طرح الصفوف في مصفوفة على الانترنت. جمع وطرح المصفوفات عبر الإنترنت

السنة الأولى، الرياضيات العليا، دراسة المصفوفاتوالإجراءات الأساسية عليها. نحن هنا ننظم العمليات الأساسية التي يمكن إجراؤها باستخدام المصفوفات. من أين تبدأ التعرف على المصفوفات؟ بالطبع من أبسط الأشياء - التعاريف والمفاهيم الأساسية والعمليات البسيطة. نؤكد لك أن المصفوفات سوف يفهمها كل من يخصص لها القليل من الوقت على الأقل!

تعريف المصفوفة

مصفوفةهو جدول مستطيل من العناصر. حسنا، بعبارات بسيطة – جدول الأرقام.

عادة، يتم الإشارة إلى المصفوفات بأحرف لاتينية كبيرة. على سبيل المثال، مصفوفة أ ، مصفوفة ب وما إلى ذلك وهلم جرا. يمكن أن تكون المصفوفات بأحجام مختلفة: مستطيلة ومربعة، وهناك أيضًا مصفوفات صفوف وأعمدة تسمى المتجهات. يتم تحديد حجم المصفوفة من خلال عدد الصفوف والأعمدة. على سبيل المثال، لنكتب مصفوفة مستطيلة الحجم م على ن ، أين م - عدد الأسطر، و ن - عدد الأعمدة.

العناصر التي ط=ي (a11، a22، .. ) تشكل القطر الرئيسي للمصفوفة وتسمى قطري.

ماذا يمكنك أن تفعل بالمصفوفات؟ إضافة/طرح, اضرب برقم, تتكاثر فيما بينها, تبديل موضع. الآن عن كل هذه العمليات الأساسية على المصفوفات بالترتيب.

عمليات الجمع والطرح للمصفوفات

دعنا نحذرك على الفور أنه لا يمكنك سوى إضافة مصفوفات من نفس الحجم. وستكون النتيجة مصفوفة من نفس الحجم. إن إضافة (أو طرح) المصفوفات أمر بسيط - تحتاج فقط إلى إضافة العناصر المقابلة لها . دعونا نعطي مثالا. لنجري عملية جمع مصفوفتين A وB بحجم اثنين في اثنين.

يتم إجراء الطرح عن طريق القياس، فقط مع الإشارة المعاكسة.

يمكن ضرب أي مصفوفة برقم عشوائي. لفعل هذا، تحتاج إلى مضاعفة كل عنصر من عناصره بهذا الرقم. على سبيل المثال، لنضرب المصفوفة A من المثال الأول بالرقم 5:

عملية ضرب المصفوفة

لا يمكن ضرب كل المصفوفات معًا. على سبيل المثال، لدينا مصفوفتان - A وB. ويمكن ضربهما في بعضهما البعض فقط إذا كان عدد أعمدة المصفوفة A يساوي عدد صفوف المصفوفة B. في هذه الحالة سيكون كل عنصر من عناصر المصفوفة الناتجة، الموجود في الصف الأول والعمود j، مساويًا لمجموع منتجات العناصر المقابلة في الصف الأول من العامل الأول والعمود j من الثاني. لفهم هذه الخوارزمية، دعونا نكتب كيفية ضرب مصفوفتين مربعتين:

ومثال مع الأعداد الحقيقية. دعونا نضرب المصفوفات:

عملية تبديل المصفوفة

تبديل المصفوفة هو عملية يتم فيها تبديل الصفوف والأعمدة المقابلة. على سبيل المثال، لننقل المصفوفة A من المثال الأول:

محدد المصفوفة

المحدد أو المحدد هو أحد المفاهيم الأساسية للجبر الخطي. ذات مرة، توصل الناس إلى معادلات خطية، وبعدها كان عليهم أن يتوصلوا إلى محدد. في النهاية، الأمر متروك لك للتعامل مع كل هذا، لذا، الدفعة الأخيرة!

المحدد هو خاصية عددية للمصفوفة المربعة، وهي ضرورية لحل العديد من المسائل.
لحساب محدد أبسط مصفوفة مربعة، تحتاج إلى حساب الفرق بين منتجات عناصر الأقطار الرئيسية والثانوية.

محدد المصفوفة من الدرجة الأولى، أي التي تتكون من عنصر واحد، يساوي هذا العنصر.

ماذا لو كانت المصفوفة ثلاثة في ثلاثة؟ هذا أكثر صعوبة، ولكن يمكنك التعامل معه.

بالنسبة لمثل هذه المصفوفة، تكون قيمة المحدد تساوي مجموع منتجات عناصر القطر الرئيسي ومنتجات العناصر الموجودة على المثلثات ذات الوجه الموازي للقطر الرئيسي، والتي منها منتج القطر الرئيسي يتم طرح عناصر القطر الثانوي وحاصل ضرب العناصر الموجودة على المثلثات ذات وجه القطر الثانوي الموازي.

لحسن الحظ، نادرا ما يكون من الضروري حساب محددات المصفوفات ذات الأحجام الكبيرة.

لقد نظرنا هنا إلى العمليات الأساسية على المصفوفات. بالطبع، في الحياة الواقعية، قد لا تواجه أبدًا حتى تلميحًا لنظام مصفوفة من المعادلات، أو على العكس من ذلك، قد تواجه حالات أكثر تعقيدًا عندما تضطر حقًا إلى إرهاق عقلك. في مثل هذه الحالات توجد خدمات طلابية محترفة. اطلب المساعدة، واحصل على حل مفصل وعالي الجودة، واستمتع بالنجاح الأكاديمي ووقت الفراغ.

إضافة مصفوفة$ A $ و $ B $ هي عملية حسابية، ونتيجة لذلك يجب الحصول على المصفوفة $ C $، كل عنصر منها يساوي مجموع العناصر المقابلة للمصفوفات المضافة:

$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$

بالتفصيل تبدو صيغة إضافة مصفوفتين كما يلي:

$$ A + B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ ب_(31) & ب_(32) & ب_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+ب_(22) & أ_(23)+ب_(23) \\ أ_(31)+ب_(31) & أ_(32)+ب_(32) & أ_(33)+ب_(33) \ النهاية (بماتريكس) = C$$

يرجى ملاحظة أنه يمكنك فقط جمع وطرح المصفوفات ذات البعد نفسه. مع المجموع أو الفرق، ستكون النتيجة مصفوفة $ C $ لها نفس البعد مثل الحدود (المطروحة) للمصفوفات $ A $ و $ B $. إذا كانت المصفوفات $ A $ و $ B $ تختلف عن بعضها البعض في الحجم، فإن إضافة (طرح) هذه المصفوفات سيكون خطأ!

تضيف الصيغة مصفوفات 3 × 3، مما يعني أن النتيجة يجب أن تكون مصفوفة 3 × 3.

طرح المصفوفاتتشبه تمامًا خوارزمية الجمع، مع وجود علامة الطرح فقط. يتم الحصول على كل عنصر من عناصر المصفوفة المطلوبة $C$ عن طريق طرح العناصر المقابلة للمصفوفات $A$ و$B$:

$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$

دعونا نكتب التفاصيل صيغة لطرح مصفوفتين:

$$ A - B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) - \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ ب_(31) & ب_(32) & ب_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-ب_(22) & أ_(23)-ب_(23) \\ أ_(31)-ب_(31) & أ_(32)-ب_(32) & أ_(33)-ب_(33) \ النهاية (بماتريكس) = C$$

ومن الجدير بالذكر أيضًا أنه لا يمكنك جمع وطرح المصفوفات ذات الأعداد العادية، وكذلك مع بعض العناصر الأخرى

سيكون من المفيد معرفة خصائص الجمع (الطرح) لمزيد من الحلول لمشاكل المصفوفات.

ملكيات

1. إذا كانت المصفوفات $ A,B,C $ متساوية في الحجم، فإن خاصية الترابط تنطبق عليها: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
2. لكل مصفوفة هناك مصفوفة صفرية، يُشار إليها بـ $O $، عند الجمع (الطرح) والتي لا تتغير بها المصفوفة الأصلية: $$ A \pm O = A $$
3. لكل مصفوفة غير الصفر $ A $ هناك مصفوفة معاكسة $ (-A) $ يختفي مجموعها: $ $ A + (-A) = 0 $ $
4. عند إضافة (طرح) المصفوفات، يُسمح بخاصية التبادلية، أي أنه يمكن تبديل المصفوفات $ A $ و $ B $: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$

أمثلة على الحلول

مثال 1

المصفوفات المعطاة $ A = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) $ و $ B = \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) $. إجراء عملية جمع المصفوفات ثم الطرح.

حل

أولا وقبل كل شيء، علينا التحقق من المصفوفات للأبعاد. المصفوفة $ A $ لها البعد $ 2 × 2 $، والمصفوفة الثانية $ B $ لها البعد $ 2 × 2 $. وهذا يعني أنه باستخدام هذه المصفوفات من الممكن إجراء عملية جمع وطرح مشتركة. تذكر أنه بالنسبة للمجموع، من الضروري إجراء عملية إضافة زوجية للعناصر المقابلة للمصفوفات $ A \text( and ) B $. $$ A + B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 + 1 & 3 + (-3) \\ -1 + 2 & 4 + 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end( بماتريكس)$$ وبالمثل، يمكننا إيجاد الفرق بين المصفوفات عن طريق استبدال علامة "الزائد" بعلامة "الطرح": $$ A - B = \begin(pmatrix) 2&3 \\ -1& 4 \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) 1&-3 \\ 2&5 \end(pmatrix) = $$ $$ = \begin(pmatrix) 2 - 1 & 3 - (-3) \\ -1 - 2 & 4 - 5 \end(pmatrix) = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \ نهاية (بماتريكس) $$ إذا لم تتمكن من حل مشكلتك، أرسلها إلينا. وسوف نقدم حلا مفصلا. سوف تكون قادرا على عرض التقدم المحرز في الحساب والحصول على المعلومات. سيساعدك هذا في الحصول على درجتك من معلمك في الوقت المناسب!

إجابة

$$ A + B = \begin(pmatrix) 3 & 0 \\ 1 & 9 \end(pmatrix); أ - ب = \begin(pmatrix) 1 & 6 \\ -3 & -1 \end(pmatrix) $$

في المقال: تم تقديم التعاريف والقواعد والتعليقات وخصائص العمليات وأمثلة عملية للحلول في "جمع وطرح المصفوفات".

سيغطي هذا الموضوع عمليات مثل جمع وطرح المصفوفات، وضرب مصفوفة في رقم، وضرب مصفوفة في مصفوفة، ونقل مصفوفة. جميع الرموز المستخدمة في هذه الصفحة مأخوذة من الموضوع السابق.

جمع وطرح المصفوفات.

مجموع $A+B$ من المصفوفات $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و$B_(m\times n)=(b_(ij))$ يسمى المصفوفة $C_(m) \times n) =(c_(ij))$، حيث $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ لكل $i=\overline(1,m)$ و$j=\overline( 1،ن) $.

يتم تقديم تعريف مماثل لاختلاف المصفوفات:

الفرق بين المصفوفات $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ و $B_(m\times n)=(b_(ij))$ هي المصفوفة $C_(m\times) n)=( c_(ij))$، حيث $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ لكل $i=\overline(1,m)$ و$j=\overline(1, ن)$.

شرح للمدخل $i=\overline(1,m)$: show\hide

الترميز "$i=\overline(1,m)$" يعني أن المعلمة $i$ تختلف من 1 إلى m. على سبيل المثال، تشير العلامة $i=\overline(1,5)$ إلى أن المعلمة $i$ تأخذ القيم 1، 2، 3، 4، 5.

تجدر الإشارة إلى أن عمليات الجمع والطرح يتم تعريفها فقط للمصفوفات ذات الحجم نفسه. بشكل عام، جمع وطرح المصفوفات هي عمليات واضحة بشكل حدسي، لأنها تعني في الأساس مجرد جمع أو طرح العناصر المقابلة.

المثال رقم 1

يتم إعطاء ثلاث مصفوفات:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ -5 & 4 \end(array) \right). $$

هل من الممكن العثور على المصفوفة $A+F$؟ ابحث عن المصفوفات $C$ و$D$ إذا كانت $C=A+B$ و$D=A-B$.

تحتوي المصفوفة $A$ على صفين و3 أعمدة (بمعنى آخر، حجم المصفوفة $A$ هو $2\times 3$)، وتحتوي المصفوفة $F$ على صفين وعمودين. حجم المصفوفتين $A$ و$F$ غير متطابقين، لذا لا يمكننا جمعهما، أي. لم يتم تعريف العملية $A+F$ لهذه المصفوفات.

أحجام المصفوفات $A$ و $B$ هي نفسها، أي. تحتوي بيانات المصفوفة على عدد متساو من الصفوف والأعمدة، وبالتالي فإن عملية الجمع تنطبق عليها.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

لنجد المصفوفة $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25) ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

إجابة: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

ضرب مصفوفة بعدد.

حاصل ضرب المصفوفة $A_(m\times n)=(a_(ij))$ بالرقم $\alpha$ هو المصفوفة $B_(m\times n)=(b_(ij))$، حيث $ b_(ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ للجميع $i=\overline(1,m)$ و$j=\overline(1,n)$.

ببساطة، ضرب مصفوفة في عدد معين يعني ضرب كل عنصر في مصفوفة معينة في هذا الرقم.

المثال رقم 2

يتم إعطاء المصفوفة: $ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. ابحث عن المصفوفات $3\cdot A$ و$-5\cdot A$ و$-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( صفيف) (ccc) 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (صفيف) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right). $$

الترميز $-A$ هو تدوين مختصر لـ $-1\cdot A$. أي أنه للعثور على $-A$، فإنك تحتاج إلى ضرب جميع عناصر المصفوفة $A$ في (-1). هذا يعني بشكل أساسي أن إشارة جميع عناصر المصفوفة $A$ ستتغير إلى العكس:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

إجابة: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

منتج من مصفوفتين.

إن تعريف هذه العملية مرهق وغير واضح للوهلة الأولى. لذلك، سأشير أولا إلى تعريف عام، ثم سنقوم بتحليل بالتفصيل ما يعنيه وكيفية العمل معه.

حاصل ضرب المصفوفة $A_(m\times n)=(a_(ij))$ بالمصفوفة $B_(n\times k)=(b_(ij))$ هو المصفوفة $C_(m\times k) )=(c_( ij))$، حيث كل عنصر $c_(ij)$ يساوي مجموع منتجات العناصر المقابلة للصف الأول من المصفوفة $A$ بواسطة عناصر j - العمود من المصفوفة $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_ (p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \;\; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

دعونا نلقي نظرة على ضرب المصفوفات خطوة بخطوة باستخدام مثال. ومع ذلك، يجب أن تلاحظ على الفور أنه لا يمكن ضرب جميع المصفوفات. إذا أردنا ضرب المصفوفة $A$ في المصفوفة $B$، فعلينا أولاً التأكد من أن عدد أعمدة المصفوفة $A$ يساوي عدد صفوف المصفوفة $B$ (غالبًا ما تسمى هذه المصفوفات متفق عليه). على سبيل المثال، لا يمكن ضرب المصفوفة $A_(5\times 4)$ (تحتوي المصفوفة على 5 صفوف و4 أعمدة) في المصفوفة $F_(9\times 8)$ (9 صفوف و8 أعمدة)، نظرًا لأن الرقم عدد أعمدة المصفوفة $A $ لا يساوي عدد صفوف المصفوفة $F$، أي. 4 دولارات/ما يعادل 9 دولارات. لكن يمكنك ضرب المصفوفة $A_(5\times 4)$ بالمصفوفة $B_(4\times 9)$، نظرًا لأن عدد أعمدة المصفوفة $A$ يساوي عدد صفوف المصفوفة $ ب $. في هذه الحالة، نتيجة ضرب المصفوفات $A_(5\times 4)$ و $B_(4\times 9)$ ستكون المصفوفة $C_(5\times 9)$، التي تحتوي على 5 صفوف و9 أعمدة:

المثال رقم 3

المصفوفات المعطاة: $ A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end (صفيف) \يمين)$ و $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) $. أوجد المصفوفة $C=A\cdot B$.

أولاً، دعونا نحدد على الفور حجم المصفوفة $C$. نظرًا لأن حجم المصفوفة $A$ هو $3\times 4$، وحجم المصفوفة $B$ هو $4\times 2$، فإن حجم المصفوفة $C$ هو: $3\times 2$:

لذلك، كنتيجة لمنتج المصفوفات $A$ و$B$، يجب أن نحصل على مصفوفة $C$، تتكون من ثلاثة صفوف وعمودين: $ C=\left(\begin(array) (cc) c_ (11) & c_( 12) \\ c_(21) & c_(22) \\ c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. إذا كان تعيين العناصر يثير تساؤلات، فيمكنك الاطلاع على الموضوع السابق: "أنواع المصفوفات". وفي بدايته تم شرح تسمية عناصر المصفوفة. هدفنا: إيجاد قيم جميع عناصر المصفوفة $C$.

لنبدأ بالعنصر $c_(11)$. للحصول على العنصر $c_(11)$، تحتاج إلى إيجاد مجموع منتجات عناصر الصف الأول من المصفوفة $A$ والعمود الأول من المصفوفة $B$:

للعثور على العنصر $c_(11)$ نفسه، تحتاج إلى ضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة $A$ في العناصر المقابلة للعمود الأول من المصفوفة $B$، أي. العنصر الأول إلى الأول، والثاني إلى الثاني، والثالث إلى الثالث، والرابع إلى الرابع. ونلخص النتائج التي تم الحصول عليها:

$$ c_(11)=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

لنواصل الحل ونجد $c_(12)$. للقيام بذلك، سيتعين عليك ضرب عناصر الصف الأول من المصفوفة $A$ والعمود الثاني من المصفوفة $B$:

وكما هو الحال مع السابق لدينا:

$$ c_(12)=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

تم العثور على جميع عناصر الصف الأول من المصفوفة $C$. لننتقل إلى السطر الثاني الذي يبدأ بالعنصر $c_(21)$. للعثور عليه، سيتعين عليك ضرب عناصر الصف الثاني من المصفوفة $A$ والعمود الأول من المصفوفة $B$:

$$ c_(21)=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

نجد العنصر التالي $c_(22)$ عن طريق ضرب عناصر الصف الثاني من المصفوفة $A$ في العناصر المقابلة لها في العمود الثاني من المصفوفة $B$:

$$ c_(22)=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

للعثور على $c_(31)$، اضرب عناصر الصف الثالث من المصفوفة $A$ بعناصر العمود الأول من المصفوفة $B$:

$$ c_(31)=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

وأخيرًا، للعثور على العنصر $c_(32)$، سيتعين عليك ضرب عناصر الصف الثالث من المصفوفة $A$ بالعناصر المقابلة للعمود الثاني من المصفوفة $B$:

$$ c_(32)=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

تم العثور على جميع عناصر المصفوفة $C$، كل ما تبقى هو كتابة $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( صفيف) \يمين)$ . أو للكتابة كاملة:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

إجابة: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

بالمناسبة، غالبًا لا يوجد سبب لوصف موقع كل عنصر من عناصر مصفوفة النتائج بالتفصيل. بالنسبة للمصفوفات ذات الحجم الصغير، يمكنك القيام بذلك:

ومن الجدير بالذكر أيضًا أن ضرب المصفوفات غير تبادلي. وهذا يعني أنه في الحالة العامة $A\cdot B\neq B\cdot A$. فقط لبعض أنواع المصفوفات، والتي تسمى قابل للتبديل(أو التنقل)، فإن المساواة $A\cdot B=B\cdot A$ صحيحة. يعتمد هذا على عدم تبادلية الضرب التي نحتاجها للإشارة بالضبط إلى كيفية ضرب التعبير في مصفوفة معينة: على اليمين أو على اليسار. على سبيل المثال، العبارة "اضرب طرفي المساواة $3E-F=Y$ في المصفوفة $A$ على اليمين" تعني أنك تريد الحصول على المساواة التالية: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot $.

منقولة فيما يتعلق بالمصفوفة $A_(m\times n)=(a_(ij))$ هي المصفوفة $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, للعناصر $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

ببساطة، للحصول على مصفوفة منقولة $A^T$، تحتاج إلى استبدال الأعمدة الموجودة في المصفوفة الأصلية $A$ بالصفوف المقابلة وفقًا لهذا المبدأ: كان هناك صف أول - سيكون هناك عمود أول ; كان هناك صف ثان - سيكون هناك عمود ثان؛ كان هناك صف ثالث - سيكون هناك عمود ثالث وهكذا. على سبيل المثال، لنبحث عن المصفوفة المنقولة إلى المصفوفة $A_(3\times 5)$:

وفقًا لذلك، إذا كان حجم المصفوفة الأصلية هو $3\× 5$، فإن حجم المصفوفة المنقولة يبلغ $5\× 3$.

بعض خصائص العمليات على المصفوفات.

من المفترض هنا أن $\alpha$، $\beta$ عبارة عن بعض الأرقام، وأن $A$، $B$، $C$ عبارة عن مصفوفات. بالنسبة للخصائص الأربعة الأولى، فقد أشرت إلى أسماء؛ ويمكن تسمية الباقي قياسًا على الخصائص الأربعة الأولى.

1. $A+B=B+A$ (إبدالية الإضافة)
2. $A+(B+C)=(A+B)+C$ (ترابط الجمع)
3. $(\alpha+\beta)\cdot A=\alpha A+\beta A$ (توزيع الضرب بمصفوفة فيما يتعلق بجمع الأرقام)
4. $\alpha\cdot(A+B)=\alpha A+\alpha B$ (توزيع الضرب برقم بالنسبة إلى إضافة المصفوفة)
5. $أ(BC)=(AB)C$
6. $(\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)$
7. $A\cdot (B+C)=AB+AC$، $(B+C)\cdot A=BA+CA$.
8. $A\cdot E=A$، $E\cdot A=A$، حيث $E$ هي مصفوفة الهوية بالترتيب المقابل.
9. $A\cdot O=O$، $O\cdot A=O$، حيث $O$ عبارة عن مصفوفة صفرية بالحجم المناسب.
10. $\left(A^T \يمين)^T=A$
11. $(أ+ب)^T=A^T+B^T$
12. $(AB)^T=B^T\cdot A^T$
13. $\left(\alpha A \right)^T=\alpha A^T$

في الجزء التالي، سنتناول عملية رفع المصفوفة إلى قوة عدد صحيح غير سالب، وسنحل أيضًا الأمثلة التي يلزم فيها إجراء عدة عمليات على المصفوفات.

إضافة المصفوفة:

الطرح وإضافة المصفوفاتيقلل إلى العمليات المقابلة على عناصرها. عملية إضافة المصفوفةدخلت فقط ل المصفوفاتنفس الحجم، أي ل المصفوفاتحيث يكون عدد الصفوف والأعمدة متساويًا على التوالي. مجموع المصفوفاتيتم استدعاء A و B مصفوفةج، التي تساوي عناصرها مجموع العناصر المقابلة لها. C = A + B c ij = a ij + b ij معرف بالمثل فرق المصفوفة.

ضرب المصفوفة بعدد :

عملية ضرب المصفوفة (القسمة).من أي حجم برقم تعسفي يتم تقليله إلى ضرب (قسمة) كل عنصر المصفوفاتلهذا الرقم. منتج المصفوفةويسمى الرقم ك مصفوفةب، هكذا

ب ي = ك × أ ي . ب = ك × أ ب ج = ك × أ ج . مصفوفة- أ = (-1) × أ يسمى العكس مصفوفةأ.

خواص جمع المصفوفات وضرب المصفوفة بعدد:

عمليات إضافة المصفوفةو ضرب المصفوفةلكل رقم الخصائص التالية: 1. A + B = B + A؛ 2. أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج؛ 3. أ + 0 = أ؛ 4. أ - أ = 0؛ 5. 1 × أ = أ؛ 6. α × (أ + ب) = αA + αB؛ 7. (α + β) × A = αA + βA؛ 8. α × (βA) = (αβ) × A؛ ، حيث A و B و C عبارة عن مصفوفات، و α و β أرقام.

ضرب المصفوفة (منتج المصفوفة):

عملية ضرب مصفوفتينيتم إدخاله فقط في حالة عدد الأعمدة الأولى المصفوفاتيساوي عدد أسطر الثانية المصفوفات. منتج المصفوفةو م×ن على مصفوفةفي n×p، يسمى مصفوفةمع m×p بحيث يكون ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk ، أي أنه تم العثور على مجموع منتجات عناصر الصف i المصفوفاتوإلى العناصر المقابلة للعمود j المصفوفاتب. إذا المصفوفات A وB مربعان لهما نفس الحجم، وبالتالي فإن المنتجين AB وBA موجودان دائمًا. من السهل إظهار أن A × E = E × A = A، حيث A مربع مصفوفةه - الوحدة مصفوفةنفس الحجم.

خصائص ضرب المصفوفات:

ضرب المصفوفةغير تبادلية، أي AB ≠ BA حتى لو تم تعريف كلا المنتجين. ومع ذلك، إذا كان لأي المصفوفاتالعلاقة AB=BA محققة، إذن هكذا المصفوفاتتسمى تبادلية. المثال الأكثر شيوعًا هو واحد مصفوفة، الذي يتنقل مع أي شخص آخر مصفوفةنفس الحجم. فقط تلك المربعة يمكن أن تكون قابلة للتبديل المصفوفاتمن نفس الترتيب. أ × ه = ه × أ = أ

ضرب المصفوفةله الخصائص التالية: 1. أ × (ب × ج) = (أ × ب) × ج؛ 2. أ × (ب + ج) = أب + أس؛ 3. (أ + ب) × ج = أ + ب. 4. α × (AB) = (αA) × B؛ 5. أ × 0 = 0؛ 0 × أ = 0؛ 6. (AB) T = B T A T؛ 7. (ABC) T = C T V T A T؛ 8. (أ + ب) ت = أ تي + ب تي؛

2. محددات الأمرين الثاني والثالث. خصائص المحددات.

محدد المصفوفةالنظام الثاني، أو المحددالترتيب الثاني هو الرقم الذي يتم حسابه بواسطة الصيغة:

محدد المصفوفةالترتيب الثالث، أو المحددالترتيب الثالث هو الرقم الذي يتم حسابه بواسطة الصيغة:

يمثل هذا الرقم مجموعًا جبريًا يتكون من ستة حدود. يحتوي كل مصطلح على عنصر واحد بالضبط من كل صف وكل عمود المصفوفات. يتكون كل مصطلح من منتج ثلاثة عوامل.

علامات مع أي أعضاء محدد المصفوفةالمدرجة في الصيغة إيجاد محدد المصفوفةويمكن تحديد الترتيب الثالث باستخدام المخطط المعطى، والذي يسمى قاعدة المثلثات أو قاعدة ساروس. الحدود الثلاثة الأولى تؤخذ بعلامة الجمع وتحدد من الشكل الأيسر، والحدود الثلاثة التالية تؤخذ بعلامة الطرح وتحدد من الشكل الأيمن.

تحديد عدد المصطلحات المطلوب العثور عليها محدد المصفوفة، في مجموع جبري، يمكنك حساب المضروب: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6

خصائص محددات المصفوفة

خصائص محددات المصفوفة:

الخاصية رقم 1:

محدد المصفوفةلن يتغير إذا تم استبدال صفوفه بأعمدة، كل صف بعمود بنفس الرقم، والعكس صحيح (Transposition). |أ| = |أ| ت

عاقبة:

الأعمدة والصفوف محدد المصفوفةمتساوية، وبالتالي فإن الخصائص المتأصلة في الصفوف تتحقق أيضًا بالنسبة للأعمدة.

الخاصية رقم 2:

عند إعادة ترتيب صفين أو عمودين محدد المصفوفةسيتم تغيير الإشارة إلى العكس، مع الحفاظ على القيمة المطلقة، أي:

العقار رقم 3:

محدد المصفوفةوجود صفين متماثلين يساوي صفرًا.

العقار رقم 4:

العامل المشترك لعناصر أي سلسلة محدد المصفوفةيمكن أن تؤخذ كعلامة المحدد.

النتائج الطبيعية من العقارين رقم 3 ورقم 4:

إذا كانت جميع عناصر سلسلة معينة (صف أو عمود) متناسبة مع العناصر المقابلة لها في سلسلة متوازية، فهذا هو الحال محدد المصفوفةيساوي الصفر.

العقار رقم 5:

محدد المصفوفةتساوي الصفر، إذن محدد المصفوفةيساوي الصفر.

العقار رقم 6:

إذا كانت جميع عناصر الصف أو العمود المحددتم تقديمه كمجموع فترتين، إذن المحدد المصفوفاتيمكن تمثيلها كمجموع 2 المحدداتوفقا للصيغة:

العقار رقم 7:

إذا إلى أي صف (أو عمود) المحددأضف العناصر المقابلة لصف (أو عمود) آخر، مضروبة في نفس العدد، ثم محدد المصفوفةلن تغير قيمته

مثال على استخدام الخصائص للحساب محدد المصفوفة:

الغرض من الخدمة. حاسبة المصفوفةمصممة لحل تعبيرات المصفوفات، مثل 3A-CB 2 أو A -1 +B T .

تعليمات. للحصول على حل عبر الإنترنت، تحتاج إلى تحديد تعبير مصفوفة. وفي المرحلة الثانية، سيكون من الضروري توضيح أبعاد المصفوفات.

الإجراءات على المصفوفات

العمليات الصالحة: الضرب (*)، الجمع (+)، الطرح (-)، المصفوفة العكسية A^(-1)، الأسي (A^2، B^3)، تبديل المصفوفة (A^T).

العمليات الصالحة: الضرب (*)، الجمع (+)، الطرح (-)، المصفوفة العكسية A^(-1)، الأسي (A^2، B^3)، تبديل المصفوفة (A^T).
لتنفيذ قائمة العمليات، استخدم فاصلة منقوطة (;). على سبيل المثال، لإجراء ثلاث عمليات:
أ) 3أ+4ب
ب) أب-VA
ج) (أ-ب) -1
ستحتاج إلى كتابتها على النحو التالي: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

المصفوفة عبارة عن جدول رقمي مستطيل يحتوي على صفوف m وأعمدة n، لذلك يمكن تمثيل المصفوفة بشكل تخطيطي كمستطيل.
مصفوفة صفرية (مصفوفة فارغة)هي مصفوفة جميع عناصرها تساوي الصفر ويرمز لها بالصفر.
مصفوفة الهويةتسمى مصفوفة مربعة الشكل

المصفوفتان A و B متساويتانإذا كانت بنفس الحجم وكانت العناصر المقابلة لها متساوية.
مصفوفة فريدةهي مصفوفة محددها يساوي الصفر (Δ = 0).

دعونا نحدد العمليات الأساسية على المصفوفات.

إضافة مصفوفة

تعريف . مجموع مصفوفتين لهما نفس الحجم هو مصفوفة لها نفس الأبعاد، ويتم العثور على عناصرها وفقا للصيغة . يُشار إليه بـ C = A+B.

مثال 6. .
تمتد عملية إضافة المصفوفة إلى حالة أي عدد من المصطلحات. من الواضح أن A+0=A .
دعونا نؤكد مرة أخرى أنه لا يمكن إضافة سوى المصفوفات ذات الحجم نفسه؛ بالنسبة للمصفوفات ذات الأحجام المختلفة، لم يتم تعريف عملية الجمع.

طرح المصفوفات

تعريف . الفرق B-A بين المصفوفتين B وA اللتين لهما نفس الحجم هو مصفوفة C بحيث A+ C = B.

ضرب المصفوفة

تعريف . حاصل ضرب مصفوفة بالرقم α هي مصفوفة تم الحصول عليها من A بضرب جميع عناصرها في α، .
تعريف . دعونا نعطي مصفوفتين و ، وعدد أعمدة A يساوي عدد صفوف B. حاصل ضرب A في B عبارة عن مصفوفة يتم العثور على عناصرها وفقًا للصيغة .
يُشار إليه بـ C = A·B.
من الناحية التخطيطية، يمكن تصوير عملية ضرب المصفوفات على النحو التالي:

وقاعدة حساب عنصر في المنتج:

دعونا نؤكد مرة أخرى أن المنتج A·B يكون منطقيًا إذا وفقط إذا كان عدد أعمدة العامل الأول يساوي عدد صفوف العامل الثاني، وينتج المنتج مصفوفة عدد صفوفها يساوي عدد صفوف العامل الثاني. عدد صفوف العامل الأول، وعدد الأعمدة يساوي عدد أعمدة العامل الثاني. يمكنك التحقق من نتيجة الضرب باستخدام آلة حاسبة خاصة عبر الإنترنت.

مثال 7. المصفوفات المعطاة و . أوجد المصفوفات C = A·B وD = B·A.
حل. أولًا، لاحظ أن المنتج A·B موجود لأن عدد أعمدة A يساوي عدد صفوف B.

لاحظ أنه في الحالة العامة A·B≠B·A، أي. منتج المصفوفات مضاد للتبادل.
لنجد B·A (الضرب ممكن).

مثال 8. نظرا للمصفوفة . ابحث عن 3أ 2 - 2أ.
حل.

.
; .
.
دعونا نلاحظ الحقيقة المثيرة للاهتمام التالية.
كما تعلم، فإن حاصل ضرب رقمين غير الصفر لا يساوي صفرًا. بالنسبة للمصفوفات، قد لا يحدث ظرف مماثل، أي أن منتج المصفوفات غير الصفرية قد يكون مساويا للمصفوفة الخالية.