حل المعادلات المثلثية البسيطة.

إن حل المعادلات المثلثية بأي مستوى من التعقيد يؤدي في النهاية إلى حل أبسط المعادلات المثلثية. وفي هذه الدائرة المثلثية مرة أخرى تبين أنها أفضل مساعد.

دعونا نتذكر تعريفات جيب التمام والجيب.

جيب تمام الزاوية هو الإحداثي (أي الإحداثي على طول المحور) لنقطة على دائرة الوحدة المقابلة للدوران خلال زاوية معينة.

جيب الزاوية هو الإحداثي (أي الإحداثي على طول المحور) لنقطة على دائرة الوحدة المقابلة للدوران خلال زاوية معينة.

الاتجاه الموجب للحركة على الدائرة المثلثية هو عكس اتجاه عقارب الساعة. دوران 0 درجة (أو 0 راديان) يتوافق مع نقطة ذات إحداثيات (1;0)

نستخدم هذه التعريفات لحل المعادلات المثلثية البسيطة.

1. حل المعادلة

يتم تلبية هذه المعادلة بجميع قيم زاوية الدوران المقابلة لنقاط على الدائرة التي يساوي إحداثيتها .

لنضع علامة على نقطة بإحداثيات على المحور الإحداثي:

ارسم خطًا أفقيًا موازيًا للمحور x حتى يتقاطع مع الدائرة. نحصل على نقطتين ملقاة على الدائرة ولها إحداثية. تتوافق هذه النقاط مع زوايا الدوران بالراديان:

إذا تركنا النقطة المقابلة لزاوية الدوران لكل راديان، وتجولنا في دائرة كاملة، فسنصل إلى نقطة مقابلة لزاوية الدوران لكل راديان ولها نفس الإحداثيات. وهذا يعني أن زاوية الدوران هذه تحقق أيضًا المعادلة التي لدينا. يمكننا القيام بأي عدد نريده من الثورات "الخاملة"، والعودة إلى نفس النقطة، وكل قيم الزوايا هذه ستفي بمعادلتنا. سيتم الإشارة إلى عدد الثورات "الخاملة" بالحرف (أو). حيث أنه يمكننا إجراء هذه الثورات في الاتجاهين الموجب والسالب، (أو) يمكننا أن نأخذ أي قيم صحيحة.

أي أن السلسلة الأولى من الحلول للمعادلة الأصلية لها الشكل:

, , - مجموعة الأعداد الصحيحة (1)

وبالمثل، فإن السلسلة الثانية من الحلول لها الشكل:

، أين ، . (2)

كما كنت قد خمنت، فإن سلسلة الحلول هذه تعتمد على النقطة الموجودة على الدائرة المقابلة لزاوية الدوران بمقدار .

يمكن دمج هاتين السلسلتين من الحلول في إدخال واحد:

إذا أخذنا (أي حتى) في هذا الإدخال، فسنحصل على السلسلة الأولى من الحلول.

إذا أخذنا (أي فرديًا) في هذا الإدخال، فسنحصل على السلسلة الثانية من الحلول.

2. الآن دعونا نحل المعادلة

نظرًا لأن هذا هو الإحداثي المحوري لنقطة على دائرة الوحدة تم الحصول عليه عن طريق الدوران بزاوية، فإننا نحدد النقطة بالإحداثي المحوري على المحور:

ارسم خطًا رأسيًا موازيًا للمحور حتى يتقاطع مع الدائرة. سنحصل على نقطتين ملقاة على الدائرة ولدينا حافة. تتوافق هذه النقاط مع زوايا الدوران بالراديان. تذكر أنه عند التحرك في اتجاه عقارب الساعة نحصل على زاوية دوران سلبية:

دعونا نكتب سلسلتين من الحلول:

,

,

(نصل إلى النقطة المطلوبة بالانتقال من الدائرة الرئيسية الكاملة، أي.

دعونا ندمج هاتين السلسلتين في مدخل واحد:

3. حل المعادلة

يمر خط المماس بالنقطة ذات الإحداثيات (1,0) لدائرة الوحدة الموازية لمحور OY

لنضع علامة عليها بإحداثيات تساوي 1 (نحن نبحث عن ظل الزوايا الذي يساوي 1):

لنربط هذه النقطة بأصل الإحداثيات بخط مستقيم ونحدد نقاط تقاطع الخط مع دائرة الوحدة. نقاط تقاطع الخط المستقيم والدائرة تتوافق مع زوايا الدوران على و :

بما أن النقاط المقابلة لزوايا الدوران التي تحقق المعادلة لدينا تقع على مسافة راديان من بعضها البعض، فيمكننا كتابة الحل بهذه الطريقة:

4. حل المعادلة

يمر خط ظل التمام بالنقطة التي إحداثيات دائرة الوحدة موازية للمحور.

لنضع علامة على نقطة باستخدام الإحداثي السيني -1 على خط ظل التمام:

لنربط هذه النقطة بأصل الخط المستقيم ونواصل ذلك حتى يتقاطع مع الدائرة. سيتقاطع هذا الخط المستقيم مع الدائرة عند نقاط تتوافق مع زوايا الدوران بالراديان:

وبما أن هذه النقاط تفصل بينها مسافة تساوي , يمكننا كتابة الحل العام لهذه المعادلة على النحو التالي:

في الأمثلة المذكورة التي توضح حل أبسط المعادلات المثلثية، تم استخدام القيم الجدولية للدوال المثلثية.

ومع ذلك، إذا كان الجانب الأيمن من المعادلة يحتوي على قيمة غير جدولية، فإننا نعوض بالقيمة في الحل العام للمعادلة:

حلول خاصة:

دعونا نحدد النقاط على الدائرة التي إحداثيتها 0:

دعونا نحدد نقطة واحدة على الدائرة التي إحداثيتها هي 1:

لنضع علامة على نقطة واحدة على الدائرة التي إحداثياتها تساوي -1:

وبما أنه جرت العادة على الإشارة إلى القيم الأقرب إلى الصفر، فإننا نكتب الحل على النحو التالي:

دعونا نحدد النقاط الموجودة على الدائرة التي يساوي الإحداثي 0:

5.
لنضع علامة على نقطة واحدة على الدائرة التي يساوي حرفها 1:

لنضع علامة على نقطة واحدة على الدائرة التي يساوي طولها -1:

وأمثلة أكثر تعقيدًا قليلاً:

1.

الجيب يساوي واحدًا إذا كانت الوسيطة تساوي

حجة جيبنا متساوية، لذلك نحصل على:

دعونا نقسم طرفي المساواة على 3:

إجابة:

2.

جيب التمام هو صفر إذا كانت وسيطة جيب التمام

حجة جيب التمام لدينا تساوي ، لذلك نحصل على:

لنعبر عن أنه للقيام بذلك ننتقل أولاً إلى اليمين بعلامة معاكسة:

دعونا نبسط الجانب الأيمن:

اقسم كلا الطرفين على -2:

لاحظ أن الإشارة الموجودة أمام المصطلح لا تتغير، حيث أن k يمكن أن تأخذ أي قيمة عددية.

إجابة:

وأخيرًا شاهد درس الفيديو "اختيار الجذور في معادلة مثلثية باستخدام الدائرة المثلثية"

بهذا نختتم محادثتنا حول حل المعادلات المثلثية البسيطة. في المرة القادمة سنتحدث عن كيفية اتخاذ القرار.

يمارس.
أوجد قيمة x عند .

حل.
إن العثور على قيمة وسيطة الدالة التي تساوي عندها أي قيمة يعني تحديد الوسيطات التي ستكون فيها قيمة الجيب تمامًا كما هو موضح في الشرط.
في هذه الحالة، نحتاج إلى معرفة القيم التي ستساوي قيمة الجيب 1/2. يمكن القيام بذلك بعدة طرق.
على سبيل المثال، استخدم لتحديد قيم x التي ستكون دالة الجيب مساوية لـ 1/2.
طريقة أخرى هي استخدام . دعني أذكرك أن قيم الجيب تقع على محور أوي.
الطريقة الأكثر شيوعًا هي الاستخدام، خاصة عند التعامل مع القيم القياسية لهذه الوظيفة، مثل 1/2.
وفي جميع الأحوال، لا ينبغي لأحد أن ينسى أحد أهم خصائص الجيب - دورته.
دعونا نجد القيمة 1/2 للجيب في الجدول ونرى ما هي الوسائط المقابلة لها. الوسيطات التي نهتم بها هي Pi / 6 و5Pi / 6.
دعونا نكتب جميع الجذور التي تحقق المعادلة المعطاة. للقيام بذلك نكتب الوسيطة المجهولة x التي تهمنا وإحدى قيم الوسيطة التي تم الحصول عليها من الجدول وهي Pi / 6. ونكتب لها مع مراعاة فترة الجيب ، جميع قيم الوسيطة:

لنأخذ القيمة الثانية ونتبع نفس الخطوات كما في الحالة السابقة:

الحل الكامل للمعادلة الأصلية سيكون:
و
سيمكن أن تأخذ قيمة أي عدد صحيح.

بشكل عام، تستحق هذه المشكلة اهتماما خاصا، ولكن كل شيء بسيط هنا: عند زاوية الدرجات، يكون كل من الجيب وجيب التمام إيجابيا (انظر الشكل)، ثم نأخذ علامة "زائد".

حاول الآن، بناءً على ما سبق، إيجاد جيب التمام وجيب التمام للزوايا: و

يمكنك الغش: خاصة بالنسبة للزاوية بالدرجات. لأنه إذا كانت إحدى زوايا المثلث القائم تساوي درجات، فإن الزاوية الثانية تساوي درجات. الآن تدخل الصيغ المألوفة حيز التنفيذ:

ثم منذ ذلك الحين و. منذ ذلك الحين و. مع الدرجات يكون الأمر أبسط: إذا كانت إحدى زوايا المثلث القائم تساوي درجات، فإن الأخرى تساوي أيضًا درجات، مما يعني أن المثلث متساوي الساقين.

وهذا يعني أن ساقيه متساويتين. وهذا يعني أن جيب التمام وجيب التمام متساويان.

الآن، باستخدام التعريف الجديد (باستخدام X وY!)، أوجد جيب التمام وجيب التمام للزوايا بالدرجات والدرجات. لن تتمكن من رسم أي مثلثات هنا! سوف تكون مسطحة للغاية!

كان يجب أن تحصل على:

يمكنك العثور على الظل وظل التمام بنفسك باستخدام الصيغ:

يرجى ملاحظة أنه لا يمكنك القسمة على صفر!!

الآن يمكن جدولة جميع الأرقام التي تم الحصول عليها:

فيما يلي قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا الربع الأول. من أجل التيسير، يتم تحديد الزوايا بالدرجات والراديان (لكنك الآن تعرف العلاقة بينهما!). انتبه إلى الشرطتين الموجودتين في الجدول: وهما ظل التمام للصفر وظل الدرجات. هذا ليس من قبيل الصدفة!

بخاصة:

الآن دعونا نعمم مفهوم الجيب وجيب التمام على زاوية اعتباطية تمامًا. وسأنظر هنا في حالتين:

1. وتتراوح الزاوية من إلى درجة
2. زاوية أكبر من درجة

بشكل عام، لقد لويت قلبي قليلاً عندما تحدثت عن "كل الزوايا على الإطلاق". ويمكن أن تكون سلبية أيضًا! لكننا سننظر في هذه الحالة في مقال آخر. دعونا ننظر إلى الحالة الأولى أولا.

إذا كانت الزاوية تقع في الربع الأول، فكل شيء واضح، وقد نظرنا بالفعل في هذه الحالة وحتى رسمنا الجداول.

والآن لنجعل الزاوية أكبر من درجة وليس أكثر من. وهذا يعني أنه يقع إما في الربع الثاني أو الثالث أو الرابع.

ماذا نفعل؟ نعم، بالضبط نفس الشيء!

دعونا نلقي نظرة بدلاً من شيء كهذا..

...مثله:

وهذا هو، النظر في الزاوية الواقعة في الربع الثاني. ماذا يمكن أن نقول عنه؟

النقطة التي هي نقطة تقاطع الشعاع والدائرة لا تزال تحتوي على إحداثيين (لا شيء خارق للطبيعة، أليس كذلك؟). هذه هي الإحداثيات و.

علاوة على ذلك فإن الإحداثي الأول سلبي والثاني إيجابي! وهذا يعني ذلك عند زوايا الربع الثاني، يكون جيب التمام سالبًا والجيب موجبًا!

مذهل، أليس كذلك؟ قبل ذلك، لم نواجه مطلقًا جيب تمام سلبي.

ومن حيث المبدأ، لا يمكن أن يكون هذا هو الحال عندما نعتبر الدوال المثلثية هي النسبة بين أضلاع المثلث. بالمناسبة، فكر في أي الزوايا لها نفس جيب التمام؟ أي منها لديه نفس جيب؟

وبالمثل، يمكنك النظر في الزوايا في جميع الأرباع الأخرى. اسمحوا لي فقط أن أذكركم أن الزاوية يتم حسابها عكس اتجاه عقارب الساعة! (كما هو موضح في الصورة الأخيرة!).

بالطبع، يمكنك الاعتماد في الاتجاه الآخر، ولكن النهج المتبع في هذه الزوايا سيكون مختلفا إلى حد ما.

بناءً على المنطق المذكور أعلاه، يمكننا ترتيب علامات الجيب وجيب التمام والظل (مثل جيب التمام مقسومًا على جيب التمام) وظل التمام (مثل جيب التمام مقسومًا على جيب التمام) لجميع الأرباع الأربعة.

لكن مرة أخرى، لا فائدة من حفظ هذا الرسم. كل ما تحتاج إلى معرفته:

دعونا نتدرب قليلا معك. مهام بسيطة جداً:

تعرف على العلامة التي تحملها الكميات التالية:

يجب علينا التحقق؟

1. الدرجة هي زاوية أكبر وأصغر، مما يعني أنها تقع في ثلاثة أرباع. ارسم أي ركنية في الربع الثالث وشاهد نوع اللاعب الذي تمتلكه. وسوف تتحول إلى أن تكون سلبية. ثم.
   درجات - زاوية ربعين. الجيب هناك موجب، وجيب التمام سالب. زائد مقسوم على ناقص يساوي ناقص. وسائل.
   درجات - زاوية أكبر وأصغر. وهذا يعني أنه يقع في الربع الرابع. بالنسبة لأي زاوية من الربع الرابع، ستكون علامة "x" موجبة، مما يعني
2. نحن نعمل مع الراديان بنفس الطريقة: هذه هي زاوية الربع الثاني (بما أن و. جيب الربع الثاني موجب.
   .
   ، هذه زاوية الربع الرابع. هناك جيب التمام إيجابي.
   - ركنية الربع الرابع مرة أخرى . هناك جيب التمام موجب والجيب سالب. ثم سيكون الظل أقل من الصفر:

ربما يكون من الصعب عليك تحديد الأرباع بالراديان. في هذه الحالة، يمكنك دائمًا الانتقال إلى درجات. الجواب بالطبع سيكون هو نفسه تماما.

والآن أود أن أتطرق بإيجاز شديد إلى نقطة أخرى. دعونا نتذكر الهوية المثلثية الأساسية مرة أخرى.

كما قلت من قبل، يمكننا من خلاله التعبير عن جيب التمام من خلال جيب التمام أو العكس:

لن يتأثر اختيار الإشارة إلا بالربع الذي تقع فيه زاوية ألفا. هناك الكثير من المشاكل في الصيغتين الأخيرتين في امتحان الدولة الموحدة، على سبيل المثال، ما يلي:

مهمة

اكتشف ما إذا كان و.

في الواقع، هذه مهمة ربعية! انظر كيف تم حلها:

حل

لذا، دعونا نعوض بالقيمة هنا، إذن. الآن الشيء الوحيد المتبقي هو معرفة العلامة. ماذا نحتاج لهذا؟ تعرف في أي ربع تقع زاويتنا. حسب شروط المشكلة : . أي ربع هذا؟ الرابع. ما هي علامة جيب التمام في الربع الرابع؟ جيب التمام في الربع الرابع إيجابي. ثم كل ما علينا فعله هو تحديد علامة الجمع الموجودة في المقدمة. ، ثم.

لن أتناول هذه المهام بالتفصيل الآن، يمكنك العثور على تحليل مفصل لها في المقالة "". أردت فقط أن أوضح لك أهمية الإشارة التي تتخذها هذه الدالة المثلثية أو تلك اعتمادًا على الربع.

زوايا أكبر من الدرجات

آخر شيء أود الإشارة إليه في هذه المقالة هو ما يجب فعله بزوايا أكبر من الدرجات؟

ما هو وماذا يمكنك أن تأكل معه لتجنب الاختناق؟ لنأخذ، على سبيل المثال، زاوية بالدرجات (راديان) ونتحرك منها عكس اتجاه عقارب الساعة...

في الصورة قمت برسم دوامة، لكنك تفهم أنه في الواقع ليس لدينا أي دوامة: لدينا دائرة فقط.

إذن، إلى أين سننتهي إذا بدأنا من زاوية معينة ومشينا في الدائرة بأكملها (بالدرجات أو الراديان)؟

أين سنذهب؟ وسوف نأتي إلى نفس الزاوية!

وينطبق الشيء نفسه بالطبع على أي زاوية أخرى:

بأخذ زاوية عشوائية والسير في الدائرة بأكملها، سنعود إلى نفس الزاوية.

ماذا سيعطينا هذا؟ وإليك ما: إذا، ثم

من حيث نحصل في النهاية على:

لأي كامل. وهذا يعني ذلك جيب التمام وجيب التمام وظائف دورية مع الفترة.

وبالتالي، لا توجد مشكلة في العثور على إشارة زاوية اعتباطية الآن: نحتاج فقط إلى التخلص من جميع "الدوائر الكاملة" التي تتناسب مع زاويتنا ومعرفة الربع الذي تقع فيه الزاوية المتبقية.

على سبيل المثال، ابحث عن علامة:

نتحقق:

1. بالدرجات تناسب الأوقات بالدرجات (بالدرجات):
   درجات اليسار. هذه زاوية قياسها 4 أرباع. هناك الجيب سلبي، وهو ما يعني
2. . درجات. هذه زاوية 3 أرباع. هناك جيب التمام سلبي. ثم
3. . . منذ ذلك الحين - زاوية الربع الأول. هناك جيب التمام إيجابي. ثم كوس
4. . . وبما أن الزاوية تقع في الربع الثاني، حيث يكون جيب الجيب موجبًا.

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه بالنسبة للظل وظل التمام. ومع ذلك، فهي في الواقع أبسط: فهي أيضًا وظائف دورية، فقط دورتها أقل مرتين:

لذلك، أنت تفهم ما هي الدائرة المثلثية وما هو مطلوب.

ولكن لا يزال لدينا الكثير من الأسئلة:

1. ما هي الزوايا السلبية؟
2. كيفية حساب الدوال المثلثية في هذه الزوايا
3. كيفية استخدام القيم المعروفة للدوال المثلثية للربع الأول للبحث عن قيم الدوال في الأرباع الأخرى (هل من الضروري حقًا حشر الجدول؟!)
4. كيف يمكنك استخدام الدائرة لتبسيط حلول المعادلات المثلثية؟

المستوى المتوسط

حسنًا، في هذا المقال سنواصل دراستنا للدائرة المثلثية ونناقش النقاط التالية:

1. ما هي الزوايا السلبية؟
2. كيف تحسب قيم الدوال المثلثية عند هذه الزوايا؟
3. كيفية استخدام القيم المعروفة للدوال المثلثية للربع الأول للبحث عن قيم الدوال في الأرباع الأخرى؟
4. ما هو محور الظل ومحور ظل التمام؟

لا نحتاج إلى أي معرفة إضافية غير المهارات الأساسية في العمل مع دائرة الوحدة (المقالة السابقة). حسنًا، لنصل إلى السؤال الأول: ما هي الزوايا السالبة؟

زوايا سلبية

الزوايا السالبة في علم المثلثاتيتم رسمها على الدائرة المثلثية للأسفل من البداية في اتجاه حركة عقارب الساعة:

دعونا نتذكر كيف قمنا سابقًا برسم الزوايا على دائرة مثلثية: لقد بدأنا من الاتجاه الموجب للمحور عكس اتجاه عقارب الساعة:

ثم في رسمنا تم إنشاء زاوية تساويها. بنينا كل الزوايا بنفس الطريقة.

لكن لا شيء يمنعنا من التحرك من الاتجاه الموجب للمحور في اتجاه عقارب الساعة.

سنحصل أيضًا على زوايا مختلفة، لكنها ستكون سلبية:

الصورة التالية توضح زاويتين متساويتين في القيمة المطلقة ولكنهما متقابلتان في الإشارة:

وبشكل عام يمكن صياغة القاعدة على النحو التالي:

• نذهب عكس اتجاه عقارب الساعة - نحصل على زوايا إيجابية
• نذهب في اتجاه عقارب الساعة - نحصل على زوايا سلبية

تظهر القاعدة بشكل تخطيطي في هذا الشكل:

يمكنك أن تسألني سؤالًا معقولًا تمامًا: حسنًا، نحن بحاجة إلى زوايا لقياس قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام.

فهل هناك فرق بين أن تكون الزاوية موجبة ومتى تكون سالبة؟ سأجيبك: كقاعدة عامة، هناك.

ومع ذلك، يمكنك دائمًا تقليل حساب الدالة المثلثية من زاوية سالبة إلى حساب الدالة في الزاويةإيجابي.

أنظر إلى الصورة التالية:

قمت ببناء زاويتين متساويتين في القيمة المطلقة ولكن لهما إشارة متعاكسة. لكل زاوية، حدد جيب التمام وجيب التمام على المحاور.

ماذا نرى؟ إليك ما يلي:

• الجيبان في الزوايا ومتقابلان في الإشارة! ثم إذا
• جيب تمام الزوايا متطابق! ثم إذا
• منذ ذلك الحين:
• منذ ذلك الحين:

وبالتالي، يمكننا دائمًا التخلص من الإشارة السالبة داخل أي دالة مثلثية: إما بإزالتها ببساطة، كما هو الحال مع جيب التمام، أو بوضعها أمام الدالة، كما هو الحال مع الجيب والظل وظل التمام.

بالمناسبة، تذكر اسم الدالة التي يتم تنفيذها لأي قيمة صالحة: ؟

تسمى هذه الوظيفة غريبة.

ولكن إذا كان ما يلي صحيحًا بالنسبة لأي مقبول: ? ثم في هذه الحالة يتم استدعاء الدالة حتى.

لذلك، أنت وأنا أظهرنا للتو ما يلي:

الجيب والظل وظل التمام هي دوال فردية، وجيب التمام هو دالة زوجية.

وبالتالي، كما تفهم، لا يوجد فرق بين أننا نبحث عن جيب الزاوية الموجبة أو الزاوية السالبة: التعامل مع الطرح أمر بسيط للغاية. لذلك لا نحتاج إلى جداول منفصلة للزوايا السالبة.

من ناحية أخرى، يجب أن توافق على أنه سيكون من المريح جدًا، بمعرفة الدوال المثلثية لزوايا الربع الأول فقط، أن تكون قادرًا على حساب دوال مماثلة للأرباع المتبقية. هل من الممكن أن تفعل هذا؟ بالطبع يمكنك! لديك طريقتان على الأقل: الأولى هي بناء مثلث وتطبيق نظرية فيثاغورس (هكذا وجدنا أنا وأنت قيم الدوال المثلثية للزوايا الرئيسية للربع الأول)، و والثاني هو أن نتذكر قيم دوال الزوايا في الربع الأول وبعض القواعد البسيطة، لتتمكن من حساب الدوال المثلثية لجميع الأرباع الأخرى.الطريقة الثانية ستوفر عليك الكثير من العناء مع المثلثات وفيثاغورس، لذلك أراها واعدة أكثر:

لذلك، تسمى هذه الطريقة (أو القاعدة) صيغ التخفيض.

صيغ التخفيض

بشكل تقريبي، ستساعدك هذه الصيغ على عدم تذكر هذا الجدول (بالمناسبة، يحتوي على 98 رقمًا!):

إذا كنت تتذكر هذا (20 رقمًا فقط):

أي أنه لا يمكنك أن تزعج نفسك بـ 78 رقمًا غير ضروري على الإطلاق! دعونا، على سبيل المثال، نحتاج إلى حساب. ومن الواضح أن هذا ليس هو الحال في طاولة صغيرة. ماذا يجب أن نفعل؟ إليك ما يلي:

أولاً، سنحتاج إلى المعرفة التالية:

1. جيب التمام وجيب التمام لهما فترة (درجات)، وهذا هو

   ظل التمام (ظل التمام) له فترة (درجات)

   أي عدد صحيح

2. الجيب والظل دالتان فرديتان، وجيب التمام دالة زوجية:

لقد أثبتنا القول الأول معك بالفعل، أما صحة الثاني فقد تأكدت مؤخرا.

تبدو قاعدة الصب الفعلية كما يلي:

1. إذا حسبنا قيمة الدالة المثلثية من زاوية سالبة، فإننا نجعلها موجبة باستخدام مجموعة الصيغ (2). على سبيل المثال:
2. نتجاهل فتراتها للجيب وجيب التمام: (بالدرجات)، وللظل - (بالدرجات). على سبيل المثال:
3. إذا كانت "الزاوية" المتبقية أقل من الدرجات، فقد تم حل المشكلة: نبحث عنها في "الجدول الصغير".
4. بخلاف ذلك، فإننا نبحث عن الربع الذي تقع فيه زاويتنا: سيكون الربع الثاني أو الثالث أو الرابع. دعونا نلقي نظرة على إشارة الدالة المطلوبة في الربع. تذكر هذه العلامة !!!
5. نمثل الزاوية بأحد الأشكال التالية:

   (إذا كان في الربع الثاني)
   (إذا كان في الربع الثاني)
   (إذا كان في الربع الثالث)
   (إذا كان في الربع الثالث)
   
   (إذا كان في الربع الرابع)

   بحيث تكون الزاوية المتبقية أكبر من صفر وأقل من درجة. على سبيل المثال:

   من حيث المبدأ، لا يهم في أي من الصورتين البديلتين لكل ربع تمثل الزاوية. وهذا لن يؤثر على النتيجة النهائية.

6. الآن دعونا نرى ما حصلنا عليه: إذا اخترت الكتابة بدلالة أو درجات زائد ناقص شيء ما، فإن إشارة الدالة لن تتغير: ما عليك سوى إزالة أو كتابة جيب الزاوية أو جيب التمام أو الظل للزاوية المتبقية. إذا اخترت التدوين بالدرجات أو، فقم بتغيير جيب التمام إلى جيب التمام، وجيب التمام إلى جيب التمام، ومن الظل إلى ظل التمام، ومن ظل التمام إلى الظل.
7. نضع الإشارة من النقطة 4 أمام التعبير الناتج.

ولنوضح كل ما سبق بالأمثلة:

1. احسب
2. احسب
3. ابحث عن المعنى الخاص بك:

لنبدأ بالترتيب:

1. نحن نتصرف وفقًا للخوارزمية الخاصة بنا. حدد عددًا صحيحًا من الدوائر لـ:

   بشكل عام نستنتج أن الزاوية بأكملها تناسب 5 مرات، لكن كم بقي؟ غادر. ثم

   حسنًا، لقد تخلصنا من الفائض. الآن دعونا نلقي نظرة على العلامة. يقع في الربع الرابع. جيب الربع الرابع به علامة سالب، ولا ينبغي أن أنسى وضعها في الإجابة. وبعد ذلك نعرض وفق إحدى الصيغتين الواردتين في الفقرة 5 من قواعد التخفيض. سأختار:

   والآن لننظر إلى ما حدث: لدينا حالة بالدرجات، ثم نتجاهلها ونغير جيب الجيب إلى جيب التمام. ونضع أمامها علامة الطرح!

   درجات - الزاوية في الربع الأول. نعرف (وعدتني أن أتعلم طاولة صغيرة!!) معناها:

   ثم نحصل على الجواب النهائي:

   إجابة:

2. كل شيء هو نفسه، ولكن بدلا من الدرجات - راديان. لا بأس. الشيء الرئيسي الذي يجب تذكره هو ذلك

   لكن ليس عليك استبدال الراديان بالدرجات. إنها مسألة ذوقك. لن أغير أي شيء. سأبدأ مرة أخرى بتجاهل الدوائر بأكملها:

   دعونا نتجاهل - هاتان دائرتان كاملتان. كل ما تبقى هو الحساب. وتقع هذه الزاوية في الربع الثالث. جيب تمام الربع الثالث سلبي. ولا تنس أن تضع علامة الطرح في الإجابة. يمكنك أن تتخيل كيف. دعونا نتذكر القاعدة مرة أخرى: لدينا حالة عدد صحيح (أو)، ثم لا تتغير الدالة:

   ثم.
   إجابة: .

3. . عليك أن تفعل الشيء نفسه، ولكن مع وظيفتين. سأكون أكثر إيجازًا: والدرجات هي زوايا الربع الثاني. جيب التمام للربع الثاني لديه علامة ناقص، وجيب التمام لديه علامة زائد. يمكن تمثيلها على النحو التالي: وكيف، إذن

   كلتا الحالتين هي "نصفين من الكل". ثم يتغير جيب التمام إلى جيب التمام، ويتغير جيب التمام إلى جيب التمام. وعلاوة على ذلك، هناك علامة ناقص أمام جيب التمام:

إجابة: .

الآن تدرب بنفسك باستخدام الأمثلة التالية:

وإليك الحلول:

1. 
   أولاً، دعونا نتخلص من الطرح بوضعه أمام جيب الجيب (بما أن جيب الجيب دالة فردية!!!). لننظر بعد ذلك إلى الزوايا:

   نتجاهل عددًا صحيحًا من الدوائر - أي ثلاث دوائر ().
   يبقى أن نحسب : .
   نفعل الشيء نفسه مع الزاوية الثانية:

   نحذف عدداً صحيحاً من الدوائر - 3 دوائر () ثم:

   الآن نفكر: في أي ربع تقع الزاوية المتبقية؟ إنه "يقصر" في كل شيء. ثم ما هو الربع؟ الرابع. ما هي علامة جيب التمام للربع الرابع؟ إيجابي. الآن دعونا نتخيل. وبما أننا نطرح من كمية كاملة، فإننا لا نغير إشارة جيب التمام:

   نستبدل جميع البيانات التي تم الحصول عليها في الصيغة:

   إجابة: .

2. 
   المعيار: إزالة الطرح من جيب التمام باستخدام حقيقة ذلك.
   كل ما تبقى هو حساب جيب تمام الدرجات. دعونا نزيل الدوائر بأكملها: . ثم

   ثم.
   إجابة: .

3. نتصرف كما في المثال السابق.

   نظرًا لأنك تتذكر أن فترة الظل هي (أو) على عكس جيب التمام أو الجيب، حيث تكون أكبر مرتين، فسنقوم بإزالة الكمية الصحيحة.

   درجات - الزاوية في الربع الثاني. ظل الربع الثاني سالب، لذلك دعونا لا ننسى "الطرح" في النهاية! يمكن كتابتها كما. يتغير الظل إلى ظل التمام. وأخيرا نحصل على:

   ثم.
   إجابة: .

حسنًا، لم يتبق سوى القليل!

محور الظل ومحور ظل التمام

وآخر ما أود أن أتطرق إليه هنا هو المحورين الإضافيين. وكما ناقشنا سابقاً، لدينا محوران:

1. المحور - محور جيب التمام
2. المحور - محور الجيوب

في الواقع، لقد نفدت محاور الإحداثيات لدينا، أليس كذلك؟ ولكن ماذا عن الظلال وظل التمام؟

هل حقا لا يوجد تفسير رسومي لهم؟

في الواقع، هو موجود، يمكنك رؤيته في هذه الصورة:

وعلى وجه الخصوص، يمكننا أن نقول من هذه الصور ما يلي:

1. الظل وظل التمام لهما نفس علامات الربع
2. إنها إيجابية في الربعين الأول والثالث
3. كانت سلبية في الربعين الثاني والرابع
4. لم يتم تعريف الظل في الزوايا
5. ظل التمام غير محدد عند الزوايا

ما هي هذه الصور ل؟ ستتعلم في مستوى متقدم، حيث سأخبرك كيف يمكنك استخدام الدائرة المثلثية لتبسيط حلول المعادلات المثلثية!

المستوى المتقدم

في هذه المقالة سأصف كيف دائرة الوحدة (دائرة مثلثية)قد تكون مفيدة في حل المعادلات المثلثية.

يمكنني التفكير في حالتين قد يكون من المفيد فيهما:

1. في الإجابة لا نحصل على زاوية "جميلة"، ولكن مع ذلك نحتاج إلى تحديد الجذور
2. تحتوي الإجابة على عدد كبير جدًا من سلاسل الجذور

لا تحتاج إلى أي معرفة محددة بخلاف معرفة الموضوع:

حاولت أن أكتب موضوع "المعادلات المثلثية" دون اللجوء إلى الدوائر. لن يمدحني الكثيرون على مثل هذا النهج.

لكني أفضل الصيغة، فماذا يمكنني أن أفعل؟ ومع ذلك، في بعض الحالات لا توجد صيغ كافية. المثال التالي دفعني لكتابة هذا المقال:

حل المعادلة:

حسنًا إذن. حل المعادلة نفسها ليس بالأمر الصعب.

الاستبدال العكسي:

ومن ثم، فإن معادلتنا الأصلية تعادل ما يصل إلى أربع معادلات بسيطة! هل نحتاج حقًا إلى كتابة 4 سلاسل من الجذور:

من حيث المبدأ، يمكننا أن نتوقف عند هذا الحد. ولكن ليس لقراء هذا المقال الذي يدعي أنه فيه نوع من "التعقيد"!

دعونا نلقي نظرة على السلسلة الأولى من الجذور أولاً. لذلك، نأخذ دائرة الوحدة، والآن دعونا نطبق هذه الجذور على الدائرة (بشكل منفصل من أجل ومن أجل):

انتبه: ما هي الزاوية بين الزوايا و؟ هذه هي الزاوية. والآن لنفعل نفس الشيء بالنسبة للسلسلة: .

بين جذور المعادلة نحصل مرة أخرى على زاوية. والآن لنجمع بين هاتين الصورتين:

ماذا نرى؟ وإلا فإن جميع الزوايا بين الجذور متساوية. ماذا يعني هذا؟

إذا بدأنا من زاوية وأخذنا زوايا متساوية (لأي عدد صحيح)، فسننتهي دائمًا عند إحدى النقاط الأربع في الدائرة العليا! وهكذا، 2 سلسلة من الجذور:

يمكن دمجها في واحد:

للأسف، بالنسبة لسلسلة الجذر:

هذه الحجج لن تكون صالحة بعد الآن. قم بعمل رسم وافهم سبب ذلك. ولكن يمكن الجمع بينهما على النحو التالي:

ثم المعادلة الأصلية لها جذور:

وهي إجابة قصيرة وموجزة جدًا. ما هو معنى الإيجاز والإيجاز ؟ حول مستوى المعرفة الرياضية الخاصة بك.

كان هذا هو المثال الأول الذي أدى فيه استخدام الدائرة المثلثية إلى نتائج مفيدة.

المثال الثاني هو المعادلات التي لها "جذور قبيحة".

على سبيل المثال:

1. حل المعادلة.
2. أوجد جذورها التي تنتمي إلى الفجوة.

الجزء الأول ليس صعبا على الإطلاق.

وبما أنك على دراية بالموضوع بالفعل، فسوف أسمح لنفسي بأن أكون مختصرا في حساباتي.

ثم أو

وهكذا وجدنا جذور المعادلة. لا شيء معقد.

من الأصعب حل الجزء الثاني من المهمة دون معرفة بالضبط ما هو قوس جيب التمام ناقص ربع (هذه ليست قيمة جدول).

ومع ذلك، يمكننا تصوير سلسلة الجذور الموجودة على دائرة الوحدة:

ماذا نرى؟ أولاً، أوضح لنا الشكل ما هي حدود قوس جيب التمام:

سيساعدنا هذا التفسير البصري في العثور على الجذور التي تنتمي إلى المقطع: .

أولا، يقع فيه الرقم نفسه، ثم (انظر الشكل).

ينتمي أيضًا إلى هذا الجزء.

وبالتالي، فإن دائرة الوحدة تساعد في تحديد الحدود التي تقع ضمنها الزوايا "القبيحة".

يجب أن يكون لديك سؤال آخر على الأقل: لكن ماذا يجب أن نفعل مع الظلال وظل التمام؟

في الواقع، لديهم أيضًا محاورهم الخاصة، على الرغم من أن لديهم مظهرًا محددًا بعض الشيء:

وإلا فإن طريقة التعامل معها ستكون هي نفسها كما هو الحال مع الجيب وجيب التمام.

مثال

يتم إعطاء المعادلة.

• حل هذه المعادلة.
• حدد جذور هذه المعادلة التي تنتمي إلى الفترة.

حل:

نرسم دائرة وحدة ونضع علامة على حلولنا عليها:

من الشكل يمكنك أن تفهم أن:

أو أكثر: منذ ذلك الحين

ثم نجد الجذور التي تنتمي إلى القطعة.

، (لأن)

أترك الأمر لك لتتأكد بنفسك من أن معادلتنا ليس لها جذور أخرى تنتمي إلى الفترة.

الملخص والصيغ الأساسية

الأداة الرئيسية لعلم المثلثات هي الدائرة المثلثية,فهو يسمح لك بقياس الزوايا، والعثور على جيب التمام، وجيب التمام، وما إلى ذلك.

هناك طريقتان لقياس الزوايا.

1. من خلال درجات
2. من خلال راديان

والعكس: من الراديان إلى الدرجات:

للعثور على جيب وجيب التمام لزاوية تحتاج:

1. ارسم دائرة وحدة يكون مركزها مطابقًا لرأس الزاوية.
2. أوجد نقطة تقاطع هذه الزاوية مع الدائرة.
3. إحداثياتها "X" هي جيب تمام الزاوية المطلوبة.
4. إحداثيات "اللعبة" الخاصة بها هي جيب الزاوية المطلوبة.

صيغ التخفيض

هذه هي الصيغ التي تسمح لك بتبسيط تعبيرات الدوال المثلثية المعقدة.

ستساعدك هذه الصيغ على عدم تذكر هذا الجدول:

تلخيص

لقد تعلمت كيفية عمل تحفيز عالمي باستخدام علم المثلثات.

لقد تعلمت حل المشكلات بشكل أسهل وأسرع، والأهم من ذلك، دون أخطاء.

لقد أدركت أنك لست بحاجة إلى حشر أي طاولات ولا تحتاج إلى حشر أي شيء على الإطلاق!

الآن أريد أن أسمعك!

هل تمكنت من فهم هذا الموضوع المعقد؟

ماذا اعجبك؟ ما الذي لم يعجبك؟

ربما وجدت خطأ؟

اكتب في التعليقات!

ونتمنى لك التوفيق في الامتحان!

جدول قيم الدوال المثلثية

ملحوظة. يستخدم جدول قيم الدوال المثلثية هذا علامة √ لتمثيل الجذر التربيعي. للإشارة إلى الكسر، استخدم الرمز "/".

أنظر أيضامواد مفيدة:

ل تحديد قيمة الدالة المثلثية، ابحث عنه عند تقاطع الخط الذي يشير إلى الدالة المثلثية. على سبيل المثال، جيب 30 درجة - نبحث عن العمود الذي يحمل العنوان sin (sine) ونجد تقاطع عمود الجدول هذا مع الصف "30 درجة"، عند تقاطعهما نقرأ النتيجة - نصف. وبالمثل نجد جيب التمام 60درجات, جيب 60درجات (مرة أخرى، عند تقاطع عمود الخطيئة وخط الـ 60 درجة نجد القيمة جا 60 = √3/2)، إلخ. تم العثور على قيم الجيب وجيب التمام والظلال للزوايا "الشعبية" الأخرى بنفس الطريقة.

جيب بي، جيب التمام بي، بي الظل والزوايا الأخرى في راديان

الجدول أدناه لجيب التمام وجيب التمام والظل مناسب أيضًا للعثور على قيمة الدوال المثلثية التي تكون حجتها تعطى بالراديان. للقيام بذلك، استخدم العمود الثاني من قيم الزوايا. بفضل هذا، يمكنك تحويل قيمة الزوايا الشائعة من الدرجات إلى الراديان. على سبيل المثال، دعونا نوجد الزاوية التي قياسها 60 درجة في السطر الأول ونقرأ قيمتها بالراديان تحتها. 60 درجة تساوي π/3 راديان.

يعبر الرقم pi بشكل لا لبس فيه عن اعتماد المحيط على درجة قياس الزاوية. وبالتالي، فإن راديان باي يساوي 180 درجة.

يمكن تحويل أي رقم يتم التعبير عنه بـ pi (راديان) بسهولة إلى درجات عن طريق استبدال pi (π) بـ 180.

أمثلة:
1. جيب بي.
الخطيئة π = الخطيئة 180 = 0
وبالتالي، فإن جيب باي هو نفس جيب 180 درجة ويساوي صفر.

2. جيب التمام بي.
كوس π = كوس 180 = -1
وبالتالي، فإن جيب تمام باي هو نفس جيب تمام 180 درجة وهو يساوي سالب واحد.

3. الظل بي
تيراغرام π = تيراغرام 180 = 0
وبالتالي، فإن ظل الزاوية باي هو نفس ظل الزاوية 180 درجة ويساوي الصفر.

جدول قيم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا 0 - 360 درجة (القيم المشتركة)

قيمة الزاوية α (درجة)	قيمة الزاوية α بالراديان (عبر بي)	خطيئة (الجيب)	كوس (جيب التمام)	tg (الظل)	ctg (ظل التمام)	ثانية (قاطع)	com.cosec (قاطع التمام)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

إذا تمت الإشارة إلى شرطة في جدول قيم الدوال المثلثية بدلاً من قيمة الدالة (ظل (tg) 90 درجة، ظل التمام (ctg) 180 درجة)، فبالنسبة لقيمة معينة لقياس درجة الزاوية تكون الدالة ليس لها قيمة محددة. إذا لم يكن هناك شرطة، فإن الخلية فارغة، مما يعني أننا لم ندخل القيمة المطلوبة بعد. نحن مهتمون بالاستعلامات التي يأتي إلينا المستخدمون من أجلها ونكمل الجدول بقيم جديدة، على الرغم من حقيقة أن البيانات الحالية حول قيم جيب التمام والجيوب والظلال لقيم الزوايا الأكثر شيوعًا كافية لحل معظم مشاكل.

جدول قيم الدوال المثلثية sin، cos، tg للزوايا الأكثر شيوعًا
0، 15، 30، 45، 60، 90... 360 درجة
(القيم الرقمية "حسب جداول براديس")

قيمة الزاوية α (بالدرجات)	قيمة الزاوية α بالراديان	الخطيئة (جيب)	كوس (جيب التمام)	تيراغرام (الظل)	CTG (ظل التمام)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

في هذه المقالة سوف نقوم بتحليل تعريف دائرة الأعداد بتفصيل كبير، ومعرفة خصائصها الرئيسية وترتيب الأرقام 1،2،3، وما إلى ذلك. حول كيفية وضع علامة على الأرقام الأخرى على الدائرة (على سبيل المثال، \(\frac(π)(2)، \frac(π)(3)، \frac(7π)(4)، 10π، -\frac(29π) (6)\)) يفهم .

دائرة الأرقام تسمى دائرة وحدة نصف القطر التي تتوافق نقاطها ، مرتبة وفق القواعد التالية:

1) نقطة الأصل في أقصى يمين الدائرة؛

2) عكس اتجاه عقارب الساعة - الاتجاه الإيجابي؛ في اتجاه عقارب الساعة - سلبي.

3) إذا رسمنا المسافة \(t\) على الدائرة في الاتجاه الموجب، فسنصل إلى نقطة قيمتها \(t\)؛

4) إذا رسمنا المسافة \(t\) على الدائرة في الاتجاه السلبي، فسنصل إلى نقطة قيمتها \(–t\).

لماذا سميت الدائرة بدائرة الأعداد؟
لأنه يحتوي على أرقام. بهذه الطريقة، تكون الدائرة مشابهة لمحور الأرقام - على الدائرة، كما هو الحال على المحور، هناك نقطة محددة لكل رقم.

لماذا تعرف ما هي دائرة الأرقام؟
باستخدام دائرة الأعداد، يتم تحديد قيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. لذلك، لمعرفة علم المثلثات واجتياز اختبار الدولة الموحدة بأكثر من 60 نقطة، يجب أن تفهم ما هي دائرة الأرقام وكيفية وضع النقاط عليها.

ماذا تعني عبارة "...من وحدة نصف القطر..." في التعريف؟
وهذا يعني أن نصف قطر هذه الدائرة يساوي \(1\). وإذا بنينا مثل هذه الدائرة التي مركزها نقطة الأصل فإنها ستتقاطع مع المحورين عند النقطتين \(1\) و\(-1\).

ليس من الضروري رسمها بشكل صغير؛ يمكنك تغيير "حجم" الأقسام على طول المحاور، ثم ستكون الصورة أكبر (انظر أدناه).

لماذا نصف القطر واحد بالضبط؟ وهذا أكثر ملاءمة، لأنه في هذه الحالة، عند حساب المحيط باستخدام الصيغة \(l=2πR\)، نحصل على:

طول دائرة الأعداد هو \(2π\) أو \(6.28\) تقريبًا.

ماذا يعني "... نقاطها تتوافق مع الأعداد الحقيقية"؟
كما قلنا أعلاه، في دائرة الأعداد لأي رقم حقيقي سيكون هناك بالتأكيد "مكانه" - النقطة التي تتوافق مع هذا الرقم.

لماذا تحديد الأصل والاتجاه على دائرة الأعداد؟
الغرض الرئيسي من دائرة الأرقام هو تحديد نقطتها لكل رقم بشكل فريد. ولكن كيف يمكنك تحديد مكان وضع النقطة إذا كنت لا تعرف من أين تعد ومن أين تتحرك؟

من المهم هنا عدم الخلط بين الأصل على خط الإحداثيات وعلى دائرة الأرقام - فهذان نظامان مرجعيان مختلفان! ولا تخلط أيضًا بين \(1\) على المحور \(x\) و\(0\) على الدائرة - فهذه نقاط على كائنات مختلفة.

ما هي النقاط التي تتوافق مع الأرقام \(1\) و\(2\) وما إلى ذلك؟

تذكر أننا افترضنا أن دائرة الأعداد يبلغ نصف قطرها \(1\)؟ ستكون هذه هي قطعة الوحدة الخاصة بنا (قياسًا على محور الأعداد)، والتي سنرسمها على الدائرة.

لتحديد نقطة على دائرة الأرقام المقابلة للرقم 1، عليك الانتقال من 0 إلى مسافة تساوي نصف القطر في الاتجاه الإيجابي.

لتحديد نقطة على الدائرة المقابلة للرقم \(2\)، تحتاج إلى قطع مسافة تساوي نصف قطرين من نقطة الأصل، بحيث يكون \(3\) مسافة تساوي ثلاثة أنصاف أقطار، وما إلى ذلك.

عند النظر إلى هذه الصورة، قد يكون لديك سؤالين:
1. ماذا يحدث عندما "تنتهي" الدائرة (أي نقوم بدورة كاملة)؟
الجواب: دعنا نذهب للجولة الثانية! وعندما ننتهي من الجزء الثاني، سننتقل إلى الجزء الثالث، وهكذا. ولذلك، يمكن رسم عدد لا حصر له من الأرقام على دائرة.

2. أين ستكون الأرقام السالبة؟
الجواب: هناك حق! ويمكن أيضًا ترتيبها عن طريق حساب العدد المطلوب من أنصاف الأقطار من الصفر، ولكن الآن في اتجاه سلبي.

لسوء الحظ، من الصعب الإشارة إلى الأعداد الصحيحة في دائرة الأعداد. ويرجع ذلك إلى حقيقة أن طول دائرة الأعداد لن يساوي عددًا صحيحًا: \(2π\). وفي الأماكن الأكثر ملاءمة (عند نقاط التقاطع مع المحاور) سيكون هناك أيضًا كسور وليس أعداد صحيحة