حساب مشتقات الدوال المعقدة أمثلة. قواعد لحساب المشتقات
ونظرية مشتقة دالة مركبة وصياغتها كما يلي:
دع 1) الدالة $u=\varphi (x)$ تحتوي في مرحلة ما $x_0$ على المشتق $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) الدالة $y=f(u)$ يكون عند النقطة المقابلة $u_0=\varphi (x_0)$ المشتق $y_(u)"=f"(u)$. ثم الدالة المعقدة $y=f\left(\varphi (x) \right)$ عند النقطة المذكورة سيكون لها أيضًا مشتق يساوي حاصل ضرب مشتقات الدالتين $f(u)$ و $\varphi ( س)$:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
أو بتدوين أقصر: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
في الأمثلة الواردة في هذا القسم، جميع الدوال لها الشكل $y=f(x)$ (أي أننا نأخذ في الاعتبار دوال متغير واحد فقط $x$). وبناءً على ذلك، في جميع الأمثلة، يتم أخذ المشتق $y"$ بالنسبة للمتغير $x$. وللتأكيد على أن المشتق مأخوذ بالنسبة للمتغير $x$، غالبًا ما يتم كتابة $y"_x$ بدلاً من $y "$.
توضح الأمثلة رقم 1 ورقم 2 ورقم 3 العملية التفصيلية للعثور على مشتق الدوال المعقدة. المثال رقم 4 مخصص لفهم أكثر اكتمالاً للجدول المشتق ومن المنطقي أن تتعرف عليه.
يُنصح بعد دراسة المادة في الأمثلة رقم 1-3 بالانتقال إلى حل الأمثلة رقم 5 ورقم 6 ورقم 7 بشكل مستقل. تحتوي الأمثلة رقم 5 و6 و7 على حل قصير حتى يتمكن القارئ من التحقق من صحة نتيجته.
المثال رقم 1
أوجد مشتقة الدالة $y=e^(\cos x)$.
نحتاج إلى إيجاد مشتقة دالة معقدة $y"$. بما أن $y=e^(\cos x)$، ثم $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. أوجد المشتق $ \left(e^(\cos x)\right)"$ نستخدم الصيغة رقم 6 من جدول المشتقات. من أجل استخدام الصيغة رقم 6، علينا أن نأخذ في الاعتبار أنه في حالتنا $u=\cos x$. الحل الإضافي يتمثل ببساطة في استبدال التعبير $\cos x$ بدلاً من $u$ في الصيغة رقم 6:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
الآن نحن بحاجة إلى إيجاد قيمة التعبير $(\cos x)"$. نعود مرة أخرى إلى جدول المشتقات، ونختار الصيغة رقم 10 منه. وبالتعويض $u=x$ في الصيغة رقم 10، لدينا : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$.نواصل الآن المساواة (1.1)، ونكملها بالنتيجة التي تم العثور عليها:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$
بما أن $x"=1$، فإننا نواصل المساواة (1.2):
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
لذلك، من المساواة (1.3) لدينا: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. وبطبيعة الحال، عادة ما يتم تخطي التفسيرات والمساواة المتوسطة، وكتابة نتيجة المشتق في سطر واحد، كما في المساواة (1.3)، إذن تم العثور على مشتقة الدالة المعقدة، كل ما تبقى هو كتابة الإجابة.
إجابة: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
المثال رقم 2
أوجد مشتقة الدالة $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.
نحتاج إلى حساب المشتق $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. في البداية نلاحظ أن الثابت (أي الرقم 9) يمكن إخراجه من إشارة المشتقة:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$
الآن دعنا ننتقل إلى التعبير $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. لتسهيل تحديد الصيغة المطلوبة من جدول المشتقات، سأقدم التعبير المعنية بهذا النموذج: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. الآن أصبح من الواضح أنه من الضروري استخدام الصيغة رقم 2، أي. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. لنستبدل $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ و $\alpha=12$ في هذه الصيغة:
وبتكملة المساواة (2.1) بالنتيجة التي تم الحصول عليها، نحصل على:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$
في هذه الحالة، غالبًا ما يتم ارتكاب خطأ عندما يختار القائم بالحل في الخطوة الأولى الصيغة $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ بدلاً من الصيغة $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. النقطة المهمة هي أن مشتق الدالة الخارجية يجب أن يأتي أولاً. لفهم أي دالة ستكون خارجية للتعبير $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$، تخيل أنك تحسب قيمة التعبير $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ بقيمة معينة $x$. ستحسب أولاً قيمة $5^x$، ثم تضرب النتيجة في 4، لتحصل على $4\cdot 5^x$. الآن نأخذ ظل القوس من هذه النتيجة، ونحصل على $\arctg(4\cdot 5^x)$. ثم نرفع الرقم الناتج إلى القوة الثانية عشرة، فنحصل على $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. الإجراء الأخير، أي. الرفع للقوة 12 سيكون دالة خارجية. ومن هذا يجب أن نبدأ في إيجاد المشتق الذي تم بالمساواة (2.2).
نحتاج الآن إلى العثور على $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. نستخدم الصيغة رقم 19 من جدول المشتقات، مع استبدال $u=4\cdot \ln x$ فيها:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
دعونا نبسط التعبير الناتج قليلاً، مع الأخذ في الاعتبار $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
المساواة (2.2) ستصبح الآن:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \العلامة (2.3) $$
يبقى أن نجد $(4\cdot \ln x)"$. فلنأخذ الثابت (أي 4) من علامة المشتقة: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $.For لإيجاد $(\ln x)"$ نستخدم الصيغة رقم 8، مع استبدال $u=x$ فيها: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x. "$. بما أن $x"=1$، فإن $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $.بتعويض النتيجة التي تم الحصول عليها في الصيغة (2.3) نحصل على:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x) $
اسمحوا لي أن أذكرك أن مشتق دالة معقدة يوجد غالبًا في سطر واحد، كما هو مكتوب في المساواة الأخيرة. لذلك، عند إعداد الحسابات القياسية أو أعمال التحكم، ليس من الضروري على الإطلاق وصف الحل بهذه التفاصيل.
إجابة: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
المثال رقم 3
ابحث عن $y"$ للدالة $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.
أولاً، لنقم بتحويل الدالة $y$ قليلًا، معبرًا عن الجذر (الجذر) كقوة: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \يمين)^(\frac(3)(7))$. لنبدأ الآن في إيجاد المشتقة. بما أن $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$، إذن:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$
دعونا نستخدم الصيغة رقم 2 من جدول المشتقات، مع استبدال $u=\sin(5\cdot 9^x)$ و $\alpha=\frac(3)(7)$ فيها:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
دعونا نواصل المساواة (3.1) باستخدام النتيجة التي تم الحصول عليها:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
الآن نحن بحاجة إلى العثور على $(\sin(5\cdot 9^x))"$. لهذا نستخدم الصيغة رقم 9 من جدول المشتقات، مع استبدال $u=5\cdot 9^x$ فيها:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
وبعد استكمال المساواة (3.2) بالنتيجة التي تم الحصول عليها، نحصل على:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9) ^x)" \tag (3.3) $$
يبقى أن نجد $(5\cdot 9^x)"$. أولاً، لنأخذ الثابت (الرقم $5$) خارج علامة المشتقة، أي $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9) ^x) "$. للعثور على المشتقة $(9^x)"$، قم بتطبيق الصيغة رقم 5 من جدول المشتقات، مع استبدال $a=9$ و $u=x$ فيها: $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. بما أن $x"=1$، إذن $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. الآن يمكننا مواصلة المساواة (3.3):
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9) ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9) ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
يمكننا مرة أخرى العودة من القوى إلى الجذور (أي الجذور)، وكتابة $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ بالصيغة $\ فارك (1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ كدوت 9^x)))$. ثم سيتم كتابة المشتق بهذا الشكل:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).
إجابة: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ كدوت 9^x)))$.
المثال رقم 4
بيّن أن الصيغتين رقم 3 ورقم 4 من جدول المشتقات هي حالة خاصة من الصيغة رقم 2 من هذا الجدول.
تحتوي الصيغة رقم 2 من جدول المشتقات على مشتقة الدالة $u^\alpha$. بالتعويض $\alpha=-1$ في الصيغة رقم 2، نحصل على:
$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$
بما أن $u^(-1)=\frac(1)(u)$ و$u^(-2)=\frac(1)(u^2)$، فيمكن إعادة كتابة المساواة (4.1) على النحو التالي: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. هذه هي الصيغة رقم 3 من جدول المشتقات.
دعونا ننتقل مرة أخرى إلى الصيغة رقم 2 من جدول المشتقات. دعنا نستبدل $\alpha=\frac(1)(2)$ فيه:
$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$
بما أن $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ و $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$، فيمكن إعادة كتابة المساواة (4.2) على النحو التالي:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
المساواة الناتجة $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ هي الصيغة رقم 4 في جدول المشتقات. كما ترون، يتم الحصول على الصيغتين رقم 3 ورقم 4 من الجدول المشتق من الصيغة رقم 2 عن طريق استبدال القيمة $\alpha$ المقابلة.
إن حل المشكلات الفيزيائية أو الأمثلة في الرياضيات أمر مستحيل تمامًا دون معرفة المشتقة وطرق حسابها. المشتق هو أحد أهم المفاهيم في التحليل الرياضي. قررنا تخصيص مقال اليوم لهذا الموضوع الأساسي. ما هو المشتق، ما هو معناه الفيزيائي والهندسي، وكيفية حساب مشتق الدالة؟ يمكن دمج كل هذه الأسئلة في سؤال واحد: كيف نفهم المشتق؟
المعنى الهندسي والمادي للمشتق
يجب أن تكون هناك وظيفة و (خ) ، محددة في فترة زمنية معينة (أ، ب) . تنتمي النقطتان x وx0 إلى هذا الفاصل الزمني. عندما يتغير x، تتغير الدالة نفسها. تغيير الحجة - الفرق في قيمها x-x0 . يتم كتابة هذا الاختلاف كما دلتا س ويسمى زيادة الوسيطة. التغيير أو الزيادة في الدالة هو الفرق بين قيم الدالة عند نقطتين. تعريف المشتق:
مشتق الدالة عند نقطة ما هو حد نسبة زيادة الدالة عند نقطة معينة إلى زيادة الوسيط عندما يميل الأخير إلى الصفر.
وإلا فإنه يمكن كتابتها مثل هذا:
ما الفائدة من إيجاد مثل هذا الحد؟ وهذا ما هو عليه:
مشتق الدالة عند نقطة ما يساوي ظل الزاوية بين محور OX ومماس الرسم البياني للدالة عند نقطة معينة.
المعنى المادي للمشتق: مشتق المسار بالنسبة إلى الزمن يساوي سرعة الحركة المستقيمة.
في الواقع، منذ أيام المدرسة يعلم الجميع أن السرعة هي طريق معين س = و (ر) والوقت ر . السرعة المتوسطة خلال فترة زمنية معينة:
لمعرفة سرعة الحركة في لحظة زمنية ما ر0 تحتاج إلى حساب الحد:
القاعدة الأولى: تعيين ثابت
يمكن إخراج الثابت من علامة المشتقة. علاوة على ذلك، يجب القيام بذلك. عند حل الأمثلة في الرياضيات، خذها كقاعدة - إذا كان بإمكانك تبسيط تعبير ما، فتأكد من تبسيطه .
مثال. دعونا نحسب المشتق:
القاعدة الثانية: مشتقة مجموع الدوال
مشتق مجموع دالتين يساوي مجموع مشتقات هاتين الدالتين. وينطبق الشيء نفسه على مشتقة اختلاف الوظائف.
ولن نقدم برهانًا على هذه النظرية، بل سنأخذ مثالًا عمليًا.
أوجد مشتقة الدالة:
القاعدة الثالثة: مشتقة حاصل ضرب الدوال
يتم حساب مشتق منتج وظيفتين قابلتين للتفاضل بواسطة الصيغة:
مثال: إيجاد مشتقة الدالة:
حل: 
من المهم الحديث عن حساب مشتقات الدوال المعقدة هنا. مشتقة دالة معقدة يساوي حاصل ضرب مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى الوسيطة الوسيطة ومشتقة الوسيطة الوسيطة بالنسبة إلى المتغير المستقل.
في المثال أعلاه نواجه التعبير:
في هذه الحالة، الوسيطة الوسيطة هي 8x مرفوعة للقوة الخامسة. من أجل حساب مشتقة مثل هذا التعبير، نحسب أولاً مشتقة الدالة الخارجية بالنسبة إلى الوسيطة الوسيطة، ثم نضرب في مشتقة الوسيطة نفسها بالنسبة إلى المتغير المستقل.
القاعدة الرابعة: مشتقة حاصل قسمة دالتين
صيغة لتحديد مشتق حاصل دالتين:
حاولنا التحدث عن مشتقات الدمى من الصفر. هذا الموضوع ليس بسيطًا كما يبدو، لذا كن حذرًا: غالبًا ما تكون هناك عيوب في الأمثلة، لذا كن حذرًا عند حساب المشتقات.
إذا كانت لديك أي أسئلة حول هذا الموضوع والمواضيع الأخرى، يمكنك الاتصال بخدمة الطلاب. في وقت قصير، سنساعدك على حل أصعب اختبار وفهم المهام، حتى لو لم تقم بإجراء حسابات مشتقة من قبل.
لا تتناسب الوظائف ذات النوع المعقد دائمًا مع تعريف الوظيفة المعقدة. إذا كانت هناك دالة بالشكل y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11، فلا يمكن اعتبارها معقدة، على عكس y = sin 2 x.
ستوضح هذه المقالة مفهوم الوظيفة المعقدة وتحديدها. دعونا نتعامل مع الصيغ لإيجاد المشتقة مع أمثلة للحلول في الاستنتاج. إن استخدام جدول المشتقات وقواعد التمايز يقلل بشكل كبير من الوقت اللازم للعثور على المشتق.
Yandex.RTB RA-A-339285-1
التعريفات الأساسية
التعريف 1الدالة المعقدة هي التي تكون حجتها دالة أيضًا.
يتم الإشارة إليه بهذه الطريقة: f (g (x)). لدينا أن الدالة g (x) تعتبر وسيطة f (g (x)).
التعريف 2
إذا كانت هناك دالة f وهي دالة ظل التمام، فإن g(x) = ln x هي دالة اللوغاريتم الطبيعي. نجد أن الدالة المعقدة f (g (x)) ستكتب بالشكل arctg(lnx). أو الدالة f وهي دالة مرفوعة للقوة الرابعة حيث g (x) = x 2 + 2 x - 3 تعتبر دالة كسرية كاملة، نحصل على أن f (g (x)) = (x 2 + 2 س - 3) 4 .
من الواضح أن g(x) يمكن أن تكون معقدة. من المثال y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 يتضح أن قيمة g لها الجذر التكعيبي للكسر. يمكن الإشارة إلى هذا التعبير كـ y = f (f 1 (f 2 (x))). من هنا نجد أن f هي دالة جيبية، وf 1 هي دالة تقع تحت الجذر التربيعي، f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 هي دالة كسرية.
التعريف 3
يتم تحديد درجة التداخل بأي عدد طبيعي وتكتب بالشكل y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .
التعريف 4
يشير مفهوم تكوين الوظيفة إلى عدد الوظائف المتداخلة وفقًا لظروف المشكلة. لحل هذه المشكلة، استخدم صيغة إيجاد مشتقة دالة معقدة في النموذج
(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)
أمثلة
مثال 1أوجد مشتقة دالة مركبة بالصيغة y = (2 x + 1) 2.
حل
يوضح الشرط أن f هي دالة تربيعية، وأن g(x) = 2 x + 1 تعتبر دالة خطية.
دعونا نطبق الصيغة المشتقة لدالة معقدة ونكتب:
f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (ز (س)) ز " (س) = 2 (2 س + 1) 2 = 8 س + 4
من الضروري العثور على المشتق بشكل أصلي مبسط للدالة. نحصل على:
ص = (2 س + 1) 2 = 4 × 2 + 4 × + 1
من هنا لدينا ذلك
y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · س 2 - 1 + 4 · 1 · س 1 - 1 = 8 س + 4
وكانت النتائج هي نفسها.
عند حل مشاكل من هذا النوع، من المهم أن نفهم أين ستكون وظيفة النموذج f و g (x).
مثال 2
يجب أن تجد مشتقات الدوال المعقدة بالشكل y = sin 2 x و y = sin x 2.
حل
ينص تدوين الدالة الأول على أن f هي دالة التربيع وg(x) هي دالة الجيب. ثم حصلنا على ذلك
y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x
يُظهر الإدخال الثاني أن f هي دالة جيبية، وg(x) = x 2 تشير إلى دالة طاقة. ويترتب على ذلك أننا نكتب منتج دالة معقدة كـ
y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)
صيغة المشتق y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) ستكتب بالشكل y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. ( و ن (خ)))) · و ١ " (ف ٢ (ف ٣ (. . . (ف ن (خ)))) · · و ٢ " (ف ٣ (. . . (و ن (خ) . )) )) · . . . الجبهة الوطنية "(خ)
مثال 3
أوجد مشتقة الدالة y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).
حل
يوضح هذا المثال صعوبة الكتابة وتحديد أماكن الوظائف. ثم y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) تشير إلى حيث f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) هي دالة الجيب، دالة الرفع إلى 3 درجات، وظيفة مع اللوغاريتم والقاعدة e، والدالة الظلية والدالة الخطية.
من صيغة تحديد دالة معقدة لدينا ذلك
y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) و 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)
نحصل على ما نحتاج إلى العثور عليه
- f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))) كمشتقة الجيب وفقًا لجدول المشتقات، ثم f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
- f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) كمشتق لدالة القدرة، ثم f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
- f 2 " (f 3 (f 4 (x))) كمشتق لوغاريتمي، ثم f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
- f 3 " (f 4 (x)) كمشتقة ظل قوسي، ثم f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
- عند إيجاد المشتقة f 4 (x) = 2 x، استخرج 2 من إشارة المشتقة باستخدام صيغة مشتقة دالة قوة ذات أس يساوي 1، ثم f 4 " (x) = (2 x ) " = 2 × " = 2 · 1 · × 1 - 1 = 2 .
نحن نجمع بين النتائج المتوسطة ونحصل على ذلك
y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)
إن تحليل مثل هذه الوظائف يذكرنا بدمى التعشيش. لا يمكن دائمًا تطبيق قواعد التفاضل بشكل صريح باستخدام جدول مشتق. غالبًا ما تحتاج إلى استخدام صيغة للعثور على مشتقات الدوال المعقدة.
هناك بعض الاختلافات بين المظهر المعقد والوظائف المعقدة. مع القدرة الواضحة على التمييز بين ذلك، سيكون العثور على المشتقات أمرًا سهلاً بشكل خاص.
مثال 4
ومن الضروري النظر في إعطاء مثل هذا المثال. إذا كانت هناك دالة بالشكل y = t g 2 x + 3 t g x + 1، فيمكن اعتبارها دالة معقدة بالصيغة g (x) = t g x، f (g) = g 2 + 3 g + 1 . من الواضح أنه من الضروري استخدام الصيغة لمشتق معقد:
f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 كوس 2 س = 2 ر ج س + 3 كوس 2 س
دالة من الصيغة y = t g x 2 + 3 t g x + 1 لا تعتبر معقدة، لأنها تحتوي على مجموع t g x 2، 3 t g x و 1. ومع ذلك، t g x 2 تعتبر دالة معقدة، ثم نحصل على دالة قوة بالصيغة g (x) = x 2 و f، وهي دالة ظل. للقيام بذلك، قم بالتمييز حسب المبلغ. لقد حصلنا على ذلك
y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 كوس 2 س
دعنا ننتقل إلى إيجاد مشتق دالة معقدة (t g x 2) ":
f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)
نحصل على y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x
يمكن تضمين الوظائف من النوع المعقد في الوظائف المعقدة، ويمكن أن تكون الوظائف المعقدة نفسها مكونات لوظائف من النوع المعقد.
مثال 5
على سبيل المثال، فكر في دالة معقدة على الصورة y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)
يمكن تمثيل هذه الدالة بالشكل y = f (g (x))، حيث قيمة f هي دالة للوغاريتم ذو الأساس 3، وتعتبر g (x) مجموع وظيفتين من النموذج h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 و k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . من الواضح أن y = f (h (x) + k (x)).
خذ بعين الاعتبار الدالة h(x). هذه هي النسبة l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 إلى m (x) = e x 2 + 3 3
لدينا أن l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) هو مجموع الدالتين n (x) = x 2 + 7 و p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) ، حيث p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) هي دالة معقدة ذات معامل عددي 3، وp 1 هي دالة مكعبة، p 2 بواسطة دالة جيب التمام، p 3 (x) = 2 x + 1 بواسطة دالة خطية.
وجدنا أن m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) هو مجموع الدالتين q (x) = e x 2 و r (x) = 3 3، حيث q (x) = q 1 (q 2 (x)) هي دالة معقدة، q 1 هي دالة ذات أسية، q 2 (x) = x 2 هي دالة قوة.
هذا يوضح أن h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (خ))) ف 1 (ف 2 (س)) + ص (س)
عند الانتقال إلى تعبير بالشكل k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) فمن الواضح أن الدالة مقدمة في شكل s معقد ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) بعدد صحيح نسبي t (x) = x 2 + 1، حيث s 1 هي دالة تربيعية، وs 2 (x) = ln x لوغاريتمية قاعدة ه.
ويترتب على ذلك أن التعبير سوف يأخذ الشكل k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).
ثم حصلنا على ذلك
y = سجل 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( س))) ف 1 (ف 2 (س)) = ص (س) + ق 1 (ق 2 (س)) ر (س)
بناءً على هياكل الدالة، أصبح من الواضح كيف وما هي الصيغ التي يجب استخدامها لتبسيط التعبير عند التمييز بينه. للتعرف على مثل هذه المشاكل ومفهوم حلها، من الضروري أن ننتقل إلى نقطة اشتقاق دالة، أي إيجاد مشتقتها.
إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter
تم تقديم دليل على صيغة مشتق دالة معقدة. يتم النظر بالتفصيل في الحالات التي تعتمد فيها وظيفة معقدة على متغير واحد أو متغيرين. يتم التعميم على حالة وجود عدد تعسفي من المتغيرات.
نقدم هنا اشتقاق الصيغ التالية لاشتقاق دالة معقدة.
إذاً
.
إذاً
.
إذاً
.
مشتقة دالة معقدة من متغير واحد
دع دالة المتغير x يتم تمثيلها كدالة معقدة بالشكل التالي:
,
حيث توجد بعض الوظائف. الدالة قابلة للاشتقاق لبعض قيم المتغير x.
الدالة قابلة للاشتقاق بقيمة المتغير.
(1)
.
ثم تكون الدالة المعقدة (المركبة) قابلة للاشتقاق عند النقطة x ويتم تحديد مشتقها بالصيغة:
;
.
يمكن أيضًا كتابة الصيغة (1) على النحو التالي:
دليل
;
.
دعونا نقدم التدوين التالي.
هنا توجد دالة للمتغيرات، وهناك دالة للمتغيرات و.
;
.
لكننا سنحذف وسيطات هذه الوظائف حتى لا نتسبب في تشويش الحسابات.
.
نظرًا لأن الوظائف و قابلة للاشتقاق عند النقطتين x و ، على التوالي، ففي هذه النقاط توجد مشتقات لهذه الوظائف، وهي الحدود التالية:
.
خذ بعين الاعتبار الوظيفة التالية:
.
بما أن الدالة هي دالة قابلة للتفاضل عند هذه النقطة، فهي متصلة عند تلك النقطة. لهذا السبب
.
خذ بعين الاعتبار الوظيفة التالية:
.
الآن نجد المشتقة.
.
تم إثبات الصيغة.
عاقبة
إذا كان من الممكن تمثيل دالة المتغير x كدالة معقدة لدالة معقدة
,
ثم يتم تحديد مشتقه بالصيغة
.
هنا، وهناك بعض الوظائف القابلة للتمييز.
لإثبات هذه الصيغة، نحسب المشتقة بشكل تسلسلي باستخدام قاعدة اشتقاق دالة معقدة.
النظر في الوظيفة المعقدة
.
مشتق منه
.
النظر في الوظيفة الأصلية
.
مشتق منه
.
مشتق من دالة معقدة من متغيرين
الآن دع الوظيفة المعقدة تعتمد على عدة متغيرات. أولا دعونا ننظر حالة دالة معقدة لمتغيرين.
لتمثل دالة تعتمد على المتغير x كدالة معقدة لمتغيرين بالشكل التالي:
,
أين
وهناك دوال قابلة للتفاضل لبعض قيم المتغير x؛
- دالة مكونة من متغيرين قابلين للتفاضل عند النقطة .
(2)
.
يمكن أيضًا كتابة الصيغة (1) على النحو التالي:
ثم يتم تعريف الدالة المعقدة في حي معين من النقطة ولها مشتق يتم تحديده بالصيغة:
;
.
وبما أن الدوال قابلة للاشتقاق عند النقطة، فهي محددة في جوار معين من هذه النقطة، ومتصلة عند النقطة، ومشتقاتها موجودة عند النقطة، وهي الحدود التالية:
;
.
هنا
;
.
ونظراً لاستمرارية هذه الوظائف عند نقطة ما، نحصل على:
(3)
.
وبما أن الدوال قابلة للاشتقاق عند النقطة، فهي محددة في جوار معين من هذه النقطة، ومتصلة عند النقطة، ومشتقاتها موجودة عند النقطة، وهي الحدود التالية:
بما أن الدالة قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة، فهي محددة في حي معين من هذه النقطة، ومتصلة عند هذه النقطة، ويمكن كتابة زيادتها على الصورة التالية:
;
- زيادة الدالة عندما تتزايد وسيطاتها بالقيم و؛
- المشتقات الجزئية للدالة بالنسبة للمتغيرات و .
;
.
بالنسبة للقيم الثابتة لـ و و هي دالات للمتغيرات و .
;
.
إنهم يميلون إلى الصفر عند و:
.
:
.
منذ و، ثم
.
تم إثبات الصيغة.
زيادة الوظيفة:
لنستبدل (3):
مشتقة من دالة معقدة من عدة متغيرات يمكن بسهولة تعميم الاستنتاج أعلاه على الحالة التي يكون فيها عدد متغيرات دالة معقدة أكثر من اثنين.على سبيل المثال، إذا كان f
,
أين
وظيفة ثلاثة متغيرات
، الذي - التي
، وهناك دوال قابلة للتفاضل لبعض قيم المتغير x؛
(4)
.
- دالة قابلة للتفاضل لثلاثة متغيرات عند النقطة , .
;
;
,
ثم من تعريف تفاضل الدالة نجد أن:
;
;
.
لأنه بسبب الاستمرارية
.
الذي - التي بقسمة (4) على وتمريرها إلى النهاية نحصل على:.
وأخيرا، دعونا نفكر
,
أين
الحالة الأكثر عمومية
- دالة قابلة للتمييز للمتغيرات n عند نقطة ما
,
,
... , .
خذ بعين الاعتبار الوظيفة التالية:
.
تعريف.دع الدالة \(y = f(x)\) محددة في فترة معينة تحتوي على النقطة \(x_0\) بداخلها. دعونا نعطي الوسيطة زيادة \(\Delta x \) بحيث لا تترك هذه الفترة. دعونا نوجد الزيادة المقابلة للدالة \(\Delta y \) (عند الانتقال من النقطة \(x_0 \) إلى النقطة \(x_0 + \Delta x \)) وننشئ العلاقة \(\frac(\Delta ذ)(\دلتا س) \). إذا كان هناك حد لهذه النسبة عند \(\Delta x \rightarrow 0\)، فسيتم استدعاء الحد المحدد مشتق من وظيفة\(y=f(x) \) عند النقطة \(x_0 \) وتدل على \(f"(x_0) \).
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
غالبًا ما يستخدم الرمز y للإشارة إلى المشتق. لاحظ أن y" = f(x) هي دالة جديدة، ولكنها مرتبطة بطبيعة الحال بالدالة y = f(x)، المحددة في جميع النقاط x التي يوجد عندها الحد أعلاه. تسمى هذه الوظيفة مثل هذا: مشتقة الدالة y = f(x).
المعنى الهندسي للمشتقعلى النحو التالي. إذا كان من الممكن رسم مماس للرسم البياني للدالة y = f(x) عند النقطة ذات الإحداثي السيني x=a، وهي ليست موازية للمحور y، فإن f(a) يعبر عن ميل المماس :
\(ك = و"(أ)\)
بما أن \(k = tg(a) \)، فإن المساواة \(f"(a) = tan(a) \) صحيحة.
والآن دعونا نفسر تعريف المشتقة من وجهة نظر المساواة التقريبية. دع الدالة \(y = f(x)\) لها مشتق عند نقطة محددة \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
هذا يعني أنه بالقرب من النقطة x توجد المساواة التقريبية \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \)، أي \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ دلتا x\). المعنى المنطقي للمساواة التقريبية الناتجة هو كما يلي: زيادة الدالة "متناسبة تقريبًا" مع زيادة الوسيطة، ومعامل التناسب هو قيمة المشتق عند نقطة معينة x. على سبيل المثال، بالنسبة للدالة \(y = x^2\) تكون المساواة التقريبية \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) صالحة. إذا قمنا بتحليل تعريف المشتق بعناية، فسنجد أنه يحتوي على خوارزمية للعثور عليه.
دعونا صياغة ذلك.
كيف تجد مشتقة الدالة y = f(x)؟
1. أصلح قيمة \(x\)، ابحث عن \(f(x)\)
2. قم بزيادة الوسيطة \(x\) \(\Delta x\)، وانتقل إلى نقطة جديدة \(x+ \Delta x \)، ابحث عن \(f(x+ \Delta x) \)
3. أوجد زيادة الدالة: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. قم بإنشاء العلاقة \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. احسب $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
هذه النهاية هي مشتقة الدالة عند النقطة x.
إذا كانت الدالة y = f(x) لها مشتق عند النقطة x، فإنها تسمى قابلة للتفاضل عند النقطة x. يتم استدعاء الإجراء الخاص بإيجاد مشتق الدالة y = f(x). التمايزوظائف ص = و(خ).
دعونا نناقش السؤال التالي: كيف ترتبط استمرارية الوظيفة واختلافها عند نقطة ما ببعضها البعض؟
دع الدالة y = f(x) تكون قابلة للاشتقاق عند النقطة x. بعد ذلك يمكن رسم ظل للرسم البياني للدالة عند النقطة M(x; f(x))، وتذكر أن المعامل الزاوي للظل يساوي f "(x). مثل هذا الرسم البياني لا يمكن أن "ينكسر" عند النقطة M، أي أن الدالة يجب أن تكون متصلة عند النقطة x.
وكانت هذه حجج "عملية". دعونا نعطي سببا أكثر صرامة. إذا كانت الدالة y = f(x) قابلة للاشتقاق عند النقطة x، فإن المساواة التقريبية \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) تظل ثابتة. إذا كانت في هذه المساواة \(\Delta x\) \) يميل إلى الصفر، ثم \(\Delta y \) سوف يميل إلى الصفر، وهذا هو شرط استمرارية الدالة عند نقطة ما.
لذا، إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة x، فهي متصلة عند تلك النقطة.
البيان العكسي غير صحيح. على سبيل المثال: الدالة y = |x| تكون مستمرة في كل مكان، خاصة عند النقطة x = 0، لكن مماس الرسم البياني للدالة عند "نقطة الوصل" (0؛ 0) غير موجود. إذا لم يكن من الممكن في مرحلة ما رسم مماس على الرسم البياني للدالة، فإن المشتقة غير موجودة عند تلك النقطة.
مثال آخر. الدالة \(y=\sqrt(x)\) متصلة على خط الأعداد بأكمله، بما في ذلك عند النقطة x = 0. ويكون مماس الرسم البياني للدالة موجودًا عند أي نقطة، بما في ذلك النقطة x = 0 لكن عند هذه النقطة يتزامن المماس مع المحور y، أي أنه عمودي على محور الإحداثي السيني، ومعادلته لها الشكل x = 0. مثل هذا الخط المستقيم ليس له معامل زاوية، مما يعني أن \(f). "(0)\) غير موجود.
لذلك، تعرفنا على خاصية جديدة للوظيفة - التمايز. كيف يمكن للمرء أن يستنتج من الرسم البياني للدالة أنها قابلة للاشتقاق؟
الجواب في الواقع مذكور أعلاه. إذا كان من الممكن في مرحلة ما رسم مماس للرسم البياني لدالة ليست متعامدة مع محور الإحداثي السيني، عند هذه النقطة تكون الدالة قابلة للاشتقاق. إذا كان ظل الرسم البياني للدالة غير موجود في مرحلة ما أو كان عموديًا على محور الإحداثي السيني، فإن الدالة عند هذه النقطة غير قابلة للاشتقاق.
قواعد التمايز
تسمى عملية إيجاد المشتق التمايز. عند إجراء هذه العملية، غالبًا ما يتعين عليك العمل مع خارج القسمة، والمبالغ، وحاصل الدوال، بالإضافة إلى "وظائف الوظائف"، أي الوظائف المعقدة. استنادًا إلى تعريف المشتقة، يمكننا استخلاص قواعد الاشتقاق التي تسهل هذا العمل. إذا كان C رقمًا ثابتًا وكانت f=f(x) وg=g(x) بعض الدوال القابلة للتفاضل، فإن ما يلي صحيح قواعد التمايز:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
