الطب التقليدي

وظيفة البحث العامة على الانترنت. دراسة الدالة باستخدام طرق حساب التفاضل والتكامل

إذا كانت المشكلة تتطلب دراسة كاملة للدالة f (x) = x 2 4 x 2 - 1 مع بناء الرسم البياني الخاص بها، فسننظر في هذا المبدأ بالتفصيل.

لحل مسألة من هذا النوع، يجب عليك استخدام الخصائص والرسوم البيانية للوظائف الأولية الأساسية. تتضمن خوارزمية البحث الخطوات التالية:

Yandex.RTB RA-A-339285-1

العثور على مجال التعريف

وبما أن البحث يتم في مجال تعريف الوظيفة، فمن الضروري البدء بهذه الخطوة.

مثال 1

يتضمن المثال الموضح إيجاد أصفار المقام لاستبعادها من ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

ونتيجة لذلك، يمكنك الحصول على الجذور واللوغاريتمات وما إلى ذلك. ثم يمكن البحث في ODZ عن جذر درجة زوجية من النوع g (x) 4 بواسطة عدم المساواة g (x) ≥ 0، لسجل اللوغاريتم a g (x) بواسطة عدم المساواة g (x) > 0.

دراسة حدود ODZ وإيجاد الخطوط المقاربة الرأسية

توجد خطوط مقاربة رأسية عند حدود الدالة، عندما تكون الحدود أحادية الجانب عند هذه النقاط لا نهائية.

مثال 2

على سبيل المثال، اعتبر أن النقاط الحدودية تساوي x = ± 1 2.

ثم من الضروري دراسة الدالة للعثور على النهاية من جانب واحد. ثم نحصل على ما يلي: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = الحد x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ الحد x → 1 2 - 0 f (x) = الحد x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = الحد x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

يوضح هذا أن الحدود أحادية الجانب لا نهائية، مما يعني أن الخطوط المستقيمة x = ± 1 2 هي الخطوط المقاربة الرأسية للرسم البياني.

دراسة الدالة وهل هي زوجية أم فردية

عندما يتم استيفاء الشرط y (- x) = y (x)، تعتبر الدالة زوجية. يشير هذا إلى أن الرسم البياني يقع بشكل متماثل بالنسبة لـ Oy. عندما يتم استيفاء الشرط y (- x) = - y (x)، تعتبر الدالة فردية. وهذا يعني أن التماثل يتعلق بأصل الإحداثيات. إذا لم يتم تحقيق متباينة واحدة على الأقل، نحصل على دالة ذات صورة عامة.

تشير المساواة y (- x) = y (x) إلى أن الدالة زوجية. عند البناء، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار أنه سيكون هناك تناظر فيما يتعلق بـ Oy.

لحل المتراجحة، يتم استخدام فترات التزايد والتناقص مع الشروط f " (x) ≥ 0 و f " (x) ≥ 0، على التوالي.

التعريف 1

نقاط ثابتة- هذه هي النقاط التي تحول المشتقة إلى الصفر.

النقاط الحرجة- هذه نقاط داخلية من مجال التعريف حيث مشتقة الدالة تساوي صفراً أو غير موجودة.

وعند اتخاذ القرار يجب مراعاة الملاحظات التالية:

بالنسبة للفواصل الزمنية الحالية لزيادة وتناقص عدم المساواة بالشكل f " (x) > 0، لا يتم تضمين النقاط الحرجة في الحل؛
يجب تضمين النقاط التي يتم تعريف الدالة عندها بدون مشتق محدود في فترات الزيادة والتناقص (على سبيل المثال، y = x 3، حيث النقطة x = 0 تجعل الدالة محددة، ويكون للمشتق قيمة اللانهاية عند هذا النقطة، y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 متضمنة في الفترة المتزايدة);
لتجنب الخلافات، يوصى باستخدام الأدبيات الرياضية الموصى بها من قبل وزارة التعليم.

إدراج النقاط الحرجة في فترات التزايد والتناقص إذا كانت تلبي مجال تعريف الدالة.

التعريف 2

ل تحديد فترات الزيادة والنقصان من وظيفة، فمن الضروري العثور عليها:

المشتق؛
النقاط الحرجة
تقسيم مجال التعريف إلى فترات باستخدام النقاط الحرجة؛
حدد إشارة المشتقة في كل فترة حيث + زيادة و - تناقص.

مثال 3

أوجد المشتقة في مجال التعريف f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

حل

لحل تحتاج:

ابحث عن نقاط ثابتة، هذا المثال لديه x = 0؛
أوجد أصفار المقام، يأخذ المثال القيمة صفر عند x = ± 1 2.

نضع نقاطًا على محور الأعداد لتحديد المشتقة في كل فترة. للقيام بذلك، يكفي أن تأخذ أي نقطة من الفاصل الزمني وإجراء عملية حسابية. إذا كانت النتيجة إيجابية، فإننا نرسم + على الرسم البياني، مما يعني أن الدالة تتزايد، و - تعني أنها تتناقص.

على سبيل المثال، f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0، مما يعني أن الفترة الأولى على اليسار بها علامة +. فكر في ذلك على خط الأعداد.

إجابة:

تزيد الدالة على الفاصل الزمني - ∞؛ - 1 2 و (- 1 2 ; 0 ] ;
هناك انخفاض في الفاصل الزمني [ 0 ; 1 2) و 1 2 ; + ∞ .

في الرسم التخطيطي، باستخدام + و-، يتم توضيح إيجابية وسلبية الوظيفة، وتشير الأسهم إلى النقصان والزيادة.

النقاط القصوى للدالة هي النقاط التي يتم فيها تعريف الدالة والتي من خلالها يتم تسجيل التغييرات المشتقة.

مثال 4

إذا أخذنا مثالاً حيث x = 0، فإن قيمة الدالة فيه تساوي f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. عندما تتغير إشارة المشتق من + إلى - ويمر بالنقطة x = 0، فإن النقطة ذات الإحداثيات (0؛ 0) تعتبر النقطة القصوى. عندما تتغير الإشارة من - إلى +، نحصل على نقطة الحد الأدنى.

يتم تحديد التحدب والتقعر عن طريق حل المتباينات بالشكل f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≥ 0. والأقل استخدامًا هو اسم التحدب للأسفل بدلًا من التقعر، والتحدب للأعلى بدلًا من التحدب.

التعريف 3

ل تحديد فترات التقعر والتحدبضروري:

أوجد المشتقة الثانية؛
أوجد أصفار الدالة المشتقة الثانية؛
تقسيم منطقة التعريف إلى فترات مع النقاط التي تظهر؛
تحديد علامة الفاصل الزمني.

مثال 5

أوجد المشتقة الثانية من مجال التعريف.

حل

و "" (x) = - 2 × (4 × 2 - 1) 2 " = = (- 2 ×) " (4 × 2 - 1) 2 - - 2 × 4 × 2 - 1 2 " (4 × 2) - 1) 4 = 24 × 2 + 2 (4 × 2 - 1) 3

نجد أصفار البسط والمقام، حيث لدينا في مثالنا أن أصفار المقام x = ± 1 2

أنت الآن بحاجة إلى رسم النقاط على خط الأعداد وتحديد إشارة المشتقة الثانية من كل فترة. لقد حصلنا على ذلك

إجابة:

الدالة محدبة من الفاصل - 1 2 ; 1 2 ;
الدالة مقعرة من الفترات - ∞ ; - 1 2 و 1 2؛ + ∞ .

التعريف 4

نقطة انعطاف– هذه نقطة من النموذج x 0 ; و (× 0) . عندما يكون لها مماس للرسم البياني للدالة، فعندما تمر عبر x 0 تتغير إشارة الدالة إلى الاتجاه المعاكس.

بمعنى آخر، هذه نقطة يمر من خلالها المشتق الثاني وتغير الإشارة، وعند النقاط نفسها تساوي صفرًا أو غير موجودة. تعتبر جميع النقاط هي مجال الوظيفة.

في المثال، كان من الواضح أنه لا توجد نقاط انعطاف، حيث أن المشتقة الثانية تتغير أثناء مرورها بالنقاط x = ± 1 2. وهم، بدورهم، لا يدخلون في نطاق التعريف.

إيجاد الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة

عند تحديد دالة عند اللانهاية، عليك البحث عن الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة.

التعريف 5

الخطوط المقاربة المائلةتم تصويرها باستخدام الخطوط المستقيمة المعطاة بالمعادلة y = k x + b، حيث k = lim x → ∞ f (x) x و b = lim x → ∞ f (x) - k x.

بالنسبة لـ k = 0 و b لا تساوي ما لا نهاية، نجد أن الخط المقارب المائل يصبح أفقي.

بمعنى آخر، تعتبر الخطوط المقاربة خطوطًا يقترب منها الرسم البياني للدالة عند اللانهاية. وهذا يسهل البناء السريع للرسم البياني للوظيفة.

إذا لم تكن هناك خطوط مقاربة، ولكن تم تعريف الدالة عند كلا اللانهاية، فمن الضروري حساب حد الدالة عند هذه اللانهاية لفهم كيفية تصرف الرسم البياني للدالة.

مثال 6

دعونا نعتبر كمثال على ذلك

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 4 1 ⇒ ص = 4 1

هو الخط المقارب الأفقي. بعد فحص الوظيفة، يمكنك البدء في إنشائها.

حساب قيمة الدالة عند النقاط المتوسطة

لجعل الرسم البياني أكثر دقة، يوصى بالعثور على عدة قيم وظيفية عند نقاط متوسطة.

مثال 7

من المثال الذي تناولناه، من الضروري إيجاد قيم الدالة عند النقاط x = - 2، x = - 1، x = - 3 4، x = - 1 4. وبما أن الدالة زوجية، فإننا نحصل على أن القيم تتوافق مع القيم عند هذه النقاط، أي نحصل على x = 2، x = 1، x = 3 4، x = 1 4.

لنكتب ونحل:

و (- 2) = و (2) = 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 و (- 1) - و (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 و - 3 4 = و 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 و - 1 4 = و 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

لتحديد الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة، ونقاط الانعطاف، والنقاط المتوسطة، من الضروري إنشاء الخطوط المقاربة. للتعيين المناسب، يتم تسجيل فترات الزيادة والنقصان والتحدب والتقعر. دعونا ننظر إلى الصورة أدناه.

من الضروري رسم خطوط بيانية من خلال النقاط المحددة، مما سيسمح لك بالاقتراب من الخطوط المقاربة باتباع الأسهم.

وبهذا ينتهي الاستكشاف الكامل للوظيفة. هناك حالات لبناء بعض الوظائف الأولية التي تستخدم فيها التحويلات الهندسية.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد هوية شخص معين أو الاتصال به.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

عند تقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوان بريدك الإلكتروني وما إلى ذلك.

كيف نستخدم معلوماتك الشخصية:

تتيح لنا المعلومات الشخصية التي نجمعها الاتصال بك بشأن العروض الفريدة والعروض الترويجية وغيرها من الأحداث والأحداث القادمة.
من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
إذا شاركت في سحب على جوائز أو مسابقة أو عروض ترويجية مماثلة، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

إذا لزم الأمر - وفقًا للقانون، والإجراءات القضائية، وفي الإجراءات القانونية و/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات المقدمة من السلطات الحكومية في أراضي الاتحاد الروسي - للكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الخلف المعني.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.

تتم دراسة الدالة وفق مخطط واضح وتتطلب أن يكون لدى الطالب معرفة قوية بالمفاهيم الرياضية الأساسية مثل مجال التعريف والقيم، واستمرارية الدالة، والخط المقارب، والنقاط القصوى، والتكافؤ، والدورة، وما إلى ذلك . يجب أن يكون الطالب قادرًا على التمييز بين الوظائف بحرية وحل المعادلات التي قد تكون معقدة للغاية في بعض الأحيان.

أي أن هذه المهمة تختبر طبقة كبيرة من المعرفة، وأي فجوة فيها ستصبح عائقًا أمام الحصول على الحل الصحيح. في كثير من الأحيان، تنشأ صعوبات في إنشاء الرسوم البيانية للوظائف. سيلاحظ المعلم هذا الخطأ على الفور ويمكن أن يلحق الضرر بدرجتك بشكل كبير، حتى لو تم تنفيذ كل شيء آخر بشكل صحيح. هنا يمكنك أن تجد مشاكل البحث عن وظيفة على الانترنت: أمثلة دراسية، تنزيل الحلول، طلب الواجبات.

استكشف دالة وارسم رسمًا بيانيًا: أمثلة وحلول عبر الإنترنت

لقد أعددنا لك الكثير من الدراسات الوظيفية الجاهزة، سواء المدفوعة في كتاب الحلول أو المجانية في قسم أمثلة الدراسات الوظيفية. بناءً على هذه المهام التي تم حلها، ستتمكن من التعرف بالتفصيل على منهجية أداء مهام مماثلة وإجراء بحثك عن طريق القياس.

نحن نقدم أمثلة جاهزة للبحث الكامل وتخطيط الدوال من الأنواع الأكثر شيوعًا: متعددو الحدود، والكسر العقلاني، وغير العقلاني، والأسي، واللوغاريتمي، والدوال المثلثية. تكون كل مشكلة تم حلها مصحوبة برسم بياني جاهز مع النقاط الرئيسية المميزة والخطوط المقاربة والحد الأقصى والحد الأدنى، ويتم تنفيذ الحل باستخدام خوارزمية لدراسة الوظيفة.

على أية حال، فإن الأمثلة التي تم حلها ستكون ذات فائدة كبيرة لك لأنها تغطي أنواع الوظائف الأكثر شيوعًا. نحن نقدم لك المئات من المشكلات التي تم حلها بالفعل، ولكن، كما تعلم، هناك عدد لا حصر له من الوظائف الرياضية في العالم، والمعلمون خبراء رائعون في اختراع المزيد والمزيد من المهام الصعبة للطلاب الفقراء. لذا أيها الطلاب الأعزاء، المساعدة المؤهلة لن تؤذيكم.

حل مشاكل البحث عن وظيفة مخصصة

في هذه الحالة، سيقدم لك شركاؤنا خدمة أخرى - البحث عن وظيفة كاملة على الانترنتللطلب. سيتم إكمال المهمة لك وفقًا لجميع متطلبات الخوارزمية لحل مثل هذه المشكلات، الأمر الذي سيسعد معلمك كثيرًا.

سنجري لك دراسة كاملة للدالة: سنجد مجال التعريف ومجال القيم، ونفحص الاستمرارية والانقطاع، ونحقق التكافؤ، ونتحقق من دورية وظيفتك، ونجد نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات . وبالطبع، نستخدم حساب التفاضل والتكامل: سنجد الخطوط المقاربة، ونحسب النقاط القصوى، ونقاط الانعطاف، ونبني الرسم البياني نفسه.

لدراسة الدالة بشكل كامل ورسم الرسم البياني الخاص بها، يوصى باستخدام المخطط التالي:

1) العثور على مجال تعريف الوظيفة؛

2) العثور على نقاط انقطاع الدالة والخطوط المقاربة الرأسية (إن وجدت)؛

3) التحقق من سلوك الدالة عند اللانهاية، والعثور على الخطوط المقاربة الأفقية والمائلة؛

4) فحص الدالة من حيث التكافؤ (الغرابة) والدورية (للدوال المثلثية)؛

5) العثور على الحدود القصوى وفترات رتابة الوظيفة؛

6) تحديد فترات التحدب ونقاط انعطاف؛

7) ابحث عن نقاط التقاطع مع محاور الإحداثيات، وإذا أمكن بعض النقاط الإضافية التي توضح الرسم البياني.

يتم إجراء دراسة الوظيفة في وقت واحد مع بناء الرسم البياني الخاص بها.

مثال 9استكشف الوظيفة وأنشئ رسمًا بيانيًا.

1. نطاق التعريف: ;

2. تعاني الوظيفة من انقطاع عند النقاط
,
;

نحن نفحص وظيفة وجود الخطوط المقاربة الرأسية.

;
,
─ الخط المقارب العمودي.

3. نفحص الدالة لوجود الخطوط المقاربة المائلة والأفقية.

مستقيم
─ الخط المقارب المائل، إذا
,
.

,
.

مستقيم
─ الخط المقارب الأفقي.

4. الوظيفة متساوية لأن
.

يشير تكافؤ الدالة إلى تماثل الرسم البياني بالنسبة إلى المحور الإحداثي.

5. أوجد فترات الرتابة والنقاط القصوى للدالة.
;
دعونا نجد النقاط الحرجة، أي. النقاط التي يكون فيها المشتق 0 أو غير موجود:
;

. لدينا ثلاث نقاط . تقسم هذه النقاط المحور الحقيقي بأكمله إلى أربع فترات. دعونا نحدد العلامات

على كل واحد منهم.
على الفترات (-∞; -1) و (-1; 0) تزيد الدالة، على الفترات (0; 1) و (1; +∞) ─ تتناقص. عند المرور عبر نقطة ما
.

تشير تغييرات المشتقة من موجب إلى ناقص، وبالتالي، عند هذه النقطة، يكون للدالة قيمة عظمى

6. أوجد فترات التحدب ونقاط الانقلاب. دعونا نجد النقاط التي

هو 0، أو غير موجود.
,
,

ليس له جذور حقيقية.
نقاط
و قسّم المحور الحقيقي إلى ثلاث فترات. دعونا نحدد العلامة

في كل فاصل.
وهكذا، المنحنى على فترات
و
نقاط
محدبة للأسفل، على الفاصل الزمني (-1؛1) محدبة للأعلى؛ لا توجد نقاط انعطاف، لأن الدالة موجودة في نقاط

غير محدد.

7. أوجد نقاط التقاطع مع المحاور.
مع المحور
الرسم البياني لا يتقاطع، لأن بسط هذه الدالة ليس له جذور حقيقية.

يظهر الرسم البياني للوظيفة المحددة في الشكل 1.

الشكل 1 ─ الرسم البياني للوظيفة

تطبيق مفهوم المشتقات في الاقتصاد. وظيفة المرونة

لدراسة العمليات الاقتصادية وحل المشكلات التطبيقية الأخرى، غالبا ما يستخدم مفهوم مرونة الوظيفة.

تعريف.وظيفة المرونة
يسمى حد نسبة الزيادة النسبية للدالة إلى الزيادة النسبية للمتغير في
، . (السابع)

تُظهر مرونة الدالة تقريبًا النسبة المئوية التي ستتغير بها الدالة
عندما يتغير المتغير المستقل بنسبة 1%.

يتم استخدام دالة المرونة في تحليل الطلب والاستهلاك. إذا كانت مرونة الطلب (بالقيمة المطلقة)
، فإن الطلب يعتبر مرنًا إذا
- محايد إذا
─ غير مرن بالنسبة للسعر (أو الدخل).

مثال 10احسب مرونة الوظيفة
وأوجد قيمة مؤشر المرونة لـ = 3.

الحل: حسب الصيغة (VII) فإن مرونة الدالة هي:

دع x = 3 إذن
وهذا يعني أنه إذا زاد المتغير المستقل بنسبة 1% فإن قيمة المتغير التابع سترتفع بنسبة 1.42%.

مثال 11دع وظيفة الطلب فيما يتعلق بالسعر يبدو
، أين ─ معامل ثابت. أوجد قيمة مؤشر المرونة لدالة الطلب عند السعر x = 3 den. وحدات

الحل: حساب مرونة دالة الطلب باستخدام الصيغة (VII)

الاعتقاد
الوحدات النقدية، نحصل عليها
. وهذا يعني أنه بسعر
الوحدات النقدية زيادة السعر بنسبة 1% ستؤدي إلى انخفاض الطلب بنسبة 6%، أي. الطلب مرن.

ندعوك اليوم لاستكشاف وبناء رسم بياني للدالة معنا. بعد دراسة هذه المقالة بعناية، لن تضطر إلى التعرق لفترة طويلة لإكمال هذا النوع من المهام. ليس من السهل دراسة وإنشاء رسم بياني للدالة؛ فهو عمل ضخم يتطلب أقصى قدر من الاهتمام والدقة في الحسابات. ولتسهيل فهم المادة، سندرس نفس الوظيفة خطوة بخطوة ونشرح جميع أفعالنا وحساباتنا. مرحبًا بكم في عالم الرياضيات المذهل والرائع! دعنا نذهب!

مجال التعريف

من أجل استكشاف دالة ورسمها بيانيًا، تحتاج إلى معرفة عدة تعريفات. الوظيفة هي أحد المفاهيم الرئيسية (الأساسية) في الرياضيات. وهو يعكس الاعتماد بين عدة متغيرات (اثنان أو ثلاثة أو أكثر) أثناء التغييرات. تُظهر الوظيفة أيضًا اعتماد المجموعات.

تخيل أن لدينا متغيرين لهما نطاق معين من التغيير. إذن، y هي دالة للمتغير x، بشرط أن تتوافق كل قيمة للمتغير الثاني مع قيمة واحدة للمتغير الثاني. في هذه الحالة، المتغير y تابع، ويسمى دالة. من المعتاد أن نقول أن المتغيرين x و y موجودان لمزيد من الوضوح لهذا الاعتماد، تم بناء رسم بياني للدالة. ما هو الرسم البياني للوظيفة؟ هذه مجموعة من النقاط على المستوى الإحداثي، حيث تتوافق كل قيمة x مع قيمة y واحدة. يمكن أن تكون الرسوم البيانية مختلفة - الخط المستقيم، القطع الزائد، القطع المكافئ، الموجة الجيبية، وما إلى ذلك.

من المستحيل رسم وظيفة بدون بحث. اليوم سوف نتعلم كيفية إجراء البحث وبناء رسم بياني للدالة. من المهم جدًا تدوين الملاحظات أثناء الدراسة. هذا سيجعل المهمة أسهل بكثير في التعامل معها. الخطة البحثية الأكثر ملاءمة:

نطاق التعريف.
الاستمرارية.
حتى أو غريب.
الدورية.
الخطوط المقاربة.
أصفار.
ثبات الإشارة.
زيادة ونقصان.
النهايات.
التحدب والتقعر.

لنبدأ بالنقطة الأولى. لنجد مجال التعريف، أي الفترات التي توجد فيها وظيفتنا: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). في حالتنا، الدالة موجودة لأي قيم x، أي أن مجال التعريف يساوي R. ويمكن كتابة ذلك على النحو التالي xÎR.

الاستمرارية

الآن سوف نستكشف وظيفة الانقطاع. وفي الرياضيات ظهر مصطلح "الاستمرارية" نتيجة لدراسة قوانين الحركة. ما هو لانهائي؟ المكان والزمان وبعض التبعيات (مثال على ذلك اعتماد المتغيرات S وt في مسائل الحركة)، ودرجة حرارة جسم ساخن (ماء، مقلاة، مقياس حرارة، إلخ)، خط مستمر (أي خط يمكن رسمها دون رفعها عن الورقة بقلم الرصاص).

يعتبر الرسم البياني مستمرًا إذا لم ينكسر في مرحلة ما. أحد الأمثلة الأكثر وضوحًا لمثل هذا الرسم البياني هو الشكل الجيبي، والذي يمكنك رؤيته في الصورة في هذا القسم. تكون الدالة مستمرة عند نقطة ما x0 إذا تم استيفاء عدد من الشروط:

يتم تعريف الدالة عند نقطة معينة؛
الحدان الأيمن والأيسر عند نقطة ما متساويان؛
النهاية تساوي قيمة الدالة عند النقطة x0.

إذا لم يتم استيفاء شرط واحد على الأقل، يُقال أن الوظيفة قد فشلت. والنقاط التي تنقطع عندها الدالة تسمى عادةً نقاط التوقف. مثال على دالة "ستنكسر" عند عرضها بيانياً: y=(x+4)/(x-3). علاوة على ذلك، y غير موجود عند النقطة x = 3 (نظرًا لأنه من المستحيل القسمة على صفر).

في الوظيفة التي ندرسها (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) تبين أن كل شيء بسيط، لأن الرسم البياني سيكون مستمرًا.

حتى، غريب

الآن افحص وظيفة التكافؤ. أولا، القليل من النظرية. الدالة الزوجية هي التي تحقق الشرط f(-x)=f(x) لأي قيمة للمتغير x (من نطاق القيم). تشمل الأمثلة ما يلي:

الوحدة x (الرسم البياني يشبه داو، منصف الربعين الأول والثاني من الرسم البياني)؛
x تربيعية (القطع المكافئ)؛
جيب التمام س (جيب التمام).

لاحظ أن كل هذه الرسوم البيانية تكون متناظرة عند عرضها بالنسبة إلى المحور الصادي (أي المحور الصادي).

إذن ما الذي يسمى وظيفة غريبة؟ هذه هي الدوال التي تحقق الشرط: f(-x)=-f(x) لأي قيمة للمتغير x. أمثلة:

القطع الزائد؛
القطع المكافئ المكعب؛
الجيوب الأنفية.
الظل وما إلى ذلك.

يرجى ملاحظة أن هذه الوظائف متناظرة حول النقطة (0:0)، أي نقطة الأصل. بناءً على ما قيل في هذا القسم من المقالة، فإن الدالة الزوجية والفردية يجب أن تمتلك الخاصية: x تنتمي إلى مجموعة التعريف و-x أيضًا.

دعونا نفحص وظيفة التكافؤ. يمكننا أن نرى أنها لا تناسب أيًا من الأوصاف. ومن ثم، فإن الدالة ليست زوجية ولا فردية.

الخطوط المقاربة

لنبدأ بالتعريف. الخط المقارب هو منحنى أقرب ما يكون إلى الرسم البياني، أي أن المسافة من نقطة معينة تميل إلى الصفر. في المجموع، هناك ثلاثة أنواع من الخطوط المقاربة:

عمودي، أي موازي للمحور y؛
أفقي، أي موازي للمحور x؛
يميل.

أما النوع الأول فيجب البحث عن هذه الأسطر في بعض النقاط:

فجوة؛
نهايات مجال التعريف.

في حالتنا، الدالة مستمرة، ومجال التعريف يساوي R. لذلك، لا توجد خطوط مقاربة رأسية.

يحتوي الرسم البياني للدالة على خط تقارب أفقي، يلبي المتطلبات التالية: إذا كانت x تميل إلى ما لا نهاية أو ناقص ما لا نهاية، وكان الحد يساوي رقمًا معينًا (على سبيل المثال، أ). في هذه الحالة، y=a هو الخط المقارب الأفقي. لا توجد خطوط تقارب أفقية في الدالة التي ندرسها.

يوجد الخط المقارب المائل فقط في حالة استيفاء شرطين:

ليم(f(x))/x=k;
ليم f(x)-kx=b.

ومن ثم يمكن العثور عليه باستخدام الصيغة: y=kx+b. مرة أخرى، في حالتنا لا توجد خطوط تقارب مائلة.

وظيفة الأصفار

والخطوة التالية هي فحص الرسم البياني للدالة للأصفار. من المهم أيضًا ملاحظة أن المهمة المرتبطة بإيجاد أصفار دالة لا تحدث فقط عند دراسة وإنشاء رسم بياني للدالة، ولكن أيضًا كمهمة مستقلة وكوسيلة لحل عدم المساواة. قد يُطلب منك العثور على أصفار دالة على رسم بياني أو استخدام الرموز الرياضية.

سيساعدك العثور على هذه القيم في رسم الدالة بشكل أكثر دقة. بعبارات بسيطة، صفر الدالة هو قيمة المتغير x الذي عنده y = 0. إذا كنت تبحث عن أصفار دالة على الرسم البياني، فيجب عليك الانتباه إلى النقاط التي يتقاطع عندها الرسم البياني مع المحور السيني.

للعثور على أصفار الدالة، عليك حل المعادلة التالية: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. وبعد إجراء الحسابات اللازمة نحصل على الإجابة التالية:

ثبات الإشارة

المرحلة التالية من البحث وبناء الدالة (الرسم البياني) هي إيجاد فترات ذات إشارة ثابتة. هذا يعني أنه يجب علينا تحديد الفترات التي تأخذ فيها الدالة قيمة موجبة وفي الفترات التي تأخذ فيها الدالة قيمة سالبة. ستساعدنا الوظائف الصفرية الموجودة في القسم الأخير على القيام بذلك. لذلك، نحن بحاجة إلى بناء خط مستقيم (منفصل عن الرسم البياني) وتوزيع أصفار الدالة على طوله بالترتيب الصحيح من الأصغر إلى الأكبر. أنت الآن بحاجة إلى تحديد أي من الفواصل الزمنية الناتجة تحتوي على علامة "+" وأيها تحتوي على علامة "-".

في حالتنا، تأخذ الدالة قيمة موجبة على فترات:

من 1 إلى 4؛
من 9 إلى ما لا نهاية.

القيمة السلبية:

من ناقص اللانهاية إلى 1؛
من 4 إلى 9.

هذا من السهل تحديده. استبدل أي رقم من الفاصل الزمني في الدالة وانظر ما هي العلامة التي تبين أن الإجابة بها (ناقص أو زائد).

زيادة ونقصان وظيفة

من أجل استكشاف وإنشاء دالة، نحتاج إلى معرفة أين سيزداد الرسم البياني (يرتفع على طول محور Oy) وأين سينخفض (يزحف لأسفل على طول المحور y).

تزيد الدالة فقط إذا كانت القيمة الأكبر للمتغير x تقابل قيمة أكبر لـ y. أي أن x2 أكبر من x1، وf(x2) أكبر من f(x1). ونلاحظ ظاهرة معاكسة تمامًا مع دالة متناقصة (كلما زاد x، قل y). لتحديد فترات الزيادة والنقصان، عليك العثور على ما يلي:

مجال التعريف (لدينا بالفعل)؛
مشتق (في حالتنا: 1/3(3x^2-28x+49);
حل المعادلة 1/3(3x^2-28x+49)=0.

بعد الحسابات نحصل على النتيجة:

نحصل على: الدالة تزداد على الفترات من ناقص ما لا نهاية إلى 7/3 ومن 7 إلى ما لا نهاية، وتتناقص على الفترة من 7/3 إلى 7.

النهايات

الدالة قيد الدراسة y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) مستمرة وموجودة لأي قيمة للمتغير x. توضح النقطة القصوى الحد الأقصى والحد الأدنى لوظيفة معينة. في حالتنا لا يوجد أي شيء، مما يبسط مهمة البناء إلى حد كبير. وبخلاف ذلك، يمكن أيضًا العثور عليها باستخدام الدالة المشتقة. بمجرد العثور عليها، لا تنس وضع علامة عليها على الرسم البياني.

التحدب والتقعر

نواصل استكشاف الدالة y(x). الآن نحن بحاجة للتحقق من التحدب والتقعر. من الصعب جدًا فهم تعريفات هذه المفاهيم، ومن الأفضل تحليل كل شيء باستخدام الأمثلة. للاختبار: تكون الدالة محدبة إذا كانت دالة غير تناقصية. أوافق، هذا غير مفهوم!

علينا إيجاد مشتقة دالة من الدرجة الثانية. نحصل على: ص=1/3(6س-28). الآن دعونا نساوي الطرف الأيمن بالصفر ونحل المعادلة. الجواب: س = 14/3. لقد وجدنا نقطة الانقلاب، أي المكان الذي يتغير فيه الرسم البياني من التحدب إلى التقعر أو العكس. في الفترة من ناقص ما لا نهاية إلى 14/3 تكون الدالة محدبة، ومن 14/3 إلى زائد ما لا نهاية تكون مقعرة. من المهم أيضًا ملاحظة أن نقطة انعطاف الرسم البياني يجب أن تكون سلسة وناعمة، ويجب ألا تكون هناك زوايا حادة.

تحديد النقاط الإضافية

مهمتنا هي التحقيق وبناء رسم بياني للوظيفة. لقد أكملنا الدراسة، ولم يعد إنشاء رسم بياني للوظيفة أمرًا صعبًا. للحصول على نسخة أكثر دقة وتفصيلاً لمنحنى أو خط مستقيم على المستوى الإحداثي، يمكنك العثور على عدة نقاط مساعدة. من السهل جدًا حسابها. على سبيل المثال، نأخذ x=3 ونحل المعادلة الناتجة ونجد y=4. أو x=5، وy=-5 وهكذا. يمكنك أن تأخذ العديد من النقاط الإضافية التي تحتاجها للبناء. تم العثور على 3-5 منهم على الأقل.

رسم بياني

نحن بحاجة إلى التحقق من الدالة (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. تم إجراء جميع العلامات اللازمة أثناء العمليات الحسابية على المستوى الإحداثي. كل ما يتعين علينا القيام به هو إنشاء رسم بياني، أي ربط جميع النقاط. يجب أن يكون ربط النقاط سلسًا ودقيقًا، فهذه مسألة مهارة - القليل من الممارسة وسيكون جدولك الزمني مثاليًا.