مفيد

جدول لإيجاد الجيوب وجيب التمام للظلال. جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام - كل ما تحتاج إلى معرفته من أجل OGE والاستخدام

سنبدأ دراستنا لعلم المثلثات بالمثلث القائم الزاوية. دعونا نحدد ما هو الجيب وجيب التمام، وكذلك الظل وظل التمام لزاوية حادة. هذه هي أساسيات علم المثلثات.

دعونا نذكركم بذلك الزاوية اليمنىهي زاوية تساوي 90 درجة. وبعبارة أخرى، نصف زاوية منعطفة.

زاوية حادة- أقل من 90 درجة.

زاوية منفرجة- أكبر من 90 درجة. فيما يتعلق بهذه الزاوية، فإن "المنفرجة" ليست إهانة، ولكنها مصطلح رياضي :-)

لنرسم مثلثًا قائمًا. عادة ما يتم الإشارة إلى الزاوية اليمنى بـ . يرجى ملاحظة أن الجانب المقابل للزاوية يُشار إليه بالحرف نفسه، ولكنه صغير فقط. وبالتالي، يتم تعيين الجانب المقابل للزاوية A .

يُشار إلى الزاوية بالحرف اليوناني المقابل.

الوترللمثلث القائم هو الضلع المقابل للزاوية القائمة.

الساقين- الجوانب المتقابلة بزوايا حادة.

تسمى الساق الواقعة مقابل الزاوية عكس(بالنسبة للزاوية). وتسمى الساق الأخرى التي تقع على أحد جانبي الزاوية مجاور.

الجيوب الأنفيةالزاوية الحادة في المثلث القائم هي نسبة الضلع المقابل للوتر:

جيب التمامالزاوية الحادة في المثلث الأيمن - نسبة الساق المجاورة إلى الوتر:

الظلالزاوية الحادة في المثلث القائم - نسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور:

تعريف آخر (معادل): ظل الزاوية الحادة هو نسبة جيب الزاوية إلى جيب تمامها:

ظل التمامالزاوية الحادة في المثلث الأيمن - نسبة الجانب المجاور إلى المقابل (أو، وهي نفسها، نسبة جيب التمام إلى الجيب):

لاحظ العلاقات الأساسية للجيب وجيب التمام والظل وظل التمام أدناه. ستكون مفيدة لنا عند حل المشكلات.

دعونا نثبت بعض منهم.

حسنًا، لقد قدمنا تعريفات وكتبنا الصيغ. ولكن لماذا لا نزال بحاجة إلى الجيب وجيب التمام والظل والظل؟

نحن نعرف ذلك مجموع زوايا أي مثلث يساوي.

نحن نعرف العلاقة بين الأطرافالمثلث الأيمن. وهذه هي نظرية فيثاغورس: .

اتضح أنه بمعرفة زاويتين في المثلث، يمكنك العثور على الثالثة. بمعرفة ضلعي المثلث القائم الزاوية، يمكنك العثور على الثالث. هذا يعني أن الزوايا لها نسبها الخاصة، والأضلاع لها نسبها الخاصة. ولكن ماذا يجب أن تفعل إذا كنت تعرف زاوية واحدة (باستثناء الزاوية القائمة) وضلعًا واحدًا في المثلث القائم، لكنك بحاجة إلى العثور على الجوانب الأخرى؟

وهذا ما واجهه الناس في الماضي عند عمل خرائط للمنطقة والسماء المرصعة بالنجوم. ففي النهاية، ليس من الممكن دائمًا قياس جميع أضلاع المثلث بشكل مباشر.

جيب التمام وجيب التمام والظل - يطلق عليهم أيضًا وظائف الزاوية المثلثية- إعطاء العلاقات بين الأطرافو زوايامثلث. بمعرفة الزاوية، يمكنك العثور على جميع دوالها المثلثية باستخدام جداول خاصة. وبمعرفة جيب التمام وجيب التمام وظلال زوايا المثلث وأحد أضلاعه، يمكنك إيجاد الباقي.

سنقوم أيضًا برسم جدول بقيم الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام للزوايا "الجيدة" من إلى.

يرجى ملاحظة الشرطتين الأحمرتين في الجدول. عند قيم الزاوية المناسبة، لا يوجد ظل وظل التمام.

دعونا نلقي نظرة على العديد من مسائل علم المثلثات من بنك مهام FIPI.

1. في المثلث، الزاوية هي . يجد .

يتم حل المشكلة في أربع ثوان.

منذ ، .

2. في المثلث تكون الزاوية , . يجد .

دعونا نجدها باستخدام نظرية فيثاغورس.

تم حل المشكلة.

غالبًا ما توجد في المشكلات مثلثات بزوايا أو بزوايا و. حفظ النسب الأساسية لهم عن ظهر قلب!

بالنسبة للمثلث ذو الزوايا والساق المقابلة للزاوية تساوي نصف الوتر.

مثلث ذو زوايا وهو متساوي الساقين. فيه يكون الوتر أكبر من الساق مرات.

لقد بحثنا في مسائل حل المثلثات القائمة الزاوية، أي إيجاد جوانب أو زوايا مجهولة. ولكن هذا ليس كل شيء! هناك العديد من المشكلات في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات التي تتضمن جيب التمام أو جيب التمام أو الظل أو ظل التمام لزاوية خارجية للمثلث. المزيد عن هذا في المقالة التالية.

1. الدوال المثلثيةهي وظائف أولية حجتها هي ركن. تصف الدوال المثلثية العلاقات بين الجوانب والزوايا الحادة في المثلث القائم. مجالات تطبيق الدوال المثلثية متنوعة للغاية. على سبيل المثال، يمكن تمثيل أي عمليات دورية كمجموع الدوال المثلثية (سلسلة فورييه). غالبًا ما تظهر هذه الوظائف عند حل المعادلات التفاضلية والوظيفية.

2. تشمل الدوال المثلثية الوظائف الست التالية: الجيوب الأنفية, جيب التمام, الظل,ظل التمام, قاطعو قاطع التمام. ولكل من هذه الدوال دالة مثلثية عكسية.

3. من الملائم تقديم التعريف الهندسي للدوال المثلثية باستخدام دائرة الوحدة. يوضح الشكل أدناه دائرة نصف قطرها r = 1. النقطة M(x,y) محددة على الدائرة. الزاوية بين ناقل نصف القطر OM والاتجاه الإيجابي لمحور الثور تساوي α.

4. الجيوب الأنفيةالزاوية α هي نسبة الإحداثي y للنقطة M(x,y) إلى نصف القطر r:
الخطيئةα=ص/ص.
بما أن r=1، فإن الجيب يساوي إحداثي النقطة M(x,y).

5. جيب التمامالزاوية α هي نسبة الإحداثي السيني x للنقطة M(x,y) إلى نصف القطر r:
كوسα=س/ص

6. الظلالزاوية α هي نسبة الإحداثي y للنقطة M(x,y) إلى الإحداثي المحوري x:
tanα=y/x,x≠0

7. ظل التمامالزاوية α هي نسبة الإحداثي السيني للنقطة M(x,y) إلى الإحداثي y:
المهدα=س/ص،ص≠0

8. قاطعالزاوية α هي نسبة نصف القطر r إلى الإحداثي السيني x للنقطة M(x,y):
ثانيةα=r/x=1/x,x≠0

9. قاطع التمامالزاوية α هي نسبة نصف القطر r إلى الإحداثي y للنقطة M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. في دائرة الوحدة، تشكل الإسقاطات x، y، والنقطتين M(x,y) ونصف القطر r مثلثًا قائمًا، حيث x,y هي الأرجل، وr هو الوتر. ولذلك، فإن التعريفات المذكورة أعلاه للدوال المثلثية المطبقة على المثلث القائم تمت صياغتها على النحو التالي:
الجيوب الأنفيةالزاوية α هي نسبة الضلع المقابل للوتر.
جيب التمامالزاوية α هي نسبة الساق المجاورة إلى الوتر.
الظلالزاوية α تسمى الساق المقابلة للساق المجاورة.
ظل التمامتسمى الزاوية α الجانب المجاور للجانب المقابل.
قاطعالزاوية α هي نسبة الوتر إلى الساق المجاورة.
قاطع التمامالزاوية α هي نسبة الوتر إلى الساق المقابلة.

11. رسم بياني لوظيفة الجيب
y=sinx، مجال التعريف: x∈R، نطاق القيم: −1≥sinx≥1

12. رسم بياني لوظيفة جيب التمام
y=cosx، المجال: x∈R، النطاق: −1≤cosx≥1

13. الرسم البياني للدالة الظل
y=tanx، المجال: x∈R،x≠(2k+1)π/2، المدى: −∞