طرق النمذجة الاقتصادية والرياضية. أم - النمذجة الاقتصادية والرياضية

طرق النمذجة الاقتصادية والرياضية

1.1. موضوع والغرض من النمذجة

مبدأ القياس في النمذجة، المفهوم العام للنموذج

تعتمد النمذجة على مبدأ التشابه (التشابه، التشابه) بين شيئين أو ظاهرتين، والتي غالبا ما تكون لها طبيعة مختلفة نوعيا. في هذه الحالة، يعتبر أحد الكائنات أصليًا، والثاني نموذجًا له، نسخة. التشابه الأكثر أهمية بين النموذج الأصلي ونموذجه هو تشابه سلوكهما في ظل ظروف معينة. تُستخدم النمذجة كوسيلة للبحث ودراسة الأنظمة والظواهر المعقدة.

عند الدراسة عن طريق القياس، يتم دائمًا دراسة نظام ما بشكل مباشر، ويتم استخلاص استنتاج لنظام آخر. النظام الذي تتم دراسته بشكل مباشر هو انعكاس أو نموذج للنظام محل الدراسة الأصلي.

نموذج (معامل اللات) - القياس، المقياس، العينة، القاعدة. في الرياضيات هناك نظرية نموذجية فيها نموذج يُفهم على أنه مجموعة اعتباطية تحتوي على مجموعة معينة من الخصائص والعلاقات. نموذج هو انعكاس بطريقة أو بأخرى لأهم خصائص وعمليات وعلاقات الأنظمة الحقيقية تحت المحاكاة يشير إلى إعادة إنتاج أو تقليد أي نظام موجود على نظير أو نموذج مصمم خصيصًا.

تحت النمذجة يشير إلى دراسة الأشياء المعرفية ليس بشكل مباشر، ولكن بشكل غير مباشر، من خلال تحليل بعض الأشياء المساعدة الأخرى - النماذج.

يمكن تقسيم جميع النماذج الاقتصادية بشكل عام إلى فئتين:

نماذج التحليل الإيجابي – لفهم خصائص الأنظمة الاقتصادية الحقيقية أو الافتراضية. ولا يمكن تقدير قيمة معلماتها من البيانات التجريبية؛

نماذج التحليل المعياري - للتنبؤ أو اتخاذ القرارات الإدارية. ويمكن تقدير معلماتها من البيانات التجريبية.

هدفالنمذجة هي عملية مسجلة أو على الأقل يمكن ملاحظتها لتطوير كائن اقتصادي مع مرور الوقت.

النماذج الاقتصادية والرياضية

ولدراسة ودراسة أكثر تعمقا للأنظمة المعقدة، يتم استخدام النمذجة الرياضية، والتي تفهم على أنها وصف أو تمثيل لأهم العلاقات والتبعيات السببية والوظيفية الموجودة في الواقع، في شكل رياضي.

النموذج الرياضي له طبيعة مختلفة مقارنة بجسم حقيقي وهو عبارة عن معادلة أو نظام من المعادلات والمتباينات التي تصف العلاقات التي تحدث في الأصل.

أصبحت النمذجة الرياضية واسعة الانتشار في دراسة النظم الاقتصادية. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن الأنظمة الاقتصادية تتميز بالترابط الكمي المعقد، والذي يمكن التعبير عنه بالعلاقة المتبادلة بين العديد من المتغيرات والتي تصلح جيدًا للوصف الرياضي في شكل معادلات ومتباينات. يتم استخدامه كوسيلة للدراسة، كأداة لفهم الظواهر الاقتصادية. ومن خلال تحليل المعادلات والتفاوتات التي تصف العلاقات الكمية لنظام معين، يمكن للمرء تحليل النظام الاقتصادي نفسه.

لذلك، تحت النموذج الاقتصادي والرياضي يشير إلى وصف العلاقات الكمية والترابط بين الأنظمة أو العمليات الاقتصادية في شكل رياضي.

تتميز النظم الاقتصادية بعدد كبير من العلاقات المتبادلة، التي قد يؤدي وصفها التفصيلي إلى نماذج أو نظام نماذج مرهقة للغاية وغير مستخدمة عمليا. ومن المهم أن تدرج في النموذج العوامل التي لها تأثير كبير على الإنتاج، ومن المهم بنفس القدر حذف العوامل التي ليس لها تأثير كبير عليه. وهكذا، فإن النموذج الاقتصادي الرياضي يميز أهم خصائص أنظمة اقتصادية محددة، ويستخلصها من التفاصيل والتفاصيل.

وفقا لتعريف الأكاديمي، فإن النموذج الاقتصادي الرياضي هو تعبير مركّز عن العلاقات والأنماط الموجودة لظاهرة اقتصادية في شكل رياضي. يعمل النموذج كنظير للعملية قيد الدراسة، لأنه يعكس الروابط الأكثر أهمية والأساسية للكائن النموذجي.

لقد فتحت النمذجة الرياضية فرصًا واسعة لدراسة العلاقات والأنماط الاقتصادية. مع ظهور النمذجة الرياضية وأجهزة الكمبيوتر، أصبح من الممكن إجراء التجارب في الاقتصاد، ولكن ليس على أشياء حقيقية، ولكن على النماذج الرياضية للأنظمة والظواهر الاقتصادية. للقيام بذلك، من الضروري تقديم العملية الاقتصادية في شكل مشكلة اقتصادية ورياضية وحلها على جهاز الكمبيوتر. علاوة على ذلك، من خلال تغيير الشروط، يمكنك تحليل العديد من الخيارات واختيار الخيار الأكثر ربحية. وهذا يفتح فرصًا جديدة، سواء في اختبار الفرضيات والافتراضات المختلفة، أو في تحسين عملية التكاثر الفعلية.

تتضمن النمذجة الرياضية تحليلًا نوعيًا أوليًا للظروف التي ستظهر بموجبها العلاقات الكمية للكائن النموذجي. يتم تحديد نوع وطبيعة النموذج الرياضي من خلال العلاقات المتبادلة والترابط بين النظم الاقتصادية.

النموذج الرياضي للكائن الاقتصادي، النموذج الاقتصادي الرياضي- مجموعة من المعادلات الرياضية والمتباينات التي تصف عمل كائن اقتصادي بمستوى معين من التفصيل. العناصر الهيكلية للنموذج الاقتصادي الرياضي هي المؤشرات الفنية والاقتصادية لنشاط الكائن، مقدمة في شكل كميات معروفة (معطاة) وغير معروفة (متغيرة).

رئيسي المتغيرات,بمساعدة التي يتم وصف النظام الاقتصادي هي مجلداتالسلع والخدمات المختلفة التي يتم إنتاجها واستهلاكها، وإضافتها إلى المخزونات وطرحها منها، وبيعها وشراؤها، و الأسعارحيث يتم شراء وبيع السلع والخدمات.

لبناء المعادلات التي تحتاجها بيانات:الكمية المتاحة من الموارد الطبيعية والبشرية، ومستوى المعرفة التقنية، وطبيعة تفضيلات المستهلك. ومن هذه البيانات والمتغيرات تتشكل ظروف تشغيل كائن اقتصادي معين، أي نظام المعادلات (أو المتباينات).

يكمن تعقيد طبيعة الأشياء الاقتصادية في أن المتغيرات الرئيسية (أحجام السلع والأسعار)، رغم وجودها بشكل موضوعي، تعتمد على سلوك الأفراد، والسلوك المؤسسي لمجموعات من الأشخاص المترابطين، والسلوك الإجمالي للجماهير الكبيرة. الناس، وكذلك سلوك الحكومة والشخصيات السياسية. إن الوصف التحليلي لسلوكهم هو الجزء الأكثر صعوبة في إضفاء الطابع الرسمي على تطوير النظم الاقتصادية. لكن يجب علينا أيضًا ألا ننسى أن أحد المفاهيم الأساسية للنشاط السلوكي هو خيار،اختيار أحد خيارات السلوك (الاستراتيجيات) العديدة. يتم الاختيار دائمًا من قبل الفرد، بناءً على اعتباراته وتفضيلاته، مسترشدًا بتحديد هدف أو آخر - المنفعة الاقتصادية.

يجب أن يتضمن النموذج الاقتصادي الرياضي وصفًا رسميًا لمعيار الاختيار، أي الهدف الاقتصادي: وظيفة الهدف.

عند اتخاذ قرارهم، يأخذ الناس دائمًا في الاعتبار ليس فقط الوضع الاقتصادي الحالي، ولكن أيضًا تغيراته المستقبلية، أي التوقعات المتغيرة. ونتيجة لذلك، يتم الاختيار بشكل ديناميكي.

من خلال دراسة سلوك الفرد في سوق السلع، يمكننا استخلاص استنتاجات حول سلوك السكان (الطلب الفردي والجماعي) أو مجموعات من الأشخاص المترابطين (المنظمات والشركات) من أجل إدارة الطلب على السلع والخدمات. لذلك، إذا كانت المهام الرئيسية للنظرية الاقتصادية هي شرح الحالة الحالية والتنبؤ بالتطور المستقبلي للأنظمة الاقتصادية (الأشياء)، فإن المهمة الرئيسية للاقتصاد الرياضي هي توفير الجهاز التحليلي اللازم لذلك.

1.2. مهمة التحسين العامة

لقد تم طرح المشاكل الأولى المتعلقة بإيجاد أصغر وأكبر الكميات في العصور القديمة. تم العثور على ذكر الحد الأقصى والحد الأدنى في أعمال إقليدس وأبولونيوس وأرخميدس. ساهمت الحاجة إلى حل المشكلات المتطرفة في إنشاء التحليل الرياضي وحساب التفاضل والتكامل للتغيرات. في القرنين السابع عشر والثامن عشر، تم اكتشاف مبادئ التباين في البصريات والميكانيكا، وأصبح حساب التفاضل والتكامل لغة الاقتصاد والعلوم الطبيعية.

لعب العلماء Quisney (1759) وL. Walras (1874)، الذين اقترحوا النماذج الأولية الأولى للبرمجة الرياضية، دورًا معينًا في تطوير أساليب التحسين الحديثة. طور فون نيومان (1937) و(1939) نماذج التحسين الاقتصادي. تم تطوير الأسس الرياضية للبرمجة الخطية
إم جوردان (1873)، جي مينكوفسكي (1896) وجي فاركاس (1903). مساهمة جادة في | قدم البرمجة الديناميكية (1954) أيضًا
(1920)، الذي طور عناصر نظرية الطابور. لقد لعب العمل الأساسي لـ G. Wagner (1969) دورًا مهمًا في نظرية التحسين، وهو أحد المتخصصين الرائدين في بحوث العمليات.

التحسين مهم في البحوث الاقتصادية.

سنبدأ بدراسة النماذج الاقتصادية والرياضية من مستوى الاقتصاد الجزئي الذي تعمل فيه المؤسسات (الشركات)، أي منتجي السلع الأساسية، وكذلك الأسر، أي المستهلكين.

أُسرَة- شخص أو أكثر يجمعهم دخل مشترك، ويخططون بشكل مشترك لإنفاقه على شراء السلع والخدمات.

المؤسسة (الشركة) هي مجموعة من الأفراد ينظمون أنشطة مشتركة لإنتاج السلع والخدمات وبيعها للأسر والشركات الأخرى.

الهدف الاقتصادي الرئيسي للمستهلك هو تحقيق أقصى مستوى من الرضا عند إنفاق الدخل، واختيار الأفضل من بين الخيارات السلوكية المتاحة له.

الهدف الاقتصادي الرئيسي للشركة المصنعة هو تحقيق أقصى قدر من الربح مع اختيار أفضل برنامج إنتاج.

عند التخطيط لأنشطة الإنتاج على أي مستوى من مستويات الإدارة، من المفترض أن تكون موارد الإنتاج التي لدينا والتي يمكننا التحكم فيها متاحة. ومن المعروف أيضًا أن معايير تكلفة موارد الإنتاج لمختلف طرق الإنتاج. المجهولة (المتغيرات) - كمية السلع والخدمات المنتجة التي يمكن إنتاجها في فترة زمنية معينة من أجل تحقيق تأثير اقتصادي (هدف الإنتاج).

aij هو معدل تكلفة النوع i من الموارد لكل وحدة من النوع j من النشاط؛

bi هو حجم الموارد المتاحة من النوع i.

دعونا نعطي تعريفات للعناصر الهيكلية الرئيسية لمشكلة البرمجة الخطية.

لذا فإن مشكلة البرمجة الخطية (1.5، 1.6) في الاقتصاد تسمى النموذج الخطي للتخطيط الأمثل. الوظيفة الموضوعية f هي معيار الأمثلية للنموذج. الحل هو خطة (برنامج الإنتاج، طريقة التشغيل). مجموعة الحلول لنظام المتباينات الخطية (1.6) دون مراعاة الوظيفة الموضوعية هي مجموعة الحلول المقبولة (في الرياضيات) ومجموعة الخطط المقبولة (في الاقتصاد). النقطة المثلى (ناقل الأبعاد n الذي يتم عنده تحقيق f(x))، أي الحل الأمثل لمشكلة البرمجة الخطية (1.5، 1.6)، تسمى الخطة المثلى في الاقتصاد.

دعونا نكرر: مشكلة البرمجة الخطية هي إيجاد قيم المتغيرات n x1, x2,..., xn التي توفر الحد الأقصى للدالة f(x1x2,.., xn) تحت الشروط (1.6)، وهي نظام من المتباينات الخطية غير الصارمة، والتي، إذا لزم الأمر، يمكن تحويلها إلى مساواة عن طريق إضافة متغيرات صناعية xn+i (أنا=1,2,.., م). وعادة ما يتم إضافة شروط عدم سلبية المتغيرات سي ≥ 0 (ي = 1, 2,.., ن).

بما أن الدالة الهدف خطية، فلا يوجد بها نقاط حرجة. وبالتالي، فإن جميع النقاط المثالية هي الحدود. المجموعة المقبولة محدبة لأن جميع القيود خطية. الدالة الهدف الخطية محدبة ومقعرة على حد سواء، لذا فإن جميع القيم القصوى والدنيا تكون عالمية. في حالة وجود حل لمشكلة البرمجة الخطية، فمن حيث المبدأ يمكن إيجاده (حسابه) بدقة. تم تقديم طريقة عالمية لحل مشكلة البرمجة الخطية العامة (الطريقة البسيطة) بواسطة J. Danzig. بالنسبة للفئات الأخرى من مشاكل التحسين، لا توجد طرق عددية محدودة جيدة، لذلك، بالنسبة للاقتصاديين الممارسين المهتمين بالحل العددي المباشر لمشاكل التحسين، فإن نظرية LP مهمة جدًا. إذا كان من الممكن تقريب النماذج الأولية إلى النماذج الخطية بدقة مقبولة، فإن الطريقة البسيطة تجعل من الممكن الحصول على حل عددي للتحليل اللاحق.

تعتمد خصائص الحلول لمشكلة البرمجة الخطية إلى حد كبير على ميزات مجال التعريف المحدد بالشروط (1.6). لدراسة هذه الخصائص، نقدم المفاهيم الأساسية.

1. نقاط كثيرة ( س)، س = (س1 ×2،…، سن) نظام مرضي (1.6)، هناك مجال التعريفمشاكل البرمجة الخطية. متى
ن= 2، مجال التعريف هو مضلع على مستوى، في الحالة العامة - ن- متعدد السطوح الأبعاد.

2. الوظيفة f(x) - دالة موضوعية(الطائرة عند ن= 2، في الحالة العامة - طائرة مفرطة)؛ يصل إلى حده الأقصى عند نقطة واحدة أو أكثر من النقاط المسموح بها في مجال التعريف. تسمى هذه النقاط الحل الأمثل.

3. يسمى مجال التعريف محدب،إذا كان، مع أي نقطتين، يحتوي أيضًا على الجزء بأكمله الذي يربط بين هذه النقاط.

4. النطاق هو مغلق(أي تحتوي على حدودها الخاصة)، حيث أنه في التعبير (1.6) جميع المتباينات ليست صارمة.

نقطة Xويسمى المنتمين إلى المنطقة المحدبة أقصى،إذا لم يكن هناك نقطتان من هذا القبيل في منطقة معينة ×1و ×2، ماذا Xيقع في الجزء بين ×1و ×2.

النقطة القصوى لا تتزامن مع خط الحدود.

مجال التعريف المعطى بالشروط (1.6) هو متعدد السطوح محدب ومغلق، رؤوسه عبارة عن نقاط متطرفة، عددها بالتأكيد.

5. إذا لم يكن هناك أي نقطة س = (x1x2,..,xن), النظام المرضي (1.6)، فإن مجال تعريف مشكلة البرمجة الخطية هو مجموعة فارغة,ويتم استدعاء النظام (1.6). غير متوافق.لا يوجد حد أقصى للوظيفة الموضوعية.

6. الحد الأقصى للدالة الهدف في مشكلة البرمجة الخطية (إن وجدت) يكون دائمًا مطلقًا (عالميًا)، أي فريدًا.

7. مجموعة النقاط القصوى x* (النقاط التي عندها f = extr) في مشكلة البرمجة الخطية (إذا كانت غير فارغة) تحتوي دائمًا على نقطة متطرفة واحدة على الأقل من متعدد السطوح (مجال التعريف).

يمكن توضيح الخصائص المذكورة لمسائل البرمجة الخطية بسهولة بيانياً في الحالة ثنائية الأبعاد.

في الشكل. 1.3 نقطة O، E1 E2 E3، E4 متطرفة. والمشكلة المثلى تكمن في إحداها أو في مجموعة من النقاط المتطرفة (قطعة في الحالة ثنائية الأبعاد).

من الخصائص 1-7 يترتب على أن أي إجراء يتضمن بحثا موجها عن النقاط القصوى لمجال تعريف المشكلة (1.5، 1.6) يجب أن يؤدي إلى إيجاد نقطة قصوى بينها X*, أي الحل الأمثل. تنعكس هذه الفكرة في الطريقة البسيطة. يسمح لك بالعثور على النقطة القصوى لمجال التعريف وتقييم ما إذا كانت هي النقطة القصوى للدالة الهدف و . إذا لم يكن الأمر كذلك، فسيتم توفير الانتقال إلى النقطة المتطرفة المجاورة، حيث القيمة و أكثر (أقل) من السابق. بعد عدد محدود من الخطوات، يتم العثور على النقطة القصوى أو التعرف على أنها غير موجودة (نظام الشروط (1.6) غير متناسق).

أرز. 1.3 . مخطط هندسي لحل مشكلة البرمجة الخطية

غالبًا ما يتم استدعاء الطريقة البسيطة طريقة التحسين المستمر للخطة.لتبرير خوارزمية الحساب للطريقة البسيطة، سننظر في ذلك الكنسيمشكلة البرمجة الخطية (الأبسط): دقيقة com.cxفي اه =ب، س ≥ 0، حيث أ- مصفوفة؛ ب، س، س- المتجهات.

لتكن نقطة الزاوية (المتطرفة) معروفة س = (x1 x2،..، xn) -الخطة المرجعية.

تشكل القيم غير الصفرية للمكونات xj متجهًا يسمى أساس.للمشاكل غير المتدهورة يحتوي الأساس تعنصر (ت< п). تتكون الخطوة التكرارية للطريقة من الانتقال من نقطة الزاوية Xإلى نقطة الزاوية X"،حيث تنخفض قيمة الدالة الهدف: (كسكس")< (сх).

يتم تطبيق هذه الطريقة في شكل حزم برامج تطبيقية قياسية على جميع نماذج الكمبيوتر ذات الإنتاج الضخم وتستخدم على نطاق واسع في حل المشكلات العملية للتحليل والتخطيط الاقتصادي.

دعونا القائمة فئات أخرى من مشاكل التحسين،والتي توجد لها طرق حل فعالة (ليست محدودة دائمًا).

1. البرمجة التربيعية هي مشكلة تقليل شكل تربيعي محدد وموجب في ظل قيود خطية.

2. برمجة الأعداد الصحيحة هي مشكلة LP حيث يمكن لجميع المتغيرات أو بعضها أن تأخذ قيمًا منفصلة فقط.

3. البرمجة المحدبة - مشكلة تعظيم الدوال الموضوعية المقعرة على مجموعات محدبة.

4. البرمجة العشوائية - مشكلة LP فيها المصفوفة أوناقلات بتحتوي على معلمات عشوائية ذات قانون توزيع معروف، أو أن القيود نفسها ذات طبيعة احتمالية.

5. مشكلة البرمجة الخطية الكبيرة
البعد - مشكلة LP التي المصفوفة ألها شكل رقعة الشطرنج مع ربط المتغيرات و(أو) القيود، ويبلغ أبعادها الإجمالية (500*500).

6. البرمجة الديناميكية هي نظام من الأساليب التي تسمح بحل مشاكل التخطيط متعددة المراحل.

7. التحسين متعدد المعايير - مع العديد من الوظائف الموضوعية.

1.5. مزدوجمشكلة البرمجة الخطية

بالنسبة للتحليل الاقتصادي، من المهم جدًا التحليل مزدوجمشاكل LP، حيث أن مبادئ الازدواجية توضح طبيعة الأسعار. السعر هو المفهوم الأساسي في النظرية الاقتصادية.

دع مشكلة LP القياسية في تدوين المصفوفة المتجهة تُكتب على النحو التالي: find

س = (x1 x2،…، xn)

للحصول على

الأعلى com.cx (1.7)

تحت القيود

الفأس ≤ ب, س ≥0. (1.8)

حيث c هو متجه صف ذو أبعاد n؛

ب - ناقل العمود الأبعاد؛

أ – م * ن مصفوفة.

م – رقم تعسفي، م< n.

المشكلة المزدوجة للمشكلة الأصلية (1.7، 1.8) هي مشكلة النموذج: العثور على

ذ (ذ1 , ذ2 ,…, يم) (1.9)

لتوفير

دقيقة نعم

تحت الظروف

نعم ≥ ج, ذ ≥ 0. (1.10)

هنا أ،ب، معلها نفس المعنى كما في المشكلة (1.7، 1.8).

ثم المشكلة الأصلية واضحة ومباشرة. وثنائية المشكلة المزدوجة هي المشكلة الأصلية. الازدواجية هي علاقة رياضية رسمية. المهمة المزدوجة للبناء موجودة دائمًا. إذا كانت المهمة المباشرة تعبر عن عمل كائن اقتصادي حقيقي، فإن المهمة المزدوجة لها أيضًا تفسير اقتصادي. لتحليل هذه المسألة، نقوم بصياغة النظريات.

نظرية الازدواجية الأولى (نظرية الوجود).ناقل مقبول للمشكلة إلى الأمام ×*هو الأمثل إذا وفقط إذا كان هناك ناقل ممكن للمشكلة المزدوجة ص*، مثل ذلك سكس* =ذ* ب.في هذه الحالة ص* -المتجه الأمثل للمشكلة المزدوجة.

بمعنى آخر، إذا كانت إحدى مشاكل الزوج المزدوج لها حل أمثل، فإن المشكلة الأخرى لها أيضًا حل أمثل، والقيمة القصوى للدالة الموضوعية للمشكلة الأصلية والحد الأدنى لقيمة الدالة الموضوعية للمشكلة الأصلية المشكلة المزدوجة متساوية عدديا. (إذا لم يكن لإحدى المشكلات حل أمثل، فإن نظام قيود المشكلة المزدوجة متناقض.)

نظرية الازدواجية الثانية (نظرية التوازن).

1. دع النواقل س* و ص*مقبولة في المشاكل المباشرة والمزدوجة، على التوالي. فهي مثالية إذا وفقط إذا تم استيفاء الشروط التالية:

أ) ذ*أنا ≥ 0، لكن y*أنا = 0 إذا https://pandia.ru/text/79/131/images/image011.gif" width="114" height="50">, j=1,…,n.

2. ستكون النقطة المثالية دائمًا هي أن عدد المتغيرات غير الصفرية في حل كل مشكلة لا يتجاوز عدد القيود الوظيفية للمشكلة.

بمعنى آخر، إذا كانت قيمة أي متغير في الخطة المثالية للمشكلة الأصلية أكبر من الصفر تمامًا، فإن القيد المقابل للمشكلة المزدوجة عند استبدال الخطة المثالية بها يصبح مساواة.

تسمح نظرية الازدواجية الثانية بتفسير اقتصادي للمشكلة المزدوجة، كما هو موضح في المثال التالي.

يتم تحديد نموذج الإنتاج الخطي الذي نمنتجات [ سي] وينفق تعوامل [ ثنائية], [أأنا] - عوامل التكلفة الثابتة

من ناحية أخرى، يتم إعطاء ناقلات الأسعار وناقلات الموارد، مما يحد من استخدام العوامل.

بواسطة نظرية الازدواجية الأولى لدينا بكسل* = ص*ب(تكلفة الإنتاج تساوي تكلفة العوامل المصروفة. لذلك، ص*- ناقلات أسعار العوامل).

غالبًا ما يتم استدعاء المتغيرات المزدوجة التقديرات المشروطة(التقييمات المزدوجة، التقييمات المحددة بموضوعية). وفي هذه الحالة، يجيبون على السؤال: ما هي أقل تكلفة لمجموعة من العوامل ب, مما يجعل من الممكن تحويل العوامل إلى منتجات وبيع المنتجات بالأسعار ص.إذا كان تقدير التكاليف اللازمة لإنتاج منتج أقل من سعر المنتج، فإن إنتاج المنتج وبيعه أكثر ربحية من بيع هذه العوامل. في القيم المثلى س* و ص*الشركة غير مهتمة بإنتاج المنتجات لبيعها بأسعار ص،أو بيع الموارد بأسعار y*، منذ y* ب= ع س* .

من نظرية الازدواجية الثانية لدينا:

أ) أي عامل لا يمكن استخدامه في إنتاج المجموعة المثلى من المنتجات يحصل على تصنيف صفر (أي أن العوامل المفرطة في العرض لا قيمة لها)؛

ب) المنتج الذي تتجاوز تكاليف إنتاجه سعره (عندما يتم تقييم العوامل بالتقييمات الشرطية المثلى) لن يتم إنتاجه بالإنتاج الأمثل. وبما أن هذه العلاقات تتوافق مع حالة التوازن في الاقتصاد التنافسي، تسمى النظرية الثانية نظريات التوازن.

مشكلة مباشرة مشكلة مزدوجة

مالفأسبكسل دقيقة YB

الفأس ≥ ب، س≥0 ذأ≥ ص، ص ≥ 0

ويرد أدناه تسجيل للمشاكل المباشرة والمزدوجة في شكل موسع.

المشكلة الأولى (الأصلية)

المشكلة الثانية (ثنائية)

F = c1 x1 + c2 x2 + …+ cn xn® ماكس تحت القيود أ11 س1 + أ 12 س2 +… + أ 1ن س ن ≥ ب1 a21 x1+ أ 22 x2 +… + أ 2 ن xn ≥ b2 ………………………………. am1 x1 + a m2 x2 +… + a mn xn ≥ bm وحالة عدم السلبية س1 ≥ 0 , س2 ≥ 0,…, xn ≥ 0. قم بإعداد خطة إصدار المنتج س = (س1 , س2 ,…, xn ), حيث سيكون الربح (الإيرادات) من بيع المنتجات هو الحد الأقصى، بشرط ألا يتجاوز استهلاك الموارد لكل نوع من المنتجات الاحتياطيات المتاحة

Z = b1 y1 + b2 y2 + …+ مليار ين® دقيقة تحت القيود أ11 ذ1 + أ 21 ذ2 +… + م1يم≥ ص1 أ12 ذ1 + أ 22 ذ2 +… + أ م2 يم≥ ص2 ………………………………. أ1ن ذ1 + أ2ن ذ2 +... + أ من يم≥ مساءً وحالة عدم السلبية ذ1 ≥ 0 , ذ 2 ≥ 0,…, يم ≥ 0. ابحث عن هذه المجموعة من الأسعار (التقديرات) للموارد ص = (y1 y2،...، yt)،حيث تكون التكاليف الإجمالية للموارد في حدها الأدنى، بشرط ألا تقل تكاليف الموارد في إنتاج كل نوع من المنتجات عن الربح (الإيرادات) من بيع هذه المنتجات

دع ν * تكون القيمة المثلى للدالة الموضوعية، ص*هو الناقل الأمثل للمشكلة المزدوجة. سوف نستبدل بعلى ب+ https://pandia.ru/text/79/131/images/image013.gif" width="15" height="18 src=">v*يتم تحديد القيمة المثلى للوظيفة الهدف من خلال العلاقة: الخامس* = u* https://pandia.ru/text/79/131/images/image013.gif" width="15" height="18 src=">v* =يي* بأنا.

خصائص الأساليب الاقتصادية والرياضية الرئيسية لحوار التعاون الآسيوي

تطبيق أساليب البرمجة الخطية لحل مشاكل تحليلية محددة.

تطبيق أساليب البرمجة الديناميكية لحل مشاكل تحليلية محددة.

1. الأساليب الاقتصادية والرياضية -هذه هي الأساليب الرياضية المستخدمة لتحليل الظواهر والعمليات الاقتصادية. يسمح استخدام الأساليب الرياضية في التحليل الاقتصادي زيادة كفاءتهامن خلال تقليل الوقت اللازم للتحليل، وتغطية أكثر شمولاً لتأثير العوامل على نتائج الأنشطة التجارية، واستبدال الحسابات التقريبية أو المبسطة بحسابات دقيقة، ووضع وحل مشاكل التحليل الجديدة متعددة الأبعاد التي يستحيل عملياً إجراؤها يدويًا أو بالطرق التقليدية .

يتطلب استخدام الأساليب الرياضية في التحليل الاقتصادي الالتزام بعدد من الشروط، منها:

نهج منهجي لدراسة اقتصاديات المؤسسات، مع الأخذ في الاعتبار مجموعة كاملة من العلاقات الهامة بين مختلف جوانب نشاط المؤسسة؛

تطوير مجموعة من النماذج الاقتصادية والرياضية التي تعكس الخصائص الكمية للعمليات الاقتصادية والمشكلات التي يتم حلها باستخدام التحليل الاقتصادي.

تحسين نظام المعلومات الاقتصادية عن عمل المؤسسات؛

توافر الوسائل التقنية (أجهزة الكمبيوتر، وما إلى ذلك) التي تقوم بتخزين ومعالجة ونقل المعلومات الاقتصادية لأغراض التحليل الاقتصادي؛

تنظيم فريق خاص من المحللين يتكون من اقتصاديي الإنتاج، ومتخصصين في النمذجة الاقتصادية والرياضية، وعلماء الرياضيات، ومشغلي الكمبيوتر، ومشغلي المبرمجين، إلخ.

تنعكس الحالة الحالية لتطور المبادئ والأشكال المحددة لاستخدام الرياضيات والعلوم الدقيقة الأخرى لحل المشكلات الاقتصادية من خلال رسم تخطيطي تقريبي للطرق الرياضية الرئيسية المستخدمة في تحليل الأنشطة الاقتصادية للمؤسسات.

المخطط أعلاه ليس مصنفًا للطرق الاقتصادية والرياضية، حيث يتم تجميعه دون النظر إلى أي معيار تصنيف. من الضروري جرد وتوصيف الأساليب الرياضية الأساسية المستخدمة في تحليل الأنشطة الاقتصادية للمؤسسات. دعونا نفكر في الأمر

الأساليب الاقتصادية والرياضية في التحليل

طرق الرياضيات الابتدائية

الأساليب الإرشادية

طرق بحوث العمليات

النظرية الرياضية للعمليات المثلى

طرق علم التحكم الآلي الاقتصادي

الطرق الكلاسيكية للتحليل الرياضي

طرق الإحصاء الرياضي

طرق الاقتصاد القياسي

طرق البرمجة الرياضية

الأساليب الاقتصادية والرياضية لتحليل النشاط الاقتصادي.

طرق الرياضيات الابتدائيةتستخدم في الحسابات الاقتصادية التقليدية العادية عند تبرير احتياجات الموارد، وحساب تكاليف الإنتاج، وتطوير الخطط والمشاريع، وفي حسابات الميزانية العمومية، وما إلى ذلك. طرق الرياضيات العليا الكلاسيكيةفي الرسم التخطيطي يرجع ذلك إلى حقيقة أنها تستخدم ليس فقط في إطار الأساليب الأخرى، على سبيل المثال، طرق الإحصاء الرياضي والبرمجة الرياضية، ولكن أيضًا بشكل منفصل. وبالتالي، يمكن إجراء التحليل العاملي للتغيرات في العديد من المؤشرات الاقتصادية باستخدام التمايز والتكامل.

طرق الإحصاء الرياضيتستخدم على نطاق واسع في التحليل الاقتصادي. يتم استخدامها في الحالات التي يمكن فيها تمثيل التغيير في المؤشرات التي تم تحليلها كعملية عشوائية. الأساليب الإحصائية كونها الوسيلة الرئيسية لدراسة الكتلة، الظواهر المتكررةتلعب دورا هاما في التنبؤ بسلوك المؤشرات الاقتصادية.عندما لا تكون العلاقة بين الخصائص التي تم تحليلها حتمية، بل عشوائية، فإن الأساليب الإحصائية والاحتمالية هي أداة البحث الوحيدة عمليًا. الأساليب الرياضية والإحصائية الأكثر استخدامًا في التحليل الاقتصادي هي طرق تحليل الارتباط المتعدد والزوجي.

للدراسة السكان الإحصائيين أحادي المتغيرالمستخدمة: سلسلة التباين، قوانين التوزيع، طريقة أخذ العينات. للدراسة المجاميع الإحصائية متعددة المتغيراتيستخدمون الارتباطات والانحدارات والتشتت والتباين والتحليل الطيفي والمكون والعاملي، والتي تتم دراستها في دورات في نظرية الإحصاء.

المجموعة التالية من الأساليب الاقتصادية والرياضية هي طرق الاقتصاد القياسي.الاقتصاد القياسي- نظام علمي يدرس الجوانب الكمية للظواهر والعمليات الاقتصادية عن طريق التحليل الرياضي والإحصائي القائم على نمذجة العمليات الاقتصادية. وبناء على ذلك، تعتمد أساليب الاقتصاد القياسي على توليف ثلاثة مجالات من المعرفة: الاقتصاد والرياضيات والإحصاء. أساس الاقتصاد القياسي هو النموذج الاقتصادي,والذي يُفهم على أنه تمثيل تخطيطي لظاهرة أو عملية اقتصادية باستخدام التجريد العلمي، مما يعكس سماتها المميزة. من بين طرق القياس البيئي، الطريقة الأكثر استخدامًا على نطاق واسع في الاقتصاد الحديث هي طريقة تحليل "المدخلات والمخرجات". لتطويره، حصل الاقتصادي المتميز V. Leontiev على جائزة نوبل في عام 1973. طريقة تحليل المدخلات والمخرجاتهي طريقة تحليلية اقتصادية قياسية تتكون من بناء نماذج مصفوفية (الميزانية العمومية) باستخدام نمط رقعة الشطرنج والسماح بعرض العلاقة بين التكاليف ونتائج الإنتاج في الشكل الأكثر إحكاما. تعتبر سهولة الحسابات ووضوح التفسير الاقتصادي من المزايا الرئيسية لاستخدام نماذج المصفوفة. وهذا مهم عند إنشاء أنظمة معالجة البيانات الآلية وعند التخطيط لإنتاج المنتجات باستخدام الكمبيوتر.

طرق البرمجة الرياضية في الاقتصاد- هذه طرق عديدة لحل مشاكل تحسين الإنتاج والأنشطة الاقتصادية، وقبل كل شيء، الأنشطة المخططة لكيان اقتصادي. هذه الأساليب هي في جوهرها وسيلة للحسابات المخططة. تكمن قيمتها في التحليل الاقتصادي لتنفيذ خطط العمل في أنها تسمح للمرء بتقييم كثافة الأهداف المخططة، وتحديد مجموعات محدودة من المعدات، وأنواع المواد الخام والمواد، والحصول على تقديرات لندرة موارد الإنتاج، وما إلى ذلك. .

تحت بحوث العملياتيفهم طريقة الإجراءات (العمليات) المستهدفة والتقييم الكمي للحلول التي تم الحصول عليها واختيار الأفضل. موضوع بحوث العمليات هو النظم الاقتصادية، بما في ذلك الإنتاج والأنشطة الاقتصادية للمؤسسات. والهدف هو مزيج من العناصر الهيكلية المترابطة للأنظمة التي تناسب بشكل أفضل مهمة الحصول على أفضل مؤشر اقتصادي من عدد من المؤشرات الممكنة.

كفرع من بحوث العمليات نظرية اللعبةهي نظرية بناء نماذج رياضية لاتخاذ القرارات المثلى في ظروف عدم اليقين أو صراع عدة أطراف ذات مصالح مختلفة.

نظرية الانتظارهي نظرية تعمل على تطوير أساليب رياضية للتقييم الكمي لعمليات الانتظار على أساس نظرية الاحتمالات. وبالتالي، يمكن تمثيل أي من الأقسام الهيكلية للمؤسسة الصناعية ككائن لنظام الخدمة.

السمة المشتركة لجميع المشاكل المرتبطة بالطوابير هي الطبيعة العشوائية للظواهر قيد الدراسة. إن عدد طلبات الخدمة والفواصل الزمنية بين وصولها عشوائي ولا يمكن التنبؤ به بشكل لا لبس فيه. ومع ذلك، في مجملها، تخضع العديد من هذه المتطلبات لقوانين إحصائية معينة، والتي تخضع دراستها الكمية لنظرية الانتظار.

ويجري تطوير أساليب علم التحكم الآلي الاقتصادي علم التحكم الآلي الاقتصادينظام علمي يحلل الظواهر والعمليات الاقتصادية باعتبارها أنظمة معقدة للغاية، من وجهة نظر القوانين وآليات إدارة وتدفق المعلومات فيها. من بين أساليب علم التحكم الآلي الاقتصادي، الأكثر استخدامًا على نطاق واسع في التحليل الاقتصادي هي

31 طريقة النمذجة وتحليل النظام.

في السنوات الأخيرة، زاد الاهتمام في الاقتصاد بأساليب البحث التجريبي عن الظروف المثلى لعملية ما، وذلك باستخدام الخبرة البشرية والحدس. وينعكس هذا في التطبيق الأساليب الإرشادية (القرارات) ،وهي طرق غير رسمية لحل المشكلات الاقتصادية المتعلقة بالوضع الاقتصادي الحالي، بناءً على الحدس والخبرة السابقة وتقييمات الخبراء للمتخصصين وما إلى ذلك.

بالنسبة لتحليل الأنشطة الإنتاجية والاقتصادية والتجارية، فإن العديد من الأساليب الواردة في الرسم البياني التقريبي المحدد لم تجد تطبيقًا عمليًا ويتم تطويرها فقط في نظرية التحليل الاقتصادي. وفي الوقت نفسه، لا يعكس هذا المخطط بعض الأساليب الاقتصادية والرياضية المذكورة في الأدبيات المتخصصة في التحليل الاقتصادي: نظرية المجموعات الغامضة، نظرية الكوارثإلخ. في هذا الكتاب المدرسي، يركز الاهتمام على الأساليب الاقتصادية والرياضية الأساسية التي تم استخدامها بالفعل على نطاق واسع في ممارسة التحليل الاقتصادي.

يعتمد تطبيق أسلوب رياضي معين في التحليل الاقتصادي على منهجية النمذجة الاقتصادية والرياضية للعمليات الاقتصاديةومرتكزة على أسس علمية تصنيف طرق ومهام التحليل.

وفقًا لمعيار تصنيف المثالية، يتم تقسيم جميع الأساليب (المشكلات) الاقتصادية والرياضية إلى مجموعتين: التحسين وعدم التحسين. طرق التحسين- مجموعة من أساليب التحليل الاقتصادية والرياضية التي تتيح البحث عن حل لمشكلة وفقًا لمعيار معين من الأمثلية. أساليب عدم التحسين- مجموعة من طرق التحليل الاقتصادية والرياضية المستخدمة لحل المشكلات دون معيار الأمثلية.

وعلى أساس الحصول على حل دقيق، يتم تقسيم جميع الطرق الاقتصادية والرياضية إلى دقيقة وتقريبية. ل طرق دقيقةتشمل مجموعة من الأساليب الاقتصادية والرياضية، التي تسمح خوارزميتها بالحصول على حل واحد فقط بناءً على معيار أمثل معين أو بدونه. ل طرق تقريبيةتشمل مجموعة من الأساليب الاقتصادية والرياضية المستخدمة في حالة استخدام المعلومات العشوائية عند البحث عن حل ويمكن الحصول على حل المشكلة بأي درجة من الدقة، وكذلك تلك التي لا يضمن استخدامها الحصول على حل فريد وفقًا لمعيار أمثل معين أو بدونه.

وبالتالي، بناءً على استخدام معيارين تصنيفيين فقط، يتم تقسيم جميع الأساليب الاقتصادية والرياضية إلى أربع مجموعات:

1) طرق التحسين الدقيقة؛

2) الطرق التقريبية للتحسين؛

3) الأساليب الدقيقة غير الأمثل؛

4) عدم التحسين بالطرق التقريبية.

لذلك، ل طرق التحسين الدقيقةوتشمل هذه أساليب نظرية العمليات المثلى، وبعض أساليب البرمجة الرياضية وطرق بحوث العمليات. ل طرق التحسين التقريبيةتشمل: الأساليب الفردية للبرمجة الرياضية؛ طرق بحوث العمليات، وأساليب علم التحكم الآلي الاقتصادي؛ طرق النظرية الرياضية لتخطيط التجارب المتطرفة؛ أساليب ارشادية. ل الأساليب الدقيقة غير الأمثلتشمل: طرق الرياضيات الأولية والأساليب الكلاسيكية للتحليل الرياضي وطرق الاقتصاد القياسي. ل طرق تقريبية غير الأمثلوتشمل: طريقة الاختبار الإحصائي وغيرها من طرق الإحصاء الرياضي.

من بين المجموعات الموسعة من الأساليب الاقتصادية والرياضية التي قدمناها، يتم استخدام بعض الأساليب من هذه المجموعات لحل المشكلات المختلفة - سواء التحسين أو عدم التحسين؛ دقيقة وتقريبية على حد سواء.

2 . طرق البرمجة الخطية. تتميز جميع المشكلات الاقتصادية التي يتم حلها باستخدام طرق البرمجة الخطية بحلول بديلة وشروط محددة معينة. حل مثل هذه المشكلة يعني اختيار الأفضل والأمثل من بين عدد كبير من جميع الخيارات الممكنة. ومن هنا أهمية وقيمة استخدام أساليب البرمجة الخطية في الاقتصاد. يكاد يكون من المستحيل حل مثل هذه المشاكل باستخدام طرق أخرى.

تعتمد البرمجة الخطية على حل نظام المعادلات الخطية (مع التحويل إلى معادلات ومتباينات)، عندما تكون العلاقة بين الظواهر قيد الدراسة وظيفية بحتة. ويتميز بـ: التعبير الرياضي للمتغيرات، ترتيب معين، تسلسل العمليات الحسابية (الخوارزمية)، التحليل المنطقي. لا يمكن استخدامه إلا في الحالات التي يكون فيها للمتغيرات والعوامل التي تتم دراستها يقين رياضي وقيود كمية، عندما تحدث قابلية تبادل العوامل، نتيجة لتسلسل معروف من الحسابات، عندما يتم دمج المنطق في الحسابات والمنطق الرياضي مع الفهم المنطقي لجوهر الظاهرة قيد الدراسة.

باستخدام أساليب البرمجة الخطية في الإنتاج الصناعي، على سبيل المثال، يتم حساب الإنتاجية الإجمالية المثلى للآلات والوحدات وخطوط الإنتاج (مع مجموعة معينة من المنتجات والقيم المحددة الأخرى)، ويتم حل مشكلة القطع الرشيد للمواد (مع الأمثل العائد من قطع العمل). في الزراعة، يتم استخدامها لتحديد الحد الأدنى لتكلفة حصص العلف لكمية معينة من العلف (حسب النوع والمواد المغذية الموجودة فيها). يمكن أيضًا أن تجد مشكلة الخليط تطبيقًا في إنتاج المسبك (تكوين الشحنة المعدنية). هذه الأساليب نفسها تحل مشكلة النقل، مشكلة الارتباط العقلاني بين المؤسسات الاستهلاكية والمؤسسات المنتجة.

3. طرق البرمجة الديناميكية. تُستخدم أساليب البرمجة الديناميكية لحل مشكلات التحسين التي تتميز فيها الوظيفة و/أو القيود الموضوعية بالتبعيات غير الخطية.

ومن علامات اللاخطية، على وجه الخصوص، وجود متغيرات يختلف أسها عن الوحدة، وكذلك وجود متغير في الأس، تحت الجذر، تحت إشارة اللوغاريتم.

في الاقتصاد بشكل عام وفي اقتصاديات المؤسسات بشكل خاص، هناك العديد من الأمثلة على التبعيات غير الخطية. وبالتالي، فإن الكفاءة الاقتصادية للإنتاج تزيد أو تنقص بشكل غير متناسب مع التغيرات في حجم الإنتاج؛ وتزداد تكلفة إنتاج دفعة من الأجزاء مع زيادة حجم الدفعة، ولكن ليس بما يتناسب معها. تتميز العلاقة غير الخطية بالتغيرات في مقدار تآكل معدات الإنتاج اعتمادًا على وقت تشغيلها واستهلاك البنزين المحدد (لكل كيلومتر واحد من السفر) - على سرعة حركة المركبات والعديد من المواقف الاقتصادية الأخرى.

النظرية والتحليلية، تستخدم لدراسة الخصائص وأنماط تطور العمليات الاقتصادية الأكثر عمومية، وتستخدم لحل مشاكل محددة.

2. حسب مستويات العمليات الاقتصادية محل الدراسة:

الإنتاج والتكنولوجية الاجتماعية والاقتصادية.

3. بطبيعة انعكاس علاقات السبب والنتيجة:

حتمية؛ غير حتمية (احتمالية، عشوائية)، مع مراعاة عامل عدم اليقين.

4. حسب طريقة انعكاس عامل الزمن:

ثابت. هنا، ترتبط جميع التبعيات بلحظة أو فترة زمنية واحدة)؛ وهي ديناميكية تميز التغييرات في العمليات بمرور الوقت.

5. حسب شكل التبعيات الرياضية:

خطي. الأكثر ملاءمة للتحليل والحسابات، ونتيجة لذلك أصبحت غير خطية على نطاق واسع.

6. حسب درجة التفصيل (درجة خشونة الهيكل):

مجمعة ("النماذج الكبيرة")؛ مفصلة ("النماذج المصغرة").

لفهم بنية دورتنا التدريبية، يعد الرسم البياني المعروض في الشكل 1.3 مهمًا. يوضح الجانب الأيمن من الشكل الفئات الرئيسية للأساليب الاقتصادية والرياضية (التصنيف حسب الجهاز الرياضي المستخدم)، ويوضح الجانب الأيسر أهم مجالات تطبيق الأساليب.

يجب أن نتذكر أيضًا أنه يمكن استخدام كل طريقة من الطرق لحل مشكلات محددة. وعلى العكس من ذلك، يمكن حل نفس المشكلة بطرق مختلفة.

}