا التعبير؟ ولماذا استحق اسما خاصا؟ ماذا معنى التمييز ؟بعد كل ذلك -ب،أو 2 أفي هذه الصيغة لا يسمونها على وجه التحديد أي شيء ... الحروف والحروف.

هنا الحاجة. عند حل معادلة تربيعية باستخدام هذه الصيغة، فمن الممكن ثلاث حالات فقط.

1. المميز إيجابي.وهذا يعني أنه يمكن استخراج الجذر منه. ما إذا كان يتم استخراج الجذر بشكل جيد أم سيئ هو سؤال آخر. المهم هو ما يتم استخراجه من حيث المبدأ. إذن فإن المعادلة التربيعية لها جذرين. حلين مختلفين.

2. المميز هو صفر.ثم سيكون لديك حل واحد. حيث أن إضافة أو طرح الصفر في البسط لا يغير شيئا. بالمعنى الدقيق للكلمة، هذا ليس جذر واحد، ولكن اثنان متطابقان. ولكن، في نسخة مبسطة، من المعتاد التحدث عنه حل واحد.

3. المميز سلبي.لا يمكن أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب. حسنا، حسنا. وهذا يعني أنه لا توجد حلول.

لنكون صادقين، عند حل المعادلات التربيعية ببساطة، لا تكون هناك حاجة لمفهوم المميز. نستبدل قيم المعاملات في الصيغة ونحسبها. كل شيء يحدث هناك من تلقاء نفسه، جذرين، واحد، ولا شيء. ومع ذلك، عند حل المهام الأكثر تعقيدا، دون معرفة معنى وصيغة التمييزليس كافي. خاصة في المعادلات ذات المعلمات. مثل هذه المعادلات هي بمثابة ألعاب بهلوانية لامتحان الدولة وامتحان الدولة الموحد!)

لذا، كيفية حل المعادلات التربيعيةمن خلال المميز الذي تذكرته. أو تعلمت، وهذا ليس سيئًا أيضًا.) أنت تعرف كيفية التحديد بشكل صحيح أ، ب، ج. هل تعرف كيف؟ بانتباهاستبدلها في صيغة الجذر و بانتباهاحسب النتيجة. أنت تفهم أن الكلمة الأساسية هنا هي بانتباه؟

الآن لاحظ التقنيات العملية التي تقلل بشكل كبير من عدد الأخطاء. نفس تلك التي تكون بسبب الغفلة... والتي تصبح فيما بعد مؤلمة ومهينة...

الموعد الأول . لا تتكاسل قبل حل المعادلة التربيعية وإعادتها إلى الصورة القياسية. ماذا يعني هذا؟
لنفترض أنه بعد كل التحويلات تحصل على المعادلة التالية:

لا تتعجل في كتابة صيغة الجذر! من المؤكد أنك سوف تختلط الاحتمالات أ، ب، ج.بناء المثال بشكل صحيح. أولاً، X مربع، ثم بدون مربع، ثم الحد الحر. مثله:

ومرة أخرى، لا تتعجل! إن وضع علامة ناقص أمام علامة X يمكن أن يزعجك حقًا. من السهل أن تنسى... تخلص من الطرح. كيف؟ نعم كما علمنا في الموضوع السابق! نحن بحاجة إلى ضرب المعادلة بأكملها في -1. نحن نحصل:

لكن يمكنك الآن كتابة صيغة الجذور بأمان وحساب المميز والانتهاء من حل المثال. تقرر لنفسك.

الاستقبال ثانيا يجب أن يكون لديك الآن جذور 2 و-1. تحقق من الجذور! وفقا لنظرية فييتا. لا تخف، سأشرح لك كل شيء! تدقيقآخر شيء المعادلة. أولئك. الذي استخدمناه لكتابة صيغة الجذر. إذا (كما في هذا المثال) المعاملأ = 1 التحقق من الجذور أمر سهل. يكفي مضاعفة عددهم. يجب أن تكون النتيجة عضوا حرا، أي. في حالتنا -2. يرجى ملاحظة، ليس 2، ولكن -2! عضو مجاني مع علامة الخاص بك

. إذا لم ينجح الأمر، فهذا يعني أنك قد أخطأت بالفعل في مكان ما. ابحث عن الخطأ. بإذا كان يعمل، تحتاج إلى إضافة الجذور. الفحص الأخير والأخير. يجب أن يكون المعامل مع عكس بمألوف. في حالتنا -1+2 = +1. معامل
التي تقع قبل X، تساوي -1. لذلك، كل شيء صحيح! من المؤسف أن هذا الأمر بسيط جدًا فقط بالنسبة للأمثلة التي يكون فيها x مربعًا نقيًا، مع معاملأ = 1.

الاستقبال ثالثا لكن على الأقل تحقق من مثل هذه المعادلات! سيكون هناك عدد أقل وأقل من الأخطاء.

. إذا كانت معادلتك تحتوي على معاملات كسرية، فتخلص من الكسور! اضرب المعادلة في قاسم مشترك كما هو موضح في الدرس "كيف تحل المعادلات؟ تحويلات الهوية." عند التعامل مع الكسور، تستمر الأخطاء في الزحف لسبب ما...

بالمناسبة، لقد وعدت بتبسيط المثال الشرير بمجموعة من السلبيات. لو سمحت! هنا هو.

لكي لا نخلط بين السلبيات، نضرب المعادلة في -1. نحن نحصل:

هذا كل شئ! الحل هو متعة!

لذلك دعونا نلخص الموضوع.

1. قبل الحل، نأتي بالمعادلة التربيعية إلى الصورة القياسية ونبنيها يمين.

نصائح عملية:

2. إذا كان هناك معامل سالب أمام مربع X، فإننا نحذفه بضرب المعادلة بأكملها في -1.

3. إذا كانت المعاملات كسرية، فإننا نحذف الكسور بضرب المعادلة بأكملها في العامل المقابل. 4. إذا كانت x مربعة نقية، فإن معاملها يساوي واحدًا، ويمكن التحقق من الحل بسهولة باستخدام نظرية فييتا.

افعلها!

الآن يمكننا أن نقرر.)

حل المعادلات:

8س 2 - 6س + 1 = 0

× 2 + 3س + 8 = 0

س 2 - 4س + 4 = 0

(س+1) 2 + س + 1 = (س+1)(س+2)

× 1 = 0
الإجابات (في حالة من الفوضى):

× 2 = 52

× 1.2 =
× 1 = 2

× 2 = -0.5

× 1 = -3
× 2 = 3

س - أي رقم

لا توجد حلول
× 1 = 0.25

هل كل شيء مناسب؟ عظيم! المعادلات التربيعية ليست صداعك. الثلاثة الأولى عملت والباقي لم يعمل؟ إذن المشكلة ليست في المعادلات التربيعية. المشكلة هي في تحويلات متطابقة من المعادلات. ألقِ نظرة على الرابط، فهو مفيد.

لا يعمل تماما؟ أم أنها لا تعمل على الإطلاق؟ إذن سوف يساعدك القسم 555 في تفصيل كل هذه الأمثلة هناك. معروض رئيسيأخطاء في الحل. بالطبع، نتحدث أيضًا عن استخدام التحويلات المتطابقة في حل المعادلات المختلفة. يساعد كثيرا!

إذا أعجبك هذا الموقع...

بالمناسبة، لدي موقعين أكثر إثارة للاهتمام بالنسبة لك.)

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. دعونا نتعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

"، أي معادلات من الدرجة الأولى. في هذا الدرس سوف ننظر ما يسمى المعادلة التربيعيةوكيفية حلها.

ما هي المعادلة التربيعية؟

مهم!

يتم تحديد درجة المعادلة من خلال أعلى درجة يقف عندها المجهول.

إذا كانت القوة القصوى للمجهول هي "2"، فلديك معادلة تربيعية.

أمثلة على المعادلات التربيعية

• 5س 2 − 14س + 17 = 0
• −س 2 + س +

  1

  3

  = 0
• × 2 + 0.25س = 0
• س 2 − 8 = 0

مهم! يبدو الشكل العام للمعادلة التربيعية كما يلي:

أ س 2 + ب س + ج = 0

يتم إعطاء الأرقام "أ" و"ب" و"ج".

• "أ" هو المعامل الأول أو الأعلى؛
• "ب" هو المعامل الثاني؛
• "ج" عضو حر.

للعثور على "a" و"b" و"c" تحتاج إلى مقارنة معادلتك بالشكل العام للمعادلة التربيعية "ax 2 + bx + c = 0".

دعونا نتدرب على تحديد المعاملات "أ" و"ب" و"ج" في المعادلات التربيعية.

5س 2 − 14س + 17 = 0 −7س 2 − 13س + 8 = 0 −س 2 + س +

المعادلة	احتمال
أ = 5 ب = −14 ج = 17
أ = −7 ب = −13 ج = 8

1

3

= 0

• أ = −1
• ب = 1
• ج =

  1

  3

× 2 + 0.25س = 0

• أ = 1
• ب = 0.25
• ج = 0

س 2 − 8 = 0

• أ = 1
• ب = 0
• ج = −8

كيفية حل المعادلات التربيعية

على عكس المعادلات الخطية، يتم استخدام طريقة خاصة لحل المعادلات التربيعية. صيغة للعثور على الجذور.

يتذكر!

لحل معادلة تربيعية تحتاج إلى:

• أحضر المعادلة التربيعية إلى الصورة العامة "ax 2 + bx + c = 0". وهذا يعني أن "0" فقط يجب أن يبقى على الجانب الأيمن؛
• استخدام الصيغة للجذور:

دعونا نلقي نظرة على مثال لكيفية استخدام الصيغة للعثور على جذور المعادلة التربيعية. دعونا نحل معادلة من الدرجة الثانية.

× 2 − 3س − 4 = 0

لقد تم بالفعل اختصار المعادلة "x 2 − 3x − 4 = 0" إلى الصيغة العامة "ax 2 + bx + c = 0" ولا تتطلب تبسيطات إضافية. لحلها، نحتاج فقط إلى التطبيق صيغة لإيجاد جذور المعادلة التربيعية.

دعونا نحدد المعاملات "أ" و"ب" و"ج" لهذه المعادلة.

س 1;2 =
س 1;2 =
س 1;2 =
س 1;2 =

ويمكن استخدامه لحل أي معادلة من الدرجة الثانية.

في الصيغة "x 1;2 =" غالبًا ما يتم استبدال التعبير الجذري
"b 2 − 4ac" للحرف "D" ويسمى المميز. تمت مناقشة مفهوم المُميِّز بمزيد من التفصيل في الدرس "ما هو المُميِّز".

دعونا نلقي نظرة على مثال آخر للمعادلة التربيعية.

س 2 + 9 + س = 7س

في هذا النموذج، من الصعب جدًا تحديد المعاملات "أ" و"ب" و"ج". دعونا أولاً نختصر المعادلة إلى الصورة العامة "ax 2 + bx + c = 0".

× 2 + 9 + س = 7س
س 2 + 9 + س − 7س = 0
س 2 + 9 − 6س = 0
س 2 − 6س + 9 = 0

الآن يمكنك استخدام الصيغة للجذور.

× 1;2 =
س 1;2 =
س 1;2 =
س 1;2 =
س =

6

2

س = 3
الجواب: س = 3

هناك أوقات لا يكون فيها للمعادلات التربيعية جذور. يحدث هذا الموقف عندما تحتوي الصيغة على رقم سالب تحت الجذر.